BAB 1. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Banyak hal yang dipelajari dalam ilmu Mteatematika, salah satunya adalah

fungsi. Dalam matematika fungsi memiliki banyak peranan, misalnya fungsi bisa

digunakan untuk menentukan waktu. Fungsi banyak juga digunakan dalam

perhitungan ilmu Fisika. Dengan fungsi kita bisa menemukan hasil yang susah

untuk ditemukan dengan cara yang biasa. Dengan menggunakan fungsi, seseorang

akan lebih mudah menemukan hasil akhir dari sebuah perhitungan.

Intinya konsep “fungsi” merupakan hal yang penting dalam berbagai

cabang matematika. Dalam banyak hal fungsi diterapkan dalam berbagai bidang

untuk menyelesaikan persoalan-persoalan baik dalam bidang teknik, ekonomi dan

bidang lain yang mempelajari hubungan-hubungan antar variabel, dimana variabel

satu sama lainnya saling pengaruh mempengaruhi dan dapat diukur, seperti jarak

dan waktu dapat diiukur, sehingga dapat dikatakan bahwa jarak adalah fungsi dari

waktu.

Banyak permasalahan fungsi yang dirasa sulit untuk diselesaikan, baik dari

segiperhitungan maupun dalam penggambaran dalam grafik. Namun, seiring

dengan perkembangan teknologi, untuk mempelajari fungsi kita dapat

menggunakan perangkat komputer dengan software Maple 13. Software ini

dirancang untuk mempermudah dalam pembelajaran fungsi, baik secara

perhitungan maupun penggambarannya.

1.2 Rumsan Masalah

a. Bagaimana penerapan fungsi dalam Maple 13?

b. Bagaimana cara menuliskan invers pada Maple 13?

1.3 Tujuan

a. Untuk mengetahui penerapan fungsi dalam Maple 13

b. Untuk mengetahui cara penulisan invers pada Maple 13

1.4 Manfaat

a. Agar dapat mengetahui penerapan fungsi dalam Maple 13

b. Agar dapat mengetahui penulisan invers pada Maple 13

BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA

2.1Pengertian fungsi

          Pengertian fungsi disini dikaitkan dengan pengertian pemetaan yang dalam

analisis matematika dikenal dengan nama fungsi. Dengan demikian fungsi

merupakan kejadian khusus dari suatu relasi.(Sukardji Ranuwihardjo,1986:7).

          Fungsi menurut buku lain adalah suatu persamaan dimana mempunyai dua

buah variabel atau lebih yang masing masing variabel tersebut nilainya saling

mempengaruhi(Suprapto kartono SE,1983:2).

       Misalnya :

a. Fungsi yang mempunyai dua variabel

      y = f(x) dibaca y sama dengan fungsi dari x

      f(x,y) = 0 dibaca, fungsi x dan y sama dengan nol

b. Fungsi yang mempunyai lebih dari dua variable.

z = G(x,y) dibaca, z sama dengan fungsi dari x dan y.

G(x,y.z) = 0 dibaca, fungsi x,y, dan z sama dengan nol

   Dalam fungsi ini x,y, dan z adalah yang dimaksud dengan variabel, yaitu

nilainya tidak tetap,tetapi berubah ubah.

Variabel dapat dibedakan menjadi dua yakni:

a. Variable bebas (independent)

b. Variabel tidak bebas (dependent)

2.2 Jenis jenis fungsi

2.2.1 Fungsi injektif

       Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya

jika untuk sebarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak

sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).

2.2.2 Fungsi surjektif

            Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya

jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam

domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi

surjektif sama dengan kisarannya (range).

2.2.3 Fungsi bijektif

Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk

sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a)

= b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain,

fungsi bijektif adalah adalah sekaligus injektif dan surjektif.

2.2.4 Fungsi Konstan (fungsi tetap)

Fungsi konstan adalah fungsi f yang dinyatakan dalam ruumus f(x) = c,

dengan c suatu konstanta. Grafiknya jika dilukis dalam suatu sumbu koordinat

dimana domainnya sumbu x merupakan garis yang sejajar dengan sumbu x.

2.2.5 Fungsi Linier

Suatau fungsi f(x) disebut fungsi linier apabila fungsi itu ditentukan oleh

f(x) = ax + b, dimana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa

garis lurus.

