SIFAT-SIFAT SEGITIGA SIKU-SIKU PADA GEOMETRI BOLA
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh:
CINDY
NIM: 121414079
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2016
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
i
SIFAT-SIFAT SEGITIGA SIKU-SIKU PADA GEOMETRI BOLA
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh:
CINDY
NIM: 121414079
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2016
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
On a dark gloomy day,
remember that every little drop of rain
prepares you to be even stronger
to flourish on a sunny day.
(HJ Story)
Karya ini untuk:
Kedua orang tuaku, Christian Jonatan dan Neli
Kakakku, Jhonny Jonatan
Almamaterku, Universitas Sanata Dharma
Serta setiap orang yang membacanya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Cindy, 2016. Sifat-sifat Segitiga Siku-siku pada Geometri Bola. Skripsi.
Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas
Sanata Dharma, Yogyakarta.
Segitiga siku-siku pada geometri bola didefinisikan sebagai segitiga yang
memiliki paling tidak satu sudut siku-siku. Skripsi ini membahas ketidakmiripan
antara sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola dengan sifat-sifat segitiga
siku-siku pada geometri Euclid. Fakta ini menginspirasi definisi baru untuk
segitiga siku-siku pada geometri bola yang disebut dengan Spherical Half-sum
Triangle. Spherical Half-sum Triangle adalah segitiga yang salah satu besar
sudutnya merupakan jumlah kedua sudut lainnya. Kemudian dengan definisi ini
akan ditunjukkan bahwa sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola memiliki
kemiripan dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid. Kemiripan
tersebut antara lain: sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya
lebih dari , terdapat bentuk kuadrat dalam rumus Pythagoras, dan diagonal
persegi panjang selalu membentuk dua buah segitiga siku-siku.
Kata Kunci: Geometri Bola, Segitiga Siku-siku, Spherical Half-sum Triangle.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
Cindy, 2016. The Characteristics of Spherical Half-sum Triangle. Thesis.
Mathematics Education Study Program, Mathematics and Science Education
Department, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma
University, Yogyakarta.
Right triangle in spherical geometry defines as a triangle which is have at
least one right angle. This thesis defines about dissimilarities that arise between
the characteristics of right triangle in spherical geometry and in Euclidean
geometry. This fact inspired a new definition for spherical right triangle that
called Spherical Half-sum Triangle. Spherical Half-sum Triangle defined as a
triangle which is one angle equals the sum of the other two. Further, with this new
definition will be shown that the characteristics of Spherical Half-sum Triangle
more similar like the Euclidean one. The characteristics of Spherical Half-sum
Triangle are: measure of an angle which is opposite a diameter of a circle more
than there are squared terms in the spherical Pythagorean theorem, and a
diagonal of spherical rectangle create two traditional right triangles.
Key Word: Spherical Geometry, Spherical Right Triangle, Spherical Half-
sum Triangle.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa
karena atas berkat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi
dengan judul “Sifat-sifat Segitiga Siku-siku pada Geometri Bola”. Skripsi
ini disusun untuk melengkapi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana
Pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas
Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Banyak hambatan dan rintangan yang penulis alami selama
penyusunan skripsi ini. Namun penulis tetap semangat dan dapat
menyelesaikan skripsi karena tidak terlepas dari doa, bantuan, dan
dukungan berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan kali ini
penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada beberapa pihak,
diantaranya:
1. Bapak Rohandi, Ph.D. selaku dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu
Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.
2. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd. selaku ketua Jurusan
Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahhuan Alam.
3. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si. selaku ketua Program Studi Pendidikan
Matematika, Universitas Sanata Dharma.
4. Bapak Prof. Dr. St. Suwarsono selaku Dosen Pembimbing Akademik.
5. Bapak Antonius Yudhi Anggoro, M.Si. selaku dosen pembimbing
skripsi yang telah menyediakan waktu, tenaga, dan pikiran untuk
membimbing penulis dengan sabar. Terima kasih atas segala masukan
dan motivasi selama penyusunan skripsi ini.
6. Bapak Hartono, Ph.D. dan Ibu Veronika Fitri Rianasari, M.Sc. atas
berbagai saran untuk proses pencarian informasi dalam skripsi ini.
7. Ibu Dra. Haniek Sri Pratini, M.Pd. dan Ibu C. Novella Krisnamurti,
M.Sc. selaku dosen penguji yang telah memberikan banyak masukan
untuk skripsi ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
8. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Pendidikan Matematika
Universitas Sanata Dharma yang telah mendidik penulis selama
menuntut ilmu di Universitas Sanata Dharma.
9. Staf sekretariat JPMIPA yang telah memberikan pelayanan
kesekretariatan.
10. Staf Perpustakaan Universitas Sanata Dharma yang telah memberikan
pelayanan dan fasilitas selama pengerjaan skripsi ini.
11. Kedua orang tua penulis yang tiada henti memberi semangat,
kepercayaan, dan doa dalam studi ini.
12. Teman-teman perantau dan pejuang gelar sarjana, Andita Prastiti,
Maria Mater Dei Ayu, Elizabeth Nada, Adhi Kristian, Yunita Maria
Ndoi, Bernadette Andika, Namiera Yushendea, Stacia Elvaretta,
Nanda Ayu, Stepani Elsa, Fransisca Putri, dan Malvin Choco yang
senantiasa berbagi suka duka selama pengerjaan skripsi ini.
13. Teman-teman Pendidikan Matematika angkatan 2012 khususnya kelas
B, terlebih Trisona Agustina, Natalia Ika, Yohana Kristin, Scolastika
Lintang, Dita Anggraini, Gregoria Yanu, Agustina Galuh, Rara
Maharani, Maria Sri Dian, dan Richardus Adelbertus yang telah
menyemangati, menemani, berbagi informasi, dan berjuang bersama
selama proses pembelajaran di Universitas Sanata Dharma.
14. Teman-teman satu bimbingan skripsi yang saling menyemangati,
berbagi informasi, dan berkeluh kesah bersama selama penulisan
skripsi ini.
15. Semua pihak yang telah membantu dan tidak dapat disebutkan satu
persatu.
Semoga tulisan ini dapat memberikan manfaat dan wawasan yang
lebih kepada setiap pembacanya.
