PROGRAM STUDI S1-STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SEMARANG

RISET OPERASI

CAPAIAN

Memahami pengertian model matematis.

Melakukan penurunan model kuantitatif.

Mendefinisikan peubah keputusan.

Melakukan penurunan fungsi tujuan dan fungsi kendala.

Memahami pengertian model optimisasi.

Memahami prinsip dasar pemograman linear.

Mengetahui struktur system masalah yang dihadapi.

Dalam menyajikan struktur masalah, kita harus melakukanidentifikasi terlebih dahulu.

Parameter yang layak dipertimbangkan dan tidak layakdipertimbangkan.

Melakukan identifikasi hubungan antarparameter.

Hasil penyajian struktur dari system masalah setelah kitamelakukan identifikasi dengan cara seperti tersebutm disebutdengan model masalah.

PENURUNAN MODEL

Model dari suatu masalah dapat disajikan dengan lebihsederhana dan dapat menggambarkan masalah yangdihadapi.

Patameter yang dipertimbangkan dalam dalam masalahbersifat kuantitatif, model masalah tersebut dikenal denganmodel matematis.

Parameter bisa berupa peubah ataupun konstanta.

PENURUNAN MODEL

Peubah yang menentukan dalam pemecahan masalah atau

dapat digunakan sebagai penunjang pengambilan keputusan

dalam pemecahan masalah disebut dengan peubah

keputusan.

Metode yang digunakan untuk memecahkan model

matematis sering disebut dengan motode matematis atau

metode kuantitatif.

PENURUNAN MODEL

Sistem Persamaan Linear

Bentuk persamaan umum linear dengan dua variabel

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2

Bentuk persamaan umum linear dengan tiga variabel

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑1𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑑2𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑑3

PENURUNAN MODEL

Pada dua hari yang lalu, Budi membeli 2 jenis barang (sebutlah

barang 1 dan barang 2), di toko A. Dengan uang Rp50.000,00,

Budi dapat memperoleh 2 buah barang 1 dan 4 buah barang 2.

Sehari yang lalu di toko yang sama, dengan uang Rp50.000,00

pula, dia dapat membeli 4 buah barang 1 dan 3 buah barang 2.

Hari ini dia ingin membeli kedua jenis barang tersebut dan dia

punya uang Rp100.000,00. Dia ingin membeli 10 buah barang 1

dan 5 buah barang 2.

KASUS

Persamaan 1

2𝑥 + 4𝑦 = 50000

Persamaan 2

4𝑥 + 3𝑦 = 50000

Tentukkan 𝑥 dan 𝑦 yang memenuhi persamaan satu danpersamaan dua dengan, 𝑥 > 0 dan 𝑦 > 0

KASUS

Kasus 2

Suatu pabrik akan membuat 2 jenis produk, katakanlah produk A

dan produk B. Baik produk A maupun produk B tersebut

memerlukan bahan baku yang sama, yaitu P dan Q. Setiap hari

bahan baku P hanya tersedia sebanyak 6 kg dan bahan baku Q

tersedia 8 kg. Untuk membuat sebuah produk A diperlukan

sebanyak 1 kg bahan P dan 2 kg bahan Q. Untuk membuat sebuah

produk B diperlukan sebanyak 2 kg bahan P dan 1 kg bahan Q.

Keuntungan per kg produk A dan B masing-masing adalah

Rp10.000,00 dan Rp5.000,00.

KASUS

Persamaan 1

𝑥 + 2𝑦 ≤ 6

Persamaan 2

2𝑥 + 𝑦 ≤ 8

Persamaan 3

10000𝑥 + 5000𝑦 =?

𝑥, 𝑦 ≥ 0

KASUS

Kasus 3

Suatu mesin pendingin (AC) digunakan untuk mendinginkanudara suatu ruang berbentuk kotak yang volumenya 8000 𝑐𝑚3

.

