kumpulanrepository.radenintan.ac.id/11032/1/imam khoiruddin - trigonometri.… · geometri,...

KUMPULAN

60 SOAL & PEMBAHASAN

TRIGONOMETRI

ISBN 978-623-93416-3-3

PENULIS:

Imam Khoirudin

Rizki Wahyu Yunian Putra, M.Pd

CETAKAN PERTAMA, MEI 2020

Diterbitkan oleh :

CV. Madani Jaya

Hak Cipta Dilindungi Undang-undang

All ringh reserved

ii

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahi robbil ‘alamin. Segala puji bagi Allah SWT

yang telah menganugrahkan begitu banyak nikmat kepada

hambanya. Sehingga sejak dari awal buku ini ditulis Allah SWT

masih memberikan nikmat yang luar biasa bagi penulis sampai

terbentuknya buku ini yang mudah – mudahan dapat memberi

banyak manfaat bagi para pembaca dan calon – calon generasi

penerus bangsa.

Matematika merupakan ilmu pengetahuan murni yang terdiri

atas puluhan cabang ilmu. Menurut ahli matematika Morris Klein

sebagaimana dikutip Dali S. Naga (1980), Tidak kurang dari delapan

puluhan cabang besar matematika seperti : berhitung, aljabar,

geometri, stereometri, analisis, vektor, probabilitas, teori tepologi,

statistika, kalkulus dan trigonometri. Cabang matematika terakhir ini

berkaitan erat dengan beberapa ilmu terapan seperti Astronomi dan

navigasi serta ilmu ukur pada umumnya (Geometri dan Stereometri),

kalkulus, fisika, teknik dan komputer.

Buku ini dihimpun dan diurai sesuai dengan pengalaman penulis

selama menempuh pendidikan formal maupun non formal. Buku ini

juga disusun dengan tujuan agar dapat mempermudah pemahaman

bagi para pembaca terutama pada materi trigonometri. dimana

menurut pengalaman penulis pribadi, trigonometri merupakan salah

satu materi matematika yang paling susah untuk difahami baik

iii

ditingkat sekolah menengah bahkan dalam lungkungan perkuliahan

sekalipun.

Tentu saja penulis mengakui disana – sini masih banyak

kekurangan dan kesalahan pada penulisan buku ini, baik dari sisi

materi, cara penyajian maupun penulisannya. Oleh karena itu,

sudilah kiranya bagi para pembaca, terutama kepada guru penulis

pribadi untuk memberikan saran dan masukan demi kesempurnaan

buku ini.

Penutup, penulis pribadi sangat bersyukur kepada Allah SWT

yang telah memberikan kekuatan dan kesempatan bagi penulis untuk

menyelesaikan buku ini. Terutama ucapan terimakasih yang sebesar

– besarnya kepada kedua orangtua penulis, yakni ibunda Siti

Maisaroh dan ayahanda Sudarwo yang selalu memberikan

dukunganya setiap waktu dan setiap saat. Dan juga kepada ketiga

saudara kandung penulis, M Nur Saifan, Syifaul ‘Asyiqoh.alm dan

Latifah Qothrunnada. Begitu juga kepada guru – guru dan rekan –

rekan sekalian saya ucapkan terimakasih. Mudah – mudahan buku

ini dapat memberikan manfaat bagi siapapun yang membacanya.

Lampung, 18 Mei 2020

Hormat Penulis

Imam Khoirudin

iv

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ............................................................. ii

DAFTAR ISI ............................................................................ iv

1 FUNGSI TRIGONOMERI

1.1 Fungsi Sinus dan Cosinus ........................................... 1

1.2 Fungsi Tangen ............................................................ 4

1.3 Fungsi Trigonometri Kebalikan .................................. 5

1.4 Nilai Fungsi Trigonometri di Berbagai Kwadran ...... 7

1.5 Nilai Fungsi Trigonometri untuk Sudut Istimewa....... 9

1.6 Identitas Trigonometri ................................................ 10

2 FUNGSI TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT –

SUDUT YANG SALING BERELASI

2.1 Nilai Sudut Negatif untuk Fungsi Trigonometri ......... 11

2.2 Fungsi Trigonometri untuk Sudut αo dan (90 – α)o ... 12

2.3 Fungsi Trigonometri untuk Sudut (90 + α)o dan

(180 – α)o .................................................................... 13


(270 – α)o ................................................................... 14


(360 – α)o .................................................................... 15

2.6 Fungsi Trigonometri untuk Sudut (k.360 + α)o .......... 15

3 RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

3.1 Sistem Koordinat Kutub .............................................. 16

3.2 Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut ........................ 17

v

4 RUMUS SUDUT RANGKAP DAN SUDUT

PERTENGAHAN

4.1 Rumus Sudut Rangkap ................................................ 18

4.2 Rumus Sudut Pertengahan .......................................... 18

5 RUMUS SUDUT LIPAT DAN RUMUS PANGKAT

5.1 Rumus Sudut Lipat ...................................................... 19

5.2 Rumus Pangkat Sinus dan Cosinus ............................. 20

6 RUMUS PENJUMLAHAN DAN PERKALIAN

6.1 Rumus Penjumlahan ................................................... 21

6.2 Rumus Perkalian ......................................................... 21

7 ATURAN SEGITIGA DALAM TRIGONOMETRI

7.1 Aturan Sinus ................................................................ 22

7.2 Aturan Cosinus ........................................................... 22

7.3 Luas Segitiga ............................................................... 22

7.4 Rumus Gauss ............................................................... 23

7.5 Garis – garis Istimewa dan Lingkaran dalam Segitiga 24

8 PERSAMAAN TRIGONOMETRI

8.1 Persamaan untuk Sinus ............................................... 28

8.2 Persamaan untuk cosinus ........................................... 28

8.3 Persamaan untuk Tangent .......................................... 29

8.4 Persamaan Bentuk a cos x + b sin x = c .................... 29

Kumpulan Soal dan Pembahasan ............................................. 30

Daftar Pustaka .......................................................................... 119

Glosarium.................................................................................. 120

1

FUNGSI TRIGONOMERI

1.1 Fungsi Sinus dan Cosinus

Fungsi pada aljabar didefinisikan sebagai relasi khusus yang

setiap anggota himpunan A memetakan tepat satu anggota himpunan

B. Anggota himpunan A disebut daerah asal fungsi (domain),

anggota himpunan B disebut himpunan kawan (ko-domain) dan

anggota himpunan A yang dihubungkan dengan anggota himpunan

B disebut daerah hasil (range). Perhatikan gambar di bawah ini

untuk memahami perbedaan antara fungsi dan bukan fungsi!

A B

*

*

*

*

*

*

A B

*

*

*

*

*

*

A B

*

*

*

*

*

*

Fungsi

A B

*

*

*

*

*

*

A B

*

*

*

*

*

*

A B

*

*

*

*

*

*

Bukan Fungsi

Gambar 1.1

2

Perhatikan gambar di bawah ini!

Jika titik P dan Q terletak pada ruas garis OQ̅̅ ̅̅ maka OP = r1 = 5

dan OQ = r2 = 10. Untuk POP1 = QOQ1 = , maka nilai

perbandingan 𝑦

𝑟 pada POP1 dan QOQ1 sama, yaitu

4

5 dan

8

10.

Begitu juga pada 𝑥

𝑟. Maka dengan kata lain untuk nilai yang sama

akan menghasilkan perbandingan yang sama begitu juga sebaliknya.

.

.

O

P1 Q1

X

Y

P (3,4)

Q (6,8)

Gambar 1.2

3

Perhatikan diagram di bawah ini!

Dari diagram panah di atas terlihat bahwa fungsi f memetakan

ke a didefinisikan fungsi g. Fungsi f yang menyatakan nilai

perbandingan 𝑦

𝑟 untuk disebut Fungsi Sinus atau ditulis sin =

𝑦

𝑟,

sedangkan fungsi g yang menyatakan nilai perbandingan 𝑥

𝑟 untuk

disebut Fungsi Cosinus atau ditulis cos = 𝑥

𝑟.

Maka dapat didefinsikan sinus dan cosinus sebagai berikut :

Sinus sudut = 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑔𝑎𝑘

𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔

Cosinus sudut = 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑎𝑙𝑎𝑠

𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔

1

2

3

A B

a1

a2

a3

a

f

1

2

3

A B

b1

b2

b3

b

g

Gambar 1.3

4

1.2 Fungsi Tangen

Perbandingan 𝑦

𝑟 dan

𝑥

𝑟 ditentukan oleh , maka perbandingan

𝑦

𝑥

juga ditentukan oleh nilai . Untuk nilai yang berbeda maka nilai

perbandingan 𝑦

𝑥 juga berbeda.

Perhatikan diagram di bawah ini.

Diagram panah di atas terlihat bahwa fungsi h memetakan ke

c sehingga dikatakan bahwa fungsi h yang menyatakan nilai

perbandingan 𝑦

𝑥 untuk disebut Fungsi Tangen atau ditulis

tan = 𝑦

𝑥.

1

2

3

c1

c2

c3

c

A B h

Gambar 1.5

5

1.3 Fungsi Trigonometri Kebalikan

Selain ketiga fungsi di atas, kita juga mengenal fungsi

trigonometri lain yaitu: Secant (sec), Cosecant (csc) dan Cotangent

(cot). Ketiga fungsi ini disebut sebagai fungsi kebalikan sebagai

berikut :

sec = 𝑟

𝑥

csc = 𝑟

𝑦

cot = 𝑥

𝑦

Sehingga dari keenam definisi fungsi trigonometri dapat kita

lihat bahwa terdapat hubungan antara satu dan lainya yang sering

disebut dengan rumus kebalikan. Sebagai berikut :

sin = 1

csc

cos = 1

sec

tan = 1

cot

Ataupun dapat juga berupa :

csc = 1

sin

ses = 1

cos

cot = 1

tan

6

Sehingga didapatkan rumus perbandingan nya adalah :

tan = sin

cos

cot = cos

sin

Dari semua persamaan di atas dapat diturunkan identitas –

identitas berikut:1

sin2 + cos2 = 1

sec2 + tan2 = 1

csc2 + cot2 = 1

1 Sinaga, bornok, dk. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas X Semester 2

(Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014). h. 66.

7

1.4 Nilai Fungsi Trigonometri di Berbagai Kwadran

Perhatikan gambar di bawah ini :

Melihat gambar di atas kita dapat menentukan tanda fungsi

dengan menggunakan rumus perbandingan terhadap yang sudah

dibahas sebelumnya untuk setiap kwadran nya.

ao

P(x,y)

O ao di kwadran I

ao

P(-x,y)

O ao di kwadran II

P(-x,-y) O

ao di kwadran III

ao

P(x,-y) O

ao di kwadran IV

ao

Gambar 1.6

8

Jika αo di kwadran I atau x positif dan y positif, maka :

sin αo = 𝑦

𝑟 (positif) csc αo =

𝑟

𝑦 (positif)

cos αo = 𝑥

𝑟 (positif) sec αo =

𝑟

𝑥 (positif)

tan αo = 𝑦

𝑥 (positif) cot αo =

𝑥

𝑦 (positif)

Begitu juga untuk kwadran II, kwadran III dan kwadran IV.

Dengan demikian, maka tanda fungsi trigonometri dapat

diringkas dalam tabel berikut :2

αo

di kwadran

sin αo

csc αo

cos αo

sec αo

tan αo

cot αo

I Positif Positif Positif

II Positif Negatif Negatif

III Negatif Negatif Positif

IV Negatif Positif Negatif

2 Stewart, james. Redlin, lothan, and waston, saleem. 2010. Precalculus

Mathematics for Calculus. 8th ed. Belmonth, CA: Brook/Cole, Cengege Learning.

h. 380.

9

1.5 Nilai Fungsi Trigonometri untuk Sudut Istimewa

Sudut – sudut istimewa 30o, 45o dan 60o nilai fungsi

trigonometri dapat dicari pada segitiga berikut :

a. Sudut istimewa 30o

b. Sudut istimewa 60o

c. Sudut istimewa 45o

30o

ඥ3

1 2

sin 30o = 1

2 csc 30o = 2

cos 30o = 1

2ඥ3 sec 30o =

2

ξ3

tan 30o = 1

ξ3 cot 30o = ඥ3

60o

ඥ3

1

2

sin 60o = 1

2ඥ3 csc 60o =

2

ξ3

cos 60o = 1

2 sec 60o = 2

tan 60o = ඥ3 cot 60o = 1

ξ3

45o

1

1

ඥ2

sin 45o = 1

2ඥ2 csc 45o = ඥ2

cos 45o = 1

2ඥ2 sec 45o = ඥ2

tan 45o = 1 cot 45o = 1

10

Selanjutnya sudut 0o dan 90o. Untuk sudut 0o berarti r berimpit

dengan sumbu X atau r = x, sedangkan y = 0, sehingga :

sin 0o = 0

𝑟 csc 0o =

𝑟

0

= 0 = tidak tedefinisi

cos 0o = 𝑥

𝑟 sec 0o =

𝑟

𝑥

= 1 = 1

tan 0o = 0

𝑥 cot 0o =

𝑥

0

= 0 = tidak tedefinisi

Untuk sudut 90o berarti r berimpit dengan sumbu Y atau r = y,

sedangkan x = 0, sehingga :

sin 90o = 𝑦

𝑟 csc 90o =

𝑟

𝑦

= 1 = 1

cos 90o = 0

𝑟 sec 90o =

𝑟

0

= 0 = tidak terdefinisi

tan 90o = 𝑦

0 csc 90o =

0

𝑦

= tidak terdefinisi = 0

1.6 Identitas Trigonometri

Identitas dalam trigonometri merupakan bentuk kesamaan

antara ruas kiri dengan ruas kanan. Pembuktian kesamaan ini

merupakan kemantapan rumus – rumus yang sudah dijelaskan pada

materi sebelumnya. Pembuktian dilakukan dengan menjabarkan atau

menguraikan bentuk ruas kiri ataupun ruas kanan hingga keduanya

ekuivalen.