Yogyakarta, 22 September 2016
Cindy
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..................................................... ii
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. v
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ................... vi
ABSTRAK ............................................................................................................ vii
ABSTRACT ......................................................................................................... viii
KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix
DAFTAR ISI .......................................................................................................... xi
DAFTAR SIMBOL .............................................................................................. xiii
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiv
DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................ xvi
BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................... 1
A. Latar Belakang ............................................................................................ 1
B. Batasan Masalah.......................................................................................... 4
C. Rumusan Masalah ....................................................................................... 4
D. Tujuan Penelitian ........................................................................................ 5
E. Manfaat Penelitian ...................................................................................... 5
F. Metode Penelitian........................................................................................ 6
G. Sistematika Penulisan ................................................................................. 6
BAB II SEJARAH DAN KONSEP DASAR GEOMETRI BOLA ........................ 8
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
A. Sejarah Munculnya Geometri Bola ............................................................. 8
B. Konsep Dasar Dalam Geometri Bola ........................................................ 11
BAB III SEGITIGA SIKU-SIKU PADA GEOMETRI BOLA ............................ 23
A. Spherical Half-sum Triangle ..................................................................... 23
B. Sifat-sifat Segitiga Siku-siku .................................................................... 37
BAB IV PENUTUP .............................................................................................. 51
A. Kesimpulan ............................................................................................... 51
B. Saran .......................................................................................................... 52
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 53
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR SIMBOL
: titik
: titik berlawanan
: garis
: segmen garis dengan titik akhir dan
: panjang / jarak ke
: sudut
: besar sudut
: segitiga
: Persegi panjang
= : sama dengan
: tidak sama dengan
: lebih besar dari
: lebih kecil dari
: gabungan
: tegak lurus
: kongruen
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Bagan Asal Mula Geometri Bola ...................................................... 3
Gambar 2.1 Ilustrasi Pusat Bola ............................................................................ 11
Gambar 2.2 Ilustrasi Radius Bola ......................................................................... 12
Gambar 2.3 Ilustrasi Diameter Bola ..................................................................... 12
Gambar 2.4 Ilustrasi Lingkaran............................................................................. 13
Gambar 2.5 Ilustrasi Lingkaran Besar .................................................................. 14
Gambar 2.6 Ilustrasi garis dari Dua Titik.............................................................. 14
Gambar 2.7 Ilustrasi Segmen Garis ...................................................................... 16
Gambar 2.8 Ilustrasi I Keantaraan ........................................................................ 17
Gambar 2.9 Ilustrasi II Keantaraan ....................................................................... 17
Gambar 2.10 Ilustrasi III Keantaraan .................................................................... 18
Gambar 2.11 Ilustrasi Sudut .................................................................................. 19
Gambar 2.12 Ilustrasi Segitiga .............................................................................. 19
Gambar 2.13 Ilustrasi Segitiga Siku-siku ............................................................. 20
Gambar 2.14 Ilustrasi Lingkaran Luar Segitiga .................................................... 21
Gambar 3.1 Ilustrasi I Teorema 3.1 ...................................................................... 24
Gambar 3.2 Ilustrasi II Teorema 3.1 ..................................................................... 25
Gambar 3.3 Ilustrasi III Teorema 3.1 .................................................................... 26
Gambar 3.4 Ilustrasi Rumus Pythagoras ............................................................... 27
Gambar 3.5 Ilustrasi Persegi Panjang ........................................................ 29
Gambar 3.6 Diagonal Persegi Panjang.................................................................. 30
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
Gambar 3.7 Ilustrasi Teorema 3.3 ......................................................................... 31
Gambar 3.8 Ilustrasi Lune ..................................................................................... 39
Gambar 3.9 Ilustrasi Lema 3.1 .............................................................................. 39
Gambar 3.10 Ilustrasi Lema 3.2 ............................................................................ 40
Gambar 3.11 Ilustrasi I Teorema 3.5 .................................................................... 43
Gambar 3.12 Ilustrasi II Teorema 3.5 ................................................................... 43
Gambar 3.13 Ilustrasi III Teorema 3.5 .................................................................. 44
Gambar 3.14 Ilustrasi IV Teorema 3.5.................................................................. 45
Gambar 3.15 Ilustrasi V Teorema 3.5 ................................................................... 46
Gambar 3.16 Ilustrasi Teorema 3.6 ....................................................................... 48
Gambar 3.17 Ilustrasi Teorema 3.7 ....................................................................... 49
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvi
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran A.1. Segitiga Kutub
Lampiran A.2. Segitiga Kongruen
Lampiran A.3. Aturan Segitiga Sama Kaki
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Geometri berasal dari dua kata Yunani geo dan metrein. Geo
berarti bumi, dan metrein berarti ukuran. Dengan demikian, secara
etimologis geometri dapat diartikan sebagai ilmu pengukuran bumi.
Meskipun berasal dari kata Yunani, orang-orang Yunani bukanlah yang
memulai penggunaan geometri dalam kehidupan sehari-hari. Orang-orang
Mesirlah yang pertama kali menggunakan geometri dalam kehidupan
sehari-hari. Mereka menggunakan geometri untuk mengatasi masalah
banjir tahunan yang terjadi di sungai Nil.
Geometri dipandang sebagai sistem deduktif, yaitu suatu sistem
yang memiliki pengertian-pengertian pangkal atau unsur-unsur yang tidak
memiliki definisi. Sekitar 300 tahun sebelum masehi, muncul seorang
matematikawan bernama Euclid yang menulis buku mengenai geometri.
Buku yang ditulis oleh Euclid berjudul ‘Elements’ di mana isinya
menjelaskan mengenai definisi, postulat, dan teorema.
Pada geometri Euclid terdapat lima buah postulat, di mana postulat
kelima yang ditulis oleh Euclid disebut sebagai postulat kesejajaran
Euclid. Postulat tersebut berbunyi “Pada sebuah bidang, jika sebuah garis
dipotongkan dengan dua garis lainnya dan dua garis tersebut
diperpanjang hingga bertemu pada satu titik, maka jumlah sudut dalam
sepihak pada pihak yang bertemu disatu titik adalah lebih dari .”
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Beberapa matematikawan mengatakan bahwa postulat kesejajaran Euclid
dianggap terlalu rumit untuk disebut sebagai postulat. Mereka mengatakan
bahwa postulat kesejajaran Euclid dapat dibuktikan dengan empat postulat
sebelumnya.
Playfair merupakan salah satu matematikawan yang mencoba
untuk membuktikan postulat kesejajaran Euclid. Playfair menemukan
postulat yang berbunyi “jika diberikan sebuah garis dan sebuah titik
di luar , maka dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis dan
melalui .” Namun postulat Playfair dianggap masih memiliki makna
yang sama dengan postulat kesejajaran Euclid. Hingga akhirnya Bolyai-
Lobachevsky menemukan postulat kesejajarannya yang berbunyi “jika
diberikan sebuah garis dan sebuah titik di luar garis tersebut, maka
dapat dibuat lebih dari satu garis yang sejajar dengan garis dan melalui
.” dan Riemann menemukan postulat kesejajarannya yang berbunyi
“jika diberikan sebuah garis l dan sebuah titik P di luar garis tersebut,
maka tidak dapat dibuat garis lain yang sejajar dengan garis l dan
melalui P.” Karena postulat Bolyai-Lobachevsky dan postulat Riemann
tidak berlandaskan pada postulat kesejajaran Euclid, maka muncul yang
dinamakan dengan geometri non-Euclid. Berikut merupakan bagan asal
mula geometri bola bermula dari geometri Euclid.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
Geometri bola memiliki sejumlah konsep dasar dan salah satunya
membahas mengenai segitiga siku-siku. Segitiga siku-siku didefinisikan
sebagai segitiga yang memiliki setidaknya satu sudut siku-siku. Namun
dengan definisi tersebut terdapat ketidakmiripan antara sifat-sifat segitiga
siku-siku pada geometri bola dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada
geometri Euclid. Fakta tersebut menginspirasi definisi baru untuk segitiga
Geometri Euclid:
4 postulat Euclid
+
postulat kesejajaran Euclid
Geometri Non-Euclid:
4 postulat Euclid
+
postulat kesejajaran Bolyai /
postulat kesejajaran Riemann
Geometri eliptik
(berdasarkan postulat Riemann)
Geometri hiperbolik
(berdasarkan postulat Bolyai)
Geometri
eliptik
tunggal
Geometri
eliptik
rangkap
Geometri bola
Gambar 1.1 Bagan Asal Usul Geometri Bola
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
siku-siku yang disebut dengan Spherical Half-sum Triangle. Spherical
Half-sum Triangle merupakan segitiga yang salah satu besar sudutnya
merupakan jumlah kedua sudut lainnya. Dengan definisi baru ini akan
ditunjukkan bahwa sifat segitiga siku-siku pada geometri bola memiliki
kemiripan dengan sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid. Kemiripan
sifat tersebut antara lain: besar sudut keliling yang menghadap diameter
lingkaran lebih dari , terdapat bentuk kuadrat dalam rumus Pythagoras,
dan diagonal persegi panjang membentuk dua buah segitiga siku-siku.
B. Batasan Masalah
Dalam skripsi ini, bola diasumsikan sebagai bola satuan. Bola
satuan yang dimaksud adalah bola yang memiliki radius satu satuan.
C. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang ada, rumusan masalah dalam
penelitian ini yaitu:
1. Bagaimana ketidakmiripan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri
bola dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid,
berdasarkan definisi awal segitiga siku-siku?
2. Bagaimana definisi baru segitiga siku-siku pada geometri bola?
3. Bagaimana sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola yang
sebelumnya tidak mirip dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada
geometri Euclid, berdasarkan definisi baru segitiga siku-siku?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
D. Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk:
1. Untuk mendeskripsikan ketidakmiripan sifat-sifat segitiga siku-siku
pada geometri bola dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri
Euclid berdasarkan definisi awal segitiga siku-siku.
2. Untuk mendeskripsikan definisi baru segitiga siku-siku pada geometri
bola.
3. Untuk mendeskripsikan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri
bola yang sebelumnya tidak mirip dengan sifat-sifat segitiga siku-siku
pada geometri Euclid berdasarkan definisi yang baru.
E. Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diambil dari penelitian ini adalah:
1. Bagi Pembaca
Pembaca dapat mengetahui bagaimana konsep dasar geometri bola,
definisi segitiga siku-siku, ketidakmiripan sifat-sifat segitiga siku-siku
pada geometri bola dan geometri Euclid, definisi baru untuk segitiga
siku-siku pada geometri bola, dan sifat-sifat segitiga siku-siku
berdasarkan definisi baru.
2. Bagi Penulis
Penulis dapat menambah pengetahuan baru dalam bidang geometri
selain geometri Euclid, mengetahui sejarah munculnya geometri bola,
mengetahui konsep dasar dalam geometri bola, dan mendalami sifat-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
sifat segitiga siku-siku pada geometri bola berdasarkan dengan definisi
yang telah ada maupun definisi yang baru.
3. Bagi Universitas
Universitas dapat menambah koleksi skripsi dalam bidang
geometri khususnya mengenai geometri bola. Selain itu, skripsi ini
dapat menjadi referensi pembelajaran matematika mengenai geometri
non-Euclid.
F. Metode Penelitian
Metode yang digunakan penulis dalam menyusun skripsi ini adalah
metode studi pustaka. Metode ini dilakukan dengan mengkaji berbagai
referensi berupa jurnal dan buku yang berkaitan dengan geometri bola
sehingga penulis tidak menemukan suatu hal baru.
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:
1. Mempelajari berbagai referensi yang diperlukan, khususnya mengenai
geometri bola.
2. Menyajikan kembali definisi-definisi serta teorema-teorema yang
menjadi dasar dalam geometri bola.
3. Menyusun materi-materi yang telah dikumpulkan secara sistematis
untuk memudahkan pembaca dalam memahaminya.
G. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut. Bab
pertama, membahas latar belakang penulisan skripsi, rumusan masalah,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian,
dan sistematika penulisan dalam skripsi ini.
Bab kedua membahas sejarah munculnya geometri bola serta
konsep dasar dalam geometri bola yang akan digunakan pada pembahasan
bab berikutnya.
Bab ketiga yang merupakan inti dari penulisan skripsi ini,
membahas ketidakmiripan antara sifat-sifat segitiga siku-siku pada
geometri bola dan geometri Euclid, teorema yang mendasari munculnya
definisi baru segitiga siku-siku, definisi baru segitiga siku-siku, dan sifat-
sifat segitiga siku-siku pada geometri bola berdasarkakn definisi baru.
Bab keempat berisi kesimpulan dan saran untuk penelitian lebih
lanjut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
BAB II
SEJARAH DAN KONSEP DASAR GEOMETRI BOLA
Bab ini membahas sejarah munculnya geometri bola dan konsep
dasar yang akan digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab
berikutnya. Konsep dasar yang akan dibahas antara lain titik, garis, sudut,
lingkaran, keantaraan, segitiga, dan kongruensi segitiga pada geometri bola.
Berikut merupakan penjelasan mengenai sejarah munculnya geometri bola.
A. Sejarah Munculnya Geometri Bola
Euclid menyebutkan lima buah postulat dalam geometri, kelima
postulat tersebut antara lain (Own Byer, 2010):
1. Dari dua titik sembarang dapat dibentuk sebuah garis.
2. Sebuah garis dapat diperpanjang sampai tak hingga.
3. Jika diberikan sebuah titik dan jari-jari, maka dapat dibentuk sebuah
lingkaran dengan titik tersebut sebagai pusatnya.
4. Semua sudut siku-siku sama besar.
5. Pada sebuah bidang, jika sebuah garis dipotongkan dengan dua garis
lainnya dan dua garis tersebut diperpanjang hingga bertemu pada satu
titik, maka jumlah sudut dalam sepihak pada pihak yang bertemu
disatu titik adalah lebih dari .
Postulat terakhir dari lima postulat yang ditulis oleh Euclid disebut
sebagai postulat kesejajaran. Lima postulat ini bertahan sebagai dasar
pembelajaran geometri hingga abad ke-20, sampai akhirnya beberapa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
matematikawan menganggap bahwa postulat kesejajaran yang ditulis oleh
Euclid terlalu rumit untuk disebut sebagai postulat. Beberapa
matematikawan menganggap bahwa postulat kesejajaran tersebut dapat
dibuktikan dengan menggunakan empat postulat sebelumnya. Beberapa
matematikawan tersebut antara lain Proclus dari Aleksandria (410-485),
John Wallis (1616-1703), dan Girolamo Saccheri dari Italia (1667-1733).
Mereka mencoba untuk membuktikan kebenaran dugaan tersebut, namun
usaha yang dilakukan gagal hingga akhirnya matematikawan asal
Skotlandia yaitu John Playfair (1748-1819) menemukan postulat yang
ekuivalen dengan postulat kesejajaran Euclid. Postulat tersebut berbunyi:
“jika diberikan sebuah garis dan sebuah titik di luar , maka dapat
dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis dan melalui .”
Postulat tersebut dinamakan postulat Playfair, dan postulat ini
dianggap lebih sederhana jika dibandingkan dengan postulat kesejajaran
Euclid. Postulat Playfair dan postulat kesejajaran Euclid dianggap masih
memiliki makna yang sama.
Karena dua postulat tersebut dirasa masih kurang tepat, maka pada
tahun 1830 J.Bolyai dan N.I. Lobachevsky merevisi postulat kesejajaran
Euclid dan postulat Playfair. Kemudian mereka memperkenalkan postulat
baru yang disebut sebagai postulat Bolyai-Lobachevsky. Postulat tersebut
berbunyi “jika diberikan sebuah garis dan sebuah titik di luar garis
tersebut, maka dapat dibuat lebih dari satu garis yang sejajar dengan
garis dan melalui .” Felix Klein menyebut empat postulat pertama
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Euclid yang digabung dengan postulat Bolyai-Lobachevsky sebagai
postulat hiperbolik, dan lima postulat ini menjadi dasar dari geometri
hiperbolik.
Munculnya geometri hiperbolik dirasa masih belum mampu
menjawab sejumlah pertanyaan geometri dalam bidang astronomi.
Bernhard Riemann (1826-1866) menawarkan postulat baru untuk
menggantikan postulat kesejajaran Euclid guna mengatasi masalah dalam
bidang astronomi. Pada postulat yang ditawarkan Riemann, diasumsikan
bahwa tidak ada garis yang sejajar. Postulat tersebut berbunyi “jika
diberikan sebuah garis l dan sebuah titik P di luar garis tersebut, maka
tidak dapat dibuat garis lain yang sejajar dengan garis l dan melalui P.”
Postulat ini menjadi dasar munculnya geometri eliptik guna mengatasi
masalah pada bidang astronomi. Geometri eliptik sendiri terbagi menjadi
geometri eliptik tunggal dan geometri eliptik rangkap. Geometri eliptik
tunggal direpresentasikan dalam setengah bola, sedangkan geometri eliptik
rangkap direpresentasikan dalam bola utuh. Geometri bola merupakan
bagian dari geometri eliptik rangkap (David Gans, 1973).
Geometri hiperbolik dan geometri eliptik berlandaskan pada
postulat kesejajarannya masing-masing, bukan berlandaskan pada postulat
kesejajaran Euclid. Sehingga geometri hiperbolik dan geometri eliptik
merupakan bagian dari geometri non-Euclid.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
B. Konsep Dasar Dalam Geometri Bola
Dalam pembahasan geometri bola di bawah ini, akan diasumsikan
bahwa bola memiliki radius ukuran satu satuan.
Definisi 2.1 (Wentworth, 1899: 381)
Bola merupakan permukaan di mana setiap titik pada permukaan tersebut
berjarak sama dari sebuah titik yang disebut pusat.
Titik yang dimaksud pada definisi di atas merupakan titik pusat
bola. Pada gambar 2.1, titik merupakan pusat bola .
Definisi 2.2 (Wentworth, 1899: 381)
Segmen garis lurus yang menghubungkan titik pada permukaan bola
dengan titik pusat bola disebut sebagai radius.
Radius pada bola diilustrasikan pada gambar 2.2, di mana pada
gambar tersebut radius dinamai .
