a nilai perbandingan trigonometri · pdf filesmk negeri 1 kandeman kab. batang 1 trigonometri...
TRANSCRIPT
1 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
TRIGONOMETRI
A Nilai Perbandingan Trigonometri
Perhatikan segitiga berikut !
Y
r y
X
O x
Sin = r
y
Cos = r
x
Tan = x
y
Cosec = y
r
Sec = x
r
Cotan = y
x
Selanjutnya nilai perbandingan trigonometri suatu sudut segitiga dapat ditentukan dengan
menggunakan daftar / tabel dan kalkulator.
B Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa
Perhatikan gambar berikut !
45 60
2 1 2 1
45 30
1 3
Sin 30 = 2
1
Sin 45 = 2
12
Sin 60 = 2
13
Cos 30 = 2
13
Cos 45 = 2
12
Cos 60 = 2
1
Tan 30 = 3
13
Tan 45 = 1
Tan 60 = 3
Tabel Nilai Fungsi Trigonometri Untuk Sudut Istimewa
0 30 45 60 90
Sin 0
2
1
2
12
2
13
1
Cos 1
2
13
2
12
2
1
0
Tan 0
3
13
1 3
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI 1
2 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
C Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi
a. Kuadran I (0 < < 90 )
Sin (90 - ) = Cos
Cos (90 - ) = Sin
Tan (90 - ) = Cotan
Cosec (90 - ) = Sec
Sec (90 - ) = Cosec
Cotan (90 - ) = Tan
b. Kuadran II (90 < < 180 )
Sin (90 + ) = Cos
Cos (90 + ) = - Sin
Tan (90 + ) = - Cotan
Cosec (90 + ) = Sec
Sec (90 + ) = - Cosec
Cotan (90 + ) = - Tan
c. Kuadran II (90 < < 180 )
Sin (180 - ) = Sin
Cos (180 - ) = - Cos
Tan (180 - ) = - Tan
Cosec (180 - ) = Cosec
Sec (180 - ) = - Sec
Cotan (180 - ) = - Cotan
d. Kuadran III (180 < < 270 )
Sin (180 + ) = - Sin
Cos (180 + ) = - Cos
Tan (180 + ) = Tan
Cosec (180 + ) = - Cosec
Sec (180 + ) = - Sec
Cotan (180 + ) = Cotan
e. Kuadran III (180 < < 270 )
Sin (270 - ) = - Cos
Cos (270 - ) = - Sin
Tan (270 - ) = Cotan
Cosec (270 - ) = - Sec
Sec (270 - ) = - Cosec
Cotan (270 - ) = Tan
f. Kuadran IV (270 < < 360 )
Sin (270 + ) = - Cos
Cos (270 + ) = Sin
Tan (270 + ) = - Cotan
Cosec (270 + ) = - Sec
Sec (270 + ) = Cosec
Cotan (270 + ) = - Tan
g. Kuadran IV (270 < < 360 )
Sin (360 - ) = -Sin
Cos (360 - ) = Cos
Tan (360 - ) = -Tan
Cosec (360 - ) = - Cosec
Sec (360 - ) = Sec
Cotan (360 - ) = - Cotan
h. Kuadran IV (270 < < 360 )
Sin (- ) = - Sin
Cos (- ) = Cos
Tan (- ) = - Tan
Cosec (- ) = - Cosec
Sec (- ) = Sec
Cotan (- ) = - Cotan
Pada sistem koordinat kartesius dapat digambarkan sebagai berikut :
Y
Sin : + Sin : +
Cos : - Cos : +
Tan : - Tan : +
O X
Sin : - Sin : -
Cos : - Cos : +
Tan : + Tan : -
Contoh:
(i) Sin 65 = Cos (90 – 65) = Cos 25
(ii) Cos 120 = Cos (180 – 60) = - Cos 60 = - 2
1
(iii) Tan 210 = Tan (180 + 30) = Tan 30 = 3
13
(iv) Sin 315 = Sin (360 – 45) = - Sin 45 = - 2
12
(v) Cos (-60) = Cos 60 = 2
1
3 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
D Nilai Periodik
Sin ( + k.360 ) = Sin
Cos ( + k.360 ) = Cos
Tan ( + k.180 ) = Tan ; k B
Contoh:
(i) Sin 400 = Sin (40 + 1. 360 ) = Sin 40
(ii) Cos 780 = Cos (60 + 2. 360 ) = Cos 60
(iii) Tan 480 = Tan (120 + 2. 180 ) = Tan 120
Latihan 1
1. Perhatikan gambar di samping!
Tentukan : C 12 B
a. Sin A, Cos A, Tan A, Cotan A, Sec A, Cosec A
b. Sin B, Cos B, Tan B, Cotan B, Sec B, Cosec B 5 13
A
2. Jika lancip, carilah nilai perbandingan trigonometri sudut , jika diketahui :
a. Sin = 0,5 b. Cos = 25
7 c. Tan =
3
4
3. Sin 30 + Tan 60 . Cos 60 = …
4. 45
45
Cos
Sin = …
5. Tan 30 + Tan 60 = …
6. Sin 30 . Cos 60 + Sin 45 . Cos 45 = …
7. Buktikan Cos 60 . Cos 30 - Sin 60 . Sin 30 = 0 !
8. QR = …cm R
PQ = …cm
12 cm
P Q
9. AB = …cm C
15 cm
A B
10. Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri sudut berelasi,lengkapi tabel berikut !
120
135
150
180
210
225
240
270
300
315
330
360
Sin … … … … … … … … … … … …
Cos … … … … … … … … … … … …
Tan … … … … … … … … … … … …
30
0
30
0
4 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
Sebuah titik P dapat digambarkan pada bidang XOY atau pada bidang kartesius, koordinat
titiknya P(x, y). Titik P juga dapat dinyatakan dengan koordinat kutub (polar), koordinat titiknya
P(r, ) dengan :
r = jarak titik O ke titik P
= sudut yang dibentuk garis OP dengan sumbu X
Y Y Y
P(x,y) P(r, ) P(r cos , r. sin )
y r r y
O x X O X O x X
Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat kutub adalah sebagai berikut :
(i) Kartesius Kutub
P(x, y) P(r, )
r = 22 yx
Tan = x
y
(ii) Kutub Kartesius
P(r, ) P(x, y)
x = r.cos
y = r.sin
Contoh:
1. Nyatakan titik P(4, 3) dalam koordinat kutub !
Jawab:
r = 22 yx = 534 22
Tan = x
y = 75,0
4
3 = Tan
-1 0,75 = arc Tan 0,75 = 36,87
Jadi koordinat kutubnya P(5, 36,87 ).
2. Tentukan koordinat kartesius titik Q(4, 150 ) !
Jawab:
x = r cos = 4.cos 150 = 4 (-2
13 ) = -2 3
y = r sin = 4.sin 150 = 4 (2
1) = 2
Jadi koordinat kartesiusnya P(-2 3 , 2).
Latihan 2
1. Tentukan koordinat kartesius dari :
a. (4, 60 ) c. (8, 300 )
b. (5, 120 ) d. (3 2 , 225 )
2. Tentukan koordinat kutub dari :
a. (1, 3 ) c. (-5 3 , 5)
b. (6, -2 3 ) d (-3 2 , -3 6 )
KOORDINAT KUTUB (POLAR) 2
5 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
A Aturan Sinus
A Pada setiap segitiga ABC berlaku :
c b
B a C
Aturan sinus dipakai untuk menghitung unsur-unsur segitiga yang lain, jika diketahui :
(i) sisi, sudut, sudut
(ii) sudut, sisi, sudut
(iii) sisi, sisi, sudut
Contoh:
Diketahui segitiga ABC, a = 15 cm, b = 20 cm, B = 30 .
Hitunglah unsur-unsur yang lain dengan menggunakan aturan sinus !
Jawab:
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
(i) B
b
A
a
sinsin sin A = 375,0
40
15
20
.15
20
30sin.15sin. 21
b
Ba
A = sin-1
0,375 = 22
(ii) C = 180 – ( A + B) = 180 - (22 + 30 ) = 180 - 52 = 128 .
(iii) C
c
B
b
sinsin c = 5,31
5,0
76,15
5,0
788,0.20
30sin
128sin.20
sin
sin.
