7 trigonometri
TRANSCRIPT
68
BAB VII TRIGONOMETRI
7.1 Fungsi trigonometri
7.2 Identitas trigonometri
Contoh : 1. sec4x sec2x =
(A) tan4x (B) 2 tan2x (C) tan4x + tan2x (D) tan2 x 1 (E) tan4x 2
Jawab : C sec4x sec2x = sec2x (sec2x 1)
= (tan2x + 1) tan2x = tan4x + tan2x
2. Jika a cos x sin x = 1 dan b cos x + sinx = 1, maka a b = (A) tanx (B) tanx (C) cotgx (D) cotg x (E) 1
Jawab: E a cos x sin x = 1 Bagi cos x a tan x = sec x
a = sec x + tan x b cos x + sin x = 1 Bagi cos x b + tan x = sec x
b = sec x tan x Jadi a b = (sec x + tan x) ( sec x tan x) = sec2x tan2x = 1
1. sin x = ca
4. cosec x =
bc
2. cos x = cb 5. sec x =
ac
3. tg x = ba
6. cotg x = ab
x b
c
a
1. sec x = xcos1
2. cosec x = xsin1
3. cotgx = tgx1
6. sin2x + cos2x = 1
7. sec2x tg2x = 1
8. cosec2x cotg2x = 1
4. tg x = xcosxsin
5. cotg x = xsinxcos
69
Trigonometri
7.3.Sistem kuadran
Catatan Rumus diatas mudah sekali dihafalkan dengan melihat system kuadran. Sebagai contoh; 270o
( baca : 270o kurang ) adalah kuadran III dan cosinus bernilai ( baca : negatif ) pada kuadran ini, yang berakibat cos (270o x) = sinx (baca : negatif sin x )
Sin(90o
x) = cosx
Cos(90o x) = sinx Tan(90o x) = tanx
sin(90o+x) = cosx cos(90o+x) = sinx tan(90o+x) = cotgx
sin(180o x) = sinx cos(180o x) = cosx
tan(180o x) = tanx
sin(1800+x) = sinx cos(1800+x) = cosx
tan(1800+x) = tanx
sin(2700 x) = cosx
cos(2700 x) = sinx
tan(2700 x) = cotgx
sin(3600 x) = sin( x) = sinx
cos(3600 x) = cos( x) = cosx tan(3600 x) = tan( x) = tanx
sinus dan cosecan (+)
tangen dan cotangen (+)
sin(2700+x) = cosx cos(2700+x) = sinx tan(2700+x) = cotgx
Semua positif
Cosinus dan secan (+)
70
Trigonometri
Contoh
1. sin x = 35 dengan 90o < x < 180o, maka
)x180(tg)x270(sin 1 2 = …
(A) 9
13 (B) 4526 5 (C)
913 (D)
4526 5 (E)
913 5
Jawab : D
Perhatikan sin(270o x) = cosx tg(180o x) = tgx
Jadi )x180(tg
)x270(sin 1 2 =
2594 1
=
5926 =
4526 5
2. Diketahui cotg115o = p, maka nilai o
oo
295seccos155 205sin adalah
(A)1p
p2
(B) p
1p2 (C)
1pp p
2
2 (D)
1pp2
(E) p
1p2
Jawab: C Karena 115o kuadran II, maka p = cotg115o < 0 Perhatikan, p = cotg115o = cotg (90o + 25o ) = tg25o tg 25o = p
Dengan demikian Sin 205o = sin (180o + 25o ) = sin25o = (
1p
p2
) = 1p
p2
cos155o = cos(180o 25o ) = cos25o =
1p
12
o295sec1 = cos 295o = cos(270o + 25o ) = sin 25o = =
1p
p2
Jadi o
oo
295seccos155 205sin =
1p
1p2
(1p
p2
) = 1p
p p2
2
7. 4. Rumus Jumlah, selisih sudut dan sudut rangkap
Gambarkan hubungan phitagoras dari
nilai sin x = 35 . Tanda positif dan
negatif ditentukan dari kuadran
3
5
2
x
Kerena x kuadran II,
maka cosx =
32
tanx = 25
Gambarkan hubungan phitagoras dari nilai tg25o = p. Tanda positif dan negatif dikoreksi kembali dari kuadran dan dari nilai p negatif
1p2
p
1
250
sin ( + ) = sin cos
+ cos sin
sin (
) = sin cos
cos sin
cos ( + ) = cos cos
sin sin
cos (
) = cos cos
+ sin sin
tan ( + ) = tantan 1 tan tan
tan (
) = tantan 1 tan tan
71
Trigonometri
Contoh :
1. Jika 21 x + y =
4, maka tan x =
(A) ytan 2
ytan 1 2
(C) ytan 1
ytan2
(E)ytan 1ytan2 1
2
(B) ytan 11 ytan
(D) ytan 1
ytan2
Jawab A
21 x + y =
4
x = 2
2y tanx = tan(2
2y)
= cotg 2y =
y2 tan1
Karena tg 2y = y tan 1
tany22
, maka tg x = ytan 2
ytan 1 2
2. Jika sin(3x + 2y) = 31 dan cos(3x 4y) =
43 , maka nilai x
y9 cos6 sin = …
(A) 144 21
146 9 (B)144 114 3 (C)
142 472 3 (D)
144 257 (E)
144 1275 3
Jawab : A Misalkan = 3 x + 2 y dan = 3 x 4 y 6y =
9x = 2 +
Dengan demikian sin 2 = 2 sin cos = 2 31
32 2 =
94 2
cos 2 = Cos2
sin2 = 98
91 =
97
Dari 6y =
sin 6y = sin(
) = sin cos
cos sin
= 31 .
43
32 2 .
41 7 =
41
61 14
Dari 9x = 2 + cos 9x = cos(2 + ) = cos2 cos
sin2 sin
= 97 .
43
94 2 .
41 7 =
127
91 14
Jadi x9 cosy6 sin =
14
14
91
127
61
41
= 144211469
Ctg =tg1
sin 2
= 2 sin cos
cos 2
= cos2
sin2
cos 2
= 2 cos2
1
cos 2
= 1 2 sin2
tan 2
=
2 tan
1
tan2
Tg(90
) = ctg
3
1
2 2
sin = 31
cos = 32 2
cos = 43
sin = 41 7
4
7
3
72
Trigonometri
3. Pada segitiga siku-siku ABC berlaku cosA cosB =
31 maka cos 2A =…
(A) 31 2 (B)
32 2 (C) 1 (D)
91 (E)
31 5
jawab: E Perhatikan: nilai cosA cosB
0, berarti cos A
0 (tidak siku-siku di A) dan
cos B 0 (tidak siku-siku di B). ABC siku-siku di C.
