sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola … · sifat-sifat segitiga siku-siku pada...

SIFAT-SIFAT SEGITIGA SIKU-SIKU PADA GEOMETRI BOLA

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh:

CINDY

NIM: 121414079

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2016

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i

SIFAT-SIFAT SEGITIGA SIKU-SIKU PADA GEOMETRI BOLA

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh:

CINDY

NIM: 121414079

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2016


iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

On a dark gloomy day,

remember that every little drop of rain

prepares you to be even stronger

to flourish on a sunny day.

(HJ Story)

Karya ini untuk:

Kedua orang tuaku, Christian Jonatan dan Neli

Kakakku, Jhonny Jonatan

Almamaterku, Universitas Sanata Dharma

Serta setiap orang yang membacanya


vii

ABSTRAK

Cindy, 2016. Sifat-sifat Segitiga Siku-siku pada Geometri Bola. Skripsi.

Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas

Sanata Dharma, Yogyakarta.

Segitiga siku-siku pada geometri bola didefinisikan sebagai segitiga yang

memiliki paling tidak satu sudut siku-siku. Skripsi ini membahas ketidakmiripan

antara sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola dengan sifat-sifat segitiga

siku-siku pada geometri Euclid. Fakta ini menginspirasi definisi baru untuk

segitiga siku-siku pada geometri bola yang disebut dengan Spherical Half-sum

Triangle. Spherical Half-sum Triangle adalah segitiga yang salah satu besar

sudutnya merupakan jumlah kedua sudut lainnya. Kemudian dengan definisi ini

akan ditunjukkan bahwa sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola memiliki

kemiripan dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid. Kemiripan

tersebut antara lain: sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya

lebih dari , terdapat bentuk kuadrat dalam rumus Pythagoras, dan diagonal

persegi panjang selalu membentuk dua buah segitiga siku-siku.

Kata Kunci: Geometri Bola, Segitiga Siku-siku, Spherical Half-sum Triangle.


viii

ABSTRACT

Cindy, 2016. The Characteristics of Spherical Half-sum Triangle. Thesis.

Mathematics Education Study Program, Mathematics and Science Education

Department, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma

University, Yogyakarta.

Right triangle in spherical geometry defines as a triangle which is have at

least one right angle. This thesis defines about dissimilarities that arise between

the characteristics of right triangle in spherical geometry and in Euclidean

geometry. This fact inspired a new definition for spherical right triangle that

called Spherical Half-sum Triangle. Spherical Half-sum Triangle defined as a

triangle which is one angle equals the sum of the other two. Further, with this new

definition will be shown that the characteristics of Spherical Half-sum Triangle

more similar like the Euclidean one. The characteristics of Spherical Half-sum

Triangle are: measure of an angle which is opposite a diameter of a circle more

than there are squared terms in the spherical Pythagorean theorem, and a

diagonal of spherical rectangle create two traditional right triangles.

Key Word: Spherical Geometry, Spherical Right Triangle, Spherical Half-

sum Triangle.


ix

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa

karena atas berkat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi

dengan judul “Sifat-sifat Segitiga Siku-siku pada Geometri Bola”. Skripsi

ini disusun untuk melengkapi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana

Pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas

Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Banyak hambatan dan rintangan yang penulis alami selama

penyusunan skripsi ini. Namun penulis tetap semangat dan dapat

menyelesaikan skripsi karena tidak terlepas dari doa, bantuan, dan

dukungan berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan kali ini

penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada beberapa pihak,

diantaranya:

1. Bapak Rohandi, Ph.D. selaku dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.

2. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd. selaku ketua Jurusan

Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahhuan Alam.

3. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si. selaku ketua Program Studi Pendidikan

Matematika, Universitas Sanata Dharma.

4. Bapak Prof. Dr. St. Suwarsono selaku Dosen Pembimbing Akademik.

5. Bapak Antonius Yudhi Anggoro, M.Si. selaku dosen pembimbing

skripsi yang telah menyediakan waktu, tenaga, dan pikiran untuk

membimbing penulis dengan sabar. Terima kasih atas segala masukan

dan motivasi selama penyusunan skripsi ini.

6. Bapak Hartono, Ph.D. dan Ibu Veronika Fitri Rianasari, M.Sc. atas

berbagai saran untuk proses pencarian informasi dalam skripsi ini.

7. Ibu Dra. Haniek Sri Pratini, M.Pd. dan Ibu C. Novella Krisnamurti,

M.Sc. selaku dosen penguji yang telah memberikan banyak masukan

untuk skripsi ini.


x

8. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Pendidikan Matematika

Universitas Sanata Dharma yang telah mendidik penulis selama

menuntut ilmu di Universitas Sanata Dharma.

9. Staf sekretariat JPMIPA yang telah memberikan pelayanan

kesekretariatan.

10. Staf Perpustakaan Universitas Sanata Dharma yang telah memberikan

pelayanan dan fasilitas selama pengerjaan skripsi ini.

11. Kedua orang tua penulis yang tiada henti memberi semangat,

kepercayaan, dan doa dalam studi ini.

12. Teman-teman perantau dan pejuang gelar sarjana, Andita Prastiti,

Maria Mater Dei Ayu, Elizabeth Nada, Adhi Kristian, Yunita Maria

Ndoi, Bernadette Andika, Namiera Yushendea, Stacia Elvaretta,

Nanda Ayu, Stepani Elsa, Fransisca Putri, dan Malvin Choco yang

senantiasa berbagi suka duka selama pengerjaan skripsi ini.

13. Teman-teman Pendidikan Matematika angkatan 2012 khususnya kelas

B, terlebih Trisona Agustina, Natalia Ika, Yohana Kristin, Scolastika

Lintang, Dita Anggraini, Gregoria Yanu, Agustina Galuh, Rara

Maharani, Maria Sri Dian, dan Richardus Adelbertus yang telah

menyemangati, menemani, berbagi informasi, dan berjuang bersama

selama proses pembelajaran di Universitas Sanata Dharma.

14. Teman-teman satu bimbingan skripsi yang saling menyemangati,

berbagi informasi, dan berkeluh kesah bersama selama penulisan

skripsi ini.

15. Semua pihak yang telah membantu dan tidak dapat disebutkan satu

persatu.

Semoga tulisan ini dapat memberikan manfaat dan wawasan yang

lebih kepada setiap pembacanya.

Yogyakarta, 22 September 2016

Cindy


xi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..................................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. v

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ................... vi

ABSTRAK ............................................................................................................ vii

ABSTRACT ......................................................................................................... viii

KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix

DAFTAR ISI .......................................................................................................... xi

DAFTAR SIMBOL .............................................................................................. xiii

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiv

DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................ xvi

BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................... 1

A. Latar Belakang ............................................................................................ 1

B. Batasan Masalah.......................................................................................... 4

C. Rumusan Masalah ....................................................................................... 4

D. Tujuan Penelitian ........................................................................................ 5

E. Manfaat Penelitian ...................................................................................... 5

F. Metode Penelitian........................................................................................ 6

G. Sistematika Penulisan ................................................................................. 6

BAB II SEJARAH DAN KONSEP DASAR GEOMETRI BOLA ........................ 8


xii

A. Sejarah Munculnya Geometri Bola ............................................................. 8

B. Konsep Dasar Dalam Geometri Bola ........................................................ 11

BAB III SEGITIGA SIKU-SIKU PADA GEOMETRI BOLA ............................ 23

A. Spherical Half-sum Triangle ..................................................................... 23

B. Sifat-sifat Segitiga Siku-siku .................................................................... 37

BAB IV PENUTUP .............................................................................................. 51

A. Kesimpulan ............................................................................................... 51

B. Saran .......................................................................................................... 52

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 53


xiii

DAFTAR SIMBOL

: titik

: titik berlawanan

: garis

: segmen garis dengan titik akhir dan

: panjang / jarak ke

: sudut

: besar sudut

: segitiga

: Persegi panjang

= : sama dengan

: tidak sama dengan

: lebih besar dari

: lebih kecil dari

: gabungan

: tegak lurus

: kongruen


xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Bagan Asal Mula Geometri Bola ...................................................... 3

