bab 1 pendahuluan - dosen.itats.ac.id · berikut ini akan diberikan ilustrasi tentang segitiga...

1

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1. PEMBAGIAN, PERPANGKATAN, DAN AKAR

1.1.1. PEMBAGIAN

Suatu pembagian di notasikan dengan cb

a (baca: a dibagi b sama dengan c),

artinya cba . (a sama dengan b kali c). Dari notasi a, b, c ini memiliki kemungkinan:

1. Jika 0b maka 00

bkarena 0.0 b

2. Jika 0a maka 0

atak punya arti karena andaikan saja m

a

0maka ma .0 dan

tampak bahwa tidak ada nilai m yang memenuhi.

3. 0

0bentuk tak tentu karena andaikan saja n

0

0maka n.00 berarti nilai n yang

memenuhi tidak tunggal.

4. 0a

, dengan a adalah bilangan berhingga.

Contoh:

1.2

1

2

1

2

0 3.

12

13

12

49

3

1

4

3

3

1

6

0

4

3

2.2

1

2

10

2

12

4. 1

2

2

2

1

2

1

1.1.2. PERPANGKATAN

Diketahui suatu bilangan Ra (baca bilangan real) maka berlaku nmnm aaa . ,demikian juga dengan:

nmnm aa .)( nnn baba .).(

nmn

m

aa

aa 0

mm

aa

1

0a dan berhingga 10 a

2

Contoh:

532 77.7 632 5)5( 36666

6 2464

6

1.1.3. AKAR

Jika n bilangan bulat positif yang memenuhi ba m , maka a disebut akar ke m

dari b. Sehingga dapat ditulis m ba atau nba1

, sifat-sifat dari akar yaitu sebagaiberikut:

ab nm )( nmm baab .

m

m

m

b

a

b

a nmm n aa .

Contoh:

1. 555

2. Merasionalkan: 34

6

34

34.

34

6

13

36

13

24

13

3624

316

3624

3. Menyederhanakan:3

2

3

2

3

2

3

2

243

32

243

32 2

12

1

5

1.52

1

5

1

5

52

1

5

12

1

5

Hasilnya dapat dirasionalkan menjadi 63

1

3

6

3

3.

3

2

1.2. PERKALIAN ISTIMEWA

Segitiga Pascal:

1 10 ba

1 1 baba 1

1 2 1 222 2 bababa

1 3 3 1 22233 33 babbaaba

dst….

3

Contoh:

a. 22222 963323 bababbaaba

b. 322332233 3333 babbaabbabaaba

PERKALIAN ISTIMEWA:

1. 22 bababa

2. 3322 babababa

3. 443223 bababbaaba

4. 55432234 bababbabaaba

5. 3322 babababa

6. 55432234 bababbabaaba

URAIAN:

1. axaxax 2

2. 1;2 iaixaixax

1.3. GONIOMETRI DAN FUNGSI KUADRAT

1.3.1. GONIOMETRI

Perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini:

Maka dapat dituliskan rumus-rumus trigonometri sebagai berikut:

BC

ACk sin ,

BC

ABk cos ,

AB

ACk tg ,

AC

ABk ctg ,

AB

BCk sec ,

AC

BCk cosec ,

C

BA

k

4

dengank

kk

cos

sintg ,

k

kk

sin

cosctg ,

kk

ctg

1tg ,

kk

cos

1sec , k

ksin

1cosec dan

berlaku dalil Pythagoras yaitu:222

BCABAC .

Berikut ini tabel nilai trigonometri dari sudut -sudut istimewa:

Sudut Sinus Cosinus Tangent Cotangen Secan cosecan

00 0 1 0 ~ 1 ~

300

2

13

2

13

3

1 3 33

2 2

450

22

12

2

1 1 1 2 2

600

32

1

2

1 3 33

1 23

3

2

900 1 0 ~ 0 ~ 1

1800 0 -1 0 ~ -1 ~

Rumus-rumus trigonometri yang lain:

1cossin 22 kk ; kk 22 sectg1 ; kk 22 cosecctg1

lklklk sincoscossin)sin( ; lklklk sinsincoscos)cos(

lk

lklk

tg.tg1

tgtg)(tg

;

Sin 2x = 2 sin x cos x; cos 2x = cos2 x - sin2 x; cos 2x = 2 cos2 x – 1;

cos 2x = 1 – 2 sin2 x;x

xx

2tg1

tg22tg

.

Contoh:

1.sin 750 = sin (450 + 300) = sin 450 cos 300 + cos 450 sin 300

264

1

2

1.2

2

13

2

1.2

2

1 .

5

2. sin 3x = -4 sin3x +3 sin x

3. cos 3x= 4 cos3x - 3 cos x

Berikut ini akan diberikan ilustrasi tentang segitiga dengan siku -siku istimewa:

1.3.2. FUNGSI KUADRAT

Sebelum membahas tentang fungsi kuadrat, d ibahas terlebih dahulu tentang PersamaanKuadrat (PK) yaitu persamaan yang secara umum dituliskan sebagai berikut:

0;02 acbxax

Persamaan kuadrat ini dapat diselesaikan denga n berbagai macam cara, diantaranya:

1. Dengan pemfaktoran (Faktorisasi)

yaitu penyelesaian yang mengubah 02 cbxax menjadi:

lxkxcbxax 2 dengan ,a

blk

,.

a

clk sehingga didapatkan penyelesai an

untuk persamaan kuadrat 02 cbxax adalah lxkx 21 , .

2. Dengan menggunakan rumus “a,b,c”

Jika penyelesaian PK-nya dengan menggunakan pemfaktoran tidak menghasilkanpenyelesaian maka dapat menggunakan rumus “a,b,c”.

Akar-akar 21, xx dari persamaan kuadrat 02 cbxax dengan menggunakan rumus

“a,b,c” adalah:

a

acbbx

2

4,

2

21

2

12

C

BA

300

2

1

3

C

BA

600

12

C

BA

450

1

6

atau dapat ditulis dengana

Dbx

2,21

dimana acbD 42 adalah diskriminan. Dari

kemungkinan D yang ada dapat dis impulkan bahwa:

a. jika 0D maka PK mempunyai 2 akar real berlainan. ( 21 xx )

b. jika 0D maka PK mempunyai 2 akar real sama. ( 21 xx )

c. jika 0D maka PK tidak mempunyai akar real.

Pada penyelesaian ini juga berlaku untuka

bxx

21 dan

a

cxx 21. .

Contoh:

Dapatkan akar-akar penyelesaian dari PK dibawah ini dengan menggunakan pemfaktoran danrumus “a,b,c”:

0322 xx

Dengan menggunakan pemfaktoran didapatkan )3)(1(322 xxxx , sehingga

3,1 21 xx . Untuk mengecek kebenaran akar -akar PK ini adalah 2,221

a

bxx dan

untuk 3,3. 21 a

cxx .

Sedangkan dengan menggunakan rumus “a,b,c” didapatkan:

1.2

)3.(1.422,

2

21x

2

1242

2

42

2

162

, sehingga penyelesaiannya

adalah 3,1 21 xx .

Suatu fungsi kuadrat 0,2 acbxaxy grafiknya berupa parabola dengan:

1. Puncak

a

D

a

bP

4,

2dengan sumbu simetri

a

bx

2 , acbD 42

2. jika a > 0 parabola terbuka ke atas dana

DY

4min .

3. jika a < 0 parabola terbuka ke bawah dana

DY

4max .

7

4. jika D > 0 y memotong sb x di dua titik yang berlainan

5. jika D = 0 y menyinggung sb x

6. jika D < 0 y tidak memotong sb x

7. Fungsi kuadrat disebut definit positif jika grafik seluruhnya berada di atas sb . x, syaratnya :

a > 0 dan D < 0.

8. fungsi kuadrat disebut definit negati f jika grafik seluruhnya berada dibawah sb. x, syaratnya:

a < 0 dan D < 0.

Contoh:

1. Lukis grafik 32 2 xxy

Penyelesaian:

02a grafik terbuka ke atas

Perpotongan dengan sumbu 032)0(, 2 xxyx2

310321 21 xxxx ,))(( .

Perpotongan dengan sb. 3)0(, yxy .

Sumbu simetri:4

1

22

1

2

)()(

a

bx .

Sedangkan untuk 2532414 22 ))(()(acbD dan puncaknya adalah

8

25

4

1

42,),( P

a

D

a

bP .

Grafik Penyelesaian

-4

-2

0

2

4

6

8

-3 -2 -1 0 1 2 3

sumbu x

sumbu y

y

8

2. Lukis grafik 22 xxy

Penyelesaian:

01a grafik terbuka kebawah. Memotong sb. x di (0,0) dan (2,0) dan memotong sb. y di(0,0); sb. simetri: x = 1. Untuk 401424 22 ))(()(acbD sedangkan puncaknya P(1,1).

1.4 GEOMETRI ANALITIK DASAR

1.4.1. GARIS LURUS

1 Jarak dari ),( AA yxA ke ),( BB yxB adalah 22 )()( ABAB yyxxAB

),( AA yxA ),( BB yxB

2. Persamaan eksplisit garis lurus nmxy ( m = koefisien arah/bilangan arah).

3. Persamaan implisit garis lurus 0 cbyax dengan bilangan arahb

am .

4. Jarak dari ),( AA yxA ke garis lurus 0 cbyax adalah22 ba

cbyaxd AA

.

0 cbyax

d

),( AA yxA

grafik penyelesaian

-3.5-3

-2.5-2

-1.5-1

-0.50

0.51

1.5

-2 -1 0 1 2 3

sumbu x

sumbu y

y

9

5. Persamaan garis lurus melalui dua titik ),( AA yxA dan ),( BB yxB adalahAB

A

AB

A

xx

xx

yy

yy

6. Persamaan garis lurus melalui ),( oaA dan ),( boB adalah 1b

y

a

x

Y

),( boB

),( oaA X

0

7. Garis lurus 0 cbyaxg : dengan bilangan arah 1m , garis lurus 0 rqypxh :dengan bilangan arah 2m .

Maka supaya ,// hg syaratnya : 21 mm , sedangkan supaya hg syaratnya : 121 mm . .

Sedangkan untuk g memotong h, syaratnya : 21 mm dan g berimpit dengan h, syaratnya

r

c

q

b

p

a .

1.4.2. LINGKARAN

1. Persamaan lingkaran pusat O(0,0) jari -jari a adalah 222 ayx .

2. Persamaan lingkaran pusat P(a,b) jari-jari r adalah 222 rbyax )()(

3. Lingkaran 022 CByAxyx mempunyai pusat di ),( BAP2

1

2

1 , jari-jari

CBAr 22

4

1

4

1

Contoh:

Dapatkan titik pusat dan jari -jari lingkaran: 014222 yxyx :

Penyelesaian: A = -2, B = -4, C = 1

10

Titik pusat di ),(),( 212

1

2

1PBAP dengan jari-jari

24144

12

4

1

4

1

4

1 2222 )()(CBAr

1.4.3. PARABOLA

Parabola adalah tingkat kedudukan titik -titik yang berjarak sama terhadap sebuah titikdan sebuah garis yang tertentu. Titik itu disebut fokus; garis itu disebut direktriks.

Ambil SR = sb x.; SF = p; OS = OF = ½ p. ),( 02

1pF fokus; P(x,y) pada parabola.

Pada siku-siku PFR:

222FRPRPF

222

2

1

2

1)()( pxypx

22222

4

1

4

1ppxxyppxx

Atau: pxy 22 ; p = parameter parabola

Jika puncak parabola (a,b) dan sumbu simetri tetap // sb x, maka persamaan parabolanya

adalah: )()( axpby 22 .