2.2.6 Fungsi Kuadrat

Suatau fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan

oleh f(x) = ax2 + b + c, dimana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan

grafiknya berupa parabola.

2.2.7 Fungsi Identitas

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain

fungsi berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya

sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titi asal dan semua

titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x.

2.2.8 Fungsi Tangga (bertingkat)

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x)

berbentuk interval-interval yang sejajar.

2.2.9 Fungsi Modulus

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini

memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsure harga mutlaknya.

2.2.10 Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(-x) = -f(x) dan

disebut fungsi genap apabila berlaku f(-x) = f(x). Jika f(-x) ≠ -f(x) maka fungsi ini

tidak genap dan tidak ganjil.

2.2.11 Fungsi Polinomial

Fungsi polinomial adalah fungsi f yang dinyatakan dalam bentuk : f(x) =

an x n + an-1 x n-1 + ……. A2 x 2 + a1 x a0 jika n = 1maka terbentuk fungsi

linier (grafik berbentuk garis lurus). Jika n = 2 maka terbentuk fungsi kuadrat

(grafiknya berbentuk parabola) (Anonim1, 2013).

2.3 Nilai fungsi

       Kalau kita ingin mengetahui nilai dari suatu fungsi, maka kita harus

menetukan terlebih dahulu nilai dari variabel bebasnya. Sebab besarnya fungsi itu

tergantung dari nilai variabel bebas. (Suprapto kartono SE,1983:7).

2.4 Fungsi invers

Jika fungsi f : A → B dinyatakan dalam pasangan terurut

f : {(a,b) | a → A dan b → B} maka invers dari fungsi f adalah f -1 : B A ditentukan oleh :f-1 : {(b,a) | b → B dan a → A}

Invers suatu fungsi tidak selalu merupakan fungsi. Jika invers suatu fungsi

merupakan fungsi maka invers fungsi itu disebut fungsi invers (Anonim2, 2013).

2.5 Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi dapat dianalogikan seperti contoh di atas. Misalkan kita

memiliki fungsi f(x) = 2x + 3 dengan domainnya bilangan real, dan g(x) = √(x – 1)

dengan domain x ≥ 1 untuk x bilangan real. Fungsi komposisi g ○ f dapat

digambarkan sebagai berikut.

Mula-mula x, anggota domain f, dipetakan oleh f ke bayangan x, yaitu f(x).

Kemudian f(x) dipetakan lagi oleh g ke g(f(x). Dengan demikian fungsi komposisi

g ○ f adalah pemetaan x anggota domain f oleh fungsi f, kemudian bayangannya

dipetakan lagi oleh g. Uraian tersebut memperjelas definisi berikut.

Diketahui f dan g dua fungsi sembarang, maka fungsi komposisi f dan g

ditulis g ○ f didefinisikan sebagai (g ○ f)(x) = g(f(x)) untuk setiap x anggota

domain f.

Sebagai contoh kita ambil x = –1 anggota domain f, kita akan memperoleh

f(x) = 1 yang berada dalam daerah asal fungs g. Bayangan x = –1, yaitu f(x) = 1

dapat dipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(1) = √(1 – 1) = 0.

Lain halnya jika x = –2. Untuk x = –2 diperoleh f(–2) = –1 yang berada di

luar daerah asal fungsi g. Bayangan x = –2, yaitu f(x) = –1 tidak dapat dipetakan

oleh g ke fungsi komposisi g(f(x)) sebab g(–1) = √(–1 – 1) = √–2. Nilai ini tidak

terdefinisi jika kita membatasi daerah asal pada himpunan seluruh bilangan real.

Dari uraian tersebut dapat dipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat

dilakukan jika bayangan x jatuh pada daerah asal fungsi g. Dengan demikian,

diperoleh daerah asal fungsi g ○ f adalah Dg○ f = {x | x anggota Df, f(x) anggota

Dg}.

Dengan pemikiran yang sama, fungsi komposisi f ○ g adalah pemetaan x

anggota domain g oleh fungsi g, kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh

fungsi f. Dengan demikian daerah asal fungsi komposisi f ○ g adalah Df○ g = {x | x

anggota Dg, f(x) anggota Df} (Anonim1, 2013).

