2 trigonometri

TRIGONOMETRI DAN PENGGUNAANNYA

PENULIS :

UNTUNG TS

IDA LYDIATI

konten digital

TRIGONOMETRI DAN

PENGGUNAANNYA

Penulis

Untung TS.

Ida Lydiati

Pengembang

Ida Lydiati

Fadjar Noer Hidayat

Penilai

Agfianto Eko Putra

Irwan Endrayanto A.

PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK

DAN TENAGA KEPENDIDIKAN MATEMATIKA

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

2012

PPPPTK MATEMATIKA | KONTEN DIGITAL 2012 ii

DAFTAR ISI

A. Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut .......................................................................................... 1

B. Rumus Sinus, Kosinus, dan Tangen Sudut Ganda .............................................................................................. 15

C. Rumus Sinus, Kosinus, dan Tangen Setengah Sudut ........................................................................................ 19

D. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus ....................................................................................................................... 22

E. Rumus Jumlah dan Selisih Sinus, Kosinus dan Tangen ................................................................................... 24

PPPPTK MATEMATIKA | KONTEN DIGITAL 2012 1

TRIGONOMETRI

Tujuan Pembelajaran

Tujuan pembelajaran materi ini adalah dengan menggunakan TIK, guru dapat membelajarkan

tentang:

menggunakan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut dalam pemecahan masalah.

menggunakan rumus kosinus jumlah dan selisih dua sudut dalam pemecahan masalah.

menggunakan rumus tangen jumlah dan selisih dua sudut dalam pemecahan masalah

(pengayaan)

menggunakan rumus sinus dan kosinus sudut ganda (rangkap) dalam pemecahan masalah.

menggunakan rumus tangen sudut ganda (rangkap) dalam pemecahan masalah

(pengayaan).

menggunakan rumus sinus, kosinus, dan tangen setengah sudut dalam pemecahan

masalah (pengayaan).

menggunakan rumus perkalian sinus dan kosinus dalam pemecahan masalah (pengayaan)

menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus, kosinus, dan tangen dalam pemecahan

masalah (pengayaan).

Pertimbangan dalam menambah materi dengan pengayaan adalah penurunan rumusnya dapat

dengan mudah difahami dan masalah yang memuat bentuk-bentuk yang merupakan materi

pengayaan sering dijumpai siswa. Dengan demikian penambahan materi pengayaan diharapkan

dapat membantu dan mempermudah pembelajar dalam menyelesaikan masalah-masalah

trigonometri dalam matematika maupun pelajaran lain.

A. Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut

1. Rumus Sinus Jumlah Dua Sudut

Andi menghitung dengan cara sebagai berikut:

Budi ragu dengan hasil tersebut karena nilai yang dihasilkan lebih dari 1. Padahal nilai sinus

suatu sudut memiliki rentang dari sampai 1. Kemudian mereka memeriksa hasil

perhitungan Andi menggunakan kalkulator. Mereka memasukkan perintah di kalkulator


dengan dua cara, yaitu melalui nilai dan . Ternyata diperoleh dua

hasil yang berbeda. Mereka penasaran dan kemudian mencoba dengan nilai-nilai sudut

yang berbeda seperti pada Tabel 1.

Tabel 1. Nilai Sinus Jumlah Dua Sudut

… …

… …

… …

… …

… …

… … … …

… … … …

… … … …

Dari hasil yang diperoleh, mereka menyimpulkan bahwa cara yang digunakan oleh Andi

tidak dapat digunakan. Jika demikian, bagaimana rumus yang benar untuk ?

Bagaimana dengan , , , , dan ? Untuk

mengetahui jawaban masalah tersebut, pelajarilah materi berikut ini.

Perhatikan ilustrasi dalam Gambar 1. berikut:

Gambar 1.

dan

dan

Diberikan panjang

Dengan menggunakan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku ABC dan

ADE, tentukan:

a. Panjang BC

b. Panjang AB

c. Panjang AD

d. Panjang DE


Nyatakan besar sudut dalam dan (diperoleh

Dengan menggunakan rumus luas segitiga dan tentukan luas belah

ketupat .