ABC siku-siku di C A = 90 B sin A = sin(90 B) = cos B Jadi sin 2A = 2 sin A cosA
= 2 cos B cos A = 2 . 31 =
32
Dengan menggunakan rumus identitas cos2 2A + sin2 2A = 1 (atau bisa juga dari hubungan phitagoras), maka diperoleh cos 2A =
31 5
4. Dalam segitiga ABC, BB’ dan CC’ garis tinggi, jadi C’ pada AB dan B’ pada AC. Jika diketahui BB’ : AB’ = 2 dan CC’ : BC’ = 3, maka sudut ACB sama dengan
(A) 30 (B) 45 (C) 60 (D) 90 (E) 135
Jawab B
Misalkan BCC’ = x, ACC’ = y, BAC =
ABB’ + ABB’ = 900
ACC’ + ACC’ = 900
ABB’
ACC’ = 00
ABB’ = ACC’ = y
ABB’ cotg y = BABB = 2 tg y =
y gcot1 =
21
BCC’ cotg x = CBCC = 3 tg x =
xgcot1 =
31
Jadi tg(x + y) = tgy tgx 1
tgy tgx = 31
21
1
31
21
= 1
ACB = x + y = 45o
7.5. Rumus Jumlah dan selisih trigonometri
Contoh 4x cos 2x cos2xsin 4x sin = …
(A) ctg 3x (B) tg 3x (C) tg x (D)– tg x (E)– ctg 3x
Jawab
4x cos 2x cos2xsin 4x sin =
)x4x2(cos )x4x2(cos 2
)x2x4(cos )x2x4(sin 2
21
21
21
21
= x)cos( x3cos
cosx x3sin
= tg3x
Sin + sin = 2 sin21 ( + ) cos
21 (
)
Sin
sin = 2 cos21 ( + ) sin
21 (
)
cos + cos = 2 cos21 ( + ) cos
21 (
)
cos
cos = 2 sin21 ( + ) sin
21 (
)
Cos( x) = cosx
B
A
C
C’
B’ y x
y
73
Trigonometri
7.6.Rumus perkalian trigonometri
Contoh-contoh :
1. Tunjukkan 2 cos75o sin 15o = 1
21 3
Jawab: 2cos75 o sin 15o = sin (75o +15o) sin(75 15) = sin90 sin60 = 1
21 3
2. Nilai dari sin(x + 3
) cosx = 31 , maka nilai cos(x +
3) cosx = …
(A) 61 35 +
31 3 (C)
121 35 +
41 3 (E)
81 35 +
31 3
(B) 81 35 +
32 3 (D)
121 35 +
32 3
Jawab C 2 sin(x +
3) cosx =
32
sin(2x + 3
) + sin3
= 32
sin(2x+3
) + 21 =
32 sin(2x+
3) =
61
Dengan rumus identiras cos2(2x+3
) + sin2(2x+3
) = 1 (atau gambar segitiga dan
hubungan pithagoras), maka diperoleh cos(2x+3
) = 61 35
Sekarang perhatikan uraian berikut, cos(x + 3
) cosx = 21 ( 2 cos(x +
3) cosx )
= 21 (cos(2x+
3) + cos
3 )
= 21 (
61 35 +
21 3 )
= 121 35 +
41 3
3. Jika p = o10sin
o20sin
o25cos o35cos , maka nilai cos 10o adalah
(A) 2 p21 3p (B)
1p3p (C)
21 3p (D)
3p 1p2 (E)
1p2p3
Jawab A
Perhatikan p = o10 sin o20 sin
o25 cos o35 cos =
o10sin o20sin 2
o25cos o35cos 2
=
o10cos
o30cos
o10cos o60cos = oo
oo
30cos 10cos10cos 60cos
p cos10o p21 3 =
21 + cos10o (p 1) cos10o =
21 3p
cos10o = 2 p21 3p
2 sin cos
= sin( + ) + sin(
)
2 cos sin
= sin( + ) sin(
)
2 cos cos
= cos( + ) + cos(
)
2 sin sin
= cos( + ) cos(
)
2 sin cos = sin( + ) + sin(
)
2 cos cos = cos( + ) + cos(
)
74
Trigonometri
4. a. Buktikan sin 18o cos36o =
41
b. Dari identitas No a. buktikan cos 36o sin 18o = 21
c. Dari identitas No b. buktikan sin 18o = 41 ( 1 + 5 )
Jawab: a. sin 18o =
18cos218cos 18sin 2 =
18cos 236sin =
72sin236sin =
36cos 36sin2 236sin =
36cos41
maka sin18o cos36o = 41
b. Masing masing ruas identias No a. dikali 2 2 sin18o cos36o = 21
sin54o + sin( 18o) = 21
sin54o sin18o = 21
cos 36o sin18o = 21
c. Dari rumus cos2
= 1
2sin2 , maka cos36o = 1
2 sin218o. Subtitusi ke no b, diperoleh 1 2sin218o sin18o =
21 , sehingga 4 sin218o + 2sin18o 1 = 0 .
Jadi sin18o = a 2
D b = 8
20 2 = 81 ( 2 2 5 ) =
41 ( 1
5 )
Karena 18o kuadran I (sinus bernilai positif), maka sin18o = 41 ( 1 + 5 )
7.7.Aturan sinus, aturan kosinus dan luas segitiga
ABC adalah segitiga sembarang. R adalah jari-jari lingkaran luar. S =
21 keliling ABC =
21 ( a + b + c )
L = Luas dari ABC Perhatikan gambar dan juga perhatikan beberapa hubungan-hubungan yang dapat dirumuskan
2 sin cos = sin( + ) + sin(
)
Ingat sin( ) = sin
O
B
A c
a b R
C
Aturan Sinus
sina
= sin
b = sin
c = 2 R
Aturan Cosinus
a2 = b2 + c2
2 bc cos
b2 = a2 + c2 2 ac cos
c2 = a2 + b2 2 ab cos
L = 21 a b sin
L = 21 a c sin
L = 21 b c sin
L = )cS)(bS)(aS(S
b c sin
75
Trigonometri
Contoh
1. AD adalah garis berat segitiga ABC dari titik A
AC = 8, AB = 9, maka sinsin = ..
(A)98 (B)
89 (C)
32 2 (D)
23 2 (E)
32 3
Jawab A
Misalkan p = BD = CD dan = ADB
Aturan sinus ABD, BD
sin = ABsin
psin =
9sin
Aturan sinus ACD,CDsin =
AC)180sin(
psin =
8sin
Dari kedua persamaan diatas, sinsin =
98
2. Segitiga ABC sama kaki dengan A = C = x
Diketahui juga B = y
tgx tgy = 4
sisi a dan b seperti pada gambar
Nilai dari ba = …
(A) 21 (B)
21 2 (C)
31 2 (D)
31 (E)
21 3
Jawab E
x + x + y = 180o y = 180o 2x tgy = tg(180o 2x) = tg2x = xtg1
tgx 22
Subtitusi pada tgx tgy = 4 tgx ( xtg1
tgx 22
) = 4
2 tg2x = 4 4 tg2x
2 tg2 x = 4 tg x = 2
Subtitusi pada tgx tgy = 4 tg y = 2 2
Dari tgx = 2 ; diperoleh sinx = 31 6
Dari tgy = 2 2 ; diperoleh siny = 32 2
Perhatikan gambar diatas, ba =
ysinxsin =
21 3
3. Segitiga ABC dengan AB = 7, BC = 4 dan AC = 5. Dari C dan titik pada AB dihubungkan segmen garis sehingga segitiga terbagi dua yang mempunyai keliling sama. Panjang segmen garis ini adalah …
(A) 76 6 (B)
74 7 (D)
85 6 (D)
54 6 (E)
78 7
Sin(180 ) = sin
A
B C D
// //
A
B
C b x
y a
x
76
Trigonometri
Jawab B
Keliling ACD = keliling BCD
x + y + 5 = 7 x + y + 4
x = 3
Jadi AD = 3 dan BD = 4
Aturan kosinus BDC, y2 = 42 + 42 2 . 4. 4. cos kali 7
Aturan kosinus ABC, 52 = 42 + 72 2 . 4. 7. cos kali 4
7y2 100 = 36
7y2 = 64 y = 78 7
7.8.Grafik fungsi trigonometri
Gambar fungsi trigono berperiodik. Untuk sinus dan kosinus periode bisa dilihat sebagai panjang satu lintasan penuh, yaitu jarak dua titik simpul, atau, jarak absis titik maksimum ke titik maksimum berikutnya, atau, jarak absis titik minimum ke titik minimum berikutnya.
Untuk sinus dan kosinus nilai
7.8.1. Grafik : y = sin x, y = cosx dan y =tgx
A
B
C
x
5 4
7 x
D
y
Grafik y = sinx
Periode = 2
Amplitudo = 1
1
1
2
0 3
Amplitudo = 21 ( ymaks ymin ) = 1
Grafik y = tanx
Periode =
2
23
2
Grafik y = cosx
Periode = 2
Amplitudo = 1
1
1
2
0 3
77
Trigonometri
7.8.2.1.Grafik : y = A sin(Bx)
Lintasan grafik sinusoida. Beberapa yang penting dirinci …
1. Jika A B positif, maka grafik naik melintasi titik (0,0). Sebaliknya, jika A B negatif grafik turun melintasi titik (0,0).
2. Periode = B2
3. Amplitudo = A
7.8.2.2.Grafik : y = A cos(Bx)
Lintasan grafik sinusoida. Beberapa yang penting dirinci …
1. Jika A positif, maka grafik turun melintasi titik (0, A). Sebaliknya, jika A negatif grafik naik melintasi titik (0, A).
