riset operasi

Rangkuman Riset Operasi oleh Feri Tulistiyono (UNSIQ) NIM 8209018 1

RISET OPERASI

Ada beberapa definisi mengenai Riset Operasi (RO). Dasar dari berbagai

macam definisi dilator belakangi bahwa ahli Riset Operasi dari berbagai disiplin

ilmu seperti teknik, bisnis, matematik, dll.

Operational research Society Of Great Britain mendefinisikan RO adalah

aplikasi metode ilmiah dalam masalah yang kompleks dan system manajemen

besar atas manusia, mesin, material, dan dana dalam industry, bisnis, pemerintah

dan militer.

Operational research Society Of America mendefinisikan RO adalah

berkenaan dengan pengambilan keputusan secara ilmiah, bagaimana membuat

model terbaik dam membutuhkan alokasi sumber daya yang terbatas. Sedara lebih

umum RO dapat didifinisikan senagai model kwantitatif atau matematik yang

digunakan dalam pengambilan keputusan managemen.

Riset operasi adalah metode untuk memformulasikan dan merumuskan

permasalahan sehari-hari mengenai bisnis,ekonomi,sosial maupun bidang lainya

dalam pemodelan matematis untuk mendapatkan solusi yang optimal.

Komputer Dan Riset Operasi

Penggunaan komputer dalam RO secara terus menerus mengalami

peningkatan terutama dalam menghadapi persaingan lingkungan internasional dan

masalah produktivitas . Tanpa bantuan computer sangat mustahil untuk

menyelesaikan masalah yang cukup besar.

Pendalaman Matematis

Bagian terpenting Riset Operasi adalah bagian menerjemahkan

permasalahan sehari-hari kedalam model matematis. Faktor-faktor yang

mempengaruhi pemodelan harus disederhanakan dan apabila ada data yang


kurang, kekurangan tersebut dapat diasumsikan atau diisi dengan pendekatan yang

bersifat rasional. Dalam Riset Operasi diperlukan dan memudahkan kita

mendapatkan hasil, kita dapat menggunakan komputer. Software yang dapat

digunakan antara lain : LINDO ( Linier Interactive And Discreate Optimizer ).

Proses Pembuatan Model Riset Operasi

Langkah-langkah dalam pembuatan model matematika sebagai berikut :

1. Mendefinisikan masalah yang sedang dihadapi. Langkah ini penting dan

dapat melibatkan manajemen maupun anggota organisasi lainya.

2. Memformulisasikan model. Model adalah gambaran abstrak dari masalah

yang sedang dihadapi. Ketepatan dalam memformulasikan model sangat

ditentukan oleh asumsi yang digunakan. Asumsi harus realitas dan

merupakan factor kesulitan dalam menbuat model. Komponen utama dalam

memformulasikan model adalah sebagai berikut :

� Variabel Keputusan ( Decision Variabel )

� Tujuan ( Objektive )

� Kendala ( Consttaint )

3. Mengukur Validitas

4. Implementasi Keputusan


METODE SIMPLEKS

Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam

pemrograman linier adalah metode simpleks. Penentuan solusi optimal

menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan.

Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu

dengan cara perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan

simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i

hanya tergantung dari iterasi sebelumnya (i-1)

Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks,

diantaranya :

1. Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu

tergantung dari nilai tabel sebelumnya.

2. Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada

sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu

sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.

3. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang

iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi

kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan (jika fungsi

kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah

variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non

negatif).

4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih

tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah

sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.

5. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik

kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=).

Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal,

variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.


6. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik

kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=).

Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel

surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.

7. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik

kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis

awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini

harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak

ada. Variabel hanya ada di atas kertas.

8. Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk.

Koefisien pada kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan untuk

menentukan baris pivot (baris kerja).

9. Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis

yang memuat variabel keluar.

10. Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan

kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk

tabel simpleks berikutnya.

11. Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis

pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non

basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai

positif.

12. Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi

berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu

dari antara variabel basis pada setiap iiterasi. Variabel ini pada iterasi

berikutnya akan bernilai nol.

