TRIGONOMETRI

1-1 UKURAN SUDUT

A. Ukuran Sudut dalam Derajat

Definisi: Satu derajat (ditulis = 1˚) didefinisikan sebagai ukuran besar sudut yang disapu oleh jari-

jari lingkaran dalam jarak putar sejauh 1

360 putaran.

Definisi: 1˚= 1

360

a. 1 derajat = 60 menit atau 1 menit = 1

60 derajat

Ditulis: 1˚ = 60’ atau 1’ = 1

60˚

b. 1 menit = 60 detik atau 1 detik 1

60 menit

Ditulis: 1’ = 60” atau 1” = 1

60’

Contoh:

Diketahui besar sudut 𝛼 = 127˚24’

Untuk menyatakan sudut 𝛼 dalam bentuk decimal, maka bagian yang berukuran

menit diubah ke dalam ukuran derajat

24’ = 24 × (1

60˚) = 0,4˚

Jadi, 127˚+0,4˚= 127,4˚ 𝛼 = 127,4˚

B. Ukuran Sudut dalam Radian

Definisi: Satu radian (ditulis 1 rad) didefinisikan sebagai ukuran sudut pada bidang datar yang

berada di antara dua jari-jari lingkaran dengan panjang busur sama dengan panjang jari-jari lingkaran itu

Mengubah Ukuran Sudut dari Derajat ke Radian dan Sebaliknya

a) 1˚ = 𝜋

180 radian

b) 1 radian = 180˚

𝜋

Nilai pendekatan untuk 𝜋 ≅ 3,14159

a) 1˚ = 3,14159

180 radian = 0,017453 radian atau

b) 1 radian = 180˚

3,14159 = 57,296˚

Contoh:

100˚ Untuk mengubah ukuran sudut dari derajat kedalam radian,adalah

100˚ = 100 × (𝜋

180 radian) =

5𝜋

9 radian

Jadi, 100˚= 5𝜋

9 radian

1-2 PERBANDINGAN- PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

A. Perbandingan- Perbandingan Trigonometri dalam Segitiga Siku-Siku Definisi:

a. sin 𝛼˚ = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑖ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 =

𝑎

𝑐

b. cos 𝛼˚ = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑑𝑒𝑘𝑎𝑡 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 =

𝑏

𝑐

c. tan 𝛼˚ = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑖ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼

𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑑𝑒𝑘𝑎𝑡 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼 =

𝑎

𝑏

d. cot 𝛼˚ = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑑𝑒𝑘𝑎𝑡 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼

𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑖ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼 =

𝑏

𝑎

e. sec 𝛼˚ = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑑𝑒𝑘𝑎𝑡 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼 =

𝑐

𝑏

f. cossec 𝛼˚ = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑖ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼 =

𝑐

𝑎

catatan:

- istilah lain bagi perbandingan trigonometri adalah nisbah trigonometri. - Hipotenusa sering disebut sisi miring.

- Tangent dan kotangen sering disingkat dengan tg dan ctg. Sedang kosekan disingkat dengan csc.

Contoh:

Segitiga siku-siku ABC mempunyai panjang sisi 𝛼 = √3 dan b = 1 Nilai c dihitung terlebih dahulu