2. Periode = B2
3. Amplitudo = A
contoh
y = 2 cos4x
Periode : 2
1
Amplitudo 2
2
2
0
3
3
y = 3 sin 2x
Periode :
Amplitudo 3
4
0
5
5
y = 5 sin 2
1 x
Periode : 4
Amplitudo 5
y = cos3x
Periode : 3
2
Amplitudo 1
1
1
2
1
3
2
78
Trigonometri
7.8.3. Pergeseran grafik
Contoh
1. Grafik y = 3 sin(300 2x) + 5 diperoleh dari grafik y = 3 cos2x dengan cara (A) menggeser ke kiri sejauh 30o dan ke atas 5 satuan (B) menggeser ke kanan sejauh 15o dan ke atas 5 satuan (C) menggeser ke kiri sejauh 15o dan ke atas 5 satuan (D) Dicerminkan terhadap sumbu-x kemudian digeser ke kanan sejauh 300 dan
kebawah sejauh 5 satuan (E) Dicerminkan terhadap sumbu-x kemudian digeser ke kanan sejauh 300 dan
atas sejauh 5 satuan
Jawab A
Karena y = 3 cos2x = 3 sin(90 2x), maka dengan menggeser ke kiri sejauh 30o dan keatas 5 satuan diperoleh y = 3sin(90 –2 (x + 30)) + 5 = 3 sin(30 2x) + 5
2. Gambar grafik disamping adalah (A) y = 2 cos(x
3) (D) y = 2cos2(x
3)
(B) y = 2sin(x3
) (E) y= 2sin2(x3
)
(C) y = 2cos2(x3
)
Jawab E Perhatikan Amplitudo = 2,
21 periode =
65
3
21 periode =
21
periode =
Acuan kita titik (3
, 2), grafik diatas adalah grafik y = 2 cos2x digeser kekanan
sejauh 3
. Jadi persamaan grafiknya adalah y = 2cos2(x
3)
Grafik y = f(x) digeser sejauh a satuan mendatar dan b satuan vertical menjadi y = f (x a) + b
a > 0 : arah geser ke kanan a < 0 arah geser ke kiri b > 0 arah geser ke atas b < 0 arah geser ke bawah
3
65
2
2
79
Trigonometri
7.9. Bentuk A cosx + B sinx
Contoh
1. cos x sin x = …
Jawab k = 22 )1( 1 = 2
kuadran IV, karena (A,B) = (1, 1) kuadran IV
tan = 11 = 1. Karena kuadran IV, maka = 315o
cos x sin x = 2 cos( x 315 o )
2. 3 cosx + sinx = …
Jawab k = 22 1 )3( = 2
kuadran II, karena (A,B) = ( 3 ,1) kuadran II
tan = 3
1 = 31 3 . Karena kuadran II, maka = 150o
cos x sin x = 2 cos( x
150 o )
7.10. Persamaan trigonometri
Contoh :
1. Himpunan penyelesaian sin 3x = 21 , 0o < x < 360o adalah …
(A) {20o, 50o, 140o, 170o, 260o, 290o} (D) {10o, 140o, 250o, 290o} (B) {10o, 50o, 130o, 170o, 250o, 290o} (E) {20o, 130o, 170o, 260o} (C) {20o, 40o, 140o, 160o, 260o, 280o} Jawab B
A cosx + B sinx = k cos(x
)
Dimana k = 22 B A
tan =
AB
sudut dan (A,B) berada pada kuadran yang sama
sinx = sin
x1 = + k 360o
x2 = (180
) + k 360o
k = bilangan bulat
cosx = cos
x1 =
+ k 360o
x2 = + k 360o
k bilangan bulat
tan x = tan
x = + k 180o
k bilangan bulat
80
Trigonometri
sin 3x =
21 sin 3x = sin 30o
I. 3x = 30o + k 360o II. 3x = (180o 30o) + k 360
x = 10o + k 120o x = 50o + k 120o
k = 0 x = 10o k = 0 x = 50o
k = 1 x = 130o k = 1 x = 170o
k = 2 x = 250o k = 2 x = 290o
Dari (I) dan (II) HP = {10o, 50o, 130o, 170o, 250o, 290o}
2. Himpunan penyelesaian sin3x cosx + cos3x sinx = cos2x untuk 0 x 360o
adalah …
(A) {45o, 135o, 225o, 315o} (D) {45o, 75o, 225o, 255o} (B) {900, 135o, 270o, 315o} (E) {30o, 115o, 210o, 255o} (C) {45o, 90o, 225o, 270o}
Jawab : C
Perhatikan sin3x cosx + cos3x sinx = sinx cosx (sin2x + cos2x) = sinx cos x
= 21 ( 2 sinx cosx ) =
21 sin2x
Dan perhatikan cos2x = 2cos2x 1 cos2x = 21 cos2x +
21
Akibatnya 21 sin2x =
21 cos2x +
21
cos 2x + sin2x = 1
2 cos( 2x 135o) = 1
cos(2x 135o) = 21 2
cos(2x 135o) = cos 45o
I. 2x 135 = 45o + k 360o II. 2x 135o = 45o + k 360o
x = 90o + k 180o x = 45o + k 180o
k = 0 x = 90o k = 0 x = 45o
k = 1 x = 270o k = 1 x = 225o
Jadi HP = {45o, 90o, 225o, 270o}
cos2x + sin2x = k cos(2x )
k = 22 1 )1( = 2
kuadran II karena (A,B) = ( 1, 1) kuadran II, maka tan =
11 = 1.
Karena kuadran II, maka = 135o
81
Trigonometri
7.11. Masalah titik ekstrim fungsi trigonometri
Contoh
1. Nilai y = 2 sin(4x 10o) 5 akan mempunyai …
(A) ymin = 7 untuk x = 70o + k 90o (D) ymin = 7 untuk x = 20o + k 90o
(B) ymaks = 3 untuk x = 25o + k 90o (E) ymaks = 3 untuk x = 70o + k 90o
(C) ymaks = 3 untuk x = 20o + k 90o
Jawab E
ymaks = 2
5 = 3 untuk sin(4x 10o) = 1 = sin 270o
4x 10o = 270o + k 360o x = 70o + k 90o
ymin =
2
5 = 7 untuk sin(4x 10o) = 1 = sin 90o
4x 10o = 90o + k 360o x = 25o + k 90o
2. Jika nilai maksimum y = 3cos(px + 20o) + 2p sama dengan empat kali nilai minimumnya, maka y akan minimum untuk x = …
(A) 65o (B) 102o (C) 216o (D) 272o (E) 300o
Jawab: C
ymaks = 4 ymin 3 + 2p = 4 ( 3 + 2p) 6p = 15 p = 25
y akan minimum untuk cos(px + 20o) = 1 = cos 180o
25 x + 20o = 180o + k 360o x = 72o + k 144o
Salah satu jawaban yang memenuhi adalah 216o
Karena 1 sin(Bx + C) 1, maka … kasus A > 0, y = ymaks = A + D untuk sin(Bx+C) = 1
y = ymin = A + D untuk sin(Bx+C) = 1 kasus A < 0, y = ymaks = A + D untuk sin(Bx+C) = 1
y = ymin = A + D untuk sin(Bx+C) = 1
Karena 1 cos(Bx + C) 1, maka …
kasus A > 0, y = ymaks = A + D untuk cos(Bx+C) = 1 y = ymin = A + D untuk cos(Bx+C) = 1
kasus A < 0, y = ymaks = A + D untuk cos(Bx+C) = 1 y = ymin = A + D untuk cos(Bx+C) = 1
Bentuk y = A cos (Bx+C) + D
Bentuk y = A sin (Bx+C) + D
82
Trigonometri
3. Fungsi y = cosx cos(x
3
) + 43 mencapai nilai …
(A) maksimum 3 dan minimum 1 (D) maksimum 49 dan minimum
41
(B) maksimum 23 dan minimum
21 (E) maksimum
45 dan minimum
43
(C) maksimum 1 dan minimum 0
Jawab B
y =21 2 cosx cos(x
3) +
43
= 21 [ cos (2x
3) + cos
3 ] +
43
= 21 [ cos (2x
3) +
21 ] +
43 =
21 cos (2x
3) + 1
Dengan demikian ymin =
21 + 1 =
21 dan ymax =
21 + 1 =
23
Cara menentukan nilai ekstrim y = A cos2(Bx + C) + D, sama seperti diatas.
Contoh:
1. Fungsi f(x) = 3 sin2(2x 40) + 4, akan mempunyai …
(A) ymin = 1 untuk x = 60o (D) ymin = 4 untuk x = 65o
(B) ymin = 1 untuk x = 335o (E) ymin = 4 untuk x = 165o
(C) ymin = 1 untuk x = 345o
Jawab B
Karena 0 sin2(2x 40) 1, maka ymin = 3 . 1 + 4 = 1; ymaks = 3 . 0 + 4 = 4
y = ymin untuk sin2(2x 40o) = 1
sin (2x 40o) = 1 atau sin (2x 35o) = 1
2x 40o = 270o + k 360o atau 2x 40o = 90o + k 360o
x = 155o + k 180o atau x = 65o + k 180o
Salah satu yang memenuhi adalah x = 155o + 180o = 335o
2. Nilai minimum dan maximum fungsi f(x) = cos6x + sin6x secara berturut-turut adalah …
(A) 43 dan 1 (B)
41 dan
43 (C)
41 dan 1 (D)
41 dan
41 (E)
43 dan 1
Jawab C
Perhatikan 0 sin2(Bx + C) 1. Untuk sin2(Bx + C) = 0 y1 = D sin2(Bx + C) = 1 y2 = A + D
Diperoleh ymin = Nilai terkecil dari y1 dan y2. ymax = Nilai terbesar dari y1 dan y2.