0

Y

F

y

P

X

Q

S

pxg2

1

R

11

1.4.4. ELLIPS

Elips adalah tempat kedudukan titik -titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentutetap nilainya.

y

yxP ,

x

A 0,a F O G B 0,a

Fokus-fokus F(-c,0),G(c,0) sedangkan P(x,y) terletak pada el lips, maka: PF + PG = 2a (tetap).

Kedua titik A dan B memenuhi, sebab AF = BG = a – c, maka:

AF + AG = BF + BG = (a - c) + (a + c) = 2a.

22 ycxPF , 22 ycxPG

PF + PG = 2a )()( 22222222 caayaxca

Misalkan 222 bca )( persamaan ellips: 12

2

2

2

b

y

a

x.

Jika pusat ellips ),( dan sumbu-simbu simetri tetap // sb x dan sumbu y;

persamaan ellips :

12

2

2

2

b

y

a

x )()(

.

12

1.4.5. HYPERBOLA

Hyperbola adalah tempat kedudukan titik -titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentutetap nilainya.

Fokus : F(-c,0) dan G(c,0)

AF = BG = c – a

AG – AF = BF – BG = (c + a) + (c - a) = 2a. sedangkan untuk P(x,y) terletak pada Hyperbola

dengan 22 ycxPF )( ; 22 ycxPG )( .

)()( 222222222 acayaxacaPGPF

Misalkan untuk 222 bac persamaan hyperbola: 12

2

2

2

b

y

a

x, sedangkan jika pusat

Hyperbola ),( dan sumbu-simbu simetri tetap // sb x dan sumbu y;

Persamaan hyperbola:

12

2

2

2

b

y

a

x )()(

Jika a = b, disebut Hyperbola orthogonal(siku -siku).

0 x

y

B GAF

),( yxP

0

13

SOAL-SOAL LATIHAN

Sederhanakanlah:

1. 3

2

2

3

274 = jawab: 17 2.

2

203

1

222

22

64

125

)(

3.

3

2

3

2

3

2

3

2

8888 )()()()( jawab: 8 4.

375

3125

243 2

1

5 .

Tanpa kalkulator dapatkan nilai dari:

5. a. sin ( 030 ) jawab:2

1

b. cos ( 060 ) jawab:2

1

c. tg ( 045 ) jawab: 1

d. cos ( 0120 ) jawab:2

1

6. a. sin8

b. cos8

c. tg 0522,

d. sin 0537,

7. Sederhanakanlah:

6

sin2

sin6

cos2

cos = jawab:2

1

8. Jika adalah sudut lancip dengan sin5

3 , ditanyakan sin 2 dan cos 2

9. Dengan rumus ”a, b, c” dapatkan akar-akar persamaan kuadrat:

a. 0652 xx jawab: 32 21 xx ,

b. 01272 xx jawab: 43 21 xx ,

c. 01712 2 xx jawab:4

1

3

121 xx ,

14

10. Dengan bantuan rumus ”a, b, c” selesaikan persamaan:

a. 065 tt c. 137 x

b. 05103 2 pp d. 2153 yy

11. Gambarkan grafik dari:

a. 822 xxy d. 223 xxy

b. 962 xxy e. 24 xy

c. 652 yyx f. 29 yx

12. Dapatkan persamaan garis lurus yang melalui titik:

a. ),( 51P dan ),( 43Q jawab: 0112 yx

b. ),( 31A dan mengapit sudut4

dengan sumbu x positif jawab: 4 xy

c. potong garis 32 yx dengan sb x dan tegaklurus pada garis lurus 634 xy

jawab: 0634 yx

13. Dapatkan jarak terpendek dari P(2, -1) ke garis lurus 01243 yx

14. Dapatkan titik pusat dan jari -jari lingkaran:

a. 01212822 yxyx jawab: P(4,-6), r = 8

b. 02241222 yxyx jawab: P(-6,2), r = 23

15. Dapatkan hasil dari:

a. 23457 = c. 23522352 =

b. 532532 = d.

336336 =

15

BAB 2

BILANGAN KOMPLEKS

Suatu bilangan kompleks dinotasikan dengan biaz , dengan a, b adalah bilangan realdimana a adalah bagian real dari z (Re z) dan b adalah bagian imaginer dari z (Im z). sedangkan

untuk notasi i adalah satuan imaginer dimana 12 i .

1. PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, PERKALIAN, PEMBAGIAN

Jika diberikan biaz 1 dan dicz 2 , maka:

1. idbcadicbiazz )()()()(21

2. idbcadicbiazz )()()()(21

3. ibcadbdacdicbiazz )()()).((. 21

4. idc

adbc

dc

bdac

dic

bia

z

z2222

2

1

2. BENTUK KUTUB DARI BILANGAN KOMPLEKS

Suatu bilangan kompleks biaz dapat juga dinotasikan kedalam bentuk kutub,ilustrasi pada bilangan kompleks ini dapat dilihat pada gambar dibawah ini:

Dengan sumbu tegak sebagai sumbu imaginer dan sumbu dat arnya sebagai sumbu real, makabilangan kompleks biaz mempunyai nilai modulus (nilai mutlak dari z) yaitu:

22 bazr

Y

X

P(a,b) = z = a + bi

b

a AO

16

Sudut adalah argument dari z yang didapatkan dari rumusan:

r

bsin dan

r

acos sehingga didapatkan dan bentuk kutubnya adalah

)sin(cos irz .

3. BILANGAN KOMPLEKS SEJODOH

Bilangan kompleks biaz dapat di tuliskan biabiaz sebagai komplekssejodoh dengan sifat-sifat:

1. zz 4. 2121 zzzz

2. 2121 zzzz 5.2

1

2

1

z

z

z

z

3.22

zzzz

4. PERKALIAN - PEMBAGIAN 2 BILANGAN KOMPLEKS DALAM BENTUKKUTUB

Jika )sin(cos 1111 irz , )sin(cos 2222 irz , maka:

1. ))sin()(cos( 21212121 irrzz

2. )sin()cos( 21212

1

2

1 ir

r

z

z

5. TEOREMA De Moivre:

}sin){cos())sin(cos( inrir nn

Khusus r = 1 maka dapat ditulis dengan }sin){cos()sin(cos ini n .

17

6. PENARIKAN AKAR:

?...)(1

,...,3,2,1 nnn

n biabiazbiaz

Perhatikan bahwa )360.sin()360.cos()sin(cos kikrirbia

Maka:

nn kikrbia11

)}360.sin()360.{cos()(

n

ki

n

krbia nn

0011 360.sin

360.cos)(

Sehingga dapat disimpulkan:

nn zbiaz ,...,3,2,1

)}

360.sin()

360.cos(

001

n

ki

n

kr n

,

dengan )1(,...,3,2,1,0 nk .

Untuk k = i maka didapatkan akar 1iz .

Contoh-contoh;

1. jika z = 8 + 6i, maka dapat dihasilkan bagian rea l dan bagian imaginer dariz

1nya adalah

sebagai berikut:

Penyelesaian:

100

68

3664

68

3664

68

68

68.

68

1

68

112

ii

i

i

i

i

iiz

iii

z 50

3

25

2

100

6

100

8

100

681

Jadi bagian real dariz

1(Re

z

1) adalah

25

2, sedangkan untuk bagian imajiner dari

z

1(Im

z

1)

adalah50

3.

18

2. Ubah z = - 3 + 3i ke dalam bentuk kutub.

Penyelesaian:

Diketahui a = -3, b = 3; 23993)3( 22 r

22

1

23

3sin

r

b , dan 2

2

1

23

3cos

r

a , sehingga didapatkan nilai ini

pada kuadran II yaitu 135 .

Jadi bentuk kutub dari )135sin135(cos2333 iiz

3. Nyatakan 0000 42sin42cos518sin18cos2 ii kedalam bentuk (a + b i).

Penyelesaian:

000000 )4218sin()4218cos(1042sin42cos518sin18cos2 iii

00 60sin60cos10 i

35532

1

2

110 ii

4. Nyatakan hasil)24sin24(cos3

)54sin54(cos1200

00

i

i

kedalam bentuk (a + bi).

Penyelesaian:

)2454sin()2454cos(3

12

)24sin24(cos3

)54sin54(cos12 000000

00

ii

i

iii 232)2

13

2

1(430sin30cos4 00

5. Dapatkan nilai 63 i

Penyelesaian:

iz 3 dengan 3a dan 1b sehingga didapatkan 2131)3( 22 r .

19

2

1sin

r

b , dan 3

2

1cos

r

a sehingga didapatkan nilai ini pada kuadran I yaitu

30 . Jadi bentuk kutub dari )30sin30(cos23 iiz . Sehingga didapatkan nilai

untuk )180sin180(cos2)]30sin30(cos2[)3( 006666 iiiz = - 64.

6. Nyatakan x3sin kedalam suku-suku dari xsin dan x3cos ke dalam suku-suku xcos .

Penyelesaian:

Teorema De Moivre: Menggunakan segitiga Pascal

33 )sin(cos)sin(cos xixxix

3223 )sin()sin(cos3)sin(cos3cos)3sin3(cos xixixxixxxix

)sinsincos3())(sincos3(cos)3sin3(cos 3223 xxxixxxxix

)sinsin)sin1(3())cos1(cos3(cos)3sin3(cos 3223 xxxixxxxix

)sin4sin3(cos3cos4)3sin3(cos 33 xxixxxix

Dari persamaan tersebut didapat: xxx cos3cos43cos 3 dan untuk

xxx 3sin4sin33sin .

7. Dapatkan semua akar-akar dari 13 z

Penyelesaian:

iz 0113 , maka 10)1( 22 r

01

0sin

r

b , dan 1

1

1cos

, sehingga didapatkan 180 .

Jadi bentuk kutub dari )180sin180(cos01 iiz .

Sedemikian hingga bentuk-bentuk akar dari

20

3

360.180sin

3

360.180cos1

0003

3,2,1

ki

kz adalah:

Untuk k = 0 iiz 32

1

2

160sin60cos1

Untuk k = 1 1180sin180cos2 iz

Untuk k = 2 iiz 32

1

2

1300sin300cos1

21

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Selesaikan: a. 3)23( i jawab: i469

b. 4)21( i jawab: i247

2. Selesaikan: a. 3)23( i b. 8)1( i

3. Nyatakan kedalam bentuk kutub:

a. iz 636 jawab: )30sin30(cos12 00 iz

b. iz 44 jawab: )225sin225(cos24 00 iz

4. Nyatakan dalam bentuk a + b i :

a. )120sin120(cos6 00 iz b. )210sin210(cos16 00 iz

5. Nyatakan kedalam bentuk a + b i :

a. 300 ))20sin20(cos4( iz jawab: i33232

b.10

2

13

2

1

i jawab:

i3

2

1

2

1

6. Nyatakan hasilnya dalam bentuk a + b i:

a. 300 ))30sin30(cos5( i b. 61 i

7. Nyatakani

ii

3

)1)(2(ke dalam bentuk a + b i: jawab:

i

5

4

5

3

8. Nyatakani

i

1

)1(ke dalam bentuk kutub.

9. Jika )sin(cos irz , buktikan bahwa:

a. )(2

1)cos( nn zzn b. )(

2

1)sin( nn zz

in

c. nn

n zz )(2

1cos 1 d. n

nn zz

i)(

)2(

1sin 1

10. Dapatkan semua akar dari: a. 13 z b. iz 13 c. 325 z

22

BAB 3

DETERMINAN

3.1. DETERMINAN TINGKAT n

nnn

naa

n

aa

aaa

aaa

D

1

221

11211

.,,,, nnaaaa 131211 disebut elemen-elemen determinan. Determinan (Det) tingkat n mempunyai n

baris dan n kolom, jadi banyaknya elemen ada 2nnn buah. Untuk nnaaaa ,,,, 332211 adalah

elemen-elemen diagonal pokok. Sedangkan 123121 nnnn aaaa ,,,, )()( ini adalah diagonal kedua.

