modul maple untuk metnum 2014

PETUNJUK PRAKTIKUM

METODE NUMERIK

PAS 213P

DISUSUN OLEH

HASBI YASIN, S.Si, M.Si.

ABDUL HOYYI, S.Si, M.Si

JURUSAN STATISTIKA

FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG

2014

Modul Praktikum Metode Numerik 2014 @Statistika Undip 1

MODUL I

PENGANTAR MAPLE

Tujuan Instruksional Umum: Mahasiswa mampu memahami dan menerapkan dasar-dasar teknik numeric untuk menyelesaikan permasalahan matematis yang tidak analitis. Tujuan Instruksional Umum:

a. Mahasiswa mampu menggunakan alat bantu komputasi MAPLE b. Mahasiswa mampu

1. Pendahuluan

Maple hanya mempunyai satu bagian, yaitu jendela worksheet. Jika pada

jendela worksheet sudah menampilkan promt [> maka otomatis bahwa

Maple telah siap dioperasikan. Perintah ke komputer diketikkan setelah

simbol [>. Perintah ini dicetak dengan warna merah, sedangkan

responnya dicetak dengan warna biru. Perlu diingat bahwa setiap

perintah harus diakhiri dengan tanda (;) jika respon ingin ditampilkan

atau tanda (:) jika respon tidak ingin ditampilkan. Juga perlu

diperhatikan penggunaan huruf kapital, hal ini akan memberikan respon

yang berbeda.

2. Operasi Aritmatika

Berikut ini adalah operasi aritmatika dasar dari Maple:

Simbol Operasi yang dilakukan

+ dan - Penjumlahan dan pengurangan

* dan / Perkalian dan pembagian

^ Perpangkatan

Sqrt Penarikan akar

Evalf Pemberian nilai numerik

Maple akan mengerjakan operasi aritmatika dasar dan menggunakan

hukum-hukum berdasarkan prioritas, misalkan perkalian dioperasikan

lebih dahulu daripada penjumlahan. Selain itu juga dapat digunakan

tanda kurung untuk mengelompokkan operasi yang diinginkan.


3. Konstanta dan fungsi yang dibuat di dalam Maple

a. Konstanta

Konstanta-konstanta matematika yangsering digunakan dan telah

dibuat oleh Maple antara lain Pi, E, I.

b. Fungsi

Maple juga telah mempunyai banyak fungsi, antara lain:

Nama Maple Fungsi

E^x Fungsi Eksponensial

GAMMA(x) Fungsi Gamma

Beta(x,y) Fungsi Beta

ln(x) Logaritma Natural

sin(x), cos(x), tan(x) Fungsi Trigonometri

arcsin(x), arccos(x) Fungsi Trigonometri Invers

sinh(x), cosh(x) Fungsi Hiperbolik

arcsinh(x), arccosh(x) Fungsi Hiperbolik Invers

Sebagai catatan bahwa Maple selalu menggunakan ukuran radian

untuk semua sudut.

4. Mendefinisikan Variabel dan Fungsi

Pendefinisian sebuah variabel dilakukan dengan simbol := (ditulis tanpa

ada spasi)

> restart;# agar perintah yang dilakukan tidak

terpengaruh oleh perintah-perintah

sebelumnya

> x:=2;

:= x 2 > x;

2 > x^2+3*x;

10

Nilai pada sebuah variabel ini tidak akan berubah sampai kita keluar dari

Maple, atau jika kita mengubahnya.

Untuk mendefinisikan sebuah fungsi, kita ketikan simbol -> (ditulis

tanpa ada spasi)

Contoh: untuk mendefinisikan fungsi 1052 2 xxxf


> f:=x->2*x^2-5*x+10;#Contoh pendefinisian fungsi

:= f x 2 x2 5 x 10

kemudian untuk memanggil kembali fungsi tersebut dapat dilakukan

dengan perintah:

> f(x);#Pemanggilan kembali fungsi f(x)

2 x2 5 x 10 > f;#Perintah yang salah

f

untuk mengitung nilai dari fungsi terhadap nilai tertentu, dilakukan

dengan:

> f(4);#Menghitung nilai fungsi f untuk x = 4

22

> f(Pi);#Menghitung nilai fungsi f untuk x = pi

2 2 5 10

> evalf(f(Pi));#Memberikan nilai fungsi f untuk x =

3.14

14.03124554 5. Manipulasi Polinomial

Perintah Maple Aksi

simplify Menyederhanakan ekspresi aljabar

expand Ekspansi suatu ekspresi

factor Memfaktorkan suatu ekspresi

solve Menyelesaikan sistem untuk sekumpulan variabel

fsolve Memberikan solusi numerik

Maple akan memanipulasi ekspresi aljabar sesusai dengan aturan aljabar

yang berlaku.