Gambar 2.1 Ilustrasi Pusat Bola ............................................................................ 11

Gambar 2.2 Ilustrasi Radius Bola ......................................................................... 12

Gambar 2.3 Ilustrasi Diameter Bola ..................................................................... 12

Gambar 2.4 Ilustrasi Lingkaran............................................................................. 13

Gambar 2.5 Ilustrasi Lingkaran Besar .................................................................. 14

Gambar 2.6 Ilustrasi garis dari Dua Titik.............................................................. 14

Gambar 2.7 Ilustrasi Segmen Garis ...................................................................... 16

Gambar 2.8 Ilustrasi I Keantaraan ........................................................................ 17

Gambar 2.9 Ilustrasi II Keantaraan ....................................................................... 17

Gambar 2.10 Ilustrasi III Keantaraan .................................................................... 18

Gambar 2.11 Ilustrasi Sudut .................................................................................. 19

Gambar 2.12 Ilustrasi Segitiga .............................................................................. 19

Gambar 2.13 Ilustrasi Segitiga Siku-siku ............................................................. 20

Gambar 2.14 Ilustrasi Lingkaran Luar Segitiga .................................................... 21

Gambar 3.1 Ilustrasi I Teorema 3.1 ...................................................................... 24

Gambar 3.2 Ilustrasi II Teorema 3.1 ..................................................................... 25

Gambar 3.3 Ilustrasi III Teorema 3.1 .................................................................... 26

Gambar 3.4 Ilustrasi Rumus Pythagoras ............................................................... 27

Gambar 3.5 Ilustrasi Persegi Panjang ........................................................ 29

Gambar 3.6 Diagonal Persegi Panjang.................................................................. 30


xv

Gambar 3.7 Ilustrasi Teorema 3.3 ......................................................................... 31

Gambar 3.8 Ilustrasi Lune ..................................................................................... 39

Gambar 3.9 Ilustrasi Lema 3.1 .............................................................................. 39

Gambar 3.10 Ilustrasi Lema 3.2 ............................................................................ 40

Gambar 3.11 Ilustrasi I Teorema 3.5 .................................................................... 43

Gambar 3.12 Ilustrasi II Teorema 3.5 ................................................................... 43

Gambar 3.13 Ilustrasi III Teorema 3.5 .................................................................. 44

Gambar 3.14 Ilustrasi IV Teorema 3.5.................................................................. 45

Gambar 3.15 Ilustrasi V Teorema 3.5 ................................................................... 46

Gambar 3.16 Ilustrasi Teorema 3.6 ....................................................................... 48

Gambar 3.17 Ilustrasi Teorema 3.7 ....................................................................... 49


xvi

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran A.1. Segitiga Kutub

Lampiran A.2. Segitiga Kongruen

Lampiran A.3. Aturan Segitiga Sama Kaki


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Geometri berasal dari dua kata Yunani geo dan metrein. Geo

berarti bumi, dan metrein berarti ukuran. Dengan demikian, secara

etimologis geometri dapat diartikan sebagai ilmu pengukuran bumi.

Meskipun berasal dari kata Yunani, orang-orang Yunani bukanlah yang

memulai penggunaan geometri dalam kehidupan sehari-hari. Orang-orang

Mesirlah yang pertama kali menggunakan geometri dalam kehidupan

sehari-hari. Mereka menggunakan geometri untuk mengatasi masalah

banjir tahunan yang terjadi di sungai Nil.

Geometri dipandang sebagai sistem deduktif, yaitu suatu sistem

yang memiliki pengertian-pengertian pangkal atau unsur-unsur yang tidak

memiliki definisi. Sekitar 300 tahun sebelum masehi, muncul seorang

matematikawan bernama Euclid yang menulis buku mengenai geometri.

Buku yang ditulis oleh Euclid berjudul ‘Elements’ di mana isinya

menjelaskan mengenai definisi, postulat, dan teorema.

Pada geometri Euclid terdapat lima buah postulat, di mana postulat

kelima yang ditulis oleh Euclid disebut sebagai postulat kesejajaran

Euclid. Postulat tersebut berbunyi “Pada sebuah bidang, jika sebuah garis

dipotongkan dengan dua garis lainnya dan dua garis tersebut

diperpanjang hingga bertemu pada satu titik, maka jumlah sudut dalam

sepihak pada pihak yang bertemu disatu titik adalah lebih dari .”


2

Beberapa matematikawan mengatakan bahwa postulat kesejajaran Euclid

dianggap terlalu rumit untuk disebut sebagai postulat. Mereka mengatakan

bahwa postulat kesejajaran Euclid dapat dibuktikan dengan empat postulat

sebelumnya.

Playfair merupakan salah satu matematikawan yang mencoba

untuk membuktikan postulat kesejajaran Euclid. Playfair menemukan

postulat yang berbunyi “jika diberikan sebuah garis dan sebuah titik

di luar , maka dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis dan

melalui .” Namun postulat Playfair dianggap masih memiliki makna

yang sama dengan postulat kesejajaran Euclid. Hingga akhirnya Bolyai-

Lobachevsky menemukan postulat kesejajarannya yang berbunyi “jika

diberikan sebuah garis dan sebuah titik di luar garis tersebut, maka

dapat dibuat lebih dari satu garis yang sejajar dengan garis dan melalui

.” dan Riemann menemukan postulat kesejajarannya yang berbunyi

“jika diberikan sebuah garis l dan sebuah titik P di luar garis tersebut,

maka tidak dapat dibuat garis lain yang sejajar dengan garis l dan

melalui P.” Karena postulat Bolyai-Lobachevsky dan postulat Riemann

tidak berlandaskan pada postulat kesejajaran Euclid, maka muncul yang

dinamakan dengan geometri non-Euclid. Berikut merupakan bagan asal

mula geometri bola bermula dari geometri Euclid.


3

Geometri bola memiliki sejumlah konsep dasar dan salah satunya

membahas mengenai segitiga siku-siku. Segitiga siku-siku didefinisikan

sebagai segitiga yang memiliki setidaknya satu sudut siku-siku. Namun

dengan definisi tersebut terdapat ketidakmiripan antara sifat-sifat segitiga

siku-siku pada geometri bola dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada

geometri Euclid. Fakta tersebut menginspirasi definisi baru untuk segitiga

Geometri Euclid:

4 postulat Euclid

+

postulat kesejajaran Euclid

Geometri Non-Euclid:

4 postulat Euclid

+

postulat kesejajaran Bolyai /

postulat kesejajaran Riemann

Geometri eliptik

(berdasarkan postulat Riemann)

Geometri hiperbolik

(berdasarkan postulat Bolyai)

Geometri

eliptik

tunggal

Geometri

eliptik

rangkap

Geometri bola

Gambar 1.1 Bagan Asal Usul Geometri Bola


4

siku-siku yang disebut dengan Spherical Half-sum Triangle. Spherical

Half-sum Triangle merupakan segitiga yang salah satu besar sudutnya

merupakan jumlah kedua sudut lainnya. Dengan definisi baru ini akan

ditunjukkan bahwa sifat segitiga siku-siku pada geometri bola memiliki

kemiripan dengan sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid. Kemiripan

sifat tersebut antara lain: besar sudut keliling yang menghadap diameter

lingkaran lebih dari , terdapat bentuk kuadrat dalam rumus Pythagoras,

dan diagonal persegi panjang membentuk dua buah segitiga siku-siku.

B. Batasan Masalah

Dalam skripsi ini, bola diasumsikan sebagai bola satuan. Bola

satuan yang dimaksud adalah bola yang memiliki radius satu satuan.

C. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang ada, rumusan masalah dalam

penelitian ini yaitu:

1. Bagaimana ketidakmiripan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri

bola dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid,

berdasarkan definisi awal segitiga siku-siku?

2. Bagaimana definisi baru segitiga siku-siku pada geometri bola?

3. Bagaimana sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola yang

sebelumnya tidak mirip dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada

geometri Euclid, berdasarkan definisi baru segitiga siku-siku?