c = √𝑎2 + 𝑏² = √(√3)2 + (1)2 = √4 = 2

jadi, nilai-nilai perbandingan trigonometrinya

sin 𝛼˚ = 𝑎

𝑐 =

√3

2 =

1

2 √3 cot 𝛼˚ =

𝑏

𝑎 =

1

√3 =

1

3 √3

cos 𝛼˚ = 𝑏

𝑐 =

1

2 sec 𝛼˚ =

𝑐

𝑏 =

2

1 = 2

tan 𝛼˚ = 𝑎

𝑏 =

√3

1 = √3 cossec 𝛼˚ =

𝑐

𝑎 =

2

√3 =

2

3√3

B. Menentukan Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut Khusus

Besar Sudut 𝛼 ̊

0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚

sin 𝛼 ̊ 0 1

2

1

2

1

2√3 1

cos 𝛼 ̊ 1 1

2√3

1

2

1

2 0

tan 𝛼 ̊ 0 1

3√3 1 √3 -

cot 𝛼 ̊ - √3 1 1

3√3 0

sec 𝛼 ̊ 1 2

3√3 √2 2 -

cossec 𝛼 ̊ - 2 √2 2

3√3 1

C. Menggunakan Kalkulator untuk menentukan Nilai Pendekatan Perbandingan Trigonometri dan Besar Sudutnya

Pastikan kalkulator dalam keadaan “ON” dan mode ukuran sudut diatur “DEG”

1. Tekan tombol 1 dan 9 ( pada layar muncul 19 ) 2. Tekan tombol fungsi: sin ( pada layar muncul 0,325568154 ) Jadi nilai pendekatan sin 19˚ = 0,325568154 teliti sampai 9 tempat desimal. Nilai

pendekatan sin 19˚ dapat dibulatkan,misalnya:

sin 19˚ = 0,325568 ( teliti sampai 6 tempat desimal )

sin 19˚ = 0,32557 ( teliti sampai 5 tempat desimal )

1-3 PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT-SUDUT DI SEMUA KUADRAN Sudut-sudut dikelompokan menjadi 4 kuadran berdasarkan besarnya sudut yaitu:

1. Sudut – sudut di kuadran I, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 0˚ - 90˚ atau 0˚< 𝛼₁˚ < 90˚

2. Sudut – sudut di kuadran I, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 90˚ - 180˚ atau 90˚< 𝛼₂˚ < 180˚

3. Sudut – sudut di kuadran I, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 180˚ - 270˚ atau

180˚< 𝛼₃˚ < 270˚ 4. Sudut – sudut di kuadran I, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 270˚ - 360˚ atau

270˚< 𝛼₃˚ < 360˚

Definisi: Perbandingan Trigonometri Berdasarlan Tinjauan Geometri Analitis

a) sin 𝛼˚ = 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡

𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 =

𝑦

𝑟 d) cot 𝛼˚ =

𝑎𝑏𝑠𝑖𝑠

𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 =

𝑥

𝑦

b) cos 𝛼˚ = 𝑎𝑏𝑠𝑖𝑠

𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 =

𝑥

𝑟 e) sec 𝛼˚ =

𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘

𝑎𝑏𝑠𝑖𝑠 =

𝑟

𝑥

c) tan 𝛼˚ = 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡

𝑎𝑏𝑠𝑖𝑠 =

𝑦

𝑥 f) cossec 𝛼˚ =

𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘

𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 =

𝑟

𝑦

Tanda- Tanda Perbandingan Trigonometri

Perbandingan

Trigonometri

Sudut – Sudut di Kuadran

I II III IV

sin + + - -

cos + - - +

tan + - + -

cot + - + -

sec + - - +

cosec + + - -

Contoh:

Diketahui tan 𝛼˚ = - 5

12, 𝛼˚ sudut di kuadran IV

tan 𝛼˚ = - 5

12, maka y = -5 dan x = 12

r = √𝑥 2 + 𝑦2 = √(−12)2 + (5)2 = 13

a. sin 𝛼˚ = 𝑦

𝑟 = -

5

13 d. sec 𝛼˚ =

𝑟

𝑥 =

13

12

b. cos 𝛼˚ = 𝑥

𝑟 =

12

13 e. cossec 𝛼˚ =

𝑟

𝑦 = -

13

5

c. cot 𝛼˚ = 𝑥

𝑦 - -

12

5

1-4 RUMUS PERBANDINGAN TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT-SUDUT BERELASI

Definisi: Sudut-Sudut Berelasi Misalkan suatu sudut besarnya 𝛼˚ Sudut lain yang besarnya ( 90˚- 𝛼) dikatakan berelasi dengan sudut 𝛼 dan sebaliknya.

