makalah ukuran pemusatan data dan ukuran letak data

Ukuran Pemusatan dan Letak Data

Disusun Oleh : Kelompok 4

Nama : Aisyah Turidho (06081281520073): Reno Sutriono (06081381520044): M. Rizky Tama Putra (06081381419045)

Mata Kuliah : Statistika DasarDosen : Prof. Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si

: Puji Astuti, S.Pd., M.Sc

Fakultas Keguruan dan Ilmu PendidikanProgram Studi Matematika

Universitas Sriwijaya Palembang2016

DAFTAR ISI

Daftar Isi................................................................................................................................................. i

Ukuran Pemusatan dan Ukuran Letak Data...........................................................................................1

A. Ukuran Pemutusan Data............................................................................................................1

1. Rata-Rata Hitung (Mean/Arhitmetic Mean)...........................................................................1

2. Rata-Rata Ukur (Geometric Mean)........................................................................................3

3. Rata-Rata Harmonik..............................................................................................................5

4. Modus....................................................................................................................................6

5. Median...................................................................................................................................7

B. Ukuran Letak Data.....................................................................................................................8

1. Kuartil....................................................................................................................................8

2. Desil.....................................................................................................................................10

3. Persentil...............................................................................................................................11

Daftar Pustaka.....................................................................................................................................13

i

UKURAN PEMUSATAN DAN UKURAN LETAK DATA

Untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas tentang sekumpulan data mengenai suatu hal, baik mengenai sampel ataupun populasi, selain daripada data itu disajikan dalam tabel dan diagram, masih diperlukan ukuran-ukuran yang merupakan wakil kumpulan data tersebut. (Sudjana, 2002:66).

Macam-macam ukuran yang dikenal dalam dunia statistika antara lain ukuran pemusatan, ukuran letak, ukuran penyebaran dan ukuran keruncingan data. Pada makalah ini, akan dipelajari terlebih dahulu tentang ukuran pemusatan dan ukuran letak data.

A. Ukuran Pemusatan DataUkuran pemusatan data adalah ukuran yang banyak dipakai sebagai alat atau parameter untuk digunakan sebagai bahan pegangan dalam menafsirkan suatu gejala yang akan diteliti berdasarkan hasil pengolahan data yang anda kumpulkan (H.M. Akib Hamid, 2007: Modul 4).

Ukuran pemusatan terdiri dari: Rata-rata hitung Rata-rata ukur Rata-rata harmonik Modus Median

1. Rata-Rata Hitung (Mean/Arhitmetic Mean)Rata-rata merupakan nilai yang mewakili kumpul data yaitu nilai yang kurang dari nilai itu, nilai yang lebih dari nilai itu dan nilai itu sendiri. Contoh:- Ani cantik- Rina tidak cantik Kesimpulannya rata-rata perempuan itu cantik- Dini sangat cantik

Mean dari sekumpulan data adalah jumlah dari kumpulan bilangan dibagi banyak bilangan tersebut.

Untuk data tunggal seperti: x1, x2, x3,.....,xn. Maka:

x=∑ x i

n

Keterangan: x = Rataan Hitung n = banyak data xi = data ke-i

1

Contoh Tentukan rata-rata dari nilai siswa sebagai berikut: 70, 69, 45, 80 dan 56!

x=∑ x i

n=70+69+45+80+56

5 = 64

Untuk data daftar distribusi frekuensi tunggal seperti:xi menyatakan nilai ujian dan fi menyatakan frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian.

x=∑ f i x i

∑ f i

Untuk mencari rata-rata tabel diatas, akan lebih mudah bila dibuat tabel penolong seperti berikut:

Dari tabel, dapat kita lihat ∑ f i xi = 1035 dan ∑ f i = 16. Sehingga:

x=∑ f i x i

∑ f i

=103516

=64,6

Rataan hitung nilai tersebut adalah 64,6.

