teknik riset operasi

BAB I PENDAHULUANSejak revolusi industri, dunia usaha mengalami perubahan dalam hal ukuran (besarnya) dan kompleksitas organisasi-organisasi perusahaan. Bagian yang mengalami perubahan yang cukup menyolok adalah perkembangan dalam pembagian kerja dan segmentasi tanggung jawab manajemen dalam organisasi organisasi tersebut. Disisi lain, organisasi-organisasi (perusahaan) pada saat ini harus beroperasi di dalam situasi dan kondisi lingkungan bisnis yang dinamis dan selalu bergejolak, serta siap untuk berubah-ubah. Perubahan-perubahan tersebut terjadi sebagai akibat dari kemajuan teknologi yang begitu pesat ditambah dengan dampak dari beberapa faktor-faktor lingkungan lainnya seperti keadaan ekonomi, politik, sosial dan sebagainya. Perkembangan Kemajuan teknologi tersebut telah menghasilkan dunia komputerisasi. Buah-buah pembangunan telah melahirkan para pimpinan dan pengambilan keputusan, para peneliti, perencana dan pendidik untuk memikirkan serta memcahkan/menganalisis permasalahan, mengambil langkah-langkah dan strategi yang tepat serta target yang sesuai secara sistematis dalam rangka mencapai tujuan yang telah ditentukan, yakni hasil yang memuaskan. Hasil yang memuaskan tersebut adalah hasil yang optimal yang berarti dampak positipnya maksimum dan dampak negatipnya minimum. Pola berpikir, pola analisis dan pemecahan masalah, pola pengambilan langkah-langkah, serta pola penyusunan strategi dan target secara sistematis tersebut, disebut sebagai pola pendekatan ilmiah.

1.1 DefinisiRiset Operasi berasal dari Inggris yang merupakan suatu hasil studi operasi-operasi militer selama Perang Dunia II. Istilah riset operasi pertama kali digunakan pada tahun 1940 oleh Mc Closky dan Trefthen di suatu kota kecil, Bowdsey, Inggris. Kata operasi dapat disefinisikan sebagai tindakan-tindakan yang diterapkan pada beberapa masalah atau hipotesa. Sementara riset dapat didefinisikan sebagai suatu proses yang terorganisasi dalam mencari kebenaran akan masalah atau hipotesa.

Morse dan Kimball Riset Operasi sebagai metode ilmiah (scientific method) yangmemungkinkan para manajer mengambil keputusan mengenai kegiatan yang mereka tangani dengan dasar kuantitatif. Definisi ini kurang tegas karena tidak tercermin perbedaan antara riset operasi dengan disiplin ilmu yang lain. Churchman, Arkoff dan Arnoff Pada tahun 1950-an mengemukakan pengertian riset operasi sebagai aplikasi metodemetode, teknik-teknik dan peralatan-peralatan ilmiah dalam menghadapi masalah masalah yang timbul di dalam operasi perusahaan dengan tujuan ditemukannya pemecahan yang optimum masalah-masalah tersebut.Teknik Riset Operasi Halaman 1

Miller dan M.K. Starr Riset Operasi sebagai peralatan manajemen yang menyatukan ilmu pengetahuan, matematika, dan logika dalam kerangka pemecahan masalah-masalah yang dihadapi sehari-hari, sehingga akhirnya permasalahan tersebut dapat dipecahkan secara optimal. Operational Research Society of Great Britain Riset Operasi adalah penerapan metode-metode ilmiah terhadap masalah-masalah rumit yang muncul dalam pengarahan dan pengelolaan dari suatu sistem besar manusia, mesin, bahan dan uang dalam industri, bisnis, pemerintahan dan pertahanan. Operation Research Society of America Riset operasi berkaitan dengan menentukan pilihan secara ilmiah bagaimana merancang dan menjalankan sistem manusia-mesin secara terbaik, biasanya membutuhkan alokasi sumber daya yang langka. T.L. Saaty Riset operasi adalah seni memberikan jawaban buruk terhadap masalah-masalah, yang jika tidak, memiliki jawaban yang lebih buruk. Hamdi A. Taha Riset operasi adalah pendekatan dalam pengambilan keputusan yang ditandai dengan penggunaan pengetahuan ilmiah melalui usaha kelompok antar disiplin yang bertujuan menentukan penggunaan terbaik sumber daya yang terbatas.

Dari beberapa definisi tersebut diatas dapat disimpulkan bahwa riset operasi berkenaan dengan pengambilan keputusan yang optimal dalam, dan penyusunan model dari sistem-sistem baik yang diterministik maupun probabilistik yang berasal dari kehidupan nyata. Atau dunia pengelolaan atau dunia usaha yang memakai pendekatan ilmiah atau pendekatan sistematis disebut riset operasi (Operations Resech). Tim-tim riset operasi dalam lingkungan dunia bisnis ini menandai kemajuan teknikteknik riset operasi. Sebagai contoh utama adalah metode simpleks untuk pemecahan masalah-masalah linear programming, yang dikembangkan oleh George Dantzig dalam tahun 1947. Disamping itu banyak peralatan-peralatan riset operasi standar, seperti linear programming, dynamic programming, teori antrian dan teori pengendalian persediaan telah dikembangkan sebelum akhir tahun 1950-an.

1.2 Riset Operasi dalam pengambilan keputusanRiset operasi berusaha menetapkan arah tindakan terbaik (optimum) dari sebuah masalah keputusan dibawah pembatasan sumber daya yang terbatas. Istilah riset operasi sering kali diasosiasikan secara eksklusif dengan penggunaan teknik-teknik matematis untuk membuat model dan menganalisi masalah keputusan. Walaupun matematika dan model matematis merupakan inti dari riset operasi, pemecahan masalah tidaklah hanya sekedar pengembangan dan pemecahan model-model matematis. Secara spesifik, masalah keputusan biasanya mencakup factor-faktor penting yang tidak berwujud dan tidak dapat diterjemahkan secaraTeknik Riset Operasi Halaman 2

langsung dalam bentuk model matematis. Sebuah ilustrasi yang baik dari kasus diatas adalah salah satu versi dari masalah elevator yang dikenal luas. Sebagai tanggapan terhadap keluhan para penghuni tentang lambatnya elevator disebuah bangunan perkantoran yang besar, sebuah pemecahan yang didasari oleh analisis teori jalur antrian ditemukan tidak memuaskan. Setelah mempelajari sistem tersebut lebih lanjut, ditemukan bahwa keluhan para penghuni tersebut lebih disebabkan oleh kebosanan, karena pada kenyataannya, waktu menunggu sangat singkat. Sebuah pemecahan diajukan dimana sebuah cermin panjang dipasang ditempat masuk elevator. Keluhan menghilang karena para pengguna elevator asik memandangi diri mereka sendiri dan orang lain sambil menunggu elevator. Ilustrasi elevator ini menggarisbawahi pentingnya memandang aspek matematis dari riset operasi dalam konteks yang lebih luas dari sebuah proses pengambilan keputusan yang unsur-unsurnya tidak dapat diwakili sepenuhnya oleh sebuah model matematis. Sebagai sebuah teknik pemecahan masalah, riset operasi harus dipandang sebagai ilmu dan seni. Aspek ilmu terletak dalam penyediaan teknik-teknik matematis dan algoritma untuk memecahkan masalah keputusan yang tepat. Riset operasi adalah sebuah seni karena keberhasilan dalam semua tahap yang mendahului dan melanjuti pemecahan dari sebuah model matematis sebagian besar bergantung pada kreativitras dan kemampuan pribadi dari mereka yang menganalisis pengambilan keputusan.

1.3 Model Model Riset OperasiModel adalah abstraksi atau penyederhanaan realitas sistem yang kompleks dimana hanya komponen-komponen yang relevan atau faktor-faktor yang dominan dari masalah yang dianalisis diikutsertakan. Ia menunjukan hubungan-hubungan dari aksi dan reaksi dalam pengertian sebab dan akibat. Salah satu alasan pembentukan model adalah untuk menemukan variabel-variabel apa yang penting. Penemuan variabel-variabel yang penting itu berkaitan erat dengan penyelidikan hubungan yang ada diantara variabelvariabel itu. Teknik-teknik kuantitatif seperti statistic dan simulasi digunakan untuk menyelidiki hubungan yang ada diantara banyak variabel dalam suatu model. Model dapat diklasifikasikan dalam banyak cara, misalnya menurut jenisnya, dimensinya, fungsinya, tujuannya, subyeknya, atau derajad abstraksinya. Criteria yang paling biasa adalah jenis model. Jenis dasar itu meliputi: a. Iconic (Physical) Model Iconic model adalah suatu penyajian fisik yang tampak seperti aslinya dari suatu sistem nyata dengan skala yang berbeda. Contoh model ini adalah mainan anakanak, potret, histogram, maket dan lain-lain. b. Analogue Model Model analogue lebih abstrak disbanding model iconic, karena tak kelihatan sama antara model dengan sistem nyata. Contohnya jaringan pipa tempat air mengalir dapat digunakan dengan pengertian yang sama sebagai distribusi aliran listrik. Contoh lain adalah peta dengan bermacam-macam warna merupakan model analog dimana perbedaan warna menunjukan perbedaan cirri, misalnya biru menunjukan air, kuning menunjukan pegunungan, hijau sebagai dataran rendah, dan lain-lain. c. Mathematic (Symbolic) Model Model matematik sifatnya paling abstrak. Model ini menggunakan seperangkat simbol matematik untuk menunjukan komponen-komponen (dan hubungan antarTeknik Riset Operasi Halaman 3

mereka) dari sistem nyata. Namun, sistem nyata tidak selalu dapat diekspresikan dalam rumusan matematik. Model ini dapat dibedakan menjadi deterministic dan probabilistic. Model deterministic dibentuk dalam situasi kepastian (certainty). Model ini memerlukan penyederhanaan-penyederhanaan dari realitas karena kepastian jarang terjadi. Model probabilistic meliputi kasus-kasus dimana diasumsikan ketidakpastian (uncertainty).