B
Cb cm
B Aturan Kosinus
Pada setiap segitiga ABC berlaku :
Aturan Kosinus dipakai untuk mewnghitung unsure-unsur segitiga jika diketahui :
(i) sisi, sudut, sisi
(ii) sisi, sisi, sisi
Contoh:
Diketahui segitiga ABC, a = 20 cm, b = 30 cm dan C = 64 .
Hitunglah unsur-unsur yang lain dengan menggunakan aturan kosinus !
Jawab:
(i) c2 = a
2 + b
2 – 2ab cos C
= 202 + 30
2 – 2(20)(30) cos 64
= 400 + 900 – 1200(0,44) = 1300 – 526 = 774
c = 27,8
(ii) b2 = a
2 + c
2 – 2ac cos B cos B = 25,0
1112
274
)8,27)(20(2
30)8,27(20
2
222222
ac
bca
B = 75,7
(iii) A = 180 - ( C + B) = 180 - (64 + 75,7 ) = 40,2
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
a2 = b
2 + c
2 – 2bc cos A
b2 = a
2 + c
2 – 2ac cos B
c2 = a
2 + b
2 – 2ab cos C
ATURAN SINUS DAN KOSINUS 3
6 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
Latihan 3
1. Diketahui ABC , A = 60 , B = 45 dan panjang sisi BC = 12 cm.
Tentukan panjang sisi AC !
2. Pada segitiga DEF, D = 135 , EF = 6 cm, E = 20 .
Tentukan DF, F dan DE !
3. Diketahui ABC dengan A = 60 ,sisi b = 10 cm dan sisi c = 16 cm. Tentukan unsur-unsur
berikut!
a. panjang sisi a
b. besar B
c. besar C
4. Pada segitiga ABC, a = 6 cm, b = 10 cm, c = 7 cm, C = …?
Pada setiap segitiga ABC berlaku :
Rumus ini dipakai untuk menghitung luas segitiga jika diketahui dua sisi dan sebuah sudut yang
diapitnya.
Rumus luas ABC jika diketahui ketiga sisinya :
Contoh:
Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui a = 4 cm, c = 3 cm dan B = 30 !
Jawab:
L ABC = 2
1 ac sin B
= 2
1. 4 . 3 . sin 30
= 2
1. 4 . 3 .
2
1
= 3 cm2.
Latihan 4
1. Luas segitiga ABC adalah 32 cm2. AB = 8 cm dan AC = 16 cm. Tentukan besar sudut A !
2. Pada ABC, jika diketahui panjang sisi AB = 8 cm, sisi AC = 6 cm, dan A = 120 maka
tentukan luas ABC !
3. Diketahui ABC dengan B = 135 , AB = 3 cm dan BC = 4 cm. tentukan luas ABC !
4. Luas ABC adalah 12 2 cm2. Panjang AB = 6 cm dan AC = 8 cm. Tentukan besar sudut A !
L ABC = 2
1.bc.sin A
= 2
1.ac.sin B
= 2
1.ab.sin C
L ABC = ))()(( csbsass
LUAS SEGITIGA 4
dengan s = 2
1(a + b + c)
7 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
A Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Rumus – rumus :
1. Sin ( ) = Sin . Cos + Cos . Sin
2. Sin ( ) = Sin . Cos Cos . Sin
3. Cos ( ) = Cos . Cos Sin . Sin
4. Cos ( ) = Cos . Cos + Sin . Sin
5. Tan ( ) = TanTan1
TanβTanα
6. Tan ( ) = .TanTan1
TanβTanα
Contoh:
1. Jika Sin = 10
6 dan Cos =
13
12 dengan dan sudut lancip, hitunglah :
a. Sin ( )
b. Cos ( )
c. Tan ( )
Jawab:
Sin = 10
6 ; Cos =
10
8 ; Tan =
8
6
Cos = 13
12 ; Sin =
13
5 ; Tan =
12
5
a. Sin ( ) = Sin . Cos + Cos . Sin
= 10
6.13
12 +
10
8.13
5 =
65
56
130
112
130
40
130
72
b. Cos ( ) = Cos . Cos Sin . Sin
= 10
8.13
12
10
6.13
5 =
65
33
130
66
130
30
130
96
c. Tan ( ) = TanTan1
TanβTanα
=
12
5.