Bentuk y = A sin2(Bx + C) + D
2 cos cos = cos( + ) + cos( )
83
Trigonometri
Misalkan a = cos2x dan b = sin2x a + b = cos2x + sin2x = 1
a b = cos2x . sin2x
= 41 ( 2 sinx cosx)2 =
41 sin2 (2x)
Sehingga f(x) = a3 + b3 = (a + b)3 3ab (a + b) = 1 3 a b = 1
43 sin2 (2x)
Dengan demikian fmin = 1
43 . 1 =
41 dan fmaks = 1
43 . 0 = 1
Contoh
1. Dua lebih dari nilai maksimum y = 2 cos(px) 2 3 sin(px) + 2p 1 sama dengan tiga kali nilai minimumnya, maka y akan minimum untuk x = …
(A) 17o (B) 112o (C) 193o (D) 246o (E) 305o
Jawab :D
k = 22 )32(2 = 4 dan (A,B) = (2, 2 3 ) kuadran IV kuadran IV
tan = 2
32 = 3
= 330o
ymaks + 2 = 3 ymin (4 + 2p 1) + 2 = 3 ( 4 + 2p 1) 4p = 20 p = 5 Dengan demikian y = 4 cos (5x 330o) + 9 Nilai y akan minimum untuk cos(5x 330o) = 1 = cos 180o
5x 330o = 180o + k 360o
5x = 510o + k 360o x = 102o + k 72o
Salah satu nilai yang memenuhi adalah x = 102o + 2 72o = 246o
2. Keliling ABC disamping adalah 8 cm, panjang sisi AC
terkecil yang memungkinkan adalah …
(A) 22
8 (B) )12(8 (C) 22
8 (D) 8( 2 + 1) (E) 4
Jawab B
Keliling ABC = 8 AC + AB + BC = 8
AC + AC cos + AC sin = 8
AC = sin cos 1
8
Tulis A cosx + B sinx = k cos(x )
k = 22 BA ; tg = AB
pada kuadran yang sama dengan titik (A,B) Diperoleh ymin = k + C untuk cos(x
) = 1 ymaks = k + C untuk cos(x
) = 1
Bentuk y = A cosx + B sinx + C
A B
C
84
Trigonometri
Karena batas nilai cos + sin antara 2 sampai dengan 2 , maka panjang terkecil AC = ACmin =
2 18 =
2 18
2121 = 8(1 2) = 8( 2 1)
3. Nilai minimum dan maksimum (p 1)sinx +(2p 3)cosx + 3q + 3 secara berturut-turut adalah 2 dan 7. Jika p1 dan p2 penyelesaian p dari masalah ini, maka nilai q + p1 + p2 = …
(A) 0,5 (B) 2,3 (C) 2,8 (D) 3,1 (E) 3,3
Jawab : C
k = 22 )3 p2( )1 p( = 10 p41 p5 2
ymin = 2 k + 3q + 3 = 2
ymin = 2 k + 3q + 3 = 7
6q + 6 = 9 6 q = 3 q = 0,5
Subtitusi q = 0,5 pada k + 3q + 3 = 7 k + 4,5 = 7 k = 2,5
Akibatnya 10 p41 p5 2 = 25 5p2 14p + 10 =
425
20p2 56p + 15 = 0 p1 + p2 = 2,8
Jadi q + p1 + p2 = 0,5 + 2,8 = 3,3
4. Jika A + B kuadran I, cos(A + B) = 53 , dan y = cosA + sin B, maka ymaks = …
(A) 51 58 (B)
53 01 (C)
51 41 (D)
54 2 (E)
54 3
Jawab B
Misalkan = A + B. Karena cos = 53 maka sin = 2cos1 =
54
Sin B = sin(
A) = sin cosA cos sinA = 54 cosA
53 sinA
y = cosA + sin B = 59 cos A
53 sinA ymaks =
51 90 =
53 01
Misalkan t = sinx. Karena 1 sinx 1, maka 1 t 1
Jadi dapat ditulis y = f(t) = A t2 + B t + C, 1 t 1
Nilai ymaks dan ymin
dapat diperoleh dengan membandingkan nilai maksimum dan minimum dari …
f( 1); f(1); dan f(a2
b ) = a4
D jika tpuncak = a2
b diantara 1 sampai 1
f( 1) dan f(1) jika tpuncak = a2
b tidak diantara 1 sampai 1
Catatan : Nilai ekstrim dari y = A cos2x + B cosx + C dicari dengan cara yang sama seperti diatas
Bentuk y = A sin2x + B sinx + C
+
85
Trigonometri
Contoh :
1. Nilai minimum dan maksimum dari y = 9 sin2x + 6 sinx + 7 masing-masing adalah
(A) 8 dan 2 (B) 1 dan 8 (C) 2 dan 4 (D) 8 dan 8 (E) 2 dan 1
Jawab D
Misalkan t = sinx y = f(t) = 6 t2 + 8t + 7, 1 t 1
Perhatikan f( 1) = 8, f(1) = 4; 1 tpuncak = a2
b 1 f(a2
b ) = f(31 ) = 8
Jadi ymin = f( 1) = 8 dan ymaks f(a2
b ) = f(31 ) = 8
2. Hasil kali nilai maksimum dan nilai minimum dari f(x) = 4log(cos2x 6cosx + 9) sama dengan nilai maksimum dari f(x) = 2 cos4x + 4 sin2x + m, maka m = …
(A) 3 (B) 1 (C) 2 (D) 5 (E) 8
Jawab B
I. f(x) = 4log( cos2x 6cosx + 9 ) = 4log[ 2 cos2 x 6 cosx + 8 ]
untuk cosx = a2
b = 46 , tidak dicek karena tidak pada 1 sampai dengan 1
untuk cosx = 1 f1 = 4log 16 = 2
untuk cosx = 1 f2 = 4log 4 = 1
Jadi fmin = 2 dan fmaks = 1 fmin . fmaks = 2
II. f(x) = 2 cos4x + 4 sin2x + m = 4 sin2 2x + 4 sin 2x + 2 + m
sinx = tpuncak = a2
b = 21 adalah puncak maksimum fmaks 3 + m
Dari (I) dan (II) diperoleh 2 = 3 + m m = 1
7.12 Batas penyelesaian persamaan A cosx + B sinx = C
1. Batas nilai p agar cos(x 60o) sinx = p cos2x terdefinisi adalah … (A) p
361 3 (C) p
241 3 (E) p 3 2
(B) p
3 (D) p 4 2
Jawab C
Cos2x = 2 cos2x 1
Cos4x = 1 2 sin22x
Persamaan A cos x + B sin x = C terdefinisi
j i k a A2 + B2 C2
86
Trigonometri
[ cosx cos60 + sinx sin60 ] sinx = p cos2x
21 cosx sinx +
21 3 sin2x =
21 p (cos2x + 1)
2 cosx sinx + 2 3 sin2x = 2p cos2x + 2p
sin 2x + 3 ( 1 cos2x) = 2p cos2x + 2p
sin 2x ( 3 + 2p ) cos2x = 2p
3
( 3 + 2p)2 + 12 (2p
3 )2
4p2 + 4 3 p + 4 4p2 4 3 p + 3
8 3 p
1 p
241 3
2. Jika a dan b masing-masing nilai minimum dan maksimum f(x) = xcos231xsin3 ,
maka nilai a . b = … (A)
45 (B)
54 (C)
58 (D)
54 (E)
58
Jawab : C
Tulis y = f(x) y = xcos231xsin3
3y 2y cosx = 3 sin x + 1
2y cosx + 3sinx = 3y 1
(2y)2 + 32 (3y 1)2
4y2 + 9 9y2 6y + 1
5y2 6y 8 0 (5y + 4 ) (y 2 ) 0
54 y 2 a = ymin =
54
b = ymax = 2
Dengan demikian a . b =
58
7.13 Pertidaksamaan trigonometri
A cos x + B sinx = C A2 + B2 C2
Sin 2x = 2sinx cosx
Cos2x = 1 2sin2x
+
+
54
2
A cosx + B sinx = C
Maka A2 + B2 C2
Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan Trigonometri adalah sebagai berikut :
1. Daftarkan penyelesaian persamaannya pada garis bilangan. 2. Daftarkan juga pada garis bilangan nilai yang menyebabkan
bentuk trigononya tidak terdefinisi (Misalnya x = 90o
pada tg x; x = 90o pada sec x; x= 0o pada cosec x; atau pembuat nol penyebut pada bentuk pecahan.