> restart;

> x-y; x y

> p:=1-x+(x^2-1)/(1-x); #polinomial ini bernama p

:= p 1 xx2 1

1 x

Untuk menyederhanakan ekspresi diatas, dilakukan dengan

> simplify(p); 2 x

Untuk memfaktorkan polynomial

> a:=x^10-1;

:= a x10 1

> factor(a);

( ) 1 x ( )x 1 ( ) x4 x3 x2 x 1 ( ) x4 x3 x2 x 1


6. Substitusi

Untuk melakukan substitusi nilai tertentu terhadap sebuah variabel

dilakukan dengan perintah subs(variabel=nilai tertentu, ekspresi);

> y:=sin(x)^2+cos(x);

:= y ( )sin x 2 ( )cos x

> subs(x=pi,y);

( )sin 2 ( )cos

> a:=evalf(subs(x=Pi/4,y));# menghitung y untuk x=Pi/4,

dan dinamakan a

:= a 1.207106781

7. Plot Gambar

Maple mampu menggambarkan suatu fungsi satu dimensi, dua dimensi

atau tiga dimensi dengan beberapa fasilistas operasi yang lain. Untuk

dapat menggunakan perintah-perintah pengeplotan, kita harus

memanggil dahulu paket ini dengan perintah with(plots).

a. Plot dua dimensi (2D)

sintaks program:

plot(f, h, v) plot(f, h, v,...)

keterangan:

f – fungsi-fungsi yang akan diplot h – interval sumbu mendatar v – interval sumbu tegak (opsional)

contoh:

> plot([sin(x), x-x^3/6], x=0..2, color=[red,blue],

style=[point,line]);# Plot dari fungsi sin(x) dan x-

x3/6

b. Plot tiga dimensi (3D)

sintaks program: plot3d(expr1, x=a..b, y=c..d) plot3d(f, a..b, c..d)

plot3d([exprf, exprg, exprh], s=a..b, t=c..d) plot3d([f, g, h], a..b, c..d)

keterangan: f,g,h - fungsi-fungsi yang akan diplot expr1 - ekspresi dalam x dan y exprf,exprg,exprh - ekspresi dalam s dan t a,b - bilangan riil c,d - bilangan riil, prosedur, atau ekspresi dalam x Contoh:

> plot3d(sin(x*y),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,style=line);


c. Display Plot

Sintaks Program: display(L, insequence=true, options)

Keterangan:

L - himpunan plot yang akan didisplay (ditampilkan bersama-sama)

insequence=true - (opsional) display dari himpunan plot dalam bentuk barisan yang dianimasikan dalam frame yang, defaultnya adalah false

options - (opsional) pilihan-pilihan dalam plot Contoh:

> restart;with(plots):

> F:=plot(cos(x),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,style=line):

> G:=plot(tan(x),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,style=point): > display({F,G},axes=boxed,scaling=constrained,title

=`Cosine and Tangent`);

8. Statemen Perulangan (for...while...do)

Sintaks Program

| for <name> | | from <expr> | | by <expr> | | to <expr> | | while

<expr> |

do <statement sequence> end do;

atau

| for <name> | | in <expr> | | while <expr> |

do <statement sequence> end do;

(Catatan: bagian yang terletak diantara | | adalah optional.)