8
61
12
5
8
6
= 33
56
66
112
96
6696
112
2. Tanpa menggunakan tabel, hitunglah nilai Cos 75 !
Jawab:
Cos 75 = Cos (45 + 30 )
= Cos 45 . Cos 30 Sin 45 . Sin 30
= 2
12 .
2
13
2
12 .
2
1
= 24
16
4
1
= )26(4
1
3. Hitunglah nilai Cos 110 . Cos 25 Sin 110 . Sin 25 !
Jawab:
Cos 110 . Cos 25 Sin 110 . Sin 25 = Cos (110 + 25) = Cos 135 = 2
12
RUMUS TRIGONOMETRI JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT 5
8 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
4. Jika Tan = 4
3dan Tan =
15
8, untuk dan sudut lancip, hitunglah nilai :
a. Sin ( )
b. Cos ( )
c. Tan ( )
Jawab:
Tan = 4
3 Sin =
5
3 ; Cos =
5
4
Tan = 15
8 Sin =
17
8 ; Cos =
17
15
a. Sin ( ) = Sin . Cos Cos . Sin
= 5
3.17
15
5
4.17
8 =
85
13
85
32
85
45
b. Cos ( ) = Cos . Cos + Sin . Sin
= 5
4.17
15 +
5
3.17
8 =
85
84
85
24
85
60
c. Tan ( ) = .TanTan1
TanβTanα
= 84
13
60
8460
13
60
241
60
3245
15
8.
4
31
15
8
4
3
5. Tanpa menggunakan tabel, tentukan nilai dari Sin 15o !
Jawab:
Sin 15o = Sin (45
o – 30
o)
= Sin 45o . Cos 30
o Cos 45
o . Sin 30
o
= 2
12 .
2
13
2
12 .
2
1
= 24
16
4
1
= )26(4
1
6. Tanpa menggunakan tabel, tentukan nilai Cos 56o + Sin 56
o.Tan 28
o !
Jawab:
Cos 56o + Sin 56
o.Tan 28
o = Cos 56
o + Sin 56
o.
28 Cos
28Sin
= 28
28.Sin 56Sin + 28.56 Cos
Cos
Cos
= 128
28
28
)2856(
Cos
Cos
Cos
Cos
B Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
Rumus – rumus :
1. Sin 2 = 2.Sin . Cos
2. Cos 2 = Cos2
- Sin2
= 2 Cos2
- 1
= 1 – 2 Sin2
3. Tan 2 = αTan1
2.Tanα2
9 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
Contoh:
1. Nyatakan Sin 3 ke dalam Sin !
Jawab:
Sin 3 = Sin (2 + )
= Sin 2 . Cos + Cos 2 . Sin
= 2.Sin . Cos . Cos + (Cos2
- Sin2
) .Sin
= 2.Sin . Cos2
+ Sin . Cos2
- Sin3
= 3. Sin . Cos2
- Sin3
= 3. Sin (1 – Sin2
) - Sin3
= 3. Sin - 3. Sin3
- Sin3
= 3. Sin - 4 Sin3
2. Dengan menggunakan Sin 60o =
2
13 , buktikan bahwa Sin 180
o = 0 !
Jawab:
Sin 180o = Sin (3 . 60
o)
Berdasarkan hasil contoh 1:
Sin 180o = 3. Sin 60
o – 4 . Sin
360
o
= 3 (
2
13 ) – 4 (
2
13 )
3
= 2
33 - 4 (
8
33 )
= 2
33 -
2
33 = 0
3. Jika Sin = 5
4 dan terletak di kuadrat ke-1, tentukan nilai dari yang berikut ini !
a. Sin 2 b. Cos 2 c. Tan 2
Jawab:
Sin = 5
4 Cos =
5
3 dan Tan =
3
4
a. Sin 2 = 2.Sin . Cos = 2. 5
4.5
3 =
25
24
b. Cos 2 = Cos2
- Sin2
= (5
3)2 – (
5
4)2 =
25
7
25
16
25
9
c. Tan 2 = αTan1
2.Tanα2
= 7
24
7
9
3
8
9
73
8
9
161
3
8
3
41
3
42
2
C Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus
Rumus – rumus :
1. 2 Sin Cos = Sin ( + ) + Sin( - )
2. 2 Cos Sin = Sin ( + ) - Sin( - )
3. 2 Cos Cos = Cos ( + ) + Cos( - )
4. 2 Sin Sin = Cos( - ) - Cos ( + )
Contoh:
1. Ubahlah bentuk berikut menjadi bentuk selisih atau jumlah !
a. 2.Sin 3 .Cos 2 c. 2.Sin 60o.Cos 30
o
b. Cos 8 .Cos 2 d. Cos 105o.Cos 15
o
Jawab:
a. 2 Sin 3 Cos 2 = Sin (3 + 2 ) + Sin (3 - 2 )
= Sin 5 + Sin
10 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
b. Cos 8 Cos 2 = 2
1[Cos (8 + 2 ) + Cos (8 - 2 )]
= 2
1[Cos 10 + Cos 6 ]
c. 2 Sin 60o Cos 30
o = Sin (60
o + 30
o) + Sin (60
o - 30
o)
= Sin 90o + Sin 30
o
d. Cos 105o Cos 15
o =
2
1[Cos (105
o + 15
o) + Cos (105
o - 15
o)]
= 2
1[Cos 120
o + Cos 90
o]
2. Tanpa menggunakan kalkulator atau tabel, tentukan nilai dari yang berikut ini !
a. 2.Sin 75o.Cos 15
o
b. 2.Cos 120o.Sin 30
o
c. Cos 135o.Cos 15
o
Jawab:
a. 2.Sin 75o.Cos 15
o = Sin (75
o +15
o) + Sin (75
o - 15
o)
= Sin 90o + Sin 60
o = 1 +
2
12
b. 2.Cos 120o.Sin 30
o = Sin (120
o +30
o) - Sin (120
o - 30
o)
= Sin 150o - Sin 90
o =
2
1 - 1 = -
2
1
c. Cos 135o.Cos 15
o =
2
1[Cos (135
o +15
o) + Cos(135
o - 15
o)]
= 2
1[ Cos 150
o + Cos 120
o] =
2
1[-
2
13 -
2
1] = )13(
4
1
D Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus
Rumus –rumus :
1. Sin A + Sin B = 2 Sin 2
1(A + B) Cos
2
1(A - B)
2. Sin A - Sin B = 2 Cos 2
1(A + B) Sin
2
1(A - B)
3. Cos A + Cos B = 2 Cos 2
1(A + B) Cos
2
1(A - B)
4. Cos A - Cos B = -2 Sin 2
1(A + B) Sin
2
1(A - B)
Contoh:
1. Nyatakan dalam bentuk perkalian !
a. Sin 7A – Sin 5A
b. Cos 10 + Cos 6
c. Cos x – Cos y
Jawab:
a. Sin 7A – Sin 5A = 2 Cos 2
1(7A + 5A) Sin
2
1(7A – 5A)
= 2 Cos 6A Sin A
b. (b) Cos 10 + Cos 6 = 2 Cos 2
1(10 + 6 ) Cos
2
1(10 - 6 )
= 2 Cos 8 Cos 2
c. Cos x – Cos y = -2 Sin 2
1(x + y) Sin
2
1(x - y)
11 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
2. Sederhanakan !
a. Sin 150o + Sin 30
o c. Cos 200
o - Cos 20
o
b. Cos 125o + Cos 55
o d. Sin 75
o - Sin 15
o
Jawab:
a. Sin 150o + Sin 30
o = 2 Sin
2
1(150
o + 30
o) Cos
2
1(150
o - 30
o)
= 2 Sin 90o Cos 60
o = 2.1.
2
1 = 1
b. Cos 125o + Cos 55
o = 2 Cos
2
1(125
o + 55
o) Cos
2
1(125
o - 55
o)
= 2 Cos 90o Cos 35
o = 2.0. Cos 35
o = 0
c. Cos 200o - Cos 20
o = -2 Sin
2
1(200
o + 20
o) Sin
2
1(200
o - 20
o)
= -2 Sin 110o Sin 90
o = -2. Sin 110
o .1 = -2 Sin 110
o
d. Sin 75o - Sin 15
o = 2 Cos
2
1(75
o + 15
o) Sin
2
1(75
o - 15
o)
= 2 Cos 45o Sin 30
o = 2.
2
12 .