� Contoh soal :

Selesaikan kasus berikut ini menggunakan metode simpleks :

Maksimum z = 8 x1 + 9 x2 + 4x3


� Kendala :

x1 + x2 + 2x3 ≤ 2

2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 3

7x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 8

x1,x2,x3 ≥ 0

� Penyelesaian :

Bentuk bakunya adalah :

Maksimum z = 8 x1 + 9 x2 + 4x3 + 0s1 + 0s2 + 0s3 atau

z - 8 x1 - 9 x2 - 4x3 + 0s1 + 0s2 + 0s3 = 0

� Kendala :

x1 + x2 + 2x3 + s1 = 2

2x1 + 3x2 + 4x3 + s2 = 3

7x1 + 6x2 + 2x3 + s3 = 8

x1,x2,x3 ,s1 , s2 , s3 ≥ 0

� Solusi / table awal simpleks :

VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK Rasio

Z -8 -9 -4 0 0 0 0

S1 1 1 2 1 0 0 2

S2 2 3 4 0 1 0 3

S3 7 6 2 0 0 1 8

Karena nilai negative terbesar ada pada kolom X2, maka kolom X2 adalah

kolom pivot dan X2 adalah variabel masuk. Rasio pembagian nilai kanan dengan

kolom pivot terkecil adalah 1 bersesuaian dengan baris s2, maka baris s2 adalah

baris pivot dan s2 adalah varisbel keluar. Elemen pivot adalah 3.



Z -8 -9 -4 0 0 0 0

S1 1 1 2 1 0 0 2 2

S2 2 3 4 0 1 0 3 1

S3 7 6 2 0 0 1 8 8/6

Iterasi 1

Nilai pertama yang kita miliki adalah nilai baris pivot baru (baris x2). Semua nilai

pada baris s2 pada tabel solusi awal dibagi dengan 3 (elemen pivot).


Z

S1

x2 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1

S3

Perhitungan nilai barisnya :

Baris z :

-8 -9 -4 0 0 0 0

-9 ( 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 ) -

-2 0 8 0 3 0 9

Baris s1 :

1 1 2 1 0 0 2

1 (2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 ) -

1/3 0 2/3 1 -1/3 0 1

Baris s3 :

7 6 2 0 0 1 8

6 ( 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 ) -

3 0 -6 0 -2 1 2


Maka tabel iterasi 1 ditunjukkan tabel di bawah. Selanjutnya kita periksa

apakah tabel sudah optimal atau belum. Karena nilai baris z di bawah variabel x1

masih negatif, maka tabel belum optimal. Kolom dan baris pivotnya ditandai pada

tabel di bawah ini :


Z -2 0 8 0 3 0 9 -

S1 1/3 0 2/3 1 -1/3 0 1 3

X2 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 3/2

S3 3 0 -6 0 -2 1 2 2/3

Variabel masuk dengan demikian adalah X1 dan variabel keluar adalah S3

. Hasil perhitungan iterasi ke 2 adalah sebagai berikut :

Iterasi 2 :


Z 0 0 4 0 5/3 2/3 31/3

S1 0 0 4/3 1 -1/9 -1/9 7/9

X2 0 1 8/3 0 7/9 -2/9 5/9

X1 1 0 -2 0 -2/3 1/3 2/3

Tabel sudah optimal, sehingga perhitungan iterasi dihentikan !

Perhitungan dalam simpleks menuntut ketelitian tinggi, khususnya jika

angka yang digunakan adalah pecahan. Pembulatan harus diperhatikan dengan

baik. Disarankan jangan menggunakan bentuk bilangan desimal, akan lebih teliti

jika menggunakan bilangan pecahan. Pembulatan dapat menyebabkan iterasi lebih

panjang atau bahkan tidak selesai karena ketidaktelitian dalam melakukan

pembulatan.

Perhitungan iteratif dalam simpleks pada dasarnya merupakan

pemeriksaan satu per satu titik-titik ekstrim layak pada daerah penyelesaian.

Pemeriksaan dimulai dari kondisi nol (dimana semua aktivitas/variabel keputusan


bernilai nol). Jika titik ekstrim berjumlah n, kemungkinan terburuknya kita akan

melakukan perhitungan iteratif sebanyak n kali.

� Contoh soal :

Persamaan matematis suatu program linier adalah sebagai berikut :

Minimasi : Z = 6X1 + 7,5X2

Dengan pembatas :

7X1 + 3X2 ≥ 210

6X1 + 12X2 ≥ 180

4X2 ≥ 120

X1, X2 ≥ 0

Carilah harga X1 dan X2 ?

� Jawab :

Pada kasus ini kita akan menggunakan metode simplex M (BIG – M), hal ini

dikarenakan pada kasus ini pertidk samaan pembatasnya menggunakan ≥

(lebih dari sama dengan).

