VISUALISASI GEOMETRI/ KALKULUS DENGAN MAPLE

Disusun oleh : Dr. Adi Setiawan

Visualisasi bentuk-bentuk geometri merupakan bagian yang cukup sulit dalam pembelajaran Matematika. Visualisasiyang baik akan dapat memperjelas pemahaman siswa akan materi. Pemahaman akan macam-macam fungsi dangrafiknya akan membuat pembelajaran lebih menarik sehingga siswa akan tergerak untuk lebih mendalamimatematika. Untuk itu dalam materi ini dipaparkan tentang bagaimana melakukan visualisasi dengan bantuan paketprogram Maple.

1. Grafik fungsi linear

Fungsi linear mempunyai bentuk umum :

bxaxfy )(

dengan a, b R dan a ≠ 0 . Grafik fungsi linear mempunyai bentuk garis lurus. Dalam Maple, untuk

menggambarkan grafik fungsi linear y = f(x) = x untuk x R dapat digunakan perintah berikut :

> plot(x, x = -5..5);

Gunakan perintah berikut untuk menggambarkan grafik fungsi linear yang lain.

plot(3*x - 2, x = -5..5);plot(x - 2, x = -5..5);plot(4*x + 6, x = -5..5);plot(- 3*x + 4, x = -5..5);plot(2*x - 4, x = -5..5);

Dalam penggambaran grafik fungsi linear, juga dapat digambarkan titik potong antara 2 fungsi linear atautitik potong antara 2 garis. Dalam Maple, perintah untuk membuat 2 garis adalah sebagai berikut :

> plot({x,2*x-2}, x = -5..5);

sehingga diperoleh hasil :

Bandingkan juga dengan perintah :

> plot({x,2*x-2}, x = -5..5,y=-5..5);

Apakah ada bedanya? Grafik fungsi linear dan inversnya serta garis y= x yang menjadi cermin dari garis asal dapatdiperlihatkan dengan perintah-perintah berikut ini :

> f:= 5*x-7;> g:= (x+7)/5;

> h := x;> plot({f,g,h}, x=-5..5);

Bandingkan hasilnya dengan :

> plot({f,g,h}, x=-5..5,y=-5..5);

Apakah ada bedanya ?

Pertidaksamaan :

Untuk menggambar pertidaksamaan digunakan perintah berikut ini :

>

>

>

2. Grafik fungsi mutlak

Fungsi mutlak mempunyai bentuk umum :

0,

0,||)(

xx

xxxxfy

.

Grafik fungsi mutlak dapat digambarkan dengan bantuan Maple. Dalam Maple, untuk menggambarkan grafik fungsi mutlak dapat digunakan perintah berikut :

> plot(abs(x), x = -5..5,y=-5..5);

Gunakan juga perintah berikut ini untuk menggambarkan grafik fungsi mutlak yang lain :

plot(abs(x-1), x = -5..5);plot(2+abs(x-1), x = -5..5);plot(2-abs(x-1), x = -5..5);

Apakah yang terjadi jika anda menggunakan perintah berikut ini ? Jelaskan !

> plot({abs(x),abs(x-2),abs(x+2)}, x=-5..5, y=-5..5,color=[red,green,blue]);

3. Grafik fungsi kuadrat

Fungsi kuadrat mempunyai bentuk umum :

cxbxaxfy 2)(

dengan a, b , c R dan a ≠ 0 . Grafik fungsi linear mempunyai bentuk garis lurus. Dalam Maple, untuk

menggambarkan grafik fungsi linear y = f(x) = x2 untuk x R dapat digunakan perintah berikut :

> plot(x^2, x = -5..5, thickness=2, color=blue, linestyle=2);

Gunakan juga perintah berikut ini untuk menggambarkan grafik fungsi kuadrat yang lain :

plot(x^2-5*x+6, x = -1..6, thickness=2, color=blue, linestyle=2);plot(x^2-9, x = -4..4, thickness=2, color=blue, linestyle=2);plot({x^2-9, 9-x^2}, x=-5..5, thickness=2, color=[blue,green]);plot(-x^2+4*x+5, x=-2..6, thickness=2, color=green);