Sudut-sudut lain yang berelasi dengan sudut 𝛼 adalah sudut-sudut yang besarnya (90˚ ± 𝛼˚), (180˚± 𝛼˚), (270˚± 𝛼˚), (360˚± 𝛼˚), dan - 𝛼˚.

A. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (90˚ - 𝛼˚)

a. sin (90˚ - 𝛼˚) = cos 𝛼˚ d. cot (90˚ - 𝛼˚) = tan 𝛼˚ b. cos (90˚ - 𝛼˚) = sin 𝛼˚ e. sec (90˚ - 𝛼˚) = cossec 𝛼˚ c. tan (90˚ - 𝛼˚) = cot 𝛼˚ f. cosec (90˚ - 𝛼˚) = sec 𝛼˚ sinus sebuah sudut = kosinus sudut komplemennya, dan sebaliknya

tangent sebuah sudut = kotangen sudut komplemennya, dan sebaliknya sekan sebuah sudut = kosekan sudut komplemennya, dan sebaliknya

Contoh:

sin 36˚ = sin (90˚ - 54˚) = cos 54˚ Jadi, sin 36˚ = cos 54˚

B. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (90˚ + 𝛼˚)

a. sin (90˚ + 𝛼˚) = cos 𝛼˚ d. cot (90˚ + 𝛼˚) = -tan 𝛼˚ b. cos (90˚ + 𝛼˚) = -sin 𝛼˚ e. sec (90˚ + 𝛼˚) = -cossec 𝛼˚ c. tan (90˚ + 𝛼˚) = -cot 𝛼˚ f. cosec (90˚ + 𝛼˚) = sec 𝛼˚ Contoh:

sin 120˚ = sin (90˚ + 30˚) = cos 30˚ = 1

2√3

Jadi, sin 120˚ = 1

2√3

C. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (180˚− 𝛼˚)

a. sin (180˚ - 𝛼˚) = sin 𝛼˚ d. cot (180˚ - 𝛼˚) = -cot 𝛼˚ b. cos (180˚ - 𝛼˚) = -cos 𝛼˚ e. sec (180˚ - 𝛼˚) = -sec 𝛼˚ c. tan (180˚ - 𝛼˚) = -tan 𝛼˚ f. cosec (180˚ - 𝛼˚) = cosec 𝛼˚

sinus sebuah sudut = sinus sudut pelurusnya, dan sebaliknya kosinus sebuah sudut = negatif kosinus sudut pelurusnya, dan sebaliknya

tangen sebuah sudut = negatif tangent sudut pelurusnya, dan sebaliknya

Contoh:

sin 120˚ = sin (180˚ + 60˚) = sin 60˚ = 1

2√3

Jadi, sin 120˚ = 1

2√3

D. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (180˚+ 𝛼˚)

a. sin (180˚ + 𝛼˚) = -sin 𝛼˚ d. cot (180˚ + 𝛼˚) = cot 𝛼˚ b. cos (180˚ + 𝛼˚) = -cos 𝛼˚ e. sec (180˚ + 𝛼˚) = -sec 𝛼˚ c. tan (180˚ + 𝛼˚) = tan 𝛼˚ f. cosec (180˚ + 𝛼˚) = -cosec 𝛼˚

Contoh:

tan 210˚ = tan (180˚ + 30˚) = tan 30˚ = 1

3√3

Jadi, tan 210˚ = 1

3√3

E. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (270˚± 𝛼˚)

a. sin (270˚ - 𝛼˚) = -cos 𝛼˚ d. cot (270˚ - 𝛼˚) = tan 𝛼˚ b. cos (270˚ - 𝛼˚) = -sin 𝛼˚ e. sec (270˚ - 𝛼˚) = -cossec 𝛼˚ c. tan (270˚ - 𝛼˚) = cot 𝛼˚ f. cosec (270˚ - 𝛼˚) = -sec 𝛼˚ a. sin (270˚ + 𝛼˚) = -cos 𝛼˚ d. cot (270˚ + 𝛼˚) = -tan 𝛼˚ b. cos (270˚ + 𝛼˚) = sin 𝛼˚ e. sec (270˚ + 𝛼˚) = cossec 𝛼˚ c. tan (270˚ + 𝛼˚) = -cot 𝛼˚ f. cosec (270˚ + 𝛼˚) = -sec 𝛼˚ Contoh:

tan 210˚ = tan (270˚ + 60˚) = cot 60˚ = 1

3√3

Jadi, tan 210˚ = 1

3√3

cosec 279˚ = cosec ( 270˚+9˚) = -sec 9˚ Jadi, cosec 279˚ = -sec 9˚

F. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut Negatif (-𝛼˚)

a. sin (−𝛼˚) = -sin 𝛼˚ d. cot (−𝛼˚) = -cot 𝛼˚ b. cos (−𝛼˚) = cos 𝛼˚ e. sec (−𝛼˚) = sec 𝛼˚ c. tan (−𝛼˚) = -tan 𝛼˚ f. cosec (−𝛼˚) = -cosec 𝛼˚

Contoh:

sin (-40˚) = -sin 40˚

Jadi, sin (-40˚) = -sin 40˚

G. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut ( n . 360˚ − 𝛼˚ ) dan ( n . 360˚ + 𝛼˚ )

a. sin ( n . 360˚ − 𝛼 ̊) = sin (−𝛼˚) = -sin 𝛼˚ b. cos ( n . 360˚ − 𝛼˚ ) = cos (−𝛼˚) = cos 𝛼˚ c. tan ( n . 360˚ − 𝛼 ̊) = tan (−𝛼˚) = -tan 𝛼˚ d. cot ( n . 360˚ − 𝛼 ̊) = cot (−𝛼˚) = -cot 𝛼˚ e. sec ( n . 360˚ − 𝛼˚ ) = sec (−𝛼˚) = sec 𝛼˚ f. cossec ( n . 360˚ − 𝛼 ̊) = cosec (−𝛼˚) = -cosec 𝛼˚ a. sin ( n . 360˚ + 𝛼 ̊) = sin 𝛼˚ b. cos ( n . 360˚ + 𝛼˚ ) = cos 𝛼˚ c. tan ( n . 360˚ + 𝛼 ̊) = tan 𝛼˚ d. cot ( n . 360˚ + 𝛼 ̊) = cot 𝛼˚ e. sec ( n . 360˚ + 𝛼˚ ) = sec 𝛼˚ f. cossec ( n . 360˚ + 𝛼 ̊) = cosec 𝛼˚

Contoh:

tan 300˚ = tan (360˚-60˚) = -tan 60˚= −√3

Jadi, tan 300˚ = −√3

1-5 IDENTITAS TRIGONOMETRI A. Identitad Trigonometri Dasar

1. Identitas trigonometri dasar, merupakan hubungan kebalikan

a. sin 𝛼˚ = 1

cosec 𝛼˚ atau cosec 𝛼˚ =

1

sin 𝛼˚

g. cos 𝛼˚ = 1

sec 𝛼˚ atau sec 𝛼˚ =

1

cos 𝛼˚

b. tan 𝛼˚ = 1

cot 𝛼˚ atau cot 𝛼˚ =

1

tan 𝛼˚

2. Identitas trigonometri dasar, merupakan hubungan perbandingan (kuosien)

a. tan 𝛼˚ =sin 𝛼˚

cos 𝛼˚ b. cot 𝛼˚ =

cos 𝛼˚

sin 𝛼˚

3. Identitas trigonometri dasar yang dpieroleh dari hubungan teorema Pythagoras

a. sin² 𝛼˚+ cos² 𝛼˚ = 1

b. 1 + tan² 𝛼 ̊= sec² 𝛼˚ c. 1 + cot² 𝛼˚ = cosec² 𝛼˚

Contoh:

Diketahui cosec 𝛽 = 2 dan 𝛽 sudut di kuaran II

Hitunglah sin 𝛽 Dengan rumus kebalikan

sin 𝛽 = 1

cosec 𝛽 =

1

2

Jadi, sin 𝛽 = 1

2

B. Identitas Trigonometri yang Lain

Cara menyederhanakan suatu bentuk trigonometri :

1. Sederhanakan salah satu bentuk ruas (biasanya dipilih ruas yang memiliki bentuk rumit) sehingga diperoleh bentuk yang sama dengan ruas lain.

