TEKNIK RISET OPERASIONAL

LINIER PROGRAMMING

Program Linier merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumberdaya yang langka untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. LP banyak diterapkan dalam membantu menyelesaikan masalah ekonomi, indutri, militer, social dan lain-lain.

Formulasi Model LP Masalah keputusan yang sering dihadapi analis adalah alokasi optimum sumberdaya langka. Sumberdaya dapat berupa uang, tenaga kerja, bahan mentah, kapasitas mesin, waktu, ruang atau teknologi. Tugas analis adalah mencapai hasil terbaik yang mungkin dengan keterbatasan sumber daya itu. Hasil yang dinginkan mungkin ditunjukkan sebagai maksimasi dari beberapa ukuran profit, penjualan dan kesejahteraan, atau minimisasi pada biaya, waktu dan jarak.

Setelah masalah di identifikasikan, tujuan ditetapkan, langkah selanjutnya adalah formulasi model matematika yang meliputi tiga tahap seperti berikut :

1. Tentukan variable yang tidak diketahui (Variabel keputusan) dan nyatakan dalam symbol matematika.

2. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linier (bukan perkalian) dari variable keputusan.

3. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikan dalam persamaan atau pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variable keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumberdaya masalah itu.

Pada dasarnya program – program linier ini bermanfaat ketika kita dihadapkan pada pengambilan keputusan yang optimal dengan ketersedian yang terbatas. Contoh Kasus : Suatu perusahaan sepatu ingin membuat dua jenis produk sepatu yaitu sepatu yang terbuat dari sol karet dan sol kulit. Produksi tersebut melalui tahap – tahap produksi sebagai berikut :

Machinery I

Raw Material Machinery III (fishing Good )

Machinery II

Dimana : Sepatu dari sol karet memerlukan waktu : 2 hour in Machinary I6 hour in machinery III

Sepatu Sol kulit membutuhkan : 3 hour in Machinary II5 hour in machinery III

Jika waktu maksimum bekerja : - Machinery I 8 Hour- Machinery II 15 Hour- Machinery III 30 Hour

Hitunglah jumlah masing-masing produk agar diperoleh keuntungan maximum. Dimana - Keuntungan kulit sepatu sol karet : 3000- Keuntungan kulit sepatu sol kulit : 5000

Untuk menyelesaikan kasus tersebut maka dibuatlah tabel – tabel sebagai berikut :

Source (Machinery)

Sol Karet (X1) Sol Kulit (X2) Capasity

I 2 0 8II 0 3 15III 6 5 30

Profit 3000 5000

Dari data-data dalam tabel dapat kita buat persamaan liniernya : Yaitu : 2x1 + 0 8

0 + 3x2 156x1 + 5x2 30Z = 3x1 + 5 x2

Langkah – langkah menyelesaikan kasus LP ini dapat dilakukan dengan : 1. Metode Grafik 2. Metode Simplek

METODE GRAFIK

I. Grafik Untuk mendapatkan hasil yang optimal maka ketiga fungsi batasan kita buat

menjadi suatu grafik.

Caranya : 1. Grafik Fungsi batasan I

2 x1 ≤ 8 X1 = 4Buat Grafiknya

X2

X1

X1 ≤ 4

2. Grafik Fungsi Batasan II 3X2 ≤ 15 --> X2 ≤ 5

X2

X2 ≤ 5

X1

3. Grafik Fungsi Batasan IIICaranya :

- Cari Titik Potong sumbu X1, X2 = 0 Sehingga

6x1 + 0 30 6x1 ≤ 30 x1 ≤ 30 / 6 = 5 ( 5, 0)

- Cari dengan sumbu X2, X1 = 06x1 + 5x2 306 (0) + 5x2 30 X2

5x2 30 (0,6) x2 ≤ 6 (0, 6)

(5,0) X1

G

E

F H

D

A B C

Daerah : ABDEF : disebut Fiesible Solution (Daerah yang memenuhi batasan / layak BCD DHE : Daerah Infiesible Solution (Daerah yang tidak layak mempunyai

batasan FEG

- Optimal Solution adalah darah yang berupa titik yang memberikan nilai pada fungsi tujuan

- Multiple Optimal adalah suatu daerah (bias lebih dari sebuah titik yang memberikan nilai max yang sama dalam hal ini nilai optimalnya adalah garis

- Corner Point Solition adalah titik potong dari fungsi batasan di daerah fiesible solution yang memberikan nilai max pada fungsi tujuan.

- No Optimal solution adalah tidak ada nilai optimal yang dihasilkan artinya : adanya batasan – batasan yang tidak membatasi.

Mencari Nilai Optimal :

Titik Koordinat Z = 3X1 + 5 X2

A 0,0 z = 0B 4,0 Z = 3(4) + 5 (0) = 12D 4,6/5 Z= 3 (4) + 5 (6/5) = 18E 5/6, 5 Z= 3(5/6) + 5(5) = 27.5F 0, 5 Z = 3(0) + 5(5) = 25

Mencari Nilai Titik DBatasan 1 dan Batasan 3 X1 ≤ 4 X1 = 4

6x1 + 5x2 = 306(4) +5x2 = 305x2 = 30 – 24 X2 = 6/5

X1, X2 = (4, 6/5)

Titik E :

Batasan 2 dan 3

X2 = 5 6X1 +5x2 = 306X1 + 5 (5) = 30 6X1 = 30 – 25 X1 = 5 / 6

X1, X2 = 5/6, 5

METODE SIMPLEK Metode ini digunakan untuk mencari nilai optimal dari program linier dan sangat

bermanfaat terutama untuk mencari nilai optimal 2 variabel atau lebih. Adapun kententuan dari penggunaan table simplek ini adalah :

1. Fungsi tujuan harus dalam bentuk inplisit 2. Fungsi – fungsi batasan menggunakan notasi ≤3. Fungsi Batasan harus diubah dari ≤ ke bentuk “ = “ dengan menambahkan slack

variable yang dimulai X n + 1, X n + 2 ……. X n + m

4. Proses pengulangan dihentikan manakala koefisien – koefisien dari fungsi tujuan sudah tidak ada yang negative

Adapun bentuk table simpleks adalah :

Slack Variabel Nilai Kanan (NK)Variabel Dasar (VD) Z X1 X2 …. Xn Xn + 1 Xn + 2 ….. Xn+m

ZXn + 1

Xn + 2

.