Perhatikan juga grafik fungsi berikut ini : (Apakah kesamaan dari tiga grafik fungsi kuadrat tersebut ?)

plot({(x+2)^2,x^2,(x-2)^2},x=-5..5,y=-5..5, thickness=2, color=blue, linestyle=2);

Grafik fungsi linear dan grafik fungsi kuadrat dapat digambarkan secara bersama-sama dengan menggunakan perintah :

> plot({-x^2+4*x+5,x}, x=-2..6, thickness=2, color=[green,red]);

>

>

>

>

4. Grafik fungsi eksponen

Fungsi eksponen mempunyai bentuk umum :

xaxfy )(

dengan a R dan a 1. Berikut ini diberikan contoh grafik fungsi y = f(x) = 2x untuk x [-3, 3] .

plot(2^x, x=-3..3);

Gunakan perintah berikut ini untuk menggambarkan grafik fungsi eksponen yang lain.

plot((1/2)^x, x=-2..3);plot(-3^x, x=-2..3);plot(-(1/3)^x, x=-2..3);plot({2^x,3^x}, x=-2..3);

Bandingkan perintah terakhir di atas dengan menggunakan perintah

plot({2^x,3^x}, x=-3..3,y=0..5);

Apakah perbedaannya ?

5. Grafik fungsi logaritma

Fungsi logaritma mempunyai bentuk umum :

)log()( xxfy a

dengan a R , x > 0 dan a 1. Berikut ini diberikan contoh grafik fungsi y = f(x) = ln(x) untuk x [-3, 3] .

plot(log(x), x=0..3);

Gunakan perintah berikut ini untuk menggambarkan grafik fungsi logaritma yang lain.

plot(ln(x)/ln(2), x=0..8);plot(ln(x)/ln(10), x=0..3);plot(ln(x-2)/ln(2), x=0..10);

Hubungan grafik fungsi logaritma dan fungsi eksponen dapat dinyatakan dalam grafik berikut ini :

plot({2^x, ln(x)/ln(2),x},x=-5..5,color=[red, blue,green]);

Bandingkan hasil yang anda peroleh di atas dengan perintah berikut ini :

> plot({2^x, ln(x)/ln(2),x},x=-5..5,y=-5..5,color=[red,blue,green]);

Kesimpulan apakah yang bisa ada peroleh ?

6. Grafik fungsi trigonometri

Fungsi trigonometri mempunyai bentuk umum

y = f(x)

dengan f(x) merupakan bentuk sin(x), cos(x), tan(x), cotan(x), secan(x), cosec(x). Untuk menggambarkangrafik fungsi trigonometri dalam Maple digunakan perintah berikut :

> plot(sin(x),x=-2*Pi..2*Pi,color=blue);

Perintah berikut ini, gunakan untuk membuat grafik fungsi trigonometri yang lain :

plot([sin(x), cos(x)], x=-2*Pi..2*Pi, color=[red, blue], style=[point, line]);plot([sin(x), tan(x)], x=-Pi..Pi, color=[red, blue], style=[line, line]);

7. Grafik dalam bentuk persamaan parametrik

Dalam bentuk persamaan parametrik, fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk :x = g(t), y = h(t)

dengan t = parameter. Sebagai contoh parabola y = x2 dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik x = t, y = t2 . Dalam Maple dapat digunakan perintah berikut ini :

plot([t,t^2,t=-10..10]);

Bentuk-bentuk geometri apakah yang diperoleh jika digunakan perintah berikut ini :

> plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi]);

> horiz:= t-2*sin(t);horiz := t - 2 sin t( )

> vert := 1-2*cos(t);vert := 1 - 2 cos t( )

> plot([horiz,vert,t=0..8*Pi]);

8. Grafik fungsi implisit

Maple juga dapat digunakan untuk menggambarkan grafik fungsi implicit yaitu fungsi yang dinyatakandalam persamaan implicit dimana peubah x dan peubah y terletak pada satu sisi persamaan. Lingkarandengan persamaan implicit x2 + y2 = 1 dapat dinyatakan sebagai berikut :

> implicitplot(x^2+y^2=1, x=-2..2, y=-2..2,scaling=constrained);

Bentuk-bentuk geometris apakah yang dapat diperoleh untuk perintah-perintah berikut ini ?