2. Sederhanakan masing-masing ruas sehingga deperoleh hasil yang sama untuk masing-masing ruas tersebut.

Contoh: 1. Buktikan: (sin 𝛼 −cos 𝛼)² + 2 sin 𝛼 cos 𝛼 = 1

Kita ubah bentuk ruas kiri:

(sin 𝛼 −cos 𝛼)² + 2 sin 𝛼 cos 𝛼 = sin² 𝛼 −2 sin 𝛼 cos 𝛼 + cos² 𝛼 + 2 sin 𝛼 cos 𝛼 = (sin² 𝛼 + cos² 𝛼) + (2 sin 𝛼 cos 𝛼 −2 sin 𝛼 cos 𝛼

= 1 + 0 = 1

Ruas kiri = ruas kanan Jadi, terbukti bahwa (sin 𝛼 −cos 𝛼)² + 2 sin 𝛼 cos 𝛼 = 1

1-6 GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

Langkah – langkah membuat tabel :

1. Buatlah tabel yang menyatakan hubungan antara x dengan y = f(x˚). pilihlah nilai sudut x sehingga nilai y = f(x˚) dengan mudah dapat ditentukan.

2. Titik – titik (x,y) yang diperoleh pada langkah 1 digambar pada bidang Cartesius. Agar

skala pada sumbu X dan Y sama, maka nilai 360 pada sumbu X dibuat mendekati nilai 6,28 satuan (mengapa)

Misalkan skala pada sumbu Y ditetapkan 1 cm maka maka nilai 360 pada sumbu X dibuat kira-kira mendekati nilai 6,28 cm

3. Hubungkan titik-titik yang telah digambar pada bidang cartesius dengan kurva yang

mulus sehingga diperoleh sketsa grafik fungsi trigonometri y = f(x˚).

I. Grafik Fungsi y = sin x˚ (0 ≤ 𝑥 ≤ 360) x 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

y=sin x̊ 0 1

2

1

2√3

1 1

2√3

1

2

0 −

1

2 −

1

2√3

1 −

1

2√3 −

1

2

0

Catatan : Untuk selanjutnya diadakan pendekatan nil𝑙𝑎𝑖1

2√3 dengan 0,87

II. Grafik Fungsi y = cos x˚ (0 ≤ 𝑥 ≤ 360) x 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

y=cos x̊ 1 1

2√3

1

2

0 −

1

2 −

1

2√3

-1 −

1

2√3 −

1

2

0 1

2

1

2√3

1

III. Grafik Fungsi y = tan x˚ (0 ≤ 𝑥 ≤ 360)

x 0 45 90 135 180 225 270 315 360

y = tan x̊ 0 1 - -1 0 1 - -1 0

Catatan : x = 90 dan x = 270, nilat y = tan x̊ tidak didefinisikan

Kesimpulan :

1 Fungsi-fungsi trigonometri sinus, kosinus, dan tangent merupakan fungsi periodik/fungsi

berkala. a. Fungsi sinus y = sin x˚ dan fungsi kosinus y = cos x˚ mempunyai periode 360˚

b. Fungsi tangen y = tan x˚ mempunyai periode 180˚ 2 Fungsi sinus y = sin x˚ dan fungsi kosinus y = cos x˚ mempunyai nilai minimum -1 dan

nilai maksimum 1, sedangkan fungsi tangen y = tan x˚ tidak mempunyai nilai minimum maupun nilai maksimum.