Contoh:

> for i from 6 by 2 to 20 do print(i) end do;

9. Statemen Kondisional (if...elif...else...end if)

Sintaks Program:

if <conditional expression> then <statement sequence> | elif <conditional expression> then <statement sequence> | | else <statement sequence> | end if

(Catatan: bagian yang terletak diantara | | adalah optional.)

atau dalam bentuk lain, if berfungsi sebagai operator:

Sintaks Program:

`if`(conditional expression, true expression, false expression)

Contoh:


> a := 3; b := 5;

> if (a > b) then a else b end if;

> 5*(Pi + `if`(a > b,a,b)); 5 25

10. Dasar-dasar pembuatan prosedur

Paket program Maple telah menyediakan fasilitas untuk menuliskan

sebuah prosedur. Prosedur merupakan kumpulan beberapa perintah atau

ekspresi yang disusun menurut alur logika tertentu untuk menghasilkan

output yang dikehendaki. Tata tulis dalam menjalankan/menggunakan

prosedur dalam Maple adalah:

Nama_Prosedur:=proc(argument input) local variabel-variabel

lokal;

Argumen input merupakan informasi/data yang diperlukan untuk

operasional prosedur. Sedangkan variabel-variabel lokal adalah variabel

yang hanya digunakan dalam prosedur tersebut.

Contoh:

> addList := proc(a::list,b::integer)::integer;

local x,i,sum;

description "Penjumlahan data kemudian

dikalikan dengan konstanta";

x:=b;

sum:=0;

for i in a do

sum:=sum+a[i];

end do;

sum:=sum*x;

end proc;

> addList([1,2,3],3);

Tugas 1:

1. Susunlah sebuah prosedur untuk mencari akar-akar persamaan

kuadrat!

2. Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan prosedur yang

anda buat:

a. 2 2 3 0x x b. 2 2 1 0x x c. 2 2 3 0x x


MODUL II

MAPLE UNTUK SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINIER

Tujuan Instruksional Umum: Mahasiswa mampu memahami dan menerapkan dasar-dasar teknik numeric untuk menyelesaikan permasalahan matematis yang tidak analitis. Tujuan Instruksional Umum: a. Mahasiswa mampu mengidentifikasikan masalah sebagai sistem

persamaan linier

b. Mahasiswa mampu menyajikan dan memanipulasi matriks dalam MAPLE c. Mahasiswa mampu menyelesaikan sistem persamaan linier

A. Pendefinisian Sistem Persamaan Linier

Suatu sistem dari m persamaan linier dan n variabel berbentuk:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

dimana x1, x2, ..., xn adalah variabel dan a11, a12, ..., amn adalah koefisien

persamaan sedangkan b1, b2, ... bm adalah konstanta persamaan.

Sekumpulan nilai dari variabel , misalkan x1 = k1, x2 = k2, ..., xn = kn disebut

solusi dari sistem persamaan linier tersebut. Solusi ini dapat disajikan dalam

bentuk vektor yang disebut dengan vektor solusi.

Bagan solusi sistem persamaan linier:

Sistem Persamaan Linier

A X = B

Homogen

B = O

Tak Homogen

B ≠ O

Selalu Ada Solusi Tak Ada Solusi

r(A) ≠ r(A,B)

Ada Solusi

r(A) = r(A,B)

Solusi Trivial

(Solusi Nol)

Solusi Nontrivial Solusi Tunggal

r = n

Solusi Banyak

r < n


Perintah-perintah maple yang digunakan dalam penyelesaian sistem

persamaaan linier:

Perintah Maple Arti with(linalg); Untuk membuka paket tentang aljabar

linier augment(A,b); Menggabungkan matriks A dengan vektor b linsolve(A,b); Mencari solusi dari sistem persamaan linier linsolve(A,b,’r’,’t’); Mencari solusi dari sistem persamaan linier

dalam bentuk parameter geneqns(A,[x,y,z]); Menampilkan sistem persamaan linier

homogen dengan matriks koefisien A dan variabel x, y, dan z

geneqns(A,[x,y,z],b); Menampilkan sistem persamaan linier non homogen dengan matriks koefisien A dan variabel x, y, dan z dan vektor ruas kanan b

genmatrix(pers,var); Menampilkan matriks koefisien dari sistem persamaan linier pers dalam variabel tak diketahui var

genmatrix(pers,var,flag)

;

Menampilkan matriks koefisien dari sistem persamaan linier pers dalam variabel tak diketahui var dan vektor ruas kanan b pada kolom terakhir

leastsqrs(A,b); Menentukan solusi dalam pengertian kuadrat terkecil

leastsqrs(A,b,’optimize’

);