BAB 3. METODOLOGI PERCOBAAN

3.1 Alat dan Bahan3.1.1 Alat

Adapun alat yang digunakan dalam praktikum penggunaan maple dalam

pengoperasian fungsi adalah :

a. Laptop Toshiba Satelite L375-S9310D CORE i5

3.1.2 Bahan

Adapun bahan yang digunakan dalam praktikum penggunaan maple dalam

pengoperasian fungsi adalah :

a. Software Maple 13

3.2 Prosedur Kerja

a. Menekan tombol On pada laptop

b. Menunggu hingga laptop siap digunakan

Gambar 3.1 Tampilan Menu Windows

c. Lalu double klik pada ikon Maple 13 atau bias menggunakan cara berikut:

Start→All Pragram→Maple 13→Classic Worksheet Maple 13

Gambar 3.2 Tampilan Jendela Maple 13

BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Mendefinisikan Fungsi

Sebelum mengerjakan fungsi dalam Maple 13 ini, kita harus membuat

fungsi itu sendiri atau mendefinisikan fungsi. Cara mendefinikan fungsi adalah

menuliskan unsur-unsur fungsi tersebut dalam Maple 13. Seperti halnya unsur

dalam fungsi yaitu nama fungsi, variable, maupun fungsi itu sendiri. Berikut

adalah format penulisan fungsi dalam Maple 13:

Nama fungsi:=(variabel)->fungsi

Mendefinisikan suatu fugsi dalam Maple 13 ini jangan sampai salah.

Karena hasil yang dihasilkan nantinya akan erorr. Namun bedanya dengan

Matlab, Maple 13 dapat mengahapus unsure yang salah dengan lebih mudah,

sehingga dalam pengoreksian juga lebih mudah.

Contoh dalam menuliskan fungsi berikut f(x) = √ x+1. Maka penulisan

dalam Maple 13 adalah seperti dibawah ini:

> f:=x->x^(1/2)+1:, tanda titik dua (:) setelah penulisan fungsi erguna

untuk menyimpan fungsi tersebut.ketika kita ingin memanggilnya kembali dalam

pengoperasian fungsi kita hanya cukup menuliskan f(x) saja. Pemanggilan fungsi

ini akan menghasilkan seperti dibawah ini

x 1

Contoh lainnya yaitu fungsi g(x) = x2 + 4. Penulisan dalam Maple 13 adalah:

> g:=x->x^2-4:

Dengan pemanggilan kembali yaitu x2 4

4.2 Operasi Fungsi

Setelah kita membuat fungsi-fungsi diatas, kita hanya perlu menuliskan

f(x) atau g(x) saja dalam pengoperasian fungsi dalam Maple 13 ini. Karena fungsi

sudah dibuat sebelumya. Seperti contoh penjumlahan dan pengurangan berikut:

> f(x)+g(x); x 3 x2

> f(x)-g(x);x 5 x2

Selain penjumlahan dan pengurangan ada juga perkalian, pembagian, akar,

pangkat dan sebagainya. Kita hanya perlu menuliskan operasi apa yang kita

butuhkan.

4.3 Nilai fungsi

Ada banyak cara untuk menentuka nilai fungsi. Dalam Maple 13 terdapat

beberapa perintah atau cara dalam menentukan fungsi yaitu solve, factor, expand,

dan simplify. Keempat perintah tersebut memiliki fungsi berbeda-beda. Dimana

solve adalah perintah untuk mencari akar atau menyelesaikan fungsi tersebut,

factor untuk memfaktorkan fungsi, expand untuk menjabarkan fungsi, dan

simplify untuk menyederhanakan fungsi.