11

FUNGSI TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT – SUDUT

YANG SALING BERELASI

2.1 Nilai Sudut Negatif untuk Fungsi Trigonometri

Perhatikan gambar di bawah ini :

Dari gambar di atas dapat dientukan :

sin (-α)o = −𝑦

𝑟 csc (-α)o =

𝑟

−𝑦

= - sin αo = - csc αo

cos (-a)o = 𝑥

𝑟 sec (-a)o =

𝑟

𝑥

= cos αo = sec αo

tan (-α)o = −𝑦

𝑥 cot (-α)o =

𝑥

−𝑦

= - tan αo = - cot αo

P (x, -y)

- αo

r

k

Gambar 2.1

12

2.2 Fungsi Trigonometri untuk Sudut αo dan (90 – α)o

Perhatikan gambar di bawah ini!

sin αo = 𝑦

𝑟 csc αo =

𝑟

𝑦

cos αo = 𝑥

𝑟 sec αo =

𝑟

𝑥

tan αo = 𝑦

𝑥 cot αo =

𝑥

𝑦

Selanjutnya kita perhatikan C atau sudut (90 – α)o. Dari sudut

ini nilai fungsi trigonometri dapat ditentukan sebagai berikut :

sin (90 – α)o = 𝑥

𝑟 csc (90 – α)o =

𝑟

𝑥

cos (90 – α)o = 𝑦

𝑟 sec (90 – α)o =

𝑟

𝑦

tan (90 – α)o = 𝑥

𝑦 cot (90 – α)o =

𝑦

𝑥

Dengan demikian dapat kita hubungkan sudut – sudut yang

berelasi sebagai berikut :

sin (90 – α)o = cos αo csc (90 – α)o = sec αo

cos (90 – α)o = sin αo sec (90 – α)o = csc αo

tan (90 – α)o = cot αo cot (90 – α)o = tan αo

αo

A B

C

r

x

y

13

2.3 Fungsi Trigonometri untuk Sudut (90 + α)o dan (180 – α)o

Sudut (90 + α)o dan (180 – α)o merupakan sudut – sudut yang

berelasi di kwadran II. Pada rumus 2.1 dan 2.2 gunakan rumus sudut

negatif dengan mengganti + αo menjadi – (– α)o sehingga diperoleh:

sin (90 + α)o = sin [90 – (– α)]o csc (90 + α)o = csc [90 – (– α)]o

= cos (– α)o = sec (– α)o

= cos αo = sec αo

cos (90 + α)o = cos [90 – (– α)]o sec (90 + α)o = sec [90 – (– α)]o

= sin (– α)o = csc (– α)o

= – sin αo = – csc αo

tan (90 + α)o = tan [90 – (– α)]o cot (90 + α)o = cot [90 – (– α)]o

= cot (– α)o = tan (– α)o

= – cot αo = – tan αo

Selanjutnya untuk mencari sin (180 – α)o lakukan cara yang

sama ubahlah ke bentuk sin [90 + (90 – α)]o, sehingga dieroleh :

sin (180 – α)o = sin [90 + (90 – α)]o

= cos (90 – α)o

= sin αo

Begitu juga seterusnya untuk fungsi trigonometri yang lainya.

14



berelasi di kwadran III. Dengan mengubah bentuk (180 + α)o

menjadi [180 – (– α)]o dan menggunakan rumus di atas sehingga

diperoleh sebagai berikut :

sin (180 + α)o = – sin αo csc (180 + α)o = – csc αo

cos (180 + α)o = – cos αo sec (180 + α)o = – sec αo

tan (180 + α)o = tan αo cot (180 + α)o = cot αo

Sedangkan untuk (270 – α)o diubah menjadi [180 – (90 – α)]o.

Sehingga diperoleh :

sin (270 – α)o = – cos αo csc (270 – α)o = – sec αo

cos (270 – α)o = – sin αo sec (270 – α)o = – csc αo

tan (270 – α)o = cot αo cot (270 – α)o = tan αo

15



berelasi di kwadran IV. Dengan mengubah bentuk (270 + α)o

menjadi [270 – (– α)]o dan menggunakan rumus di atas sehingga

diperoleh sebagai berikut :

sin (270 + α)o = – cos αo csc (270 + α)o = – sec αo

cos (270 + α)o = sin αo sec (270 + α)o = csc αo

tan (270 + α)o = – cot αo cot (270 + α)o = – tan αo

Sedangkan untuk (360 – α)o diubah menjadi [270 – (90 – α)]o.

Sehingga diperoleh :

sin (360 – α)o = – sin αo csc (360 – α)o = – csc αo

cos (360 – α)o = cos αo sec (360 – α)o = sec αo

tan (360 – α)o = – tan αo cot (360 – α)o = – cot αo

2.6 Fungsi Trigonometri untuk Sudut (k.360 + α)o

Untuk sudut yang lebih dari 360o, dapat ditulis dalam bentuk

(k.360 + α)o. Sehingga didapat rumus sebagai berikut :

sin (k.360 + α)o = sin αo csc (k.360 + α)o = csc αo

cos (k.360 + α)o = cos αo sec (k.360 + α)o = sec αo

tan (k.360 + α)o = tan αo cot (k.360 + α)o = cot αo

k bilangan bulat3

3 Zen, Fathurin. Trigonometri (Bandung : ALFABETA, 2012), h. 34.

16

RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

3.1 Sistem Koordinat Kutub

Dalam materi bidang datar telah diajarkan bahwa letak suatu

titik dapat ditentukan dalam sistem koordinat kartesius (Rectangular

Coordinate), yaitu dengan menghitung arah absis (sumbu X) dan

berapa panjangnya, serta arah ordinat (sumbu Y) dan berapa

panjangnya. Selain itu, letak suatu titik dapat ditentukan dalam

system koordinat kutub (Polar Coordinate).

Perhatikan gambar berikut :

Dengan demikian titik P (x, y) dapat dinyatakan dalam koordinat

kutub atau koordinat polar sebagai P(r . cos α, r . sin α) atau P(r, α).

Didapat perubahan kedua sistem koordinat sebagai berikut :

Perubahan Koordinat

koordinat kutub (r, α) menjadi

koordinat kartesius (x, y)

Koordinat kartesius (x, y)

menjadi koordinat kutub (r, α)

x = r . cos α

y = r . sin α

r = ඥ𝑥2 + 𝑦2

tan α = 𝑦

𝑥 (α sesuai kwadran)

α

r

Q O

P(x, y)

17

3.2 Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Rumus cos (α ± β)

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Rumus sin (α ± β)

cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

cos (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Rumus tan (α ± β)

tan (α + β) = tan 𝛼 + 𝑡𝑎𝑛 𝛽

1 − tan 𝛼 . 𝑡𝑎𝑛 𝛽

tan (α – β) = tan 𝛼− 𝑡𝑎𝑛 𝛽

1 + tan 𝛼 . 𝑡𝑎𝑛 𝛽

Rumus cot (α ± β)

cot (α + β) = cot 𝛼 𝑐𝑜𝑡 𝛽−1

tan 𝛼 + 𝑡𝑎𝑛 𝛽

cot (α – β) = 𝑐𝑜𝑡 𝛼 . 𝑐𝑜𝑡 𝛽+1

tan 𝛼 − 𝑡𝑎𝑛 𝛽

18

RUMUS SUDUT RANGKAP DAN SUDUT PERTENGAHAN

4.1 Rumus Sudut Rangkap4

sin 2α = 2 sin α cos α

cos 2α = cos2 α – sin2 α

= 1 – 2 sin2 α

= 2 cos2 α – 1

tan 2α = 2 tan 𝛼

1− 𝑡𝑎𝑛2𝛼

cot 2α = 𝑐𝑜𝑡2𝛼−1

2 cot 𝛼

4.2 Rumus Sudut Pertengahan

• sin 1

2 α = ±√

1−cos 𝛼

2

• cos 1

2 α = ±√

1+cos 𝛼

2

• tan 1

2 α =

sin 𝛼

1+cos 𝛼 tan

1

2 α =

1−cos 𝛼

sin 𝛼

tan 1

2 α = csc α – cot α tan

1

2 α = ±√

1−cos 𝛼

1+cos 𝛼

• cot 1

2 α =

1+cos 𝛼

sin 𝛼 cot

1

2 α =

sin 𝛼

1−cos 𝛼

cot 1

2 α = csc α + cot α cot

1

2 α = ±√

1+cos 𝛼

1−cos 𝛼

4 OpenStax College. Algebra and Trigonometry (Texas : Rice University.

2015). h. 1008.

19

RUMUS SUDUT LIPAT DAN RUMUS PANGKAT

5.1 Rumus Sudut Lipat

sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α

cos 3α = 4 cos3 α – 3 cos α

tan 3α = 3 tan 𝛼− 𝑡𝑎𝑛3𝛼

1−3 𝑡𝑎𝑛2𝛼

cot 3α = 𝑐𝑜𝑡3 𝛼−3 cot 𝛼

3 𝑐𝑜𝑡2𝛼−1

Secara umum rumus sudut lipat untuk na dapat ditulis sebagai

berikut :

sin nα = sin α {(2 cos 𝛼)𝑛−1 − (𝑛 − 2

1) (2 cos 𝛼)𝑛−3 + (

𝑛 − 31

) (2 cos 𝛼)𝑛−5− . . . }

cos nα = 1

2 {(2 cos 𝛼)𝑛 −

𝑛

1 (2 cos 𝛼)𝑛−2 +

𝑛

2(

𝑛 − 31

) (2 cos 𝛼)𝑛−4 − 𝑛

3(

𝑛 − 42

) (2 cos 𝛼)𝑛−6+ . . . }

Dimana bentuk (𝑛𝑘

) merupakan simbol kombinasi dengan

rumus 𝑐𝑘𝑛 =

𝑛!

𝑘!(𝑛−𝑘)!.

20

5.2 Rumus Pangkat Sinus dan Cosinus

sin2 α = 1

2 −

1

2 cos 2α

cos2 α = 1

2 +

1

2 cos 2α

Secara umum rumus pangkat sinus dan cosinus adalah :

𝑠𝑖𝑛2𝑛−1 𝛼=(−1)𝑛−1

22𝑛−2{sin(2𝑛 − 1) 𝛼 − (

2𝑛 − 11

) sin(2𝑛 − 3) 𝛼+. … (−1)𝑛−1 (2𝑛 − 1𝑛 − 1

) sin 𝛼}

𝑠𝑖𝑛2𝑛−1 𝛼=1

22𝑛(

2𝑛𝑛

) +(−1)𝑛

22𝑛−1{cos 2𝑛𝛼 − (

2𝑛1

) cos(2𝑛 − 2) 𝛼+. … (−1)𝑛−1 (2𝑛

𝑛 − 1) cos 2𝛼}

𝑐𝑜𝑠2𝑛−1 𝛼=1

22𝑛−2{cos(2𝑛 − 1)𝛼 + (

2𝑛 − 11

) cos(2𝑛 − 3) 𝛼+. … + (2𝑛 − 1𝑛 − 1

) cos 𝛼}

𝑐𝑜𝑠2𝑛 𝛼=1

22𝑛(

2𝑛𝑛

) +1

22𝑛−1{cos 2𝑛𝛼 + (

2𝑛1

) cos(2𝑛 − 2) 𝛼+. … + (2𝑛

𝑛 − 1) cos 2𝛼}

Dimana bentuk (𝑛𝑘

) merupakan simbol kombinasi dengan

rumus 𝑐𝑘𝑛 =

𝑛!

𝑘!(𝑛−𝑘)!.

21

RUMUS PENJUMLAHAN DAN PERKALIAN

6.1 Rumus Penjumlahan

sin α + sin β = 2 sin 1

2 (α + β) cos

1

2 (α − β)

sin α − sin β = 2 cos 1

2 (α + β) sin

1

2 (α − β)

cos α + cos β = 2 cos 1

2 (α + β) cos

1

2 (α − β)

cos α − cos β = 2 sin 1

2 (α + β) sin

1

2 (α − β)

6.2 Rumus Perkalian5

sin α cos β = 1

2 {sin(𝛼 + 𝛽) + sin (𝛼 − 𝛽)}

sin α sin β = 1

2 {cos(𝛼 + 𝛽) − 𝑐𝑜𝑠 (𝛼 − 𝛽)}

cos α sin β = 1

2 {sin(𝛼 + 𝛽) − 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 − 𝛽)}

cos α cos β = 1

2 {cos(𝛼 + 𝛽) + 𝑐𝑜𝑠 (𝛼 − 𝛽)}

5 Ron Larson and David C. Falvo, Algebra and Trigonometry, 8th ed

(Belmont, CA: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2011). h. 569.

