pert 3&4 ukuran pemusatan- penyebaran

Uku

ran Pe

musa

tan &

Pe

nyebara

nA

nd

hin

Dyas F

itriani, M

. Pd

Garis Besar Materiن Ukuran

Pemusatan (mean, median, mode, rerata tertimbang dan rerata geometris)

ن Ukuran Keragaman (range, ragam, simpangan baku)

ن Ukuran Lokasi(kuartil, desil, persentil)

Ukuran Pemusatan (01)

Ukuran pemusatan (tendency central) suatu himpunan data titik tempat di mana nilai-nilai suatu gugus data cenderung mengelompok, menunjukkan titik tengah suatu histogram atau kurva distribusi frekuensi

1. Rerata Hitung – Mean (Ungrouped Data)ن Mean atau Mean Arithmetic (rerata hitung)

sering digunakan untuk mengukur pemusatanن Untuk ‘ungrouped data’, mean dipeoleh dengan

membagi jumlah semua nilai dengan banyak nilai dalam data

untuk populasi untuk sampel

ن Nilai (mean sampel) memungkinkan bervariasi, karena diambil dari sampel yang berbeda, bergantung nilai observasi tiap sampel

N

xμ

n

xx

x


ن Dalam suatu data, dikenal istilah nilai pencilan atau outlier, yaitu nilai yang sangat kecil atau sangat besar atau jauh dari nilai observasi lainnya. Nilai pencilan akan menghasilkan perbedaan dalam nilai mean.

ن Kelemahan mean (dalam tinjauan statistik deskriptif), adalah karena nilainya akan sangat dipengaruhi oleh keberadaan nilai pencilan

ن Kelebihan mean adalah mudah dihitung, dan mempunyai nilai matematik sehingga dapat digunakan pada statistik inferensia

ن Ilustrasitabel berikut menunjukkan daftar populasi 5 negara bagaian Pasifik pada tahun 1992Negara Bagian

Washington

Oregon

Alaska

Hawai

California

Populasi

(ribuan)

5.136 2.977 587 1.160 30.867

data pencilan


Mean tanpa California :

Mean dengan California

Populasi California sangat besar dibanding dengan jumlah populasi 4 negara bagian lainnya. Pelibatan California, secara signifikan memberikan pengaruh terhadap besaran ukuran nilai mean sebagai ukuran pemusatan

24654

116058729775136Mean

8145,45

30867116058729775136Mean


2. Rerata Hitung – Mean (Grouped Data)Formula ن

untuk populasi untuk sampel

Contoh نTabel berikut menunjukkan distribusi frekuensi waktu (dalam menit) yang diperlukan untuk berangkat dari rumah menuju kampus untuk seluruh mahasiswa suatu perguruan tinggi yang berjumlah 25 orang.

• Pertanyaanhitunglah rerata waktu yang diperlukan?

• Jawab- tentukan nilai tengah (m) masing-

masing kelas- hitung perkalian m dengan frekuensi f

N

m.fμ

n

m.fx

Waktu (menit) Jumlah

0 – 10 4

10 – 20 9

20 – 30 6

30 – 40 4

40 – 50 2


Waktu (menit)

Frekuensi (f)

Nilai Tengah (m)

m.f

0 – 10 4 5 20

10 – 20 9 15 135

20 – 30 6 25 150

30 – 40 4 35 140

40 – 50 2 45 90

Total 25 535

21,4025535

N

m.fμ


3. Median (Ungrouped Data)ن Median adalah nilai yang terletak pada tengah

suatu data di mana data tersebut telah diurutkan (di ranking)

ن Himpunan data yang telah diurutkan menurut besarnya ini, dinamakan array

ن Perhitungan median terdiri dari 2 tahap, yaitu :- urutkan data dari yang terendah hingga yang tertinggi- tentukan posisi median

ganjil data)(banyak nuntuk 2

1nmedian posisi ,

,tengah data 2 dari reratamedian posisi

genap data)(banyak nuntuk


4. Median (Grouped Data)ن Formula

ن Contoh

m

km2n

m ff

iBMedian

di mana :Bm = tepi bawah kelas mediani = interval kelas n = ukuran sampel datafkm = frekuensi kumulatif sebelum medianfm = frekuensi pada kelas median

Upah (dollar) Jumlah

301 – 400 9

401 – 500 16

501 – 600 33

601 – 700 20

701 – 800 14

801 – 900 6

Dari data tabel di samping, diketahui :