Persamaan Tujuan : Z - 6x1 - 7,5X2 - 0S1 - 0S2 - 0S3 = 0 Baris 0

Persamaan Kendala : 7x1 + 3x2 - S1 +A1 = 210 Baris 1

6x1 + 12x2 - S2 +A2 = 180 Baris 2

4x2 - S3 + A3 = 120 Baris 3

Bagi kendala pertidaksamaan jenis ≤, maka variabel slack ditambahkan untuk

menghabiskan sumber daya yang digunakan dalam kendala. Cara ini tidak

dapat diterapkan pada kendala pertidaksamaan jenis ≥ dan kendala persamaan

(=) persamaan diatas diperoleh karena tanda ≥ harus mengurangi variable

surplus.

Untuk mengarahkan artifisial variabel menjadi nol, suatu biaya yang besar

ditempatkan pada A1, A2, dan A3 sehingga fungsi tujuannya menjadi :

Z = 6x1 + 7,5X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + MA1 + MA2 + MA3


Table simplex awal dibentuk dengan A1, A2, dan A3 sebagai variable

basis, seperti table berikut :

Basis X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK RASIO

Z 13M-6 19M-

7,5

-M -

M

-M 0 0 0 510M

A1 7 3 -1 0 0 1 0 0 210 210 : 3 =

70

A2 6 12 0 -1 0 0 1 0 180 180 : 12 =

15

A3 0 4 0 0 -1 0 0 1 120 120 : 4 =

30

Dari table diatas kita ketahui bahwa semua BFS belum optimal. Hal ini

dikarenakan seluruh NBV masih mempunyai koefisien yang berharga positif.

Oleh karena itu Untuk x2 terpilih sebagai entry variable karena x2 memiliki

nilai koefisien positif yang paling besar, dan A3 menjadi Leaving Variable.

Dan yang akan menjadi pivot adalah baris 2 karena memiliki rasio paling

kecil.

Langkah-langkah ERO Iterasi Pertama :

ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 1 pada baris 2

½ x1 + x2 - 1/12 S2 +

1/12 A2 = 15


Z = 9/4 x1 + 0S1 + 15/24 S2 + 0S3 + MA1 + [ M - 15/24]A 2 + MA3 + 112,5

ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 1 11/2 x1 + ¼ S2 + A1 -

1/4 A2= 165


-2x1 + 1/3 S2 - S3 - 1/3 A2 + A3 = 60


Konversi bentuk standard iterasi Pertama :

Z = 9/4 x1 + 0S1 + 15/24 S2 + 0S3 + MA1 + [ M - 15/24]A 2 + MA3 + 112,5 11/2 x1 + ¼ S2 + A1 -

1/4 A2 = 165

-2x1 + 1/3 S2 - S3 - 1/3 A2 + A3 = 60

½ x1 + x2 - 1/12 S2 +

1/12 A2 = 15

Tabel Iterasi Pertama

Basis X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK RASIO

Z

-13/2M-

6

0 0 7/12 - 15/24

-M 0 1/24 -

M 0

225M –

112,5 *

A1 11/2 0 0 ¼ 0 1 -1/4 0 165

165 : 5,5

= 30

A3 -2 0 0 1/3 -1 0 -1/3 1 60 *

X2 ½ 1 0 -1/12


METODE GRAFIK

Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan

dimana hanya terdapat dua variabel keputusan. Untuk menyelesaikan

permasalahan tersebut, langkah pertama yang harus dilakukan adalah

memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear Programming

(LP).

Contoh :

Perusahaan Krisna Furniture yang akan membuat meja dan kursi.

Keuntungan yang diperoleh dari satu unit meja adalah $7,- sedang keuntungan

yang diperoleh dari satu unit kursi adalah $5,-.

Namun untuk meraih keuntungan tersebut Krisna Furniture menghadapi

kendala keterbatasan jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit meja dia memerlukan 4

jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit kursi dia membutuhkan 3 jam kerja. Untuk

pengecatan 1 unit meja dibutuhkan 2 jam kerja, dan untuk pengecatan 1 unit kursi

dibutuhkan 1 jam kerja. Jumlah jam kerja yang tersedia untuk pembuatan meja

dan kursi adalah 240 jam per minggu sedang jumlah jam kerja untuk pengecatan

adalah 100 jam per minggu. Berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya

diproduksi agar keuntungan perusahaan maksimum?