22

ATURAN SEGITIGA DALAM TRIGONOMETRI

7.1 Aturan Sinus

𝒂

𝒔𝒊𝒏 𝜶 =

𝒃

𝒔𝒊𝒏 𝜷 =

𝒄

𝒔𝒊𝒏 𝜸 = 2R

7.2 Aturan Cosinus6

a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos α

b2 = a2 + c2 – 2 . a . c . cos β

c2 = a2 + b2 – 2 . a . b . cos γ

cos α = 𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2

2.𝑏.𝑐

cos β = 𝑎2+ 𝑐2− 𝑏2

2.𝑎.𝑐

cos γ = 𝑎2+ 𝑏2− 𝑐2

2.𝑎.𝑏

7.3 Luas Segitiga

Menentukan luas jika diketahui besar sudut dan panjang dua

sisi yang mengapit sudut tersebut.

Luas ABC = 1

2 . b . c . sin α

Luas ABC = 1

2 . a . c . sin β

Luas ABC = 1

2 . a . b . sin γ

6 Sinaga, bornok, dkk. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Jakarta :

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2017). h. 183.

23

Menentukan luas jika diketahui panjang ketiga sisi nya.

Luas ABC = ඥ𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)

dimana s = 𝑎+𝑏+𝑐

2

Menentukan luas segitiga, jika diketahui besar dua sudut dan

panjang sisi yang terletak diantara kedua sudut.

Luas ABC = 1

2𝑎2 sin 𝛽 . sin 𝛾

sin 𝛼

Luas ABC = 1

2𝑏2 sin 𝛼 . sin 𝛾

sin 𝛽

Luas ABC = 1

2𝑐2 sin 𝛼 .sin 𝛽

sin 𝛾

7.4 Rumus Gauss

sin 1

2 α = √

(𝑠−𝑏)(𝑠−𝑐)

𝑏.𝑐

sin 1

2 β = √

(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑐)

𝑎.𝑐

sin 1

2 γ = √

(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑏)

𝑎.𝑏

cos 1

2 α = √

𝑠(𝑠−𝑎)

𝑏.𝑐

cos 1

2 β = √

𝑠(𝑠−𝑏)

𝑎.𝑐

cos 1

2 γ = √

𝑠(𝑠−𝑐)

𝑎.𝑏

24

tan 1

2 α = √

(𝑠−𝑏)(𝑠−𝑐)

𝑠(𝑠−𝑎)

tan 1

2 β = √

(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑐)

𝑠(𝑠−𝑏)

tan 1

2 γ = √

(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑏)

𝑠(𝑠−𝑐)

7.5 Garis – garis Istimewa dan Lingkaran dalam Segitiga

7.5.1 Garis – garis Istimewa dalam Segitiga

a. Garis Tinggi

ta = 2R . sin β . sin γ

tb = 2R . sin α . sin γ

tc = 2R . sin α . sin β

Dari rumus panjang garis tinggi di atas, dapat diturunkan

rumus luas ABC.

L = 2R2 . sin α . sin β . sin γ

t

ta tb

tc

A B

C

25

b. Garis Bagi

Dalil Stewart

AD2 a = 𝑎1𝑏2+𝑎2𝑐2 − 𝑎1𝑎2𝑎

Dalil Garis Bagi Sudut Dalam

AD2 = bc − 𝑎1𝑎2

AD = ඥ𝑏𝑐 − 𝑎1𝑎2

Dalil Garis Bagi Sudut Luar

CB2 = 𝑐1𝑐2 - ab

CB = ඥ𝑐1𝑐2 − 𝑎𝑏

c. Garis Berat

CD = 1

2 ඥ𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏 . cos 𝛾

AE = 1

2 ξ𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑏𝑐 . cos 𝛼

BF = 1

2 ඥ𝑎2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑐 . cos 𝛽

C

A B

D

E

1 2

𝛼2

𝛼1

𝑎2

𝑎1

𝑏

c

A B

C

D

E

F

c 𝑐1

a b

𝑐2

A B

C

D

E F

1

2 c

1

2 c

1

2 b

1

2 b

1

2 a

1

2 a

G

26

7.5.2 Hubungan Lingkaran dan Segitiga

a. Lingkaran – Dalam

Jari jari lingkaran – dalam (Rd) ABC yang panjang sisinya

a, b dan c ditentukan oleh :

Rd = √(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑏)(𝑠−𝑐)

𝑠


2

b. Lingkaran – Luar

Jari – jari lingkaran luar (Rl) ABC yang panjang sisinya

a, b dan c ditentukan oleh :

Rl = 𝑎𝑏𝑐

4ඥ(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑏)(𝑠−𝑐)


2

sedangkan panjang jari – jari lingkaran – luar (Rl) ABC

dimana hanya diketahui satu sisi dan sudut yang berbeda

dihadapanya adalah :

Rl = 𝑎

2 sin 𝐴

Rl = 𝑏

2 sin 𝐵

Rl = 𝑐

2 sin 𝐶

27

c. Lingkaran – Singgung

Rs = √𝑠(𝑠−𝑏)(𝑠−𝑐)

(𝑠−𝑎)

Rs = √𝑠(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑐)

(𝑠−𝑏)

Rs = √𝑠(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑏)

(𝑠−𝑐)


2

28

PERSAMAAN TRIGONOMETRI

8.1 Persamaan untuk Sinus

Jika sin x = sin α (α diketahui), maka :

𝑥1 = α + k.360o

𝑥2 = (180 – α) + k.360o

Dengan k bilangan bulat

8.2 Persamaan untuk Cosinus

Jika cos x = cos α (α diketahui), maka :

𝑥1 = α + k.360o

𝑥2 = (360 – α) + k.360o

Atau,

Jika cos x = cos α ( α diketahui), maka :

𝑥1 𝑑𝑎𝑛 2 = ± α ± k.360o

Dengan k bilangan bulat.

29

8.3 Persamaan untuk Tangen

Jika tan x = tan α (α diketahui), maka :

x = α ± k.180o

Dengan k bilangan bulat.

8.4 Persamaan Bentuk a cos x + b sin x = c

cos (x – α) = 𝑐

𝑘

dengan k = ξ𝑎2 + 𝑏2 dan tan α = 𝑏

𝑎

(α disesuaikan kwadran nya dengan tanda a dan b)

30

Kumpulan Soal dan

Pembahasan

31

Aplikasi Kehidupan Nyata

1. Seekor ikan yang berada di dalam air dengan kedalaman 3 m

dari permukaan laut dan seekor burung yang sedang terbang

dengan sudut 30o. Jika jarak antara ikan dengan burung adalah

18 m. Tentukan jarak burung dari permukaan laut!

Pembahasan :

Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam

bentuk gambar.

Untuk mencari jarak burung dari permukaan laut dapat kita

gunakan rumus sinus, dimana :

sin 𝑥2 = 𝑦2

𝑟2

sin 30𝑜 = 1

2 =

𝑦2

𝑟2

3 Meter

30o

32

Didapatkan 𝑦2 = 1 dan 𝑟2 = 2. Karena jarak r sebenarnya belum

diketahui maka terlebih dahulu kita cari jarak sisi miring ikan

terhadap permukaan laut menggunakan rumus yang sama.

sin 𝑥1 = 𝑦1

𝑟1

sin 30𝑜 = 1

2 =

𝑦1

𝑟1

Didapatkan 𝑦1 = 1 dan 𝑟1 = 2. Dikarenakan jarak 𝑦1 sebenarnya

3 meter jadi perbandingannya adalah 1 : 3 sehingga :

𝑦1

𝑟1 =

1

2 .

3

3

𝑦1

𝑟1 =

3

6

𝑟2 = r - 𝑟1

= 18 – 6

= 12 meter

Karena jarak 𝑦2 sebenarnya 12 meter jadi perbandingannya

adalah 1 : 6 sehingga:

𝑦2

𝑟2 =

1

2 .

6

6

= 6

12

Jadi jarak antara burung dengan permukaan laut adalah 6 meter.

33

2. Penebang liar ingin mengukur tinggi pohon yang berjarak 6ξ3

m dari tempat dia berdiri. Antara mata dengan puncak pohon

membentuk sudut elevasi sebesar 30o. Jika tinggi penebang liar

tersebut dihitung sampai mata adalah 1,5 m maka tentukan

tinggi pohon tersebut!

Pembahasan :


bentuk gambar.

Misalkan t adalah jarak dari mata penebang liar sampai puncak

pohon.

30𝑜

1,5

Meter

6ඥ3 Meter

t

34

Dengan menggunakan rumus tangen didapat :

tan = 𝑦

𝑥 =

𝑡

𝑥

tan 30o = 𝑡

6ξ3

1

3ඥ3 =

𝑡

6ξ3

t = 1

3ඥ3 . 6ඥ3

= 2 . 3

= 6 Meter

Jadi tinggi pohon didapat dari t ditambah tinggi penebang liar

tersebut dihitung sampai mata,

Tinggi pohon = 6 + 1,5

= 7,5 Meter

Jadi tinggi pohon tersebut adalah 7,5 meter.

35

3. Murid sekolah dasar dengan tinggi 120 cm berjalan mendekati

tiang mendera. Diketahui jarak murid tersebut terhadap tiang

bendera adalah 10 m dan terbentuk sudut elevasi dari ujung

kepalanya ke puncak tiang bendera sebesar 60o. Tentukan tinggi

tiang bendera tersebut!

Pembahasan :

Langkah pertama ilustrasikan pernyataan

di atas ke dalam bentuk gambar.

Dengan menggunakan rumus tangen diperoleh :

tan 60o = 𝑦

𝑥

y = tan 60o . x

= ξ3 . 10

= 10 ξ3

Tinggi tiang adalah y ditambah dengan tinggi siswa sehingga :

Tinggi tiang = 10 ξ3 + 1,2

= 10 ξ3 + 1,2 meter

Jadi tinggi tiang bendera tersebut adalah 10 ξ3 + 1,2 meter.

60o

1,2 Meter

10 Meter

36

4. Sebuah pesawat akan mendarat dari ketinggian 3000 m dari

menara pengawas. Dalam 30 detik sudut elevasi pesawat

berubah dari 30o menjadi 45o dilihat dari puncak menara

pengawas. Carilah kecepatan pesawat tersebut dalam satuan

m/s.

Pembahasan :



Pada ABC, panjang AB dapat ditentukan menggunakan

rumus tangen,

tan 30o = 𝑦

𝑥 =

𝐵𝐶

𝐴𝐵

AB = 𝐵𝐶

tan 30𝑜

= 30001

3 ξ3

= 3000 . 3

ξ3 .

ξ3

ξ3

= 3000 . 3 ξ3

3

= 3000 ξ3 meter

30o

A B

C

D

E

37

Pada ADE, panjang AD juga dapat ditentukan menggunakan

rumus tangen,

tan 45o = 𝑦

𝑥 =

𝐷𝐸

𝐴𝐷

AD = 𝐷𝐸

tan 45𝑜

= 3000

1

= 3000 meter

Dengan demikian,

BD = AB – AD

= 3000 ξ3 – 3000

= 3000 (ξ3 – 1) meter

Kecepatan pesawat tersebut adalah :

v = 𝐵𝐷

𝑡 =

3000 (ξ3 – 1)

30

= 100 (ξ3 – 1) m/s

Jadi kecepatan pesawat tersebut adalah 100 (ξ3 – 1) m/s.

38

5. Dua buah kapal A dan B meninggalkan pelabuhan C pada waktu

yang bersamaan. Keduanya berlayar pada jalus yang lurus dan

membentuk sudut 60o satu sama lain. Jika kecepatan kapal A 25

km/jam dan kecepatan kapal B 15 km/jam. Tentukan jarak

antara kapal A dan B setelah berlayar selama 1 jam!

Pembahasan :


bentuk gambar.

Dari gambar di atas dapat kita lihat bahwa antara kapal A dan

kapal B atau panjang AB dapat menggunakan rumus panjang

garis berat sebagai berikut:

C B

A

15 km/jam 60o

39

AB = 1

2 ξ𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 + 2 . 𝐴𝐶 . 𝐵𝐶 . cos 𝐶

= 1

2 ξ252 + 152 + 2 . 25 . 15 . cos 60𝑜

= 1

2 √625 + 225 + 2 . 375 .

1

2

= 1

2 ξ625 + 225 + 375

= 1

2 ξ1225

= 1

2 35

= 35

2

= 17,5 km

Jadi jarak kedua kapal setelah berlayar selama 1 jam adalah 17,5 km.

40

6. Seorang pendaki berada di puncak sebuah gunung, terlihat

ujung – ujung landasan pacu sebuah bandara yang berbentuk

horizontal dengan sudut depresi 45o dan 30o. Jarak ujung

landasan yang terdekat terhadap lereng gunung adalah 1200 m.

Tentukan panjang landasan pacu tersebut!

Pembahasan :


bentuk gambar.