5

D. Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk:

1. Untuk mendeskripsikan ketidakmiripan sifat-sifat segitiga siku-siku

pada geometri bola dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri

Euclid berdasarkan definisi awal segitiga siku-siku.

2. Untuk mendeskripsikan definisi baru segitiga siku-siku pada geometri

bola.

3. Untuk mendeskripsikan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri

bola yang sebelumnya tidak mirip dengan sifat-sifat segitiga siku-siku

pada geometri Euclid berdasarkan definisi yang baru.

E. Manfaat Penelitian

Manfaat yang dapat diambil dari penelitian ini adalah:

1. Bagi Pembaca

Pembaca dapat mengetahui bagaimana konsep dasar geometri bola,

definisi segitiga siku-siku, ketidakmiripan sifat-sifat segitiga siku-siku

pada geometri bola dan geometri Euclid, definisi baru untuk segitiga

siku-siku pada geometri bola, dan sifat-sifat segitiga siku-siku

berdasarkan definisi baru.

2. Bagi Penulis

Penulis dapat menambah pengetahuan baru dalam bidang geometri

selain geometri Euclid, mengetahui sejarah munculnya geometri bola,

mengetahui konsep dasar dalam geometri bola, dan mendalami sifat-


6

sifat segitiga siku-siku pada geometri bola berdasarkan dengan definisi

yang telah ada maupun definisi yang baru.

3. Bagi Universitas

Universitas dapat menambah koleksi skripsi dalam bidang

geometri khususnya mengenai geometri bola. Selain itu, skripsi ini

dapat menjadi referensi pembelajaran matematika mengenai geometri

non-Euclid.

F. Metode Penelitian

Metode yang digunakan penulis dalam menyusun skripsi ini adalah

metode studi pustaka. Metode ini dilakukan dengan mengkaji berbagai

referensi berupa jurnal dan buku yang berkaitan dengan geometri bola

sehingga penulis tidak menemukan suatu hal baru.

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:

1. Mempelajari berbagai referensi yang diperlukan, khususnya mengenai

geometri bola.

2. Menyajikan kembali definisi-definisi serta teorema-teorema yang

menjadi dasar dalam geometri bola.

3. Menyusun materi-materi yang telah dikumpulkan secara sistematis

untuk memudahkan pembaca dalam memahaminya.

G. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut. Bab

pertama, membahas latar belakang penulisan skripsi, rumusan masalah,


7

batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian,

dan sistematika penulisan dalam skripsi ini.

Bab kedua membahas sejarah munculnya geometri bola serta

konsep dasar dalam geometri bola yang akan digunakan pada pembahasan

bab berikutnya.

Bab ketiga yang merupakan inti dari penulisan skripsi ini,

membahas ketidakmiripan antara sifat-sifat segitiga siku-siku pada

geometri bola dan geometri Euclid, teorema yang mendasari munculnya

definisi baru segitiga siku-siku, definisi baru segitiga siku-siku, dan sifat-

sifat segitiga siku-siku pada geometri bola berdasarkakn definisi baru.

Bab keempat berisi kesimpulan dan saran untuk penelitian lebih

lanjut.


8

BAB II

SEJARAH DAN KONSEP DASAR GEOMETRI BOLA

Bab ini membahas sejarah munculnya geometri bola dan konsep

dasar yang akan digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab

berikutnya. Konsep dasar yang akan dibahas antara lain titik, garis, sudut,

lingkaran, keantaraan, segitiga, dan kongruensi segitiga pada geometri bola.

Berikut merupakan penjelasan mengenai sejarah munculnya geometri bola.

A. Sejarah Munculnya Geometri Bola

Euclid menyebutkan lima buah postulat dalam geometri, kelima

postulat tersebut antara lain (Own Byer, 2010):

1. Dari dua titik sembarang dapat dibentuk sebuah garis.

2. Sebuah garis dapat diperpanjang sampai tak hingga.

3. Jika diberikan sebuah titik dan jari-jari, maka dapat dibentuk sebuah

lingkaran dengan titik tersebut sebagai pusatnya.

4. Semua sudut siku-siku sama besar.

5. Pada sebuah bidang, jika sebuah garis dipotongkan dengan dua garis

lainnya dan dua garis tersebut diperpanjang hingga bertemu pada satu

titik, maka jumlah sudut dalam sepihak pada pihak yang bertemu

disatu titik adalah lebih dari .

Postulat terakhir dari lima postulat yang ditulis oleh Euclid disebut

sebagai postulat kesejajaran. Lima postulat ini bertahan sebagai dasar

pembelajaran geometri hingga abad ke-20, sampai akhirnya beberapa


9

matematikawan menganggap bahwa postulat kesejajaran yang ditulis oleh

Euclid terlalu rumit untuk disebut sebagai postulat. Beberapa

matematikawan menganggap bahwa postulat kesejajaran tersebut dapat

dibuktikan dengan menggunakan empat postulat sebelumnya. Beberapa

matematikawan tersebut antara lain Proclus dari Aleksandria (410-485),

John Wallis (1616-1703), dan Girolamo Saccheri dari Italia (1667-1733).

Mereka mencoba untuk membuktikan kebenaran dugaan tersebut, namun

usaha yang dilakukan gagal hingga akhirnya matematikawan asal

Skotlandia yaitu John Playfair (1748-1819) menemukan postulat yang

ekuivalen dengan postulat kesejajaran Euclid. Postulat tersebut berbunyi:

“jika diberikan sebuah garis dan sebuah titik di luar , maka dapat

dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis dan melalui .”

Postulat tersebut dinamakan postulat Playfair, dan postulat ini

dianggap lebih sederhana jika dibandingkan dengan postulat kesejajaran

Euclid. Postulat Playfair dan postulat kesejajaran Euclid dianggap masih

memiliki makna yang sama.

Karena dua postulat tersebut dirasa masih kurang tepat, maka pada

tahun 1830 J.Bolyai dan N.I. Lobachevsky merevisi postulat kesejajaran

Euclid dan postulat Playfair. Kemudian mereka memperkenalkan postulat

baru yang disebut sebagai postulat Bolyai-Lobachevsky. Postulat tersebut

berbunyi “jika diberikan sebuah garis dan sebuah titik di luar garis

tersebut, maka dapat dibuat lebih dari satu garis yang sejajar dengan

garis dan melalui .” Felix Klein menyebut empat postulat pertama


10

Euclid yang digabung dengan postulat Bolyai-Lobachevsky sebagai

postulat hiperbolik, dan lima postulat ini menjadi dasar dari geometri

hiperbolik.

Munculnya geometri hiperbolik dirasa masih belum mampu

menjawab sejumlah pertanyaan geometri dalam bidang astronomi.

Bernhard Riemann (1826-1866) menawarkan postulat baru untuk

menggantikan postulat kesejajaran Euclid guna mengatasi masalah dalam

bidang astronomi. Pada postulat yang ditawarkan Riemann, diasumsikan

bahwa tidak ada garis yang sejajar. Postulat tersebut berbunyi “jika

diberikan sebuah garis l dan sebuah titik P di luar garis tersebut, maka

tidak dapat dibuat garis lain yang sejajar dengan garis l dan melalui P.”

Postulat ini menjadi dasar munculnya geometri eliptik guna mengatasi

masalah pada bidang astronomi. Geometri eliptik sendiri terbagi menjadi

geometri eliptik tunggal dan geometri eliptik rangkap. Geometri eliptik

tunggal direpresentasikan dalam setengah bola, sedangkan geometri eliptik

rangkap direpresentasikan dalam bola utuh. Geometri bola merupakan

bagian dari geometri eliptik rangkap (David Gans, 1973).

Geometri hiperbolik dan geometri eliptik berlandaskan pada

postulat kesejajarannya masing-masing, bukan berlandaskan pada postulat

kesejajaran Euclid. Sehingga geometri hiperbolik dan geometri eliptik

merupakan bagian dari geometri non-Euclid.