Dari kasus di atas dapat diketahui bahwa tujuan perusahaan adalah

memaksimumkan profit. Sedangkan kendala perusahaan tersebut adalah

terbatasnya waktu yang tersedia untuk pembuatan dan pengecatan. Apabila

permasalahan tersebut diringkas dalam satu tabel akan tampak sebagai berikut:

Jam kerja untuk membuat 1 unit

produk

Total waktu

tersedia per

minggu Meja Kursi

Pembuatan 4 2 240

Pengecatan 2 1 100

Profit per Unit 7 5


Mengingat produk yang akan dihasilkan adalah meja dan kursi, maka

dalam rangka memaksimumkan profit, perusahaan harus memutuskan berapa

jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi. Dengan demikian dalam kasus

ini, yang merupakan variabel keputusan adalah meja (X1) dan kursi (X2).

1. Fungsi Tujuan

Profit = ($ 7 x jml meja yang diproduksi) + ($ 5 x jml kursi yang diproduksi)

Secara matematis dapat ditulis :

Maksimisasi : Z = 7 X1 + 5 X2

2. Fungsi Kendala

• Kendala : Waktu pembuatan

1 unit meja memerlukan 4 jam untuk pembuatan -> 4 X1

1 unit kursi memerlukan 3 jam untuk pembuatan -> 3 X2

Total waktu yang tersedia per minggu untuk pembuatan -> 240 Jam

Dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis -> 4 X1 + 3 X2 ≤≤≤≤ 240

• Kendala : Waktu pengecatan

1 unit meja memerlukan 2 jam untuk pengecatan -> 2 X1

1 unit kursi memerlukan 1 jam untuk pengecatan -> X2

Total waktu yang tersedia per minggu untuk pengecatan -> 100 Jam

Dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis -> 2 X1 + X2 ≤≤≤≤ 100

Formulasi masalah secara lengkap :

Fungsi Tujuan : Maks. Z = 7 X1 + 5 X2

Fungsi Kendala : 4 X1 + 3 X2 ≤ 240

2 X1 + X2 ≤ 100

X1 , X2 ≥ 0 (kendala non-negatif)


Setelah formulasi lengkapnya dibuat, maka Kasus Krisna Furniture

tersebut akan diselesaikan dengan metode grafik. Keterbatasan metode grafik

adalah bahwa hanya tersedia dua sumbu koordinat, sehingga tidak bisa digunakan

untuk menyelesaikan kasus yang lebih dari dua variabel keputusan.

Langkah pertama dalam penyelesaian dengan metode grafik adalah

menggambarkan fungsi kendalanya. Untuk menggambarkan kendala pertama

secara grafik, kita harus merubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda persamaan

seperti berikut.

4 X1 + 3 X2 = 240

Untuk menggambarkan fungsi linear, maka cari titik potong garis tersebut

dengan kedua sumbu. Suatu garis akan memotong salah satu sumbu apabila nilai

variabel yang lain sama dengan nol. Dengan demikian kendala pertama akan

memotong X1, pada saat X2 = 0, demikian juga kendala ini akan memotong X2,

pada saat X1 = 0.

Kendala I :

4 X1 + 3 X2 = 240

memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0

4 X1 + 0 = 240

X1 = 240 / 4

X1 = 60.


0 + 3 X2 = 240

X2 = 240/3

X2 = 80

Kendala I memotong sumbu X1 pada titik (60, 0) dan memotong sumbu X2

pada titik (0, 80).


Kendala II :

2 X1 + 1 X2 = 100


2 X1 + 0 = 100

X1 = 100/2

X1 = 50

memotong sumbu X2 pada saat X1 =0

0 + X2 = 100

X2 = 100

Kendala I memotong sumbu X1 pada titik (50, 0) dan memotong sumbu X2

pada titik (0, 100).

Titik potong kedua kendala bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi

2 X1 + 1 X2 = 100 -> X2 = 100 - 2 X1

4 X1 + 3 X2 = 240 X2 = 100 - 2 X1

4 X1 + 3 (100 - 2 X1) = 240 X2 = 100 - 2 * 30

4 X1 + 300 - 6 X1 = 240 X2 = 100 - 60

- 2 X1 = 240 - 300 X2 = 40

- 2 X1 = - 60


X1 = -60/-2 = 30.

Sehingga kedua kendala akan saling berpotongan pada titik (30, 40).

Tanda ≤ pada kedua kendala ditunjukkan pada area sebelah kiri dari garis

kendala. Feasible region (area layak) meliputi daerah sebelah kiri dari titik A (0;

80), B (30; 40), dan C (60; 0).