Gambar 2.1 Ilustrasi Pusat Bola
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Definisi 2.3 (Wentworth, 1899: 381)
Segmen garis lurus yang melewati pusat bola dan berhenti pada dua titik di
permukaan bola disebut sebagai diameter.
Pada gambar 2.3, segmen garis lurus merupakan diameter bola.
Perpotongan bola dengan sebuah bidang menghasilkan sebuah
lingkaran. Gambar 2.4, merupakan ilustrasi lingkaran dari perpotongan
bola dengan bidang Pada gambar tersebut, lingkaran dilukiskan dengan
garis tebal.
Gambar 2.2 Ilustrasi Radius Bola
Gambar 2.3 Ilustrasi Diameter Bola
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Jika bidang yang memotong bola melalui pusat bola, maka
lingkaran yang terbentuk disebut lingkaran besar. Sedangkan jika bidang
tersebut tidak melalui pusat bola maka lingkaran yang terbentuk disebut
lingkaran kecil. Nampak pada gambar 2.5, lingkaran besar yang terbentuk
dari perpotongan bola dengan bidang .
Setiap lingkaran besar memiliki dua buah titik pusat, dan dua titik
pusat tersebut berjarak sama terhadap setiap titik pada lingkaran besar.
Dua titik pusat dari sebuah lingkaran besar disebut sebagai titik
berlawanan. Sehingga setiap titik pada bola menentukan titik lainnya yang
disebut sebagai titik lawan. Pada gambar 2.5, titik dan merupakan
pusat lingkaran besar dan juga merupakan titik berlawanan. Contoh nyata
dari lingkaran besar adalah garis bujur dan garis khatulistiwa. Sedangkan
contoh nyata dari dua titik berlawanan adalah kutub utara dan kutub
selatan.
Gambar 2.4 Ilustrasi Lingkaran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Seperti pada geometri Euclid, garis pada geometri bola juga
ditentukan melalui dua titik pada permukaan bola. Garis pada geometri
bola adalah lingkaran besar. Melalui dua titik yang bukan merupakan titik
berlawanan dapat dibentuk sebuah garis. Jika kedua titik tersebut
merupakan titik berlawanan, maka dapat dibentuk tak hingga banyak garis.
Gambar 2.6 (a) menunjukkan bahwa dari sembarang dua titik pada
bola yaitu dan yang bukan merupakan titik berlawanan, dapat
dibentuk sebuah garis. Sedangkan pada gambar 2.6 (b) ditunjukkan bahwa
dapat dibentuk tak hingga banyak garis melalui titik berlawanan dan .
(a) (b)
Gambar 2.6 Ilustrasi Garis dari Dua Titik
Gambar 2.5 Ilustrasi Lingkaran Besar
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Pada geometri Euclid, sebuah garis dapat diperpanjang sampai tak
hingga panjangnya. Hal tersebut berbeda dengan garis pada geometri bola,
karena garis pada geometri bola memiliki batas. Misalkan titik
merupakan sebuah titik pada garis, jika lingkaran besar tersebut ditelusuri
mulai dari titik , maka penelusuran tersebut akan berakhir pada titik
juga. Jika pada geometri Euclid terdapat konsep kesejajaran garis, maka
pada geometri bola tidak ada konsep kesejajaran garis sebagai akibat dari
postulat kesejajaran Riemann.
Dua titik pada garis membagi garis menjadi dua buah busur. Jika
kedua titik tersebut bukan merupakan titik berlawanan maka garis terbagi
menjadi busur panjang dan busur pendek. Dalam geometri bola, busur
terpendek dipandang sebagai segmen garis. Suatu segmen garis yang
dibatasi oleh titik dan dinotasikan dengan , lalu panjang busur
terpendek tersebut didefinisikan sebagai jarak antara dua titik. Jadi jarak
antara kedua titik tersebut disebut juga sebagai panjang segmen garis pada
geometri bola. Panjang dinotasikan dengan .
Sebagai ilustrasi perhatikan gambar 2.7 (a). Pada gambar tersebut
terdapat dua busur yang terbentuk dari dua titik dan titik yang
dilukiskan sebagai garis putus-putus dan garis yang tidak putus-putus.
Sesuai dengan penjelasan di atas, ditunjukkan oleh garis tak putus-
putus dan merupakan jarak antara titik ke titik . Pada gambar 2.7
(b), jika kedua titik merupakan titik berlawanan, maka jarak kedua titik
tersebut sama panjang yaitu .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Berikut merupakan tabel perbandingan konsep jarak pada geometri
Euclid dan geometri bola:
No Pada geometri Euclid Pada geometri bola
1. Jarak dua titik diukur
sepanjang garis yang
menghubungkan kedua titik
tersebut. Hanya ada sebuah
jarak yang dapat diukur.
Jarak pada lingkaran besar diukur
dari dua titik yang
menghubungkannya. Terdapat dua
jarak yang dapat diukur. Jarak yang
digunakan adalah jarak terpendek.
2. Tidak ada jarak terpanjang
atau terpendek dari dua titik
yang diberikan.
Jarak terpanjang dari dua titik adalah
180˚.
3. Dari dua titik yang diberikan
hanya dapat dilukis sebuah
segmen garis.
Dari dua titik yang bukan merupakan
titik berlawanan, terdapat sebuah
segmen garis.
Jika kedua titik tersebut merupakan
titik berlawanan, terdapat tak hingga
banyak segmen garis yang terbentuk,
dan memiliki panjang yang sama
yaitu 180˚.
(a) (b)
Gambar 2.7 Ilustrasi Segmen Garis
Tabel 2.1 Perbandingan Konsep Jarak
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Definisi 2.4 (Moise, 1990: 60)
Pada geometri Euclid, titik dikatakan berada diantara titik dan
jika:
(i) , , dan kolinier
(ii)
Gambar 2.8 menunjukkan konsep di atas.
Konsep keantaraan pada geometri bola didefinisikan seperti pada
konsep keantaraan pada geometri Euclid, dengan menggunakan segmen
garis. Pada gambar 2.9 tampak bahwa berada diantara .
Namun terdapat sebuah perbedaan sifat antara konsep keantaraan
pada geometri Euclid, dengan konsep keantaraan pada geometri bola.
Perbedaan tersebut timbul karena memungkinkannya untuk tidak terdapat
keantaraan pada geometri bola. Jika diberikan tiga titik , , pada garis
Gambar 2.8 Ilustrasi I Keantaraan
Gambar 2.9 Ilustrasi II Keantaraan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
dengan jarak setiap titik adalah 120˚ seperti pada gambar 2.10, maka tidak
ada satupun titik yang berada diantara kedua titik lainnya. Hal ini
dikarenakan tidak terbuktinya syarat (ii) pada konsep keantaraan.
Seharusnya tetapi pada kasus ini , yang
menyebabkan tidak berada diantara dan , yang
menyebabkan tidak berada diantara dan , serta
yang menyebabkan tidak berada diantara dan .
Definisi 2.5 (Wentworth, 1899: 389)
Sudut pada geometri bola merupakan perpotongan dua buah segmen garis.
Pada gambar 2.11, sudut yang terbentuk dari dan
dinotasikan dengan , sedangkan besar dinotasikan dengan
. Besar sudut dalam geometri bola didefinisikan sebagai besar
sudut antara dua bidang yang memuat dua segmen garis tersebut.
Gambar 2.10 Ilustrasi III Keantaraan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Definisi 2.6 (Wentworth, 1899: 392)
Segitiga pada geometri bola merupakan gabungan tiga segmen garis yang
menghubungkan tiga titik non kolinear.
Misalkan terdapat tiga titik non kolinear , , dan . Selanjutnya
dibentuk , , dan sehingga terbentuk sebuah segitiga yang
dinotasikan dengan . Gambar 2.12 ini merupakan contoh segitiga
dalam geometri bola, yaitu dan .
Berbeda dengan geometri Euclid, jumlah besar sudut dalam sebuah
segitiga pada geometri bola tidak sama dengan melainkan lebih dari
Gambar 2.11 Ilustrasi Sudut
Gambar 2.12 Ilustrasi Segitiga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
dan kurang dari (Wentworth, 1899: 393), selain itu jumlah dari
ketiga sisinya kurang dari (Wentworth, 1899: 397) .