1.4 Model Matematik & Pengambilan KeputusanIndentifikasi Masalah

Mengindentifikasi Parameter Masalah Menentukan variable keputusan Menetukan tujuan (objective) Menentukan kendala (consttraints)

Mencari alternative keputusan yang terbaik

Melaksanakan Keputusan

1.5 Langkah-langkah Proses Pembuatan Model Riset Operasia. Identifikasi masalah Identifikasi masalah terdiri dari : Penentuan dan perumusan tujuan yang jelas dari persoalan dalam sistem model yang dihadapi. Identifikasi perubah yang dipakai sebagai kriteria untuk pengambilan keputusan yang dapat dikendalikan maupun yang tidak dapat dikendalikan. Kumpulkan data tentang kendala-kendala yang menjadi syarat ikatan terhadap perubah-perubah dalam fungsi tujuan sistem model yang dipelajari. b. Penyusunan model Penyusunan model terdiri dari : Memilih model yang cocok dan sesuai dengan permasalahannya. Merumuskan segala macam faktor yang terkait di dalam model yang bersangkutan secara simbolik ke dalam rumusan model matematika. Menentukan perubah-perubah beserta kaitankaitannya satu sama lainnya. Tetapkan fungsi tujuan beserta kendala-kendalanya dengan nilai-nilai dan perameter yang jelas.Teknik Riset Operasi Halaman 4

c.

Analisa model. Analisa model terdiri dari tiga hal penting, yaitu : Melakukan analisis terhadap model yang telah disusun dan dipilih. Memilih hasil-hasil analisis yang terbaik (optimal). Melakukan uji kepekaan dan anlisis postoptimal terhadap hasil-hasil terhadap analisis model.

d. Pengesahan model. Analisis pengesahan model menyangkut penilaian terhadap model tersebut dengan cara mencocokannya dengan keadaan dan data yang nyata, juga dalam rangka menguji dan mengesahkan asumsi-asumsi yang membentuk model tersebut secara struktural (yaitu perubahnya, hubungan-hubungan fungisionalnya, dan lain-lain). e. Implementasi hasil. Hasil-hasil yang diperoleh berupa nilai-nilai yang akan dipakai dalam kriteria pengambilan keputusan merupakan hasil-hasil analisis yang kiranya dapat dipakai dalam perumusan keputusan yang kiranya dapat dipakai dalam perumusan strategistrategi, target-target, langkah-langkah kebijakan guna disajikan kepada pengambilan keputusan dalam bentuk alternatif-alternatif pilihan.

Teknik Riset Operasi

Halaman 5

BAB II PROGRAM LINIER METODE GRAFIKLinear programming (program linier) merupakan salah satu teknik penyelesaian riset operasi dalam hal ini adalah khusus menyelesaikan masalah-masalah optimasi (memaksimalkan atau meminimumkan) tetapi hanya terbatas pada masalah-masalah yang dapat diubah menjadi fungsi linier. Demikian pula kendala-kendala yang ada juga berbentuk linier. Persoalan program linier adalah suatu persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variable (variable pengambilan keputusan) sedemikian rupa sehingga nilai funsi tujuan atau objektif (objective function) yang linier menjadi optimum (maksimum atau minimum) dengan memperhatikan pembatasan-pembatasan (kendala-kendala) yang ada yaitu pembatasan ini harus dinyatakan dengan ketidaksamaan yang linier (linear inequalities). Suatu persoalan disebut persoalan program linier apabila memenuhi hal-hal sebagai berikut : Tujuan (objective) Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi tujuan (objective function). Fungsi tujuan tersebut dapat berupa dampak positip, manfaat-manfaat, atau dampak negatip, kerugian-kerugian, resiko-resiko, biayabiaya, jarak, waktu yang ingin diminimumkan. Alternatif perbandingan. Harus ada sesuatu atau alternatif yang ingin diperbandingkan, misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah, atau alternatif padat modal dengan padat karya, proyeksi permintaan tinggi dengan rendah, dan seterusnya. Sumber Daya Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan terbatas. Misalnya keterbatasan tenaga, bahan mentah terbatas, modal terbatas, ruangan untuk menyimpan barang terbatas, dan lain-lain. Pembatasan harus dalam ketidaksamaan linier (linier inequality). Keterbatasan dalam sumber daya tersebut dinamakan sebagai fungsi kendala atau syarat ikatan. Perumusan Kuantitatif. Fungsi tujuan dan kendala tersebut harus dapat dirumuskan secara kuantitatif dalam model matematika. Keterikatan Perubah. Perubah-perubah yang membentuk fungsi tujuan dan fungsi kendala tersebut harus memiliki hubungan keterikatan hubungan keterikatan atau hubungan fungsional.


Halaman 6

2.1.

Masalah MaksimasiMaksimisasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil. Contoh Kasus PT. MayLopliJirep menghasilkan 2 macam produk. Baik produk I maupun produk II setiap unit laku Rp. 3000,-. Kedua produk tersebut dalam proses pembuatannya perlu 3 mesin. Produk I perlu 2 jam mesin A, 2 jam mesin B, dan 4 jam mesin C. Produk II perlu 1 jam mesin A, 3 jam mesin B, dan 3 jam mesin C. Tersedia 3 mesin A yang mampu beroperasi 10 jam per mesin per hari, tersedia 6 mesin B yang mampu beroperasi 10 jam per mesin per hari, dan tersedia 9 mesin C yang mampu beroperasi 8 jam per mesin per hari. Berikan saran kepada pimpinan PT. MayLopliJirep sehingga dapat diperoleh hasil penjualan yang maksimum ! Dan berapa unit produk I dan produk II harus diproduksi ? Penyelesaian Langkah 1 Merumuskan permasalahan Program Linier ke dalam model Matematika Akan diproduksi produk I sejumlah X1 unit dan produk II akan diproduksi sejumlah X2 unit. Fungsi tujuannya adalah : Mamaksimumkan : Z = 3000 X1 + 3000 X2Mesin A Produk 1 Produk 2 Jumlah Mesin Lama Operasi Total waktu operasi 2 Jam 1 Jam 3 Buah 10 Jam per mesin 30 Jam Mesin B 2 Jam 3 Jam 6 Buah 10 Jam per mesin 60 Jam Mesin C 4 jam 3 Jam 9 Buah 8 Jam per mesin 72 Jam Harga jual per unit Rp. 3000,Rp. 3000,Memaksimumkan

-

Lama operasi adalah dalam jam/hari/mesin. Total waktu operasi adalah sama dengan jumlah mesin x lama operasi (dalam jam/hari/tipe mesin). Syarat Ikatan (fungsi Kendala) : 2X1 + X2 30 ...........i) 2X1 + 3X2 60 ..........ii) 4X1 + 3X2 72 .........iii) dan X1 0; X2 0 (Syarat Non Negatif)

Langkah 2 Menggambar fungsi-fungsi kendala sehingga diperoleh daerah penyelesaian (Daerah yang Memenuhi Kendala/Wilayah kelayakan). Titik potong-titik potong dari ketidaksamaan fungsi kendalanya a. Untuk persamaan 2X1 + X2 = 30 .. (i) - titik potong dengan sumbu-X1 jika X2 = 0 : 2X1 + 0 = 30 diperoleh X1 = 15 maka titik potong dengan sumbu-X1 adalah (15,0) - titik potong dengan sumbu-X2 jika X1 = 0 : 0 + X2 = 30 diperoleh X2 = 30 maka titik potong dengan sumbu-X2 adalah (0,30)Teknik Riset Operasi Halaman 7

b. Untuk persamaan 2X1 + 3X2 60 ..........ii) - titik potong dengan sumbu-X1 jika X2 = 0 : 2X1 + 0 = 60 diperoleh X1 = 30 maka titik potong dengan sumbu-X1 adalah (30,0) - titik potong dengan sumbu-X2 jika X1 = 0 : 0 + 3X2 = 60 diperoleh X2 = 20 maka titik potong dengan sumbu-X2 adalah (0,20) c. Untuk persamaan 4X1 + 3X2 72 ..........iii) - titik potong dengan sumbu-X1 jika X2 = 0 : 4X1 + 0 = 72 diperoleh X1 = 18 maka titik potong dengan sumbu-X1 adalah (18,0) - titik potong dengan sumbu-X2 jika X1 = 0 : 0 + 3X2 = 72 diperoleh X2 = 24 maka titik potong dengan sumbu-X2 adalah (0,24) Sehingga jika digambarkan pada Koordinat Cartesius adalah

2X1 + X2 = 30 2X1 + X2 = 30

2X1 + 3X2 = 60 2X1 + 3X2 = 60

4X1 + 3X2 = 72 4X1 + 3X2 = 72 O (0,0)

Daerah Fisibel (Wilayah Kelayakan / Daerah yang Memenuhi Kendala) adalah daerah yang merupakan irisan dari daerah yang memenuhi kendala : - 2X1 + X2 30, - 2X1 + 3X2 60 , - 4X1 + 3X2 72, - X1 0, X2 0 Langkah 3 mencari nilai koordinat untuk titik potong pada daerah fisible Jadi daerah yang memenuhi terletak di dalam daerah yang dibatasi oleh titik titik O(0,0), A(15,0), D(0,20) titik B yaitu titik potong antara garis 2X1 + X2 = 30 dan garis 4X1 + 3X2 = 72 titik C adalah titik potong antara garis 2X1 + 3X2 = 60 dan garis 4X1 + 3X2 = 72Teknik Riset Operasi Halaman 8