Untuk menentukan solusi yang optimal, ada dua cara yang bisa digunakan

yaitu

1. dengan menggunakan garis profit (iso profit line)

2. dengan titik sudut (corner point)

Penyelesaian dengan menggunakan garis profit adalah penyelesaian

dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser

ke kanan sampai menyinggung titik terjauh dari dari titik nol, tetapi masih berada

pada area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis profit, kita

mengganti nilai Z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada

fungsi profit. Pada kasus ini angka yang mudah dibagi angka 7 (koefisien X1) dan

5 (koefisien X2) adalah 35. Sehingga fungsi tujuan menjadi 35 = 7 X1 + 5 X2.

Garis ini akan memotong sumbu X1 pada titik (5, 0) dan memotong sumbu X2

pada titik (0, 7).


Iso profit line menyinggung titik B yang merupakan titik terjauh dari titik

nol. Titik B ini merupakan titik optimal. Untuk mengetahui berapa nilai X1 dan

X2, serta nilai Z pada titik B tersebut, kita mencari titik potong antara kendala I

dan kendala II (karena titik B merupakan perpotongan antara kendala I dan

kendala II). Dengan menggunakan eliminiasi atau subustitusi diperoleh nilai X1 =

30, X2 = 40. dan Z = 410. Dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan

bahwa keputusan perusahaan yang akan memberikan profit maksimal adalah

memproduksi X1 sebanyak 30 unit, X2 sebanyak 40 unit dan perusahaan akan

memperoleh profit sebesar 410.

Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) artinya kita

harus mencari nilai tertinggi dari titik-titik yang berada pada area layak (feasible

region). Dari peraga 1, dapat dilihat bahwa ada 4 titik yang membatasi area layak,

yaitu titik 0 (0, 0), A (0, 80), B (30, 40), dan C (50, 0).

Keuntungan pada titik O (0, 0) adalah (7 x 0) + (5 x 0) = 0.

Keuntungan pada titik A (0; 80) adalah (7 x 0) + (5 x 80) = 400.

Keuntungan pada titik B (30; 40) adalah (7 x 30) + (5 x 40) = 410.

Keuntungan pada titik C (50; 0) adalah (7 x 50) + (5 x 0) = 350.


Karena keuntungan tertinggi jatuh pada titik B, maka sebaiknya

perusahaan memproduksi meja sebanyak 30 unit dan kursi sebanyak 40 unit, dan

perusahaan memperoleh keuntungan optimal sebesar 410.


LINEAR PROGRAMMING

SEJARAH

Linear Programming pertama kali dicetuskan oleh seorang ahli

matematika asal Rusia bernama L.V. Kantorivich dalam bukunya yang berjudul

”MATHEMATICAL METHODS IN THE ORGANIZATION AND PLANNING

OF PRODUCTION”. Dengan buku ini, ia telah merumuskan pertama kalinya

persoalan “Linear Programming”. Namun, cara-cara pemecahan persoalan in di

Rusia tidak berkembang dengan baik dan ternyata para ahli di negara Barat dan

AS yang menggunakan cara ini dimanfaatkan dengan baik.

Pada tahun 1947, seorang ahli matematika dari AS yang bernama George

B. Dantzig menemukan suatu cara untuk memecahkan persoalan-persoalan linear

programming. Cara pemecahan ini dinamakan ” Simplex Method”, yang diuraikan

dalam bukunya ”LINEAR PROGRAMMING AND EXTENTION”.

LINEAR PROGRAMMING (LP)

Linear programming adalah teknik matematika yang dirancang untuk

membantu dalam merencanakan dan membuat keputusan.

Linear Programming memiliki empat ciri khusus, yaitu :

1. Penyelesaian masalah mengarah pada pencapaian tujuan maksimisasi atau

minimisasi.

2. Kendala yang ada membatasi tingkat pencapaian tujuan

3. Ada beberapa alternatif penyelesaian

4. Hubungan matematis bersifat linier

Untuk membentuk suatu model linear programming perlu diterapkan

asumsi-asumsi dasar, yaitu :

1. Linearity

Fungsi obyektif dan kendala haruslah merupakan fungsi linier dan variabel

keputusan. Hal ini akan mengakibatkan fungsi bersifat proporsional dan


additif, misalnya untuk memproduksi 1 kursi dibutuhkan waktu 5 jam, maka

untuk memproduksi 2 kursi dibutuhkan waktu 10 jam.