11

B. Konsep Dasar Dalam Geometri Bola

Dalam pembahasan geometri bola di bawah ini, akan diasumsikan

bahwa bola memiliki radius ukuran satu satuan.

Definisi 2.1 (Wentworth, 1899: 381)

Bola merupakan permukaan di mana setiap titik pada permukaan tersebut

berjarak sama dari sebuah titik yang disebut pusat.

Titik yang dimaksud pada definisi di atas merupakan titik pusat

bola. Pada gambar 2.1, titik merupakan pusat bola .


Segmen garis lurus yang menghubungkan titik pada permukaan bola

dengan titik pusat bola disebut sebagai radius.

Radius pada bola diilustrasikan pada gambar 2.2, di mana pada

gambar tersebut radius dinamai .

Gambar 2.1 Ilustrasi Pusat Bola


12


Segmen garis lurus yang melewati pusat bola dan berhenti pada dua titik di

permukaan bola disebut sebagai diameter.

Pada gambar 2.3, segmen garis lurus merupakan diameter bola.

Perpotongan bola dengan sebuah bidang menghasilkan sebuah

lingkaran. Gambar 2.4, merupakan ilustrasi lingkaran dari perpotongan

bola dengan bidang Pada gambar tersebut, lingkaran dilukiskan dengan

garis tebal.

Gambar 2.2 Ilustrasi Radius Bola

Gambar 2.3 Ilustrasi Diameter Bola


13

Jika bidang yang memotong bola melalui pusat bola, maka

lingkaran yang terbentuk disebut lingkaran besar. Sedangkan jika bidang

tersebut tidak melalui pusat bola maka lingkaran yang terbentuk disebut

lingkaran kecil. Nampak pada gambar 2.5, lingkaran besar yang terbentuk

dari perpotongan bola dengan bidang .

Setiap lingkaran besar memiliki dua buah titik pusat, dan dua titik

pusat tersebut berjarak sama terhadap setiap titik pada lingkaran besar.

Dua titik pusat dari sebuah lingkaran besar disebut sebagai titik

berlawanan. Sehingga setiap titik pada bola menentukan titik lainnya yang

disebut sebagai titik lawan. Pada gambar 2.5, titik dan merupakan

pusat lingkaran besar dan juga merupakan titik berlawanan. Contoh nyata

dari lingkaran besar adalah garis bujur dan garis khatulistiwa. Sedangkan

contoh nyata dari dua titik berlawanan adalah kutub utara dan kutub

selatan.

Gambar 2.4 Ilustrasi Lingkaran


14

Seperti pada geometri Euclid, garis pada geometri bola juga

ditentukan melalui dua titik pada permukaan bola. Garis pada geometri

bola adalah lingkaran besar. Melalui dua titik yang bukan merupakan titik

berlawanan dapat dibentuk sebuah garis. Jika kedua titik tersebut

merupakan titik berlawanan, maka dapat dibentuk tak hingga banyak garis.

Gambar 2.6 (a) menunjukkan bahwa dari sembarang dua titik pada

bola yaitu dan yang bukan merupakan titik berlawanan, dapat

dibentuk sebuah garis. Sedangkan pada gambar 2.6 (b) ditunjukkan bahwa

dapat dibentuk tak hingga banyak garis melalui titik berlawanan dan .

(a) (b)

Gambar 2.6 Ilustrasi Garis dari Dua Titik

Gambar 2.5 Ilustrasi Lingkaran Besar


15

Pada geometri Euclid, sebuah garis dapat diperpanjang sampai tak

hingga panjangnya. Hal tersebut berbeda dengan garis pada geometri bola,

karena garis pada geometri bola memiliki batas. Misalkan titik

merupakan sebuah titik pada garis, jika lingkaran besar tersebut ditelusuri

mulai dari titik , maka penelusuran tersebut akan berakhir pada titik

juga. Jika pada geometri Euclid terdapat konsep kesejajaran garis, maka

pada geometri bola tidak ada konsep kesejajaran garis sebagai akibat dari

postulat kesejajaran Riemann.

Dua titik pada garis membagi garis menjadi dua buah busur. Jika

kedua titik tersebut bukan merupakan titik berlawanan maka garis terbagi

menjadi busur panjang dan busur pendek. Dalam geometri bola, busur

terpendek dipandang sebagai segmen garis. Suatu segmen garis yang

dibatasi oleh titik dan dinotasikan dengan , lalu panjang busur

terpendek tersebut didefinisikan sebagai jarak antara dua titik. Jadi jarak

antara kedua titik tersebut disebut juga sebagai panjang segmen garis pada

geometri bola. Panjang dinotasikan dengan .

Sebagai ilustrasi perhatikan gambar 2.7 (a). Pada gambar tersebut

terdapat dua busur yang terbentuk dari dua titik dan titik yang

dilukiskan sebagai garis putus-putus dan garis yang tidak putus-putus.

Sesuai dengan penjelasan di atas, ditunjukkan oleh garis tak putus-

putus dan merupakan jarak antara titik ke titik . Pada gambar 2.7

(b), jika kedua titik merupakan titik berlawanan, maka jarak kedua titik

tersebut sama panjang yaitu .


16

Berikut merupakan tabel perbandingan konsep jarak pada geometri

Euclid dan geometri bola:

No Pada geometri Euclid Pada geometri bola

1. Jarak dua titik diukur

sepanjang garis yang

menghubungkan kedua titik

tersebut. Hanya ada sebuah

jarak yang dapat diukur.

Jarak pada lingkaran besar diukur

dari dua titik yang

menghubungkannya. Terdapat dua

jarak yang dapat diukur. Jarak yang

digunakan adalah jarak terpendek.

2. Tidak ada jarak terpanjang

atau terpendek dari dua titik

yang diberikan.

Jarak terpanjang dari dua titik adalah

180˚.

3. Dari dua titik yang diberikan

hanya dapat dilukis sebuah

segmen garis.

Dari dua titik yang bukan merupakan

titik berlawanan, terdapat sebuah

segmen garis.

Jika kedua titik tersebut merupakan

titik berlawanan, terdapat tak hingga

banyak segmen garis yang terbentuk,

dan memiliki panjang yang sama

yaitu 180˚.

(a) (b)

Gambar 2.7 Ilustrasi Segmen Garis

Tabel 2.1 Perbandingan Konsep Jarak


17

Definisi 2.4 (Moise, 1990: 60)

Pada geometri Euclid, titik dikatakan berada diantara titik dan

jika:

(i) , , dan kolinier

(ii)

Gambar 2.8 menunjukkan konsep di atas.

Konsep keantaraan pada geometri bola didefinisikan seperti pada

konsep keantaraan pada geometri Euclid, dengan menggunakan segmen

garis. Pada gambar 2.9 tampak bahwa berada diantara .

Namun terdapat sebuah perbedaan sifat antara konsep keantaraan

pada geometri Euclid, dengan konsep keantaraan pada geometri bola.

Perbedaan tersebut timbul karena memungkinkannya untuk tidak terdapat

keantaraan pada geometri bola. Jika diberikan tiga titik , , pada garis

Gambar 2.8 Ilustrasi I Keantaraan

Gambar 2.9 Ilustrasi II Keantaraan


18

dengan jarak setiap titik adalah 120˚ seperti pada gambar 2.10, maka tidak

ada satupun titik yang berada diantara kedua titik lainnya. Hal ini

dikarenakan tidak terbuktinya syarat (ii) pada konsep keantaraan.

Seharusnya tetapi pada kasus ini , yang

menyebabkan tidak berada diantara dan , yang

menyebabkan tidak berada diantara dan , serta

yang menyebabkan tidak berada diantara dan .


Sudut pada geometri bola merupakan perpotongan dua buah segmen garis.

Pada gambar 2.11, sudut yang terbentuk dari dan

dinotasikan dengan , sedangkan besar dinotasikan dengan

. Besar sudut dalam geometri bola didefinisikan sebagai besar

sudut antara dua bidang yang memuat dua segmen garis tersebut.

Gambar 2.10 Ilustrasi III Keantaraan


19


Segitiga pada geometri bola merupakan gabungan tiga segmen garis yang

menghubungkan tiga titik non kolinear.