3 Khusus untuk fungsi tangen y = tan x˚. a. Untuk x mendekati 90 atau 270 dari arah kanan, nilai tan x˚ menuju ke negatif tak-

berhingga

b. Untuk x mendekati 90 atau 270 dari arah kiri, nilai tan x˚ menuju ke positif tak-berhingga

c. Garis-garis x=90 dan x=270 disebut garis asimtot. d. Fungsi tangen y = tan x˚ dikatakan diskontinu atau tak-sinambung di x=90 dan

x=270

1-7 ATURAN SINUS DAN ATURAN KOSINUS

A. Aturan Sinus

Aturan sinus pada segitiga sebarang dapat dinyatakan sebagai berikut :

Dalam tiap segitiga ABC, perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi itu mempunyai nilai yang sama.

Ditulis: 𝑎

sin 𝐴=

𝑏

sin 𝐵 =

𝑐

sin 𝐶

Penggunaan Aturan Sinus

Secara umum aturan sinus digunakan untuk menentukan unsur-unsur dalam segitiga apabila unsur-unsur yang lain telah diketahui. Unsur-unsur yang diketahui :

1. Sisi, sudut, sudut didingkat ss.sd.sd 2. Sudut, sisi, sudut disingkat sd.ss.sd 3. Sisi, sisi, sudut disingkat ss.ss.sd

Contoh :

Diketahui segitiga ABC dengan ⎳𝐴 = 38˚, ⎳B = 64˚, panjang sisi b = 5 Hitunglah besar ⎳C

Unsur-unsur yang diketahui : sisi, sudut, sudut (ss.sd.sd)

⎳C = 180˚ - (⎳𝐴 +⎳B) ⎳C = 180˚ - (38˚ + 64˚) ⎳C = 78˚

Jadi, besar ⎳C = 78˚

B. Aturan Kosinus

Pada segitiga ABC berlaku aturan kosinus yang dapat dinyatakan dengan persamaan

𝑎² = 𝑏² + 𝑐² − 2𝑏𝑐 cos 𝐴

𝑏² = 𝑎² + 𝑐² − 2𝑎𝑐 cos 𝐵

𝑐² = 𝑎² + 𝑏² − 2𝑎𝑏 cos 𝐶 Penggunaan Aturan Kosinus

Salah satu dari pemakaian aturan kosinus adalah untuk menentukan panjang sisi dari suatu segitiga, apabila dua sisi yang lain dan besar sudut yang diapit oleh kedua sisi itu

diketahui. Unsur-unsur yang diketahui adalah sisi, sudut, sisi (ss.sd.ss)

Contoh :

Dalam ABC diketahui panjang sisi b = 5, sisi 𝑐 = 6 dan besar ⎳𝐴 = 52˚ Hiting panjang sisi 𝑎

𝑎² = 𝑏² + 𝑐² − 2𝑏𝑐 cos 𝐴

𝑎² = (5)2 + (6)² − 2(5)(6)cos 52˚ 𝑎² = 25 + 36 − 60 (0,6157) 𝑎2 = 24,1

𝑎 = √24,1 = 4,91 Jadi, panjang sisi 𝑎 = 4,91

Penggunaan Lain dari Aturan Kosinus

Jika dalam ABC diketahui sisi-sisi 𝑎, 𝑏,𝑑𝑎𝑛 𝑐 (ss.ss.ss), maka besar sudut-sudut A, B

dan C dapat ditentukan melalui persamaan :

cos A = 𝑏² + 𝑐²−𝑎²

2𝑏𝑐

cos B = 𝑎²+𝑐²−𝑏²

2𝑎𝑐

cos C = 𝑎² + 𝑏²−𝑐²

2𝑎𝑏

Contoh : Dalam ABC diketahui panjang sisi 𝛼 = 7, sisi 𝑏 = 8, dan sisi 𝑐 = 9

Hitung besar ⎳𝐴, ⎳B, dan ⎳C

cos A = 𝑏² + 𝑐²−𝑎²

2𝑏𝑐 cos B =

𝑎²+𝑐²−𝑏²

2𝑎𝑐

cos A = 8²+9²−7²

2×8×9 cos B =

7²+9²−8²

2 ×7 ×9

cos A = 64+81−49

144 cos B =

49+81−64

126

cos A = 96

144 cos B =

66

126

cos A = 0,6666 cos B = 0,5238

⎳𝐴 = 48,2˚ ⎳B = 58,4˚

Sudut C

⎳C = 180˚ - (⎳𝐴 +⎳B)