Dengan elemen pqa terletak di baris ke p dan di kolom q.

Det. Tingkat 2 Det. Tingkat 3

2221

1211

aa

aa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

3.1.1. MINOR:

Minor adalah dari elemen pqa dari det. Tingkat n adalah det. Tingkat (n-1) yang diperoleh

dengan mencoret baris ke p dan kolom ke q, diberi lambang pqM .

Contoh: minor dari elemen 21a dari determinan tingkat 3

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

adalah3332

131221 aa

aaM

23

3.1.2. KOFAKTOR:

Kofaktor dari elemen pqa diberi lambang pqK didefinisikan sbb:

pqqp

pq MK )( 1

Jika qp genap pqpq MK

Jika qp gasal pqpq MK

3.1.3. NILAI DETERMINAN

Nilai determinan adalah jumlah hasil elemen-elemen dari sebuah baris (kolom) dengan

kofaktor-kofaktor yang bersesuaian. (EXPANSI LAPLACE)

nn KaKaKaKa 11131312121111 (Ekspansi menurut elemen-elemen baris ke-1).

3.1.4. ATURAN SARRUS

(HANYA BERLAKU UNTUK DET. TINGKAT 3)

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

)()( 332112322311312213322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa

Dengan pertolongan :

Kolom 4 = kolom 1

Kolom 5 = kolom 2

3.1.5. PENGGANDAAN DUA BUAH DETERMINAN

Dengan aturan”baris dengan kolom” sbb:

2221

12121 aa

aaD ,

2221

12112 bb

bbD , maka:

2221

121221 aa

aaDD

2221

1211

bb

bb=

2222122121221121

2212121121121111

babababa

babababa

24

3.1.6. DETERMINAN TRANSPOSE

Lambang 1 atau T , diperoleh dari dengan menukar baris menjadi kolom, kolommenjadi baris.

Contoh:dc

ba

db

caT .

Sifat-sifat determinan:

1. Nilai T = nilai

2. Jika baris ke i = 0 (kolom ke-i = 0) maka nilai = 0.

3. Jika baris ke i ditukar dengan baris ke-j (kolom i ditukar dengan kolom ke j) diperoleh det.Baru 1 dengan nilai 1 .

4. Jika baris ke i = baris ke j (kolom ke i=kololm ke j) maka nilai = 0

5. Nilai det menjadi k kali jika semua elemen pada sebuah baris (kolom) digand akan dengan0k .

6. jika ada 2 baris (2 kolom) yang sebanding maka nilai = 0.

7.

333

222

111

3233

2222

1111

cbx

cbx

cbx

cbyx

cbyx

cbyx

)(

)(

)(

+

333

222

111

cby

cby

cby

8. Nilai sebuah det. tetap tidak berubah, j ika setelah semua elemen-elemen sebuah baris(kolom) di gandakan dengan 0k kemudian ditambahkan (dikurangkan) pada elemen -elemen yang bersesuaian dari baris (kolom) lainnya.

3.1.7. PERSAMAAN LINIER SERENTAK / PERSAMAAN LINIER SIMULTAN /SISTEM PERSAMAAN PERSAMAAN LINIER .

3 PERSAMAAN DENGAN 3 VARIABEL:

1321 kzayaxa

2321 kzbybxb Akan didapatkan x, y, z :.......

3321 kzcycxc

0

321

321

321

ccc

bbb

aaa

,

323

322

321

1

cck

bbk

aak

,

331

321

311

2

ckc

bkb

aka

,

321

221

121

3

kcc

kbb

kaa

Maka:

321 zyx ;; disebut aturan cramer.

25

Contoh-contoh:

1. Dapatkan nilai determinan berikut:

a).

121

132

213

b).

842

753

421

c).

85410

11326

6418

7234

d).

3883933

1731916

1422915

4123

Penyelesaian:

a)

21

32

13

121

132

213

=(-9-1+8)-(-6-6+2)=8

b) 0

842

753

421

, karena 13 2bb . (Sifat 6)

c) 0

85410

11326

6418

7234

, karena kolom 1= -2 kali kolom 3 (Sifat 6)

d)6239

5137

6259

1

68239

53137

62259

0100

3883933

1731916

1422915

4123

134

32

31

exp423

Bkkkkkk

6)4542(269

57)2(

6239

5137

020131 exp bbb .

2. Dengan aturan cramer selesaikan spl berikut:

42

332

323

zyx

zyx

zyx

Penyelesaian 8

121

132

213

, 8

124

133

213

1 , 16

141

132

233

2 ,

26

8

421

332

313

3 , jadi 18

81

x , 28

162

y , 18

83

z

3. Dapatkan persamaan garis lurus yang mela lui dua titik P(-1,3) dan Q(2,1).

Penyelesaian:

Misalkan persamaan garis lurus itu baxy (1)

Melalui titik P(-1,3) berarti koordinat titik P memenuhi persamaan (1) ialah 3 = a (-1) + b

Melalui titik Q(2,1) berarti koordinat titik Q memenuhi persamaan (1) ialah 1 = a (2) + b

SPL yang terjadi adalah:

12

3

ba

ba

761)2)(3()1)(1(121

31

213)1)(1()1)(3(11

13

321)2)(1()1)(1(12

11

2

1

D

D

D

3

2

3

21

D

Da ,

3

7

3

72

D

Db .

Kemudian nilai a dan b yang diperoleh ini dimasukkan ke (1), maka didapat persamaangaris-garis lurus yang ditanyakan adalah:

3

7

3

2 xy .

4. Dapatkan persamaan parabola ( cbxaxy 2 ) yang melalui tiga buah titik P( -1,0), Q(-2,0)dan R(1,6).

Penyelesaian:

cbxaxy 2 (1)

Melalui P(-1,0) cba )()( 110 2 0 cba

Melalui Q(-2,0) cba )()( 220 2 024 cba

Melalui R(1,6) cba )()( 116 2 6 cba

27

dengan :

6

111

124

111

D , 6

116

120

110

1

D , 18

161

104

101

2 D , 12

611

024

011

3

D

16

61 D

Da , 3

6

182 D

Db , 2

6

123 D

Dc

Karena nilai a, b, c dapat diketahui maka dari persamaan (1) parabola yang ditanyakan ialah:

232 xxy .

5. Dapatkan persamaan lingkaran ( 022 cbyaxyx ) yang melalui tiga titik A(-1,0),B(1,2), dan C(3,0).

Penyelesaian:

022 cbyaxyx (1)

Melalui A(-1,0) 00101 22 cba )()()()( 10 cba

Melalui B(1,2) 02121 22 cba )()()()( 52 cba

Melalui C(3,0) 00303 22 cba )()()()( 903 cba

Dari ketiga persamaan diatas didapatkan 302 cba ,, .

Nilai a, b, c yang didapat disubstitusi ke (1), maka persamaan lingkaran yang ditanyakanadalah:

03222 xyx .

28

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Dapatkan nilai determinan:

a.62

43 , jawab:10 b.

64

35

, jawab:-18 c.

425

27 , jawab:22


a.

3

2

3

12

1

5

4

b.

2

1

3

15

2

4

1

c.

3

1

4

32

1

7

2


a.

151

412

037

D b.

231

312

123

D c.

3839833

1719316

1429215

4213

D

jawab: 165 jawab: 28 jawab: -6


a.

211

3132

123

D b.

3630

8734

1210

4521

D c.

2781

25121

23161

3194

D

5. Dengan aturan Cramer selesaikan sistem persamaan linier (SPL) berikut:

a.

123

1332

223

zyx

zyx

zyx

b.

6

02

32

zyx

zyx

zyx

jawab: x = 1, y = -2, z = -3 jawab:x = 2, y = -1, z = 3

6. Dengan aturan Cramer selesaikan SPL berikut:

a.

3043

2432

22325

zyx

zyx

zyx

b.

816

232

yx

yxc.

3639

2426

1843

zyx

zyx

zyx

29

BAB 4

MATRIKS

mnmm

n

n

mxn

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

adalah matriks berukuran / berdime nsi mxn.

m adalah banyak baris dari matriks A.

n adalah kolom dari matriks A

ija adalah elemen (anggota) dari matriks A yang terletak pada baris ke -i dan dikolom ke-j.

mxnijmxn aA .

nxA1 (matriks baris, vektor baris). Contoh: 421341 xA .

1xnB (matriks kolom, vektor kolom). Contoh:

3

3

2

13 xB .

Beberapa jenis matriks:

1. Matriks Nol

Matriks dengan semua anggotanya nol.

Contoh:

00

00

00

23 xO

2. Matriks Bujur Sangkar (MBS)

Matriks dengan banyak baris sama dengan banyak kolom.

Contoh:

210

132

021

33 xB

3. Matriks Segitiga Atas

adalah matriks bujur sangkar dengan 0ija untuk ji .

Matriks segitiga bawah adalah matriks bujur sang kar dengan 0ija untuk i < j.

30

33

2322

131211

33

00

0

a

aa

aaa

A x

333231

2221

11

33 0

00

aaa

aa

a

B x

Matriks segitiga atas Matriks segitiga bawah

4. Matriks Diagonal:

adalah Matriks bujur sangkar dengan 0ija untuk ji .

33

22

11

33

00

00

00

a

a

a

A x

5. Matriks Satuan(Matriks identitas)

Adalah matriks diagonal dengan elemen diagonal utama sama dengan satu.

Contoh:

100

010

001

33 xI

6. Matriks Skalar

adalah matriks diagonal dengan kaaa nn ...2211 .

Contoh:

200

020

002

33 xA .

7. Matriks Transpose

TA (matriks transpose dari matriks A) : baris -baris dari matriks A dijadikan kolom -kolomdan kolom-kolom dijadikan baris-baris.

mxnji

Tmxnnxmijnxm aAaA .

Contoh:

30

13

12

311

0322332

Txx AA .

8. Matriks Simetris

Adalah matriks bujur sangkar dengan jiij aa atau AAT .

31

Contoh:

604

013

432

33 xA .

9. Matriks Simetris Miring

adalah matriks bujur sangkar dengan jiij aa atau AAT .

Contoh:

024

203

430

33 xA .

Hal-hal yang perlu diketahui :

1. Dua Matriks Sama

Dua matriks dikatakan sama ika ukurannya sama dan elemen-elemen yang seletak sama.

Contoh: BABA xx

604

113

512

,

604

113

512

3333 .

2. Jumlah / Selisih Dua Matriks

nxmnxmnxm CBA .

Contoh:

701

033

421

242

322

211

nxmnxmnxm DBA .

Contoh:

143

451

421

242

322

211.

3. Pergandaan Matriks dengan Skalar

Contoh:

644

4222

322

211AA .

4. Pergandaan Dua Matriks : nxmnxppxm CBA .

Contoh:

17

47

)1)(3()2)(2()0)(2()3)(3()1)(2()2)(2(

)1)(2()2)(1()0)(1()3)(2()1)(1()2)(1(

13

21

02

322

211.

Pada umumnya: BAAB .

32

5. Invers Matriks

Matriks bujur sangkar nxnnxn BA , sedemikian hingga maka

IAAAB nxnnxn 11 .; .

Syarat suatu matriks nxnA mempunyai invers 1nxnA jika 0A .