Cocokkan jawaban anda dengan penyelesaian berikut ini:

1 1

sin( ) sin( )2 2

AE EG AC GC

1 1

1 1 sin( ) 1 1 sin( )2 2

1 1

sin( ) sin( )2 2

sin( )

Selanjutnya segitiga , , ditranslasikan sehingga terbentuk Gambar

2. berikut ini:

Gambar 2.

Sehingga diperoleh kesimpulan:

(1)

Contoh:

Tentukan nilai dari

Penyelesaian:


Gambar 3.

Untuk menyelesaikan soal tersebut nyatakanlah 75° dalam bentuk (30° + 45°). Mengapa

demikian? Jawaban untuk pertanyaan tersebut dapat anda peroleh dalam penyelesaian

berikut:

sin 75° = sin(30° + 45°)

= sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45°

= 12 ∙ 12 √2 + 12 √3 ∙ 12 √2

= 1/4(√2 + √6)

2. Rumus Sinus Selisih Dua Sudut

Dengan memandang (� − �) = (� + (−�)), serta menggunakan sifat sin(−4) = − sin 4 dan

cos(−4) = cos 4, maka rumus sin(� − �) dapat diperoleh dengan langkah-langkah sebagai

berikut:

sin(� − �) = sin(� + (−�))

= sin � cos(−�) + cos � sin(−�)

= sin � cos � − cos � sin �

Rumus sinus selisih dua sudut adalah:

&'(() − *) = &'( ) +,& * − +,& ) &'( * (2)

Contoh 1:

Tunjukkan bahwa sin(4 − 5) = − sin 4

Penyelesaian:

sin(4 − 5) = sin 4 cos 5 − cos 4 sin 5

= sin 4 ∙ (−1) − cos 4 ∙ 0

= − sin 4

Dapat ditunjukkan bahwa sin(4 − 5) = − sin 4

Contoh 2:

Tentukan nilai sin(� − �), bila diketahui bahwa:

sin � = 67 , cos � = − 89 , α di kuadran II dan β di

kuadran III.

Penyelesaian:

α di kuadran II

sin � = 67

cos � = − :7


Gambar 4.

� di kuadran III

cos � = − 89

sin � = − √:9

sin(� − �) = sin � cos � − cos � sin �

= ;67< ;− 89< − ;− :7< ;− √:9 <

= − 68= − :8= √3

Jadi nilai sin(� − �) adalah

− 68= − :8= √3

Latihan 1.

1. Nyatakan ekspresi berikut ke dalam sinus jumlah atau selisih dua sudut:

a. sin 34 cos 24 + cos 34 sin 24

b. sin 84 cos 4 − cos 84 sin 4

2. Tentukan hasil dari:

a. sin 15° cos 75° + cos 15° sin 75°

b. sin 75° cos 45° − cos 75° sin 45°

3. Tunjukkan bahwa sin(90° + >) = cos >

4. Tunjukkan bahwa sin ;:?9 − 4< = − cos 4

5. Tanpa menggunakan tabel atau kalkulator, hitunglah:

a. sin 15° b. sin @?89

c. sin 285°

d. sin 345°

6. Manakah yang merupakan grafik dari A = sin 4 cos ?6 + cos 4 sin ?6 ?

(Petunjuk: ubahlah bentuk sin 4 cos ?6 + cos 4 sin ?6 menjadi bentuk sinus jumlah dua

sudut)

a.


b.

c.

d.

e.

7. Manakah yang merupakan grafik dari

?

(Petunjuk: ubahlah bentuk

menjadi bentuk sinus selisih dua

sudut)

a.

b.

c.


Tunjukkan bahwa:

d.

e.

8. Tentukan nilai dan untuk tiap soal berikut:

a.

,

, α d β udu l p.

b.

, dengan di kuadran II, dan

dengan di kuadran III.