.

.

Xn+m

1

00

0

-C11 -C22

a11 a12

a21 a22

am1 am2

-Cn 0 0 0

an 1 0 ………. 0

a2n 0 1 ………. 0

amn 0 0 ………. 1

0

b1

b2

bm

Dimana : M = Banyaknya fungsi BatasanN = Banyaknya variable OuputB1 = Batasan sumber 1B2 = Batasan sumber 2Bm = batasan sumber m

Suatu perusahaan sepatu ingin membuat dua jenis produk sepatu yaitu sepatu yang terbuat dari sol karet dan sol kulit. Produksi tersebut melalui tahap – tahap produksi sebagai berikut :

Machinery I

Raw Material Machinery III (fishing Good )

Machinery IIDimana : Sepatu dari sol karet memerlukan waktu : 2 hour in Machinary I6 hour in machinery III

Sepatu Sol kulit membutuhkan : 3 hour in Machinary II5 hour in machinery III

Jika waktu maksimum bekerja : - Machinery I 8 Hour- Machinery II 15 Hour- Machinery III 30 Hour

Hitunglah jumlah masing-masing produk agar diperoleh keuntungan maximum. Dimana - Keuntungan kulit sepatu sol karet : 300- Keuntungan kulit sepatu sol kulit : 500

Untuk menyelesaikan kasus tersebut maka dibuatlah tabel – tabel sebagai berikut :

Source (Machinery)

Sol Karet (X1) Sol Kulit (X2) Capasity

I 2 0 8II 0 3 15III 6 5 30

Profit 300 500

Frofit : Diambil satu angka dibelakang koma 3 dan 5 (Ratusan)

-Fungsi Tujuan = Z = 3x1 + 5 x2 Z - 3x1 - 5 x2 = 0

Persamaan Linier (Bentuk Grafik) Bentuk Standar SimpleksBatasan 1 : 2x1 + 0 8 2x1 + X3 = 8Batasan 2 : 0 + 3x2 15 3x2 + X4 = 15Batasan 3 : 6x1 + 5x2 30 6x1 + 5x2 + X5 = 30

Slack Variabel Nilai Kanan (NK)Variabel Dasar (VD) Z X1 X2 X3 X4 X5 Index

ZX3X4X5

1000

-3 -5 2 0 0 3 6 5

0 0 01 0 00 1 00 0 1

081530

0056

Langkah Selanjutnya : 1. Cari kolom kunci yang nilainya paling kecil (Negatif)

2. Tentukan Indek dari table tersebut :

Nilai Kanan (NK)Cara menentukan indek :

Kolom Kunci (KK)

3. Cari Baris kunci yang paling kecil dari indeks4. Cari Nilai Elemen Cell adalah Perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci5. Buatlah baris kunci baru

Baris Kunci Baru : Baris Kunci Lama Elemen Cell

X2 = 0 3 0 1 0 15 3

Baris Kunci Baru (X2) : 0 1 0 1/3 0 5

-3 -5 0 0 0 0Baris Z Baru = - 5 ( 0 1 0 1/3 0 5 ) _

= -3 -5 0 0 0 0 0 -5 0 5/3 0 25 --3 0 0 5/3 0 25

2 0 1 0 0 8Baris X3 Baru (X3) = 0 ( 0 1 0 1/3 0 5 ) _

= 2 0 1 0 0 8 0 0 0 0 0 0 - 2 0 1 0 0 8

6 5 0 0 1 30Baris X 5 Baru (X5) = 5(0 1 0 1/3 0 5

= 6 5 0 0 1 300 5 0 5/3 0 25-6 0 0 -5/3 1 5

Tabel 2Slack Variabel Nilai Kanan (NK)

Variabel Dasar (VD) Z X1 X2 X3 X4 X5 IndexZ

X3X2X5

1000

-3 0 2 0 0 1 6 0

0 5/3 01 0 00 1/3 00 -5/3 1

25855

- 8 3/44~

5/6

Baris Kunci Baru = Baris Kunci Lama Elemen Cell

= 0 6 0 0 -5/3 1 5 6

Baris Kunci Baru (X1) = 1 0 0 - 5/18 1/6 5/6

-3 0 0 5/3 0 25Baris Z” Baru = - 3( 1 0 0 -5/18 1/6 5/6 ) _

= -3 0 0 5/3 0 25 3 0 0 15/18 -3/6 -15/6-

0 0 0 5/6 1/2 27 1/2

2 0 1 0 0 8Baris X3” Baru (X3”) = 2 ( 1 0 0 -5/18 1/6 5/6 ) _

0 0 1 5/9 1/3 6 1/3

0 1 0 1/3 0 5Baris X2” Baru (X2”) = 0 ( 1 0 0 -5/18 1/6 5/6 ) _

0 1 0 1/3 0 5

Tabel 3Slack Variabel Nilai Kanan (NK)

Variabel Dasar (VD) Z X1 X2 X3 X4 X5 IndexZ

X3X2X1

1000

0 0 0 0 0 1 1 0

0 5/6 1/21 5/9 -1/30 1/3 00 -5/18 1/6

27 1/26 1/3

55/6

ANALISIS SENSITEVITAS

Adalah suatu analisa (post optimally) yang dilakukan setelah table simplek mencapai harga optimalnya. Sehingga dengan menggunakan metode “Sensitivitas” ini maka perubahan – perubahan yang terjadi pada salah satu variable dapat dilakukan secara langsung, tanpa pengulangan dari kondisi awalnya. Analisa sensitivitas ini dapat digunakan bila dilakukan perubahan terhadap :