Ada beberapa cara untuk mendapatkan inv ers dari suatu matriks:

a. IAA 1. .

Contoh: Dapatkan 1A dari

53

32A .

01)3)(3()5)(2(53

32A mempunyai invers.

Misal: IAAdc

baA

11 . .

10

01

53

32

dc

ba

10

01

5353

3232

dbca

dbca

3,5053

132ca

ca

ca

2,3153

032db

db

db

Jadi:

23

351A .

b. OBE (Operasi Baris Elementer)

Contoh: Dapatkan invers dari

473

452

121

33 xA .

Penyelesaian:

13333 |~|~| AIIA

OBEOBE

x .

~~~31

32

2312

13 6

2

3111

012

001

|

|

|

100

610

121

103

012

001

|

|

|

710

610

121

100

010

001

|

|

|

473

452

121BB

BB

BBBB

BB

nnnnxn IBA .

33

111

674

13158

|

|

|

100

010

001

~

111

674

110

|

|

|

100

010

02121 2BB

; Jadi:

111

674

131581A .

c. )(11 AadjA

A .

Contoh: Dapatkan 1A dari

52

73A .

Penyelesaian:

1)2)(7()5)(3(52

73A .

Kofaktor (A)

37

25)(

32

75AAdj .

37

25)(

11 AadjA

A .

Menyelesaikan Persamaan Linier Serentak de ngan Augmented Matriks(Matriks Diperbesar)

Contoh: Selesaikan

0563

1342

92

zyx

zyx

zyx

.

Penyelesaian:

2

317

9

|

|

|

2

100

720

211

~

27

17

9

|

|

|

1130

720

211

0

1

9

|

|

|

563

342

21123

13

12

2

33

2~

BBBB

BB

32

3

2

1 zz .

217)3(721772 yyzy .

.19)3(2292 xxzyx

34

CONTOH:

1. Sebuah toko gula-gula ”MANIS” menyimpan 40 kg permen dengan harga Rp. 1.400, - per-kg. Karena permen jenis ini kurang begitu laku dijual, maka perlu dicampur dengan permenjenis lain yang dengan harga Rp. 1000, - per-kg. Jika harga tiap kg permen campuran adalahRp. 1250,- per-kg dan pemilik toko tidak mengalami kerugian, maka berpa kg permendengan harga Rp. 1000,- per-kg harus dicampurkan?

Penyelesaian:

Misalkan x : jumlah dalam kg permen dengan harga Rp. 1000, - per-kg

y : jumlah dalam kg permen dengan harga Rp. 1250, - per-kg

Membentuk SPL-nya:

4040 yxyx

5600012501000)1250()1000()1400(40 yxyx

Ditulis dalam bentuk matriks diperbesar menjadi:

16000

40

|

|

2500

11

56000

40

|

|

12501000

1112 1000BB

Ini berarti bahwa: 6416000250 yy

24406440 xxyx .

Jadi jika permen 40 kg dengan harga Rp 1400, - per-kg dicampur dengan 24 kg permendengan harga Rp. 1000,- per-kg menjadi permen campuran sebanyak 64 kg dengan hargaRp. 1250,- per-kg, pemilik toko tidak mengalami kerugian.

2. Pada sebuah pabrik elektronika per hari 2 pekerja laki -laki dan 3 pekerja perempuan dapatmerakit 15 pesawat TV. Pada hari yang lain 3 pekerja laki -laki dan 4 pekerja perempuandapat merakit 21 pesawat TV. Berapa pesawat TV masing -masing per hari dapat dirakit olehseorang pekerja laki-laki dan pekerja perempuan?

Penyelesaian:

Misalkan seorang pekerja laki-laki dapat menyelesaikan x pesawat TV per hari dan seorangpekerja dapat menyelesaikan y pesawat TV per hari, maka SPL-nya:

2143

1532

yx

yx

35

Ditulis dalam bentuk matriks diperbesar, menjadi:

2

315

|

|

2

10

32

21

15

|

|

43

32 12 2

3BB

Ini berarti bahwa: 32

3

2

1 yy .

315)3(321532 xxyx .

Jadi seorang pekerja laki -laki per hari dapat merakit 3 pesawat TV dan pekerja perempuandapat merakit 3 pesawat TV.

3. Gambar berikut adalah sebuah batang logam terisolasi.

10oC T1 T2 30oC

Temperatur pangkal 10oC dan temperatur ujung 30 oC. Temperatur disetiap titik dibagiandalam adalah rata-rata dari temperatur di dua titik didekatnya, maka dapatkan temperaturdibagian dalam T1 dan T2.

Penyelesaian:

1022

1021

21

TT

TT

3022

3021

12

TT

TT

Ditulis dalam bentuk matriks diperbesar menjadi:

35

10

|

|

2

30

12

30

10

|

|

21

12 12 2

1BB

Ini berarti bahwa: CTT o22 33,2335

3

235

2

3 .

CTTTT o1121 67,161033,23

3

1210

3

12

36

SOAL LATIHAN

1. Diketahui:

314

022

121

,

214

302

141

QP ; ditanyakan:

a). PQ b). P + Q c). QP d). P – Q

Jawab:

a).

286

111110

273

b).

128

324

060

c).

71918

882

537

d)

500

320

222

2. Diketahui:

125

041

230

,

124

012

111

BA ; ditanyakan: a). AB b). BA

3. Ditanyakan A-1 , jika: a).

42

51A b).

21

53A c).

321

513

021

A

Jawab: a).

6

1

3

16

5

3

21A b).

31

521A c).

3

10

3

121

5

7

1

3

221

10

7

2

3

1

1A

4. Dapatkan B-1 dari: a).

548

010

214

B b).

120

111

011

B

5. Selesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) berikut :

a).

5643

342

7252

zyx

zyx

zyx

; Jwb:

1

1

5

z

y

x

b).

32

6

1132

zyx

zyx

zyx

Jwb:

3

2

1

z

y

x

c).

3694

1432

6

zyx

zyx

zyx

6. Selesaikan SPL berikut:

a).

543

1022

423

zyx

zyx

zyx

b).

3

03

72

zx

zy

yx

c).

166

168

894

zy

zx

yx

d).

816

232

yx

yx

37

BAB 5

ALJABAR VEKTOR

Vektor : kuantiti yang punya besar dan arah

Contoh: kecepatan, percepatan, gaya.

Skalar: kuantiti yang punya besar saja.

Contoh: waktu, temperatur, massa, panjang, bilangan real.

aaaAB ; panjang vektor a

Dua vektor dikatakan sama ba jika searah dan sama panjang.

a b

Jumlah dua vektor ca

c c

a a

cad

acca . c

Selisih dua vektor da d

d a dac )( dada

A

Ba

acca

38

Unit Vektor Siku

Z kji ,, adalah vektor-vektor satuan masing-

P(x,y,z) masing pada arah sumbu X, sumbu Y, sb. Z

r .1,1,1 kji

k Vektor posisi r dari O ke P(x,y,z) adalah

i O j Y kzjyixr dengan panjang

222 zyxr .

X

Komponen-komponen suatu vektor

Z kajaiaaOA 321

ka3 P proyeksi A pada bidang XOY

),,( 321 aaaA PAkaOAjaOAiaOA 33221 ,,

ja2 Y jaiaOAOAOP 2121

P23

22

21

321

aaaaa

kajaiaPAOPOAa

Pergandaan Titik (Dot Product)

b Definisi: )0(,cos abba

),( ba ; abba .

1 kkjjii .

a 0 ikkjji .

332211

321

321 babababakbjbibb

kajaiaa

.

A3

A2

X

A1

ia1

39

Pergandaan Silang (Cross Product)

ba x Definisi: )0(;)sin(x ebaba

),( ba diukur dari a ke b ;

e : vektor satuan yang tegak lurus bidangnya a dan b .

.;;;;;;0 jkxiijxkkxijjixkikxjkjxikxkjxjixi

).( axbbxa

321

321

bbb

aaa

kji

bxa .

Luas jajaran genjang yang dibentuk a dan b , adalah:

||

321

321

bbb

aaa

kji

bxaL

Luas segitiga yang dibentuk a dan b :

||2

1

2

1

321

321

bbb

aaa

kji

bxaL

Volume balok miring (Paralelepipedum) dengan sisi -sisi cba ,, :

||

321

321

321

ccc

bbb

aaa

cxbaV

23

22

21

23

22

21

332211cosbbbaaa

bababa

ab

ba

40

CONTOH:

1. Diketahui: nmRBARbOBaOA ::;; .

Ditanyakan: rOR .

Penyelesaian: rbRBarAR ; .

nmRBAR ::

ARnRBm

)()( arnrbm

rnmbmananrnrmbm )(

Jadi:nm

bmanr

. Khusus jika AR=RB (R tengah-tengah AB) maka )(2

1bar .

2. Jika ba , dan c adalah vektor-vektor posisi dari titik-titik A, B dan C dari ABC, maka

buktikan bahwa vektor posisi titik berat Z dari ABC adalah )(3

1cba .

Bukti:

Ambil titik D titik tengah BC, maka:

c titik tengah Z membagi AD dalam perbandingan:

AZ : ZD = 2 : 1.

a b Vektor posisi dari D adalah cb 2

1

Jadi vektor posisi Z: cba

cba

3

1

12

.2.1 21

.

3. Diketahui: ABC, M titik tengah AC, N titik tengah BC.

Buktikan: MN//AB dan MN=2

1AB.

BA

DZ

C

O

41

Bukti: CM = MA; CN = NB.

Ambil: bCBaCA ,

Pada ABC: abCACBAB

a b Pada CMN: CMCNMN

ab ABababMN2

1

2

1

2

1

2

1

Jadi terbukti bahwa MN//AB dan MN=2

1AB.

4. Dapatkan luas segitiga yang titik -titik sudutnya P(2, 3, 5); Q(4, 2, -1); R(3, 6, 4)

Penyelesaian:

kjikjiPQ 62513224

kjikjiPR 3543623

Luas segitiga: kjikjiPQL 3x622

1PRx

2

1

4262

17419

2

17419

2

1|

131

612|2

1 222 kji

kji

.

5. Dapatkan volume parallelepipedum yang sisi -sisinya kjibkjia 2,432 ,

kjic 23 .

Penyelesaian:

77|

213

121

432

|

cxbaV .

BA

M

C

N

42

SOAL LATIHAN

1. Jika kjia 23 dan kjib 52 , dapatkan:

a). ba b). ab c). ba d). bxa

Jawab: a). 18 b). 70 c). -13 d). kji 139