Definisi 2.7 (Dickinson, 2008: 24)
Segitiga siku-siku pada geometri bola merupakan segitiga yang memiliki
paling tidak satu sudut siku-siku.
Gambar 2.13 merupakan contoh segitiga siku-siku pada geometri
bola. Pada gambar tersebut, memiliki satu sudut yang besarnya
yaitu , dan memiliki dua sudut siku-siku yaitu dan
.
Definisi 2.8 (Dickinson, 2008: 26)
Lingkaran luar segitiga merupakan lingkaran yang memuat semua titik
sudut segitiga.
Untuk setiap segitiga pada geometri bola, dapat dibuat lingkaran
luar segitiga yang memuat ketiga titik sudut segitiga tersebut. Pada gambar
2.14, memiliki lingkaran luar segitiga dengan pusat dan
mamiliki lingkaran luar segitiga dengan pusat .
Gambar 2.13 Ilustrasi Segitiga Siku-siku
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Seperti pada geometri Euclid, pada geometri bola juga terdapat
aturan kongruensi pada segitiga. Jika kongruen dengan ,
maka dinotasikan dengan . Pada geometri bola jika dua
buah segitiga terletak pada bola berukuran sama memenuhi satu dari
empat syarat di bawah ini, maka kedua segitiga tersebut dikatakan
kongruen. Empat syarat tersebut antara lain:
1. Dua buah sisi yang bersesuaian sama panjang dan sebuah sudut yang
diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar.
2. Dua buah sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi di antara kedua
sudut tersebut sama panjang.
3. Setiap sisi yang bersesuaian sama panjang.
4. Setiap sudut yang bersesuaian sama besar.
Selain aturan kongruensi, aturan segitiga sama kaki pada geometri
bola juga serupa dengan aturan segitiga sama kaki pada geometri Euclid.
Pada segitiga sama kaki, sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi-sisi
yang sama panjang akan memiliki besar sudut yang sama. Sebaliknya, sisi-
sisi yang berhadapan dengan sudut yang sama besar akan memiliki
Gambar 2.14 Ilustrasi Lingkaran Luar Segitiga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
panjang sisi yang sama. Penjelasan lebih lanjut mengenai pembuktian
aturan kongruensi dan aturan segitiga sama kaki dapat dilihat pada
lampiran A1-A3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
BAB III
SEGITIGA SIKU-SIKU PADA GEOMETRI BOLA
A. Spherical Half-sum Triangle
Pada bab sebelumnya telah disebutkan definisi dari segitiga siku-
siku pada geometri bola, yaitu segitiga yang memiliki paling tidak satu
sudut siku-siku. Bab ini membahas definisi baru segitiga siku-siku yang
disebut dengan Spherical Half-sum Triangle sebagai akibat dari adanya
ketidakmiripan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola dengan
sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid berdasarkan definisi
awal segitiga siku-siku. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa Spherical
Half-sum Triangle memiliki kemiripan sifat dengan segitiga siku-siku
pada geometri Euclid.
Segitiga siku-siku pada geometri bola dan geometri Euclid
memiliki sejumlah kesamaan sifat, misalnya aturan kongruensi dan aturan
segitiga sama kaki. Namun nampak juga tiga ketidakmiripan sifat
berdasarkan fakta-fakta berikut:
1. Sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya selalu
lebih dari .
Teorema 3.1 (Dickinson, 2008: 24)
Jika merupakan sudut keliling yang menghadap diameter
lingkaran yang berpusat pada titik seperti nampak pada gambar 3.1,
maka lebih dari .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Bukti:
Pada gambar 3.1, perhatikan bahwa dan segmen garis yang
membentuk yaitu dan membentuk sebuah segitiga,
yaitu dengan sebagai titik pusat lingkaran luar . Titik
merupakan pusat lingkaran dan merupakan diameter lingkaran,
sehingga berada pada dan membagi dua sama panjang.
Karena merupakan titik pada lingkaran dan merupakan pusat
lingkaran, mengakibatkan . Karena
maka dan merupakan segitiga sama kaki, hal ini
menyebabkan dan . Selain
itu, karena berada pada , menyebabkan dan
. Karena jumlah sudut dalam segitiga lebih dari
, maka sehingga:
Gambar 3.1 Ilustrasi I Teorema 3.1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Sekarang perhatikan gambar 3.2, gambar tersebut
mengilustrasikan sudut keliling yang menghadap sebuah diameter
lingkaran pada geometri Euclid. Pada geometri Euclid, besar sudut
keliling yang menghadap diameter lingkaran adalah , sehingga
. Sehingga segitiga yang terbentuk dari segmen garis
lurus , , dan selalu segitiga siku-siku karena salah satu
sudutnya merupakan sudut siku-siku. Kemudian jika kita perhatikan
kembali gambar 3.1, sudut yang menghadap diameter lingkaran yaitu
besarnya lebih dari . Sehingga segitiga yang terbentuk dari
, , dan belum tentu merupakan segitiga siku-siku. Jika
atau besarnya tidak sama dengan , maka
bukan merupakan segitiga siku-siku. Dari sini nampak ketidakmiripan
antara sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid dan geometri bola.
Gambar 3.3 berikut merupakan contoh bahwa segitiga yang
terbentuk belum tentu merupakan segitiga siku-siku. Contoh berikut
telah diuji kebenarannya dan tidak perlu diragukan lagi.
Gambar 3.2 Ilustrasi II Teorema 3.1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Perhatikan gambar 3.3, merupakan sudut yang
menghadap diameter lingkaran yaitu . Selain itu, dan
membentuk sebuah segitiga yaitu di mana ,
, dan . Tidak terbentuk satupun
sudut siku-siku pada sehingga bukan merupakan
segitiga siku-siku.
2. Pada geometri Euclid dan geometri bola terdapat teorema Pythagoras,
namun ada perbedaan diantara keduanya. Perbedaan tersebut timbul
karena tidak terdapat bentuk kuadrat pada rumus Pythagoras geometri
bola. Diberikan di mana , dan Jika
, maka rumus Pythagoras pada geometri Euclid adalah
. Sedangkan pada geometri bola rumusnya adalah
.
Teorema 3.2 (Brink, 1942)
Pada di mana , dan . Jika ,
maka .
Bukti:
Gambar 3.3 Ilustrasi III Teorema 3.1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
merupakan segitiga siku-siku pada geometri bola dan
Pada gambar 3.4 (a), diandaikan sebagai segmen
garis yang melalui garis khatulistiwa dan merupakan segmen garis
yang melalui garis lintang. Pada gambar 3.4 (b) diberikan bidang yang
memotong tegak lurus segmen garis lurus pada dan segmen
garis lurus pada . Bidang tersebut juga memotong segmen garis
lurus pada .
siku-siku pada
siku-siku pada
siku-siku pada
siku-siku pada
Dari didapatkan bahwa:
(a) (b)
Gambar 3.4 Ilustrasi Rumus Pythagoras
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Dari persamaan (1) dan (2) :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
3. Diagonal persegi panjang tidak selalu membentuk dua buah segitiga
siku-siku pada geometri bola.
Persegi panjang pada geometri bola didefinisikan sebagai segi
empat yang keempat sudutnya kongruen. Suatu persegi panjang yang
titik sudutnya , , , dan dinotasikan dengan . Diagonal
persegi panjang tidak selalu membentuk segitiga siku-siku pada
geometri bola. Gambar 3.5 merupakan .
Berikut merupakan contoh persegi panjang pada geometri bola
yang diagonalnya tidak membentuk dua buah segitiga siku-siku, dan
semua ukuran pada contoh berikut telah diuji kebenarannya, sehingga
tidak perlu diragukan lagi.
Gambar 3.5 Ilustrasi Persegi Panjang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Perhatikan gambar 3.6, terbentuk di mana
dan ini sesuai dengan
definisi persegi panjang yang telah disebutkan sebelumnya. Jika
dilukis sebuah diagonal yaitu , maka terbentuk dan .
Pada kedua segitiga tersebut, dan
Pada dan tidak terdapat
satupun sudut yang besarnya , berarti segitiga yang terbentuk dari
diagonal bukan merupakan segitiga siku-siku.