Batas nilai kanan / sumber diperbesar diperkecilContoh : 2x1 ≤ 8

3x2 ≤ 15

Adanya batasan sumber baru Adanya variable baru

Perhatikan table optimal dari kasus yang lalu :

Variabel Dasar

Z X1 X2Slack Variabel Nilai Kanan

(Solusi)X3 X4 X5

ZX3X2X1

1000

0001

0010

0100

500/65/91/3

-5/18

50-1/3

01/6

27506 1/3

55/6

Matrik starting solution adalah adalah matrik bujur sangkar dari variable dasar dan slack variable tanpa baris fungsi tujuan.

Yang diberi lingkaran pada Variabel dasar dan slack variable disebut dengan Matrik Starting Solution.

Pada soal Fungsi Tujuan Z = 300X1 + 500X2Urutan variable dasar pada table optimal tanpa (Z) adalah X3, X2, X1 = 0, 500, 300

1 5/9 -1/3

Bila = (0,500,300) 0 1/3 0

0 -5/18 1/6

= 0(1) + 500(0) + 300(0), 0(5/9) + 500(1/3) + 300(-5/18), 0(-1/3) + 500(0) + 300(1/6)

= 0, 500/6, 50 Koofisien Fungsi Tujuan

Manfaat Sensitivitas

1. Mengecek apakah koefisien slack variable dari fungsi tujuan yang optimal sudah

benar

2. Mengecek koefisien kolom (X1) table optimal tanpa koefisien fungsi tujuan

1 5/9 -1/3 2 2X1 ≤ 8

X1 = 0 1/3 0 0 3X2 ≤ 15

0 -5/18 1/6 6 6X1 + 5X2 ≤ 30

= 1(2) + 5/9(0) + -1/3(6), 0(2) + 1/3(0) + 0(6), 0(2) + -5/18(0) + 1/6(6)

0

= 0 X1 (Optimal)

1

Dan Koefisien Kolom X2 adalah :

1 5/9 -1/3 0 2X1 ≤ 8

X2 = 0 1/3 0 3 3X2 ≤ 15

0 -5/18 1/6 5 6X1 + 5X2 ≤ 30

= 1(0) + 5/9(3) + -1/3(5), 0(0) + 1/3(3) + 0(5), 0(0) + -15/8(3) + 1/6(5)

0

= 1 X2 (Optimal)

0

3. Menghitung Nilai Optimal Baru

Setelah ada nilai kanan dari fungsi batasan yang dirubah :

2X1 ≤ 8 Fungsi Batasan di Rubah 2X1 ≤ 103X2 ≤ 15 6X1 + 5X2 ≤ 30

Sehingga Nilai Optimal yang baru :

1 5/9 -1/3 10

0 1/3 0 15

0 -5/18 1/6 30

= 1(10) + 5/9(15) + -1/3(30), 0(10) + 1/3(15) + 0(30), 0(10) + -15/8(15) + 1/6(30)

8 1/3

= 5

5/6

PENUGASAN

Tujuan dari Metode Penugasan adalah bagaimana menempatkan tenaga ahli pada bidang yang telah ditentukan agar biaya lebih meinimum. Penempatan karyawan tidak boleh asal dilakukan saja, sebab kalau cara penempatannya berbeda akan membawa konsekuensi hasil atau pengorbanan yang berbeda pula. Karyawan yang kita alokasikan secara optimal, artinya kalau memakan biaya / pengorbanan kita usahakan sekecil-kecilnya dan menghasilkan manfaat kita usahakan sebesar-besarnya. Cara pengalokasian karyawan dapat dilakukan dengam menggunakan algoritma. Biasanya yang digunakan sebagai ukuran untuk menentukan efisiensi dan tidaknya adalah uang. Metode algoritma yang digunakan disini sering juga disebut sebagai Hungarian Methode. Algoritma dalam penyelesaian Penugasan ada dua cara :

A. Algoritma dengan Tujuan Meminimumkan B. Algoritma dengan Tujuan Memaksimalkan

A. Algoritma dengan Tujuan Meminimumkan Dalam model ini tujuan kita meminimumkan pengorbanan biasanya dalam bentuk biaya untuk menyelesaikan suatu pekerjaan oleh seorang karyawan. Dalam penempatan karyawan yang paling cocok adalah satu pekerjaan ditangani satu orang karyawan.

Contoh : Suatu Penugasan memiliki 4 orang karyawan yang akan ditugaskan untuk menyelesaikan 4 macam tugas. Satu karyawan harus mengerjakan satu macam pekerjaan. Dan biaya penyelesaikan pekerjaan itu oleh tiap karyawan seperti terlihat pada table berikut :

Untuk melakukan alokasi penugasan karyawan yang optimal dengan langkah-langkah sebagai berikut : 1. Membuat Tabel Opportunity Cost dengan mengurangi elemen tiap baris dengan

elemen terkecil dari baris itu. Sehingga Menghasilkan Tabel berikut :

Pekerja Karywan I II III IVDalam Rupiah

ABCD

20151025

28132120

25132023

24113020

Pekerja Karywan

I II III IVDalam Rupiah

ABCD

0405

82110

52103

40200

2. Membuat Total Opportunity Cost Matrik - Dari Tabel Opportunity Cost disetiap kolom harus memiliki paling sedikit 1

elemen benilai nol. - Ternyata pada kolom ketiga belum ada elemen bernilai nol, maka harus kita

dibuat agar memiliki nilai nol dengan cara : Mengurangi elemen pada kolom tersebut dengan nilai paling kecil di kolom tersebut. Setelah semua memiliki nilai nol disetiap kolom, maka diperoleh table Total Opportunity Cost Matrix sebagai berikut :

3. Menarik Garis untuk meliput angka nol Setelah semua baris dari kolom memiliki angka nol, maka tariklah garis seminimum mungkin, baik vertical maupun horizontal yang bisa menghubungkan angka nol.