Selanjutnya pada ADC, panjang AC dapat ditentukan dengan

menggunakan rumus tangen, yaitu :

tan 60o = 𝐴𝐶

𝐴𝐷

AC = AD . tan 60o

= 1200 . ξ3

= 1200 ξ3 meter

A B

C

D

41

Pada ABC, panjang AB dapat ditentukan dengan rumus

tangen, yaitu :

tan 30o = 𝐴𝐶

𝐴𝐵

AB = 𝐴𝐶

tan 30𝑜

= 1200 ξ3

1

3 ξ3

= 1200 ξ3 . 3

ξ3

= 3600 meter

Dengan demikian panjang landasan pacu,

DB = AB – AD

= 3600 – 1200

= 2400 meter

Jadi panjang landasan pacu tersebut adalah 2400 m atau 2,4 km.

42

7. Seorang anak bersepeda dari tempat A sejauh 24 m dengan arah

15o, kemudian berbelok sejauh 16 m ketempat B dengan arah

135o. Tentukan jarak A dan B!

Pembahasan :


bentuk gambar.

diketahui AB = 24 m, BC = 16 m dan ABC = 60o.

Dengan menggunakan aturan cosinus, diperoleh :

AC2 = AB2 + BC2 – 2 . AB . BC . cos 60o

= (24)2 + (16)2 – 2 . 24 . 16 . 1

2

= 576 + 256 – 24 . 16

= 576 + 256 – 384

= 448

AC = ξ448

= 8ξ7

Jadi, jarak A ke B adalah 8ξ7 meter.

A

15o

45o

24 m

16 m

B

C

43

8. Pedagang kaki lima yang berada pada jarak 46 meter dari kaki

sebuah monumen mengamati sebuah kejadian langka

melintasnya sebuah pesawat ufo yang berada di atas sebuah

monumen dengan sudut elevasi masing masing 45o dan 60o.

Hitunglah jarak pesawat ufo tersebut terhadap puncak

monumen!

Pembahasan :


bentuk gambar.

Selanjutnya, Pada ABC, diketahui AB = 46 m, A = 45o dan

B merupakan sudut siku – siku.

Dengan menggunakan rumus tangen, yaitu :

tan 𝐴1 = 𝐵𝐶

𝐴𝐵

BC = AB . tan A

= 46 . tan 45o

= 46 . 1

= 46 meter

A B 45o

C

D

46 meter

44

Pada ABD, diketahui AB = 46 m, A = 45 + 15 = 60 dan B

merupakan sudut siku – siku.

Dengan menggunakan rumus tangen juga, diperoleh :

tan 𝐴2 = 𝐵𝐷

𝐴𝐵

BD = AB . tan 𝐴2

= 46 . tan 60o

= 46 . ξ3

= 46ξ3 meter

Dengan demikian jarak antara puncak monumen dengan

pesawat ufo didapat:

CD = BD – BC

= 46ξ3 – 46

= 46 (ξ3 – 1) meter

Jadi jarak puncak monumen dengan pesawat ufo adalah

46 (ξ3 – 1) meter.

45

9. Pejalan kaki dengan tinggi 164 cm mengamati puncak pemancar

dengan sudut elevasi 45o. Kemudian ia melanjutkan perjalanan

nya yang kebetulan searah dengan pemancar tersebut sejauh 36

m. Kemudian pejalan kaki tersebut berhenti dan mengamati

kembali puncak pemancar tersebut dengan sudut elevasi 60o.

Tentukan tinggi menara tersebut!

Pembahasan :


bentuk gambar.

Selanjutnya, misalkan BD = x, pada ABC diketahui

AB = x + AD dan A = 45o.

Dengan menggunakan rumus tangen, diperoleh :

tan A = 𝐵𝐶

𝐴𝐵

BC = AB . tan A

= (x + AD) . tan 45o

45o 60o

36 meter A B

C

D

46

= (x + 36) . 1

= x + 36

BC = x + 36

x = BC - 36

Pada DBC, diketahui D = 60o dan DB = x.

Dengan menggunakan rumus tangen, diperoleh :

tan 60o = 𝐵𝐶

𝐷𝐵

BC = DB . tan 60o

= x . ξ3

BC = ξ3x

Dengan demikian didapat :

BC = ξ3x

= ξ3 . (BC - 36)

= ξ3BC - 36ξ3

ξ3BC - BC = 36ξ3

(ξ3 – 1) BC = 36ξ3

BC = 36ξ3

ξ3 – 1 .

ξ3+ 1

ξ3+ 1

= 36 . 3+ 36ξ3

3−1

= 108+36ξ3

2

= 54 + 18ξ3

Jadi tinggi pemancar diperoleh dari jumlah tinggi pejalan kaki

ditambah tinggi BC = 164 + 54 + 18ξ3 = 218 + 18ξ3 meter.

47

10. Pekerja konstruksi berada di atas sebuah gedung pada

ketinggian tertentu. Pekerja tersebut mengamati sebuah

container dengan sudut depresi α. Ketika nilai tan α = 1, terlihat

bahwa container bergerak mendekat kedasar gedung. 12 menit

kemudian, sudut depresi dari container berubah menjadi β,

dengan nilai tan β = 4. Jika container bergerak dengan kecepatan

tetap, tentukan waktu container sampai kedasar gedung!

Pembahasan :


bentuk gambar.

Selanjutnya misalkan BC = x.

Jarak container terhadap gedung saat sudut depresinya α adalah

AB. Karena tan α = 1, sehingga berlaku :

tan α = 𝐵𝐶

𝐴𝐵

1 = 𝑥

𝐴𝐵

AB = x

α β

A B

C

D

48

Jarak container terhadap gedung saat depresinya β adalah BD.

Karena tan β = 4, maka berlaku :

tan β = 𝐵𝐶

𝐵𝐷

4 = 𝑥

𝐵𝐷

BD = 1

4 x

Dengan demikian, setelah 12 menit container telah bergerak

sepanjang AD, yaitu :

AD = AB – BD

= x - 1

4 x

= 3

4 x

Kecepatan container saat berjalan 12 menit itu yaitu :

v = 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘

𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢

=

3

4 𝑥

12

= 1

16 𝑥

Sehingga waktu yang diperlukan oleh container untuk

menempuh sisa jarak terhadap menara, yaitu :

waktu = 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘

𝑣

=

1

4 𝑥

1

16 𝑥

= 4 menit

Jadi waktu yang ditempuh container untuk sampai ke dasar

gedung adalah 4 menit.

49

11. Di atas sebuah mercusuar dengan tinggi 24ξ3 m terdapat

seseorang sedang memantau sebuah objek yang berada di

bawahnya dengan jarak sejauh 72 m. Tentukan sudut depresi

yang terbentuk!

Pembahasan :


bentuk gambar.

Selanjutnya diketahui ABC sama dengan sudut αo karena

berseberangan.

Dengan menggunakan konsep tangen, diperoleh :

tan αo = 24ξ3

72

= 1

3ඥ3

tan αo = 30o

Jadi sudut depresi yang terbentuk adalah 30o.

αo

A B

C

𝛼𝑜

72 meter

24ඥ3 meter

50

12. Sebuah bus berjalan dari terminal A ke terminal B sejauh 40 km

dengan arah 25o. Dari terminal B, bus itu berjalan sejauh 50 km

menuju terminal C dengan arah 145o. Tentukan jarak antara

terminal A ke terminal C!

Pembahasan :


bentuk gambar.

Selanjutnya panjang AC dapat ditentukan dengan menggunakan

aturan cosinus.

AC2 = AB2 + BC2 – 2 . AB . BC . cos 60o

= (40)2 + (50)2 – 2 . 40 . 50 . 1

2

= 1600 + 2500 – 2000

= 2100

AC = ξ2100

=10ξ21

Jadi, jarak antara terminal A ke terminal C adalah 10ξ21 km.

40o

20o

40o

20o

A

B

C

51

13. Sebuah rel kereta menghubungkan titik timur dan titik barat

dengan jarak 8 km. Dari suatu titik tidak jauh dari rel, suatu

bangunan memiliki arah 30o ke barat dan 60o ke arah timur.

Tentukan jarak terpendek dari bangunan ke rel!

Pembahasan :


bentuk gambar.

Selanjutnya diketahui panjang AB adalah 8 km dan CD

merupakan jarak terpendek antara bangunan dengan rel.

Menggunakan rumus tangen pada ADC, diperoleh :

tan 30o = 𝐴𝐷

𝐶𝐷

A B

C

D

Utara

Selatan

Timur Barat

8 km

30o

60o

52

Menggunakan rumus yang sama pada BCD, diperoleh:

tan 60o = 𝐵𝐷

𝐶𝐷

Selanjutnya, menjumlahkan kedua persamaan di atas, diperoleh:

tan 30o + tan 60o = 𝐴𝐷

𝐶𝐷 +

𝐵𝐷

𝐶𝐷

= 𝐴𝐷+𝐵𝐷

𝐶𝐷

CD = 𝐴𝐷+𝐵𝐷

tan 30𝑜 +tan 60𝑜

= 𝐴𝐵

1

3 ξ3 +ξ3

= 8

4

3 ξ3

= 8 . 3

4ξ3 .

ξ3

ξ3

= 2 ξ3 km

Jadi jarak terdekat antara bangunan dengan rel adalah 2 ξ3 km.

53

14. Di sebuah bukit barisan terdapat kelompok A dan B yang sedang

berkemah dengan jarak keduanya adalah 4 km. Kelompok A

memberitahukan kelompok B melalui ponsel bahwa mereka

sedang berdiri menghadap perkemahan kelompok B dan

menghidupkan laser yang ditembakan ke arah awan yang berada

diantara keduanya dengan sudut elevasi 45o sehingga mengenai

awan. Kelompok B mengamati lacer menggunakan klinometer

sehingga didapat sudut 30o. Tentukan tinggi awan tersebut!

Pembahasan :


bentuk gambar.

A

45o

B

C

4 km

75o

D

54

Selanjutnya tinjau ADC, misalkan CD = t.

Menggunakan konsep tangen, diperoleh :

tan A = 𝐶𝐷

𝐴𝐷

tan 45o = 𝐶𝐷

𝐴𝐷

1 = 𝐶𝐷

𝐴𝐷

AD = CD

AD = t

Kemudian tinjau BDC.

Menggunakan rumus yang sama, diperoleh :

tan 75o = 𝑡

4−𝑡

tan (45o + 30) = 𝑡

4−𝑡

tan 45𝑜+tan 30𝑜

1− tan 45𝑜 . tan 30𝑜 = 𝑡

4−𝑡

1+

1

3 ξ3

1− 1 . 1

3 ξ3

= 𝑡

4−𝑡

3 + ξ3

3 − ξ3 =

𝑡

4−𝑡

(3 + ξ3)(4 – t) = (3 − ξ3) t

12 – 3t + 4ξ3 – ξ3t = 3t – ξ3t

6t = 12 + 4ξ3

t = 4(3+ ξ3)

6

t = 2

3(3 + ξ3)

Jadi tinggi awan ersebut adalah 2

3(3 + ξ3) km.

55

15. Arsitek sebuah bangunan ingin mengukur tinggi dari bangunan

tersebut menggunakan klinometer. Arsitektur tersebut berdiri

dengan jarak tertentu lalu melihat kepuncak gedung dengan

menggunakan klinometer didapat sudut 45o. Kemudian dia

mencari sudut yang lain dengan cara mendekat ke arah gedung

sejauh 24 m sehingga didapat sudut pada klinometer sebesar

60o. Tentukan tinggi gedung tersebut!

Pembahasan :


bentuk gambar.

Selanjutnya misalkan panjang BC = y dan AB = x.

Maka pada ABC berlaku :

tan 45o = 𝐵𝐶

𝐴𝐵

1 = 𝑦

𝑥

x = y

A B

C

D 24 m 45o 60o

56

Pada BDC, berlaku :

tan 60o = 𝐵𝐶

𝐵𝐷

ξ3 = 𝑦

𝑥−24

ξ3 = 𝑥

𝑥−24

ξ3 (𝑥 − 24) = x

ξ3x − 24ξ3 = x

𝑥(ξ3 – 1) = 24ξ3

x = 24ξ3

ξ3 – 1 .

ξ3+ 1

ξ3+ 1

= 24 .3+ 24ξ3

3 – 1

= 24 .3+ 24ξ3

2

= 36 +12ξ3

= 12(ξ3 + 3) meter

Jadi didapatkan tinggi gedung tersebut adalah 12(ξ3 + 3) meter.

57

16. Disebuah lapangan terdapat perlombaan layang – layang. Salah

seorang peserta dengan tinggi 1,8 m sedang menaikan layang –

layang miliknya dengan benang sepanjang 300 m. Sudut yang

terbentuk antara benang dengan garis horizontal adalah 45o.

Tentukan ketinggian layang – layang tersebut!

Pembahasan :



Selanjutnya, misalkan tinggi layang – layang adalah T, dan

tinggi orang adalah to, sehingga T = t + to. Maka :

sin 45o = 𝑡

300

t = 300 . sin 45

= 300 . 1

2 ξ2

= 150 ξ2

t = t + to

= (150 ξ2 + 1,8) m

Jadi tinggi layang – layang tersebut adalah (150 ξ2 + 1,8) m.

45o

1,8 m

58

17. Tukang bangunan ingin menaiki atap rumah menggunakan

tangga yang panjangnya 14 m dan disandarkan pada tembok

rumah tersebut. Jika tangga tersebut membentuk sudut 30o

dengan tanah. Tentukan tinggi tembok tersebut!