Menentukan solusi optimal dalam pengertian kuadrat terkecil

leastsqrs(S,v); Menentukan nilai-nilai variabel v yang meminimumkan persamaan-persamaan S

gausselim(Ab); Melakukan proses eliminasi Gauss terhadap matriks Ab

gaussjord(Ab); Melakukan proses eliminasi Gauss-Jordan terhadap matriks Ab

B. Solusi Sistem Persamaan Linier

a. Sistem Persamaan Linier Homogen

Selesaikanlah Sistem Persamaan Linier berikut ini:

035

0332

0452

wzx

wzyx

wzyx

> restart;

> with(linalg):

> pers:={x+2*y-5*z+4*w=0,2*x+3*y+z+3*w=0,5*x+3*z-

w=0};

> Ab:=genmatrix(pers,[x,y,z,w],flag);

> A:=submatrix(Ab,1..3,1..4);b:=col(Ab,5);


> rank(A);

> sol:=linsolve(A,b);

> sol1:=linsolve(A,b,'r','t');

> sol2:=leastsqrs(A,b);

> sol_opt:=leastsqrs(A,b,'optimize');

b. Sistem Persamaan Linier Non Homogen Solusi Tunggal


92

0563

1342

zyx

zyx

zyx

restart;

with(linalg): A:=matrix(3,3,[2,4,-3,3,6,-5,1,1,2]);

b:=vector([1,0,9]);

Ab:=augment(A,b); pers:=geneqns(A,[x,y,z],b);

rank(Ab)-rank(A);

rank(A); x:=gausselim(Ab);

sol1:=backsub(x); solusi:=backsub(gausselim(Ab));

Gj:=gaussjord(Ab);

sol2:=col(Gj,4); sol3:=col(gaussjord(Ab),4);#cara singkat

sol_opt:=leastsqrs(A,b,'optimize');

c. Sistem Persamaan Linier Non Homogen Solusi Banyak


6923

2542

35432

wzyx

zzyx

wzyx

> restart;

> with(linalg):

> A:=matrix(3,4,[2,3,4,-5,1,-2,4,5,3,2,9,1]);

> b:=vector([3,2,6]);

> Ab:=augment(A,b);

> pers:=geneqns(A,[x,y,z,w],b);

> rank(Ab)-rank(A);

> rank(A);


> sol1:=linsolve(A,b,'r','t');

> sol2:=leastsqrs(A,b);

> sol_opt:=leastsqrs(A,b,'optimize');


d. Sistem Persamaan Linier Non Homogen Tak Ada Solusi


9343

42

632

zyx

zyx

zyx

> restart;

> with(linalg):

> A:=matrix(3,3,[2,3,1,1,1,2,3,4,3]);

> b:=vector([6,4,9]);

> Ab:=augment(A,b);

> pers:=geneqns(A,[x,y,z],b);

> rank(Ab)-rank(A);

> rank(A);


> sol1:=linsolve(A,b,'r','t');# tidak punya solusi

Tugas 2:

1. Gunakan eliminasi Gauss dan Gauss Jordan untuk menyelesaikan

sistem persamaan berikut:

2 4

1 2 3 4

1 2 4

1 2 3 4

2 0

2 2 3 2 2

4 3 7

6 6 5 6

x x

x x x x

x x x

x x x x

2. Susunlah sebuah prosedur untuk mencari solusi dari sebuah sistem

persamaan linier!

3. Gunakan prosedur yang anda susun di poin 2 untuk menyelesaikan

sistem persamaan pada poin 1.


MODUL III

MAPLE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN NON LINIER

Tujuan Instruksional Umum: Mahasiswa mampu memahami dan menerapkan dasar-dasar teknik numeric untuk menyelesaikan permasalahan matematis yang tidak analitis. Tujuan Instruksional Umum:

a. Mahasiswa mampu melakukan perhitungan iterative dalam MAPLE b. Mahasiswa mampu mencari akar-akar persamaan non linier secara

numerik

A. Mencari akar-akar persamaan polynomial secara numerik dengan

Menggunakan metode Biseksi cara I

> restart;# metode biseksi cara I

> with(plots):

> f:=x->x^3+x^2-3*x-3; > toleransi:= .000000001;

> plot(f(x),x=-3..4); > akar_eksak:=evalf(solve(f(x)=0,x));

> x1:=1;x2:=2;

> while abs(x1-x2)>toleransi do x3:=evalf((x1+x2)/2);if

evalf(f(x3)*f(x1))<0 then x2:=x3;else x1:=x3;end if;end

do;