Apakah penugasan sudah optimal? Belum optimal karena jumlah garis yang dibuat itu masih lebih kecil dibanding dengan jumlah baris atau kolom yang belum terliput garis.

Untuk merubah table diatas dilakukan langkah sebagai berikut : Pilih angka terkecil diantara semua angka yang belum terliput dengan garis

dan kurangkan semua angka yang belum terliput garis dengan angka terkecil tersebut.

Angka yang terliput dengan garis vertical dan horizontal, tambahkan dengan angka terkecil yang belum terliput dengan garis, sehingga menghasilkan table Perubahan Total Opportunity Cost Matrix sebagai berikut :

Pekerja Karywan

I II III IVDalam Rupiah

ABCD

0405

82110

3081

40200

Pekerja Karywan

I II III IVDalam Rupiah

ABCD

0405

82110

3081

40200

Pekerja Karywan

I II III IVDalam Rupiah

ABCD

0708

5280

0051

40170

Tabel diatas sudah optimal, karena garis yang dibuat sudah 4 garis, sama dengan jumlah baris atau jumlah kolom. Setelah itu letakkan karyawan pada salah satu pekerjaan yang nilainya pada Total Opportunity Cost = 0 (Cari Biaya Terendah) tiap kolom atau baris, dan satu pekerjaan bisa diisi oleh satu orang saja dan tambahkan semua biaya agar diperoleh biaya keseluruhan sebagai berikut :

Karyawan Tugas yang ditempati Biaya yang dikeluarkanA III Rp. 25B IV Rp. 11C I Rp. 10.D II Rp. 20

Jumlah Rp. 66

Biaya yang tercantum pada kolom ke 3 merupakan biaya yang diambil dari Tabel Biaya Awal Penugasan. Jumlah biaya Rp. 66 merupakan biaya termurah dibanding dengan semua alternative lain.

B. Algoritma dengan Tujuan Memaksimalkan Dalam model ini tujuan kita Memaksimalkan keuntungan, bila kita menganggap bahwa pekerjaan dalam menempatkan karyawan menguntungkan bagi karyawan.

Dalam penempatan karyawan yang paling cocok adalah satu pekerjaan ditangani satu orang karyawan.

Contoh : Suatu Penugasan memiliki 4 orang karyawan yang akan ditugaskan untuk menyelesaikan 4 macam tugas. Satu karyawan harus mengerjakan satu macam pekerjaan. Dan biaya penyelesaikan pekerjaan itu oleh tiap karyawan seperti terlihat pada table berikut :

Untuk melakukan alokasi penugasan karyawan yang optimal dengan yang menguntungkan perusahaan maka langkah-langkah penugasan sebagai berikut :1. Membuat Tabel Opportunity Loss Matrik dengan mencari elemen terbesar dibaris

itu dan mengurangkan dengan nilai elemen tiap baris.. Sehingga Menghasilkan Tabel berikut :

2. Membuat Total Opportunity Loss Matrik - Dari Tabel Opportunity Loss Matrik disetiap kolom harus memiliki paling

sedikit 1 elemen benilai nol (Langkah sama dengan algoritma meminimumkan)

- Ternyata pada kolom ketiga belum ada elemen bernilai nol, maka harus kita dibuat agar memiliki nilai nol dengan cara : Mengurangi elemen pada kolom tersebut dengan nilai paling kecil di kolom tersebut. Setelah semua memiliki nilai nol disetiap kolom, maka diperoleh table Total Opportunity Loss Matrix sebagai berikut :

Pekerja Karywan I II III IVDalam Rupiah

ABCD

20281626

24201830

20181416

16301632

Pekerja Karywan

I II III IVDalam Rupiah

ABCD

4226

01002

412416

8020

Pekerja Karywan

I II III IVDalam Rupiah

ABCD

4226

01002

08012

8020

3. Menarik Garis untuk meliput angka nol Setelah semua baris dari kolom memiliki angka nol, maka tariklah garis seminimum mungkin, baik vertical maupun horizontal yang bisa menghubungkan angka nol.

Apakah penugasan sudah optimal? Belum optimal karena jumlah garis yang dibuat itu masih lebih kecil dibanding dengan jumlah baris atau kolom yang belum terliput garis.

Untuk merubah table diatas dilakukan langkah sebagai berikut : Pilih angka terkecil diantara semua angka yang belum terliput dengan garis

dan kurangkan semua angka yang belum terliput garis dengan angka terkecil tersebut.

Angka yang terliput dengan garis vertical dan horizontal, tambahkan dengan angka terkecil yang belum terliput dengan garis, sehingga menghasilkan table Perubahan Total Opportunity Cost Matrix sebagai berikut :

Tabel diatas sudah optimal, karena garis yang dibuat sudah 4 garis, sama dengan jumlah baris atau jumlah kolom. Setelah itu letakkan karyawan pada salah satu pekerjaan yang nilainya pada Total Opportunity Cost = 0 (Cari Biaya Terendah) tiap kolom atau baris, dan satu pekerjaan bisa diisi oleh satu orang saja dan tambahkan semua biaya agar diperoleh biaya keseluruhan sebagai berikut :

Karyawan Tugas yang ditempati Biaya yang dikeluarkanA II Rp. 24B I Rp. 28C III Rp. 14D IV Rp. 32

Jumlah Rp.96

Pekerja Karywan

I II III IVDalam Rupiah

ABCD

4226

01002

08012

8020

Pekerja Karywan

I II III IVDalam Rupiah

ABCD

4024

0800

06010

10040

Biaya yang tercantum pada kolom ke 3 merupakan biaya yang diambil dari Tabel Biaya Awal Penugasan. Jumlah biaya Rp. 96 merupakan biaya termurah dibanding dengan semua alternative lain.