Pembahasan :


bentuk gambar.

Misalkan tinggi tembok adalah t, AC = 14 m dan A = 30o.

Karena yang diketahui besar sudut A dan sisi mirik maka

perbandingan yang berlaku adalah perbandingan sinus.

sin A = 𝐵𝐶

14

sin 30o = 𝑡

14

t = 14 . sin 30o

= 14 . 1

2

= 7 m

Jadi tinggi tembok rumah adalah 7 meter.

30o

A B

C

59

18. Seorang pemain skateboard sedang menjalani latihan

rutinitasnya. Pada latihan kali ini ia latihan pada lintasan yang

mempunya ketinggian 4 m dengan sudut kemiringan 30o.

Tentukan panjang lintasan dan panjang sisi miring!

Pembahasan :


bentuk gambar.

Selanjutnya diketahui ABC dimana b = 4 m dan B = 30o.

Tinggi lintasan yang diketahui maka ada beberapa perbandingan

yang berlaku yaitu perbandingan sinus dan tangen.

sin 30o = 𝑏

𝑐

c = 𝑏

sin 30𝑜

= 41

2

c = 8 meter

30o

60

Untuk mencari panjang lintasan atau sisi a bisa menggunakan

beberapa cara, diantaranya menggunakan perbandingan tangen.

tan 30o = 𝑏

𝑎

a = 𝑏

tan 30o

= 4

1

3 ξ3

a = 4 . 3

ξ3 .

ξ3

ξ3

= 4 . 3

3 . ξ3

a = 4 ξ3 meter

Dikarenakan panjang sisi miring sudah diketahui sehingga

panjang sisi a juga dapat dicari menggunakan rumus pytagoras,

sehingga :

a = ξ82 − 42

= ξ64 − 16

= ξ48

a = 4 ξ3 meter

Jadi panjang lintasan skateboard dan panjang sisi miringnya

berturut – turut adalah 4 ξ3 meter dan 8 meter.

61

19. Perhatikan gambar di bawah ini!

Terlihat seorang anak terjun dari ketinggian tertentu namun

tidak sampai menyentuh air sungai yang sedang mengalir.

Tentukan berapa jauh anak tersebut terjun dan berapa ketinggian

dari air sungai ke ujung tali.

Pembahasan :

Misalkan dibuat sebuah ABC dimana A = 30o dan O

merupakan titik penghubung pada AB. Sehingga panjang dari

titik A ke B dapat dicari menggunakan perbandingan tangen.

Sehingga :

2 m

4 m

62

tan A = 𝐵𝐶

𝐴𝐵

tan 30o = 4

𝐴𝑂+2

1

3ξ3 =

4

𝐴𝑂+2

AO + 2 = 4

1

3ξ3

AO + 2 = 4 . 3

ξ3 .

ξ3

ξ3

AO + 2 = 4 ξ3 (jarak antara air sungai dengan ujung tali)

AO = 4ξ3 – 2

= 2(2ξ3 – 1) meter

Jadi jarak anak tersebut terjun dan jarak dari air sungai ke ujung

tali berturut – turut adalah 2(2ξ3 – 1) meter dan 4 ξ3 meter.

63

20. Disebuah halaman sekolah terdapat dua orang siswa nakal yang

sedang dihukum untuk berdiri dan memandani puncak tiang

bendera. Kebetulan kedua siswa tersebut memiliki tinggi yang

sama yaitu 160 m. Siswa pertama berada tepat 6 meter didepan

siswa kedua. Jika sudut elevasi keduanya berturut – turut adalah

45o dan 60o. Tentukan tinggi tiang bendera tersebut!

Pembahasan :


bentuk gambar.

Selanjutnya diketahui 2 sudut elevasi berturut – turut adalah 45o

dan 60o, tinggi kedua siswa adalah 160 m dan jarak antara murid

pertama dan kedua yang merupakan sebuah sisi samping sudut

elevasi, didapatkan perbandingan yang dapat digunakan yaitu

perbandingan tangen.

60o 45o

160 cm

6 m

A

C

B D

64

pada ABC didapat :

tan 45o = 𝐴𝐶

𝐴𝐵

1 = 𝐴𝐶

𝐴𝐷 +6

𝐴𝐷 + 6 = AC

𝐴𝐷 = AC – 6

Pada ACD didapat :

tan 60o = 𝐴𝐶

𝐴𝐷

tan 60o = 𝐴𝐶

𝐴𝐶−9

AC = (𝐴𝐶 − 6) . tan 60o

= (𝐴𝐶 − 6) . ξ3

= ξ3AC – 6ξ3

ξ3AC – AC = 6ξ3

AC(ξ3 – 1) = 6ξ3

AC = 6ξ3

ξ3 – 1 .

ξ3+ 1

ξ3+ 1

= 6 .3 + 6ξ3

3−1

AC = 9 + 3ξ3

Tiang bendera = AC + tinggi siswa

= 9 + 3ξ3 + 1,6

= 10,6 + 3ξ3 meter

Jadi tinggi tiang bendera tersebut adalah 10,6 + 3ξ3 meter.

65

21. Dua buah pemancar yang berjarak 20 km sedang memancarkan

gelombangnya membentuk sudut elevasi berturut – turut 30o dan

45o. Disaat bersamaan yang berlalu begitu cepat sebuah pesawat

melintas sehingga kedua gelombang tersebut tepat mengenai

pesawat sehingga membetuk sebuah segitiga. Tentukan tinggi

pesawat tersebut!

Pembahasan :


bentuk gambar.

Selanjutnya dikarenakan jumlah sudut dalah = 180o sehingga

C = 180o – (30 + 45)o

= 180o – 75o

C = 105o

30o 45o

20 km

h a

A B

C

D

66

Untuk mencari nilai C = 105o gunakan rumus jumlah sinus,

sin (45 + 60)o = sin 45o . cos 60o + cos 45o . sin 60o

= 1

2ξ2 .

1

2 +

1

2ξ2 .

1

2ξ3

= 1

4ξ2 +

1

4ξ6

= 1

4(ξ2 + ξ6)

Gunakan aturan sinus dalam segitiga, sehingga :

𝑎

sin 𝐴 =

𝑐

sin 𝐶

𝑎

sin 45𝑜 = 20

sin 105𝑜

𝑎1

2ξ2

= 20

1

4(ξ6 + ξ2)

a = 20 . 4

ξ6 + ξ2 .

ξ6 − ξ2

ξ6 − ξ2 .

1

2ξ2

= 400 . ξ6 − ξ2

6−2

= 100 (ξ6 − ξ2)

Sehingga untuk mencari tinggi pesawat berlaku rumus

perbandingan sinus.

sin B = 𝐶𝐷

𝐵𝐶

sin 30o = ℎ

𝑎

h = a . sin 30o

= 100 (ξ6 − ξ2) . 1

2

= 50 (ξ6 − ξ2)

Jadi tinggi pesawat tersebut adalah 50 (ξ6 − ξ2) km.

67

22. Disebuah perkampungan tradisi anak – anak apabila terdengar

suara pesawat mereka langsung keluar rumah dan melihat

kearah pesawat tersebut. Diketahui tinggi pesawat tersebut 140

km shingga membentuk sudut elevasi 30o. Tentukan jarak anak

terhadap pesawat!

Pembahasan :


bentuk gambar.

Selanjutnya dari pernyataan dan gambar di atas sehingga jarak

anak terhadap pesawat dapan dicari menggunakan perbandingan

sinus, sehingga :

sin 30o = 𝑥

𝑟

r = x . sin 30o

= 140 . 1

2

= 70 km

Jadi jarak anak terhadap pesawat adalah 70 km.

30o

140 km

68

23. Seorang pemuda joging di sebuah komplek perumahan dengan

titik awal adalah rumahnya. Pemuda tersebut memulai joging

kearah barat dengan sudut elevasi 30o lalu dilanjutkan kearah

tenggara dengan sudut elevasi 45o dan selanjutnya pemuda

tersebut kembali ke rumah nya dimana jarak terhadap rumahnya

adalah 200 m. Tentukan seberapa jauh pemuda tersebut joging!

Pembahasan :



Selanjutnya dari gambar di atas diketahui A = 30o,

B = C = 45o dan jarak AC = b = 200 m.

A

B

C

200 m

30o

45o

69

Dikarenakan yang diketahui adalah satu sisi dan dua sudut

sehingga panjang yang lainya dapat dicari menggunakan rumus

Aturan Sinus sebagai berikut :

𝑎

sin 𝐴 =

𝑏

sin 𝐵

Dikarenakan jumlah sudut dalam segitiga adalah 180o sehingga:

B = 180o – (30 + 45)o

= 180o – 75o

= 105o

sin 105o dapat dicari menggunakan rumus jumlah sehingga :

sin (45 + 60)o = sin 45o . cos 60o + cos 45o . sin 60o

= 1

2ξ2 .

1

2 +

1

2ξ2 .

1

2ξ3

= 1

4ξ2 +

1

4ξ6

= 1

4(ξ2 + ξ6)

Jadi,

𝑎

sin 𝐴 =

𝑏

sin 𝐵

𝑎

sin 30𝑜 = 200

sin 105𝑜

a = 200

sin 105𝑜 . sin 30𝑜

= 200

1

4(ξ6 + ξ2)

. 1

2

= 200 . 1

2 .

4

ξ6 + ξ2 .

ξ6 − ξ2

ξ6 − ξ2

= 400 . ξ6 – ξ2

6 – 2

= 100 (ξ6 − ξ2) m

70

𝑏

sin 𝐵 =

𝑐

sin 𝐶

200

sin 105𝑜 = 𝑐

sin 45𝑜

2001

4(ξ6 + ξ2)

= 𝑐

1

2ξ2

c = 200

1

4(ξ6 + ξ2)

. 1

2ξ2

= 200 . 1

2ξ2 .

4

ξ6 + ξ2 .

ξ6 − ξ2

ξ6 − ξ2

= 400ξ2 . ξ6 – ξ2

6 – 2

= 100ξ2 . (ξ6 – ξ2)

= 100 . (ξ12 – 2)

= 100 . (2ξ3 – 2)

= 200(ξ3 – 1) meter

Jarak yang ditempuh sama dengan keliling segitiga.

Keliling = a + b + c

= 100 (ξ6 − ξ2) + 200 + 200(ξ3 – 1)

= 200 (1

2ξ6 + ξ3 -

1

2ξ2 - 1) meter

Jadi panjang lintasan joging pemuda tersebut adalah

200 (1

2ξ6 + ξ3 -

1

2ξ2 - 1) meter.

71

24. Dua buah sungai a dan b berpotongan di kelurahan C. Dinas PU

perairan kota berencana akan menghubungkan sungai yang

berada dikeluraha A dan B dengan memotong kedua sungai

yang ada dan membangun sungai c. Jika diketahui jarak sungai

antara kelurahan A dan C adalah 5 km. Sudut yang dibentuk

oleh sunga a dan b adalah 60o dan sudut yang dibentuk sungai

a dan c adalah 30o. Tentukan jarak sungai antara kelurahan A

dengan kelurahan B!

Pembahasan :


bentuk gambar.

B

A

C

60o

72

Selanjutnya dari gambar di atas dapat diketahui bahwa terdapat

dua sudut dan satu sisi yang berhadapan dengan sudut sehingga

untuk mencari panjang sungai c berlaku Aturan Sinus sebagai

berikut :

𝑏

sin 𝐵 =

𝑐

sin 𝐶

5

sin 30𝑜 = 𝑐

sin 60𝑜

𝑐 = 5

sin 30𝑜 . sin 60𝑜

= 51

2

. 1

2 ξ3

= 5ξ3 km

Jadi panjang sungai c adalah 5ξ3 km.

73

25. Perhatikan gambar di bawah ini!

Tentukan tinggi pohon tersebut!

Pembahasan :

Terlebih dahulu cari panjang AB pada ABD menggunakan

perbandingan cosinus.

cos 𝐴1 = 𝐴𝐵

𝐴1𝐷

AB = 𝐴1𝐷 . cos 𝐴1

= 10 . cos 30o

= 10 . 1

2 ξ3

= 5ξ3

A = 𝐴1+ 𝐴2

= 30o + 30o

= 60o

A 30o

C

B

D

74

Untuk mencari panjang BC perbandingan yang memenuhi

adalah perbandingan tangen. Sehingga :

tan A = 𝐵𝐶

𝐴𝐵

BC = AB . tan 60o

= 5ξ3 . ξ3

= 15

Tinggi pohon didapat dari BC dikurang BD. Dikarenakan BD

belum diketahui sehingga untuk mencari panjang BD berlaku

perbandingan sinus.

sin 𝐴1 = 𝐵𝐷

𝐴𝐷

BD = AD . sin 𝐴1

= 10 . sin 30o

= 10 . 1

2

= 5

Sehingga didapat tinggi pohon tersebut adalah :

Tpohon = BC – BD

= 15 – 5

= 10 m

Jadi tinggi pohon tersebut adalah 10 meter.

75

26. Tentukan jarak kedua layang – layang berikut!

Pembahasan :

Dari gambar di atas diketahui satu sudut yang diapit oleh 2 sisi

sehingga rumus yang berlaku adalah Aturan Cosinus.