Adapun cara menghitung titik B dan C tersebut dengan menggunakan metode Eliminasi dan Substitusi, sebagai berikut : Titik B perpotongan antara garis 2X1 + X2 = 30 dan garis 4X1 + 3X2 = 72, dengan mengeliminasi X1, dapat dihitung : 4X1 + 2X2 = 60 ........i) 4X1 + 3X2 = 72 .....iii) - X2 = - 12 X2 = 12 Untuk X2 = 12 disubstitusikan ke persamaan 2X1 + X2 = 30 sehingga : 2X1 + 12 = 30 X1 = 9 maka titik B adalah (9,12) Titik C perpotongan antara garis 2X1 + 3X2 = 60 dan garis 4X1 + 3X2 = 72, dengan mengeliminasi X2, dapat dihitung : 2X1 + 3X2 = 60 ........ii) 4X1 + 3X2 = 72 ........iii) - 2X1 = - 12 X1 = 6 Untuk X1 = 6 disubstitusikan ke persamaan 2X1 + 3X2 = 60 sehingga : 12 + 3X2 = 60 X2 = 16 maka titik C adalah (6,16) Daerah penyelesaian (Daerah yang Memenuhi Kendala/Wilayah Kelayakan) adalah daerah OABCD yang titik-titik sudutnya adalah : O(0,0), A(15,0), B(9,12), C(6,16), dan D(0,20) Langkah 4 Menghitung nilai fungsi sasaran (Z = 3000 X1 + 3000 X2) di setiap titik sudut titik sudut Daerah yang Memenuhi Kendala di titik O (0,0) di titik A (15,0) di titik B (9,12) di titik C (6,16) di titik D (0,20) Z (0,0) = 3000. (0) + 3000.(0) = 0 Z (15,0) = 3000.(15) + 3000.(0) = 45.000,00 Z (9,12) = 3000.(9) + 3000.(12) = 63.000,00 Z(6,16) = 3000.(6) + 3000.(16) = 66.000,00 Z(0,20) = 3000.(0) + 3000.(20) = 60.000,00

Fungsi Tujuan adalah mencari nilai maksimumnya sehingga nilai yang sesuai adalah terletak pada titik C(6,16) yaitu dengan nilai fungsi tujuannya Rp. 66.000,00 Langkah 6 Mengambil Kesimpulan Sehingga agar diperoleh laba yang maksimum maka Pimpinan PT. MayLopliJirep harus memproduksi Produk I sebanyak 6 unit dan Produk II sebanyak 16 unit, sehingga mendapat laba maksimum sebesar Rp.66.000,00.


Halaman 9

2.2.

Masalah MinimasiMinimisasi dapat berupa meminimumkan biaya produksi. Solusi optimal tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah fisible yang terdekat dengan titik origin. Contoh Kasus Sebuah pabrik obat memproduksi obat merk A dan B. Bahan-bahan dasar yang terkandung dalam tiap mg obat A adalah Paracetamol 2 mg dan Kofein 3 mg, kandungan obat B adalah 4 mg paracetamol dan 1 mg Kofein. Dari obat A dan B hendak dibuat obat C. obat C ini sekurangkurangnya mengandung paracetamol sebanyak 20 mg dan kofein sebanyak 15 mg. Harga tiap mg obat A adalah $10 dan tiap mg obat B adalah $5. Berapakah obat A dan B harus dibeli supaya biaya total pembuatan obat C semurah-murahnya dan berapa biaya yang harus dikeluarkan ?

Penyelesaian Langkah 1 Merumuskan permasalahan Program Linier ke dalam model Matematika Akan dibeli obat A sejumlah X1 mg dan obat B akan diproduksi sejumlah X2 mg. Fungsi tujuannya adalah : Meminimalkan Z = 10 X1 + 5 X2 Obat A 2 mg 3 mg $10 Obat B 4 mg 1 mg $5 Obat C 20 mg 15 mg

Paracetamol Kofein Harga -

Syarat Ikatan (fungsi Kendala) : 2X1 + 4X2 20 ...........i) 3X1 + X2 15 ...........ii) dan X1 0; X2 0 (Syarat Non Negatif)

Langkah 2 Menggambar fungsi-fungsi kendala sehingga diperoleh daerah penyelesaian (Daerah yang Memenuhi Kendala/Wilayah kelayakan). Titik potong-titik potong dari ketidaksamaan fungsi kendalanya a. Untuk persamaan 2X1 + 4X2 20 .. i) - titik potong dengan sumbu-X1 jika X2 = 0 : 2X1 + 0 = 20 diperoleh X1 = 10 maka titik potong dengan sumbu-X1 adalah (10,0) - titik potong dengan sumbu-X2 jika X1 = 0 : 0 + 4X2 = 20 diperoleh X2 = 5 maka titik potong dengan sumbu-X2 adalah (0,5) b. Untuk persamaan 3X1 + X2 15 ..........ii) - titik potong dengan sumbu-X1 jika X2 = 0 : 3X1 + 0 = 15 diperoleh X1 = 5 maka titik potong dengan sumbu-X1 adalah (5,0) - titik potong dengan sumbu-X2 jika X1 = 0 : 0 + X2 = 15 diperoleh X2 = 15 maka titik potong dengan sumbu-X2 adalah (0,15)


Halaman 10

Sehingga jika digambarkan pada Koordinat Cartesius adalah

Daerah Fisibel (Wilayah Kelayakan / Daerah yang Memenuhi Kendala) adalah daerah yang merupakan irisan dari daerah yang memenuhi kendala : - 2X1 + 4X2 20 - 3X1 + X2 15 - X1 0 - X2 0 Langkah 3 mencari nilai koordinat untuk titik potong pada daerah fisible Jadi daerah yang memenuhi terletak di dalam daerah yang dibatasi oleh titik titik A(0,15) dan C(10,0) titik B yaitu titik potong antara garis 2X1 + 4X2 20 dan garis 3X1 + X2 15 Adapun cara menghitung titik B adalah dengan menggunakan metode Eliminasi dan Substitusi, sebagai berikut : - Titik B perpotongan antara garis 2X1 + 4X2 20 dan garis 3X1 + X2 15, dengan mengeliminasi X2, dapat dihitung : 2X1 + 4X2 20........i) 12X1 + 4X2 = 60 ...ii) - 10 X1 = -40 X1 = 4 Untuk X1 = 4 disubstitusikan ke persamaan 3X1 + X2 = 15 sehingga :Teknik Riset Operasi Halaman 11

12 + X2 = 15 X2 = 3 maka titik B adalah (4,3) Daerah penyelesaian (Daerah yang Memenuhi Kendala/Wilayah Kelayakan) adalah daerah ABC yang titik-titik sudutnya adalah : A(0,15), B(4,3) dan C(10,0) Langkah 4 Menghitung nilai fungsi sasaran (Z = 10 X1 + 5 X2) di setiap titik sudut titik sudut Daerah yang Memenuhi Kendala di titik A (0,15) Z (0,15) = 10 (0) + 5 (15) = 75 di titik B (4,3) Z (4,3) = 10 (4) + 5 (3) = 55 di titik C (10,0) Z(10,0) = 10 (10) + 5 (0) =100 Fungsi Tujuan adalah mencari nilai minimum sehingga nilai yang sesuai adalah terletak pada titik B(4,3) yaitu dengan nilai fungsi tujuannya $ 55 Langkah 6 Mengambil Kesimpulan Sehingga agar dikeluarkan biaya pembuatan obat C yang semurah-murahnya pabrik obat tersebut harus membeli 4 mg Obat A dan 3 mg Obat B, sehingga biaya minimum yang dikeluarkan sebesar $ 55


Halaman 12

BAB III PROGRAM LINIER METODE SIMPLEKPermasalahan di dunia nyata terlalu kompleks untuk bisa diselesaikan dengan menggunakan metode grafik, metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan linear program yang memilki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua, maka untuk menyelesaikannya digunakan Metode Simplek yang juga merupakan salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam pemrograman linier. Metode simpleks merupakan sebuah algoritma dalam menyelesaikan permasalahan yang lebih kompleks, Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan cara perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Metode Simplek dikembangkan oleh George Dantzig di akhir tahun 1940-an, penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan. Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks, diantaranya : Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya. Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan atau =). Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif). Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan menjadi persamaan (=). Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas.Teknik Riset Operasi Halaman 13

Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja). Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar. Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya. Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif. Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iiterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol. BENTUK BAKU Sebelum melakukan perhitungan iteratif untuk menentukan solusi optimal, pertama sekali bentuk umum pemrograman linier dirubah ke dalam bentuk baku terlebih dahulu. Bentuk baku dalam metode simpleks tidak hanya mengubah persamaan kendala ke dalam bentuk sama dengan, tetapi setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu variabel basis awal. Variabel basis awal menunjukkan status sumber daya pada kondisi sebelum ada aktivitas yang dilakukan. Dengan kata lain, variabel keputusan semuanya masih bernilai nol. Dengan demikian, meskipun fungsi kendala pada bentuk umum pemrograman linier sudah dalam bentuk persamaan, fungsi kendala tersebut masih harus tetap berubah. Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk baku, yaitu : Fungsi kendala dengan pertidaksamaan dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu variabel slack. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu variabel surplus. Fungsi kendala dengan persamaan dalam benttuk umum,ditambahkan satu artificial variabel (variabel buatan)


Halaman 14

3.1. Masalah MaksimasiContoh Kasus Toko ET-DIAMOND menjual 2 buah jenis batu permata, yaitu Safir dan Ruby yang masingmasing menghasilkan laba bersih sebesar 7 dan 5 dolar. Sebelum dijual kedua permata tersebut harus melalui proses Perbaikan kejernihan atau Clarity enhancement yaitu LASER DRILL (LD) dan FRACTURE FILLED (FF) dimana waktu yang tersedia untuk LASER DRILL (LD) paling banyak 100 jam, sedangkan untuk proses FRACTURE FILLED (FF) maksimal 240 jam. Untuk memproses LASER DRILL (LD) pada batu Safir dibutuhkan waktu 2 jam, untuk ruby dibutuhkan waktu 1 jam. Sedangkan untuk proses FRACTURE FILLED (FF) pada batu safir dibutuhkan waktu 4 jam, sedangkan untuk batu ruby 3 jam. Berapa jumlah batu Safir dan Ruby yang harus dijual dengan waktu yang tersedia supaya keuntungan maksimal Penyelesaian Langkah 1 Merumuskan permasalahan Program Linier ke dalam model Matematika - Akan dijual permata Safir sejumlah X1 dan Ruby sejumlah X2 - Fungsi tujuannya adalah Memaksimumkan Z = 7 X1 + 5 X2Waktu/jam yg diperlukan untuk memproduksi 1 unit SafirLASER DRILL (LD) FRACTURE FILLED (FF)