MODEL TRANSPORTASI Terdapat bermacam – macam model jaringan (network model). Suatu jaringan adalah suatu system garis – garis atau saluran – saluran yang menghubungkan titik – titik yang berlainan. Beberapa contoh jaringan adalah :

- Jaringan rel kereta api - System saluran pipa - Jaringan jalan raya

- Jaringan penerbangan. Misalkan dalam suatu system saluran pipa dapat di kirim air, minyak atau gas dari sumber menuju langganan yang meminta.

DEFINISI DAN APLIKASI MODEL TRANSPORTASI Pada umumnya masalah transportasi berhubungan dengan distribusi suatu produk tunggal dari beberapa sumber, dengan penawaran terbatas, menuju beberapa tujuan dengan permintaan tertentu, pada biaya traspor minimum, karena hanya ada satu macam barang, suatu tujuan dapat memenuhi permintaannya dari satu atau lebih sumber.

Contoh model transportasi sebagai berikut : Misalkan suatu produk yang dihasilkan pada tiga pabrik (sumber) harus didistribusikan ke tiga gudang (tujuan) seperti berikut :

Sumber (Pabrik) Tujuan (Gudang)

Cirebon Semarang

Bandung Jakarta

Cilacap Purwokerto

MASALAH TRANSPORTASI SEIMBANG

Contoh masalah transportasi yang mana jumlah supply dari semua sumber sama dengan jumlah permintaan pada semua tempat tujuan.

Sebuah perusahaan Negara berkepentingan mengangkut pupuk dari tiga pabrik ke tiga pasar. Kapasitas supply ketiga pabrik, permintaan pada ketiga pasar dan biaya transport per unit adalah sebagai berikut :

Pasar Penawaran1 2 3

Pabrik1 8 5 6 1202 15 10 12 803 3 9 10 80

Permintaan 150 70 60 280

Masalah transportasi diatas dapat gambarkan sebagai suatu model jaringan :

Sumber Vulome yang diangkut Tujuan (Gudang)

S1 = 120 D1 = 150

S2 = 80 D2 = 70

S3 = 80 D3 = 60

Masalah ini dapat juga dilihat dalam LP misalkan : Xij : banyaknya unit barang yang di kirim dari pabrik I (I = 1,2,3) ke pasar j (j = 1,2,3)

Dengan fungsi Tujuan : Z= 8X11 + 5X12 + 6X13 + 15X21 + 10X22 + 12X23 + 3X31 + 9x32 + 10X33 Dengan batasan : X11 + X12 + x13 = 120X21 + X22 + X23 = 80X31 + X32 + X33 = 80 X11 + X21 + X31 = 150X12 + X22 + X32 = 70X13 + X23 + X33 = 60

TABEL TRANSPORTASI

Masalah transportasi yang khas dapat ditempatkan dalam suatu bentuk table khusus yang dinamakan table transportasi.

1

2

3

2

1

3

ke

DariTujuan

Supply

1 2 …….. j …….. n

1X11 X12

…….. ……..X1n

S1

2 X21 X22 …….. X21 …….. X2n S2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

i …….. 30 …….. S1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

mXm1 Xm2

……..Xm1

…….. Sn

Demand D1 D2 …….. Dj …….. Dn Si = Dj

Sumber ditulis dalam baris-baris dan tujuan dalam kolom – kolom. Biaya transfer per unit (Cij) di catat pada kotak kecil. Permintaan dari setiap tujuan terdapat pada baris paling bawah, sementara penawaran setiap sumber dicatat pada kolom paling kanan. Dan kotak pojok kanan bawah menunjukkan kenyataan bahwa penawaran sama dengan permintaan. Variabel Xij menunjukkan jumlah barang yang diangkut dari sumber I ke tujuan j (yang akan dicari).

Berikut solusi penyelesaian masalah transportasi, yang dimulai dari mencari sulusi awal (dasar). Ada tiga metode dalam penyelesaian sulusi awal :

1. North West Corner 2. Least Cost3. Apromasi Vogel

Ada beberapa cara menentukan solusi optimum 1. Metode Stepping Stone

C11

C21

Ci1

C12

C22

Ci2

C11

10

Cij

C1n

Cin

Cm1 Cm1 CmnCm2

2. Metode Modified Distribution (MODI)3. Masalah Transportasi Tak Seimbang4. Degenerasi5. Solusi Optimum Ganda6. Rute Terlarang

METODE NORTH WEST CORNER (Mencari Solusi Awal)

1. Mulai pada pojok barat laut table dan alokasikan sebanyak mungkin pada X11 tanpa menyimpang dari kendala penawaran atau permintaan (artinya X11 di tetapkan sama dengan yang terkecil diantara nilai S1 dan D1.

2. ini Akan menghabiskan penawaran pada sumber 1 dan atau permintaan pada tujuan 1. Akibatanya, tak ada lagi barang yang dapat dialokasikan ke kolom atau baris yang telah dihabiskan dan kemudian baris atau kolom itu dihilangkan. Kemudian alokasikan sebanyak mungkin ke kotak di dekatnya pada baris atau kolom yang tak dihilangkan. Jika baik kolom maupun baris telah dihabiskan, pindahlah secara diagonal ke kotak berikutnya.