9. Dua orang pengamat A dan B berdiri di tepi pantai dalam jarak meter. Kedua orang

tersebut mengamati sebuah kapal yang membuang jangkar di tengah laut. Pengamat A

mengukur sudut antara tepi pantai dan kapal, pengamat B melakukan hal yang sama

untuk mendapatkan . Misalkan adalah jarak kapal ke pantai

10. Tunjukkanlah bahwa:

a.

b.

11. Persamaan sebuah gelombang transversal yang berjalan sepanjang sebuah tali adalah:

dengan dan dinyatakan dalam cm dan t dinyatakan dalam

detik.

a. Nyatakanlah persamaan tersebut dalam bentuk

b. Tentukan besar A, k, dan ω.

c. Hitunglah simpangan maksimum gelombang(amplitudo).

d. Jika

, hitunglah panjang gelombang (λ).

e. Jika , hitunglah banyak gelombang per detik atau frekuensi (f).

f. Jika cepat rambat gelombang (v) adalah , hitunglah cepat rambat gelombang.


3. Rumus Kosinus Jumlah Dua Sudut

Sudut dan dikatakan dua sudut yang komplementer. Kosinus suatu sudut akan

selalu senilai dengan sinus komplemen sudut tersebut. Hal tersebut dapat dirumuskan

sebagai:

Rumus cosinus jumlah dua sudut adalah:

(3)

4. Rumus Kosinus Selisih Dua Sudut

Untuk memperoleh rumus , nyatakan ( sebagai kemudian

gunakan sifat dan , sehingga diperoleh:

Rumus cosinus selisih dua sudut adalah:

(4)

Contoh 1.

Tentukan nilai dari

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan masalah tersebut kita dapat menyatakan dalam jumlahan dari

dua sudut misalkan: .

Jadi nilai dari adalah

Contoh 2.


Tunjukkan bahwa

Penyelesaian:

Dapat ditunjukkan bahwa

Contoh 3.

Diketahui

dengan di kuadran II, dan

dengan di kuadran I.

Tentukan nilai dari dan . Terletak di kuadran berapa sudut

Penyelesaian:

adalah sudut di kuadran II

adalah sudut di kuadran I

Hasil perhitungan tersebut menunjukkan bahwa dan . Masih

ingat tentang nilai sinus maupun kosinus di masing-masing kuadran? Letak sudut

yang sesuai dengan keadaan tersebut adalah di kuadran I.

Latihan 2

1. Jabarkanlah:

Gambar 5

Gambar 6.


a.

b.

2. Tunjukkan bahwa:

c.

d.

3. Andi berpendapat bahwa , sedangkan Budi mempunyai

pendapat bahwa .

Apakah anda setuju dengan pendapat Andi? atau pendapat Budi ? Berikan alasannya.

4. Diketahui

, dengan di kuadran II, dan

dengan di kuadran III.

Tentukan nilai dari:

a. .

b. .

c. .

d. .

e. .

f. .

5. Sebuah tiang listrik diikat dengan dengan dua utas kawat. Kedua kawat dikaitkan di

tanah dengan jarak 2 meter dari dasar tiang. Kawat pendek dikaitkan pada tiang dengan

jarak 2 meter dari atas tanah, sedangkan kawat panjang dikaitkan pada tiang 3 meter

dari atas tanah.

a. Berapa derajat sudut yang terbentuk antara kawat pendek dengan tanah?

b. Misalkan adalah sudut antara kawat panjang dengan tanah, tentukan dan

c. Tentukan kosinus sudut antara kedua kawat saat di atas tanah.

g. Seorang insinyur ingin mengetahui tinggi suatu gedung ( lihat gambar). Untuk itu ia

menempatkan titik , suatu titik yang terletak 3 meter di atas , kemudian ia

menentukan titik sejauh 4 meter dari titik . Dari titik , ia mengukur sudut elevasi

adalah lebih besar dari dengan adalah sudut elevasi .


a. Tentukan , dan

b. Tentukan nilai dari

c. Tentukan

d. Tentukan

5. Rumus Tangen Jumlah Dua Sudut

Setelah mempelajari rumus untuk dan , kita dapat menurunkan

rumus untuk dengan cara sebagai berikut:

kemudian bagilah pembilang dan penyebut dengan

Rumus untuk adalah:

(5)

6. Rumus Tangen Selisih Dua Sudut

Rumus untuk tan ( – ) dapat diperoleh dengan cara yang sama yaitu:

Rumus untuk adalah:


(6)

Contoh 1.