⎳C = 180˚ - (48,2˚ + 58,4˚) ⎳C = 73,4˚

Jadi, besar ⎳𝐴 = 48,2˚, ⎳B = 58,4˚, dan ⎳C = 73,4˚

1-8 LUAS SEGITIGA

Rumus : L = 1

2𝑎𝑡

Kemungkinan dari tiga unsure yang diketahui dalam menghitung luas segitiga adalah 1. Panjang dua sisi dan besar satu sudut yang diapit oleh kedua sisi itu (ss.sd.ss)

2. Besar dua sudut dan panjang satu sisi yang terletak di antara kedua sudut itu (sd.ss.sd) 3. Panjang dua sisi dan besar satu sudut yang berhadapan dengan salah satu sisi itu (ss.ss.sd)

4. Panjang ketiga sisinya (ss.ss.ss) A. Luas Segitiga dengan Dua Sisi dan Satu Sudut Diketahui

Rumus :

L = 1

2 𝑏𝑐 sin A …(5-22a)

L = 1

2 𝑎𝑐 sin B …(5-22b)

L = 1

2 𝑎𝑏 sin C …(5-22c)

Contoh : Dalam PQR diketahui panjang PQ = 10cm dan PR = 8 cm. jika luas PQR itu sama

dengan 30 cm², hitunglah besar ⎳P

Luas PQR = 1

2PQ . PR sin P

= 1

2(10)(8) sin P

= 40 sin P

Karena luas PQR diketahui = 30 cm²,maka 40 sin P = 30

sin P = 3

4 - 0,75

P = 48,6˚ atau P = 180˚ - 48,6˚ = 131,4˚

Jadi, besar ⎳P = 48,6˚ atau 131,4˚

B. Luas Segitiga Dengan Dua Sisi dan Sebuah Sudut di Hadapan Sisi Diketahui Luas segitiga itu dapat ditentukan melalui langkah- langkah sebagai berikut : 1. Tentukan besar sudut-sudut yang belum diketahui dengan memakai aturan sinus. 2. Setelah semua sudut diketahui, hitunglah luas segitiga dengan menggunakan salah

satu dari rumus 5-22a, 5-22b, atau 5-22c Contoh : Dalam ABC diketahui panjang sisi b= 4cm, sisi c = 6 cm, dan besar ⎳B = 40˚. Hitunglah luas ABC

Gunakan aturan sinus 𝑏

sin 𝐵 =

𝑐

sin 𝐶 =sin C =

𝑐

𝑏 sin B

sin C = 6

4 sin 40˚ =

3

2 (0,6428)

sin C = 0,9642 C = 74,6˚ atau C = (180 – 74,6)˚ = 105,4˚ Untuk ⎳C = 74,6˚, diperoleh ⎳A = 180˚ - (40˚ + 74,6˚) = 65,4˚ Untuk ⎳C = 105,4˚, diperoleh ⎳A = 180˚ - (40˚ + 105,4˚) = 34,6˚

Luas ABC dihitung dengan rumus 5-22a : L = 1

2 𝑏𝑐 sin A

Untuk ⎳A = 65,4˚, diperoleh :

L = 1

2 (4)(6) sin 65,4˚ = 12 (0,9092) = 10,9

Untuk ⎳A = 34,6˚, diperoleh :