Proses

Waktu/jam yang tersedia

Ruby

2 4 $7

1 3 $5

100 240

Profit

- Syarat Ikatan (fungsi Kendala) : 2X1 + X2 100 4X1 + 3X2 240 dan X1 0; X2 0 (Syarat Non Negatif) Langkah 2 Merubah bentuk pertidaksamaan pada fungsi kendala ke dalam bentuk persamaan simplek Caranya adalah dengan menambahkan variabel S (slack) sehingga diperoleh persamaan baru sebagai berikut Kendala 2X1 + X2 + S1 = 100 4X1 + 3X2 +S2 = 240 X1 , X2, S1, S2 0Teknik Riset Operasi Halaman 15

Tujuan

Z= 7X1 + 5X2 + 0S1 + 0S2

Langkah 3 Membuat Tabel Inisial (Tabel awal / Tabel iterasi ke 0)Cj Solution Mix S1 S2 Zj Cj - Zj 7 X1 2 4 0 7 5 X2 1 3 0 5 0 S1 1 0 0 0 0 S2 0 1 0 0 Qantity 100 240 0

0 0

Penjelasan cara membuat tabel awal diatas : Pertama, mengisi judul dan variabel pada baris (Cj) Isi baris ini adalah semua variabel yang ada dalam permasalahan ini yaitu : variabel X1, X2, S1, S2 dan Quantity (Q) Solution Mix X1 X2 S1 S2 Quantity Kedua, menentukan isi dari kolom Solution Mix - Yang menjadi variabel dasar adalah variabel baru yaitu S1 dan S2 - Bagian kedua adalah Zj yng merupakan fungsi tujuan - Bagian terakhir adalah Cj-Zj yang menjadi indikator apakah tabel telah mencapai titik optimalSolution Mix

S1 S2 Zj Cj-Zj Ketiga, mengisi kolom pada variabel X1, X2, S1, S2 dengan melihat pada persamaan kendala dari bentuk standar. Intersection baris kolom S1 akan bernilai 1, begitu juga dengan untuk intersection baris kolom S2 akan bernilai 1. Isi dari kolom Quantity adalah nilai dari right Hand Sile (RHS) yaitu bagian kanan persamaan Keempat, simbol Cj yang berarti Contribution, yaitu suatu parameter dari masing-masing variabel. Nilai ini merupakan harga jual jika kasus memaksimasi penjualan atau merupakan biaya yang timbul jika kasusnya minimasi biaya. Jika proses iterasi telah dimulai maka nilai ini akan berubah sesuai dengan perpindahan variabel Kelima, Nilai dari baris Zj diperoleh dengan perkalian kolom Cj dengan kolom pada baris yang sesuai, sebagai contoh, untuk kolom X1 diperoleh dari (0 x 2) + (0 x 4) = 0 dan seterusnya untuk kolom variabel yang lain pada baris Zj Keenam, nilai dari baris Cj Zj adalah pengurangan dari baris paling atas (Cj) dengan baris Zj, untuk menilai apakah suatu tabel telah mendapatkan solusi optimum adalah dengan cara melihat angka pada baris ini. Untuk kasus Maksimasi solusi optimumTeknik Riset Operasi Halaman 16

tercapai apabila angka pada baris ini tidak ada yang positif artinya nilainya negatif atau nol. Untuk kasus Minimasi, solusi optimum tercapai bila angka pada baris ini tidak ada yang negatif artinya nilainya positif atau nol. Langkah 4 Melakukan Iterasi dan membuat iterasi ke 1 Pertama, menentukan entering variabel (variabel masuk) Untuk kasus maksimasi, variabel masuk didapat dari tabel sebelumnya yaitu tabel awal pada baris Zj Cj kolom yang memiliki nilai yang paling besar. Pilihannya adalah kolom X1 dengan nilai 7 atau kolom X2 dengan nilai 5, maka dipilih variabel X1 sebagai entering variabel (variabel masuk). Kolom yang dipilih ini disebut dengan kolom PivotCj Solution Mix S1 S2 Zj Cj - Zj 7 X1 2 4 0 7 5 X2 1 3 0 5 0 S1 1 0 0 0 0 S2 0 1 0 0 Qantity 100 240 0

0 0

Kolom Pivot

Kedua, menentukan leaving variabel (variabel keluar), caranya yaitu dengan membagi nilai quantity dengan nilai pada kolom pivot. Alternatif/kandidat untuk leaving variabel adalah S1 dengan nilai 100/2 =50 atau S2 dengan nilai 240/4 =60. Dipilih hasil rasio yang memiliki nilai paling kecil. Karena nilai dari S1 lebih kecil maka S1 menjadi leaving variabel (variabel keluar)Cj Solution Mix S1 S2 Zj Cj - Zj 7 X1 2 4 0 7 5 X2 1 3 0 5 0 S1 1 0 0 0 0 S2 0 1 0 0 Qantity 100 240 0 Baris Pivot

0 0

Ketiga, menentukan angka Pivot yang diperoleh dari intersection kolom dan baris pivot yaitu bernilai 2Cj Solution Mix S1 S2 Zj Cj - Zj 7 X1 2 4 0 7 5 X2 1 3 0 5 0 S1 1 0 0 0 0 S2 0 1 0 0 Qantity 100 240 0

0 0


Halaman 17

Keempat, membuat tabel baru dengan memperhitungkan entering dan leaving variabel sebagai berikutCj Solution Mix X1 S2 Zj Cj - Zj 7 X1 5 X2 0 S1 0 S2 Qantity

7 0

Kelima, mengisi baris pivot yang baru, yaitu baris X1. Caranya yaitu membagi nilai baris pivot dengan angka pivot 2 = 1 , 1 = 0,5 , 1 = 0,5 , 0 = 0 , 100 = 50 2 2 2 2 2Cj Solution Mix X1 S2 Zj Cj - Zj 7 X1 1 5 X2 0,5 0 S1 0,5 0 S2 0 Qantity 50

7 0

Keenam, Mengisi baris S2 yang baru Nilai S2 lama { (nilai S2 pada kolom Pivot) x (nilai baris pivot baru) } = S2 baru4 3 0 1 240Cj Solution Mix X1 S2 Zj Cj - Zj

-

{ { { { {

(4x (4x (4x (4x (4x

1) 0,5 ) 0,5 ) 0) 50 )

} } } } }7 X1 1 0

= = = = =

0 1 -2 1 405 X2 0,5 1 0 S1 0,5 -2 0 S2 0 1 Qantity 50 40

Sehingga tabel menjadi

7 0

Ketujuh, mengisi nilai baris Zj seperti penjelasan diatas dan mengisi nilai Cj-Zj maka diperoleh tabel sebagai berikutCj Solution Mix X1 S2 Zj Cj - Zj 7 X1 1 0 7 0 5 X2 0,5 1 3,5 1,5 0 S1 0,5 -2 3,5 -3,5 0 S2 0 1 0 0 Qantity 50 40 350

7 0


Halaman 18

Berdasarkan tabel diatas belum diperoleh nilai optimum karena belum semua nilai pada baris Cj Zj bernilai negatif atau 0 Langkah 5 Melakukan Iterasi ke 2 Karena hasil belum optimum, maka lakukan iterasi kembali dan membuat tabel iterasi ke 2 dengan cara yang sama dengan cara pembuatan tabel iterasi ke 1 Pertama, menentukan entering variabel (variabel masuk) Untuk kasus maksimasi, variabel masuk didapat dari tabel sebelumnya yaitu tabel itrasi ke 1 pada baris Zj Cj kolom yang memiliki nilai yang paling besar. Pilihannya adalah kolom X1 dengan nilai 0 atau kolom X2 dengan nilai 1,5, maka dipilih variabel X2 sebagai entering variabel (variabel masuk). Kolom yang dipilih ini disebut dengan kolom PivotCj Solution Mix X1 S2 Zj Cj - Zj 7 X1 1 0 7 0 5 X2 0,5 1 3,5 1,5 0 S1 0,5 -2 3,5 -3,5 0 S2 0 1 0 0 Qantity 50 40 350

7 0

Kolom Pivot

Kedua, menentukan leaving variabel (variabel keluar), caranya yaitu dengan membagi nilai quantity dengan nilai pada kolom pivot. Alternatif/kandidat untuk leaving variabel adalah X1 dengan nilai 50/0,5 =100 atau S2 dengan nilai 40/1 =40. Dipilih hasil rasio yang memiliki nilai paling kecil. Karena nilai dari S2 lebih kecil maka S2 menjadi leaving variabel (variabel keluar)Cj Solution Mix X1 S2 Zj Cj - Zj 7 X1 1 0 7 0 5 X2 0,5 1 3,5 1,5 0 S1 0,5 -2 3,5 -3,5 0 S2 0 1 0 0 Qantity 50 40 350 Baris Pivot

7 0

Ketiga, menentukan angka Pivot yang diperoleh dari intersection kolom dan baris pivot yaitu bernilai 1Cj Solution Mix X1 S2 Zj Cj - Zj 7 X1 1 0 7 0 5 X2 0,5 1 3,5 1,5 0 S1 0,5 -2 3,5 -3,5 0 S2 0 1 0 0 Qantity 50 40 350

7 0


Halaman 19

Keempat, membuat tabel baru dengan memperhitungkan entering dan leaving variabel sebagai berikutCj Solution Mix X1 X2 Zj Cj - Zj 7 X1 5 X2 0 S1 0 S2 Qantity

7 5

Kelima, mengisi baris pivot yang baru, yaitu baris X2. Caranya yaitu membagi nilai baris pivot dengan angka pivot 0 = 0 , 1 = 1 , -2 = -2 , 1 = 1 , 40 = 40 1 1 1 1 1Cj Solution Mix X1 X2 Zj Cj - Zj 7 X1 0 5 X2 1 0 S1 -2 0 S2 1 Qantity 40

7 5

Keenam, Mengisi baris X2 yang baru Nilai X2 lama { (nilai X2 pada kolom Pivot) x (nilai baris pivot baru) } = X2 baru1 0,5 0,5 0 50Cj Solution Mix X1 X2 Zj Cj - Zj

-

{ { { { {

( 0,5 x 0 ) (0,5 x 1 ) (0,5 x -2 ) (0,5 x 1 ) (0,5 x 40 )

} } } } }

= = = = =

1 0 1,5 -0,5 305 X2 0 1 0 S1 1,5 -2 0 S2 -0,5 1 Qantity 30 40

Sehingga tabel menjadi7 X1 1 0

7 5

Ketujuh, mengisi nilai baris Zj seperti penjelasan diatas dan mengisi nilai Cj-Zj maka diperoleh tabel sebagai berikutCj Solution Mix X1 X2 Zj Cj - Zj 7 X1 1 0 7 0 5 X2 0 1 5 0 0 S1 1,5 -2 0,5 -0,5 0 S2 -0,5 1 1,5 -1,5 Qantity 30 40 410

7 5


Halaman 20

Berdasarkan tabel diatas telah diperoleh nilai optimum karena semua nilai pada baris CjZj bernilai negatif atau 0 Langkah 6 Kesimpulan Supaya Toko ET-DIAMOND mendapat keuntungan maksimal sebesar $410, toko tersebut harus menjual 30 Batu Safir dan 40 batu Ruby.