3. Tentukan tanda (+) atau ( ) pada garis bilangan. 4. Himpunan penyelesaian bentuk pertidaksamaan.
Cos2x = 2 cos2x 1
Kali 4
87
Trigonometri
Contoh
1. Penyelesaian cos x + cos2x + cos3x 0, 0 < x < adalah …
(A) 0 x
41 atau
32
x
43 (D)
41
x <
32 atau
43
x
(B) 0 < x
41 atau
32
x
43 (E)
41
x <
32 atau
43
x <
(C) 0 < x
41 atau
43
x <
Jawab : E
Selesaikan cos x + cos2x + cos3x = 0 [ cos x + cos 3x ] + cos 2x = 0
2 cos2x cosx + cos2x = 0
cos2x (2 cosx + 1 ) = 0
cos 2x = 0 atau cosx = 21
Untuk cos 2x = 0 2x = 21 + k 2 atau 2x =
21 + k 2
x = 41 ; x =
43
Untuk cosx = 21 x =
32
Penyelesaian 41
x
32 atau
43
x <
2. Penyelesaian 2 tan2 x + sec2 x 2, 0 < x < 270o adalah …
(A) 0o < x 30o atau 150o x 210o
(B) 30o x 150o atau 210o x < 270o
(C) 60o x 120o atau 240o x < 270o
(D) 60o x < 90o atau 90o < x 120o atau 240o x < 270o
(E) 30o x < 90o atau 90o < x 150o atau 210o x < 270o
Jawab E
Persamaan: 2tan2x + sec2x = 2 2tan2x + tan2x + 1 = 2 3 tan2x 1 = 0
( 3 tanx + 1) ( 3 tanx 1) = 0
tanx =
31 3 atau tanx =
31 3
x = 150o atau x = 30o ; x = 210o
Perhatikan tanx dan secx tidak terdefinisi untuk x = 90o, x= 270o
Garis Bilangan :
Jadi 30o x < 90o atau 90o < x 150o
atau 210o x < 270o
+
+
0
41
43
32
+
+
0
30o
270o
150o
90o
210o
+
88
Trigonometri
3. Penyelesaian dari
6xsin33xsin21xcos2xcos3
2
2
0; 0 < x < 360
(A) { x 0o < x < 30o atau 150o < x < 240o atau 330o < x < 360o } (B) { x 30o < x 150o atau 210o < x 330o } (C) { x 30o < x < 150o } (D) { x 30o < x 150o atau 210o x 330o } (E) { x 0o < x < 30o atau 150o < x < 240o atau 330o < x < 360o } Jawab C
Pembilang : 3 cos2x 2 cosx + 1 = 0 tidak mempunyai penyelesaian, karena D = ( 2)2 4 . 3 . 1 = 8 < 0 (bentuk definit)
Penyebut : 2sin2x + 3 3 sinx 6 = 0
Sinx = a2
Db = 2 2
6)( 2 4 )33( 33 2
= 2 2
75 33
I. sinx = 2 3 tidak ada penyelesaian
II. sinx = 21 3 x = 30o atau x = 150o
Garis bilangan : Lingkaran kosong ( Baca : ) pada nilai x = 30o dan x = 150o, karena x = 30o dan x = 150o penyelesaian pembuat nol penyebut pecahan diatas ( atau pecahan tidak terdefinisi untuk x = 30o dan x = 150o )
Dengan demikian HP : { x 30o < x < 150o)
+
0
30o
360o
150o
89
Trigonometri
Soal dan Pembahasan Matematika Ipa
1.
Persamaan kurva di atas adalah … (Matematika ’89 Rayon A) a. y = 2 sin (x +
6) c. y = 2 sin (x +
6) e. y = 2 sin (x +
6)
b. y = 2 sin (x +6
) d. y = 2 sin (x +6
)
Jawab : A
Dari gambar absis titik puncak maksimum xmaks =2
6
dan absis titik pucak
minimum xmin = 2
3
6. Ini berarti periode = 2 (xmaks xmin) = 2
Amplitudo kurva adalah 2 Dari gambar, kuva naik melintasi (
6,0). Jadi persamaan kurva didapat dengan
menggeser y = 2 sinx ke kiri sejauh 6
, yaitu y = 2 sin (x +6
).
2. Bila x terletak pada selang 41 < x <
41 maka berlaku …
a. cos x cos 2x c. cos 2x < cos x e. cos 2x = 2cos x b. cos x < cos 2x d. cos 2x cos x
(Matematika ’89 Rayon B)
Jawab : C
1. 41 < x <
21 daerah kuadran I berarti cos x positif.
2. 2 41 < 2 x < 2
21
21 < 2x < daerah kuadran II berarti cos 2x negatif
Dari 1 dan 2, maka cos 2x < cos x
3.
Persamaan kurva di atas adalah …
2
1
2
1
y
x
2
2
1
2
1
2
y
x
60
180
240
360
90
Trigonometri
a. y = 2 sin x c. y = sin (x + 30 ) e. y = 2 sin (x + 30 ) b. y = 2 cos x d. y = cos (x + 30 )
(Matematika ’89 Rayon C)
Jawab : E Dari gambar didapat amplitudo 2 dan perioda 360O. Kurva naik melintasi titik ( 30,0), jadi kurva diperoleh dari y = 2 sinx digeser ke kiri sejauh 30O, maka persamaan kurvanya y = 2 sin (x + 30)O
4. Nilai x yang memenuhi cos x + sin x = 6 21 dapat dihitung dengan mengubahnya
ke persamaan yang berbentuk k cos (x
) = a. Diantara nilai-nilai x tersebut adalah … a.
24 b.
15 c.
12 d.
8 e.
6
(Matematika ’90 Rayon C)
Jawab : C
Perhatikan ruas kiri cos x + sin x dapat ditulis sebagai k cos (x
) dengan nilai k = 2 ; tg =
11 = 1
= 4
Jadi 2 cos (x
4) = 6
21 cos (x
4) = 3
21
x
4 =
6 + k 2
x = 4
6 + k 2
Yang memenuhi adalah x = 4
6 =
12
5. Nilai maksimum dari f(x) = 2 cos 2x + 4 sin x untuk 0 < x < adalah… a. 2 b. 3 c. 4 d. 6 e. 12
( Matematika ’91 Rayon A)
Jawab : B
f(x) = 2 (1 2 sin2x) + 4 sin x = 4 sin2 x + 4 sin x + 2 Misalkan t = sin x f = 4 t2 + 4 t + 2, 1 t 1
tpuncak = a2
b = 21 memenuhi 1 tpuncak 1 f1 = a4
D = )4(4
2)4(414 = 3
Untuk t = 1 f2 = 4 ( 1)2 + 4 ( 1) + 2 = 2 Untuk t = 1 f3 = 4 (1)2 + 4 (1) + 2 = 6 Dengan demikian fmax = f1 = 3
6. Nilai maksimum dari 3 cos x
3 sin x
321 adalah …
a. 325 b. 32 c. 3
23 d.
23 e. 5
23
(Matematika ’91 Rayon B)
91
Trigonometri
Jawab : C
k =
)3( 3 22 =
12 ymax = k
3
21 =
12
3
21 = 3
23
7. Nilai maksimum f (x) = 3 cos x + 4 sin x 2 adalah … a. 0 b. 3 c. 6 d. 9 e. 10
(Matematika ’91 Rayon C)
Jawab : B
Fmax = 22 4 3 2 = 5 2 = 3
8. Diketahui f(x) = 3 cos x + 4 sin x + c, c suatu konstanta. Jika nilai maksimum f(x) adalah 1 maka nilai minimumnya … a. 0 b. 1 c. 5 d. 9 e. 25
(Matematika ’92 Rayon A)
Jawab : D
k = 22 4 3 = 5 fmax = 5 + c 1 = 5 + c c = 4 fmin = k + c = 5 4 = 9
9. Nilai minimum dan maksimum fungsi f(x) = 2[1 + cos2x cos2(x
6)] berturut-
turut adalah … a. 0,5 dan 2,5 c. 1 dan 5 e. 0,5 dan 1,5 b. 0,5 dan 4,5 d. 1,5 dan 3,5
(Matematika ’92 Rayon B)
Jawab : D
f(x) = 2 + 2 cos 2x cos(2x 3) = 2 + cos(2x + 2x 3 ) + cos(2x (2x
3))
= 2 + cos(4x 3 ) + cos 3
= cos (4x
3 ) + 221
fmin = 1 + 221 = 1
21
fmax = 1 + 221 = 3
21
10. y = 3 sin 3x 13 cos 3x + 8 mempunyai nilai maksimum …
a. 12 b. 14 c. 8 + 3 d. 8 + 3 e. 21 26
(Matematika ’92 Rayon C) Jawab : A ymax = 133 + 8 = 12
11. P adalah titik pusat l ingkaran luar segitiga ABC. Jika sin C = a maka sin APB = …
a. 21 a 2a1 b. a 2a1 c. 2a 2a1 d. 2a e. 2a2
(Matematika ’94 Rayon A)
2 cos cos = cos( + ) + cos( )
92
Trigonometri
Jawab : C Sudut pusat = 2 kali sudut keliling lingkaran yang
menghadapi busur yang sama APB = 2 C.
sin c = a
cos c = 2a1
maka sin APB = sin 2 C sin APB = 2sin C cos C
sin APB = 2a 2a1
12. Diketahui XY dan XZ merupakan garis tengah lingkaran jika YZ = a, maka AB = … a. a cos c. a tg e.
cosa
b. a sin d. sin
a
(Matematika ’94 Rayon B)
Jawab : A
Pada XBZ, cos =XZXB XB = XZ cos .