Untuk data daftar distribusi frekuensi kelompok rumus yang digunakan sama dengan

data daftar distribusi frekuensi tunggal yaitu x=∑ f i x i

∑ f i

. Hanya saja, karena ada

pengelompokan kelas maka xi yang dirumus merupakan titik tengah dari kelas

tersebut. x i=Batas Bawah+Batas Atas

2Contoh: tabel nilai ujian 80 Mahasiswa (I)

Dari tabel, dapat kita lihat ∑ f i xi = 6130 dan ∑ f i = 80. Sehingga:

2

xi fi70 569 645 380 156 1

xi fi fixi 70 5 35069 6 41445 3 13580 1 8056 1 56

Jumlah 16 1035

Kelas fi xi fixi31 – 40 1 35,5 35,541 – 50 2 45,5 9151 – 60 5 55,5 277,561 – 70 15 65,5 982,571 – 80 25 75,5 1887,581 – 90 20 85,5 171091 – 100 12 95,5 1146Jumlah 80 - 6130

x=∑ f i x i

∑ f i

=613080

=76,62

Rataan hitung nilai ujiannya adalah 76,62.

Untuk mencari rataan hitung data distribusi frekuensi kelompok dapat digunakan cara lainnya yaitu cara sandi atau cara singkat. Untuk memakai cara ini maka gunakan langkah-langkah berikut Ambil salah satu titik tengah kelas, namakan x0. Untuk titik tengah x0 diberi nilai sandi c = 0 Titik tengah yang nilainya kurang dari x0 berturut-turut diberi harga-harga sandi c =

−¿1, c = −2 , c = −3 , dan seterusnya. Titik tengah yang nilainya lebih dari x0 berturut-turut diberi harga-harga sandi c =

+1, c = +2, c = +3, dan seterusnya. p merupakan panjang kelas dimana setiap kelas memiliki panjang kelas yang sama.

Gunakan rumus: x=x0+ p(∑ f ic i

∑ f i)

Contoh: Tabel nilai ujian 80 mahasiswa (II)

Dari tabel, dapat kita lihat ∑ f i c i = 9 dan

∑ f i = 80. Panjang kelasnya adalah 10.

Sehingga:

x=x0+ p(∑ f ic i

∑ f i)

¿75,5+10( 980 )

= 76,62

Rataan hitung nilai ujiannya adalah 76,62.

2. Rata-Rata Ukur (Geometric Mean)Jika perbandingan tiap dua data berurutan tetap atau hampir tetap, untuk mencari rata-ratanya lebih baik dipakai rata-rata ukur daripada rata-rata hitung.

Untuk data x1, x2, x3,.....,xn. Maka:

G= n√x1. x2 . x3 …. xn

3

Nilai fi xi ci fici31 – 40 1 35,5 −4 −441 – 50 2 45,5 −3 −651 – 60 5 55,5 −2 −1061 – 70 15 65,5 −1 −1571 – 80 25 75,5 0 081 – 90 20 85,5 1 2091 – 100 12 95,5 2 24Jumlah 80 - - 9

Keterangan: G = Rataan Ukur n = banyak data xi = data ke-i

Contoh Hitunglah rata-rata ukur 3 buah data berikut: x1 = 2, x2 = 4 dan x3 = 8 !

G= 3√x1 . x2. x3=3√2.4 .8=4

Untuk bilangan-bilangan bernilai besar, lebih baik digunakan logaritma yang dirumuskan sebagai berikut

log G=∑ log x i

n

Sebagai contoh saja, kita gunakan soal “hitunglah rata-rata ukur 3 buah data berikut: x1 = 2, x2 = 4 dan x3 = 8 ! ” .

log G = log 2+ log 4+ log 83

log G=0,301+0,6021+0,90313

log G=0,6021log G= log 4G = 4

Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, digunakan rumus sebagai berikut:

log G=∑ ¿¿¿¿Keterangan : G = Rataan Ukur

xi = Titik tengah kelasfi = frekuensi yang bersesuaian dengan xi

Contoh : tabel nilai ujian 80 mahasiswa (III)

Dari tabel, dapat kita lihat ∑ f i log xi=

150,1782 dan ∑ f i = 80.

log G=∑ ¿¿¿¿

4

Nilai fi xi log x i f i log x i

31 – 40 1 35,5 1,5502 1,550241 – 50 2 45,5 1,658 3,31651 – 60 5 55,5 1,7443 8,721561 – 70 15 65,5 1,8162 27,24371 – 80 25 75,5 1,8779 46,947581 – 90 20 85,5 1,932 38,6491 – 100 12 95,5 1,98 23,76Jumlah 80 - - 150,1782

log G=150,178280

=1,8772

G = 75,37Nilai ujian itu memiliki rata-rata ukur 75,37.