3. Lanjutkan dengan cara yang sama sampai semua penawaran telah dihabiskan dan keperluan permintaan telah di penuhi.

ke

Dari

1 2 3 Supply

1 120 120

2 30 50 80

3 20 60 80

Demand 150 70 60 280

STEPPING STONE

Suatu metode / teknik dalam masalah transportasi untuk mencari optimal solution (least Cost ) dengan cara trial dan error dari kolom – kolom yang masing-masing kosong yang memiliki biaya yang rendah pada contoh :

ke

Dari

X Y Z

A 25 15 4050 15 20

8

15

3

5

10

9

6

12

10

B XBX 25 5 30

C 30 30

Demand 25 40 35

Alokasi Barang ini memiliki total cost (TC)

TC = 25 (50) + 15 (15) + 25 (20) + 30 (35) = 3070Kondisi ini Total Costnya dapat ditekan dengan Stepping Stone :

Caranya : - Cari kotak- kotak yang belum terisi dengan biaya yang lebih rendah - Hubungkan kotak-kotak kosong tersebut dengan ketiga kota lain yang

sudah terisi yanag membentuk segi empat. - Isikan kotak kosong tadi (Langkah I) dengan memindahkan barang

tetangga terdekat.Samping kiri - kanan Samping atas – bawah

- Dengan kwantitas terkecil / biayanya terbesar kalau kuantitasnya ada yang sama.

ada Contoh diatas kotak XBX dengan biaya 30 akan diisikan dengan tetangga terdekat.

ke

Dari

X Y Z

A 0 40 40

B 25 0 5 30

C 30 30

Demand 25 40 35

30

30

20

40

10

35

50

30

30

15

20

40

20

10

35

TC = 25 (30) + 40 (15) + 15 (10) + 30 (35) = 2450

Metode VAM (Vogel Aprosimasi Metode)

Metode ini sudah lebih akurat disbanding dengan metode terdahulu (Stepping Stone) Adapun langkah-langkahnya :

1. Buatlah table / bagan kebutuhan VS kapasitas pada soal yang lalu. Pada soal yang lalu :

Sumber K L M Kapasitas Produksi

Index Baris

A 15 20 10 40 5B 10 15 25 60 5C 20 30 40 50 10Kebutuhan 30 45 75 Xam

Index Kolom 5 5 15

2. Buat selisih dua harga terkecil dan terkecil kedua untuk setiap baris dan kolom Baris A : 15 – 10 = 5 Baris B : 15 – 10 = 5Baris C : 30 – 20 = 10

Kolom K : 15 – 10 = 5 Kolom L : 20 – 15 = 5 Kolom M : 25 – 15 = 15

3. Cari nilai terbesar dari nilai – nilai pada langkah – langkah 2 4. Karna nilai terbesar adalah 15 pada kolom 3 maka cari biaya terkecil dari nilai

pada kolom ke 3 dan diberi kotak biaya terkecilnya Biaya terkecilnya adalah 10 kapasitas : 40

Kebutuhan : 75

5. Hapus Baris A karena sudah terpakai habis

Sumber K L M Kapasitas IndexB 10 15 25 60 5C 20 30 40 50 10

Kebutuhan 30 45 35 Xbl = 4510 15 25

6. Ulangi Langkah 2 denga melihat table di atas Baris B = 15 – 10 = 5

Baris C = 30 – 20 = 10 Kolom K = 20 – 10 = 10 Kolom L = 30 – 15 = 15 Kolom M = 40 – 25 = 15

7. Index terbesar adalah 15 pada kolom L & M Karena index sama maka cari yang biaya terkecil Kolom L

8. Biaya = 15 menghubungkan kapasitas 60 Cari yang terkecil untuk dialokasikan

Kebutuhan 459. Hapus Baris B (Karna sudah habis terpakai )

Sehingga :

K M Kapasitas IndexB 10 25 15 15C 20 40 50 20

30 35 Xck = 30

Baris B = 25 – 10 = 15 Baris C = 40 – 20 = 20 Index terbesar maka biaya terkecil adalah 20 yang menghubungkan menghubungkan kapasitas 50 Cari yang terkecil untuk dialokasikan

Kebutuhan 30

M kapasitasB 25 15C 40 20

XBM = 15XCM = 20

Hapus kolom K

TC = 40 (10) + 45 (15) + 30 (20) + 15 (25) + 20 (40)= 2850

Proses VAM dapat diringkas sebagai berikut : 1. Hitung Opportunity Cost untuk setiap baris dan kolom. Opportunity cost untuk

setiap baris I dihitung dengan mengurangkan nilai cij terkecil pada baris itu dari nilai cij satu tingkat lebih besar pada baris yang sama. Opportunity cost kolom diperoleh dengan cara serupa.

2. Pilih baris atau kolom dengan opportunity cost terbesar (jika terdapat nilai kembar pilih secara sembarang). Alokasikan sebanyak mungkin ke kotak dengan nilai cij minimum (biaya paling kecil) pada baris atau kolom yang dipilih. Untuk Cij terkecil. Xij = Minimum [Si,Dj).

3. Sesuaikan penawaran dan permintaan untuk menunjukkan alokasi yang sudah dilakukan. Hilangkan semua baris dan kolom dimana penawaran dan permintaan telah habis.

4. Jika semua penawaran dan permintaan belum dipenuhi, kembali ke langkah 1 dan hitung lagi opportunity cost yang baru.

METODE MODI ( MODIFIED DISTRIBUTION )

Metode ini adalah mirip dengan stepping stone hanya saja dalam mencari biaya minimal menggunakan cara yang lebih pasti.

Perbaikan Contoh berikut :

A = 20 B = 5 C = 14 KapasitasW = 0

50 40 90

H = 1560 60

P = 510 50

Kebutuhan 50 110 40 200

LAngkah penyelesaian MODI 1. LAkukan pengisian awal (Nort West Corner)2. Memberi bobot dari setiap baris dan setiap kolom.