2. Divisibility

Nilai variabel keputusan dapat berupa bilangan pecahan. Apabila diinginkan

solusi berupa bilangan bulat (integer), aka harus digunakan metoda untuk

integer programming.

3. Non negativity variable

Nilai variabel keputusan haruslah tidak negatif ( ≥ 0)

4. Certainty

Semua konstanta (parameter) diasumsikan mempunyai nilai yang pasti. Bila

nilai-nilai parameternya probabilistik, maka harus digunakan formulasi

pemrograman masalah stokastik.

� Contoh soal

Ibu Angel membuat dua macam jenis, kue nastar dan putrie salju. Bahan baku

gula dan tepung untuk memproduksi 3 ons kue nastar diperlukan 2 bagian gula

dan 4 bagian tepung, kemudian untuk memproduksi 3 ons kue putrie salju

diperlukan satu bagian gula dan 3 bagian tepung, untuk gula tersedia tersedia 250

dan tepung 200. 1 ons kue nastar dihargai Rp.10.000,00 dan putrie salju

Rp.15.000,00?

� Jawab:

Pada kasus ini saya akan menggunakan metode linier Programing, hal ini

dikarenakan pada kasus ini pertidaksamaan pembatasnya menggunakan ≤ (kurang

dari sama dengan).

Bagi kendala pertidaksamaan jenis ≤, maka variabel slack ditambahkan untuk

menghabiskan sumber daya yang digunakan dalam kendala.

Z= 10000x1 + 15000x2

2x1 + x2 ≤ 250

4x1 + 3x2 ≤ 200

10000x1 + 15000x2 + X3 + X4

2x1 + x2 + x3 = 250

4x1 + 2x2 + x4 = 200


1. X1 = X2 = 0

X3 = 250, X4 = 200

Z1=10000(0)+15000(0)+250(0)+200(0)=

0

2. X1 = X3 = 0

X2= 250

2x2 + X4= 200, 2(250) + X4

= 200

500 + X4 = 200

X4 = -300

Z2 ≠ (tidak dihitung)

3. X1 = X4 = 0

2X2 = 200, X2= 100

X2 + X3= 250, 200 + X3= 250

X3= 50

Z3=10000(0) + 15000(100) + 0(50) +

0(0)

=1.500.000

4. X2 = X3 = 0

2X1 = 250, X1 = 125

4X1 + X4 = 200

4(125) + X4 = 200

500 + X4 = 200

X4= -300

Z4 ≠ (tidak dihitung)

5. X2 = X4 = 0

4X1= 200

X1= 50

2X1 + X3= 250

2(50) + X3= 250

X3= 150

Z5= 10000(50) + 15000(0) + 0(150) +

0(0)

=100000

6. X3 = X4 = 0

2X1 + X2= 250,

X1= ½ (250-X2 + 2X2=

200

125-1/2X2 + 2X2= 200

125 + 3/2X2= 200

3/2X2= 200 - 125

3/2X2= 125

X2= 125 . 2/3

= 83 1/3

X1= ½ (250=83 1/3)

= ½ (166 2/3)

= 83 1/3


� KESIMPULAN:

Jadi diantara pemecahan fisibel ada satu nilai Z yang terbesar aitu Z6= 1.500.000

dengan kesimpulan:

� X1= 83 1/3 , produk A diproduksi 83 1/3 unit.

� X2= 83 1/3 , produk B diproduksi 83 1/3 unit.

� X3= 50 , bahan baku pertama dipakai 50 dari dalam proses produksi.

� X4= 0 , bahan baku kedua habis dipakai dalam proses produksi.

� Contoh Soal:

Perusahaan industri PT MULIA menghasilkan dua jenis produk yaitu

P1 dan P2 masing-masing memerlukan dua macam bahan baku, A dan

B. Harga jual tiap satuan P1 sebesar Rp 150,- dan P2 sebesar Rp 100,-.

Bahan baku A yang tersedia sebanyak 600 satuan dan B 1.000 satuan.

Satu satuan P1memerlukan satu satuan A dan dua satuan B, sedangkan

satuan P2 memerlukan satu satuan A dan satu satuan B.