Halaman 21

3.2. Masalah MinimasiContoh Kasus ToF Chemical Company. ToF Chemical Company harus membuat 1000 unit campuran phospate dan postassium. Biaya per unit phospate adalah $5, sedangkan biaya per unit postassium $6. Jumlah phospate yang dapat digunakan tidak lebih dari 300 unit sedangkan postassium harus digunakan minimal 150 unit. Berapa masing-masing jumlah phospate dan postassium yang harus digunakan agar biaya total minimum ? Penyelesaian Langkah 1 Merumuskan permasalahan Program Linier ke dalam model Matematika - Akan dibuat campuran phospate sejumlah X1 dan postassium sejumlah X2 - Fungsi tujuannya adalah Meminimumkan Z = 5X1 + 6X2 - Syarat Ikatan (fungsi Kendala) : X1 + X2 = 1000 X1 300 X2 150 X 1, X 2 0 Langkah 2 Merubah bentuk pertidaksamaan pada fungsi kendala ke dalam bentuk persamaan simplek Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dengan metode simpleks kita harus memformulasikan kembali permasalahan tersebut sesuai dengan standard simpleks. Formulasi sesuai standard simpleks artinya kita harus merubah tanda pertidaksamaan ( maupun ) menjadi persamaan. Untuk kendala dengan tanda = kita hanya menambahkan artificial variabel saja. Sehingga kendala yang pertama akan menjadi : X1 + X2 + A1 = 1000 Kendala kedua, X1 300 , kita tambahkan slack variabel sehingga menjadi : X1 + S1 = 300 Sedangkan kendala ketiga, X2 150, harus dikurangi dengan surplus variabel dan ditambah dengan artificial variabel, sehingga menjadi : X2 S2 + A2 = 150 Terakhir untuk fungsi tujuan. Karena dalam fungsi kendala ada artificial variabel, maka kita harus memberikan koefisien +M untuk artificial variable tersebut difungsi tujuan. Koefisien +M ini menunjukkan angka yang sangat besar nilainya, sehingga dalam kasus ini dapat diinterpretasikan biaya yang sangat tinggi. Fungsi tujuan dalam permasalahan ToF Chemical Company akan menjadi : Z = 5X1 + 6X2 + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2 Formulasi sesuai standard simpleks dari ToF Chemical Company secara lengkap adalah : Fungsi Tujuan Minimisasikan biaya Z = 5X1 + 6X2 + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2 Fungsi kendala : X1 + X2 + A1 = 1000 X1 + S1 = 300 X2 S2 + A2 = 150 X 1, X 2, S 1, S 2, A 1, A 2 0Teknik Riset Operasi Halaman 22

Langkah 3 Membuat Tabel Inisial (Tabel awal / Tabel iterasi ke 0) Langkah selanjutnya untuk menyelsesaikan permasalahan LP dengan metode simpleks adalah membuat tabel awal. Pada dasarnya untuk membuat tabel awal pada permasalahan minimisasi sama dengan permasalahan maksimisasi. Hanya saja karena pada permasalahan ToF Chemical Company kita mengenal variabel lain selain slack variabel yaitu surplus variabel dan artificial variabel, maka variabel yang boleh masuk ke kolom Solution mix pada tabel awal ini hanyalah slack variabel dan artificial variabel. Tabel awal permasalahan ToF Chemical Company dapat dilihat sebagai berikutCj Solution Mix A1 S1 A2 Zj Cj - Zj 5 X1 1 1 0 M 5-M 6 X2 1 0 1 2M 6-2M 0 S1 0 1 0 0 0 0 S2 0 0 -1 -M M M A1 1 0 0 M 0 M A2 0 0 1 M 0 Qantity 1000 300 150 1050M

M 0 M

Angka pada baris Cj (5, 6, 0, 0, +M, +M) tersebut adalah koefisien pada fungsi tujuan. Sedangkan angka (1, 1, 0, 0, 1, 0) pada baris A1 serta angka (1, 0, 1, 0 0, 0) pada baris S1 dan angka (0, 1, 0, -1, 0, 1) pada baris A2 adalah koefisien pada kendala 1, 2 dan 3. Angka pada baris Zj (+M, 2M, 0, -M , +M, +M ) diperoleh dari penjumlahan hasil kali kolom Cj dengan kolom yang bersesuaian. Sebagai contoh kita akan menentukan nilai Zj kolom X1 = (M x 1) + (0 x 1) + (M x 0) = M. Dengan cara yang sama kita peroleh nilai Zj pada kolom yang lain. Angka pada baris Cj Zj diperoleh dari angka pada baris Cj dikurangi dengan angka pada baris Zj. Sebagai contoh kita akan menghitung nilai Cj Zj pada kolom X1 = 5 (yaitu angka pada baris Cj) M (angka pada baris Zj) = 5 - M . Demikian juga untuk menghitung nilai CjZj untuk kolom-kolom yang lain digunakan cara yang sama. Langkah 4 Membuat Iterasi dan melakukan iterasi ke 1 Untuk melakukan perbaikan tabel kita harus menentukan kolom pivot dan baris pivot seperti yang telah kita bahas pada kasus maksimisasi. Hanya saja penentuan kolom pivot pada kasus minimisasi berbeda dengan kasus maksimisasi. Pada kasus minimisasi, kolom pivot ditentukan dengan cara memilih angka pada baris CJ Zj yang mempunyai tanda negatif serta angkanya paling besar. Langkah-langkah yang harus dilakukan dalam perbaikan tabel adalah sebagaiberikut : Pertama, tenentukan Kolom pivot (variabel yang akan masuk ke dalam kolom Solution Mix/entering variabel), yaitu dengan memilih variable yang mempunyai nilai Cj Zj negatif serta angkanya paling besar. Kolom pivot ini disebut juga optimal column atau kolom kunci.


Halaman 23

Kedua, tentukan Baris pivot (variable yang akan keluar dari kolom Solution Mix/leaving variabel), yaitu dengan membagi kolom quantitas dengan optimal kolom atau kolom pivot kemudian pilih hasil bagi non-negatif terkecil.Cj Solution Mix A1 S1 A2 Zj Cj - Zj 5 X1 1 1 0 M 5-M 6 X2 1 0 1 2M 6-2M 0 S1 0 1 0 0 0 0 S2 0 0 -1 -M M M A1 1 0 0 M 0 M A2 0 0 1 M 0 Qantity 1000 300 150 1050M

M 0 M

Baris Pivot

Kolom Pivot

-

-

Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa variable yang mempunyai nilai Cj Zj negatif dan angkanya paling besar adalah variabel X2, karena M menyatakan bilangan yang sangat besar nilainya. Dengan demikian variabel X2 disebut sebagai Kolom Pivot. Untuk menentukan baris pivot, kita akan membagi angka pada kolom kuantitas dengan kolom pivot (kolom X2), kemudian kita pilih hasil bagi non-negatif terkecil. Pada kasus ToF Chemical Company, variabel yang merupakan baris pivot (baris kunci) adalah variabel A2. Oleh karena itu pada tabel berikutnya (iterasi 1), variabel A2 akan keluar (leaving variable) dan digantikan oleh variabel X2 (entering variable)

Ketiga, tentukan angka Pivot yang diperoleh dari intersection kolom dan baris pivot yaitu bernilai 1 Keempat buat tabel baru dengan memperhitungkan entering dan leaving variabel sebagai berikutCj Solution Mix A1 S1 X2 Zj Cj - Zj 5 X1 6 X2 0 S1 0 S2 M A1 M A2 Qantity

M 0 M

Kelima, mengisi baris pivot yang baru, yaitu baris X2. Caranya yaitu membagi nilai baris pivot dengan angka pivot sebagaimana perhitungan X2 seperti dibawah ini X1 0 1 =0 X2 1 1 =1 S1 0 1 =0 S2 -1 1 = -1 A1 0 1 =0 A2 1 1 =1 Quantity 150 1 = 150


Halaman 24

Cj Solution Mix A1 S1 X2 Zj Cj - Zj

5 X1

6 X2

0 S1

0 S2

M A1

M A2 Qantity

M 0 6

0

1

0

-1

0

1

150

Keenam, mengisi baris yang lain yang bukan merupakan baris pivot, yaitu angka pada baris lama tabel sebelumnya dikurangi dengan hasil perkalian antara angka pada kolom pivotbaris bersangkutan, dengan angka pada baris baris yang menggantikan. Dalam kasus ToF Chemical Company ada 2 variabel yang akan dihitung nilai pada baris yang baru yaitu baris A1 dan S1 - Perhitungan nilai A1 Nilai A1 lama { (nilai A1 pada kolom Pivot) x (nilai baris pivot baru) } = A1 baru1 1 0 0 1 0 1000 { { { { { { { (1x 0) (1x 1) (1x 0) ( 1 x -1 ) (1x 0) (1x1) ( 1 x 150) } } } } } } } = = = = = = = 1 0 0 1 1 -1 850