B. Mencari akar-akar persamaan polynomial secara numerik dengan

Menggunakan metode Biseksi cara II

> restart;# metode biseksi cara II

> with(plots):

> f:=x->x^3+x^2-3*x-3; > toleransi:= .00000001;

> plot(f(x),x=-3..4);

> akar_eksak:=evalf(solve(f(x)=0,x)); > x1:=1;x2:=2;

> while abs(x1-x2)>toleransi do x3:=evalf((x1+x2)/2);if

evalf(f(x3))>0 then x2:=x3;else x1:=x3;end if;end do;

C. Mencari akar-akar persamaan polynomial secara numerik dengan

Menggunakan metode Regula Falsi

> restart;# metode Regulasi Falsi

> with(plots): > f:=x->x^3+x^2-3*x-3;

> toleransi:= .00000001; > plot(f(x),x=-3..4);

> akar_eksak:=evalf(solve(f(x)=0,x));

> x1:=0;x2:=3;


> while abs(x1-x2)>toleransi do x3:=evalf((f(x2)*x1-

f(x1)*x2)/(f(x2)-f(x1)));if evalf(f(x1)*f(x3))<0 then

x2:=x3;else x1:=x3;end if;end do;

D. Mencari akar-akar persamaan polynomial secara numerik dengan

Menggunakan metode Secant

> restart;# metode Secant

> with(plots): > f:=x->x^3+x^2-3*x-3;

> toleransi:= .000000001; > plot(f(x),x=-3..4);

> akar_eksak:=evalf(solve(f(x)=0,x));

> x1:=1;x2:=2; > while abs(x1-x2)>toleransi do x3:=evalf(x2-((x2-

x1)*f(x2)/(f(x2)-f(x1))));if evalf(f(x3)*f(x1))<0 then

x1:=x3;else x2:=x3;end if;end do;

Tugas 3:

1. Gunakan metode newton raphson, metode pendekatan beruntun, dan

metode modifikasi pendekatan beruntun untuk mencari akar-akar dari

persamaan berikut:

a. 3 2 3 3x x x

b. 25xe x

2. Cari dimana grafik f(x) = x-2 dan g(x) = ln x berpotongan secara numerik!

Lakukan dengan dua metode yang berbeda!


MODUL IV

MAPLE UNTUK INTERPOLASI POLINOMIAL

Tujuan Instruksional Umum: Mahasiswa mampu memahami dan menerapkan dasar-dasar teknik numerik untuk menyelesaikan permasalahan matematis yang tidak analitis. Tujuan Instruksional Umum:

a. Mahasiswa mampu menyajikan dan memanipulasi data tipe array b. Mahasiswa mampu menyelesaikan interpolasi data secara numerik

A. Interpolasi Linier

Interpolasi linier adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Misal diberikan dua buah titik (x0, y0) dan (x1, y1). Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah:

B. Interpolasi Kuadratik

Interpolasi Kuadratik adalah interpolasi yang melewati tiga buah titik. Misal diberikan dua buah titik (x0, y0), (x1, y1) dan (x2, y2).

C. Interpolasi Kubik

Interpolasi Kubik adalah interpolasi yang melewati empat buah titik. Misal diberikan dua buah titik (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) dan (x3, y3).


D. Interpolasi Lagrange

Bentuk umum polinom Lagrange derajat ≤ n untuk (n + 1) titik berbeda

adalah:

Dimana:

E. Interpolasi Newton

Dimana:

Atau dengan Tabel Selisih Terbagi, sebagai contoh untuk polinom

derajat 3:


F. Interpolasi Newton Gregori Maju

Polinom Newton-Gregory merupakan kasus khusus dari polinom Newton untuk titik-titik yang berjarak sama sebesar h. Diselesaikan dengan bantuan Tabel Selisih Maju:

Bentuk umumnya:

Dengan:

Contoh:

x 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2

f(x) 1,000 1,203 1,423 1,684 2,030 2,557 3,572

Dengan menggunakan 4 titik dari x0 = 1,4 hingga x3 = 2,0 tentukan nilai dari

f(1,83) dengan rumus interpolasi Newton Gregori maju derajat tiga.