L = 1

2 (4)(6) sin 34,6˚ = 12(0,5678) = 6,8

Jadi, Luas ABC = 10,9 cm² atau 6,8 cm²

C. Luas Segitiga dengan Dua Sudut dan Satu Sisi Diketahui

L = 𝑎² .sin 𝐵 .𝑠𝑖𝑛𝐶

2 sin 𝐴

L = 𝑏² .sin 𝐴 .sin 𝐶

2 sin 𝐵

L = 𝑐² .sin 𝐴 .sin 𝐵

2 sin 𝐶

Contoh :

Dalam ABC diketahui besar ⎳A = 37˚, besar ⎳C = 62˚, dan panjang sisi b = 6cm. hitunglah luas ABC

Dicari dulu besar ⎳ B ⎳ B = 180˚ - (⎳A + ⎳C) = 180˚ - (37˚ + 62˚) = 81˚ Luas ABC =

L = 𝑏² .sin 𝐴 .sin 𝐶

2 sin 𝐵

L = 36 𝑠𝑖𝑛 37˚ 𝑠𝑖𝑛 62˚

2 sin 81˚

log L = log (36 𝑠𝑖𝑛 37˚ 𝑠𝑖𝑛 62˚

2 sin 81˚)

log L = log 36 + log sin 37˚ + log sin 62 ̊- log 2 – log sin 81˚ log L = 1,5563 + (9,7795 – 10) + (9,9459 – 10) – 0,3010 – (9,9946 – 10) log L = 0,9861 L = 9,69 Jadi, luas ABC = 9,69 cm²

D. Luas Segitiga dengan Ketiga Sisinya Diketahui

L = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)

Contoh : Dalam ABC diketahui panjang sisi 𝛼= 5 cm, sisi b = 6 cm, dan panjang sisi c = 7 cm. Hitunglah luas ABC

Setengah keliling ABC adalah s =1

2 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) =

1

2 (5 + 6 + 7) = 9

(s – 𝛼) = ( 9 – 5) = 4; (s – b) = ( 9 – 6) = 3; dan (s – c) = (9 – 7) = 2 Luas ABC

L = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)

L = √9(4)(3)(2)

L = 6√6 Jadi, luas ABC = 6√6 cm²

1-9 MERANCANG MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN DENGAN PERBANDINGAN TRIGONOMETRI, ATURAN SINUS, DAN ATURAN KOSINUS Untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan model matematika yang memuat ekspresi trigonometri, maka pemecahannya dapat diselesaikan sebagai berikut :

1. Tetapkan besaran yang ada dalam masalah seperti variabei yang berkaitan dengan ekspresi trigonometri.

2. Rumuskan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan trigonometri, aturan sinus, atau aturan kosinus.

3. Tentukan penyelesaian dari model matematika. 4. Berikan tafsiran terhadap hasil-hasil yang diperoleh. Contoh : Ali, Badu, dan Carli sedang bermain di sebuah lapangan yang mendatar. Dalam situasi tertentu, posisi Ali, Badu, dan Carli membentuk sebuah segitiga. Jarak Badu dari Ali 10 m, jarak Carli dari Badu 12 m. berapakah besar sudut yang dibentuk oleh Badu, Ali, dan Carli dalam posisi-posisi itu? Jawab : 1. Sudut yang dibentuk oleh Badu, Ali, dan Carli adalah BAC, dimisalkan besar ⎳BAC

= 𝛼 ̊ 2. Dalam ABC pada gambar berlaku aturan kosinus, sehingga diperoleh:

BC² = AB²+AC²-2AB . AC cos ⎳BAC BC² = AB²+AC²-2AB . AC cos 𝛼˚

cos 𝛼˚ = 𝐴𝐵² +𝐴𝐶²−𝐵𝐶²

2𝐴𝐵 .𝐴𝐶

3. Subtitusi nilai-nilai AB = 10, BC = 12, dan AC = 15, diperoleh:

cos 𝛼˚ = (10) 2+(15) 2−(12)²

2(10)(15)

cos 𝛼˚ = 0,6033

Dengan menggunakan kalkulator diperoleh: 𝛼˚ = 52,9˚

4. Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh Badu, Ali, dan Carli adalah ⎳BAC = 52,9˚