- Perhitungan nilai S1 Nilai S1 lama { (nilai S1 pada kolom Pivot) x (nilai baris pivot baru) } =S1 baru1 0 1 0 0 0 300 { { { { { { { (0x 0) (0x 1) (0x 0) ( 0 x -1 ) (0x 0) (0x1) ( 0 x 150) } } } } } } } = = = = = = = 1 0 1 0 0 0 300

Sehingga tabel menjadiCj Solution Mix A1 S1 X2 Zj Cj - Zj 5 X1 1 1 0 6 X2 0 0 1 0 S1 0 1 0 0 S2 1 0 -1 M A1 1 0 0 M A2 -1 0 1 Qantity 850 300 150

M 0 6


Halaman 25

Ketujuh, mengisi nilai baris Zj seperti penjelasan diatas dan mengisi nilai Cj-Zj maka diperoleh tabel sebagai berikutCj Solution Mix A1 S1 X2 Zj Cj - Zj 5 X1 1 1 0 M 5-M 6 X2 0 0 1 6 0 0 S1 0 1 0 0 0 0 S2 1 0 -1 M-6 6-M M A1 1 0 0 M 0 M A2 -1 0 1 6-M 2M-6 Qantity 850 300 150 900+850M

M 0 6

Karena pada tabel diatas masih kita jumpai angka yang bertanda negatif pada baris Cj-Zj yaitu angka pada kolom X1 (5-M) dan kolom S2 (6-M), maka kita akan melakukan perbaikan tabel dengan membuat tabel iterasi ke-2 dan seterusnya hingga memperoleh tabel optimal Langkah 5 Melakukan iterasi ke-2 Pertama, tentukan Kolom pivot (entering variabel) dengan memilih variable yang mempunyai nilai Cj Zj negatif serta angkanya paling besar yaitu kolom X1 ( karena mempunyai angka negative terbesar yaitu 5-M ) Kedua, tentukan Baris pivot (leaving variable) dengan membagi kolom quantitas dengan optimal kolom atau kolom pivot kemudian pilih hasil bagi non-negatif terkecil. Perhitungan untuk menentukan baris pivot berikut ini : - Untuk baris A1 : 850/1 = 850 - Untuk baris S1 : 300/1 =300 menjadi baris pivot karena non negative terkcil - Untuk baris X2 : 150/0 abaikan rasio seperti iniCj Solution Mix A1 S1 X2 Zj Cj - Zj 5 X1 1 1 0 M 5-M 6 X2 0 0 1 6 0 0 S1 0 1 0 0 0 0 S2 1 0 -1 M-6 6-M M A1 1 0 0 M 0 M A2 -1 0 1 6-M 2M-6 Qantity 850 300 150 900+850M Baris Pivot

M 0 6

Kolom Pivot

Ketiga, tentukan angka Pivot yang diperoleh dari intersection kolom dan baris pivot yaitu bernilai 1 Keempat buat tabel baru dengan memperhitungkan entering dan leaving variabelCj Solution Mix A1 X1 X2 Zj Cj - Zj 5 X1 6 X2 0 S1 0 S2 M A1 M A2 Qantity

M 5 6


Halaman 26

Kelima, mengisi baris pivot yang baru, yaitu baris X1. Caranya yaitu membagi nilai baris pivot dengan angka pivot sebagaimana perhitungan X1 seperti dibawah ini X1 1 1 =1 X2 0 1 =0 S1 1 1 =1 S2 0 1 =0 A1 0 1 =0 A2 0 1 =0 Quantity 300 1 = 300Cj Solution Mix A1 X1 X2 Zj Cj - Zj 5 X1 1 6 X2 0 0 S1 1 0 S2 0 M A1 0 M A2 0 Qantity 300

M 5 6

Keenam, mengisi baris yang lain yang bukan merupakan baris pivot, yaitu angka pada baris lama tabel sebelumnya dikurangi dengan hasil perkalian antara angka pada kolom pivotbaris bersangkutan, dengan angka pada baris baris yang menggantikan. Dalam kasus ToF Chemical Company ada 2 variabel yang akan dihitung nilai pada baris yang baru yaitu baris A1 dan X2 - Perhitungan nilai A1 Nilai A1 lama { (nilai A1 pada kolom Pivot) x (nilai baris pivot baru) } = A1 baru1 1 0 1 1 -1 850 { { { { { { { (1x 1) (1x 0) (1x 1) (1x 0) (1x 0) (1x 0) ( 1 x 300) } } } } } } } = = = = = = = 0 0 -1 1 1 -1 550

- Perhitungan nilai X2 Nilai X2 lama { (nilai X2 pada kolom Pivot) x (nilai baris pivot baru) } =X2 baru0 1 0 -1 0 1 150 { { { { { { { (0x 1) (0x 0) (0x 1) (0x 0) (0x 0) (0x 0) ( 0 x 300) } } } } } } } = = = = = = = 0 1 0 -1 0 1 150


Halaman 27

Sehingga tabel menjadiCj Solution Mix A1 X1 X2 Zj Cj - Zj 5 X1 0 1 0 6 X2 0 0 1 0 S1 -1 1 0 0 S2 1 0 -1 M A1 1 0 0 M A2 -1 0 1 Qantity 550 300 150

M 5 6

Ketujuh, mengisi nilai baris Zj seperti penjelasan diatas dan mengisi nilai Cj-Zj maka diperoleh tabel sebagai berikutCj Solution Mix A1 X1 X2 Zj Cj - Zj 5 X1 0 1 0 5 0 6 X2 0 0 1 6 0 0 S1 -1 1 0 5-M M-5 0 S2 1 0 -1 M-6 6-M M A1 1 0 0 M 0 M A2 -1 0 1 -6-5M 6M+6 Qantity 550 300 150 2400+500M

M 5 6

Karena pada tabel diatas masih kita jumpai angka yang bertanda negatif pada baris Cj-Zj yaitu angka pada kolom S2 (6-M) maka kita akan melakukan perbaikan tabel dengan membuat tabel iterasi ke-3 dan seterusnya hingga memperoleh tabel optimal Langkah 6 Melakukan iterasi ke-3 Pertama, tentukan Kolom pivot (entering variabel) dengan memilih variable yang mempunyai nilai Cj Zj negatif serta angkanya paling besar yaitu kolom S2 ( karena mempunyai angka negative terbesar yaitu 6-M ) Kedua, tentukan Baris pivot (leaving variable) dengan membagi kolom quantitas dengan optimal kolom atau kolom pivot kemudian pilih hasil bagi non-negatif terkecil. Perhitungan untuk menentukan baris pivot berikut ini : - Untuk baris A1 : 550/1 = 550 menjadi baris pivot karena non negative terkcil - Untuk baris X1 : 300/0 abaikan rasio seperti ini - Untuk baris X2 : 150/-1 = -150Cj Solution Mix A1 X1 X2 Zj Cj - Zj 5 X1 0 1 0 5 0 6 X2 0 0 1 6 0 0 S1 -1 1 0 5-M M-5 0 S2 1 0 -1 M-6 6-M M A1 1 0 0 M 0 M A2 -1 0 1 -6-5M 6M+6 Qantity 550 300 150 2400+500M Baris Pivot

M 5 6

Kolom Pivot

Ketiga, tentukan angka Pivot yang diperoleh dari intersection kolom dan baris pivot yaitu bernilai 1Teknik Riset Operasi Halaman 28

Keempat buat tabel baru dengan memperhitungkan entering dan leaving variabelCj Solution Mix S2 X1 X2 Zj Cj - Zj 5 X1 6 X2 0 S1 0 S2 M A1 M A2 Qantity

0 5 6

Kelima, mengisi baris pivot yang baru, yaitu baris S2. Caranya yaitu membagi nilai baris pivot dengan angka pivot sebagaimana perhitungan S2 seperti dibawah ini X1 0 1 =0 X2 0 1 =0 S1 -1 1 = -1 1 1 =1 S2 A1 1 1 =1 A2 -1 1 = -1 Quantity 550 1 = 550Cj Solution Mix S2 X1 X2 Zj Cj - Zj 5 X1 0 6 X2 0 0 S1 -1 0 S2 1 M A1 1 M A2 -1 Qantity 550

0 5 6

Keenam, mengisi baris yang lain yang bukan merupakan baris pivot, yaitu angka pada baris lama tabel sebelumnya dikurangi dengan hasil perkalian antara angka pada kolom pivotbaris bersangkutan, dengan angka pada baris baris yang menggantikan. Dalam kasus ToF Chemical Company ada 2 variabel yang akan dihitung nilai pada baris yang baru yaitu baris X1 dan X2 - Perhitungan nilai X1 Nilai X1 lama { (nilai X1 pada kolom Pivot) x (nilai baris pivot baru) } = X1 baru1 0 1 0 0 0 300 { { { { { { { (0x 0) (0x 1) (0x 0) ( 0 x -1 ) (0x 0) (0x 1) ( 0 x 150) } } } } } } } = = = = = = = 1 0 1 0 0 0 300


Halaman 29

- Perhitungan nilai X2 Nilai X2 lama { (nilai X2 pada kolom Pivot) x (nilai baris pivot baru) } =X2 baru0 1 0 -1 0 1 150 { { { { { { { ( -1 x 0 ) ( -1 x 0 ) ( -1 x -1 ) ( -1 x 1 ) ( -1 x 1 ) ( -1 x -1 ) ( -1 x 550) } } } } } } } = = = = = = = 0 1 -1 0 1 0 700

Sehingga tabel menjadiCj Solution Mix S2 X1 X2 Zj Cj - Zj 5 X1 0 1 0 6 X2 0 0 1 0 S1 -1 1 -1 0 S2 1 0 0 M A1 1 0 1 M A2 -1 0 0 Qantity 550 300 700

0 5 6

Ketujuh, mengisi nilai baris Zj seperti penjelasan diatas dan mengisi nilai Cj-Zj maka diperoleh tabel sebagai berikutCj Solution Mix S2 X1 X2 Zj Cj - Zj 5 X1 0 1 0 5 0 6 X2 0 0 1 6 0 0 S1 -1 1 -1 -1 1 0 S2 1 0 0 0 0 M A1 1 0 1 6 M-6 M A2 -1 0 0 0 M Qantity 550 300 700 5700

0 5 6

Tabel pada iterasi ke-3 ini sudah optimal karena nilai pada baris Cj-Zj sudah positif dan nol. Langkah 7 Kesimpulan Untuk meminimumkan biaya maka jumlah phospate yang diproduksi adalah 300 unit dan postassium sejumlah 700 unit dengan biaya total $ 5.700 , nilai S2 sebesar 550 menunjukan bahwa jumlah postassium yang dipakai lebih dari yang tersedia. Besarnya kelebihaan postassium tersebut adalah 550.