> A:=array([[x,f(x)],[1.0,1.000],[1.2,1.203],[1.4,1.423]

,[1.6,1.648],[1.8,2.030],[2.0,2.557],[2.2,3.572]]);

> B:=submatrix(A,4..8,1..2); > for i from 1 to 5 do f[i,2]:=B[i,2]; end do;

> for i from 2 to 5 do Delta(f[0])[i,2]:=f[i,2]-f[i-1,2];

end do; > for i from 3 to 5 do Delta(f[1])[i,2]:=

Delta(f[0])[i,2]-Delta(f[0])[i-1,2]; end do; > for i from 4 to 5 do Delta(f[2])[i,2]:=

Delta(f[1])[i,2]-Delta(f[1])[i-1,2]; end do;

> for i from 5 to 5 do Delta(f[3])[i,2]:=

Delta(f[2])[i,2]-Delta(f[2])[i-1,2]; end do;

mencari nilai estimasi dari f(1.83) dengan rumus newton maju derajat 3 > #mencari nilai estimasi f(1.83) maka diambil x[0]=1.4 > x[0]:=B[1,1];x[1]:=B[2,1];h:=x[1]-x[0];


> x:=1.83;s:=evalf((1.83-1.4)/h);

> s1:=binomial(s,1);s2:=binomial(s,2);

> f0:=B[1,2];Delta(f0):=Delta(f[0])[2,2]; Delta2(f0):=

Delta(f[1])[3,2];

> P3(x):=f0+s1*Delta(f0)+s2*Delta2(f0);# rumus

interpolasi newton gregori maju derajat 3

> nilai_f(1.83):=P3(x);

G. Interpolasi Newton Gregori Mundur

Diselesaikan dengan Tabel Selisih Mundur

Bentuk umumnya:

Tugas 4:

x 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2

f(x) 1,000 1,203 1,423 1,684 2,030 2,557 3,572

1. Tentukan nilai f(1,5), f(1,7), dan f(1,9) dengan interpolasi linier,

kuadratik dan kubik!

2. Gunakan 4 titik untuk memperkirakan nilai dari f(1,5) dengan

menggunakan interpolasi lagrange derajat 3!

3. Buatlah Tabel differensi mundur berdasarkan data pada tabel!

4. Tentukan nilai dari f(1,5), f(1,7), dan f(1,9) dengan rumus Newton

Gregori mundur derajat 3.


MODUL V

MAPLE UNTUK TURUNAN DAN INTEGRAL NUMERIK

Tujuan Instruksional Umum: Mahasiswa mampu memahami dan menerapkan dasar-dasar teknik numerik untuk menyelesaikan permasalahan matematis yang tidak analitis. Tujuan Instruksional Umum:

a. Mahasiswa mampu melakukan diferensiasi secara numerik b. Mahasiswa mampu melakukan integrasi secara numerik

A. TURUNAN NUMERIK

1. Rumus-rumus Turunan Pertama

2. Rumus-rumus Turunan Kedua


3. Rumus-rumus Turunan Ketiga

Tugas 5.1:

x 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5

f(x) 3,669 4,482 5,474 6,686 8,166 9,974 12,182

1. Tentukan nilai turunan pertama dan kedua di titik 1,3 dengan

menggunakan rumus-rumus selisih maju!

2. Tentukan nilai turunan pertama dan kedua di titik 1,9 dengan

menggunakan rumus-rumus selisih pusat!

3. Fungsi tersebut adalah xf x e , buatlah analisis errornya!

B. INTEGRAL NUMERIK

1. Pendekatan kaidah Trapezoidal

1

0

1

22

nb

i na

i

hf x dx f f f

2. Pendekatan kaidah Simpson 1/3

0 1 2 3 4 2 14 2 4 2 2 43

b

n n na

hf x dx f f f f f f f f

3. Pendekatan kaidah Simpson 3/8

0 1 2 3 4 2 1

33 3 2 3 3 3

8

b

n n na

hf x dx f f f f f f f f

Tugas 5.2:

x 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5

f(x) 3,669 4,482 5,474 6,686 8,166 9,974 12,182

1. Tentukan nilai 2.5

1.3f x dx dengan menggunakan rumus-rumus

integrasi numerik diatas! (gunakan h=0.2 dan h=0.4)

2. Fungsi tersebut adalah xf x e , buatlah analisis errornya!

modul maple untuk metnum 2014

Data & Analytics