2
1 =
2
12
Latihan 5
1. Dengan menyatakan 105o = (60
o + 45
o), tentukan nilai Sin 105
o !
2. Diketahui Sin A = 5
3 untuk A sudut lancip, dan Cos B =
13
12 untuk B sudut tumpul. Tentukan
nilai dari jumlah dan selisih sudut berikut !
a. Sin (A + B) b. Cos (B – A) c. Tan (A – B)
3. Diketahui Sin A = 5
3 untuk A sudut lancip. Tentukan nilai identitas trigonometri berikut!
a. Sin 2A b. Cos 2A c. Tan 2A
4. Nyatakan 2 Sin 75o Cos 15
o sebagai rumus jumlah sinus !
5. Hitunglah penjumlahan trigonometri berikut !
a. Cos 75o + Cos 15
o b. Sin 75
o + Sin 15
o
6. Diketahui Tan A = 5
4 dan Tan B =
24
7, dengan A sudut tumpul dan B sudut lancip. Tentukan
nilai dari bentuk trigonometri berikut !
a. Cos (A – B) b. Sin (A + B) c. Tan (A – B)
7. Sederhanakan bentuk trigonometri berikut !
a. 1575
1575
SinSin
CosCos b.
ASinASin
ASinASin
39
37
8. Diketahui Sin A = 2
1, Cos B =
2
3, A sudut tumpul dan B sudut lancip. Tentukan nilai
Cos (A – B) !
12 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
A Identitas Trigonometri
Idnetitas trigonometri yaitu rumus-rumus yang menghubungkan antara sin , cos , dan tan .
1. Cos2
+ Sin2
= 1
2. Tan = Cos
Sin
3. Cosec = Sin
1
4. Sec = Cos
1
5. Cotan = Sin
Cos
Tg
1
6. 1 + Tan2
= Sec2
7. 1 + Cotan2
= Cosec2
Contoh:
1. Tentukan nilai Cos A, Tan A, Cosec A, Sec A, dan Cotan A jika Sin A = 5
4 dan A sudut
lancip !
Jawab:
Cos2A + Sin
2A = 1 Cos
2A = 1 - Sin
2A
Cos2A= 1 – (
5
4)2 = 1 -
25
9
25
16
Cos A = 5
3
25
9
A lancip Cos A = 5
3
Tan A = CosA
SinA =
3
4
5
35
4
Cosec A = ASin
1 =
5
4
1 =
4
5
Sec A = ACos
1 =
3
5
5
3
1
Cotan = 4
3
3
4
11
ATan
2. Jika Sin A = 13
5 dan 90
o < A < 180
o ( A tumpul), tentukan Cos A dan Tan A !
Jawab:
Cos2A = 1 - Sin
2A = 1 – (
13
5)2 = 1 -
169
144
169
25
Cos A = 13
12
169
144
Karena 90o < A < 180
o maka Cos A =
13
12
Tan A = CosA
SinA =
12
5
13
1213
5
3. Buktikan identitas berikut ini !
a. Tan2A + 1 = Sec
2A
b. Tan A . Sin A + Cos A = Sec A
c. (Sin A + Cos A)2 + (Sin A – Cos A)
2 = 2
Jawab:
a. Ruas kiri = Tan2A + 1
= ACos
ACosASin
ACos
ACos
ACos
ASin
ACos
ASin2
22
2
2
2
2
2
2
1
= ASecACos
2
2
1 = ruas kanan (terbukti)
PERSAMAAN TRIGONOMETRI 6
13 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
a. Sin x = Sin x1 = + k.360 atau
x2 = (180 - ) + k.360 ; k B
b. Cos x = Cos x1 = + k.360 atau
x2 = - + k.360 ; k B
c. Tan x = Tan x = + k.180 ; k B
b. Ruas kiri = Tan A . Sin A + Cos A
= CosA
SinA. Sin A + Cos A
= CosA
CosACosA
CosA
SinASinA ..
= SecACosACosA
ACosASin 122
= ruas kanan (terbukti)
c. Ruas kiri = (Sin A + Cos A)2 + (Sin A – Cos A)
2
= Sin2A + 2 Sin A Cos A + Cos
2A + Sin
2A - 2 Sin A Cos A + Cos
2A
= 2 (Sin2A + Cos
2A)
= 2.1 = 2
= ruas kanan (terbukti)
B Persamaan Trigonometri Bentuk Sederhana
Contoh:
1. Tentukan penyelesaian dari Sin x = 2
1 ; 0 x 360 !