Diketahui

dengan di kuadran I, dan

dengan di kuadran IV.

Tentukan nilai dari dan

.

Penyelesaian:

adalah sudut di kuadran I

Contoh 2.

Diketahui : dan

. Tentukan nilai

Penyelesaian:

adalah sudut di kuadran IV

Gambar 7.

Gambar 8.


Jadi nilai

Latihan 3

1. Jabarkanlah:

a.

b.

2. Tentukan nilai dari dan untuk masing-masing pasangan sudut

berikut ini:

a. dan

b. dan

c. dan

d. dan

e. dan

3. Tentukan dan , jika diketahui:

a. dan

b.

dan

c.

, di kuadran II dan

d.

, di kuadran II, dan

, di kuadran III

4. Tiga persegi yang kongruen yaitu ABCD, BEFC, dan EFGH, dengan AD = 1.


Misal menyatakan besar sudut GAH, adalah besar sudut GBH dan adalah besar sudut

GEH.

a. Hitung nilai

b. Hitung nilai

c. Apakah ? jelaskan alasan anda.

5. Sebuah menara terletak di pinggir suatu tebing, seperti pada gambar berikut:

6. Dua kapal akan menyeberangi sungai mengikuti arus dari dua tempat berbeda. Lebar

sungai adalah 80 meter. Panjang AC dan berturut-turut 100 meter dan 200 meter.

Jika sudut dinyatakan dengan dan sudut dinyatakan dengan ,

a. Tentukan dan .

b. Tentukan besar sudut antara kedua jalur kapal tersebut.

A

D B C

sudut elevasi puncak menara adalah dan

sudut elevasi dasar kaki menara adalah .

a. Tentukan

b. Berapa besar sudut ?


B. Rumus Sinus, Kosinus, dan Tangen Sudut Ganda

1. Rumus Sinus Sudut Ganda

Adi dan Budi sedang bermain di wahana perang air. Mereka tertarik untuk mencoba

menembak sasaran berjarak 30 meter menggunakan meriam yang melontarkan balon air.

Setiap tiket dapat dipergunakan untuk tiga kali menembak. Pemain yang dapat mengenai

tepat sasaran mendapat hadiah tiket gratis untuk permainan yang lain. Di tempat tersebut

Adi dan Budi mendapat informasi bahwa:

a. Jangkauan meriam air (d) ditentukan oleh rumus

b. Kecepatan meriam (v) melontarkan balon air adalah = 40 meter/detik

Berapa besar sudut antara meriam air dengan tanah agar mereka dapat mengenai sasaran?

Masalah tersebut memuat bentuk Pelajari uraian berikut ini untuk menjawab

pertanyaan tersebut.

Dalam materi yang telah dipelajari sebelumnya pada rumus (1) diketahui bahwa:

jika , maka (1) menjadi

(7)

Setelah mengetahui bahwa , maka Andi dan Budi mengubah rumus

jangkauan meriam air

menjadi bentuk

. Selanjutnya

dengan substitusi 40 dan 30, maka mereka akan dapat menentukan sudut tembak

meriam air agar tembakannya tepat mengenai sasaran.