2. Jika kjibkjia 342,43 dan kjic 2 ; dapatkan unit vektor yang sejajar

pada cba 423 .

3. Tunjukkan bahwa vektor-vektor kjibkjia 53,2 dan kjic 443 membentuk sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku.

4. Jika vektor-vektor posisi dari A adalah kji 492 dan B adalah kji 836 , maka

dapatkan AB dan panjangnya.

5. Dapatkan sudut yang dibentuk oleh:

a). kjia 32 dan kjib 23 b). kjia 623 dan kjib 34

c). BA dan BC jika A(6,4,4), B(4,2,4) dan C(4, -1,1)

6. Dapatkan proyeksi vektor kjia 2 pada kjib 744 . Jawab:9

19

7. Dapatkan luas segitiga yang mempunyai titik -titik sudut berikut:

a). A(0,0,0); B(1,2,3); C(2,-1,4) b). D(1,0,0); E(0,1,0); F(1,1,1)

8. Dapatkan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh dua buah vektor:

a). jia 23 dan kjb 42 b). kjia 22 dan kjib 23 .

9. Dapatkan isi parallelepipedum yang sisi -sisinya OA, OB, OC dimana A(1,2,3); B(1,1,2);C(2,1,1). Jawab: 2

10. Buktikan bahwa:

a). cbabcacxbxa

b). cxbaacxcbba 2

11. Jika kjibkjia 23,532 , maka dapatkan baba Jawab: 24

43

BAB 6

TURUNAN FUNGSI DAN INTEGRAL TAK TERTENTU

6.1. FUNGSI

Jika setiap satu nilai x menentukan satu nilai y, maka dikatakan bahwa y fungsi dari x, ditulis:

)(xfy

y peubah tak bebas x peubah bebas

Contoh:

1. 2xy 2. xy 2

y fungsi dari x y bukan fungsi dari x

Daerah Definisi (DD) dan Daerah Fungsi (DF)

DD: daerah peubah bebas dimana fungsi bernilai real.

DF: kumpulan nilai fungsi yang didapat dari DD.

Contoh:

24 xy

DD: ,22 x DF: 20 y

6.2. LIMIT FUNGSI

Jika ax (baca x mendekati a dari kanan) dan xfax

lim ada, maka bentuk xfax

lim

disebut limit kanan.

Jika ax (baca x mendekati a dari kiri) dan xfax

lim ada, maka bentuk xfax

lim disebut

limit kiri.

Jika limit kanan dan limit kiri ada dan nilain ya sama, maka dikatakan bahwa xfax

lim ada.

CONTOH:

Diberikan: 1 xxf

Ditanyakan: xfx 2lim

44

Penyelesaian:

Nilai-nilai xf untuk 2x :

x 1,80 1,90 1,97 1,99 1,99999

xf 2,80 2,90 2,97 2,99 2,99999

Limit kiri:

31limlim22

xxfxx

……………………………………………(1)

Nilai-nilai xf untuk 2x :

x 2,20 2,15 2,05 2,01 2,00001

xf 3,20 3,15 3,05 3,01 3,00001

Limit kanan:

31limlim22

xxfxx

……………………………………………(2)

Dari (1) dan (2), limit kiri dan limit kana nada dan bernilai sama, ditulis:

31limlim22

xxfxx

.

Grafik fungsi:

CONTOH:

Diberikan: 2

2

x

xxf

Ditanyakan: a). xfx 2lim

b). xfx lim

1)( xxf

X

Y

45

Penyelesaian:

Dari grafik terlihat bahwa:

xfxf

xf

xx

x

22

2 limlim

lim

tidak mempunyai limit dan 1lim

xf

x.

CONTOH:

?............1

1lim

n

x n

Penyelesaian:

n

n

11

n

n

11

1 2 2

10 1,1 2,59374….

100 1,01 2,70481….

………………. ……………… …………….

100000 1,00001 2,71814……

1000000 1,000001 2,71828……………

Untuk 71828,2000001,11

11000000 1000000

n

nn

X

Y

46

Untuk 71828,2999999,01

11000000 1000000

n

nn

71828,21

1lim

n

x ndisebut bilangan e.

Jadi: 71828,21

1lim

n

x n.

Bilangan e:

6.3. FUNGSI HIPERBOLIK

Definisi: xx eex 2

1sinh

xx eex 2

1cosh

SIFAT-SIFAT FUNGSI HYPERBOLIK:

1. 1sinhcosh 22 xx

2. xx 22 tgh1hsec

3. 1cotghcosech 22 xx

4. xx sinh-sinh

5. xx cosh-cosh

6. xx tgh-tgh

7. yxyxyx sinhcoshcoshsinhsinh

8. yx

yxyx

tgh.tgh1

tghtghtgh

9.x

xx

2tgh1

tgh22tgh

10. xxx cosh.sinh22sinh

11. 00sinh

12. 10cosh

13. yxyxyx sinhsinhcoshcoshcosh

14. 1cosh21sinh2sinhcosh2cosh 2222 xxxxx

71828,21

1lim

n

x ne

47

6.4. BEBERAPA LIMIT YANG PENTING:

1. ex

x

x

11lim

2. ex

x

x

11lim

3. ey yy

1

01lim

4. px

xe

x

p

1lim

5. )0(;ln1

lim0

aa

x

a x

x

6. 11

lim0

x

e x

x

7. 1sin

lim0

x

xx

8. 1x

arcsinlim

0

xx

9. 1x

tglim

0

xx

10. 1arctg

lim0

x

xx

6.5. NILAI MUTLAK DARI BILANGAN REAL

Definisi:

0untuk,

0untuk,

xx

xxx

Grafik fungsi 2 xy Grafik 2 xy

xey xey

xy sinh

xy cosh

X

Y

48

6.6. FUNGSI INVERS

Pandang fungsi )(xfy dengan aturan h yang masih dicari, didapat )( yhx . Peranan x

dan y ditukar menjadi: )(xhy maka fungsi )(xhy disebut fungsi invers dari )(xfy .

Grafik fungsi invers simetri terhadap garis xy dengan grafik fungsi asalnya.

Contoh:

Invers dari xy3

1 adalah xy 3 , dapat dilihat pada gambar berikut:

xy 3

Y )(xfy

B(1,3)

xy3

1

A(3,1)

O X

6.7. FUNGSI KONTINU

Definisi:

Suatu fungsi )(xfy dikatakan kontinu pada ,ax

jika

)()(lim3.

ada)(lim2.

)ditertentu(ada)(.1

afxf

xf

axaf

ax

ax

Jika satu atau lebih dari syarat -syarat kontinuitas diatas tidak terpenuhi, maka)(xfy dikatakan diskontinu di .ax

49

6.8. TURUNAN FUNGSI

Definisi:

Turunan dari fungsi )(xfy terhadap x adalah:

x

xfxxf

x

yxfDy

dx

dyy

xx

)(limlim)(''

00.

Arti Ilmu ukur dari :dx

dy

pp yxP , dan qp yxxQ , terletak pada )(xfy , dengan pp xfy dan

xxfy pq .

PARByQByPAxPR qp ;;; .

x

xfxxf

PR

QRQPRtg pp bilangan arah (gradien) garis lurus PQ

Jika 0x maka garis hubung PQ berubah menjadi garis singgung PS dan

tg'lim0 PR

SRxf

x

xfxxfp

pp

xbilangan arah (garis singgung/gradien) pada

)(xfy di titik P.

Persamaan garis singgung di P: ppp xxxfxfy .' .

Persamaan garis normal di titik P : pp

p xxy

yy

.'

1.

6.9. SIFAT-SIFAT TURUNAN

Cxvvxuu ),(),( konstanta

1. ''' vuyvuy

2. ''' uvvuyuvy

3. '' CvyCvy

4.2

'''

v

uvvuy

v

uy

50

6.10. INTEGRAL TAK TERTENTU

Jika )(xf ditentukan maka setiap fungsi )(xF sedemikian hingga )()(' xfxF disebut

Integral Tak Tertentu (ITT) dari )(xf . ITT dari suatu fungsi yang ditentukan adalah

tidak tunggal, misalnya: 4,10, 333 xxx adalah ITT dari 23)( xxf , karena

2333

3410

xdx

xd

dx

xd

dx

xd

.

Semua ITT dari 23)( xxf adalah termasuk dalam Cx 3 , dimana C konstanta sebarang

yang disebut konstanta integrasi. Jelaslah bahwa jika )(xF suatu ITT dari )(xf maka juga

CxF )( merupakan ITT dari )(xf dan ditulis secara umum sebagai berikut:

CxFdxxf )(

Integrand Fungsi primitif konstanta integrasi

6.11. SIFAT-SIFAT ITT:

1. :;)()( kdxxfkdxxkf konstanta

2. dxxgdxxfdxxgxf )()(

CONTOH:

1. Cxdxxdxx sin10cos10cos10

2. Cxxdxxdxxdxxx 2322 23

144

3. Cxxdxxdxdxx 2

2

111

51

TURUNAN DAN INTEGRAL TAK TERTENTU

TURUNAN (DERIVATIF)

A. SIFAT-SIFAT TURUNAN:

Cxvvxuu ),(),( konstanta

5. ''' vuyvuy

6. ''' uvvuyuvy

7. '' CvyCvy

8.2

'''

v

uvvuy

v

uy

B. BEBERAPA RUMUS TURUNAN:

a. 0' yCy

b. 1' nn nxyxy

c. xyxy cos'sin

d. xyxy sin'cos

e. xyxtgy 2sec'

f. xecyxgy 2cos'cot

g. xxyxy tgsec'sec

h. xgxecyxecy cotcos'cos

i. xx eyey '

j.x

yxy1

'ln

k.21

1'arcsin

xyxy

l.21

1'arctg

xyxy

m. xyxy cosh'sinh

n. xyxy sinh'cosh

C. ATURAN BERANTAI (AB):

Jikadx

du

du

dy

dx

dyxgufy .)(),( .

INTEGRAL TAK TERTENTU (ITT):

A. SIFAT-SIFAT ITT:

1. :;)()( kdxxfkdxxkf konstanta

2. dxxgdxxfdxxgxf )()(

B. BEBERAPA RUMUS ITT:

1. Cdx 0

2. 1;1

1 1

nCxn

dxx nn

3. Cxdxx sincos

4. Cxdxx cossin

5. Cxdxx tgsec2

6. Cxgdxxec cotcos 2

7. Cxdxxx sectgsec

8. Cecxdxxgxec coscotcos

9. Cedxe xx

10. Cxdxx

ln1

11. Cxdxx

arcsin1

12

12. Cxdxx

arctg

1

12

13. Cxdxx sinhcosh

14. Cxdxx coshsinh

C. RUMUS INTEGRASI PARSIAL:

duvuvdvu

52

CONTOH-CONTOH:

1. Dapatkan 'y dari3

1

xy

Penyelesaian:4

4133 333'

xxxyxy

2. Dapatkan 'y dari 43 942 xxy

Penyelesaian:

Misal: 46942 23 xdx

duxxu ; 34 4u

du

dyuy

Aturan Berantai (AB): 33223 942464464' xxxxudx

du

du

dyy .

3. Dapatkan 'y dari 21sin xy

Penyelesaian:

Misal: xdx

duxu 21 2 ; u

du

dyuy cossin

Aturan Berantai (AB): 21cos22cos' xxxudx

du

du

dyy .

4. Dapatkan 'y dari 32ln 3 xxy

Penyelesaian:

Misal: 2332 23 xdx

duxxu ;

udu

dyuy

1ln

Aturan Berantai (AB): 32

2323

1'

3

22

xx

xx

udx

du

du

dyy .