3. Rata-Rata Harmonik Rata-rata harmonik merupakan kebalikan dari rataan hitung dengan bilangannya merupakan kebalikan dari kumpulan bilangan tersebut. Dalam seperangkat data x1, x2, x3,.....,xn. Maka rataan harmoniknya dirumuskan sebagai berikut:

H= n

∑ ( 1x i )

Keterangan: H = Rataan Harmonik

n = banyak data xi = data ke-i

Contoh: Hitung rata-rata harmonik untuk kumpulan data: 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12!

H= n

∑ ( 1x i )

= 713+ 1

5+ 1

6+ 1

6+ 1

7+ 1

10+ 1

12= 5,87

Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi digunakan rumus:

H=∑ f i

∑ ( f i

x i )Keterangan : H = Rataan Harmonik

xi = Titik tengah kelasfi = frekuensi yang bersesuaian dengan xi

Contoh: tabel nilai ujian 80 mahasiswa (IV)

Dari tabel, dapat kita lihat ∑ ( f i

xi) = 1,0819 dan ∑ f i

= 80. Sehingga:

5

Kelas fi xi f i

xi

31 – 40 1 35,5 0,028241 – 50 2 45,5 0,04451 – 60 5 55,5 0,090161 – 70 15 65,5 0,22971 – 80 25 75,5 0,331181 – 90 20 85,5 0,233991 – 100 12 95,5 0,1256Jumlah 80 - 1,0819

H=∑ f i

∑ ( f i

x i )= 80

1,0819=73,91

Rataan harmonik nilai ujiannya adalah 73,91.

Dari tabel nilai ujian 80 mahasiswa (I – IV), telah dihitung nilai rataan hitung, rataan ukur dan rataan harmoniknya yaitu:x=76,62G = 75,37 Dapat kita simpulkan bahwa H ≤ U ≤ xH = 73,94

4. ModusModus merupakan nilai yang paling banyak muncul dalam suatu kumpulan data atau bila dilihat dalam data berbentuk tabel modus merupakan nilai dengan frekuensi terbanyak dalam suatu data.

Contoh Berapakah modus dari data 12, 34, 14, 34, 28, 34, 34, 28, 14 !

Bila diubah dalam bentuk tabel maka:

xi fi 12 114 228 234 4

Modus dari data tersebut adalah 34

Untuk menentukan modus dalam data yang sudah disusun dalam bentuk daftar distribusi frekuensi kelompok lakukan langkah-langkah berikut: Tentukan kelas modus yakni kelas yang memiliki frekuensi terbesar

dibandingkan kelas-kelas lainnya Hitung panjang kelas yang disimbolkan p Hitung batas bawah kelas yang disimbolkan b Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas dengan titik tengah yang kurang

dari (sebelum) titik tengah kelas modus yang disimbolkan d1

Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas dengan titik tengah yang lebih dari (sesudah) titik tengah kelas modus yang disimbolkan d2

Masukkan nilai yang telah dihitung kedalam rumus:

6

Mo=b+ p ( d1

d1+d2)

Contoh: Tabel nilai ujian 80 Mahasiswa (V) Kelas modus = 71 – 80 b = 70,5 p = 10 d1 = 25 – 15 = 10 d2 = 25 – 20 = 5

Mo=b+ p ( d1

d1+d2)

¿70,5+(10)( 1010+5 )=77,17

Modus dari tabel tersebut adalah 77,17.

5. MedianMedian adalah nilai tengah dari kumpulan data yang sudah diurutkan berdasarkan bilangan terkecil ke terbesar. Untuk lebih memahami diagram berikut:

Untuk data tunggal dengan banyak datanya ganjil.

Untuk data tunggal dengan banyak datanya genap.