Misalkan dibuat sebuah ABC dimana A = 60o, AB = 100 m

dan AC = 200 m. Sehingga :

BC2 = AC2 + AB2 – 2 . AC . AB . cos A

= 2002 + 1002 – 2 . 200 . 100 . cos 60o

= 40000 + 10000 – 40000 . 1

2

= 50000 – 20000

BC2 = 30000

BC = ξ30000

= 100ξ3 m

Jadi jarak kedua layang – layang tersebut adalah 100ξ3 m.

76

27. Tentukan tinggi tiang yang berada di atas gedung berikut!

Pembahasan :

Pertama – tama cari sisi miring segitiga kecil menggunakan

perbandingan cosinus, sehingga :

cos 60o = 𝑥

𝑟

r = 𝑥

cos 60𝑜

= 21

2

= 4 m

Diketahui ACD, A = 15o, D = 180o – 30o = 150o, C =

15o dan panjang AD = 4 km sehingga untuk mencari tinggi tiang

atau panjang CD berlaku aturan sinus, sebagai berikut :

𝑎

sin 𝐴 =

𝑐

sin 𝐶

𝑎

sin 15𝑜 = 4

sin 15𝑜

a = 4 . sin 15𝑜

sin 15𝑜

a = 4 m

Jadi tinggi tiang tersebut adalah 4 meter.

60o

2 m A

C

D

B

77

Fungsi Trogonometri

28. Tentukan nilai perbandingan sinus dan cosinus dari sudut α dan

β pada segitiga di bawah ini!

Pembahasan :

Panjang sisi miring segitiga di atas dicari menggunakan rumus

pytagoras.

r = ξ𝑎2 + 𝑏2

= √(2ඥ3)2 + (4ඥ2)2

= ξ4 . 3 + 16 . 2

= ξ12 + 32

= ξ44

= 2ξ11

α

β

2ඥ3

4ඥ2

α

β

a = 2ඥ3

b = 4ඥ2

r = 2ඥ11

78

Sehingga,

sin 𝛼 = 𝑎

𝑟

= 2ξ3

2ξ11

= 2ξ3

2ξ11 .

ξ11

ξ11

= 2ξ33

2 . 11

= ξ33

11

= 1

11 ඥ33

cos 𝛼 = 𝑏

𝑟

= 4ξ2

2ξ11

= 2 . 2 ξ2

2ξ11 .

ξ11

ξ11

= 2 . 2 ξ22

2 . 11

= 2 ξ22

11

= 2

11 ඥ22

sin β = 𝑏

𝑟

= 4ξ2

2ξ11

= 2 . 2 ξ2

2ξ11 .

ξ11

ξ11

= 2 . 2 ξ22

2 . 11

= 2 ξ22

11

= 2

11 ඥ22

cos β = 𝑎

𝑟

= 2ξ3

2ξ11

= 2ξ3

2ξ11 .

ξ11

ξ11

= 2ξ33

2 . 11

= ξ33

11

= 1

11 ඥ33

Jadi perbandingan sin 𝛼 : cos 𝛼 dan sin 𝛽 : cos β berturut – turut

adalah ඥ33 : 2ඥ22 dan 2ඥ22 : ඥ33.

79

29. Buktikan identitas trigonometri dari tan x + cot x = sec x . csc x.

Pembahasan :

Ruas kiri

tan x + cot x definisi tan x dan cot x

sin 𝑥

cos 𝑥 +

cos 𝑥

sin 𝑥 penjumlahan pecahan

𝑠𝑖𝑛2𝑥+ 𝑐𝑜𝑠2𝑥

sin 𝑥 .cos 𝑥 rumus identitas

1

sin 𝑥 .cos 𝑥 definisi sec x dan csc x

sec 𝑥 . csc x

Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan maka terbukti bahwa,

tan x + cot x = sec x . csc x

30. Buktikan identitas trigonometri :

(1 – cos x) (csc x + cot x) = sin x

Pembahasan :

Ruas kiri

(1 – cos x) (csc x + cot x)

csc x + cot x – cos x . csc x – cos x . cot x

1

sin 𝑥 +

cos 𝑥

sin 𝑥 – cos x .

1

sin 𝑥 – cos x .

cos 𝑥

sin 𝑥

1+cos 𝑥−cos 𝑥− 𝑐𝑜𝑠2𝑥

sin 𝑥

80

1− 𝑐𝑜𝑠2𝑥

sin 𝑥

𝑠𝑖𝑛2𝑥

sin 𝑥

sin 𝑥

Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan maka terbukti bahwa,

(1 – cos x) (csc x + cot x) = sin x

Penjumlahan dan Selisih Dua Sudut

31. Jika α + β = 𝜋

3 dan cos α cos β =

2

3, tentukan nilai cos (α – β)!

Pembahasan :

α + β = 𝜋

3 kedua ruas sama-sama dijadikan cos

cos (α + β) = cos 𝜋

3

= 1

2

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

1

2 =

2

3 - sin α sin β

sin α sin β = 2

3 .

1

2

= 1

6

81

Sehingga didapat nilai :

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

= 2

3 +

1

6

= 5

6

Jadi nilai cos (α – β) adalah 5

6.

32. Diketahui sin α = 5

13 dan cos β =

3

5, sudut α dan β merupakan

sudut lancip. Tentukan nilai dari sin (α + β)!

Pembahasan :

Cara I

Gunakan dua buah segitiga bantu untuk menentukan nilai fungsi

trigonometri yang lain.

αo

5 13

A B

C

βo

3

5

A B

C

82

Dengan rumus pytagoras AC-2 = AB2 + BC2

AB2 = AC2 – BC2

AB = ξ𝐴𝐶2 − 𝐵𝐶2

= ξ132 − 52

= ξ169 − 25

= ξ144

= 12

BC2 = AC2 – AB2

BC = ξ𝐴𝐶2 − 𝐴𝐵2

= ξ52 − 32

= ξ25 − 9

= ξ16

= 4

Cara II

Gunakan rumus identitas 𝑠𝑖𝑛2 α + 𝑐𝑜𝑠2 α = 1 atau sin α = ±

ξ1 − 𝑐𝑜𝑠2 α atau cos α = ± ξ1 − 𝑠𝑖𝑛2 α

jika sin α = 5

13 , maka cos α = ± √1 − (

5

13)2

= + √1 − 25

169 (α sudut lancip)

= + √169

169−

25

169

83

= + √144

169

= + 12

13

Jika cos β = 3

5 , maka sin α = ± √1 − (

3

5)2

= + √1 − 9

25 (a sudut lancip)

= + √25

25−

9

25

= + √16

25

= + 4

5

sin (α + β) = sin α . cos β + cos α . sin β

= 5

13 .

3

5 +

12

13 .

4

5

= 15

65 +

48

65

= 63

65

Jadi nilai sin (α + β) adalah 63

65.

84

33. Tanpa menggunakan daftar atau kalkulator, Hitunglah tan 15o!

Pembahasan :

Bentuk tan 15o diubah terlebih dahulu kebentuk tan (45o – 30o),

kemudian gunakan rumus tan (α – β), sehingga :

tan 15o = tan (45o – 30o)

= tan 𝛼−tan 𝛽

1+tan 𝛼 .tan 𝛽

= tan 30−tan 30

1+tan 30 .tan 30

= tan 45−tan 30

1+tan 45 .tan 30

= 1 −

1

3 ξ3

1+1 . 1

3 ξ3

= 1−

1

3 ξ3

1+ 1

3 ξ3

. 1−

1

3 ξ3

1− 1

3 ξ3

= 1−

2

3 ξ3+

1

3

1− 1

3

=

4

3 −

2

3 ξ3

2

3

= 2 - ξ3

Jadi nilai tan 15o adalah 2 - ξ3.

85

Sudut Rangkap dan Sudut Pertengahan

34. Diketahui sin α = 3

5 dan α adalah sudut lancip. Hitunglah nilai

dari tan 1

2 α!

Pembahasan :

Berdasarkan rumus cos α = ± ξ1 − 𝑠𝑖𝑛2𝛼 diperoleh :

cos α = ± ξ1 − 𝑠𝑖𝑛2𝛼

= ± √1 − (3

5)

2

= ± √1 − 9

25

= ± √16

25

= ± 4

5

Karena α sudut lancip, maka cos α = 4

5

tan 1

2α =

sin 𝛼

1+cos 𝛼

=

3

5

1+4

5

=

3

59

5

= 1

3

Jadi nilai tan 1

2 α adalah

1

3.

86

35. Diketahui cos2 1

2𝜃 =

1

3 untuk

𝜋

2 < 𝜃 < 𝜋. Tentukan nilai tan 𝜃!

Pembahasan :

cos2 1

2𝜃 =

1

3

sin2 1

2𝜃 = 1 - cos2 1

2𝜃 =

2

3

Dari kedua persamaan tersebut sehingga didapat nilai sebagai

berikut :

tan2 1

2𝜃 =

𝑠𝑖𝑛2 1

2𝜃

𝑐𝑜𝑠2 1

2𝜃 =

2

31

3

= 2

tan 1

2𝜃 = ξ2

tan 𝜃 = 2 𝑡𝑎𝑛2

1

2𝜃

1 − 𝑡𝑎𝑛2 1

2𝜃

= 2ξ2

1−2

= - 2 ξ2

Dikarenakan 𝜋

2 < 𝜃 < 𝜋 berada di kwadran 2 sehingga tangen

bernilai negatif.

87

Sudut Lipat dan Pangkat

36. Diketahui sin α = 0,6 dengan 0o < α < 90o. Tentukan nilai dari

cos 4α!

Pembahasan :

Dengan menggunakan rumus cos α = ± ξ1 − 𝑠𝑖𝑛2𝛼 diperoleh,:

cos α = ± ξ1 − 𝑠𝑖𝑛2𝛼

= ± ඥ1 − 0,62

= ± ξ1 − 0,36

= ± ξ0,64

= ± 0,8

Karena α sudut lancip, maka cos α = 0,8

cos 4α = 8 𝑐𝑜𝑠4𝛼 – 8 𝑐𝑜𝑠2α + 1

= 8 . 0,84 – 8 . 0,82 + 1

= 8 . 0,4096 – 8 . 0,64 + 1

= 3,2768 – 5,12 + 1

= - 0,8432

Jadi nilai cos 4α adalah - 0,8432.

88

37. Diketahui cos α = 3

5 dengan 0o < α < 90o. Tentukan nilai sin4 α!

Pembahasan :

Dengan menggunakan rumus sin α = ± ξ1 − 𝑐𝑜𝑠2𝛼 diperoleh :

sin α = ± ξ1 − 𝑐𝑜𝑠2𝛼

= ± √1 − (3

5)

2

= ± √1 − 9

25

= ± √16

25

= ± 4

5

Karena α sudut lancip, maka yang memenuhi sin α = 4

5

sin4 α = 3

8 -

1

2 . cos 2α +

1

8 . cos 4α

Menggunakan rumus penjumlahan,

cos 2α = cos (α + α)

= cos α . cos α – sin α . sin α

= cos2𝛼 - sin2α

= (3

5)

2

- (4

5)

2

= 9

25 -

16

25

= - 7

25

89

Dengan cara yang sama didapat :

cos 4α = 8 . cos4𝛼 – 8 . cos2𝛼 + 1

= 8 . (3

5)

4

- 8 . (3

5)

2

+ 1

= 8 . 81

625 – 8 .

9

25 + 1

= 648

625 -

72

25 + 1

= 648−1800+625

625

= - 527

625

sin4 α = 3

8 -

1

2 . cos 2α +

1

8 . cos 4α

= 3

8 -

1

2 . cos 2α +

1

8 . cos 4α

= 3

8 –

1

2 . (-

7

25) +

1

8 . (-

527

625)

= 3

8 +

7

50 -

527

5000

= 3 . 625 +7 . 100 − 527

5000

= 1875 +700 − 527

5000

= 2048

5000

= 8 . 256

8 . 625

= 256

625

Jadi nilai sin4 α adalah 256

625.

90

Aturan Segitiga dalam Trigonometri

38. Diketahui ABC dengan A = 60o, B = 45o, dan sisi a = 8

cm. Tentukan kedua sisi yang lain!

Pembahasan :

Ilustasikan ke dalam bentuk gambar.

Berdasarkan aturan sinus 𝑎

sin 𝐴 =

𝑏

sin 𝐵 diperoleh,

𝑎

sin 𝐴 =

𝑏

sin 𝐵

8

sin 60 =

𝑏

sin 45

81

2ξ3

= 𝑏

1

2ξ2

b = 8

1

2ξ3

. 1

2ξ2

= 8 ξ2

ξ3 .

ξ3

ξ3

= 8 ξ6

3 cm

C = 180o – (60o + 45o)

= 75o

60o A B

C

8

45o

91

sin C = sin 75o

= sin (45 + 30)o

= sin 45o . cos 30o + cos 45o . sin 30o

= 1

2ξ2 .

1

2ξ3 +

1

2ξ2 .

1

2

= 1

4ξ6 +

1

4ξ2

= 1

4(ξ6 + ξ2)

𝑏

sin 𝐵 =

𝑐

sin 𝐶

8

sin 45 =

𝑐

sin 75

81

2ξ2

= 𝑏

1

4(ξ6 + ξ2)

c = 8

1

2ξ2

. 1

4(ξ6 + ξ2)

=

1

21

2

. 8 .