Halaman 30

BAB IV TRANSPORTASIDilihat dari namanya, metode transportasi digunakan untuk mengoptimalkan biaya pengangkutan (transportasi) komoditas tunggal dari berbagai daerah sumber menuju berbagai daerah tujuan. Tiga hal penting harus diingat dari penjelasan di atas, yaitu komoditas tunggal, daerah sumber (asal) lebih dari satu dan daerah tujuan juga lebih dari satu. Meskipun demikian, metode transportasi tidak hanya berguna untuk optimasi pengangkutan komoditas (barang) dari daerah sumber menuju daerah tujuan. Metode transportasi juga dapat digunakan untuk perencanaan produksi. Data yang dibutuhkan dalam metode transportasi adalah: 1. Level suplai pada setiap daerah sumber dan level permintaan pada setiap daerah tujuan untuk kasus pendistribusian barang; jumlah produksi dan jumlah permintaan (kapasitas inventori) pada kasus perencanaan produksi. 2. Biaya transportasi per unit komoditas dari setiap daerah sumber menuju berbagai daerah tujuan pada kasus pendistribusian; biaya produksi dan inventori per unit pada kasus perencanaan produksi. Karena hanya ada satu jenis komoditas, pada dasarnya setiap daerah tujuan dapat menerima komoditas dari sembarang daerah sumber, kecuali ada kendala lainnya. Kendala yang mungkin terjadi adalah tidak adanya jaringan transportasi dari suatu sumber menuju sutau tujuan; waktu pengangkutan yang lebih lama dibandingkan masa berlaku komoditas. Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, metode transportasi tidak hanya digunakan dalam pendistribusian barang (komoditas). Metode transportasi juga dapat digunakan untuk mengoptimalkan sistem produksi.


Halaman 31

Contoh Kasus TFK Auto memiliki 3 pabrik mobil di Los Angeles, Detroit dan New Orleans dan 2 distributor utama di Denver dan Miami. Jumlah produksi mobil tiap tiap pabrik dalam satu tahun adalah 100 unit, 150 unit dan 50 unit. Permintaan kedua distributor setiap tahunnya masing masing sejumlah 175 unit dan 125 unit. Biaya pengiriman tiap unit mobil dari tiap pabrik ke tiap distributor ditunjukkan pada matriks berikut : PABRIK Los Angeles Detroit New Orleans DISTRIBUTOR Denver Miami $ 40 $ 50 $100 $ 70 $ 60 $ 80

Tentukan pendistribusian yang optimal ( jumlah pengiriman mobil dari tiap pabrik ke tiap distributor, dengan total biaya minimal ) Penyelesaian Langkah 1 Merumuskan permasalahan ke dalam model Matematika Model dari masalah diatas dirumuskan sebagai berikut : X1 = Jumlah mobil yang dikirim dari Los Angeles ke Denver X2 = Jumlah mobil yang dikirim dari Los Angeles ke Miami X3 = Jumlah mobil yang dikirim dari Detroit ke Denver X4 = Jumlah mobil yang dikirim dari Detroit ke Miami X5 = Jumlah mobil yang dikirim dari New Orleans ke Denver X6 = Jumlah mobil yang dikirim dari New Orleans ke Miami Pabrik Los Angeles Detroit New Orleans Kapasitas 175 Distributor Denver Miami 40 50 100 60 70 80 Supply 100 150 50

125


Halaman 32

Min Z = 40X1 + 50X2 + 100X3 + 70X4 + 60X5 + 80X6 Kendala : X1 + X2 = 100 X3 + X4 = 150 X5 + X6 = 50 X1 + X3 + X5 = 175 X2 + X4 + X6 = 125 X1, X2, X3, X4, X5, X6 0 Langkah 2 Membuat Tabel awal Terdapat 4 metode untuk membuat tabel awal yaitu a. Metode Least Cost Prinsip kerja dari metode ini yaitu memprioritaskan pada cost / biaya terkecil sehingga dimulai dari kotak X1 , X2, X5, X4, X6, kemudian terakhir adalah X3 . Pabrik Los Angeles Detroit New Orleans Kapasitas Distributor Denver Miami 40 50 100 100 70 25 125 60 50 175 125 80 Supply 100 150 50

Z = 40X1 + 50X2 + 100X3 + 70X4 + 60X5 + 80X6 Z = 40(100) + 50(0) + 100(25) + 70(125) + 60(50) + 80(0) Z = 4000 + 0 + 2500 + 8750 + 3000 + 0 Z = 18250 Kelemahan dari metoda ini solusi yang dihasilkan bukan merupakan solusi utama. Dan kelebihan yang di berikan yaitu mempunyai kompleksitas algoritma yang lebih simpe b. Metode North West Corner (NWC) Solusi awal menggunakan metode sudut barat laut ditentukan dengan mengisi sel kosong yang masih dapat diisi dan terletak paling kiri atas (sudut barat laut). Jumlah yang dialokasikan pada sel kosong tidak boleh melebihi jumlah suplai dan jumlah permintaan.Teknik Riset Operasi Halaman 33

Sehingga tabel awal dengan metode North West Corner dapat dilihat sebagai berikut

Pabrik Los Angeles Detroit New Orleans Kapasitas

Distributor Denver Miami 40 50 100 100 70 75 75 60 175 50 125 80

Supply 100 150 50

Z = 40X1 + 50X2 + 100X3 + 70X4 + 60X5 + 80X6 Z = 40(100) + 50(0) + 100(75) + 70(75) + 60(0) + 80(50) Z = 4000 + 0 + 7500 + 5250 + 0 + 4000 Z = 20750 Untuk membuktikan kebenaran dari tabel awal diatas adalah dengan cara menggunakan rumus m + n - 1 dimana m adalah jumlah baris dan n adalah jumlah kolom. m + n -1 = 3 + 2 -1 = 4 Metode ini mempunyai kelebihan, yaitu penanganannya relatif mudah dibanding metode yang lain. Tapi metode ini juga mempunyai kelemahan, karena lebih menitikberatkan pada posisi, maka value jadi terabaikan. c. Metode Vogel's Approximation Methode (VAM) Metode VAM merupakan metode yang lebih mudah dan lebih cepat untuk mengatur alokasi dari beberapa sumber ke daerah tujuan. Langkah metode VAM: Cari perbedaan dua biaya terkecil, yaitu terkecil pertama dan kedua (kolom dan baris) Baris 1 = 50 40 = 10 kolom 1 = 60 - 40 = 20 Baris 2 = 100 70 =30 kolom 2 = 70 50 =20 Baris 3 = 80 60 =20 Pilih nilai terbesar antara baris dan kolom yaitu Baris 2 dengan nilai 30 Pilih biaya terendah pada baris 2 yaitu 70, maka kotak (2,2) akan dialokasikan nilainya yaitu 125. Nilai supply baris 2 yaitu 150 maka nilai kotak (2,1) diisi dengan nilai 150 125 = 25 Demand untuk kolom 2 sudah terpenuhi maka kotak (1,1) diisi dengan nilai 100 dan kotak (1,3) diisi dengan nilai 50


Halaman 34

Sehingga tabel awal dengan metode Vogel's Approximation Methode (VAM) dapat dilihat sebagai berikut



Supply 100 150 50

Z = 40X1 + 50X2 + 100X3 + 70X4 + 60X5 + 80X6 Z = 40(100) + 50(0) + 100(25) + 70(125) + 60(50) + 80(0) Z = 4000 + 0 + 2500 + 8750 + 3000 + 0 Z = 18250 Untuk membuktikan kebenaran dari tabel awal diatas adalah dengan cara menggunakan rumus m + n - 1 dimana m adalah jumlah baris dan n adalah jumlah kolom. m + n -1 = 3 + 2 -1 = 4 d. Metode Russel Langkah-langkah metode Russel Setiap baris ditentukan nilai ui yang merupakan biaya tertinggi pada baris tersebut. Sedangkan untuk setiap kolom ditentukan nilai vj yang merupakan biaya tertinggi pada kolom tersebut. U1 = 50 U2 = 100 U3 = 80 V1 = 100 V2 = 80

Untuk setiap kotak variabel Xij dilakukan perhitungan nilai ij = cij - ui - vj 11 = C11 U1 V1 = 40 50 100 = -110 = C12 U1 V2 = 50 50 80 = -80 21 = C21 U2 V1 = 100 100 - 100 = -100 22 = C22 U2 V2 = 70 100 - 80 = -110 31 = C31 U3 V1 = 60 80 - 100 = -120 32 = C32 U3 V2 = 80 80 - 80 = -80

12

Pengalokasian dilakukan pada kotak variabel dengan nilai ij negatif terbesar yaitu -120 pada kotak (3,1). Alokasikan nilai cost 50 pada kotak (3,1) dan kolom (3,2) diberi nilai 0 karena supply untuk baris 3 sudah terpenuhiTeknik Riset Operasi Halaman 35