Misalkan terdapat tiga titik non kolinear , , dan . Selanjutnya

dibentuk , , dan sehingga terbentuk sebuah segitiga yang

dinotasikan dengan . Gambar 2.12 ini merupakan contoh segitiga

dalam geometri bola, yaitu dan .

Berbeda dengan geometri Euclid, jumlah besar sudut dalam sebuah

segitiga pada geometri bola tidak sama dengan melainkan lebih dari

Gambar 2.11 Ilustrasi Sudut

Gambar 2.12 Ilustrasi Segitiga


20

dan kurang dari (Wentworth, 1899: 393), selain itu jumlah dari

ketiga sisinya kurang dari (Wentworth, 1899: 397) .

Definisi 2.7 (Dickinson, 2008: 24)

Segitiga siku-siku pada geometri bola merupakan segitiga yang memiliki

paling tidak satu sudut siku-siku.

Gambar 2.13 merupakan contoh segitiga siku-siku pada geometri

bola. Pada gambar tersebut, memiliki satu sudut yang besarnya

yaitu , dan memiliki dua sudut siku-siku yaitu dan

.

Definisi 2.8 (Dickinson, 2008: 26)

Lingkaran luar segitiga merupakan lingkaran yang memuat semua titik

sudut segitiga.

Untuk setiap segitiga pada geometri bola, dapat dibuat lingkaran

luar segitiga yang memuat ketiga titik sudut segitiga tersebut. Pada gambar

2.14, memiliki lingkaran luar segitiga dengan pusat dan

mamiliki lingkaran luar segitiga dengan pusat .

Gambar 2.13 Ilustrasi Segitiga Siku-siku


21

Seperti pada geometri Euclid, pada geometri bola juga terdapat

aturan kongruensi pada segitiga. Jika kongruen dengan ,

maka dinotasikan dengan . Pada geometri bola jika dua

buah segitiga terletak pada bola berukuran sama memenuhi satu dari

empat syarat di bawah ini, maka kedua segitiga tersebut dikatakan

kongruen. Empat syarat tersebut antara lain:

1. Dua buah sisi yang bersesuaian sama panjang dan sebuah sudut yang

diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar.

2. Dua buah sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi di antara kedua

sudut tersebut sama panjang.

3. Setiap sisi yang bersesuaian sama panjang.

4. Setiap sudut yang bersesuaian sama besar.

Selain aturan kongruensi, aturan segitiga sama kaki pada geometri

bola juga serupa dengan aturan segitiga sama kaki pada geometri Euclid.

Pada segitiga sama kaki, sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi-sisi

yang sama panjang akan memiliki besar sudut yang sama. Sebaliknya, sisi-

sisi yang berhadapan dengan sudut yang sama besar akan memiliki

Gambar 2.14 Ilustrasi Lingkaran Luar Segitiga


22

panjang sisi yang sama. Penjelasan lebih lanjut mengenai pembuktian

aturan kongruensi dan aturan segitiga sama kaki dapat dilihat pada

lampiran A1-A3.


23

BAB III

SEGITIGA SIKU-SIKU PADA GEOMETRI BOLA

A. Spherical Half-sum Triangle

Pada bab sebelumnya telah disebutkan definisi dari segitiga siku-

siku pada geometri bola, yaitu segitiga yang memiliki paling tidak satu

sudut siku-siku. Bab ini membahas definisi baru segitiga siku-siku yang

disebut dengan Spherical Half-sum Triangle sebagai akibat dari adanya

ketidakmiripan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola dengan

sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid berdasarkan definisi

awal segitiga siku-siku. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa Spherical

Half-sum Triangle memiliki kemiripan sifat dengan segitiga siku-siku

pada geometri Euclid.

Segitiga siku-siku pada geometri bola dan geometri Euclid

memiliki sejumlah kesamaan sifat, misalnya aturan kongruensi dan aturan

segitiga sama kaki. Namun nampak juga tiga ketidakmiripan sifat

berdasarkan fakta-fakta berikut:

1. Sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya selalu

lebih dari .

Teorema 3.1 (Dickinson, 2008: 24)

Jika merupakan sudut keliling yang menghadap diameter

lingkaran yang berpusat pada titik seperti nampak pada gambar 3.1,

maka lebih dari .


24

Bukti:

Pada gambar 3.1, perhatikan bahwa dan segmen garis yang

membentuk yaitu dan membentuk sebuah segitiga,

yaitu dengan sebagai titik pusat lingkaran luar . Titik

merupakan pusat lingkaran dan merupakan diameter lingkaran,

sehingga berada pada dan membagi dua sama panjang.

Karena merupakan titik pada lingkaran dan merupakan pusat

lingkaran, mengakibatkan . Karena

maka dan merupakan segitiga sama kaki, hal ini

menyebabkan dan . Selain

itu, karena berada pada , menyebabkan dan

. Karena jumlah sudut dalam segitiga lebih dari

, maka sehingga:

Gambar 3.1 Ilustrasi I Teorema 3.1


25

Sekarang perhatikan gambar 3.2, gambar tersebut

mengilustrasikan sudut keliling yang menghadap sebuah diameter

lingkaran pada geometri Euclid. Pada geometri Euclid, besar sudut

keliling yang menghadap diameter lingkaran adalah , sehingga

. Sehingga segitiga yang terbentuk dari segmen garis

lurus , , dan selalu segitiga siku-siku karena salah satu

sudutnya merupakan sudut siku-siku. Kemudian jika kita perhatikan

kembali gambar 3.1, sudut yang menghadap diameter lingkaran yaitu

besarnya lebih dari . Sehingga segitiga yang terbentuk dari

, , dan belum tentu merupakan segitiga siku-siku. Jika

atau besarnya tidak sama dengan , maka

bukan merupakan segitiga siku-siku. Dari sini nampak ketidakmiripan

antara sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid dan geometri bola.

Gambar 3.3 berikut merupakan contoh bahwa segitiga yang

terbentuk belum tentu merupakan segitiga siku-siku. Contoh berikut

telah diuji kebenarannya dan tidak perlu diragukan lagi.

Gambar 3.2 Ilustrasi II Teorema 3.1


26

Perhatikan gambar 3.3, merupakan sudut yang

menghadap diameter lingkaran yaitu . Selain itu, dan

membentuk sebuah segitiga yaitu di mana ,

, dan . Tidak terbentuk satupun

sudut siku-siku pada sehingga bukan merupakan

segitiga siku-siku.

2. Pada geometri Euclid dan geometri bola terdapat teorema Pythagoras,

namun ada perbedaan diantara keduanya. Perbedaan tersebut timbul

karena tidak terdapat bentuk kuadrat pada rumus Pythagoras geometri

bola. Diberikan di mana , dan Jika

, maka rumus Pythagoras pada geometri Euclid adalah

. Sedangkan pada geometri bola rumusnya adalah

.

Teorema 3.2 (Brink, 1942)

Pada di mana , dan . Jika ,

maka .

Bukti:

Gambar 3.3 Ilustrasi III Teorema 3.1


27

merupakan segitiga siku-siku pada geometri bola dan

Pada gambar 3.4 (a), diandaikan sebagai segmen

garis yang melalui garis khatulistiwa dan merupakan segmen garis

yang melalui garis lintang. Pada gambar 3.4 (b) diberikan bidang yang

memotong tegak lurus segmen garis lurus pada dan segmen

garis lurus pada . Bidang tersebut juga memotong segmen garis

lurus pada .

siku-siku pada

siku-siku pada

siku-siku pada

siku-siku pada

Dari didapatkan bahwa:

(a) (b)

Gambar 3.4 Ilustrasi Rumus Pythagoras


28

Dari persamaan (1) dan (2) :


29

3. Diagonal persegi panjang tidak selalu membentuk dua buah segitiga

siku-siku pada geometri bola.

Persegi panjang pada geometri bola didefinisikan sebagai segi

empat yang keempat sudutnya kongruen. Suatu persegi panjang yang

titik sudutnya , , , dan dinotasikan dengan . Diagonal

persegi panjang tidak selalu membentuk segitiga siku-siku pada

geometri bola. Gambar 3.5 merupakan .