implicitplot(x^2+4*y^2=4, x=-3..3, y=-2..2, scaling=constrained);implicitplot(x^2-y^2=1, x=-2..2, y=-2..2,scaling=constrained);implicitplot(x^2-3*y^2=1, x=-2..2,y=-2..2, scaling=constrained);implicitplot(x^2+3*y^2=1, x=-2..2,y=-2..2, scaling=constrained);implicitplot(x+3*y^2=1, x=-2..2,y=-2..2, scaling=constrained);implicitplot(x-0.5*y^2=1, x=-2..2,y=-2..2,scaling=constrained);

9. Grafik fungsi dalam koordinat polar

Koordinat titik dalam bentuk koordinat polar dinyatakan dalam (r,t) dengan r 0 dan t [0,2]. Dalam

hal ini r menyatakan jarak dari titik pusat O dan t menyatakan sudut yang dibentuk oleh garis OP dan

garis asal OP. Fungsi yang dinyatakan dalam koordinat polar mempunyai bentuk umum :

r = g(t).

Dalam Maple, hal itu dapat dinyatakan dalam perintah :

> polarplot(sin(t), t=-Pi..Pi, scaling=constrained);

Gunakan perintah-perintah berikut ini untuk menggambarkan grafik fungsi dalam koordinat polar :

polarplot(sin(3*t), t=-Pi..Pi, scaling=constrained);polarplot(cos(t), t=-Pi..Pi, scaling=constrained);polarplot(cos(2*t), t=-Pi..Pi, scaling=constrained);polarplot(sin(2*t), t=-Pi..Pi, scaling=constrained);polarplot(sin(4*t), t=-Pi..Pi, scaling=constrained);

Perintah-perintah apakah yang dapat digunakan untuk menggambarkan grafik dalam koordinat polar berikut ini :

10. Grafik fungsi dua peubah (variable)

Grafik apakah yang anda peroleh jika anda gunakan perintah berikut ini :

plot3d(x^2-y^2, x=-5..5, y=-5..5, axes=boxed);

Perintah-perintah berikut ini menghasilkan bentuk apa ?

plot3d((x^2+y^2)^2, x=-5..5,y=-5..5,axes=BOXED);plot3d(-3*y/(1+x^2+y^2),x=-3..3,y=-3..3,axes=BOXED);

11. Grafik fungsi dalam bentuk persamaan parametric (3 dimensi)

Grafik apakah yang anda peroleh jika anda gunakan perintah berikut ini :

plot3d([sin(t)*cos(p),sin(p)*sin(t),cos(t)],t=0..Pi,p=0..2*Pi,axes=boxed, scaling=constrained)

12. Perhitungan limit

Untuk melakukan perhitungan limit, dapat digunakan perintah berikut ini :

limit(sin(x)/x, x=0);

Visualisasi geometri dari bentuk limit tersebut dapat digunakan perintah berikut :

plot(sin(x)/x, x=-1..1);

Bentuk limit yang lain dapat dihitung dengan perintah berikut ini :

> limit(exp(x), x=infinity);

¥

13. Turunan

Turunan dapat dicari dengan bantuan Maple dengan menggunakan perintah :

> diff(x^3,x);

3 x 2

Apakah yang dimaksud dengan perintah-perintah berikut ini ?

> diff(ln(x),x);> diff(exp(x),x);> diff(exp(x^2),x);

14. Integral

Integral tak tentu dapat dicari dengan perintah berikut ini :

> int((3*x-6)/(x^2-4),x);> int(exp(a*x),x);

Integral tertentu dapat diperoleh dengan perintah :

int(x^2,x=-2..2);

Bandingkan dengan hasil yang diperoleh dengan perintah :

Int(1+3*x, x=1..4); Integral double dapat diperoleh dengan perintah :

int(int(exp(y^2),x=0..y),y=0..1);

Explore lebih lanjut untuk penggunaan limit, turunan dan integral.

Untuk limit, diferensial dan integral perlu dieksplore lebih lanjut sehingga nantinya akan dapatdigunakan untuk menambah serta memperkaya memahaman siswa untuk topic-topik tertentu dalammatematika.

***ads***