Contoh Tabel sebagai berikut :

Produksi

Bahan

Jenis Produksi Bahan Yang

Tersedia P1 P2

A 1 1 600

B 2 1 1000

Harga Jual 150 100


Masalahnya adalah menentukan alokasi bahan A dan B sebanyak

mungkin, atau dengan kata lain dengan menentukan jumlah produksi P1 dan P2

Sehingga mencapai tujuan perusahaan yaitu meraih keuntungan semaksimal

mungkin. Meskipun Tabel Diatas sudah menggambarkan situasi Produksi dalam

masalah yang dihadapai akan tetapi penentuan jumlah produksi P1 dan P2 masih

sulit. Oleh itu kita akan menerjemahkan masalah ini kedalam model matematika

dengan rumusan yang sederhana Sehingga mudah dicari penyelesaianya.

Misalkan Jumlah Produk jenis produk P1 dan P2 adalah penjualan satuan X1

dan X2 satuan. Maka hasil tentu saja sama dengan : F = 150 X1 dan 100 X2

Tujuan PT mulia ialah mengusahakan F sebesar-besarnya sehingga

keuntungan juga akan maksimal. Karena untuk menghasilkan satu satuan P1

diperlukan satu satuan bahan A dan dua satuan bahan B, maka untuk sejumlah X1

satuan jenis P1 diperlukan sejumlah X1 satuan bahan A dan sejumlah 2x1 satuan

bahan B. Dengan cara yang sama untik menghasilkan sejumlah X2 satuan jenis P2

diperlukan sejumlah X2 satuan bahan A dan sejumlah X2 satuan bahan B. Dengan

demikian jumlah bahan A yang diperlukan untuk menghasilkan sejumlah X1

satuan P1 dan sejumlah X2 satuan P2 adalah (X1 + X2) satuan. Bahan B yang

diperlukan ialah (2x2 + x2) satuan.

Karena bahan A dan bahan B masing-masing hanya tersedia 600 dan 1000

satuan, maha (X1 + X2) dan (2x2 + x2) masing-masing tidak mungkin melebihi 600

dan 1000 satuan. Pernyataan tersebut dapat ditulis dengan bentuk :

(X1 + X2 ) ≤ 600 dan (2x2 + x2) ≤ 1000

Atau

X1 + X2 - ≤600

2x2 + x2 - ≤ 1000


Kalau semua keterangan ini dikumpulkan, maka akan sampai kepada satu

bentuk model matematika yang menggambarkan masalah produksi yang sedang

dihadapi PT MULIA, yaitu :

F = 150 x1 + 100 x2

G = X1 + X2 - 600

H = 2x2 + x2 – 1000

Tujuan dari model ini adalah menentukan jumlah produksi P1 (=X1) dan

jumlah produksi P2 (=X2) sehingga hasil jumlah penjualan F = 150 x1 + 100 x2

maksimal sesuai dengan keterbatasan yang ada.

Sacara simgkat dapat ditulis : tentukan X1 dan X2 yang memenuhi batasan

F = 150 x1 + 100 x2

X1 + X2 ≤ 600

2x2 + x2 ≤1000

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0


METODE TRANSPORTASI

Metode transportasi merupakan metode yang digunakan untuk

mengaturdistribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk, ketempat yang

membutuhkan secara optimal. Alokasi produk ini harus diatur sedemikaian rupa,

karene terdapat perbedaan biaya-biaya alokasi dari suatu sumber ke suatu tempat

tujuan yang berbeda-beda, dan dari suatu sumber ke suatu tempat yang berbeda-

beda juga.

Metode Stepping Stone

� Contoh Soal :

Suatu perusahaan mempunyai 3 buah pabrik di W,H dan P. Perusahaan

mengalami masalah alokasi hasil produksinyake gudang-gudang penjualan di A,B

dan C. Kapasitas pabrik , kebutuhan gudang dan biaya pengangkutan dari tiap

pabrik kegudang adalah sebagai berikut :

Pabrik Kapasitas produksi tiap bulan

W 90 ton

H 60 ton

P 50 ton

Jumlah 200 ton

Gudang Kapasitas produksi tiap bulan

A 50 ton

B 110 ton

C 50 ton

Jumlah 40 ton


Dari

Biaya tiap ton ( Dalam Ribuan Rp. )

Gudang A Gudang B Gudang C

Pabrik W 20 5 8

Pabrik H 15 20 10

Pabrik P 25 10 9

� Penyusunan Tabel Alokasin :

Ke

Dari

Gudang

A

Gudang

B

Gudang

C

Kapasitas

Pabrik

Pabrik

W

20

X11

5

X12

8

X13 90

Pabrik

P

15

X21

20

X22

10

X23 60

Pabrik

H

25

X31

10

X32

19

X33 50

Kebutuhan

Gudang 50 110 40 200


Prosedur Alokasi

Setelah data tersusun dalam tabel maka langkah selanjutnya adalah

mengalokasikan produk dari pabrik-pabrik ke gudang-gudang. Pedoman yang

digunakan adalah pedoman sudut barat laut, Mulai dari sudut kiri atas dari table :

� Alokasi tahap pertama dengan pedoman sudut barat laut.