Berikut merupakan contoh persegi panjang pada geometri bola

yang diagonalnya tidak membentuk dua buah segitiga siku-siku, dan

semua ukuran pada contoh berikut telah diuji kebenarannya, sehingga

tidak perlu diragukan lagi.

Gambar 3.5 Ilustrasi Persegi Panjang


30

Perhatikan gambar 3.6, terbentuk di mana

dan ini sesuai dengan

definisi persegi panjang yang telah disebutkan sebelumnya. Jika

dilukis sebuah diagonal yaitu , maka terbentuk dan .

Pada kedua segitiga tersebut, dan

Pada dan tidak terdapat

satupun sudut yang besarnya , berarti segitiga yang terbentuk dari

diagonal bukan merupakan segitiga siku-siku.

Karena terdapat beberapa perbedaan ini, timbul inspirasi untuk

definisi baru segitiga siku-siku. Definisi baru tersebut didapatkan melalui

pembuktikan teorema di bawah ini. Teorema ini berhubungan dengan

lokasi dari pusat lingkaran luar segitiga, berikut pembuktiannya:

Gambar 3.6 Diagonal Persegi Panjang Tidak

Membentuk Dua Segitiga Siku-siku


31


Jika diberikan dengan pusat lingkaran luar segitiga , maka:

a. dan berada pada sisi yang sama terhadap jika dan hanya jika

.

b. berada pada jika dan hanya jika

.

c. dan berada pada sisi yang berlawanan dengan jika dan hanya

jika .

Bukti (a) :

Misalkan dan berada pada sisi yang sama terhadap

seperti pada gambar 3.7 (a). Jika merupakan jari-

jari lingkaran luar segitiga, maka . Jika

dan , maka dan merupakan segitiga sama

kaki. Karena hal tersebut, menyebabkan dan

. Di lain pihak, dan

sehingga:

Gambar 3.7 Ilustrasi Teorema 3.3


32

Jadi,

Misalkan . Andaikan tidak

benar bahwa dan berada pada sisi yang sama terhadap .

Maka berada pada atau dan berada pada sisi yang

berbeda terhadap .

Kasus 1

Jika berada pada , maka dan

. Karena merupakan jari-jari

lingkaran luar segitiga, maka . Jika dan

, maka dan merupakan segitiga sama kaki.

Karena dan merupakan segitiga sama kaki, maka

dan , sehingga:

Jadi,


33

Telah didapatkan bahwa

,

hal ini kontradiksi dengan permisalan di atas bahwa

.

Kasus 2

Jika dan berada pada sisi yang berbeda terhadap ,

maka dan . Karena

merupakan jari-jari lingkaran luar segitiga, maka

. Karena dan maka dan

merupakan segitiga sama kaki. Karena dan

merupakan segitiga sama kaki, maka dan

, sehingga:

Jadi, .

Telah didapatkan bahwa

,


.

Dari dua kasus tersebut, ternyata muncul kontardiksi dan hal ini

menunjukkan bahwa asumsi salah.


34

Bukti (b):

Misalkan berada pada seperti pada gambar 3.7 (b).

Karena merupakan jari-jari lingkaran luar

segitiga, maka . Karena dan

maka dan merupakan segitiga sama kaki. Hal ini

menyebabkan dan . Di

lain pihak, dan sehingga:

Jadi, .

Misalkan dan andaikan tidak benar

bahwa berada pada , maka dan berada pada sisi yang

sama terhadap atau dan berada pada sisi yang berbeda

terhadap .

Menurut teorema 3.3 (a) didapatkan

,


.

Pada pembuktian kasus 2 teorema 3.3 (a) didapatkan

,


35


.

Dari kedua kasus tersebut ternyata muncul kontardiksi, hal ini


Bukti (c) :

Misalkan dan berada pada sisi yang berbeda terhadap

seperti pada gambar 3.7 (c). Karena

merupakan jari-jari lingkaran luar segitiga, maka .

Karena dan , maka dan

merupakan segitiga sama kaki. Hal tersebut menyebabkan

dan . Dilain pihak,

dan , sehingga:

Jadi, .

Misalkan . Andaikan tidak

benar bahwa dan berada pada sisi yang berbeda terhadap

maka dan berada pada sisi yang sama terhadap atau

berada pada .

Menurut teorema 3.3 (a) didapatkan


36

,


.

Selain itu, pada teorema 3.3 (a) kasus 1 didapatkan

,


.

Dari kedua kasus tersebut ternyata muncul kontardiksi, hal ini


Teorema 3.3 juga berlaku pada geometri Euclid, di mana pusat

lingkaran lu r segitig ber ‘ i l m’ segitig jik h y jik

semua sudut pada segitiga merupakan sudut lancip, pusat lingkaran luar

segitiga berada pada segitiga jika dan hanya jika salah satu sudut pada

segitiga merupakan sudut siku-siku, pusat lingkaran luar segitiga berada

‘ i lu r’ segitig jik h y jik s l h s tu su ut p segitig

merup k su ut tumpul. Ko sep ‘ i l m’ ‘ i lu r’ p t ip h mi

dengan mudah dalam geometri Euclid karena bidang terbagi dalam daerah

e g lu s berhi gg ti k berhi gg . Su tu titik ber ‘ i l m’

segitiga jika titik berada pada luasan daerah berhingga. Sedangkan suatu

titik ber ‘ i lu r’ segitig jik titik ber p lu s er h t k

berhingga. Namun karena segitiga pada geometri bola membagi bola

menjadi dua bagian yang masing-masingnya berhingga, m k ko sep ‘ i


37

l m’ ‘ i lu r’ segitig ti k p t i pt si sec r l gsu g. Oleh

karena itu, pada geometri bola, konsep ini digantikan dengan konsep

‘ber p sisi y g s m ’ ‘ber p sisi y g berbe ’ e g

hipotenusa, seperti nampak dalam teorema 3.3 di atas.

Salah satu sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid adalah

pusat lingkar luarnya berada pada hipotenusa. Melihat hal tersebut, timbul

inspirasi dalam membuat definisi baru untuk segitiga siku-siku pada

geometri bola. Karena diinginkan adanya kemiripan antara sifat-sifat

segitiga siku-siku pada geometri bola dengan sifat-sifat segitiga siku-siku

pada geometri Euclid, maka dinyatakan bahwa pusat lingkaran luar

segitiga siku-siku pada geometri bola juga terletak pada hipotenusanya.

Menurut teorema 3.3 (b) hal ini berarti salah satu besar sudut pada segitiga

tersebut merupakan jumlah kedua sudut lainnya. Oleh karena itu, segitiga

siku-siku didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 3.1 (Dickinson 2008: 28)

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu besar sudutnya

merupakan jumlah kedua sudut lainnya.

Istilah lain untuk segitiga siku-siku baru tersebut adalah Spherical

Half-sum Triangle. Dalam skripsi ini Spherical Half-sum Triangle akan

tetap disebut sebagai segitiga siku-siku.

B. Sifat-sifat Segitiga Siku-siku

Berikutnya akan dijelaskan mengenai sifat-sifat dalam segitiga

siku-siku yang telah disebutkan pada awal bab ini dengan menggunakan


38

definisi baru segitiga siku-siku. Penjelasan sifat-sifat segitiga siku-siku

tersebut akan dibahas melalui teorema dan lema.

Pada awal bab ini, melalui teorema 3.1 telah dibuktikan bahwa

besar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran lebih dari .

Pada teorema tersebut telah ditunjukkan bahwa gabungan diameter

lingkaran dan segmen garis yang membentuk sudut keliling yang

menghadap diameter membentuk sebuah segitiga. Di mana sudut yang

menghadap diameter lingkaran, besarnya merupakan jumlah kedua sudut

lainnya. Oleh karena itu, melalui definisi baru segitiga siku-siku, segitiga

yang terbentuk merupakan segitiga siku-siku. Dari sini muncul kemiripan

dengan sifat segitiga siku-siku yang ada pada geometri Euclid.