7

Median

x1 x2x3 x4 x5

x1 x2 x3x4 x5 x6

Nilai fi xi31 – 40 1 35,541 – 50 2 45,551 – 60 5 55,561 – 70 15 65,571 – 80 25 75,581 – 90 20 85,591 – 100 12 95,5Jumlah 80 -

Untuk mencari median pada daftar distribusi frekuensi kelompok maka lakukan langkah berikut: Temukan letak kelas median dengan cara melihat kelas mana yang mencapai

setengah dari jumlah frekuensi. Hitung batas bawah kelas yang disimbolkan b Hitung panjang kelas yang disimbolkan p Tambahkan kolom tabel frekuensi kumulatif karena dalam rumus akan ada

frekuensi kumukatif sebelum kelas median yang disimbolkan fk

Perhatikan frekuensi pada kelas median yang disimbolkan fm

Rumus yang digunakan yaitu:

Me=b+ p ( n2−f k

f m)

Contoh: tabel nilai ujian 80 mahasiswa (VI) Kelas median: 71 – 80 b = 70,5 p = 10 fk = 23 fm = 25

Me=b+ p ( n2−f k

f m) = 70,5 + (10)( 40−23

25 ) = 77,3

Jadi , Mediannya adalah77,3

B. Ukuran Letak DataUkuran letak data biasanya dinyatakan dalam bentuk fraktil. Fraktil merupakan nilai-nilai yang membagi seperangkat data yang telah terurut menjadi beberapa bagian yang sama.

Ukuran letak data terdiri dari: Kuartil Desil

8

Me=x3+x4

2

Nilai fi fk31 – 40 1 141 – 50 2 351 – 60 5 861 – 70 15 2371 – 80 25 4881 – 90 20 6891 – 100 12 80Jumlah 80 -

Persentil

1. KuartilJika sekumpulan data dibagi menjadi empat bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya, maka bilangan pembaginya disebut kuartil. (Sudjana, 2002:81).

Dalam kuartil dikenal istilah kuartil pertama (Q1), kuarti kedua (Q2) / median, kuartil ketiga (Q3).

Untuk data tunggal dengan banyak data ganjil. Maka:- Urutkan data terlebih dahulu, kemudian cari letak kuartil dengan rumus:

Letak Qi=Datum ke i(n+1)4

- Barulah dapat ditentukan nilai kuartilnya

Contoh soal:

Tentukan kuartil 1, 2 dan 3 dari data berikut: 350, 400, 450, 550, 600, 600, 600, 650, 700 dan 750!

Penyelesaian:

Letak Q1=Datum ke (10+1)4

= 2 34

Artinya Q1 terletak diantara data kedua dan data ketiga. Dengan pendekatan datum interpolasi berikut.

Q1=x2+34 ( x3−x2 )=400+ 1

4(450−400 )= 437,5

Letak Q2=Datum ke 2(10+1)4

= 5 12

Artinya Q2 terletak diantara data kelima dan data keenam. Dengan pendekatan datum interpolasi berikut.

Q2=x5+14 ( x6−x5 )=600+ 1

2(600−600 )= 600

Letak Q3=Datum ke 3(10+1)4

= 8 14

9

Artinya Q3 terletak diantara data kedelapan dan data kesembilan. Dengan pendekatan datum interpolasi berikut.

Q3=x8+14 ( x9−x8 )=650+ 1

4(700−650 )= 662,5

Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi kelompok, maka: Temukan kelas kuartil dengan rumus:

Letak Qi=i(n+1)

4 , dengan i = 1, 2, 3

Hitung batas bawah kelas yang disimbolkan b Hitung panjang kelas yang disimbolkan p Tambahkan kolom tabel frekuensi kumulatif karena dalam rumus akan ada

frekuensi kumukatif sebelum kelas kuartil yang disimbolkan fk

Perhatikan frekuensi pada kelas kuartil yang disimbolkan fQ


Qi=b+ p( ¿4− f k

f Q) , i = 1, 2, 3

Contoh : Tentukan kuartil 3 dari data pada tabel berikut!

Tabel nilai ujian 80 mahasiswa (VII)

Letak Q3=3(80+1)

4

= 60,75

Kelas kuartil: 81 – 90 b = 80,5 p = 10 fk = 48 fQ = 20

10

Nilai fi fk31 – 40 1 141 – 50 2 351 – 60 5 861 – 70 15 2371 – 80 25 4881 – 90 20 6891 – 100 12 80Jumlah 80 -

Q3=b+ p( 3 n4

−f k

f Q) = 80,5 + (10) ( 60−48

20 ) = 86,5

Jadi, Kuartil ketiganya adalah 86,5.