Ri + Kj = Cij ( Pada kotak-kotak yang terisi)

Ri = Index BarisKj = Index Kolom Cij = Biaya di angkut atau satuan barang dari I ke j

3. Menentukan index perbaikan dengan mengikuti Cij – Ri – Kj (Pada kotak-kotak yang masih kosong)

4. Menentukan titik awal perubahan - Bahwa perubahan dilakukan bila masih ada index perbaikan yang negative - Bila ada beberapa index perbaikan yang negative maka titik awal

perubahan di mulai pada perbaikan yang paling negative 5. Hitung TC untuk masing-masing perubahan dan perubahan berhenti bila tidak ada

index perbaikan yang negative

Pada contoh tersebut maka : Langkah 2 RW + KA = CWA atau 0 + KA = 20 KA = 20 RW + KB = CWB atau 0 + KB = 5 KB = 5 RH + KB = CHB atau RH + 5 = 20 RH = 15 RP + KB = CPB atau Rp + 5 = 10 RP = 5RP + KC = CPC atau 5 + KC = 19 KC = 14

TC = 50 (20) + 40 (5) + 60 (20) + 10 (10) + 40 (19)= 3260

Langkah 3

20

15

5 8

20

25

10

10

19

Kotak Kosong Cij – Ri – Kj Nilai 1 Perbaikan HA 15 - 15 – 20 - 20 PA 25 - 5 – 20 0 WC 8 - 0 - 14 - 6HC 10 - 15 - 14 -19

Langkah 4 memulai pengisian kotak HA

A = 0 B = 5 C = 14 Kapasitas

W = 0 90 90

H = 15 50 10 60

P = 5 10 40 50

Kebutuhan 50 110 40 200

TC 2 = 90 (5) + 50(15 + 10 (20) + 10(10) + 40(19) = 2260

Index perbaikan Cij – Ri – Kj hanya untuk kotak yang kosong

Kotak Cij – Ri – Kj Index Perbaikan WA 20 – 0 – 0 20 WC 8 – 0 – 14 -6HC 10 – 15 – 14 - 19PA 25 – 5 – 0 20

Titik awal perbaikan dimulai pada kotak HC dimana kotak HC memiliki tetangga terdekat (membentuk segi empat dengan tiga kotak laiinya yang terisi.

TC = 90 (5) + 50(15) + 10(10) + 20(10) + 30(19) = 2070

1. Karena index perbaikan masih ada yang negative maka :

A = 0 B = 5 C = 14 Kapasitas

W = 0 90 90

20

15

5 8

20

25

10

10

19

20 5 8

20

H = 15 50 10 60

P = 5 10 40 50

Kebutuhan 50 110 40 200

2. Penentuan index baris dan kolom yang baru

Ri + Kj = Cij hanya untuk kotak yang terisi

RW + KB = 5 0 + KB = 5 KB = 5RP + KC = 19 5 + KC = 19 KC = 14 RH + KC = 10 10 + 14 = -4 RH + KA = 15 -4 + KA = 15 KA = 19

3. Index Perbaikan Kotak Cij – Ri – Kj Index Perbaikan WA 20 – 0 – 0 20 WC 8 – 0 – 14 -6HB 20 – 15 – 5 0PA 25 – 5 – 0 20

A = 19 B = 5 C = 14 Kapasitas

W = 0 6030

90

H = -4 50 10 60

P = 5 50 50

Kebutuhan 50 110 40 200

TC = 60 (5) + 30(8) + 50(15) + 10(10) + 50(10)= 1890

1. Karena masih ada yang negative – 6 maka : RW = 0

15

25

10

10

19

20

15

5 8

20

25

1010

19

2. Tentukan lagi index baris dan kolom baruRi + kj = Cij

RW + KB = 5 0 + KB = 5 KB = 5 Rp + KB = 10 Rp + 5 = 10 KB = 5 RW + KC = 8 0 + Kc = 8 KC = 8 RH + KC = 10 RH + 8 = 10 RH = 2 RH + KA = 15 2 + KA = 15 KA = 13

3. Kotak Cij – Ri – Kj Index Perbaikan WA 20 – 0 – 19 1HB 20 – (-4) – 5 19PA 25 – 5 – 19 1PC 19 – 5 – 14 0

PEMBUATAN JARINGAN KERJA

Untuk memudahkan perencanaan suatu Proyek biasanya dalam analisis ini dibantu dengan menggunakan diagram network. Diagram network atau sering disebut dengan diagram jaringan kerja adalah suatu diagram yang menunjukkan hubungan antara kegiatan satu dengan kegiatan yang lain dalam suatu proyek.

MODEL JARINGAN CPMModel jaringan CPM tersusun atas dua komponen utama, yaitu titik-titik (nokhta/Lingkaran) dan garis-garis (cabang(anak/Panah). Garis menunjukkan jenis kegiatan dari suatu proyek, sementara titik menunjukkan awal atau akhir suatu kegaitan, atau biasa dinamakan events.

Berikut contoh sederhana model jaringan pembangunan sebuah rumah. Jaringan ini terdiri dari tiga kegiatan : menggambar rumah, mencari dana dan membangun rumah. Kegiatan-kegiatan ini dalam model diwakili dengan anak panah, sementara event ditunjukkan oleh lingkaran. Lingkaran 1 maksudnya awal pengambaran, lingkaran 2 maksudnya akhir penggambaran dan awal pencarian dana.

Dalam analisis CPM, suatu lingkaran tertentu dikatakan terealisasi jika semua kegiatan yang berakhir pada lingkaran itu telah dirampungkan.

Contoh :

Menggambar Rumah Mencari Dana Membangun Rumah

2 bulan 1 bulan 6 bulan

Lingkaran 2 terealisasi pada akhir bulan ke-2. Pada waktu itu, pencarian dana dapat dimulai. Pembangunan rumah dapat dimulai setelah bulan ke 3 berakhir. Pada kasus ini pembagunan rumah dapat dirampungkan paling cepat pada akhir bulan ke 9.

Ada suatu aturan dalam membuat model jaringan CPM yaitu bahwa dua atau lebih kegiatan tak dapat secara serentak berawal dan berakhir pada lingkaran yang sama.