Karena terdapat beberapa perbedaan ini, timbul inspirasi untuk
definisi baru segitiga siku-siku. Definisi baru tersebut didapatkan melalui
pembuktikan teorema di bawah ini. Teorema ini berhubungan dengan
lokasi dari pusat lingkaran luar segitiga, berikut pembuktiannya:
Gambar 3.6 Diagonal Persegi Panjang Tidak
Membentuk Dua Segitiga Siku-siku
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Teorema 3.3 (Dickinson, 2008: 26)
Jika diberikan dengan pusat lingkaran luar segitiga , maka:
a. dan berada pada sisi yang sama terhadap jika dan hanya jika
.
b. berada pada jika dan hanya jika
.
c. dan berada pada sisi yang berlawanan dengan jika dan hanya
jika .
Bukti (a) :
Misalkan dan berada pada sisi yang sama terhadap
seperti pada gambar 3.7 (a). Jika merupakan jari-
jari lingkaran luar segitiga, maka . Jika
dan , maka dan merupakan segitiga sama
kaki. Karena hal tersebut, menyebabkan dan
. Di lain pihak, dan
sehingga:
Gambar 3.7 Ilustrasi Teorema 3.3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Jadi,
Misalkan . Andaikan tidak
benar bahwa dan berada pada sisi yang sama terhadap .
Maka berada pada atau dan berada pada sisi yang
berbeda terhadap .
Kasus 1
Jika berada pada , maka dan
. Karena merupakan jari-jari
lingkaran luar segitiga, maka . Jika dan
, maka dan merupakan segitiga sama kaki.
Karena dan merupakan segitiga sama kaki, maka
dan , sehingga:
Jadi,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Telah didapatkan bahwa
,
hal ini kontradiksi dengan permisalan di atas bahwa
.
Kasus 2
Jika dan berada pada sisi yang berbeda terhadap ,
maka dan . Karena
merupakan jari-jari lingkaran luar segitiga, maka
. Karena dan maka dan
merupakan segitiga sama kaki. Karena dan
merupakan segitiga sama kaki, maka dan
, sehingga:
Jadi, .
Telah didapatkan bahwa
,
hal ini kontradiksi dengan permisalan di atas bahwa
.
Dari dua kasus tersebut, ternyata muncul kontardiksi dan hal ini
menunjukkan bahwa asumsi salah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Bukti (b):
Misalkan berada pada seperti pada gambar 3.7 (b).
Karena merupakan jari-jari lingkaran luar
segitiga, maka . Karena dan
maka dan merupakan segitiga sama kaki. Hal ini
menyebabkan dan . Di
lain pihak, dan sehingga:
Jadi, .
Misalkan dan andaikan tidak benar
bahwa berada pada , maka dan berada pada sisi yang
sama terhadap atau dan berada pada sisi yang berbeda
terhadap .
Menurut teorema 3.3 (a) didapatkan
,
hal ini kontradiksi dengan permisalan di atas bahwa
.
Pada pembuktian kasus 2 teorema 3.3 (a) didapatkan
,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
hal ini kontradiksi dengan permisalan di atas bahwa
.
Dari kedua kasus tersebut ternyata muncul kontardiksi, hal ini
menunjukkan bahwa asumsi salah.
Bukti (c) :
Misalkan dan berada pada sisi yang berbeda terhadap
seperti pada gambar 3.7 (c). Karena
merupakan jari-jari lingkaran luar segitiga, maka .
Karena dan , maka dan
merupakan segitiga sama kaki. Hal tersebut menyebabkan
dan . Dilain pihak,
dan , sehingga:
Jadi, .
Misalkan . Andaikan tidak
benar bahwa dan berada pada sisi yang berbeda terhadap
maka dan berada pada sisi yang sama terhadap atau
berada pada .
Menurut teorema 3.3 (a) didapatkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
,
hal ini kontradiksi dengan permisalan di atas bahwa
.
Selain itu, pada teorema 3.3 (a) kasus 1 didapatkan
,
hal ini kontradiksi dengan permisalan di atas bahwa
.
Dari kedua kasus tersebut ternyata muncul kontardiksi, hal ini
menunjukkan bahwa asumsi salah.
Teorema 3.3 juga berlaku pada geometri Euclid, di mana pusat
lingkaran lu r segitig ber ‘ i l m’ segitig jik h y jik
semua sudut pada segitiga merupakan sudut lancip, pusat lingkaran luar
segitiga berada pada segitiga jika dan hanya jika salah satu sudut pada
segitiga merupakan sudut siku-siku, pusat lingkaran luar segitiga berada
‘ i lu r’ segitig jik h y jik s l h s tu su ut p segitig
merup k su ut tumpul. Ko sep ‘ i l m’ ‘ i lu r’ p t ip h mi
dengan mudah dalam geometri Euclid karena bidang terbagi dalam daerah
e g lu s berhi gg ti k berhi gg . Su tu titik ber ‘ i l m’
segitiga jika titik berada pada luasan daerah berhingga. Sedangkan suatu
titik ber ‘ i lu r’ segitig jik titik ber p lu s er h t k
berhingga. Namun karena segitiga pada geometri bola membagi bola
menjadi dua bagian yang masing-masingnya berhingga, m k ko sep ‘ i
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
l m’ ‘ i lu r’ segitig ti k p t i pt si sec r l gsu g. Oleh
karena itu, pada geometri bola, konsep ini digantikan dengan konsep
‘ber p sisi y g s m ’ ‘ber p sisi y g berbe ’ e g
hipotenusa, seperti nampak dalam teorema 3.3 di atas.
Salah satu sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid adalah
pusat lingkar luarnya berada pada hipotenusa. Melihat hal tersebut, timbul
inspirasi dalam membuat definisi baru untuk segitiga siku-siku pada
geometri bola. Karena diinginkan adanya kemiripan antara sifat-sifat
segitiga siku-siku pada geometri bola dengan sifat-sifat segitiga siku-siku
pada geometri Euclid, maka dinyatakan bahwa pusat lingkaran luar
segitiga siku-siku pada geometri bola juga terletak pada hipotenusanya.
Menurut teorema 3.3 (b) hal ini berarti salah satu besar sudut pada segitiga
tersebut merupakan jumlah kedua sudut lainnya. Oleh karena itu, segitiga
siku-siku didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 3.1 (Dickinson 2008: 28)
Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu besar sudutnya
merupakan jumlah kedua sudut lainnya.
Istilah lain untuk segitiga siku-siku baru tersebut adalah Spherical
Half-sum Triangle. Dalam skripsi ini Spherical Half-sum Triangle akan
tetap disebut sebagai segitiga siku-siku.
B. Sifat-sifat Segitiga Siku-siku
Berikutnya akan dijelaskan mengenai sifat-sifat dalam segitiga
siku-siku yang telah disebutkan pada awal bab ini dengan menggunakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
definisi baru segitiga siku-siku. Penjelasan sifat-sifat segitiga siku-siku
tersebut akan dibahas melalui teorema dan lema.
Pada awal bab ini, melalui teorema 3.1 telah dibuktikan bahwa
besar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran lebih dari .
Pada teorema tersebut telah ditunjukkan bahwa gabungan diameter
lingkaran dan segmen garis yang membentuk sudut keliling yang
menghadap diameter membentuk sebuah segitiga. Di mana sudut yang
menghadap diameter lingkaran, besarnya merupakan jumlah kedua sudut
lainnya. Oleh karena itu, melalui definisi baru segitiga siku-siku, segitiga
yang terbentuk merupakan segitiga siku-siku. Dari sini muncul kemiripan
dengan sifat segitiga siku-siku yang ada pada geometri Euclid.
Berikutnya akan ditunjukkan bahwa besar sudut yang menghadap
diameter Berikut pembuktiannya melalui sebuah teorema:
Teorema 3.4 (Dickinson, 2008: 27)
Jika merupakan segitiga siku-siku yang memenuhi aturan
,
maka
.
Untuk membuktikan teorema ini dibutuhkan istilah lune dan dua
buah lema. Definisi lune akan dibahas beserta dengan pembuktian lema
mengenai rumus luas lune dan rumus luas segitiga sebagai berikut:
Definisi 3.2 (Todhunter, 1886: 71)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Lune merupakan bagian pada permukaan bola yang dibatasi oleh dua buah
setengah lingkaran besar.