Jawab:
Sin x = 2
1
Sin x = Sin 30 x1 = 30 + k.360
k = 0 x1 = 30
x2 = (180 - 30) + k.360 = 150 + k.360
k = 0 x2 = 150
HP = {30 , 150 }
2 Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos 3x = 2
1 ; 0 x 360 !
Jawab:
Cos 3x = 2
1
Cos 3x = Cos 60 (i) 3x1 = 60 + k.360
x1 = 20 + k.120
k = 0 x1 = 20
k = 1 x1 = 140
k = 2 x1 = 260
(ii) 3x2 = -60 + k.360
x2 = -20 + k.120
k = 1 x2 = 100
k = 2 x2 = 220
k = 3 x2 = 340
HP = {20 , 100 , 140o, 220
o, 260
o, 340
o}
14 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari Tan 2x = 3 ; 0 x 180 !
Jawab:
Tan 2x = 3
Tan 2x = Tan 60o
2x = 60o + k.180
o
x = 30o + k.90
o
k = 0 x = 30
k = 1 x = 120
HP = { 30 , 120 }
C Persamaan Trigonometri Bentuk Cos A Cos B dan Sin A Sin B
Rumus yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk di atas adalah :
1. Sin A + Sin B = 2 Sin 2
1(A + B) Cos
2
1(A - B)
2. Sin A - Sin B = 2 Cos 2
1(A + B) Sin
2
1(A - B)
3. Cos A + Cos B = 2 Cos 2
1(A + B) Cos
2
1(A - B)
4. Cos A - Cos B = -2 Sin 2
1(A + B) Sin
2
1(A - B)
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 x 360 !
a. Cos 4x + Cos 2x = 0
b. Sin 3x – Sin x = 0
Jawab;
a. Cos 4x + Cos 2x = 2 Cos 2
1(4x + 2x).Cos
2
1(4x - 2x)
= 2 Cos 3x.Cos x
Cos 4x + Cos 2x = 0
2 Cos 3x.Cos x = 0
Cos 3x.Cos x = 0
Cos 3x = 0 atau Cos x = 0
Cos 3x = 0
Cos 3x = Cos 90 (i) 3x1 = 90 + k.360
x1 = 30 + k.120
k = 0 x1 = 30
k = 1 x1 = 150
k = 2 x1 = 270
(ii) 3x2 = -90 + k.360
x2 = -30 + k.120
k = 1 x2 = 90
k = 2 x2 = 210
k = 3 x2 = 330
Cos x = 0
Cos x = Cos 90 (i) x1 = 90 + k.360
k = 0 x1 = 90
(ii) x2 = -90 + k.360
k = 1 x2 = 270
HP = {30o, 90
o, 150
o, 210
o, 270
o, 330
o}
15 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
b. Sin 3x – Sin x = 2 Cos 2
1(3x + x) Sin
2
1(3x - x)
= 2 Cos 2x.Sin x
Sin 3x – Sin x = 0
2 Cos 2x.Sin x = 0
Cos 2x Sin x = 0
Cos 2x = 0 atau Sin x = 0
Cos 2x = 0
Cos 2x = Cos 90 (i) 2 x 1 = 90 + k.360
x 1 = 45 + k.180
k = 0 x1 = 45
k = 1 x1 = 225
(ii) 2 x2 = -90 + k.360
x2 = -45 + k.180
k = 1 x2 = 135
k = 2 x2 = 315
Sin x = 0
Sin x = Sin 0 (i) x1 = 0 + k.360
k = 0 x1 = 0
k = 1 x1 = 360
(ii) x2 = (180 – 0) + k.360
= 180 + k.360
k = 0 x2 = 180
HP = {0o, 45
o, 135
o, 180
o, 225
o, 315
o, 360
o}
D Persamaan Trigonometri Bentuk : a Cos x + b Sin = c
Bentuk a Cos x + b Sin x dapat dinyatakan dengan bentuk k Cos (x - ), dengan k suatu
konstanta dan 0 x 360 .