332550

100500,5Median

576,26


5. Modus (Grouped Data)ن Modus adalah nilai yang memiliki frekuensi

tertinggi dalam suatu gugus dataن Data yang hanya memiliki 1 modus disebut

unimodal; 2 modus dengan frekuensi sama disebut bimodal dan lebih dari 2 modus disebut multimodal

ن Formula :

21

1m dd

d iBModus

di mana :Bm = tepi bawah kelas modusi = interval kelas d1 = frekuensi kelas modus – frekuensi sebelum kelas modusd2 = frekuensi kelas modus – frekuensi sesudah kelas modus


ن ContohDari data di samping diperoleh informasi :

Upah (dollar) Jumlah

301 – 400 9

401 – 500 16

501 – 600 33

601 – 700 20

701 – 800 14

801 – 900 6

1317

17100500,5Modus

557,17


6. Hubungan antara Mea, Median dan Modus

ن Untuk suatu histogram yang simetris, dan kurva frekuensi dengan sebuah puncak, nilai mean, media dan modus adalah sama; yaitu terletak pada bagian tengah distribusi

ن Untuk suatu histogram yang miring ke kanan, nilai mean terbesar, modus terkecil dan median terletak diantara mean dan modus. Nilai mean akan sangat dipengaruhi oleh pencilan di ekor sebelah kanan (pencilan mayor)

ن Untuk suatu histogram yang miring ke kiri, nilai mean terkecil, modus terbesar dan median terletak diantara mean dan modus. Nilai mean akan sangat dipengaruhi oleh pencilan di ekor sebelah kiri (pencilan minor)


7. Rerata Tertimbang (Weighted Average)ن Rerata yang diperhitungkan setelah tiap nilai

diberikan pembobotan tertentu, yang menunjukkan bobot relatif masing-masing nilai data yang diratakan (mis. IPK, nilai barang)

ن Formula :

ن Contoh :

ن

ن

n

1ii

n

1iii

B

B

xBx

Mata Kuliah

Nilai Mutu

Angka Mutu (Xi)

SKS (Bi) Xi.Bi

Kalkulus B 3 2 6

Statistika A 4 4 16

Algoritma C 2 3 6

Struktur Data

A 4 3 12

Σ 14 12 40

1240

IPK

3,33


8. Rerata Geometrik (Geometric Average)ن Rerata geometrik digunakan untuk menghitung

rerata laju pertumbuhan (growth rate), misalnya pertumbuhan penduduk, penjualan, tingkat suku bunga, dan lain-lain

ن Formula :

ن Contoh :data pertumbuhan suku bunga dalam 5 hari kerja :1,5 2,3 3,4 1,2 2,5

nn21 xxxG ...

5 2,51,23,42,31,5G 2,04

Latihan soal

Hitunglah mean, median, dan modus dari data yang telah ada pada pertemuan sebelumnya!

Ukuran Penyebaran (1)

1. Range (Selang)ن Range merupakan metode pengukuran paling

sederhana yang digunakan untuk mengukur ketersebaran suatu data.

ن Sepertihalnya mean, nilai range dipengaruhi oleh adanya ‘outlier/pencilan’, sehingga range bukanlah merupakan ukuran yang baik untuk menunjukkan ketersebaran suatu data yang memiliki pencilan

ن Nilai range yang hanya ditentukan oleh 2 data (nilai yang lain dalam data diabaikan) menunjukkan tidak representatifnya range dalam merepresentasikan ketersebaran data

ن Formula : terkecil Nilai-terbesar NilaiRange


2. Ragam (Varians) dan Simpangan Baku (Standard Deviasi) – (Ungrouped Data)ن Simpangan baku, merupakan ukuran statistik yang

paling sering digunakan untuk mengukur ketersebaran suatu data

ن Nilai simpangan baku menunjukkan seberapa dekat nilai-nilai suatu data dengan nilai rerata

ن Nilai simpangan baku yang kecil data menyebar dalam range yang lebih kecil mendekati nilai rerata. Begitu pula sebaliknya.