Pada XAY, cos =XYXA XA = XY cos
XB XA = (XZ XY) cos
Karena XB XA = AB dan XZ XY = YZ = a, maka AB = a cos
13. Dalam segitiga ABC, a, b, dan c adalah sudut-sudutnya. Jika tg a = 43 dan tg
b =34 maka sin c = …
a. 1 b. 2524 c. 25
7 d. 2524 e. 1
(Matematika ’95 Rayon B)
Jawab : E
A + B + C = 180O A + B = 180O C tg(A + B) = tg (180O C) = tg C
tg C =
B tg A tg 1B tg A tg =
34
43 1
34
43
=
012
25 = ~
karena tg C = ~, maka C = 90O. Jadi sin C = sin 90O = 1
14. A, B, dan C adalah sudut-sudut segitiga. Jika A B = 30o dan sin C = 65 maka cos
A sin B = … a.
21 b.
31 c.
61 d.
32 e. 1
(Matematika ’95 Rayon B)
C
A
B
P
1
a
2a1
B
X Y Z
A
93
Trigonometri
Jawab : C
A + B + C = 180O A + B = 180O C sin (A + B) = sin (180O C) = sin C =
65
sin A cos B + sinB cos A = 65 …………….(1)
A B = 30O sin (A B) = sin 30O = 21
sin A cos B sin B cos A =21 …………………….(2)
Dari (1) dan (2) sin A cos B + sin B cos A = 65
sin A cos B sin B cos A = 21
2 sin B cos A = 62
cos A sin B = 61
15. Diketahui A dan B sudut-sudut lancip dalam sebuah segitiga dengan sudut ketiganya C. Jika sin A =
53 dan tg B =
21 maka cos C = …
a. 551 b. 5
52 c. 5
2511 d. 5 e. 525
1
Jawab : A
tg B = 21 sinA =
53
sin B = 51 5 cos A =
54
cosB = 52 5
A + B + C = 180O C = 180O (A + B) cos C = cos (180O (A + B)) cos C = cos (A + B) = [cos A cos B sin A sin B]
= [53
52 5
53
51 5 ] =
51 5
16. Untuk 0O x 360O, himpunan penyelesaian 2 sin 2x 1 adalah … a. {x 30O x 150O } d. {x 75O x 195O } b. {x x = 45O} {x 225O} e. {x 15O x 75O } c. {x 15O x 75O } {x 195O x 225O }
(Matematika ’95 Rayon A)
Jawab : C
sin 2x 21 = sin 30o
2x = 30 + k 360 2x = 150 + k 360 x = 15 + k 180 x = 75 + k 180 x = 15O; 195O x = 75O; 225O
HP = {x 15O x 75O } {x 95O x 225O }
+
+
0
15
75
195
360
255
B
1
5
2
3
5
4
A
94
Trigonometri
17. Daerah
x
himpunan penyelesaian persamaan
3xtg 1 adalah …
a. {x4
x
4} c {x 2
x 2 } e. {x
x
}
b. {x 3
x 3 } d. {x 4
3
x 4
3 }
(Matematika ’95 Rayon B)
Jawab : D
tg 3x 1 tg2
3x 1 tg2
3x 1 0 (tg 3
x 1)( tg 3x + 1) 0
tg 3x = 1
3x =
4
x = 43
tg 3x = 1
3x =
4
x = 43
HP = {x 43
x 43 }
18. Untuk 0O x 360O , sin x >
21 bila …
a. 0O x 30O c. 150O x 180O e. 270O x 330O
b. 30O x 150O d. 180O x 210O
(Matematika ’95 Rayon C)
Jawab : B
sin x =21 30O, x = 150O
30O x 150O
19. y = 4 sin x sin(x 60O) mencapai nilai minimum pada … a. x = 60O + k 360O k = 0, 1, 2, … d. x = 30O + k 180O k = 0, 1, 2, … b. x = 60O + k 180O k = 0, 1, 2, … e. x = k 360O k = 0, 1, 2, … c. x = 30O + k 360O k = 0, 1, 2, …
(Matematika ’96 Rayon A)
Jawab : D
y = 2 . 2 sin x sin (x 60O) = 2 . [cos (x + (x 60O)) cos (x (x 60O))] = 2[cos (2x 60O) cos 60O] = 2cos (2x 60O) + 1
y akan minimum bila cos (2x 60O) = 1 2x 60O = k . 360O
x = 30O dimana k = 0, 1, 2, …
20. Nilai maksium dari 25 x cos 8 x sin 15
m adalah 2. Ini berarti m = …
a. 4 b. 16 c. 36 d. 64 e. 84
(Matematika ’96 Rayon B)
Jawab : B
Nilai k = 22 )8( )15( = 17
Nilai maksimum = 2
25 k m = 2
25 17 m = 2 m = 16
+
+
3
4
3
4
+
30
150
360
0
95
Trigonometri
21. Fungsi y = 3 cos x + sin x + 4 mempunyai nilai …
a. minimum = 2 untuk x = 330o d. maksimum = 6 untuk x = 330o b. maksimum = 2 untuk x = 150o e. maksimum = 6 untuk x =150O
c. minimum = 2 untuk x = 150o
(Matematika ’96 Rayon C)
Jawab : E
k = 1 3 = 2; tg = 3
1 ( kuadran II ) = 180o 30o = 150o
Dengan demikian y = 2 cos (x 150O) + 4 ymax = 2 + 4 = 6 untuk cos (x 150O) = 1 x 150O = k . 360O
x = 150O, didapat (150O, 6) ymin = 2 + 4 = 2 untuk cos (x 150O) = 1 x 150O = 180O + k . 360O
x = 330O didapat (330O, 2)
22. Pada suatu segitiga ABC yang siku-siku di C, diketahui bahwa sin A sin B =52
dan sin (A B) = 5a. Nilai a adalah … a.
51 b.
253 c.
251 d.
253 e.
53
(Matematika ’97 Rayon A)
Jawab : B dan D
Segitiga ABC siku-siku di C ( C = 90o) A + B = 90o sin A sin B =
52
21 [cos (A B) cos (A + B)] =
52
cos (A B) cos 90O = 54 cos (A B) =
54
Jika A B > 0 diperoleh sin (A B) = 53 5a =
53 a =
253
Jika A B < 0 diperoleh sin (A B) = 53 5a =
53 a =
253
23. , , dan adalah sudut-sudut sebuah segitiga, jika tg + tg = 2 tg , maka tg tg = … a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
(Matematika ’97 Rayon B)
Jawab : C
+ + = 180o
+ = 180o
tg ( + ) = tg (180o
)
tgtg 1tg tg = tg
1 tg tg =tg
tg tg
tg + tg = 2 tg
1 tg tg =tg
tg tg =
tg tg 2 = 2
Jadi tg tg = 3
24. Bila 2 cos(x +4
) = cos( x 4
) maka tg x = …
a. 1 b. 21 3 c.
31 3 d.
31 e.