Untuk menentukan k dan perhatikan hal berikut :
a Cos x + b Sin x = k Cos (x - )
= k (Cos x.Cos + Sin x.Sin )
= k Cos x.Cos + k Sin x.Sin
Dari persamaan di atas , diperoleh :
k Cos = a
k Sin = b
a2 + b
2 = k
2 Cos
2 + k
2 Sin
2
= k2 (Cos
2 + Sin
2)
= k2 . 1
a2 + b
2 = k
2 , sehingga k = b a 22
a
b
Cosk
Sink
.
.
Tan = a
b. Jadi diperoleh dari Tan .
Dengan demikian maka :
Besarnya sudut tergantung pada tanda a dan b, karena keadaan a dan b dapat menentukan
keadaan kuadran di mana berada.
a Cos x + b Sin x = k Cos (x - )
dengan k = b a 22
Tan = a
b
16 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
Contoh:
1. Tentukan k dan dari : -Cos x + Sin x !
Jawab:
-Cos x + Sin x = k Cos (x - )
a = -1 ; b = 1
k = b a 22 = 2)1()1( 22
Tan = a
b = 1
1
1 ( di kuadran II)
= 135o
Jadi, -Cos x + Sin x = 2 Cos (x - 135o)
2. Tentukan k dan dari : 8 Cos x + 6 Sin x !
Jawab:
8 Cos x + 6 Sin x = k Cos (x - )
a = 8 ; b = 6
k = b a 22 = 1010068 22
Tan = a
b =
4
3
8
6 ( di kuadran I)
= 36,89o
Jadi, 8 Cos x + 6 Sin x = 10 Cos (x – 36,89o)
3. 3) Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos x + Sin x = 2
12 ; 0 x 360 !
Jawab:
Cos x + Sin x = 2
12
a = 1 ; b = 1
k = b a 22 = 211 22
Tan = a
b = 1
1
1 ( di kuadran I)
= 45o
Cos x + Sin x = k Cos (x - )
2 Cos (x - 45o) =
2
12
Cos (x - 45o) =
2
1
2
22
1
Cos (x - 45o) = Cos 60
o
(i) x1 - 45o = 60
o + k.360
o
x1 = 105o + k. 360
o
k = 0 x1 = 105o
(ii) x2 - 45o = -60
o + k.360
o
x2 = -15o + k. 360
o
k = 1 x2 = 345o
HP = {105o, 345
o}
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos x - 3 Sin x = 1 ; 0 x 360 !
Jawab:
Cos x - 3 Sin x = 1
a = 1 ; b = - 3
k = b a 22 = 231)3(1 22
Tan = a
b = 3
1
3 ( di kuadran IV)
= 300o
17 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
Cos x - 3 Sin x = k Cos (x - )
2 Cos (x – 300o) = 1
Cos (x – 300o) =
2
1
Cos (x – 300o) = Cos 60
o
(i) x1 - 300o = 60
o + k.360
o
x1 = 360o + k. 360
o
k = 0 x = 360o
(ii) x2 - 300o = -60
o + k.360
o
x2 = 240o + k. 360
o
k = 0 x = 240o
HP = { 240o, 360
o}
Latihan 6
1. Buktikan : Sec A – Cos A = Tan A . Sin A !
2. Buktikan : Sec2x(1 – Sin
4x) – 2 Sin
2x = Cos
2x !
3. Tentukan himpunan penyelesaian Sin x = 32
1 untuk 0 x 360 !
4. Diketahui Cos x = 2
1 untuk 0 x 360 . Tentukan himpunan penyelesaiannya !
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari Tan x = 33
1 untuk 0 x 2 !
6. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 x 360 !
a. 2 Sin 2x = 3 b. Cos 2x = 2
1 c. 3 Tan 3x = -1
7. Tentukan penyelesaian dari 3 Tan 2
1x = 1 untuk 0 x 2 !
8. Tentukan penyelesaian persamaan berikut untuk untuk 0 x 360 !
a. Sin (60o + x) – Sin (60
o – x) = 1
b. Sin 5x – Sin x = 0
c. Cos 4x – Cos 2x = 0
9. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan Cos x - Sin x untuk 0 x 360 !
10. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan Sin2x + Sin x – 2 = 0 untuk 0 x 360 !