Kegiatan Pendahulu Waktu (Bulan)Menggambar dan cari dana (a)Peletakan pondasi (b1)Pemesanan Bahan (b2)Memilih cat ©Membangun rumah(d)Memilih karpet(e)Penyelesain (f)

-aa

b1, b2b1, b2

cd,e

3 bulan2 bulan 1 bulan1 bulan3 bulan1 bulan1 bulan

Model jaringan yang ditujukkan pada gambar diatas adalah salah karena menyimpang dari aturan. Kesalahannya adalah bahwa bahwa b1 dan b2 muncul dari lingkaran a dan juga berakhir pada lingkaran yang sama, yaitu lingkaran 3.

B1

1 2 3 4

1A d f3 1 3 1

B2 1 1c c

Masalah tersebut dapat diselesaikan dengan memperkenalkan suatu dummy activity. Suatu dummy activity digambarkan dengan anak panah terputus dan disisipkan pada jaringan itu untuk menunjukkan suatu precedende relationship. Suatu dummy tidak memakan waktu dan sumber daya, jadi waktu kegiatan dan biaya sama dengan nol.

b1 2 0 dummy

A d f3 1 3 1

B2 1 1c c

Jalur Keritis (Critical Path )

Sasaran utama analisis CPM adalah menentukan waktu terpendek yang diperlukan untuk menyelesaikan suatu proyek atau menentukan waktu yang diperlukan untuk suatu critical path, yaitu jalur waktu terlama. Jalur adalah rangkaian kegiatan yang menghubungkan kegiatan awal dengan kegiatan akhir suatu proyek secara sinambung.

Jalur Kritis adalah jalur yang jumlah waktu penyelesaian kegiatan – kegiatannya terpanjang. Jalur ini menentukan waktu penyelesaian suatu proyek, artinya tidak bias diselesaikan dalam waktu yang lebih pendek daripada jalur kritis ini.

Contoh : Suatu Proyek memiliki kegiatan seperti yang tercantum dari table berikut :

Kegiatan Kegiatan yang mendahului Waktu setiap kegiatan (hari)A - 5

1 2 3

4

5 6

1 2 3

4

5 6

4

BCDEFGH

--a

a,bc

d,ef,g

3465745

DATA PERT SEBAGAI BERIKUT :

Estimasi probabilitas waktu penyelesaian yang dijadwalkan• Misalnya penyelesaian proyek 23 minggu, kemudian dianggap bahwa proyek tsb

selesai 25 minggu. • Berapa probabilitas proyek dapat diselesaikan pada waktunya (23 minggu) ?• Penggunaan rumus standar normal :

Z = (TD – TE) / σTE dimana : TD = waktu yang ditargetkan penyelesaian proyek TE = waktu yang diharapkan penyelesaian proyek σTE = deviasi standar untuk TE, ini dapat diperoleh dari penjumlahan variance masing-masing kegiatan kritis, kemudian diakar kwadratkan.

• σTE = √∑σ2ET , dan σ2ET = ((b – a)/2)2

dimana : a = waktu optimis b = waktu pesimistik

7 8

6

5

4

3

21A

3

B

6C

5

6

F

0E

4H

4

G

4

I

6.5

DEF=0LF=0

EF=3LF=3

EF=15LF=15

EF=9LF=9

EF=19LF=19

EF=14,5LF=15

EF=8LF=8,5

Awal : EF (earliest finish = paling awal selesai)

Kemudian : LF (latest finish =paling lambat selesai)

Metode Algorithma

5.1. Diagram Network PERT

7 8

6

5

4

3

21A

3

B

6C

5

6

F

0E

4H

4

G

4

I

6.5

D

Jalur kritis : 1-2-4-6-7-8 = 3+6+6+4+4 = 23 minggu

= Peristiwa

= kegiatan

= kegiatan semu

Ke 2 3 4 5 6 7 8EF Dari0 1 33 2 5 6

3 + 5 = 8 3 6.53 + 6 = 9 4 0 6

8 + 6.5 = 14.5 5 49 + 6 = 15 6 4

15 + 4 = 19 7 419 + 4 = 23 8

1 2 3 4 5 6 7 8LF ==> 0 3 8.5 9 15 15 19 23

(Awal)

EF=3 EF=15EF=9EF=0

EF=23

EF=19

Metode Matriks Menentukan jalur kritis, yaitu jalur yang mempunyai EF = LF Dengan metode matriks tsb dapat diperoleh jalur kritis (EF=LF), yaitu :

1, 2 , 4 , 6, 7, 8 = 3+6+6+4+4= 23 minggu

Biaya tambahan untuk mempercepat kegiatan pada jalur kritis harus dibandingkan, sehingga bisa dipilih biaya percepatan yang paling murah,

Jangka waktu percepatan harus memperhitungkan jalur non kritis, sehingga percepatan waktu tsb lebih efektif.

5.1. Diagram Network PERT

12

4

3 6

57 8

3 2

4

4

2

32

3

30.00015.000

20.000

- Jalur kritis : 1-2-3-6-7-8 = 3+2+4+4+2 =15 minggu- Non jalur kritis : 1-2-4-5-7-8= 3+3+2+3+2=13

JARINGAN KEGIATAN PROYEK

A,0 E,1 F,30

H,20

O,20

N,2,0

B,20

A,1 G,20

P,10

I,1

J,40

L,30

Y,0M,7 T,20

X,20

D,20

C,30

W,1

S,1,0

K,6,0

V,30

R,4,0

U,1,0

O,50

NETWORK PLANNING Jalan terpendek : 14 minggu( A,B,E,F,G,H,P,X,Y) Jalan terpanjang ; 32 minggu (A,C,D,E,F,G,M,N,O,S,V,X,Y) = JALUR KRITIS