21
(Matematika ’97 Rayon C)
96
Trigonometri
Jawab : D
2 [cos x cos4
sin x sin
4] = cos x cos
4 + sin x sin
4
2 [
21 2 cos x
21 2 sin x ] =
21 2 cos x +
21 2 sin x
2 cos x 2 sin x = 21 2 cos x +
21 2 sin x kali 2
Diperoleh : 2 cos x 2 sin x = cos x + sin x 3 sin x = cosx tg x =
31
25. Bentuk 3 cos x sin x, untuk 0 x 2 dapat dinyatakan sebagai … a. 2 cos(x +
6) c. 2 cos(x +
611 ) e. 2 cos(x
6)
b. 2 cos(x + 6
7 ) d. 2 cos(x
67 )
(Matematika ’98 Rayon A) Jawab : A Perhatikan k = 22 )1( )3( = 2
tg = 31 ( kuadran IV ) = 360o 30o = 330o
Diperole : y = 2 cos (x 330O) = 2 cos(x 6
11 ) // Tidak ada di option //
Tetapi y = 2 cos (x 330O + 360O ) y = 2 cos (x + 300 ) = 2 cos(x +
6)
26. Jika + = 6
dan cos
cos = 43 , maka cos(
) = …
(A) 91 +
23 (C)
43
23 (E)
23
(B) 23 +
23 (D)
23
23
(Matematika ’99 Rayon A)
Jawab D
Perhatikan : cos
cos = 43
21 [ cos ( + ) + cos (
) ] = 43
21 [ cos
6 + cos (
) ] = 43
21 [
21 3 + cos (
) ] = 43
21 3 + cos (
) = 23
cos (
) = 23
23
27. adalah sebuah sudut lancip yang memenuhi 2 cos4 = sin2 , maka tan = (A)
31 3 (B)
21 (C) 2
3 (D) 1 (E) 3
(Matematika ’99 Rayon B) Jawab : D karena sin2 = 1 cos2
2 cos4 = 1 cos2
Misalkan p = cos2 2p2 = 1 p 2p2 + p 1 = 0 (2p 1)(p + 1) = 0 p =
21 atau p = 1 cos2 =
21 atau cos2 = 1
Karena sudut lancip cos = 21 2
= 45o tan = 1
A = A + 3600
2 cos
cos = cos ( + ) + cos (
)
97
Trigonometri
28. Jika
cossin1 = x, untuk
2
, maka tan2
=
(A) x1
1 (C) x1x1 (E)
x1x
(B)
x1x (D)
x1x1
(Matematika ’99 Rayon C)
Jawab C
cossin1 =
)(sin)(cos
)cos()sin(2)(cos)(sin
212
212
21
21
212
212
= ] )sin()cos( ][ )sin()cos( [
] )sin()cos( [
21
21
21
21
221
21
=
)sin()cos(
)sin()cos(
21
21
21
21
Diperoleh
)sin()cos(
)sin()cos(
21
21
21
21
= x (1 x) cos(21 ) = (1 + x ) sin(
21 )
tan(21 ) =
x1x1
98
Trigonometri
Kumpulan Matematika Dasar
1. Sebuah tiang bendera tingginya 3 m mempunyai bayangan di tanah sepanjang 2m. Pada saat yang sama pohon cemara mempunyai bayangan ditanah sepanjang 10 m. Maka tinggi pohon cemara tersebut adalah … (A) 15m (B) 16 m (C) 20 m (D) 25m (E) 30m
(Umptn 99 Rayon A)
2. Jika xx
sec1tan2
= 1, 0o < x < 90o, maka sudut x adalah …
(A) 0o (B) 30o (C) 45o (D) 60o (E) 75o
(Umptn 99 Rayon A)
3. Jika 0o < x < 90o, diketahui tanx xsin1 2 = 0,6, maka tanx =
(A) 2,25 (B) 1,8 (C) 1,25 (D) 0,8 (E) 0,75 (Umptn 99 Rayon B)
4. Dari segitiga ABC diketahui bahwa
= 300 dan
= 600, jika a + c = 6, maka panjag b = … (A) 2 (B) 3 (C) 2 2 (D) 2 3 (E) 3 2
(Umptn 99 Rayon B)
5. Jika 2 < x < dan tanx =
43 , maka csec x = …
(A) 35 (B)
45 (C)
53 (D)
45 (E)
35
(Umptn 99 Rayon C)
6. Dari segitiga ABC diketahui bahwa tan(A + B) = a. Nilai 1 + sin2C = …
(A) 1a1a2
2
2 (B)1a
a22
2 (C)1a2a
2
2 (D)1a
a2
2 (E) 1a
22
(Umptn 99 Rayon C)
7. Diberikan segitiga ABC siku-siku di C. Jika cos(A + C) = k, maka sin A + cos B = … (A)
21 k (B) k (C) 2k (D)
21 k (E) 2k
(Umptn 98 Rayon A, Rayon B, Rayon C)
8. Jika 2
< x < dan tan x = a, maka (sinx + cos x)2 = …
(A) 1 a
1 a2 a2
2 (B)1 a
1 a2 a2
2 (C)
1 a1 a a
2
2 (D)1 a
1 a a2
2 (E)
1 a1 a2 a
2
2
(Umptn 98 Rayon A)
99
Trigonometri
9. Diketahui segitiga ABC dengan sudut B = 450 dan CT garis tinggi dari titik sudut
C. Jika BC = a dan AT = 21 2 , maka AC = …
(A) a 2 (B) a 3 (C) a 5 (D) a 7 (E) a 11
(Umptn 98 Rayon A)
10. (1 sin2A) tan2A = … (A) 2sin2A 1 (C) 1 – cos2 A (E) cos2A + 2 (B) sin2A + cos2 A (D) 1 – sin2A
(Umptn 98 Rayon B)
11. Diketahui segitiga ABC dengan sudut B = 45o dan CT garis tinggi dari titik sudut C. Jika BC = a dan AT =
23 a 2 , maka AC = …
(A) a 2 (B) a 3 (C) a 5 (D) a 7 (E) a 11
(Umptn 98 Rayon B)
12. Diketahui segitiga ABC dengan sudut B = 600 dan CT garis tinggi dari titik sudut C. Jika BC = a dan AT =
2a3 , maka AC = …
(A) 21 a 2 (B) a 2 (C)
21 a 3 (D) a 3 (E)
21 a 5
(Umptn 98 Rayon C)
13. Jika sinx = a dan cosy = b dengan 0 < x < 2
dan 2
< y < , maka
tanx + tany = …
(A) 2
22
a 1 b
)b 1( )a (1 ab (D) 2
22
b 1 b
)b 1( )a (1 ab
(B) 2
22
a 1 b
)b 1( )a (1 ab (E))b 1( )a (1
)a(1 b )b1( a22
22
(C) 2
22
b 1 b
)b 1( )a (1 ab
(Umptn 98 Rayon C)
14. xx
sincos 1 = …
(A) xcos
1xsin (B)
xsin 1xcos (C)
xcos
1xsin (D)
xsin 1xcos (E)
xcos
1xsin
(Umptn 97 Rayon A)
15. Jika cos x = 55 maka ctg (
2 – x ) =
(A) – 2 (B) – 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 (Umptn 97 Rayon A)
16. xcos 1
xsin =
(A) xsin
xcos 1 (B) xsin
xcos 1 (C) xcos
xsin 1 (D) xcosxsin1
(E) xsin
1xcos
(Umptn 97 Rayon B)
100
Trigonometri
17. Jika sin x =
32 , maka ctg (
2– x ) =
(A)21 5 (B)
53 5 (C) –
52 5 (D)
21 5 ( E)
31 5
(Umptn 97 Rayon B)
18. Jika ctg x = 3 maka sin( 2 – x ) =
(A) –101 10 (B) –
103 10 (C)
51 10 (D) 5
2 10 (E) 53 10
(Umptn 97 Rayon C)
19. sin1
cos = …
(A) cos
sin1 (B) cos
sin1 (C)sincos1 (D)
sincos1 (E)
sinsin1
(Umptn 97 Rayon C)
20. Persamaan grafik disamping ini adalah (A) y = 2 sin
23 x (D) y = 2 cos
23 x
(B) y = –2 sin23 x (E) y = –2 cos
32 x
(C) y = –2 cos23 x
(Umptn 96 Rayon A, Rayon B, Rayon C)
21. Jika x di kuadran II dan tan x = a, maka sin x =
(A) 2a1
a (B) –2a1
a (C)2a1
1 (D) –2a1a
1 (E) – aa1 2
(Umptn 96 Rayon A)
22. Jika F(x) = 5 sinx + 2 mempunyai maksimum a dan minimum b, maka nilai ab =… (A) 0 (B) 3 (C) –15 (D) –18 (E) –21
(Umptn 96 Rayon B)
23. Jika x = 3tan ( tan lambang untuk tangens) maka sin cos adalah … . (A)
9x3
x2
(B) 9xx
32
(C) – 9x
x32
(D) 9x
x32
(E) 9x
12
(Umptn 96 Rayon C)
24. Jika 0 < x <
dan x memenuhi persamaan tan2x – tanx – 6 = 0, maka himpunan nilai sin x adalah …
(A) {10
103 ,5
52 } (C) {–10
103 ,5
52 } (E) {1010 ,
552 }
(B) {10
103 ,– 552 } (D) {