ن Nilai simpangan baku diperoleh dari akar kuadrat nilai ragam (varians)

ن Ragam dari suatu data populasi dinotasikan dengan , sedangkan untuk data sampel dinotasikan dengan

ن Simpangan baku dari suatu data populasi dinotasikan dengan sedangkan untuk data sampel dinotasikan dengan

2σ2s

σs


ن Formula :

ن Contoh :

NN

xx

σ

2

i2i

2

1nn

xx

s

2

i2i

2

1n

xx2

i

x x^2

90 8100

85 7225

65 4225

75 5625

70 4900

95 9025

total 480 39.100

56

48039.100

s

2

2

538.40039.100

140

Ukuran Penyebaran (4)3. Ragam (Varians) dan Simpangan Baku (Standard Deviasi) – (Grouped Data)ن Formula :

NN

mffm

σ

2

2

2

1nn

mffm

s

2

2

2

1n

xmf2

di mana :

m = titik tengah f = frekuensi


4. Parameter Populasi dan Statistik Sampelن Nilai ukuran seperti mean, median, modus, range,

ragam atau simpangan baku yang diturunkan dari suatu data populasi disebut parameter populasi

ن Nilai ukuran seperti mean, median, modus, range, ragam atau simpangan baku yang diturunkan dari suatu data sampel disebut statistik sampel

ن Sehingga : adalah parameter populasi adalah statistik sampel

σ dan σ μ, 2

s dan s ,x 2


• Koefisien Varians (koefisien keragaman)ن merupakan rasio dari simpangan baku dan

rerata (populasi atau sampel)ن semakin besar nilai koefisien variansi, maka

data akan semakin bervariasi atau dengan kata lain, data tersebut memiliki tingkat keragaman yang tinggi

ن Formula :

atau

dimana :

μσ

ωx

sω

sampel dan populasi baku simpangan s dan σ sampel dan populasi rerata x dan μ

varians koefisienω


• Nilai Baku (Z-Score)ن Merupakan ukuran penyimpangan data dari

rerataa populasiن Nilai z dapat bernilai nol (0), positif (+) atau

negatif (-)z nol data bernilai samam dengan rerata populasi

z positif data bernilai di atas rerata populasi

z negatif data bernilai di bawah rerata populasi

ن Formula :σμx

z

Ukuran Lokasi (1)

1. Kuartilن Kuartil membagi sederetan data terurut menjadi 4

bagian yang sama, sehingga menghasilkan 3 kuartil, yaitu kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2) dan kuartil ketiga (Q3)

ن Ketiga titik lokasi tersebut adalah :

ganjil data ,xQ1n

411

genap data ,xQ

2n411

ganjil data ,xMeQ

1n212

genap data ,xx21

MeQ1

2n

2n2

ganjil data ,xQ

1n433

genap data ,xQ

23n413

Ukuran Lokasi (2)

ن Untuk data yang telah dikelompokkan, maka :

ن Jarak antar kuartil (InterQuartil Range)

ن Contoh :berikut adalah nilai 12 mahasiswa dalam kelas statistika 75 80 68 53 99 58 76 73 85 88 91 79tentukan nilai ketiga kuartil dan tentukan pula posisi 88 dalam hubungannya dengan kuartil!

q

kq4n

q1 f

f iBQ

q

kq43n

q3 f

f iBQ

di mana :

Bq = tepi bawah kelas kuartili = interval kelasn = ukuran sampel/banyak datafq = frekuensi pada kelas kuartilfkq = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil13 QQIQR

Ukuran Lokasi (3)

ن Jawab :pertama, urutkan data dari yang terkecil menuju ke yang terbesar

53 58 68 73 75 76 79 80 85 88 91 99

• Q1 = 70,5, menyatakan bahwa ±25% mahasiswa pada sampel mendapat nilai < 70,5



• Dengan melihat letak nilai 88, maka nilai 88 termasuk ke dalam 25% terbaik

mediannilai mediannilai

27368

Q1

70,52

7976Q1

77,528885

Q1

86,5

Ukuran Lokasi (4)

2. Desilن Desil adalah nilai-nilai yang membagi sederetan

data ke dalam 10 bagian yang samaن Nilai-nilai tersebut dilambangkan dengan D1,

D2, ..., D9, yang mempunyai sifat bahwa 10% data berada di bawah D1, 20% data berada di bawah D2, ..., dan 90% data berada di bawah D9

ن Untuk data yang dikelompokkan :

d

kd10k

dk ffn

iBD

Ukuran Lokasi (5)

2. Persentilن Desil adalah nilai-nilai yang membagi sederetan

data ke dalam 100 bagian yang samaن Nilai-nilai tersebut dilambangkan dengan P1,

P2, ..., P99, yang mempunyai sifat bahwa 1% data berada di bawah P1, 2% data berada di bawah P2, ..., dan 99% data berada di bawah P9

ن Untuk data yang dikelompokkan :

p

kp100k

pk f

fn iBP

Latihan Soal

pert 3&4 ukuran pemusatan- penyebaran

Documents