5. Dapatkan 'y dari

4arcsin

xy

Penyelesaian:

Misal:4

1

4

dx

duxu ;

21

1arcsin

udu

dyuy

53

Aturan Berantai (AB):222 16

1

414

1

4

1

1

1'

xxudx

du

du

dyy

.

6. Dapatkan 'y dari

xy

2

11sec

Penyelesaian:

Misal:2

1

2

11

dx

duxu ; uu

du

dyuy tgsecsec

Aturan Berantai (AB):

xxuu

dx

du

du

dyy

2

11tg

2

11sec

2

1

2

1tgsec' .

7. Dapatkan 'y dari2

3

1x

ey

Penyelesaian:

Misal: xdx

duxu

3

2

3

1 2 ; uu edu

dyey

Aturan Berantai (AB):2

3

1

3

2

3

2'

xu exxe

dx

du

du

dyy

8. Selesaikan: dxx

I3

1

Penyelesaian:

CxCxdxxI 2133

2

1

13

1.

9. Selesaikan: dxxxI521

Penyelesaian:

Misal: dudxxxdx

duxu

2

121 2

CxCuduuI

6265 112

1

6

1.

2

1

2

1

54

10. Selesaikan:

dxxx

xI

52

12

Penyelesaian:

Misal: dudxxdxxduxdx

duxxu

2

111222522

CxxCuu

duI 52ln

2

1ln

2

12

12

11. Selesaikan:

dxxI

3

11sin

Penyelesaian:

Misal: dudxdxdudx

duxu 3

3

1

3

1

3

11

CxCuduuI

3

11cos3cos33sin

12. Selesaikan: dxeI x8

Penyelesaian:

Misal: dudxdxdudx

duxu

8

1888

CeCedueI xuu 8

8

1

8

1

8

1.

13. Selesaikan:

dxx

I29

1

Penyelesaian:

dxx

dxx

dxx

I222

313

1

919

1

9

1

Misal: dudxdx

duxu 3

3

1

3

C

xCudu

udu

uI

3arcsinarcsin

1

13.

13

122

.

55

14. Selesaikan:

x

dxI

1

Penyelesaian:

dxxdxx

I 2

1

11

1

Misal: dudxdx

duxu 1)1(

CxCuduuI 2

12

1

2

1

122 .

15. Selesaikan: dxxxI 43 1

Penyelesaian: dxxxI 2

143 1

Misal: dudxxxdx

duxu

4

141 334

CxCuduuI 2

342

3

2

1

16

1

3

2.

4

1

4

1. .

16. Selesaikan: dx

xI

49

12

Penyelesaian:

dx

x

dx

x

I2

2

2

31

1.

4

1

4

914

1

Misal: dudxdx

duxu

3

2

2

3

2

3

CxCuduu

I

2

3arctg

3

1arctg

3

1

3

2.

1

1

4

12

.

56

SOAL LATIHAN

1. Dapatkan 'y dari: a). 532 xxy b). 23 12 xxy c).2

13

2

x

xy

Jawab: a).

53

322

1

'2

xx

xy b). xxxy 435' 24 c).

23

24

2

42'

x

xxxy .

2. Dapatkan 'y dari: a). xxy sin b). xxy cos2 c). 223 xy

d).5

32 2

x

xxy e). 52ln 3 xxy f). xy tgln

g).x

ey 3

1

h). xey x 3sin2 i). xy 5arcsin

j). xy 3sin 2 k). 4 333

3

23 xxxy l). 22 32 xy

3. Selesaikan: a). dxx 32 b). dxx 74 c). dxx3cos

Jawab: a). Cxx 32 b). Cx 848

1c). Cx 3sin

3

1

4. Selesaikan: a). dxx 53 b). dxx 24 c). dxx4cos d). dxe x2

e). dx

x 32

1f). dxxe x

2

g). dxx5sec2 h). dxxx 2tg2sec i). dx

x

x21

j). x

dxx 2

k). dx

x

x

3sin2

cosl).

dx

x

x

1

1lnm). dxxx 12

n). dx

x

x21

arctgo).

dxe

ex

x

43p).

225 x

dxq).

dxx 223

2

r). dxx3cosec 2 s). 32 2x

dxxt). x

dxx2sin

cos

57

6.12. MENURUNKAN FUNGSI IMPLISIT

Pandang y fungsi dari x yang disajikan dalam bentuk implisit 0),( yxf .

Turunannya 'y didapat sebagai berikut:

a. Jika mungkin y dinyatakan sebagai bentuk eksplisit dari x , lalu diturunkan terhadap

x

b. Setiap suku dalam 0),( yxf diturunkan terhadap x . Karena y fungsi dari x , maka

setiap kali menurunkan y harus dikalikan dengan 'y , kemudian hubungan yang

didapat diselesaikan ke '.y

CONTOH:

1. Dapatkan 'y dari: 01 xy

Penyelesaian:2

1'

101

xy

xyxy .

2. Dapatkan 'y dari: 04 23 xxyy

Penyelesaian:

04 23 xdx

dxy

dx

dy

dx

d

02'4'3 2 xxyyyy

xy

xyyyxyxy

43

24'042'43

22

.

3. Dapatkan 'y dari: 0acrtgsin2 xyxy .

Penyelesaian:

01

1cos1sin2'

22

xxyxyy

1sin21

cos11'

2

22

xyx

xyxy

58

6.13. TURUNAN TINGKAT TINGGI

Dari )(xfy maka:

Dydx

dyxfy '' menyatakan turunan pertama

yDdx

ydxfy 2

2

2

'''' menyatakan turunan kedua

………………………………..

yDdx

ydxfy n

n

nnn menyatakan turunan tingkat n.

1

1

n

n

n

n

dx

yd

dx

d

dx

yd

Rumus Leibnitz

Jika uvy dimana )(xfu dan )(xgv , maka turunan tingkat n, UVDy nn dirumuskan sebagai berikut:

.....1!2

1. 221 VDUDnnVDnDUVUDUVD nnnn

Bukti:

vDuuDvvuuvuvvuyuvy '''''

vuDDvDuvuDvuvuuvy 22 .2''''2''''

vuvuvuuvyy 32233 '3'3''' , dan seterusnya didapat:

...1!2

1.)( 221 vuDDnnvDnDuvuDuvD nnnn

CONTOH:

Dapatkan ny dari xexy 2

Penyelesaian:

Misal: xevxu ;2

59

xnxx evDevDeDvuDuDxDu ;,;0,2,2 232

nnnxxeennexnexexD xxxxxn 2222 20212

12 .

6.14. TURUNAN FUNGSI PARAMETRIK

Pandang fungsi parametrik :

)(

)(

thy

tfx

Dari )(tfx dapat dinyatakan bahwa )(xgt , jadi juga y fungsi dari x , katakan

xghy . Dengan Aturan Berantai (AB) didapat bahwa:

dt

dxdt

dy

dx

dt

dt

dy

dx

dyy

dt

dxdt

dy

dx

dt

dt

dy

dx

dyy

1.

'.

'''';

1..' .

Jadi:

dt

dx

dt

dy

y

dt

dxdt

dy

y

dt

dxdt

dy

y

n

n

1

)(;

'

'';'

CONTOH:

1. Dapatkan 'y dari:

2

2

ty

tx

Penyelesaian:

tt

dt

dxdt

dy

ytdt

dy

dt

dx

2

2',2,2 .

2. Dapatkan 'y dan ''y dari

tby

tax

sin

cos

tbdt

dyta

dt

dxsin,sin

tga

b

ta

tb

dt

dxdt

dy

y cotsin

cos'

, teca

btec

a

b

dt

dy 22 coscos'

.

60

teca

b

ta

teca

b

dt

dxdt

dy

y 32

2

cossin

cos'

''

6.15. TEOREMA TAYLOR DENGAN SUKU SISA LAGRANGE :

Jika )(xf sedemikian hiingga:

a. )(....)('')(')( )1( xfxfxfxf n adalah kontinu dalam haa ,

b. )()( xf n ada dalam haa , , maka:

nn

n

Rafn

haf

hafhafhaf

)(!1

....)(''!2

)(')()( )1(12

, dengan suku sisa

Lagrange .10;!

hafn

hR n

n

n

Deret Taylor dari )(xf disekitar :ax

...)(

!....)(''

!2)(')()( )(

2

afn

axaf

axafaxafxf n

n

Deret Maclaurin dari )(xf :

...)0(!

....)0(''!2

)0(')0()( )(2

nn

fn

xf

xfxfxf

Contoh Deret Maclaurin:

1. ...!

...!3!2

132

n

xxxxe

nx

2. ...!7!5!3

sin753

xxx

xx ( x dalam radian)

3. ...!6!4!2

1cos642

xxx

x ( x dalam radian)

4. 1...;...11

1 432

xxxxxxx

n

61

5. 1...;...11

1 432

xxxxxxx

n

6. Deret Binomial: 1...;

!3

21

!2

111 32

xx

mmmx

mmmxx m

(m= bilangan real)

Rumus Euler:

1;sincos iaxiaxe iax

6.16. LIMIT DARI BENTUK-BENTUK TAK TENTU

Bentuk-bentuk tak tentu: .,1,.0,,,0

0 0

Penyelesaian limit bentuk tak tentu:

I. Bentuk0

0. Berlaku aturan L’Hospital.

Aturan L’Hospital:

Jika 0)(....)('')(')( )1( afafafaf n dan

0)(....)(')(')( )1( agagagag n tetapi satu (masing-masing) dari )()( af n

dan )()( ag n tidak nol, maka

)(

)(

)(

)(lim

)(

)(

ag

af

xg

xfn

n

ax

.

II. Bentuk . Berlaku langsung aturan L’Hospital.

III. Bentuk :

0

0

)()(

1)(

1

)(

1

lim

)(

1

1

)(

1

1lim)()(lim

xgxf

xfxg

xgxf

xgxfaxaxax

, dst.

62

IV. Bentuk .0 :

0

0

)(

1

)(lim)().(lim

xg

xfxgxf

axaxatau

)(

1

)(lim)().(lim

xf

xgxgxf

axax, dst.

V. Bentuk 00 0,,1 :

)(ln)()(

lim)(lim

xfxgxg

ax

axexf

CONTOH:

I. Bentuk0

0

a.3

2

)1(3

)1(2

3

2lim

0

0

11

11

1

1lim

221

:

3

2

3

2

1

x

x

x

xx

cek

x

.

b. 10cos1

coslim

0

0

0

0sinsinlim

0

:

0

x

x

xx

cek

x

.

c. 10sec1

seclim

0

0

0

tgtglim 2

2

0

:

0

xx

x

xx

cek

x

.

d.

:cek

220

:

330 0

0

)0(3

0cos1

3

cos1lim

0

0

0

0sin0sinlim

x

x

x

xxx

cek

x

6

1

6

0cos

6

coslim

0

0

)0(6

0sin

6

sinlim

0

:

0

x

x

xx

cek

x

.

II. Bentuk

1.

01

1

1

limlnln

lim

:

x

x

xx

cek

x

.

63

2. 1

sec

tg.cotlim

tg

sec

sin

cos

lim0ln

0ln

tgln

)0ln(sin

tgln

sinlnlim

2020

:

0

x

xxg

x

x

x

x

xx

xxx

cek

x

III. Bentuk

1. 1

1lim

0

1

0

1

1

1

0

1

1

11lim

0

:cek

00

x

x

xxx ex

xe

eex

:cek

00

0

0

:cek

0

0

0

0

.011

1

11

1lim

0

0

10

0)1(

ee

e

xee

e

e

exx

x

x

2

1lim

0

xxx

x

x xeee

e.

2.

:cek

1

:cek

1 0

0

ln1

1lnlim

0

1

0

1

1ln

1

11

1

ln

1

1lim

xx

xxx

xx

xxx

2

111

1

lim1

1ln

lnlim

0

0

1)11(1ln

111ln1

.1ln.1

11

.ln.1lim

2

11

:cek

1

xx

x

xx

x

xxx

xxx

xxx

.

IV. Bentuk .0

1. .10cos

1lim

0

0

0sin

0