1010 , 5
5 }
(Umptn 95 Rayon A, Rayon B, Rayon C)
25. Diketahui sin = a, sudut tumpul, tan = … (A) –
1aa2
(B) –2a1
a (C) –2a1
a (D) –2a1
a
(E)2a1
a
(Umptn 95 Rayon A)
2
1
0
–1
–2
3 32
101
Trigonometri
26. Jika tan x = – 3 , x sudut tumpul maka cos x …
(A) 1 (B) 21 (C) –1 (D) –
21 (E) –
21 3
(Umptn 95 Rayon A)
27. cos 11100 = … (A) 3 (B)
21 3 (D) –
21 3 (C) – 3 (E)
21
(Umptn 95 Rayon B)
28. Jika cos x > 0 dan blog sin x = a, maka blog cosx = …
(A) 2 blog( 1 – 2a
b ) (C) 2a
b (E) ( a2 )b
(B) 1 – a2 (D) 21
blog( 1 – a2b )
(Umptn 95 Rayon B)
29. Jika A + B + C = 3600, maka 2
CB2A
sin
sin = …
(A) tan2A (B) cot
2A (C) sec
2C
B (D) 1 (E) 0
(Umptn 95 Rayon C)
30. cos 1500 + sin 450 + 21 cot(–3300) = …
(A) 21 3 (B) –
21 3 (C)
21 2 (D) –
21 2 (E) 2
(Umptn 94 Rayon A)
31. Jika –2
< x <2
dan 6 sin2 x – sin x – 1 = 0, maka cos x = …
(A) 21 3 dan
32 2 (B) –
21 3 dan
32 2
(C) 21
3 dan –32 2 (D) –
31 2 dan –
32 3
(E) 31 2 dan
32 3
(Umptn 94 Rayon A)
32. Jika tanx = 31 3 dan 0 < x <
2, maka 3cosx + cos(x+
2) + sin(
–x) = …
(A) 3 (B) 31 3 (C)
21 3 (D)
32
3 (E) 31 3 +
21
(Umptn 94 Rayon B)
33. Akar-akar persamaan 4 sin2 x + 4 cos x – 1 = 0 yang terletak dalam interval
x
adalah (A) –
23 dan
23 (C) –
32 dan –
3 (E)
32 dan –
32
(B) 2
3 dan2
(D) 3
2
dan 3
(Umptn 94 Rayon B)
34. cos 330 tg (–315) – sin (–210) ctg 330 (A)
21 3 (B)
21 (C) 1 (D) 3 (E)
31 3
(Umptn 94 Rayon C)
102
Trigonometri
35. Jika –
2< x <
2 dan 4 tg2 x – 7 tg x + 3 = 0, maka sin x =
(A) 21 2 dan
53 (C)
21 2 dan
54 (E) –
21 2 dan –
53
(B) 21 2 dan –
53 (D) –
21 2 dan
54
(Umptn 94 Rayon C)
36. Jika cos = – 21 3 dan sudut terletak pada kwadran II, maka tg =
(A) 3 (B)91 3 (C)
21 (D) –
31 3 (E) – 3
(Umptn 93 Rayon A)
37. tg(–45) + sin 120 + cos 225 – cos 30 = (A)
21
+ 21 2 (C) –
21
– 21 2 (E) 1 –
21 2
(B) 21
– 21 2 (D)–1 –
21 2
(Umptn 93 Rayon A)
38. Cos 3x = – 21 3 dipenuhi oleh x = …
(1) 400 (2) 500 (3) 800 (4) 700
(Umptn 93 Rayon B)
39. )
6cos(
)32(tg
=
(A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 12 3 (E) 1
2 2
(Umptn 93 Rayon B)
40. tanx = – 3 , x < 0, maka sin x = … (1)
21 (2)
21 3 (3) –
21 (4) –
21 3
(Umptn 93 Rayon C)
41. Jika sin x =51 5 , maka cosx – 5cos(
2 + x) + 2 sin ( –x) = …
(A) –51 –
51 5 (B) – 5 (C)
51 5 (D)
52 5 (E)
59 5
(Umptn 93 Rayon C)
42. Fungsi yang sesuai dengan grafik diatas adalah … (A) y = 2sin(x –
21 ) (D) y = sin(2x –
21 )
(B) y = sin(2x +21 ) (E) y = 2sin(2x + )
(C) y = 2sin(x +21 )
(Umptn 92 Rayon A)
43. Jika p – q = cos A dan pq2 = sin A, maka p2 + q2 = (A) 0 (B) 1 (C)
21 (D)
41 (E) –1
(Umptn 92 Rayon A)
2
–21 0
21
23 2
–2
103
Trigonometri
44. Fungsi y =
21 cos 2x + 1 merupakan fungsi yang
(1) periodik dengan periode (3) mempunyai nilai maksimum 121
(2) mempunyai nilai minimum –1
21 (4) memotong sumbu-x di x =
2
(Umptn 92 Rayon A, Rayon B, Rayon C )
45. Jika tg2x + 2 = p untuk 0
x
2
dan p > 2, maka sin x =
(A)1p
1
(B)2p
1 (C)1p2p (D)
2p
1p (E)1p
2p
(Umptn 92 Rayon B )
46. Grafik berikut adalah grafik (A) y = sin x (D) y = cos(–2x) (B) y = sin2x (E) y = sin(–x) (C) y = sin(–2x)
(Umptn 92 Rayon B)
47. Jika x =3
4 , maka nilai cos x –3
1 sin x =
(A) 21 (1 + 3 ) (B)
21 ( 3 –1) (C)
21 (1– 3 ) (D) 0 (E)1
(Umptn 92 Rayon C )
48. Seorang anak tingginya 1,55 meter berdiri pada jarak 12 meter dari kaki tiang bendera. Ia melihat puncak tiang bendera dengan sudut 450 dengan arah mendatar, maka tinggi tiang bendera itu adalah …meter (A) 12 (B) 12 2 (C) 13,55 (E) 15,55 (D) 13,55 2
(Umptn 92 Rayon C )
49. Untuk 0 <
< 2
, maka deret tak hingga sin
+ sin
cos2
+ sin
cos4
+ …
mempunyai jumlah : (A) cos (B) sin (C)
sin1 (D) cos
1 (E) tan
(Umptn 92 Rayon C )
50. Jika tgx = 21 maka 2 sinx + sin (x +
2) + cos (
– x) =
(A) 21 5 (B) 1 (C)
52 5 (D) 0 (D)
51 5
(Umptn 91 Rayon A, RayonB, RayonC)
51. Jika 2 sin2x + 3 cos x = 0 dan 00 x 1800 maka x = … (A) 600 (B) 300 (C) 1200 (D) 1500 (E) 1700
(Umptn 91 Rayon A)
52. Jika diketahui x = 4
3 , maka
(A) sinx = cosx (C) sin x – cosx = 1 (E) sin x < 2 cos x (B) sin x + cos x = 0 (D) sin x + cos x =
21 2
(Umptn 91 Rayon A)
4 2
43
45
1
23 2
47
1
104
Trigonometri
53. Jika sin(x +
2) = 0,6 maka sin (x + ) + cos(–x) = …
(A) –0,4 (B) –0,2 (C) 0,2 (D) 0,4 (E) 0,6 (Umptn 91 Rayon B)
54. Persamaan xsinxcosxcosxsin = 0 dipenuhi oleh …
(A) 300 (B) 600 (C) 900 (D) 1350 (E) 1500
(Umptn 91 Rayon B)
55. Jika –2
< x <2
dan tan x = –1 maka cosx + 2 sin x = …
(A) –23 2 (B) –
21 2 (C) 0 (D)
21 2 (E)
23
2
(Umptn 91 Rayon C)
56. 5 tan2x + 3 = … (A)
xsin52
– 2 (C) 3 + xcos
22
(E) xcos
22
+ 5
(B) xcos
52
– 2 (D) xsin
32
+ 2
(Umptn 91 Rayon C)
57. Grafik dibawah ini menggambarkan fungsi (A) y = cosx (B) y = 2 cos x (C) y = cos 2x (D) y = 2 cos 2x (E) y = 2 cos
2x
(Umptn 90 Rayon A)
58. 225cos 150sin
135tg 135cos 270sin =…
(A) 2 (B) 21 (C) 1 (D)
21 2 (E) 2
(Umptn 90 Rayon A)
59. Jika 0 < x < 2
maka sinx + cosx + sin3x + cos3x + sin5x + cos5x … =
(A) 1 (C) xsin xcos
122
(E) xsin xcos
xcos
(B) 2 (D) x2sin x2cos
xsin xcos 33
(Umptn 90 Rayon A) 60. Gambar di atas adalah grafik fungsi y = f (x)=
(A) sin (2x + 45o) (B) cos (2x + 45o) (C) sin 2(x + 45o) (D) cos 2(x + 45o) (E) sin 2(x + 45o)
(Umptn 90 Rayon B)
Y
/2 X
1
–900 –45 90
45
105
Trigonometri
61. Cos2(1200 ) = …
(A) 0 (B) 41 (C)
21 (D)
21 3 (E)
43
(Umptn 90 Rayon B)
62. Grafik fungsi y = sin x + 1 dalam selang (0,2 ) adalah (A) (C) (E)
(B) (D)
(Umptn 90 Rayon C)
63. Cos(–6800) = … (1) sin –500 (2) cos 400 (3) sin 400 (4) sin 500
(Umptn 90 Rayon C)
1
0
2
1
0
2
2 1
0
2
0
2
–1
0 2
–1