1

2 (ξ6 + ξ2)

ξ2

= 4 (ξ6 + ξ2)

ξ2 .

ξ2

ξ2

= 4 (ξ12 + ξ4)

2

= 4 (2ξ3 + 2)

2

= 4 ξ3 + 4

= 4 (ξ3 + 1) cm

Jadi nilai sisi b dan c berturut adalah 8 ξ6

3 cm dan 4 (ξ3 + 1) cm.

92

39. Dalam sebuah ABC diketahui panjang sisi a = 6 cm, sisi b =

4 cm dan C = 60o. Tentukan panjang sisi c dan kedua

sudut lainya!

Pembahasan :

Berdasarkan rumus aturan cosinus c2 = a2 + b2 – 2ab . cos C

c2 = 62 + 42 – 2 . 6 . 4 . cos 60o

= 36 + 16 – 48 . 1

2

= 52 – 24

= 28

c = ξ28

= 2ξ7 cm

Untuk mencari A digunakan rumus cos A = 𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2

2 . 𝑏 . 𝑐,

sehingga :

cos A = 𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2

2 . 𝑏 . 𝑐

= 42+ (2ξ7)2− 62

2 . 4 . 2ξ7

= 16 + 28 − 36

16 ξ7

= 8

16 ξ7

= 1

2 ξ7 .

ξ7

ξ7

= ξ7

2 . 7

B A

C

4 6

60o

93

= ξ7

14

cos A = 1

14 ξ7

A 79,1o

Jadi, panjang sisi c = 2ξ7 cm, A 79,1o dan B 180 – (60

+ 79,1)o 40,9o.

40. Diketahui luas PQR adalah 20 cm2. Jika PQ = 8 cm dan PR =

10 cm, Hitunglah besar sudut P!

Pembahasan :

Luas PQR = 1

2 . PQ . PR . sin P

20 = 1

2 . 8 . 10 . sin P

20 = 40 . sin p

sin p = 20

40

= 1

2

p = 30o

Jadi besar sudut P = 30o.

94

41. Hitunglah luas KLM, jika diketahui panjang sisi KL = 8 cm,

KM = 14 cm dan LM = 10 cm!

Pembahasan :

Keliling KLM (2s) = KL + KM + LM

= 8 cm + 14 cm + 10 cm

= 32 cm

s = 16 cm

Luas KLM = ඥ𝑠 (𝑠 − 𝐾𝐿) (𝑠 − 𝐾𝑀) (𝑠 − 𝐿𝑀)

= ඥ16 (16 − 8) (16 − 14) (16 − 10)

= ξ16 . 8 . 2 . 6

= ξ16 . 4 . 2 . 2 . 6

= 4 . 2 . 2 ξ6

= 16 ξ6 cm2

Jadi Luas KLM = 16 ξ6 cm2.

95

42. Hitunglah luas ABC, jika diketahui A = 75o dan B = 15o

sedangkan panjang sisi c = 8 cm!

Pembahasan :

Jumlah sudut dalam segitiga = 180o, sehingga :

C = 180o – (75o + 15o)

= 180o – 90o

= 90o

Dengan rumus luas ABC = 1

2 . c2 .

sin 𝐴 sin 𝐵

sin 𝐶 diperoleh,

luas ABC = 1

2 . c2 .

sin 𝐴 sin 𝐵

sin 𝐶

= 1

2 . 82 .

sin 75 sin 15

sin 90

= 1

2 . 64 .

1

2 {1 +

1

2 ξ3}

1

= 1

2 . 64 .

1

2 {1 +

1

2 ξ3}

= 16 . {1 + 1

2 ξ3}

= 8 (2 + ξ3) cm2

sin A sin B dicari menggunakan rumus perkalian.

sin A sin B = 1

2 {sin (A + B) + sin (A – B)}

= 1

2 {sin (75o + 15o) + sin (75o – 15o)}

= 1

2 {sin 90o + sin 60o}

= 1

2 {1 +

1

2 ξ3}

Jadi diperoleh luas ABC = 16 + 8 ξ3 cm2.

96

43. Diketahui ABC dengan panjang sisi AB = 8 cm, AC = 6 cm

dan BC = 4 cm. Hitunglah nilai dari sin A!

Pembahasan :

Dikeahui panjang sisi a = 4 cm, b = 6 cm dan c = 8 cm

Sedangkan keliling ABC (2s) = (4 + 6 + 8) cm

= 18 cm

s = 9 cm

Berdasarkan rumus sin 1

2 A = √

(𝑠−𝑏) (𝑠−𝑐)

𝑏 . 𝑐 , sehingga diperoleh :

sin 1

2 A = √

(𝑠−𝑏) (𝑠−𝑐)

𝑏 . 𝑐

= √(9−6) (9−8)

6 . 8

= √3 . 1

48

= √3

48

= √1

16

= 1

4

97

Dari rumus cos A = 1 – 2 sin2 1

2 A didapat,

cos A = 1 – 2 . (1

4)2

= 1 – 2 . 1

16

= 1 – 1

8

= 8

8 –

1

8

= 7

8

Sehingga dengan rumus sin A = ± ξ1 − 𝑐𝑜𝑠2𝐴 didapat nilai

sin A sebagai berikut :

sin A = ± √1 − (7

8)

2

= ± √1 − 49

64

= ± √64 − 49

64

= ± √15

64

= + 1

8 ξ15 ( karena A sudut lancip maka nilai sin A

bernilai positif)

Jadi nilai sin A yang memenuhi adalah 1

8 ξ15.

98

44. Dari soal no 43 carilah nilai dari cos B!

Pembahasan :

Berdasarkan rumus cos 1

2 B = √

𝑠 (𝑠−𝑏)

𝑎 . 𝑐 sehingga diperoleh :

cos 1

2 B = √

𝑠 (𝑠−𝑏)

𝑎 . 𝑐

= √9 (9−6)

4 . 8

= √9 . 3

4 . 8

= √27

32

Dari rumus cos B = 2 cos2 1

2 B – 1 didapat nilai:

cos B = 2 cos2 1

2 B – 1

= 2 . (√27

32)2 – 1

= 2 . 27

32 – 1

= 27

16 –

16

16

= 11

16

Karena nilai cos B positif maka sudut B lancip atau < 90o.

99

45. Diketahui ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm, AC = 4 cm

dan CAB = 60o. CD merupakan tinggi ABC. Tentukan

panjang CD!

Pembahasan :

CD adalah tinggi ABC

Luas ABC = 1

2 . alas . tinggi =

1

2 . AB . CD

Lihat aturan sinus dan cosinus

Luas ABC = 1

2 . AB . sin γ

= 1

2 . AC . sin β

= 1

2 . BC . sin α

Diketahui :

AC = 4 cm

AB = 3 cm

α = 60o

A B

C

D

4 cm

100

Maka :

1

2 . AB . CD =

1

2 . AB . AC. sin α

Luas ABC = 1

2 . AB . AC . sin α

= 1

2 . 3 . 4 . sin 60o

= 6 . 1

2 ξ3

1

2 . AB . CD = 3ξ3

CD = 3ξ3

1

2 .AB

= 3ξ31

2 .3

= 2 ξ3 cm

Jadi panjang tinggi CD adalah 2 ξ3 cm.

101

46. Diketahui ABC dengan panjang sisi masing – masing, a = 4

cm, b = 6 cm dan c = 8 cm. Tentukan panjang garis tinggi CD!

Pembahasan :

Buatlah terlebih dahulu gambar yang dimaksud

Berdasarkan rumus luas ABC

L = ඥ𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐), Dimana :

2s = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

S = 𝑎+𝑏+𝑐

2

= 4+6+8

2

= 18

2

= 9

L = ඥ9(9 − 4)(9 − 6)(9 − 8)

= ξ9 . 5 . 3 . 1

= 3 ξ15 cm2

A B

C

D

F

E

102

Selanjutnya berdasarkan rumus luas ABC (L) yang lain, yaitu

L = 1

2 alas x tinggi, maka panjang garis tinggi CD, maka :

L = 1

2 alas x tinggi

= 1

2 . AB . CD

3ξ15 = 1

2 . 8 . CD

3ξ15 = 4 . CD

CD = 3ξ15

4

Jadi panjang garis tinggi CD = 3ξ15

4 cm.

103

47. Dari soal no 46 carilah panjang garis bagi BE!

Pembahasan :

Untuk menentukan panjang garis bagi BE, tentukan terlebih

dahulu nilai cos 1

2 B.

Kemudian gunakan rumus panjang garis bagi sudut dalam

BE = 2 .𝑎.𝑐.cos

1

2 𝐵

𝑎+𝑏.

Berdasarkan rumus cos B = 𝑎2+𝑐2−𝑏2

2 .𝑎.𝑐 sehingga didapat :

cos B = 𝑎2+𝑐2−𝑏2

2 .𝑎.𝑐

= 42+82−62

2.4.8

= 16+64−36

64

= 44

64

= 11

16

Selanjutnya gunakan rumus sudut pertengahan cos 1

2 B = ±

√1+cos 𝐵

2, sehingga:

cos 1

2 B = ± √

1+11

16

2

= ± √(1 +11

16) (

1

2)

104

= ± √(11

16+

11

16) (

1

2)

= ± √(22

16) (

1

2)

= ± √11

16

= + 1

4ξ11 (B sudut lancip sehingga bernilai positif)

Panjang garis bagi sudut dalam BE adalah :

BE = 2 .𝑎.𝑐.cos

1

2 𝐵

𝑎+𝑏

= 2 .4.8.

1

4ξ11

4+6

= 2 .4.8.

1

4ξ11

4+6

= 16ξ11

10

= 8ξ11

5

Jadi panjang garis bagi BE adalah 8ξ11

5 cm.

105

48. Dari soal no 46 carilah panjang garis berat AF!

Pembahasan :

Rumus panjang garis berat AF

AF = 1

2 ξ𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑏𝑐 . cos 𝐴

Selanjutnya nilai cos A diperoleh dari rumus cos A = 𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2

2.𝑏.𝑐

, sehingga :

cos A = 𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2

2.𝑏.𝑐

= 62+ 82− 42

2.6.8

= 36+ 64− 16

96

= 84

96

= 7

8

Didapat panjang garis berat AF sebagai berikut :

AF = 1

2 √62 + 82 + 2.6.8 .

7

8

= 1

2 ξ36 + 64 + 84

= 1

2 ξ184

= 1

2 . 8 ξ23

= 4 ξ23

Jadi panjang garis berat AF = 4 ξ23 cm.

106

49. Perhatikan gambar berikut!

Dari titik C puncak menara D mempunyai sudut elevasi 30o dan

dari titik B sudut elevasinya 45o. Sedangkan jarak BC = 12 cm.

Carilah panjang CD.

Pembahasan :

Karena diketahui B pada ABD = 45o sehingga pada CBD

didapat B = 180o – 45o = 135o dan D = 180o – (135o + 30o)

= 15o.

Sehingga panjang CD dapat dicari menggunakan aturan sinus

sebagai berikut :

Terlebih dahulu cari sin 135o dan sin 15o.

sin 135o = sin (180o – 45o)

= sin 45o

= 1

2 ξ2 (+ karena di kwadran II sin bernilai positif)

A C B

D

12 cm

45o 30o

107

sin 15o = sin (45o – 30o)

= sin 45o.cos 30o + cos 45o.sin 30o

= 1

2 ξ2 .

1

2 ξ3 +

1

2 ξ2 .

1

2

= 1

4 ξ6 +

1

4 ξ2

= 1

4 (ξ6 + ξ2)

𝐶𝐷

sin 𝐵 =

𝐵𝐶

sin 𝐷

𝐶𝐷

sin 135 =

12

sin 15

𝑏1

2 ξ2

= 12

1

4 (ξ6 + ξ2)

CD = 12

1

4 (ξ6 + ξ2)

. 1

2 ξ2

= 12

ξ6 + ξ2 .

1

2 ξ2 .

4

1

= 24 ξ2

ξ6 + ξ2 .

ξ6 − ξ2

ξ6 − ξ2

= 24 ξ12−24 . 2

6 − 2

= 24 .2 ξ3−24 . 2

4

= 12 ξ3 – 12

= 12 (ξ3 – 1)

Jadi panjang CD = 12 (ξ3 – 1) cm.

108

50. Dari soal no 49 carilah panjang AB!

Pembahasan :

Untuk mencari panjang AB kita menggunakan rumus sinus,

𝑎

sin 𝐴=

𝑏

sin 𝐵=

𝑐

sin 𝐶

Sehingga kalau diaplikasikan pada ABD didapat rumus,

𝐵𝐷

sin 𝐴 =

𝐴𝐷

sin 𝐵 =

𝐴𝐵

sin 𝐷

Panjang sisi BD dicari terlebih dahulu menggunakan rumus

sinus pada CBD = 𝐵𝐷

sin 𝐶=

𝐷𝐶

sin 𝐵 sehingga didapat :

𝐵𝐷

sin 𝐶 =

𝐷𝐶

sin 𝐵

𝐵𝐷

sin 30𝑜 = 12 (ξ3 – 1)

sin 135𝑜

𝐵𝐷1

2

= 12 (ξ3 – 1)

1

2 ξ2

BD = 12 (ξ3 – 1)

1

2 ξ2

. 1

2

= 12 (ξ3 – 1)

ξ2 .