sinlim

sin

1.lim.0cosec0coseclim

0

:cek

00

:cek

0

xxxx x

x

xxxxx

2.

:cek

2/2/ 0

0

2cot

22cot

2lim.02

tg222

lim

gxg

xxtgx

xx

.11

1

cos

1lim

22/

xecx

64

V. Bentuk 00 0,,1

1.

2

2

1

11

1

:cek

0

01

11ln

:cek

0.

11ln

:cek limlimlim

)(11

1lim x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xeeeee

x

ee x

x

1

1

1lim

.

2.

:cek

0

0:cek

0.cosln

1

0

:cek1

0

2

cosln0

limlim

22 1coslim

eeeex x

xxx

xxx

x

2

1

2

0sec

:cek

0

0 2

2

2sec

0lim

2

tg

0lim

eeeee

x

xx

x

x .

3.

x

x

xxx

x eeeex

xx

xx

x

cotg

ln

0limln.tg

0lim :cek

.0

:cek

0tg

0

1lntg0

lim1

lim

.11

cossin2limsinlim00

:cek

0

02

02

:cek

cos

1

0lim

e

xx

eexeeex

x

xxecx

x

4.

x

xxe

eeexex

xxx

xxexx

lnlim

lim 03:cek

.0

:cek

03 ln

3lim

:cek:cek

10

:cek

1"lim3lim3

1

1

lim3

exe

xe

eeeeex

xxe

xex

xxe

xe

x

3

lim3ee

e

ex

x

x

.

65

5.

20:cek

0:cek

.0

:cek

0

0

/1

/1lim

/1

lnlim

0lim

ln

0

lim x

x

eex

x

eeex

x

xx

x

xx

x

1lim

00

ex

e x .

6.17. NILAI EXTRIM

Max y=f(x)

y=f(x) Min

f(a-h) f(a) f(a+h) f(a-h) f(a) f(a+h)

a-h a a+h X a-h a a+h X

y=f(x) max di x = a: y=f(x) min di x = a:

)()(

)()(

afhaf

afhaf

)()(

)()(

afhaf

afhaf

Fungsi naik dan turun :

y=f(x)

y=f(x)

x1 X x1 X

f naik di x1 jika 0)(' 1 xf f turun di x1 jika 0)(' 1 xf

66

Max Titik pada y=f(x) dimana garis singgungnya

y=f(x) mendatar (// sb. X) disebut titik kritis.

Min

0)(''&max)(

0)('

0)('

0'

afaf

haf

af

haf

a-h a a+h b X

0)(''&min)(

0)('

0)('

0'

bfbf

haf

af

haf

.

Cekung ke atas dan cekung ke bawah :

Y )(xfy Y

)(xfy

O x1 X O x1 X

Cekung ke atas x1, 0)('' 1 xf Cekung ke bawah di x1, 0)('' 1 xf

Titik Belok:

)(xfy B )(xfy

B

O X O X

Titik belok B dari )(xfy adalah titik dimana terjadi perubahan dari ce kung ke bawah

ke cekung ke atas atau sebaliknya dan 0)('' Bxf . Pada umumnya jika:

0)(....)()('' )1()3( afafaf n dan 0)()( af n dimana n gasal, maka )(xfy mempunyai titik belok pada ax .

67

Max dan Min dengan f n(x):

Jika 0)(...)('')(' 1 afafaf n dan 0)( af n dimana n genap, dan jika:

1). 0)( af n , maka max)(xfy di x = a dan )(max afY

2). 0)( af n , maka min)(xfy di x = a dan )(min afY

Asymtote.

Y )(xfy X

)(xfy h y=h

x=k )(xfy

O k X O X

Asymtote tegak kx : Asymtote datar hy :

jika

)(lim xfy

kkx

jika hxfyx

)(lim

baxy

0d jika x

)(xfy

Asymtote miring baxy :

jika )()( xgbaxxfy dengan 0)(lim

xgx

atau 0)(lim

xgx

.

68

Tentang simetri:

Simetri terhadap: Jika: Persamaan tidak berubah

1. Sumbu X

2. Sumbu Y

3. Titik O

4. Garis y = x

5. Garis y = -x

y diganti –y

x diganti –x

x diganti –x & y diganti –y

x diganti y & y diganti x

x diganti -y & y diganti –x

Persamaan tidak berubah





Nilai Extrim (max dan min) dari f(x):

Dicari dulu )(' xf dan )('' xf .

Syarat titik kritis (titik stasioner): 0)(' xf . Misal ketemu titik kritis: ax .

Jika )(0)('' max afYaf

Jika )(0)('' min afYaf

Titik belok dicari dari 0)('' af .

Contoh:

Dapatkan titik-titik maximum dan minimum, titik belok dan sket grafik dari:

5242)( 3 xxxf .

Penyelesaian:

5242)( 3 xxxf

246)(' 2 xxf

xxf 12)(''

12)(''' xf

Syarat extrim:

2,20)2)(2(0402460)(' 2122 xxxxxxxf .

69

Untuk max1 024)2(12)2(''2 Yfx

375)2(24)2(2)2( 3max fY

Koordinat titik maximum di A(-2, 37).

Untuk min2 024)2(12)2(''2 Yfx

275)2(24)2(2)2( 3min fY

Koordinat titik minimum di B(2, -27).

Koordinat titik belok didapat dari 00120)('' xxxf .

55)0(24)0(2)0( fy

Koordinat titik belok di C(0, 5).

Grafik:

X

Y

B

A

C

70

SOAL LATIHAN

1. Dapatkan 'y dari: a). 0ln2 yyx b). 0322 yxee xy

Jawab: a).1

2'

y

xyy b).

y

x

eyx

xyey

22

32

3

22'

2. Dapatkan 'y dari: a). 023 23 yxyx b). 023 432 xyxxy

c). 1sin yyx d). 032ln 22 yxyx

3. Dapatkan 'y dari: a).

21

2

ty

txb).

tety

tx 21

Jawab: a). 1' ty b).t

ey

t

2

1'

4. Dapatkan 'y dari: a).

21

2

ty

txb).

tety

tx 21

5. Dapatkan deret Taylor dari fungsi:

a). 252 23 xxxxf disekitar titik 4x

Jawab: 32 441445978 xxx

b). x

xf1

disekitar titik 1x

Jawab: ..........1111 32 xxx

6. Dapatkan deret Maclaurin dari:

a). xexf x cos)( b). xexf sin)( c). xxf sec)(

7. Dengan aturan L’Hospital dapatkan nilai:

a).12cos

1coslim

0

x

xx

b).

20

coslnlim

x

xx

c).

2

1

4

4lim

22 xxxd).

2tg1lim

1

xx

x

Jawab: a).4

1b).

2

1 c).

4

1 d).

2

71

8. Dengan aturan L’Hospital dapatkan nilai:

a).x

xxx 20 sin

cos2coslim

b).152

635lim

2

2

xx

xxx

c). x

xx

1

lim

d).x

x x

51lim e). 2

1

0coslim x

xx

9. Dapatkan titik-titik maximum, minimum dan titik belok (kalau ada) dari:

a). 1323

1)( 23 xxxxf b). 84)( 2 xxxf c). 593 23 xxxy

10. Gambarkan kurva: a).21

1

xy

b).

2

32

x

xy

11. Dapatkan persamaan garis lurus melalui (3,4) yang dengan sumbu OX + dan sumbu OY+

membentuk sebuah segetiga dengan luas minimum.

Jawab: 4x +3y =24

12. Dapatkan ukuran sisi-sisi dari sebuah empat persegi panjang dengan luas m aksimum yangdapat dibuat didalam sebuah lingkaran dengan jari -jari 25 cm.

72

6.18. INTEGRASI PARSIAL

Jika )(xfu dan )(xgv adalah fungsi-fungsi yang diferensiabel/terdeferensialkan,

maka:

RUMUS INTEGRASI PARSIAL

Rumus ini sangat berguna teritama jika integrand terdiri dari fungsi -fungsi transcendent,

misalnya: ,arctg,arcsin,ln xxx atau hasil ganda seperti: .ln,cos,sin, 2 xxxxxexe xx

Cara memakai rumus ini:

a. dv dipilih sehingga v mudah dicari

b. duv harus menjadi lebih mudah daripada dvu .

Contoh:

1. dxxeI x

Misal: xu dxedv x

dxdu xx edxev

CexedxexeI xxxx .

2. dxxI arctg

Misal: xu arctg dxdv

21

1

xdu

xdxv

dx

xxxxdxxI

21

1.arctgarctg

dx

x

xxx

21

2

2

1arctg

Cxxx )1(ln2

1arctg 2

duvuvdvu

73

3. dxbxeI ax cos

Penyelesaian:

Misal: axeu bxdxdv cos

dxaedu ax bxb

v sin1

)(sin

1sin

1dxaebx

bbx

beI axax

1

sinsin1

I

axax dxbxeb

abxe

bI

Diselesaikan dulu: dxbxeI ax sin1

Misal: axeu bxdxdv sin

dxaedu ax bxb

v cos1

)(cos

1cos

11 dxaebx

bbx

beI axax

dxbxeb

abxe

baxax coscos

1

Ib

abxe

bI ax cos

11

Karena 1sin1

Ib

abxe

bI ax , maka

I

b

abxe

bb

abxe

bI axax cos

1sin

1

bxbbxab

eI

b

a ax

sincos122

2

Cbxbbxaba

eI

ax

sincos22

74

6.19. PENERAPAN D-1 PADA BEBERAPA ITT

dx

dD operator derivatif/turunan

dxDD

.....1 1 operator integral

Deret Maclaurin dari:

....11

1 2

DDD

....11

1 2

DDD

axaaxDaxaaxD sinsin;cossin 22

axaaxDaxaaxD coscos;sincos 22

axbaaxbD

axbaaxbD

coscos

sinsin2222

2222

sehingga:

22222222

coscos

1;

sinsin

1

ba

axax

bDba

axax

bD

.

RUMUS: VaD

eVeD

axax

11

Bukti: UeUaeUeD axaxax

Misal: UaDeax )(

VaD

U

VUaD

1

)(

VeVaD

eD axax

1

.

Jadi: VaD

eVeD

axax

11.

75

CONTOH:

1. bxaDaD

aDebxaD

ebxeD

dxbxeI axaxaxax cos))((

1)(cos

1cos

1cos

bxabxbab

ebx

abaDebx

aDaDe

axaxax cossincos

1).(cos

1).(

222222

Cbxabxbab

eI

ax

cossin22

2. 233

123

123 232323

xx

Dexxe

DdxxxeI xxx

23...93

13

123

31

1.

3

1. 2

2323

xxDD

exxD

e xx

CxxeCxxxe xx

9

29

3

11

3

12.

9

132

3

123

3

1 2323

CxxeI x 2933927

1 23

RUMUS: ...1

.1

.1

.1

32

2 V

DUDV

DDUV

DUUV

D

Bukti:

Jika UVy dengan )(xfU dan ),(xgV maka turunan tingkat n, )()()( UVDy nn dirumuskan oleh Leibnitz sebagai berikut:

.....)1(!2

1..)( 221 VDUDnnVDnDUVDUUVD nnnn

Dengan memasang n = -1, maka didapat:

...1

.1

.1

.1

32

2 V

DUDV

DDUV

DUUV

D

76

CONTOH:

1. CxxxxD

DxxD

xxxD

dxxx 2cos4

12sin

2

12cos

1.2cos

1.2cos

12cos

2.

2. xxxxxx eD