Di sini diberikan bahwa laju aliran panas yang masuk melaluipermukaan atas sebanyak 1 satuan panas per 𝑐𝑚3 melaluipermukaan bawah

sebanyak 3 satuan panas per 𝑐𝑚3 , dan melalui permukaansamping sebanyak 2 satuan panas per 𝑐𝑚3

KASUS

Volume 8000𝑐𝑚3

Misalkan x adalah panjang kotak dan y adalah lebar kotak

Maka luas permukan atas dan bawah x.y

Tinggi permukaan=8000𝑐𝑚3

𝑥.𝑦

Luas permukaan saming kiri kanan y.8000𝑐𝑚3

𝑥.𝑦=

8000𝑐𝑚3

𝑦

Luas permukaan saming depan belakang x.8000𝑐𝑚3

𝑥.𝑦=

8000𝑐𝑚3

𝑥

Total laju aliran panas dari luar kedalam adalah

1𝑥. 𝑦 + 3𝑥. 𝑦 + 2(2)8000𝑐𝑚3

𝑦+ 2(2)

8000𝑐𝑚3

𝑥

KASUS

Meminimumkan

𝑓 𝑥, 𝑦 = 1𝑥. 𝑦 + 3𝑥. 𝑦 + 2(2)8000𝑐𝑚3

𝑦+ 2(2)

8000𝑐𝑚3

𝑥

𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥. 𝑦 +32000𝑐𝑚3

𝑦+

32000𝑐𝑚3

𝑥

𝑥, 𝑦 > 0

KASUS

Fungsi 𝑓 disebut dengan fungsi tujuanatau fungsi objektif.

maxs.𝑓(𝑥) dimaksudkan sebagai memaksimumkan 𝑓 𝑥 . Sesuaidengan keperluan pemecahan masalah dapat disajikansebagai meminimumkan 𝑓(𝑥) atau min.𝑓(𝑥).

Dalam hal ini, min.𝑓(𝑥) = maks. – 𝑓(𝑥).

MODEL OPTIMISASI

Sesuai dengan keperluan masalahnya juga tanda pertaksamaan‘≤’ dalam kendala 𝑔𝑗(𝑥) ≤ 𝑏𝑗, dapat juga berupa sebagai tanda

‘≥’ atau ‘=’ atau ‘>’ atau pula ‘<’ .

𝑥 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛𝑡 merupakan vector transpos dari vector

𝑥 =

𝑥1𝑥2…𝑥𝑛

𝑛 adalah banyaknya peubah keputusan, 𝑚 adalah banyaknyakendala.

Kendala 𝑥𝑖 ≥ 0, disebut dengan kendala kepositifan

MODEL OPTIMISASI

Secara deskriptif model umum masalah di atas dimaksudkansebagai berikut:

Berdasarkan peninjauan jenis fungsi 𝑓 dan 𝑔:

Apabila fungsi 𝑓 dan fungsi 𝑔 berupa fungsi linear makamodel optimasi disebut dengan model pemrograman linear.

MODEL OPTIMISASI

Berdasarkan peninjuan ada atau tidaknya kendala:

Apabila kendala 𝑔𝑗(𝑥) ≤ 𝑏𝑗 tidak ada (atau 𝑗 = 0) maka model

optimisasi disebut dengan model pemrograman takberkendala.

Apabila kendala 𝑔𝑗(𝑥) ≤ 𝑏𝑗 ada (atau 𝑗 ≠ 0 ) maka model

optimisasi disebut dengan model pemrograman berkendala.

Berdasarkan peninjauan sifat peubah keputusan x:

Apabila peubah keputusan x merupakan bilangan bulat (atau𝑥𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 berupa bilangan bulat) maka model optimisasidisebut dengan pemrograman blangan bulat ataupemrograman integer.

MODEL OPTIMISASI

Pendahuluan

Berdasarkan peninjauan ini, apabila fungsi 𝑓 dan 𝑔 keduanyamerupakan fungsi linear dan peubah keputusan x berupabilangan bulat maka model optimisasi disebut denganpemrograman linear integer.