ξ2

ξ2

= 12(ξ6 –ξ2)

2

= 6(ξ6 – ξ2) cm

109

Sehingga didapat panjang AB sebagai berikut :

𝐵𝐷

sin 𝐴 =

𝐴𝐵

sin 𝐷

6(ξ6 –ξ2)

sin 90𝑜 = 𝐴𝐵

sin 45𝑜

6(ξ6 –ξ2)

1 =

𝐴𝐵1

2 ξ2

AB = 6(ξ6 – ξ2) . 1

2 ξ2

= 3(ξ12 – 2)

= 3(2ξ3 – 2)

= 3 . 2 (ξ3 – 1)

= 6 (ξ3 – 1) cm

Jadi didapat panjang AB = 6 (ξ3 – 1) cm

110

Perubahan Bentuk

51. Nyatakan bentuk cos + sin dengan bentuk k cos ( - a)

dimana k adalah konstanta dan a dalam radian!

Pembahasan :

Misalkan : cos + sin = k cos ( - a) maka

cos + sin = k cos cos a – k sin sin a

atau k cos a = 1

k sin a = 1

k = ξ1 + 1

= ξ2

a pada kwadran 1 ( karena a = 1 dan b = 1),

Sehingga tan a = 1 dan tan a = 𝜋

4

Jadi cos + sin = ξ2 cos ( - 𝜋

4).

111

Persamaan dan Pertidaksamaan

52. Untuk –180o ≤ x ≤ 180o, tentukan nilai x yang memenuhi

sin x = 1

2!

Pembahasan :

sin x = 1

2

sin x = sin 30o

Berdasarkan rumus jika sin x = sin a dan a diketahui maka :

𝑥1 = a ± k . 360o

𝑥2 = (180 – a) ± k. 360o

Jadi, jika sin x = sin 30o, maka :

𝑥1 = a ± k . 360o

untuk k = - 1 → x = 30o – 360o = - 330o (tidak memenuhi)

untuk k = 0 → x = 30o ± 0o = 30o (memenuhi)

untuk k = 1 → x = 30o + 360o = 390o (tidak memenuhi)

𝑥2 = (180 – a) ± k. 360o

untuk k = - 1 → x = 150o – 360o =-210o(tidak memenuhi)

untuk k = 0 → x = 150o ± 0o = 150o (memenuhi)

untuk k = 1 → x = 150o + 360o = 510o (tidak memenuhi)

Jadi nilai x yang memenuhi persamaan sin x = 1

2 dalam interval

– 180o ≤ x ≤ 180o adalah {30o, 150o}.

112

53. Untuk – 2π ≤ x ≤ 2π, Tentukanlah nilai x yang memenuhi

persamaan 2 cos x = 1!

Pembahasan :

2 cos x = 1

cos x = 1

2

cos x = cos 𝜋

3

Berdasarkan rumus jika cos x = cos a dan a diketahui maka :

𝑥1 = a ± 2kπ

𝑥2 = (2π – a) ± 2kπ

Sederhanakan menjadi : 𝑥1 𝑑𝑎𝑛 2 = ± a ± 2kπ

Jadi, jika cos x = cos 𝜋

3, maka :

𝑥1 𝑑𝑎𝑛 2 = ± 𝜋

3 ± 2kπ

untuk k = - 1 → x = + 𝜋

3 - 2π = -

5

3 𝜋 (memenuhi)

dan x = - 𝜋

3 - 2π = -

7

3 𝜋 ( tidak memenuhi)

untuk k = 0 → x = 𝜋

3 ± 0o =

𝜋

3 (memenuhi)

dan x = - 𝜋

3 ± 0o = -

𝜋

3 (memenuhi)

untuk k = 1 → x = 𝜋

3 + 2π =

7

3 𝜋 (tidak memenuhi)

dan x = - 𝜋

3 + 2π =

5

3 𝜋 (memenuhi)

Jadi nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos x = 1 dalam interval

– 2π ≤ x ≤ 2π adalah {- 5

3 𝜋, -

𝜋

3,

𝜋

3,

5

3 𝜋}.

113

54. Hitunglah himpunan Penyelesaian Persamaan cos2 x - ξ3 sin x

+ 2 sin2 x – 2 = 0 untuk 0o ≤ x ≤ 360o!

Pembahasan :

cos2 x - ξ3 sin x + 2 sin2 x – 2 = 0

cos2 x - ξ3 sin x + 2 cos2 x = 0

- cos2 x - ξ3 sin x cos x = 0

cos x ( - cos x - ξ3 sin x ) = 0

Maka penyelesaian dari persamaan tersebut haruslah

memenuhi:

❖ cos x = 0,

himpunan penyelesaian pada 0o ≤ x ≤ 360o adalah {90 o, 270 o }.

❖ - cos x - ξ3 sin x = 0

- ξ3 sin x cos x = cos2 x

- ξ3 sin x = cos x

𝑺𝒊𝒏 𝒙

𝑪𝒐𝒔 𝒙 = -

1

ξ3

tan x = - 1

3 ξ3

Himpunan penyelesaian tan x = - 1

3 ξ3 pada 0o ≤ x ≤ 360o adalah

{150o, 330o} Sehingga himpunan penyelesaian dari persamaan

tersebut adalah {90 o, 150 o, 270 o, 330 o}.

114

55. Hitunglah himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + cos x + 1 = 0

untuk 0o ≤ x ≤ 360o!

Pembahasan :

cos 2x + cos x + 1 = 0

(2 cos2 x – 1) + cos x +1 = 0

2 cos2 x + cos x = 0

cos x (2 cos x + 1) = 0

cos x = 0 atau 2 cos x + 1 = 0

cos x = 0 atau cos x = - 1

2

Sehingga kita dapat himpunan penyelesaianya sebagai berikut :

cos x = 0 maka x = 90 o, 270 o

cos x = - 1

2 maka x = 120o, 240 o

Jadi himpunan penyelesainya adalah{90o, 120o, 240o, 270o}.

115

56. Hitunglah himpunan penyelesaian dari persamaan

cos 2x + 3sin x + 1 = 0 untuk 0o ≤ x ≤ 360o!

Pembahasan :

cos 2x + 3 sin x + 1 = 0

1 – 2 sin2 x + 3 sin x + 1 = 0

– 2 sin2 x + 3 sin x + 2 = 0

2 sin2 x - 3 sin x - 2 = 0

(2 sin x + 1) (sin x – 2) = 0

Pembuat nol

2 sin x + 1 = 0 atau sin x – 2 = 0

sin x = - 1

2 (memenuhi)

sin x = 2 (tidak memenuhi)

Jadi nilai sin x yang memenuhi persamaan sin x = - 1

2

Nilai sin negatif berada di kwadran III dan IV, sehingga

himpunan penyelesaian nya adalah :

❖ Kwadran III

sin x = sin (180o + 30o)

= sin 210o

❖ Kwadran IV

sin x = sin (360o – 30o)

= sin 330o

Jadi himpunan penyelesaian nya adalah {210o, 330o).

116

57. Hitunglah himpunan penyelesaian persamaan

cos 2x + 3 cos x + 2 = 0 untuk 0o ≤ x ≤ 360o!

Pembahasan :

cos 2x + 3 cos x + 2 = 0

(2 cos2x – 1) + 3 cos x + 2 = 0

2 cos2 x + 3 cos x + 1 = 0

(2 cos x + 1) (cos x + 1) = 0

Pembuat nol

2 cos x + 1 = 0 atau cos x + 1 = 0

2 cos x + 1 = 0

cos x = - 1

2

cos x + 1 = 0

cos x = -1

Jadi nilai x memenuhi persamaan :

cos x = - 1

2

❖ Kwadran II

cos x = cos (180 – 60)o

= cos 120 o

❖ cos x = - 1

= cos 180 o

❖ Kwadran III

cos x = cos (180 + 60)o

= cos 240 o

Jadi himpunan penyelesaian adalah {120 o, 180 o, 240 o }.

117

58. Hitunglah himpunan penyelesaian persamaan

4 sin x = 1 + 2 cos 2x, 0o ≤ x ≤ 360o!

Pembahasan :

4 sin x = 1 + 2 cos 2x

- 2 cos 2x + 4 sin x – 1 = 0

-2 (1 – 2 sin2 x) + 4 sin x – 1 = 0

4 sin2 x + 4 sin x – 3 = 0

(2 sin x + 3) (2 sin x – 1) = 0

Pembuat nol

2 sin x + 3 = 0 atau 2 sin x -1 = 0

2 sin x + 3 = 0

sin x = - 3

2 (tidak memenuhi)

2 sin x – 1 = 0

sin x = 1

2 (memenuhi)

Jadi nilai sin x yang memenuhi persamaan adalah 1

2. Sehingga :

❖ Tidak memenuhi

karena |sin 𝑥| ≤ 1

sin x = 1

2

= sin 30o

❖ Kwadran I

sin x = sin 30o

❖ Kwadran II

sin x = sin (180 – 30)o

= sin 150o

Jadi himpunan penyelesaian nya adalah{30o, 150o}.

118

59. Tentukan nilai minimum dan maksimum dari fungsi

trigonometri y = - 5 . cos x – 7!

Pembahasan :

Menggunakan rumus -1 ≤ cos x ≤ 1, sehingga :

-1 ≤ cos x ≤ 1 semua ruas dikali (-5)

5 ≤ -5 cos x ≤ -5 semua ruas dikurang 7

5 – 7 ≤ -5 cos x -7 ≤ -5 -7

-2 ≤ -5 cos x -7 ≤ -12

Jadi, nilai maksimum fungsi y = - 5 . cos x – 7 adalah -2 dan

nilai minimumnya adalah -12.

60. Tentukan nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri

y = - 2sin x – 22!

Pembahasan :

Menggunakan rumus -1 ≤ sin x ≤ 1, sehingga :

-1 ≤ sin x ≤ 1 semua ruas dikali (-2)

2 ≤ -2 . sin x ≤ -2 semua ruas dikurang 22

2 – 22 ≤ -2 . sin x – 22 ≤ -2 – 22

-20 ≤ -2 . sin x – 22 ≤ -24

Jadi, nilai maksimum fungsi y = - 2sin x – 22 adalah -20

dan nilai minimumnya adalah -24.

119

DAFTAR PUSTAKA

Larson, Ron, and David C. Falvo. Algebra and Trigonometry. 8th

ed. Belmont, CA: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2011.

OpenStax College. 2015. Algebra and Trigonometry. Texas : Rice

University.

Sinaga, bornok, dkk. 2014. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas

X Semester 2. Jakarta : Kementerian Pendidikan dan

Kebudayaan.

Sinaga, bornok, dkk. 2017. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas

X. Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.

Stewart, james. Redlin, lothan, and waston, saleem. 2010.

Precalculus Mathematics for Calculus. 8th ed. Belmonth, CA:

Brook/Cole, Cengege Learning.

Zen, fathurin. 2012. Trigonometri, Bandung : ALFABETA.

120

GLOSARIUM

Absis : Suatu titik yang berada di garis

horizontal atau sumbu-x pada sistem

koordinat kartesius.

Daerah Asal/Domain : Himpunan tidak kosong dimana

sebuah relasi didefinisikan.

Daerah Hasil/Range : Suatu himpunan bagian dari daerah

kawan yang anggotanya adalah

pasangan anggota domain yang

memenuhi fungsi yang ditentukan.

Daerah kawan/Kodomain : Himpunan tidak kosong dimana

anggota domain memiliki pasangan

sesuai dengan fungsi yang

didefinisikan.

Garis Berat : Suatu garis yang dibentuk dari

suatu sudut segitiga sembarang dan

memotong sisi di depannya

menjadi dua bagian yang sama

panjang.

Garis Tinggi : Suatu gais yang dibentuk dari suatu

sudut segitiga sembarang dan

berpotongan tegak lurus dengan

sisi di hadapannya.

121

Ordinat : Suatu titik yang berada di garis

vertikal atau sumbu-y pada sistem

koordinat kartesius.

Persamaan : Kalimat terbuka yang

menggunakan relasi sama dengan.

Pertidaksamaan : Kalimat terbuka yang

menggunakan relasi tidak sama

dengan.

Rotasi αo : Perputaran terhadap titik pusat

sejauh αo.

Sistem Koordinat Polar : Sistem Koordinat 2-dimensi yang

setiap titik pada bidang ditentukan

dengan jarak dari suatu titik yang

telah ditetapkan dan suatu sudut dari

suatu arah yang telah ditetapkan.

Tak Terdefinisi : Tidak terdapat suatu bilangan real

yang merupakan hasil.

(Sistem koordinat kutub)

https://id.wikipedia.org/wiki/Sistem_koordinat

https://id.wikipedia.org/wiki/Dimensi

https://id.wikipedia.org/wiki/Titik_(geometri)

https://id.wikipedia.org/wiki/Bidang_(geometri)

https://id.wikipedia.org/wiki/Jarak

https://id.wikipedia.org/wiki/Sudut

PenerbitPenerbitPenerbit

9 7 8 6 2 3 9 3 4 1 6 3 3

ISBN 978-623-93416-3-3

kumpulanrepository.radenintan.ac.id/11032/1/imam khoiruddin - trigonometri.… · geometri,...

Documents