xDeD

xDeD

DxeD

xexD

dxex 24

3323

3222

3232323 111.

1.

1

Cexeexex xxxx 222223

8

3

4

3

4

3

2

1

Cxxxe x 36648

1 232

3. CxxxxxxxD

dxxx

3sin

27

1.23cos

9

1)2(3sin

3

13cos

13cos 222

6.20. RUMUS-RUMUS REDUKSI

1. ;1 dxexnexdxex xnxnxn n : bilangan bulat positif 1 .

2.

;sin1cossin

sin 21

dxxn

n

n

xxdxx n

nn n : bilangan bulat positif 2 .

3.

;cos1sincos

cos 21

dxxn

n

n

xxdxx n


4.

;tg1

1

tgtg 2

1

dxxn

n

n

xdxx n


5.

;cotg1

cotg-cotg 2

1

dxxn

xdxx n


6.

;sec1

2

1

tgsecsec 2

2

dxxn

n

n

xxdxx n


7.

;cosec1

2

1

cotgcosec-cosec 2

2

dxxn

n

n

xxdxx n

nn n : bilangan bulat positif 2

8.

1;122

32

1)1(2112122

n

x

dx

n

n

xn

x

x

dxnnn

.

77

Contoh:

1. Cx

x

x

x

dx

x

x

x

dx

arctg

2

1

1212

1

12122222

2.

1

2

322

3

23

12

32

2/32

122

32

112

321 x

dx

x

x

x

dx

Cx

x

21

SOAL LATIHAN

1. Dengan rumus integrasi parsial,selesaikan:

a). dxxx cos2 b). dxxx 1 c). dxxarcsin d). dxxx 2ln

e). dxxx

ln1

2f). dxx2arcsin g). dxxx arctg2 h). dxxe x3

2. Dengan rumusD

1, selesaikan:

a). dxexx x223 b). dxex x32 c). dxxe x 2cos d). dxx

x4

ln

e). dxxe x sin2 f). dxxxx ln22 g). dxx

x2

2lnh). dxxx 2cos3

3. Dengan rumus reduksi, selesaikan:

a). dxx3sin b). dxx3cos c). dxx3tg d). dxx3cotg

e). dxx3sec f). dxx3cosec g). dxx6sin h). dxx5tg

i). dxxg 4cot j).

dxx

321

1k).

dxxx

22 1

1l).

dxxx

32 84

1

78

6.21. INTEGRASI FUNGSI PECAH RASIONAL

dxxN

xT

)(

)(

dengan derajat pembilang < derajat penyebut.

Ada beberapa kasus berhubungan dengan penyebut:

1. Jika ))(()( dcxbaxxN maka

dcx

B

bax

A

xN

xT

)(

)(

2. Jika )()()( dcxbaxxN k maka

dcx

U

bax

K

bax

B

bax

A

xN

xTk

...

)(

)(2

3. Jika ))(()( 2 qpxcbxaxxN dengan 042 acbD maka

qpx

C

cbxax

BAx

xN

xT

2)(

)(

4. Jika )()()( 22 qpxcbxaxxN dengan 042 acbD maka

qpx

W

cbxax

VUx

cbxax

DCx

cbxax

BAx

xN

xTk

2222

...)(

)(

Contoh:

1.

dx

xx

xdx

xx

xI

512

223

592

2232

Penyelesaian:

512512

223

x

B

x

A

xx

xdikalikan dengan 512 xx , menjadi

125223 xBxAx

Untuk 31152235 BBx

Untuk 42

11

2

1223

2

1

AAx

79

Cxxdxx

dxx

I 5ln312ln25

3

12

4

2.

dxx

xdx

xx

xI

22 1

13

12

13

Penyelesaian:

22 111

13

x

B

x

A

x

xdikalikan dengan 21x , menjadi

BxAx 113

Untuk 2131 BBx

Untuk 310 ABAx

Cx

xdxx

dxx

I1

21ln3

1

2

1

32

3.

dxxx

xI

11

12

Penyelesaian:

1111

122

x

CBx

x

A

xx

xdikalikan 11 2 xx , menjadi

111 2 xCBxxAx

Ketemu 0,1,1 CBA

Cxxdxx

xdx

xI 1ln

2

11ln

11

1 22

4.

dx

x

xI

22

2

1

32

Penyelesaian:

22222

2

111

32

x

DCx

x

BAx

x

xdikalikan dengan 22 1x , menjadi

DCxxBAxx 132 22

80

Untuk 0,0,1,2

2510112

2251

2251

30

CADB

DCBAx

DCBAx

DCBAx

DBx

.

dx

xdx

xdx

xxI

2222221

1

1

12

1

1

1

2

Cxx

xx

arctg2

1

12arctg2

2

Cx

xx

212arctg

2

5

SOAL LATIHAN:

1. Selesaikan: a). dx

xx 45

32

b).

dxxx

x

107

7102

Jawab: a). Cx

x

1

4ln b). Cxx 2ln

3

45ln

3

25


xx 2

1b).

dxxx 2

12

c). dx

xx 1

12

d). dx

x 49

12

e). dx

x 16

12

f).

dxxx

x

276

22

g).

dxxx

x2)1)(2(

23

h).

dxxx

xx2

2

)1)(2(

1i). )12)(1( 2 xxx

dxj).

dx

xxx

x

)12)(12(

)32(2

k).

dxxx

x2)1)(23(

)53(l).

dxxx

x22 1)2(

1m).

dxxx )1(

12

n). dx

xx

x

41 2o).

dxx 1

14

p).

dxxx

x

21

32


x 1

13

b). dt

tt

t

11 2c).

dx

tt

t

12

3224

2

d).

dx

xx

x

11

222

e).

dx

x

x22

2

1f).

dtt

221

1

81

6.22. INTEGRASI FUNGSI TRIGONOMETRI

Ingat-ingat beberapa rumus berikut:

1. 1cossin 22 xx

2. xxx cossin22sin

3. xxx 22 sincos2cos

4. xx 2cos12

1sin 2

5. xx 2cos12

1cos 2

6. xxxx cos)cos(;sinsin

7. xxxx sinsin2

1sinsin

8. xxxx coscos2

1coscos

9. xxxx coscos2

1sinsin

Bentuk:

CONTOH:

1. Cxxdxxxxdxx

4cos

4

18cos

8

1

2

14sin8sin

2

12cos6sin

2. Cxxdxxxxdxx

3sin

3

19sin

9

1

2

13cos9cos

2

13cos6cos

3. Cxxdxxxxdxx

5sin

5

1sin

2

15coscos

2

12sin3sin

4.

Cxxdxxdxx 2sin

2

1

2

12cos1

2

1sin 2

5.

Cxxdxxdxx 4sin

4

1

2

14cos1

2

12cos 2

dxxxdxxxdxxx sinsin;coscos;cossin

82

Bentuk:

Substitusi:21

2arctg2,arctg

22tg

t

dtdxtxt

xt

x

2222 1

2sin

2tg1

2tg2

2sin

2cos

2cos

2sin2

sint

tx

x

x

xx

xx

x

2

2

2

2

22

22

1

1cos

2tg1

2tg1

2sin

2cos

2sin

2cos

cost

tx

x

x

xx

xx

x

Maka:

22

2

2 1

2.

1

1,

1

2cos,sin

t

dt

t

t

t

tRdxxxR .

CONTOH:

a.

C

xCt

t

dt

t

dt

t

t

x

dx

2tglnln

1

2.

2

1

sin 2

2

b.

C

t

t

dt

t

dt

t

tx

dx

3arctg

3

2

92

1

2.

1

145

1

cos45 22

2

2

Cx

2tg

3

1arctg

3

2.

RdxxxR ;cos,sin fungsi rasional

83

Bentuk:

Disini integrand merupakan fungsi genap terhadap xsin dan xcos , maka:

Substitusi:21

arctgtgt

dtdxtxtx

21 t

1

CONTOH:

2

22

2

2

2 1.

1

1

11

1

cossinsin

1

t

dt

tt

t

t

tdx

xxxI

CxgCt

tdt

tttt

dtcot1ln

1ln

1

1

1

1.

Bentuk:

Substitusi:21

arctgtgt

dtdxtxtx

CONTOH:

dt

tt

t

t

dt

t

tdx

x

xI

22 11

1

1.

1

1

tg-1

tg1

22 1111

1

t

CBt

t

A

tt

t

dikalikan dengan 211 tt , maka:

dxxxRdxxxR cos,sincos,sin

dxxR tg

x

t

t2

2

1

1cos

1sin

tx

t

tx

84

tCBttAt 111 2

21 tBAtCBCAt

0,1,1

0

1

1

CBA

BA

CB

CA

.

C

t

tCttdt

t

t

tI

2

22

1

1ln1ln

2

11ln

11

1

CxxCxxCx

x

sincoslncostg1ln

sec

tg1ln .

6.23. INTEGRASI DENGAN SUBSTITUSI TRIGONOMETRI

No Integrand Substitusi Hasil:

1

2

22 xa

dx

dxxa 22

tax sinC

a

xarcsin

Ca

xaxax

arcsin

2

1 222

3

4

5

22 xa

dx

22 xa

dx

dxax 22

tax tgC

a

x

aarctg

1

Caxx 22ln

Caxxaaxx

22222 ln

2

1

6

7

22 ax

dx

dxax 22

tax sec Caxx 22ln

Caxxaaxx

22222 ln

2

1

85

Penjelasan untuk nomor 1 dan 2 :

aa

xt

a

xttax arcsin,sinsin

x dttadx cos

t tatataaxa 222222222 cossin1sin

22 xa taxa cos22

1.

Ca

xCtdtdtta

tadx

xaarcsincos.

cos

1122

.

2.

Cttadttadttadttatadxxa 2sin

2

1

2

12cos1

2

1coscos.cos 222222

Ca

xa

a

x

a

xaCttta

2222 .arcsin

2

1cossin2.

2

1

C

a

xaxaxdxxa arcsin

2

1 22222

Untuk no 3,4,5:

a

xt

a

xttax arctgtgtg

x 22 ax dttadx 2sec

t tatataaxa 222222222 sectg1tg

a taax sec22

Untuk nomor 6,7:

dtttadxtax tgsec;sec

x ;seca

xt

22 ax t )1(secsec 2222222 taataax

a tata tgtg 22

86

SOAL LATIHAN:

1. Selesaikan: a). dxxx 4cos2sin b). dxxx 2cos3cos c). dxxx sin5sin

d). dxx 22 cossin e). dxx 3cos 2

Jawab: a). Cxx 6cos12

12cos

4

1b). Cxx 5sin

10

1sin

2

1

c). Cxx 6sin12

14sin

8

1d). Cxx 4sin

32

1

8

1

e). Cxx 6sin12

1

2

1.

2. Selesaikan: a). dxxx 2

1cos

3

2sin b). dxxx 3

1cos

4

3cos c). dxxx 5

1sin

3

1sin

d). dxx 2

1sin 2 e). dxx 3

2cos 2


x 5sin4

1b).

dxxx 1cossin

1c).

dxxcos2

1d).

dxxsin53

1

Jawab: a). C

xtg

arctg

3

42

5

3

2b). C

x

x

2

1tg1

2

1tg

ln

c). Cx

2tg

3

3arctg

3

32d). C

x

x

3tg

1tg3ln

4

1

2

2


xx 1cossin

1b).

dxxsin2

1c).

dxxx cossin1

1


x2sin31

1b).

dxxx 22 cos4sin9

1

Jawab: a). Cx tg2arctg2

1b). Cx

tg

2

3arctg

6

1


x2cos1

1b).

dxxx 22 sin4cos9

1

87

7. Selesaikan: a).

dxx 24

1b). dxx 225 c).

dxx 29

1

d).

dxx 4

12

e). dxx 92 f).

dxx 9

12

Jawab: a). Cx

2arcsin b). Cxx x 5

2 arcsin25252

1c). C

x

3arctg

3

1

d). Cxx 4ln 2 e). Cxxxx

9ln99

2

1 22 f). Cxx 9ln 2

8. Selesaikan: a).

dxx 249

1b).

dxx 249

1c). dxx 249 d).

dx

xx 32

12

e).

dxxx 21228

1f).

dxxx 8129

12

g).

dxxx 24

1

bab 1 pendahuluan - dosen.itats.ac.id · berikut ini akan diberikan ilustrasi tentang segitiga...

Documents