Seperti pada gambar 3.8, merupakan lune yang memiliki
dua buah sudut yaitu dan . Besar kedua sudut tersebut sama yaitu
, kemudian dan disebut sebagai sudut pada lune.
Lema 3.1 (Todhunter, 1886: 72)
Jika diberikan lune dengan besar sudut pada lune adalah , maka
luas lune
Bukti:
Gambar 3.8 Ilustrasi Lune
Gambar 3.9 Ilustrasi Lema 3.1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Bentuk lune yang besar sudutnya sama yaitu dan terletak pada
titik dan . Titik dan membagi dua sama panjang . Lukis
lingkaran besar yang melalui titik dan seperti pada gambar 3.9
sehingga
. Untuk mendapatkan luas lune, dibentuk
persamaan sebagai berikut:
lu s lu e
lu s permuk bol
lu s lu e
lu s permuk bol
lu s lu e
lu s lu e
Lema 3.2 (Todhunter, 1886: 73)
Jika merupakan segitiga pada geometri bola dan
merupakan besar sudut pada segitiga, maka berlaku luas
.
Bukti:
Gambar 3.10 Ilustrasi Lema 3.2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Perhatikan pada gambar 3.10 di atas. Bentuklah tiga buah
lingkaran besar yang memuat sisi-sisi pada seperti nampak pada
gambar. Titik berturut-turut merupakan titik lawan dari
sehingga lu s lu s . Ketiga lingkaran besar
saling berpotongan dan membentuk enam buah lune, di mana masing-
masing lune memuat atau . Sehingga luas permukaan bola
(selanjutnya ditulis ) menjadi:
lu s bu h lu e
Pada geometri bola, lema 3.2 di atas disebut sebagai teorema
Girard. Melalui teorema tersebut dapat dibuktikan bahwa jumlah besar
sudut pada segitiga lebih dari . Sebelumnya, karena luas selalu
bernilai positif maka:
Terbukti bahwa jumlah besar sudut pada segitiga bola lebih dari .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Selanjutnya, dengan menggunakan kedua lema di atas, akan
dibuktikan teorema 3.4.
Bukti:
Menurut lema 3.2, luas ,
dengan demikian:
lu s
lu s
lu s
lu s
lu s
Berikutnya akan dibahas mengenai teorema Pythagoras dengan
menggunakan definisi baru segitiga siku-siku. Dari definisi ini diharapkan
teorema Pythagoras pada geometri bola juga memiliki bentuk kuadrat
seperti teorema Pythagoras pada geometri Euclid. Berikut pembuktiannya:
Teorema 3.5 (Dickinson, 2008: 27)
Jika merupakan segitiga siku-siku yang memenuhi aturan bahwa
di mana berturut-turut merupakan
dan , maka berlaku
.
Bukti:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Perhatikan gambar 3.11, merupakan pusat bola, merupakan
panjang segmen garis yang menghubungkan dan , dan merupakan
panjang segmen garis lurus yang menghubungkan dan . Lukis segmen
garis lurus melalui yang membagi menjadi dua bagian sama panjang,
sehingga:
Perhatikan gambar 3.12, merupakan pusat bola, merupakan
panjang segmen garis yang menghubungkan dan , dan merupakan
Gambar 3.11 Ilustrasi I Teorema 3.5
Gambar 3.12 Ilustrasi II Teorema 3.5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
panjang segmen garis lurus yang menghubungkan dan . Lukis segmen
garis lurus melalui yang membagi menjadi dua bagian sama panjang,
sehingga:
Perhatikan gambar 3.13, merupakan pusat bola, merupakan
panjang segmen garis yang menghubungkan dan , dan merupakan
panjang segmen garis lurus yang menghubungkan dan . Lukis segmen
garis lurus melalui yang membagi menjadi dua bagian sama panjang,
sehingga:
Gambar 3.13 Ilustrasi II Teorema 3.5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Bentuk lingkaran luar , di mana merupakan pusat
lingkaran luar . Karena menurut teorema 3.3 ,
maka berada pada . Karena merupakan pusat lingkaran luar
segitiga , maka membagi sama panjang sehingga .
Selanjutnya dibentuk bidang datar yang melalui , , dan kemudian
proyeksikan pada bidang seperti pada gambar 3.14. Notasikan
proyeksi pada bidang dengan . Karena berada pada , maka
terletak pada segmen garis lurus . Titik merupakan pusat bola,
sehingga .
Perhatikan , karena , maka berlaku
. Selanjutnya, karena , , dan
, maka . Berikutnya, , y, dan
berturut-turut merupakan panjang segmen garis lurus yang
menghubungkan ke , ke , dan ke . Karena
maka .
Gambar 3.14 Ilustrasi IV Teorema 3.5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Selanjutnya perhatikan dan . Telah diketehui ,
, dan segme g ris lurus , ini mengakibatkan
dan memenuhi teorema Pythagoras, sehingga:
Sekarang perhatikan dan pada gambar 3.15, karena
pusat lingkaran luar , maka . Karena panjang segmen garis
, maka . Lalu karena , ,
dan , maka . Selanjutnya merupakan
panjang segmen garis lurus yang menghubungkan ke . Karena
, maka .
Selanjutnya perhatikan dan , karena
bi g t r pada , maka semua garis yang melalui pada bidang
Gambar 3.15 Ilustrasi V Teorema 3.5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
akan tegak lurus dengan sehingga segme g ris lurus .
Berikutnya karena , , segme g ris lurus , dan
segme g ris lurus menyebabkan dan memenuhi
teorema Pythagoras, sehingga:
Karena telah didapatkan bahwa , maka
merupakan pusat lingkaran luar pada bidang . Karena berada
pada segmen garis lurus , maka merupakan segitiga siku-siku
dengan segmen garis lurus sebagai hipotenusa. Hal ini menyebabkan
berlakunya
Setelah didapat bahwa , subtitusi dengan
sehingga menjadi:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Rumus inilah yang kemudian diyakini sebagai teorema Pythagoras
pada geometri bola. Hal ini disebabkan karena teorema Pythagoras ini
lebih memiliki kemiripan dengan teorema Pythagoras pada geometri
Euclid, sebab pada keduanya terdapat bentuk kuadrat.
Selanjutnya akan dibahas mengenai sifat diagonal pada persegi
panjang. Pada pembahasan di bawah ini, akan dibuktikan bahwa diagonal
pada persegi panjang akan membagi persegi panjang menjadi dua buah
segitiga siku-siku yang kongruen. Untuk menunjukkan hal tersebut, akan
dibuktikan terlebih dahulu teorema berikut:
Teorema 3.6 (M’Clelland, 1893: 32)
Jika diberikan sebuah dengan ,
maka panjang sisi-sisi yang bersebrangan sama panjang.
Bukti:
Perpanjang dan hingga keduanya berpotongan pada dua
titik yaitu dan yang merupakan titik berlawanan seperti nampak pada
gambar 3.16. Karena maka merupakan
segitiga sama kaki, sehingga . Selanjutnya, karena diketahui
Gambar 3.16 Ilustrasi Teorema 3.6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
bahwa maka sehingga
merupakan segitiga sama kaki dan mengakibatkan . Dengan
demikian:
Dengan cara yang serupa, dapat dibuktikan bahwa .
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa diagonal persegi panjang
membentuk dua buah segitiga siku-siku.
Teorema 3.7 (Dickinson, 2008: 31)
Jika merupakan diagonal , maka membagi
menjadi dua buah segitiga siku-siku yang kongruen.
Bukti:
Diberikan dengan diagonal seperti pada gambar 3.17.
Menurut teorema 3.6, dan , telah diketahui juga bahwa
Gambar 3.17 Ilustrasi Teorema 3.7
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
. Karena ketiga hal tersebut, maka .
Selanjutnya, karena , maka . Sehingga:
Ini berarti bahwa merupakan segitiga siku-siku.