Berikutnya akan ditunjukkan bahwa besar sudut yang menghadap

diameter Berikut pembuktiannya melalui sebuah teorema:


Jika merupakan segitiga siku-siku yang memenuhi aturan

,

maka

.

Untuk membuktikan teorema ini dibutuhkan istilah lune dan dua

buah lema. Definisi lune akan dibahas beserta dengan pembuktian lema

mengenai rumus luas lune dan rumus luas segitiga sebagai berikut:

Definisi 3.2 (Todhunter, 1886: 71)


39

Lune merupakan bagian pada permukaan bola yang dibatasi oleh dua buah

setengah lingkaran besar.

Seperti pada gambar 3.8, merupakan lune yang memiliki

dua buah sudut yaitu dan . Besar kedua sudut tersebut sama yaitu

, kemudian dan disebut sebagai sudut pada lune.

Lema 3.1 (Todhunter, 1886: 72)

Jika diberikan lune dengan besar sudut pada lune adalah , maka

luas lune

Bukti:

Gambar 3.8 Ilustrasi Lune

Gambar 3.9 Ilustrasi Lema 3.1


40

Bentuk lune yang besar sudutnya sama yaitu dan terletak pada

titik dan . Titik dan membagi dua sama panjang . Lukis

lingkaran besar yang melalui titik dan seperti pada gambar 3.9

sehingga

. Untuk mendapatkan luas lune, dibentuk

persamaan sebagai berikut:

lu s lu e

lu s permuk bol

lu s lu e

lu s permuk bol

lu s lu e

lu s lu e

Lema 3.2 (Todhunter, 1886: 73)

Jika merupakan segitiga pada geometri bola dan

merupakan besar sudut pada segitiga, maka berlaku luas

.

Bukti:

Gambar 3.10 Ilustrasi Lema 3.2


41

Perhatikan pada gambar 3.10 di atas. Bentuklah tiga buah

lingkaran besar yang memuat sisi-sisi pada seperti nampak pada

gambar. Titik berturut-turut merupakan titik lawan dari

sehingga lu s lu s . Ketiga lingkaran besar

saling berpotongan dan membentuk enam buah lune, di mana masing-

masing lune memuat atau . Sehingga luas permukaan bola

(selanjutnya ditulis ) menjadi:

lu s bu h lu e

Pada geometri bola, lema 3.2 di atas disebut sebagai teorema

Girard. Melalui teorema tersebut dapat dibuktikan bahwa jumlah besar

sudut pada segitiga lebih dari . Sebelumnya, karena luas selalu

bernilai positif maka:

Terbukti bahwa jumlah besar sudut pada segitiga bola lebih dari .


42

Selanjutnya, dengan menggunakan kedua lema di atas, akan

dibuktikan teorema 3.4.

Bukti:

Menurut lema 3.2, luas ,

dengan demikian:

lu s

lu s

lu s

lu s

lu s

Berikutnya akan dibahas mengenai teorema Pythagoras dengan

menggunakan definisi baru segitiga siku-siku. Dari definisi ini diharapkan

teorema Pythagoras pada geometri bola juga memiliki bentuk kuadrat

seperti teorema Pythagoras pada geometri Euclid. Berikut pembuktiannya:


Jika merupakan segitiga siku-siku yang memenuhi aturan bahwa

di mana berturut-turut merupakan

dan , maka berlaku

.

Bukti:


43

Perhatikan gambar 3.11, merupakan pusat bola, merupakan

panjang segmen garis yang menghubungkan dan , dan merupakan

panjang segmen garis lurus yang menghubungkan dan . Lukis segmen

garis lurus melalui yang membagi menjadi dua bagian sama panjang,

sehingga:



Gambar 3.11 Ilustrasi I Teorema 3.5



44



sehingga:





sehingga:



45

Bentuk lingkaran luar , di mana merupakan pusat

lingkaran luar . Karena menurut teorema 3.3 ,

maka berada pada . Karena merupakan pusat lingkaran luar

segitiga , maka membagi sama panjang sehingga .

Selanjutnya dibentuk bidang datar yang melalui , , dan kemudian

proyeksikan pada bidang seperti pada gambar 3.14. Notasikan

proyeksi pada bidang dengan . Karena berada pada , maka

terletak pada segmen garis lurus . Titik merupakan pusat bola,

sehingga .

Perhatikan , karena , maka berlaku

. Selanjutnya, karena , , dan

, maka . Berikutnya, , y, dan

berturut-turut merupakan panjang segmen garis lurus yang

menghubungkan ke , ke , dan ke . Karena

maka .

Gambar 3.14 Ilustrasi IV Teorema 3.5


46

Selanjutnya perhatikan dan . Telah diketehui ,

, dan segme g ris lurus , ini mengakibatkan

dan memenuhi teorema Pythagoras, sehingga:

Sekarang perhatikan dan pada gambar 3.15, karena

pusat lingkaran luar , maka . Karena panjang segmen garis

, maka . Lalu karena , ,

dan , maka . Selanjutnya merupakan

panjang segmen garis lurus yang menghubungkan ke . Karena

, maka .

Selanjutnya perhatikan dan , karena

bi g t r pada , maka semua garis yang melalui pada bidang

Gambar 3.15 Ilustrasi V Teorema 3.5


47

akan tegak lurus dengan sehingga segme g ris lurus .

Berikutnya karena , , segme g ris lurus , dan

segme g ris lurus menyebabkan dan memenuhi

teorema Pythagoras, sehingga:

Karena telah didapatkan bahwa , maka

merupakan pusat lingkaran luar pada bidang . Karena berada

pada segmen garis lurus , maka merupakan segitiga siku-siku

dengan segmen garis lurus sebagai hipotenusa. Hal ini menyebabkan

berlakunya

Setelah didapat bahwa , subtitusi dengan

sehingga menjadi:


48

Rumus inilah yang kemudian diyakini sebagai teorema Pythagoras

pada geometri bola. Hal ini disebabkan karena teorema Pythagoras ini

lebih memiliki kemiripan dengan teorema Pythagoras pada geometri

Euclid, sebab pada keduanya terdapat bentuk kuadrat.

Selanjutnya akan dibahas mengenai sifat diagonal pada persegi

panjang. Pada pembahasan di bawah ini, akan dibuktikan bahwa diagonal

pada persegi panjang akan membagi persegi panjang menjadi dua buah

segitiga siku-siku yang kongruen. Untuk menunjukkan hal tersebut, akan

dibuktikan terlebih dahulu teorema berikut:

Teorema 3.6 (M’Clelland, 1893: 32)

Jika diberikan sebuah dengan ,

maka panjang sisi-sisi yang bersebrangan sama panjang.

Bukti:

Perpanjang dan hingga keduanya berpotongan pada dua

titik yaitu dan yang merupakan titik berlawanan seperti nampak pada

gambar 3.16. Karena maka merupakan

segitiga sama kaki, sehingga . Selanjutnya, karena diketahui



49

bahwa maka sehingga

merupakan segitiga sama kaki dan mengakibatkan . Dengan

demikian:

Dengan cara yang serupa, dapat dibuktikan bahwa .

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa diagonal persegi panjang

membentuk dua buah segitiga siku-siku.


Jika merupakan diagonal , maka membagi

menjadi dua buah segitiga siku-siku yang kongruen.

Bukti:

Diberikan dengan diagonal seperti pada gambar 3.17.

Menurut teorema 3.6, dan , telah diketahui juga bahwa



50

. Karena ketiga hal tersebut, maka .

Selanjutnya, karena , maka . Sehingga:

Ini berarti bahwa merupakan segitiga siku-siku.

Dengan demikian, telah terbukti jika ketiga sifat tersebut ditelusuri

dengan menggunakan definisi baru, maka ketiga sifat yang sebelumya

tidak mirip dengan sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid menjadi

lebih mirip. Dengan definisi bahwa segitiga siku-siku merupakan segitiga

yang besar salah satu sudutnya merupakan jumlah dari dua sudut lainnya,

menjadi benar bila besar sudut keliling yang menghadap diameter

lingkaran lebih dari , terdapat bentuk kuadrat dalam rumus Pythagoras

geometri bola, dan diagonal pada persegi panjang terbukti membentuk dua

buah segitiga siku-siku.