2. DesilDesil adalah bilangan pembagi yang membagi kumpulan data yang nilainya telah diurutkan dari bilangan terkecil ke terbesar menjadi 10 bagian.

Untuk data tunggal, - Data telah diurutkan terlebih dahulu kemudian cari letak desil .

Letak Di=datum ke i(n+1)10

- Barulah dapat ditentukan nilai desilnya.

Contoh: Tentukan desil ketiga dan desil ketujuh dari data: 350, 400, 450, 550, 600, 600, 600, 650, 700 dan 750!

Penyelesaian:

Letak D3=datum ke 3(10+1)10

= 3 310

Artinya desil ketiga terletak di antara data ketiga dan keempat, sehingga:

D3=x3+310 ( x4−x3 )=450+ 3

10(550−450 )=480

Letak D7=datum ke 7(10+1)10

= 7 710

Artinya desil ketujuh terletak di antara data ketujuh dan kedelapan, sehingga:

D7=x7+710 ( x8−x7 )=600+ 7

10(650−600 )=635

Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi kelompok pun rumus yang digunakan juga sama dengan kuartil. Hanya saja, bila kuartil data dibagi 4 maka desil data dibagi 10. Untuk lebih jelasnya maka lakukan saja langkah berikut:Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi kelompok, maka:

11

Temukan kelas desil dengan rumus:

Letak Di=i(n+1)

10 , dengan i = 1, 2, 3, ..., 9.


frekuensi kumukatif sebelum kelas desil yang disimbolkan fk

Perhatikan frekuensi pada kelas desil yang disimbolkan fD


Di=b+ p( ¿10

−f k

f D) , i = 1, 2, 3,..,9.

3. PersentilPersentil adalah bilangan pembagi yang membagi kumpulan data yang nilainya telah diurutkan dari bilangan terkecil ke terbesar menjadi 100 bagian.

Untuk data tunggal, - Data telah diurutkan terlebih dahulu kemudian cari letak perse til .

Letak Pi=datum ke i(n+1)100

- Barulah dapat ditentukan nilai persentilnya

Contoh: Tentukan persentil ke-25 dari data: 350, 400, 450, 550, 600, 600, 600, 650, 700 dan 750!

Letak P25=datum ke 25 (10+1)100

= 2 34

Artinya persentil ke-25 terletak di antara data kedua dan ketiga, sehingga:

P25=x2+34 ( x3−x2)=400+ 3

4(450−400 )=437,5

Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi kelompok pun rumus yang digunakan juga sama dengan kuartil. Hanya saja, bila kuartil data dibagi 4 maka persentil data dibagi 100. Untuk lebih jelasnya maka lakukan saja langkah berikut:Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi kelompok, maka:

Temukan kelas persentil dengan rumus:

12

Letak Pi=i(n+1)

100 , dengan i = 1, 2, 3, ..., 99.


frekuensi kumukatif sebelum kelas persentil yang disimbolkan fk

Perhatikan frekuensi pada kelas persentil yang disimbolkan fP


Pi=b+p ( ¿100

−f k

f P) , i = 1, 2, 3,..,99.

13

DAFTAR PUSTAKA

Dalimah. (2013). Bahan Belajar Matematika Kelas XI IPA SMA/MA Semester Ganjil. Palembang: SMA Negeri 18.Hlm. 57 - 65

Herrhyanto, N., & Hamid, A. H. (2007). Statistika Dasar. Jakarta: Universitas Terbuka. Hlm. 4 dan 4.2 - 4.10

Sudjana. (2002). Metoda Statistika. Edisi 6. Bandung: Tarsito. Hlm. 66 - 85

Sinaga, Bornok, Pardomuan J.N.M.S. Sinambela, Andri Kristianto Sitanggang, Tri Andri

Hutapea, Sudianto Manulang, Lasker Pengarapan Sinaga, dkk. 2013. Matematika Kelas

X Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2013. Jakarta:

Politeknik Negeri Media Kreatif. Hlm. 346 - 347.

14

makalah ukuran pemusatan data dan ukuran letak data

Education