Ke

Dari

Gudang

A

Gudang

B

Gudang

C

Kapasitas

Pabrik

Pabrik

W

20

50

5

40

8

90

Pabrik

P

15

20

60

10

60

Pabrik

H

25

10

10

19

40 50

Kebutuhan

Gudang 50 110 40 200

Besarnya pengangkutan untuk alokasi tahap pertama

= 50 (20) + 40 (20) + 60 (20) + 10 (10) + 40 (19) = 3260


Mengubah Alokasi Secara Trial Dan Error

Terlihat pada kokom gudang A , sel SH belum terisi,maka diciba untuk diisi

satu satuan (ton). Tentu saja perlu memindahkan dari sel yang lain, misalnya dari

WA agar jumlah gudang tetap 50. Disamping itu juga mempengaruhi sel WB dan

HB.

Perubahan biaya yang diakibatkan adalah sebagai berikut :

� Tambahan biaya Dari H ke A = 15

Dari W ke B = 5 +

Jumlah = 20

� Pengurangan biaya Dari H ke A = 20

Dari W ke B = 20 +

Jumlah = 40

Tambahan 20 dan pengurangan 40 berarti penghematan 20 untuk pemindahan

1 unit ke sel HA dan WB dari WA dan HB. Berdasarkan kenyataan ini, bila

jumlah alokasi yang dipindah lebih banyak maka penghematan tentunya akan

lebih banyak juga.


� Perbaikan pertama dengan trial dan error

Ke

Dari

Gudang

A

Gudang

B

Gudang

C

Kapasitas

Pabrik

Pabrik

W

20

50 (-)

5

40(+)

8

90

Pabrik

P

15

(+)

20

60 (-)

10

60

Pabrik

H

25

10

10

19

40 50

Kebutuhan

Gudang 50 110 40 200


� Perbaikan kedua dengan trial dan error

Ke

Dari

Gudang

A

Gudang

B

Gudang

C

Kapasitas

Pabrik

Pabrik

W

20

5

90

8

90

Pabrik

P

15

50

20

10

10

60

Pabrik

H

25

10

10

19

40 50

Kebutuhan

Gudang 50 110 40 200

Perubahan alokasi ini dapat juga dilaakukan dengan mengubah alokasi

pada sel yang tidak berdekatan. Misalnya alan diisi sel WC maka sel yang lain

yang ikut berubah dapat berupa sel WB, PB dan PC. Seperti pada table transport =

50 (5) + 40 (8) + 50 (15) + 10 (20) + 50 (10) = 2020.

Demikian seterusnya diadakan perubahan , bila dengan peruhaban itu

dapat mengurangi biaya. Sampai akhirnya diperoleh biaya transport yang terendah

(optimal).


� Perbaikan dengan alokasi sel yang berdekatan.

Ke

Dari

Gudang

A

Gudang

B

Gudang

C

Kapasitas

Pabrik

Pabrik

W

20

5

50

8

40 90

Pabrik

P

15

50

20

10

10

60

Pabrik

H

25

10

50

19

50

Kebutuhan

Gudang 50 110 40 200


PENUTUP

Kesimpulan

Riset operasi adalah metode untuk memformulasikan dan merumuskan

permasalahan sehari-hari mengenai bisnis,ekonomi,sosial maupun bidang lainya

dalam pemodelan matematis untuk mendapatkan solusi yang optimal.

Demikian kilasan tentang Riset operasi , kami sadar bahwa perjuangan

kami masih panjang dan masih banyak hal yang perlu diperjuangkan terus agar

generasi bangsa Indonesia menjadi generasi yang unggul.


Daftar Pustaka

1.Bambang Yuwono, Bahan kuliah Riset Operasi,2007

2. Pangestu dkk, Dasar-Dasar Riset Operasi, BPFE, 1783, Yogyakarta

3. Hamdy Taha, Operation Research An Introduction, Edisi 4, Macmillan, New

York

4. Aminnudin, Prinsip-Prinsip Riset Operasi, Erlangga, 2005

riset operasi

Documents