Langkah selanjutnya adalah kembali menentukan nilai Ui dan Vj , untuk nilai U3 tidak perlu lagi diperhitungkan karena supply pada baris 3 sudah terpenuhi U1 = 50 V1 = 100 U2 = 100 V2 = 70 perhitungan nilai ij = cij - ui - vj = C11 U1 V1 21 = C21 U2 V1 = 40 50 100 = 100 100 - 100 = -110 = -100 12 = C12 U1 V2 22 = C22 U2 V2 = 50 50 70 = 70 100 - 70 = -70 = -100 Nilai ij negatif terbesar yaitu -110 pada kotak (1,1), alokasikan biaya 100 sesuai supply pada baris 1 sehingga kotak (2,1) bias diberi nilai 175- (100+50) = 25 Tidak perlu lagi mencari nilai Ui dan Vj karena sudah dimungkinkan menghitung manual dengan pengurangan nilai cost yang disesuaikan dengan supply dan demand.Sehingga tabel awal dengan metode russel dapat dilihat sebagai berikut

11



Supply 100 150 50

Z = 40X1 + 50X2 + 100X3 + 70X4 + 60X5 + 80X6 Z = 40(100) + 50(0) + 100(25) + 70(125) + 60(50) + 80(0) Z = 4000 + 0 + 2500 + 8750 + 3000 + 0 Z = 18250 Untuk membuktikan kebenaran dari tabel awal diatas adalah dengan cara menggunakan rumus m + n - 1 dimana m adalah jumlah baris dan n adalah jumlah kolom. m + n -1 = 3 + 2 -1 = 4 Pada kasus ini, tabel awal menggunakan metode Russel dan Vam memiliki hasil yang sama


Halaman 36

Langkah 3 Melakukan Uji Optimalitas Setelah tabel awal dibuat, tabel dapat dioptimalkan dengan metode : 1. Stepping Stone (batu loncatan) Pada metode Stepping stone solusi awal yang layak disebut optimal jika dan hanya jika nilai perubahan biaya untuk setiap siklus yang dibuat 0. Jadi, pada metoda stepping stone pengujian didasarkan pada hasil perhitungan perubahan biaya dari setiap siklus yang intinya adalah untuk mencoba mengalokasikan pada kotak kosong Pada kasus ini akan diuji dengan menggunakan tabel awal Russel dan Nort west Corner (NWC) a. Menggunakan tabel awal Russel Pabrik Los Angeles Detroit New Orleans Kapasitas Distributor Denver Miami 40 50 100 100 70 25 125 60 50 175 125 80 Supply 100 150 50

Langkah-langkah : Tentukan siklus-siklus yang ada pada tabel awal dengan syarat - Suatu siklus perubahan pengalokasian tidak boleh mengubah nilai penawaran dan permintaan. - Dalam satu siklus hanya boleh terdapat satu kotak kosong (variabel non basis) yang terlibat. - Suatu siklus berawal dari kotak kosong dan berakhir pada kotak yang sama. - Hanya boleh ada 2 kotak yang berturutan yang terlibat yang terletak pada baris/kolom yang sama - Dimulai dengan tanda positif (+) Siklus 1 dimulai dimulai dari kotak (1,2) 40 _ 100 100 + 25Teknik Riset Operasi

50 + 70 _ 125Halaman 37 Tentukan nilai cost dari siklus sesuai dengan tanda pada siklus = 50 40 + 100 70 = 40

Siklus 2 dimulai darikotak (3,2) 100 + 25 60 _ 50 + 125 80 _ 70Tentukan nilai cost dari siklus sesuai dengan tanda pada siklus = 80 70 + 100 60 = 50

Karena nilai cost pada siklus sudah positif semua maka tabel tersbut sudah optimal b. Menggunakan tabel awal North West Corner (NWC) Pabrik Los Angeles Detroit New Orleans Kapasitas Distributor Denver Miami 40 50 100 100 70 75 75 60 80 50 175 125 Supply 100 150 50

Langkah-langkah : Tentukan siklus-siklus yang ada pada tabel awal dan hitung nilai pada setiap siklus Siklus 1 dimulai dari kotak (1,2) 40 _ 100 100 + 75 75 _ 70 + 50Tentukan nilai cost dari siklus sesuai dengan tanda pada siklus = 50 40 + 100 70 = 40

Siklus 2 dimulai dari kotak (3,1) 100 _ 75 60 + Teknik Riset Operasi

70 + 75 80 _ 50Halaman 38 Tentukan nilai cost dari siklus sesuai dengan tanda pada siklus = 60 80 +70 -100 = -50

Karena masih terdapat nilai negative pada siklus berarti tabel belum optimal maka dilakukan perbaikan solusi belum optimal - Pilih nilai negative terbesar pada siklus yaitu 50 pada siklus 2 - Lihat nilai yang melibatkan tanda negative pada siklus 2 yaitu 75 dan 50 - Pillih nilai yang paling kecil yaitu 50 - Gabungkan semua siklus Pabrik Los Angeles Distributor Denver Miami 40 50 100 100 Detroit 75 New Orleans Kapasitas 60 175 50 125 75 80 50 70 150 Supply

100

Lakukan iterasi ke 1 Rubah nilai pada setiap kotak sesuai dengan siklus 2 dengan pengurangan dan penambahan dengan nilai 50 sesuai dengan tanda pada siklus Kotak (3,1) pada siklus bertanda (+) maka 0 + 50 = 50 Kotak (3,2) pada siklus bertanda (-) maka 50 50 = 0 Kotak (2,2) pada siklus bertanda (+) maka 75 + 50 = 125 Kotak (2,1) pada siklus bertanda (-) maka 75 50 = 25 Sehingga tabel iterasi I sebagai berikut Pabrik Los Angeles Detroit New Orleans Kapasitas Distributor Denver Miami 40 50 100 100 70 25 125 60 50 175 125 80 Supply 100 150 50


Halaman 39

Lakukan kembali siklus-siklus pada tabel iterasi 1 Siklus 1 dimulai dimulai dari kotak (1,2)

40 _ 100 100 + 25 125 +

50Tentukan nilai cost dari siklus sesuai dengan tanda pada siklus = 50 40 + 100 70 = 40

70 _

Siklus 2 dimulai darikotak (3,2)

100 + 25 60 _ 50 + 125 _

70Tentukan nilai cost dari siklus sesuai dengan tanda pada siklus = 80 70 + 100 60 = 50

80

Karena nilai cost pada siklus sudah positif semua maka tabel tersebut sudah optimal 2. Modified Distribution Method (MODI) Metode MODI disebut juga metode Faktor Pengali atau Multiplier. Cara iterasinya sama seperti Metode Batu Loncatan. Perbedaan utama terjadi pada cara pengevaluasian variabel non basis, atau penentuan penurunan ongkos transport per unit untuk tiap variabel. Cara ini dikembangkan berdasarkan teori dualitas. Untuk setiap baris ke-i dari tabel transportasi dikenal suatu bilangan baris (multiplier ui) dan untuk setiap kolom ke-j disebut bilangan kolom (multiplier vj) sehingga untuk tiap variabel basis Xij diperoleh persamaan : Cij = ui + vj Seperti yang telah kita lakukan uji optimal dengan metode stepping stone sebelumnya, telah diketahui tabel optimal yaitu tabel awal Russel, untuk itu pada kasus ini untuk metode MODI tabel awal yang dipergunakan hanya akan dilakukan dengan menggunakan tabel NWC Pabrik Los Angeles Detroit New Orleans KapasitasTeknik Riset Operasi


Supply 100 150 50

Halaman 40

Harga setiap Ui dan Vj dengan memisalkan U1 = 0 - C11 = U1 + V1 - C21 = U2 + V1 V1 = C11 U1 U2 = C21 V1 = 40 = 60 - C22 = U2 + V2 V2 = C22 U2 = 10 - C32 = U3 + V2 U3 = C32 - V2 = 70

Cari nilai Cij untuk kotak kosong dengan rumus Cij Ui Vj Kotak (1,2) = C12 U1 V2 Kotak (3,1) = C31 U3 V1 = 50 0 10 = 60 70 40 = 40 = -50 Tabel belum optimal karena masih terdapat nilai negative. Cari nilai negative terbesar yaitu -50 pada kotak (3,1) Lakukan siklus seperti pada metode stepping stone dimulai dari kotak (3,1) 100 _ 75 60 + 50 _ 75 80 + 70Tentukan nilai cost dari siklus sesuai dengan tanda pada siklus = 60 80 +70 -100 = -50

Karena masih terdapat nilai negative pada siklus berarti tabel maka dilakukan perbaikan solusi belum optimal - Lihat nilai yang melibatkan tanda negative pada siklus yaitu 75 dan 50 Pilih nilai yang paling kecil yaitu 50 - Rubah nilai pada setiap kotak sesuai dengan siklus dengan pengurangan dan penambahan dengan nilai 50 sesuai dengan tanda pada siklus Kotak (3,1) pada siklus bertanda (+) maka 0 + 50 = 50 Kotak (3,2) pada siklus bertanda (-) maka 50 50 = 0 Kotak (2,2) pada siklus bertanda (+) maka 75 + 50 = 125 Kotak (2,1) pada siklus bertanda (-) maka 75 50 = 25 - Sehingga tabel sebagai berikut Pabrik Los Angeles Detroit New Orleans KapasitasTeknik Riset Operasi


Supply 100 150 50

Halaman 41

Harga setiap Ui dan Vj dengan memisalkan U1 = 0 - C11 = U1 + V1 - C21 = U2 + V1 V1 = C11 U1 U2 = C21 V1 = 40 = 60 - C22 = U2 + V2 V2 = C22 U2 = 10 - C31 = U3 + V1 U3 = C31 V1 = 20

Cari nilai Cij untuk kotak kosong dengan rumus Cij Ui Vj Kotak (1,2) = C12 U1 V2 Kotak (3,2) = C32 U3 V2 = 50 0 10 = 80 20 10 = 40 = 50 Karena nilai Cij sudah positif semua maka tabel tersebut sudah optimal Langkah 4 Kesimpulan



Supply 100 150 50

Biaya = 40X1 + 50X2 + 100X3 + 70X4 + 60X5 + 80X6 Biaya = 40(100) + 50(0) + 100(25) + 70(125) + 60(50) + 80(0) Biaya = 4000 + 0 + 2500 + 8750 + 3000 + 0 Biaya = 18250


Halaman 42

teknik riset operasi

Documents