Dengan demikian, telah terbukti jika ketiga sifat tersebut ditelusuri
dengan menggunakan definisi baru, maka ketiga sifat yang sebelumya
tidak mirip dengan sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid menjadi
lebih mirip. Dengan definisi bahwa segitiga siku-siku merupakan segitiga
yang besar salah satu sudutnya merupakan jumlah dari dua sudut lainnya,
menjadi benar bila besar sudut keliling yang menghadap diameter
lingkaran lebih dari , terdapat bentuk kuadrat dalam rumus Pythagoras
geometri bola, dan diagonal pada persegi panjang terbukti membentuk dua
buah segitiga siku-siku.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
BAB IV
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembahasan, dapat diambil kesimpulan bahwa:
1. Berdasarkan definisi segitiga siku-siku sebagai segitiga yang memiliki
setidaknya satu sudut siku-siku, terdapat tiga ketidakmiripan sifat
segitiga siku-siku pada geometri bola dengan sifat segitiga siku-siku
pada geometri Euclid. Ketidakmiripan tersebut antara lain: Sudut
keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya selalu lebih dari
, tidak terdapatnya bentuk kuadrat dalam rumus Pythagoras
geometri bola, dan diagonal persegi panjang tidak selalu membentuk
dua buah segitiga siku-siku pada geometri bola.
2. Definisi baru segitiga siku-siku yang dinamai Spherical Half-sum
Triangle adalah segitiga yang salah satu besar sudutnya merupakan
jumlah kedua sudut lainnya. Definisi ini terinspirasi dari salah satu sifat
segitiga siku-siku pada geometri Euclid dimana pusat lingkaran luar
segitiga siku-siku harus berada pada hipotenusa.
3. Berdasarkan definisi baru segitiga siku-siku, tiga sifat segitiga siku-siku
pada geometri bola yang sebelumya tidak mirip dengan sifat segitiga
siku-siku pada geometri Euclid menjadi lebih mirip. Karena dengan
definisi baru ini, menjadi benar bila sudut keliling yang menghadap
diameter lingkaran besarnya selalu lebih dari , terdapat bentuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
52
kuadrat dalam rumus Pythagoras geometri bola, dan diagonal pada
persegi panjang terbukti membentuk dua buah segitiga siku-siku.
B. Saran
Untuk penelitian selanjutnya, dapat dibahas mengenai sifat-sifat
segitiga lancip pada geometri bola dengan sifat-sifat segitiga lancip pada
geometri Euclid maupun sifat-sifat segitiga tumpul pada geometri bola
dengan sifat-sifat segitiga tumpul pada geometri Euclid.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
53
DAFTAR PUSTAKA
Brenke, W. (1943). Plane and Spherical Trigonometry. New York: The Dryden
Press.
Brink, R.W. (1942). Spherical Trigonometry. New York: Appleton Century
Crofts.
Byer, Owen, dkk. (2010). Methods of Euclidean geometry. United States of
America: The Mathematical Association of America.
Dickinson, W. & Salmassi, M. (2008). The Right Right Triangle on the Sphere.
The College Mathematics Journal, Vol. 39, 24-33.
Gans, D. (1973). An Introduction to Non-Euclidean Geometry. New York and
London: Academic Press
M’Clelland, W.J. & Preston, T. (1893). A Treatise on Spherical Trigonometry
With Applications Spherical Geometry and Numerous Examples Part.I
(ed.4). London: Macmillan.
M’Clelland, W.J. & Preston, T. (1886). A Treatise on Spherical Trigonometry
With Applications Spherical Geometry and Numerous Examples Part.II.
London: Macmillan.
Moise, E.E. (1990). Elementary Geometry from an Advanced Standpoint (ed. 3).
USA: Addison-Wesley.
Todhunter, I. (1886). Spherical Trigonometry for the use of colleges and Schools
with Numerous Examples (ed.5). London: Macmillan.
Wentworth, G.A. (1899). Plane and Solid Geometry. Boston, U.S.A: Ginn &
Company.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Lampiran A.1.
SEGITIGA KUTUB
Definisi 1 (M’Clellan,1893 :26)
Segitiga kutub merupakan segitiga yang setiap titik sudut nya merupakan
pusat lingkaran besar dari setiap segmen garis segitiga lainnya.
Pada ilustrasi segitiga kutub merupakan segitiga kutub dari
karena merupakan pusat lingkaran besar yang memuat ,
merupakan pusat lingkaran besar yang memuat , merupakan pusat
lingkaran besar yang memuat . Sebaliknya, karena merupakan pusat
lingkaran besar yang memuat , merupakan pusat lingkaran besar
yang memuat , dan merupakan pusat lingkaran besar yang memuat
maka merupakan segitiga kutub dari
Ilustrasi Segitiga Kutub
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Lampiran A.2.
SEGITIGA KONGRUEN
Teorema 1 (Wentworth, 1899 : 399)
Jika melalui pusat bola dilukiskan tiga buah diameter yaitu segmen garis
lurus , dan melalui titik dibentuk lingkaran besar,
maka dan merupakan segitiga yang kongruen.
Bukti:
Titik berturut-turut merupakan titik lawan dari titik , ,
hal ini menyebabkan , , ,
. Karena ukuran pada kedua segitiga
tersebut sama, maka .
Ilustrasi Teorema 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Lampiran A.2.
Teorema 2 (Wentworth, 1899: 401)
Jika dua buah segitiga berada pada bola berukuran sama, di mana dua buah
sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapit oleh kedua sisi
sama besar, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
Bukti:
Pada Ilustrasi Teorema 2.1, terdapat
di mana , , , dan
. Karena dan
maka . Selanjutnya karena dan
maka
Dengan cara serupa dapat pula dibuktikan bahwa jika dua buah
segitiga, di mana dua buah sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi
diantara kedua sudut tersebut sama panjang, maka kedua segitiga tersebut
kongruen.
Ilustrasi Teorema 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Lampiran A.2.
Teorema 3 (Wentworth, 1899: 382)
Jika dua buah segitiga terletak pada bola yang berukuran sama dan meliliki
besar sudut yang sama pada sudut-sudut yang bersesuaian, maka keduanya
memiliki panjang sisi yang sama pada sisi-sisi yang bersesuaian dan kedua
segitiga tersebut kongruen.
Bukti:
Diberikan merupakan segitiga kutub dari dan
merupakan segitiga kutub dari seperti pada Ilustrasi Teorema 3.
Diketahui bahwa sudut-sudut yang bersesuaian pada dan sama
besar. Karena hal tersebut, dan maupun merupakan segitiga kutub,
maka sisi-sisi yang bersesuaian pada dan sama panjang. Karena
sisi-sisi yang bersesuaian pada dan sama panjang, maka sudut-
sudut yang bersesuaian pada dan sama besar. Karena dan
berturut-turut merupakan segitiga kutub dari dan maka sisi-sisi
yang bersesuaian pada dan sama panjang. Hal tersebut
menyebabkan .
Ilustrasi Teorema 3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Lampiran A.2.
Dengan cara serupa dapat dibuktikan jika dua buah segitiga terletak
pada bola yang berukuran sama dan meliliki panjang sisi yang sama pada
sisi-sisi yang bersesuaian, maka keduanya memiliki besar sudut yang sama
pada sudut-sudut yang bersesuaian dan kedua segitiga tersebut kongruen.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Lampiran A.3.
ATURAN SEGITIGA SAMA KAKI
Teorema 4 (Wentworth, 1899: 405)
Pada segitiga sama kaki, sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi yang
sama panjang akan memiliki sudut yang sama besar.
Bukti:
Pada Ilustrasi teorema 4, merupakan segitiga sama kaki di
mana . Lukis di mana merupakan titik yang membagi
sama panjang. Perhatikan bahwa sisi-sisi yang bersesuaian pada
sama panjang. Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama
panjang, maka sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Karena sudut-
sudut yang bersesuaian sama besar maka
Ilustrasi Teorema 4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Lampiran A.3.
Teorema 5 (Wentworth, 1899: 406)
Jika pada sebuah segitiga terdapat dua buah sudut yang sama besar, maka
sisi-sisi di hadapan kedua sudut tersebut sama panjang dan segitiga
tersebut merupakan segitiga sama kaki.
Bukti:
Diberikan merupakan segitiga kutub dari
seperti nampak pada Ilustrasi teorema 5. Kemudian
karena , maka . Karena , maka
dan hal ini menyebabkan dan merupakan
segitiga sama kaki.
Ilustrasi Teorema 5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI