riset operasi metode grafik

7/23/2019 Riset Operasi Metode Grafik

http://slidepdf.com/reader/full/riset-operasi-metode-grafik 1/20



'angkah . rumusan model

aksimumkan :

4 5 3X1 6 3X2 7 1000

endala :

2X1 6 X2 8 30

2X1 6 3X2 8 )0

X1 6 3X2 8 2

X19 0 X2 9 0

aksimumkan pendapatan industri untuk 2 jenis produk X1

dan X2 !ang dibatasi oleh lama jam kerja pemakaian 3 jenismesin dalam proses produksi.

'angkah . ambah ra;ik

X2

30

endala 1 <2X1 6 X2 8 30=

endala 3 <X1 6 3X2 8 2=

20

(itik maksimum

10

endala 2

<2X1 6 3X2 8 )0=

10 20 30 X1



2X1 6 X2 8 30 2X1 6 3X2 8 )0

X1 5 0 X2 5 30 X1 5 0 X2 5 20 X2 5 0 X1 5 1> X2 5 0 X1 5 30

X1 6 3X2 8 2

X1 5 0 X2 5 2

X2 5 0 X1 5 1+

'angkah ambarkan ;ungsi tujuan

aksimisasi pendapatan akan ter?apai jika garis ;ungsitujuan men!inggung titik optimum.

'angkah @

en?ari jumlah 4 ma7 dan nilai X1 & X2 analisis titik %

2X1 6 3X2 5 )0 X1 6 3X2 5 2

- 2X1 5 -12

X1 5 )

X2 5 1)

adi % 5 <X1 X2= 5 <) 1)=

Dengan ?ara !ang sama :

(itik C 5 <* 12=

$ 5 <0 20=

D 5 <1> 0=



A 5 <0 0=

alau ditabelkan sbb :

$lternati; (itik ut put a7. Bilai 7 1000

4 5 3X1 6 3X2X1 X2

1

2

3

>

$

%

C

D

A

0

)

*

1>

0

20

1)

12

0

0

)0

))

)3

>

0

adi kombinasi out put paling menguntungkan adalah :

) unit produk X1 dan 1) unit produk X2 4 sebesar ))000

satuan

Cek sumber da!a mesin

endala <mesin $=

2X1 6 X2 8 30 esin $ mengaso 2 jam 2.) 6 1) 5 2+

endala <mesin %=

2X1 6 3X2 8 )0

2.) 6 3.1) 5 )0

endala <mesin C=X1 6 3X2 8 2

.) 6 3.1) 5 2



2.

akanan $ mengandung 3 gram per kg dari nutrisi <it. %12=.

akanan % mengandung gram per kg nutrisi < it. %12=.

Seseorang han!a bisa mengkonsumsi total makanan $ dan% tidak lebih dari ) kg,hari berapakah seharusn!a

mengkonsumsi makanan agar itamin %12 maksimum

diperoleh oleh tubuh.

#en!elesaian :

odel matematika :

umlah makanan $ !ang dikonsumsi 5 X

umlah makanan % !ang dikonsumsi 5

ilogram,hari

umlah itamin %12 !ang dikonsumsi adalah 5 3X 6

gram. adi permasalahann!a adalah :

a7 : 4 5 3X 6 ......................................<1=

Subje?t to :

X 6 8 ) .............................................<2=

X 9 0 9 0 EEEEEEEEEE <3=

)

Feasible Gegion

X 6 5 )

) X



ptimal Solusi :

<0)= X 5 0 5 ) ptimal nilai 5 2

3.

akanan $ mengandung 3 gram itamin %12 per g. dan

hargan!a Gp. 100, g. akanan % mengandung gram

itamin %12 per g. dan hargan!a Gp. 200, g. Seseorang

han!a boleh mengkonsumsi ) g makanan $ 6 % dalam 1

hari dan jatah untuk makan per hari Gp. 1000. %erapa

ban!ak makanan % agar itamin %12 !ang diserap tubuhmaksimum H

Solusi :

isalkan makanan !ang dikonsumsi , hari

akanan $ X g

% g

Dalam sehari @it. %12 !ang dimakan 3X 6 gram

adi model matematikan!a :

a7 4 5 3X 6 <1=

Subje?t to : X 6 8 ) <2=

100 X 6 200 8 1000 <3=

X 9 0 9 0 <=



ptimal solusi 5 <2=

ptimal alue 5 22 X 6 5)

> <2=

X 6 2 5 10

> 10 X(idak semua permasalahan '# mempun!ai pen!elesaian

optimal !ang unik. %eberapa permasalahan mempun!ai

ban!ak pen!elesaian dan !ang lain ada !ang tidak

mempun!ai pen!elesaian

Contoh :

<1= a7 4 5 3 X1 I X2 .......................................<1=

Subje?t to 5 X1 6 X2 8 2 ...................................<2=

- 2X1 I 2X2 8 -10 ............................<3= X1 9 0 X2 9 0 EEEEEE..<=

X2

>

2

2 > X1

(idak ada ;easible region jadi tidak ada optimal solution



<2=. a7 4 5 X1 I X2

Subje?t to -2X1 6 X2 8 -1 ..............................<1=

- X1 6 2X2 8 -2 EEEEEEE...<2=X1 9 0 X2 9 0

2X1 - X2 8 1 X1 - 2X2 8 2

a"ab :

<1= X2

<2=

1,2

2 X1

tak ada optimal solution -1

%ila permasalahan '# mempun!ai ban!ak pen!elesaian

!ang setara maka pen!elesaian dapat diambil !ang mana

saja. adi tidak ada !ang di istime"akan antara peme?ahan

optimal !ang setara jika tidak terdapat pers!aratan istime"a

dalam kendala

Contoh :

<2= a7. 4 5 X 6

Subje?t to X 6 8 2



X 9 0

a"ab :

2

2

a7 pada :

<20= 4 5 2 6 0 5 2

<02= 4 5 0 6 2 5 2

<11= 4 5 1 6 1 5 2

'ebih dari satu ja"aban.

Contoh soal :

<1= Sebuah #'(J dengan dua jenis bahan bakar

aitu : %%. Dengan B kandungan sul;ur rendah <'=

%%. dengan kandungan sul;ur tinggi </=



Jntuk setiap jam pemakaian per liter ' menghasilkan 3

unit emisi sul;urdioksida membangkitkan kK listrik

dengan harga Gp. )0. Sedangkan setiap liter /

menghasilkan emisi > unit sul;ur dioksidamembangkitkan listrik kK dengan harga Gp. >0

badanlingkungan mens!aratkan polusi oleh sul;urdioksida

maksimum perjam !ang diijinkan adalah 1> unit.karena

alasan tertentu pembangkitan minimum perjam adalah 1)

kK. (entukan berapa liter / dan ' harus digunakan per

jam agar bia!a %.% minimal

a"ab :(abel permasalahan :

andungan ilo Katt %ia!a

S2

' 3 )0

/ > >0

Fungsi obje?ti; 4 5 )0' 6 >0/ Subje?t to 3' 6 >/ 8 1>

' 6 / 9 1)

' 9 0 / 9 0.

<=. a7 4 5 X 6 2

Subje?t to X 6 8 2

-X I 8 -1 X 9 0

#en!elesaian :



Jji titik kritis :

<02= 4 5 0 6 5

<20= 4 5 2 6 0 5 2

<10= 4 5 1 6 0 5 1

<01= 4 5 0 6 2 5 2

Soal <tugas=:1. BAYU FURNITURE memproduksi 2 jenis produk yaitu meja dan kursi yang

harus diproses meaui perakitan dan !inishing. "roses perakitan memiiki #$ jam kerja sedang proses !inishing memiiki %& jam kerja. Untuk menghasikansatu meja di'utuhkan % jam perakitan dan 2 jam !inishing( sedangkan satukursi mem'utuhkan 2 jam perakitan dan % jam !inishing. )a'a untuk tiap meja*& dan tiap kursi *#. +ekarang kita harus menentukan kom'inasi ter'aik dari

jumah meja dan kursi yang harus diproduksi( agar menghasikan a'amaksima.

2. +e'uah toko ,T- IN/ +E0 menyediakan dua merk pupuk( yaitu +tandard dan+uper. +etiap jenis mengandung ampuran 'ahan nitrogendan !os!at daam

jumah tertentu.

+eorang petani mem'utuhkan paing sedikit 1# kg nitrogen dan 2% kg!os!atuntuk ahan pertaniannya. arga pupuk +tandar dan +uper masing3masing *4dan *#. "etani terse'ut ingin mengetahui 'erapa sak masing3masing jenispupuk harus di'ei agar tota harga pupuk menapai minimum dan ke'utuhanpupuk untuk ahannya terpenuhi.



<1=. a7. 4 5 2X1 - X2

S( 3X1 6 >X2 9 1> X1 6 *X2 8 3)

X1 X2 9 0

<2=. a7. 4 5 2X1 6 0.>X2

S( )X1 6 >X2 8 30

X1 6 X2 8 12

X1 X2 9 0

<3=. a7. 4 5 3X1 6 2X2

S( -3X1 6 2X2 8 )

-X1 6 *X2 8 3)

X1 X2 9 0

<=. a7. 4 5 X1 6 3X2

S( 3X1 6 3X2 8 1+ X1 6 2X2 8 10

X1 X2 9 0

<>=. a7. 4 5 3X1 6 +X2

S( 3X1 6 X2 8 20

X1 6 3X2 9 )

X1 X2 9 0

METODE SIMPLEKS

a7. 4 5 >X1 6 X2 6 3X3 E..<1=



Subje?t to 2X1 6 3X2 6 X3 8 >

X1 6 X2 6 2X3 8 11 E..<2=

3X1 6 X2 6 2X3 8 +

X1 X2 X3 9 0 Jntuk mengubah pertidaksamaan <2= menjadi persamaan

maka perlu ditambah Sla?k @ariabel !aitu :

X X> X) Sehingga :

2X1 6 3X2 6 X3 6 X 5 >

X1 6 X2 6 2X3 6 X> 5 11 E<3=

3X1 6 X2 6 2X3 6X) 5 +

Dengan X1 X2 X3 @ariabel eputusan <De?ision=

X X> X) Sla?k @ariabel

Dari <1= dan <3= diperoleh :

X 5 > - 2X1 - 3X2 - X3

X> 5 11- X1 - X2 - 2X3 E<=X) 5 + - 3X1 - X2 - 2X3

4 5 >X1 6 X2 6 3X3

#ermasalahan menjadi :

aksimumkan 4

Subje?t to : X1 X2 X3 X X> X) 9 0 EE<>=

#erhitungan dimulai dengan mengubah : X1 5 0 X2 5 0 dan

X3 5 0 sehingga persamaan <= menjadi :



X 5 > I 2<0= - 3<0= - 0 5 >

X> 5 11

X) 5 +

Sehingga menghasilkan

4 5 0 ----------------------------------------<)=

ita men?ari 4 !ang lebih besar di?oba X2 5 0 X3 5 0 dan

X1 dinaikkan karena X1 memberi kontribusi terbesar pada

nilai 4 sehingga persamaan <= menjadi :

X 5 > I 2 X1

X> 5 11 - X1

X) 5 + - 3 X1

4 5 >X1

#erhatikan X X> X) 9 0 maka X1 harus lebih ke?il atau

sama dengan 2

>

.

Coba X1 5 2

>

dan diperoleh :

X1 5 2

>

X25 0 X3 5 0 X 5 0 X> 5 1

X) 5 2

1

dan 4 5 > 7 2

>

5 2

2>

..............................<=

Selanjutn!a persamaan <= diatur lagi menjadi :

X 5 > - 2X1 - 3X2 - X3

X1 5 2

>

- 2

3

X2 - 2

1

X3- 2

1

X



X> 5 11 - < 2

>

- 2

3

X2 - 2

1

X3 - 2

1

X = - X2 - 2X3

5 1 6 > X2 6 2X

X) 5 + - 3< 2

>

- 2

3

X2 - 2

1

X3- 2

1

X = - X2 - 2X3

5 2

1

6 2

1

X2 - 2

1

X3- 2

3

X

4 5 >< 2

>

- 2

3

X2 - 2

1

X3- 2

1

X = - X2 - 3X3

5 2

2>

- 2

X2 6 2

1

X3 - 2

>

X ..............................<+=

ita akan meningkatkan nilai 4 perhatikan persamaan <+=. 4akan naik bila X3 dinaikkan.

%ila X1 X> X) 9 0 dari perasamaan <+= di?oba untuk X3 5 1.

Sehingga diperoleh dari persamaan <+= :

X1 5 2

>

- 2

3

X2 - 2

1

X3 - 2

1

X dan X2 5 X 5 0 L

X1 5 2

>

- 21

5 2

X2 5 0

X3 5 1

X 5 0

X> 5 16 >X2 6 2X X2 5 X 5 0

X> 5 1

X) 5 2

1

6 2

1

X2 - 2

1

X3 6 2

3

X LLX) 5 0

Dan

4 5 2

2>

- 2

<0= 6 2

1

<1=- 2

>

<0=



5 13

#erhatikan : L dan LL

X3 5 1 6 X2 6 3X - 2X)

X1 5 2

>

- 2

3

X2 - 2

1

X3 - 2

1

X

5 2

>

- 2

3

X2 - 2

1

<1 6 X2 6 3X - 2X)= - 2

1

X

5 2- 2X2 I 2X I X)

X> 5 1 6 >X2 6 2X

4 5 2

2>

- 2

X2 6 2

1

X3- 2

>

X

5 2

2>

- 2

X2 6 2

1

<1 6 X2 6 3X - 2X)= - 2

>

X

5 13 I 3X2 I X I X) ..................................<*=

#erhatikan persamaan <*=. 4 tak bisa dinaikkan lagi karena

<X2 X dan X) = bernilai <-=.

adi 4 5 13 adalah maksimum.

Contoh : lanjutan metode simplex

1. a7. 4 5 X1 6 3X2 .....................................<1=

S( X1 6 X2 8

2X1 6 X2 8 ) E..............................<2=

X1 X2 9 0

Jbah pertidaksamaan <2= menjadi persamaan dengan

menambahkan sla?k ariabel <X3 X=. Sehingga :



a7. 4 5 X1 6 3X2 .....................................<3=

S( X1 6 X2 6 X3 5

2X1 6 X2 6 X 5 ) EEEEEEE<=

X1 X2 X3 X 9 0

Dari <3= dan <= diperoleh :

X3 5 - X1 - X2 .............................<>=

X 5 ) - 2X1 - X2 EEEEEE...<)=

4 5 X1 6 3X2 EEEEEEE<=

%ila diambil non negatiitas <s!arat= maka :

X1 5 0 Bon %asi? @ariabel

X2 5 0

aka dari dan >

X3 5

X 5 ) %asi? @ariabel

4 5 <0= 6 3<0= 5 0

#erhatikan persamaan <= !ang memberikan kontribusi

terbesar pada kenaikan 4 adalah ariabel X1

X1 akan masuk <enter= menjadi basi? ariabel X akan

keluar <leaer= menjadi non basi? ariabel

eterangan : X1 paling negati; pada persamaan <)= sehingga

X1 diambil dari persamaan <)=.

X1 5 3 - 2

1

X2 - 2

1

X ..................<+= X2 5 0 B%



X3 5 - <3 - 2

1

X2 - 2

1

X= I X2 X 5 0

X3 5 1 - 2

1

X2 - 2

1

X ....................<*= X1 5 3 %@

4 5 X1 6 3X2 X3 5 1

5 <3 - 2

1

X2 - 2

1

X= 6 3X2

5 12 6 X2 I 2X .....................<10= 4 5 12

#erhatikan persamaan <10= kontribusi terbesar diberikan oleh

X2 pada kenaikan nilai 4 sehingga

X2 Anter X3 'eaer <pers. *=

X2 5 2 I 2X3 6 X EEE.E<11= X3 5 0 B%

X1 5 3 - 2

1

<2 I 2X3 6 X= - 2

1

X X 5 0

X1 5 2 6 X3 I X EEEE...<12= X1 5 2 %@

4 5 12 6 <2 I 2X3 6 X= I 2X X2 5 2 5 1 I 2X3 I X EEEE...<13=

4 5 1

#erhatikan persamaan <13= semua konstanta didepan

ariabel bernilai <-= sehingga 4 sudah maksimum

Soal :

<1=. a7. 4 5 >X1 6 3X2

S( X1 6 X2 8

2X1 6 X2 8 )

X1 X2 9 0



<2=. a7. 4 5 >X1 6 >X2 6 3X3

S( X1 6 3X2 6 X3 8 3

-X1 6 3X3 8 2

2X1 I X2 6 2X3 8 2X1 I 3X2 - X3 8 2

X1 X2 X3 9 0

<3=. a7. 4 5 X1 6 X2

S( X1 6 2X2 8 )

2X1 6 X2 8 )

X1 X2 9 0

<=. a7. 4 5 X1 6 X2

S( 2X1 6 X2 8 2

X1 X2 9 0

Catatan :

Dari pembahasan sebelumn!a bah"a model '# dapat

men?akup batasan dengan segala jenis < 8 9 5 =

#eme?ahan '# dengan metode simplek mempun!ai

beberapa batasan :

1. Semua batasan , kendala adalah persamaan dengan sisi

sebelah kanan non negati;

2. Semua ariabel adalah non negati;

3. Fungsi tujuan dapat berupa maksimisasi atau

minimisasi

. Suatu ariabel bertanda 8 <9= dapat dikonersikan

menjadi sebuah persamaan dengan menambahkan



sebuah ariabel Sla?k ke <mengurangkan ariabel

surplus dari= sisi kiri batasan tersebut.

Contoh :X1 6 2X2 8 ) X1 6 2X2 6 X3 5 )

X3 9 0

X1 6 2X2 - X3 9 > X1 6 X2 I X3 - X 5 >

X 9 0

%ila sisi sebelah kanan persamaan adalah negati;

#maka dapat dikalikan dengan -1 kedua sisin!a.

2X1 6 3X2 - X3 5 -> setara dengan

-2X1 - 3X2 6 X3 5 >

>. aksimisasi sebuah ;ungsi adalah setara dengan

minimisasi <-= dari ;ungsi !ang sama.

Contoh :

a7. 4 5 10X1 6 *X2 6 +X3 setara dengan

in <-4= 5 -10X1 - *X2 - +X3

riset operasi metode grafik

Documents