2. Rumus Kosinus Sudut Ganda

Dalam kegiatan sebelumnya kita telah mempelajari rumus(3) yaitu:

jika , maka (3) menjadi

(8)

Di kelas X telah dipelajari pula tentang identitas Pythagoras yaitu ,

sehingga apabila

substitusikan pada (8) akan diperoleh:


(9)

Sedangkan apabila:

substitusikan pada (9) akan diperoleh:

(10)

3. Rumus Tangen Sudut Ganda

Rumus tangen sudut ganda dapat diturunkan dari rumus (5) yaitu:

apabila , maka (5) menjadi

(11)

Contoh 1.

Diketahui:

dan di kuadran II

Tentukan:

a.

b.

c.

d. kuadran sudut

Penyelesaian:

di kuadran II.

a.

b.

Gambar 9.


c. 2

2 tantan 2

1 tan

Nilai dapat pula dihitung dengan menggunakan bentuk:

d. Karena dan maka terletak di kuadran III.

Contoh 2.

Buktikan bahwa:

Bukti:

Ruas kiri

(ruas kanan)

Terbukti

Latihan 4

1. Tentukan nilai dan untuk setiap nilai dari berikut ini:

a.


b.

c.

d.

e.

f.

2. Sederhanakanlah bentuk berikut:

a.

b.

3. Diketahui

, di kuadran II. Tentukan .

4. Apakah Berikanlah alasan anda.

5. Diketahui

, tentukan

6. Diketahui

, di kuadran II.

Tentukan:

a.

b.

c.

d. Kuadran sudut

7. Buktikan bahwa:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g. sin 3 = 4 sin3 + 3 sin

h. cos 3 = 4 cos3 3cos

i.

8. Sketsalah grafik untuk


9. Sebuah taman berbentuk persegi panjang ABCD seperti

pada gambar.

Panjang AB =10 meter dan AE = 12 meter. Besar

adalah dua kali besar .

a. Misal hitunglah nilai dari .

b. Nyatakan dalam kemudian hitunglah nilai dari kosinus .

c. Hitung nilai dari AC

C. Rumus Sinus, Kosinus, dan Tangen Setengah Sudut

Untuk menemukan rumus

maupun

, gunakanlah rumus untuk sudut .

1. Rumus Sinus Setengah Sudut

Dari rumus yang dinyatakan dalam , akan diperoleh rumus untuk

dengan

cara sebagai berikut:

misalkan , maka

, akibatnya

(12)

2. Rumus Kosinus Setengah Sudut

Dari rumus yang dinyatakan dalam , akan diperoleh rumus untuk

dengan

cara sebagai berikut:

misalkan , maka

(13)


3. Rumus Tangen Setengah Sudut

Misalkan

, kemudian substitusikan pada

sehingga diperoleh:

(14)

Pada saat menggunakan nilai fungsi untuk , tanda dari nilai fungsi dipilih sesuai dengan

letak kuadran dari sudut

. Misal:

adalah sudut di kuadran II, atau

sehingga nilai untuk

positif,

negatif, dan

negatif.

Contoh 1.

Tentukan nilai

Penyelesaian:

karena

adalah sudut di kuadran I, maka tanda

positif

Contoh 2.

Sederhanakan bentuk:

Penyelesaian:


Jadi bentuk sederhana dari

adalah 1.

Latihan 5

1. Untuk setiap , tentukan nilai dari

,

dan

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

2. Diketahui dan

. Hitunglah nilai:

,

, dan

3. Untuk setiap nilai perbandingan trigonometri berikut ini, tentukan

dan

a.

,

b.

,

c.

,

d.

,

e.

,

f.

,

g. ,

4. Buktikan bahwa:

5. Tunjukkan bahwa:

a.

b.

6. Tinggi sebuah papan reklame 6 meter dari atas tanah. Dari sebuah titik yang berjarak

2,5 meter dari titik diukur sudut elevasi ke titik adalah setengah dari sudut elevasi

ke titik .

a. Misalkan , tentukan dan


b. Hitung tinggi dan tinggi papan reklame .

D. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus

Seperti yang telah dipelajari sebelumnya bahwa:

(1) dan

(2)

Apabila terhadap (1) dan (2) dilakukan penjumlahan bersusun , akan diperoleh:

(15)

Sedangkan apabila terhadap (1) dan (2) dilakukan pengurangan bersusun , akan diperoleh:

(16)

Dengan cara yang sama dengan di atas, apabila kita menggunakan

(3) dan

(4) , akan diperoleh:

(17)

dan

(18)

Contoh 1.

Sederhanakan:

Penyelesaian:

++ +

++

++ +

++


Contoh 2.

Buktikanlah bahwa:

Bukti:

Ruas kanan

Terbukti bahwa

Latihan 6

1. Nyatakanlah bentuk berikut sebagai jumlah atau selisih sinus atau kosinus,

sederhanakanlah bila mungkin.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

2. Buktikanlah bahwa :

a.

b.

c.

d.

(ruas kanan)


e.

E. Rumus Jumlah dan Selisih Sinus, Kosinus dan Tangen

1. Rumus Jumlah dan Selisih Sinus

Pada bagian awal telah dipelajari bahwa:

dan

Kemudian misalkan: dan

Apabila pada kedua persamaan tersebut dilakukan penjumlahan bersusun akan

diperoleh:

Sedangkan apabila kedua persamaan tersebut dilakukan pengurangan bersusun akan

diperoleh:

Sehingga:

Dengan demikian:

(19)

Seperti pada langkah di atas, jika dikurangkan akan diperoleh:

dengan demikian,

(20)


2. Rumus Jumlah dan Selisih Kosinus

Setelah kita mempelajari bagaimana cara menurunkan rumus jumlah dan selisih dari sinus,

selanjutnya akan kita pelajari cara untuk mendapatkan rumus jumlah dan selisih cosinus.

Telah kita pelajari bahwa:

dan

Apabila kedua rumus tersebut dijumlahkan dan menggunakan permisalan (i) dan (ii) pada

bagian 5.1, maka

Akibatnya

Dengan cara yang sama apabila kedua rumus tersebut kita lakukan pengurangkan bersusun,

maka

Akibatnya

3. Rumus Jumlah dan Selisih Tangen

Bagaimana rumus untuk maupun ? Untuk mendapatkan

jawaban tersebut pelajarilah langkah langkah berikut ini:

Dengan demikian rumus jumlah tangen adalah:

(23)

(21)

(22)


Dengan cara yang sama selanjutnya dapat kalian peroleh rumus selisih tangen

Dari proses uraian di atas, rumus selisih tangen adalah:

(24)

Contoh 1.

Sederhanakan:

Penyelesaian:

Contoh 2.

Buktikan bahwa:

)(tan

)(tan

sinsin

sinsin

21

21

BA

BA

BA

BA

Bukti:

Ruas kanan diuraikan,

kiri) (ruas )(tan

)(tan

)(sin)(cos2

)(cos)(sin2

sinsin

sinsin

21

21

21

21

21

21

BA

BA

BABA

BABA

BA

BA

Terbukti bahwa )(tan

)(tan

sinsin

sinsin

21

21

BA

BA

BA

BA


Latihan 7

1. Nyatakan setiap bentuk berikut ini dalam perkalian sinus atau kosinus

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

2. Hitunglah:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

3. Buktikan bahwa:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.


i.

j.

k.

l.

m.

4. A, B, dan C masing-masing menyatakan sudut dari suatu segitiga, buktikan bahwa:

5. Seutas tali dililitkan pada katrol bermassa m dan berjari-jari r. Ujung bebas tali

dihubungkan pada sebuah balok dengan massa M. Balok mula-mula diam kemudian

melu ur ke b w h d membe uk udu θ erh d p b d g h r z l. K ef e

gesek k e r b l k d b d g m r g d l h μ. Ke ep b l k eb g fu g

perpindahan d dengan d adalah perpindahan pada bidang miring dirumuskan sebagai

berikut:

Ap b l d ke hu μ , ub hlah rumus tersebut ke bentuk :

, dengan

2 trigonometri

Documents