51

BAB IV

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil pembahasan, dapat diambil kesimpulan bahwa:

1. Berdasarkan definisi segitiga siku-siku sebagai segitiga yang memiliki

setidaknya satu sudut siku-siku, terdapat tiga ketidakmiripan sifat

segitiga siku-siku pada geometri bola dengan sifat segitiga siku-siku

pada geometri Euclid. Ketidakmiripan tersebut antara lain: Sudut

keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya selalu lebih dari

, tidak terdapatnya bentuk kuadrat dalam rumus Pythagoras

geometri bola, dan diagonal persegi panjang tidak selalu membentuk

dua buah segitiga siku-siku pada geometri bola.

2. Definisi baru segitiga siku-siku yang dinamai Spherical Half-sum

Triangle adalah segitiga yang salah satu besar sudutnya merupakan

jumlah kedua sudut lainnya. Definisi ini terinspirasi dari salah satu sifat

segitiga siku-siku pada geometri Euclid dimana pusat lingkaran luar

segitiga siku-siku harus berada pada hipotenusa.

3. Berdasarkan definisi baru segitiga siku-siku, tiga sifat segitiga siku-siku

pada geometri bola yang sebelumya tidak mirip dengan sifat segitiga

siku-siku pada geometri Euclid menjadi lebih mirip. Karena dengan

definisi baru ini, menjadi benar bila sudut keliling yang menghadap

diameter lingkaran besarnya selalu lebih dari , terdapat bentuk


52

52

kuadrat dalam rumus Pythagoras geometri bola, dan diagonal pada

persegi panjang terbukti membentuk dua buah segitiga siku-siku.

B. Saran

Untuk penelitian selanjutnya, dapat dibahas mengenai sifat-sifat

segitiga lancip pada geometri bola dengan sifat-sifat segitiga lancip pada

geometri Euclid maupun sifat-sifat segitiga tumpul pada geometri bola

dengan sifat-sifat segitiga tumpul pada geometri Euclid.


53

53

DAFTAR PUSTAKA

Brenke, W. (1943). Plane and Spherical Trigonometry. New York: The Dryden

Press.

Brink, R.W. (1942). Spherical Trigonometry. New York: Appleton Century

Crofts.

Byer, Owen, dkk. (2010). Methods of Euclidean geometry. United States of

America: The Mathematical Association of America.

Dickinson, W. & Salmassi, M. (2008). The Right Right Triangle on the Sphere.

The College Mathematics Journal, Vol. 39, 24-33.

Gans, D. (1973). An Introduction to Non-Euclidean Geometry. New York and

London: Academic Press

M’Clelland, W.J. & Preston, T. (1893). A Treatise on Spherical Trigonometry

With Applications Spherical Geometry and Numerous Examples Part.I

(ed.4). London: Macmillan.

M’Clelland, W.J. & Preston, T. (1886). A Treatise on Spherical Trigonometry

With Applications Spherical Geometry and Numerous Examples Part.II.

London: Macmillan.

Moise, E.E. (1990). Elementary Geometry from an Advanced Standpoint (ed. 3).

USA: Addison-Wesley.

Todhunter, I. (1886). Spherical Trigonometry for the use of colleges and Schools

with Numerous Examples (ed.5). London: Macmillan.

Wentworth, G.A. (1899). Plane and Solid Geometry. Boston, U.S.A: Ginn &

Company.


Lampiran A.1.

SEGITIGA KUTUB

Definisi 1 (M’Clellan,1893 :26)

Segitiga kutub merupakan segitiga yang setiap titik sudut nya merupakan

pusat lingkaran besar dari setiap segmen garis segitiga lainnya.

Pada ilustrasi segitiga kutub merupakan segitiga kutub dari

karena merupakan pusat lingkaran besar yang memuat ,

merupakan pusat lingkaran besar yang memuat , merupakan pusat

lingkaran besar yang memuat . Sebaliknya, karena merupakan pusat

lingkaran besar yang memuat , merupakan pusat lingkaran besar

yang memuat , dan merupakan pusat lingkaran besar yang memuat

maka merupakan segitiga kutub dari

Ilustrasi Segitiga Kutub


Lampiran A.2.

SEGITIGA KONGRUEN

Teorema 1 (Wentworth, 1899 : 399)

Jika melalui pusat bola dilukiskan tiga buah diameter yaitu segmen garis

lurus , dan melalui titik dibentuk lingkaran besar,

maka dan merupakan segitiga yang kongruen.

Bukti:

Titik berturut-turut merupakan titik lawan dari titik , ,

hal ini menyebabkan , , ,

. Karena ukuran pada kedua segitiga

tersebut sama, maka .

Ilustrasi Teorema 1


Lampiran A.2.

Teorema 2 (Wentworth, 1899: 401)

Jika dua buah segitiga berada pada bola berukuran sama, di mana dua buah

sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapit oleh kedua sisi

sama besar, maka kedua segitiga tersebut kongruen.

Bukti:

Pada Ilustrasi Teorema 2.1, terdapat

di mana , , , dan

. Karena dan

maka . Selanjutnya karena dan

maka

Dengan cara serupa dapat pula dibuktikan bahwa jika dua buah

segitiga, di mana dua buah sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi

diantara kedua sudut tersebut sama panjang, maka kedua segitiga tersebut

kongruen.

Ilustrasi Teorema 2


Lampiran A.2.


Jika dua buah segitiga terletak pada bola yang berukuran sama dan meliliki

besar sudut yang sama pada sudut-sudut yang bersesuaian, maka keduanya

memiliki panjang sisi yang sama pada sisi-sisi yang bersesuaian dan kedua

segitiga tersebut kongruen.

Bukti:

Diberikan merupakan segitiga kutub dari dan

merupakan segitiga kutub dari seperti pada Ilustrasi Teorema 3.

Diketahui bahwa sudut-sudut yang bersesuaian pada dan sama

besar. Karena hal tersebut, dan maupun merupakan segitiga kutub,

maka sisi-sisi yang bersesuaian pada dan sama panjang. Karena

sisi-sisi yang bersesuaian pada dan sama panjang, maka sudut-

sudut yang bersesuaian pada dan sama besar. Karena dan

berturut-turut merupakan segitiga kutub dari dan maka sisi-sisi

yang bersesuaian pada dan sama panjang. Hal tersebut

menyebabkan .

Ilustrasi Teorema 3


Lampiran A.2.

Dengan cara serupa dapat dibuktikan jika dua buah segitiga terletak

pada bola yang berukuran sama dan meliliki panjang sisi yang sama pada

sisi-sisi yang bersesuaian, maka keduanya memiliki besar sudut yang sama

pada sudut-sudut yang bersesuaian dan kedua segitiga tersebut kongruen.


Lampiran A.3.

ATURAN SEGITIGA SAMA KAKI


Pada segitiga sama kaki, sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi yang

sama panjang akan memiliki sudut yang sama besar.

Bukti:

Pada Ilustrasi teorema 4, merupakan segitiga sama kaki di

mana . Lukis di mana merupakan titik yang membagi

sama panjang. Perhatikan bahwa sisi-sisi yang bersesuaian pada

sama panjang. Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama

panjang, maka sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Karena sudut-

sudut yang bersesuaian sama besar maka

Ilustrasi Teorema 4


Lampiran A.3.


Jika pada sebuah segitiga terdapat dua buah sudut yang sama besar, maka

sisi-sisi di hadapan kedua sudut tersebut sama panjang dan segitiga

tersebut merupakan segitiga sama kaki.

Bukti:

Diberikan merupakan segitiga kutub dari

seperti nampak pada Ilustrasi teorema 5. Kemudian

karena , maka . Karena , maka

dan hal ini menyebabkan dan merupakan

segitiga sama kaki.

Ilustrasi Teorema 5


sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola … · sifat-sifat segitiga siku-siku pada...

Documents