Berikut adalah cara penggunaan dari keempat perintah tersebut

a. Solve

Untuk menggunakan perintah solve ketiklah solve(fungsi); seperti contoh

dibawah ini:

Jika g(x) = (x-1) (x+1), maka dalam Maple 13 penulisannya

> g:=x->(x-1)*(x+1):

Maka solve dari fungsi di atas adalah > solve(g(x)); dengan hasil

,1 -1

b. Factor

Untuk menggunakan perintah factor ketiklah factor(fungsi); seperti contoh

dibawah ini:

Jika t(x) = x2 – 1, maka dalam Maple 13 penulisannya

> t:=x->x^2-2*x+1:

Maka factor dari fungsi adalah > factor(t(x)); dengan hasil

( )x 1 2

c. Expand

Untuk menggunakan perintah expand ketiklah expand(fungsi); seperti

contoh dibawah ini:

Jika > g:=x->(x-1)*(x+1):

Maka expand dari fungsi di atas adalah > expand(g(x));dengan hasil

x2 1

d. Simplify

Untuk menggunakan perintah simplify ketiklah expand(fungsi); seperti

contoh dibawah ini:

Jika t(x) = x2 – 1, maka dalam Maple 13 penulisannya

> t:=x->x^2-2*x+1:dan h(x) = x – 1, maka dalam Maple 13 penulisannya

> h:=x->x-1;Serta s(x) = t(x)/h(x), maka dalam Maple 13 penulisannya> s:=x->t(x)/h(x);Sehingga penyederhanaan dari s(x) adalah > simplify(s(x));

dengan hasil x 1

4.4 Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara

berurutan sehingga menghasilkan dua fungsi baru. Penulisan fungsi komposisi

dalam Maple 13 misal f(x) dikomposisikan terhadap g(x) maka menggunakan

‘@’, sehingga f(g(x)) = (f@g)(x). seperti contoh y(x) = x2 + 2x dan z(x) = 2x + 3,

jika yang ditanyakan y(z(x)) maka

> y:=x->x^2+2*x:

> z:=x->2*x+3:

> (y@z)(x);

( )2 x 3 2 4 x 6

4.5 Fungsi Invers

Fungsi invers adalah kebalikan dari fungsi itu sendiri. Dalam Maple 13

penulisan fungsi invers harus menmbuat nama calon dari fungsi invers itu, karena

pada Maple 13 tidak ada perintah khusu untuk fungsi invers. Misal jika e(x)

merupakan invers dari d(x) maka berlaku d(e(x)) = x. Sehingga untuk mencari

invers dari d(x) yaitu e(x) maka menggunakan perinta ‘solve’. Jika d(x) = 5x – 3,

dan e(x) adalah invers dari d(x) maka

> d:=x->5*x-3:

> solve((d@e)(x)=x,e(x));

x5

35

BAB 5. PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Dari pembahasan di atas dapa disimpulkan bahwa

5.1.1 Penerapan Fungsi dalam Maple 13

a. Definisi Fungsi

Penulisan fungsi dalam Maple 13 adalah > f:=x->x^(1/2)+1:

b. Operasi Fungsi

Operasi fungsi dalam Maple 13 yaitu dengan cara memilih perintah

operasi yang dibutuhkan seperti penjumlahan dan pengurangan fungsi

berikut:

> f(x)+g(x);

> f(x)-g(x);

c. Nilai fungsi

Mencari nilai fungsi dalam Maple 13 ada empat cara yaitu solve, factor,

expand, dan simplify. Dengan penulisan masing-masing perintah sebagai

berikut:

> solve(t(x));

> expand(t(x));

> factor(t(x));

> simplify(t(x));

d. Fungsi Komposisi

Menuliskan fungsi komposisi dalam Maple 13 yaitu dengan cara misal f(x)

dikomposisikan terhadap g(x) maka menggunakan ‘@’, sehingga f(g(x)) =

(f@g)(x). Seperti contoh di bawah ini:

> y:=x->x^2+2*x:

> z:=x->2*x+3:

> (y@z)(x);

( )2 x 3 2 4 x 6

e. Fungsi Invers

Menuliskan fungsi invers dalam Maple 13 tidak ada cara yang khusus.

Sehingga penulisan fungsi invers dalam Maple 13 dengan cara membuat

nama baru dari calon incers fungsi itu sendiri. Misal jika e(x) merupakan

invers dari d(x) maka berlaku d(e(x)) = x. Berikut penulisan dalam Maple

13.

Jika > d:=x->5*x-3:

Maka > solve((d@e)(x)=x,e(x));

x5

35

5.2. Saran

Setiap kali melakukan percobaan dalam Maple 13 ini jangan pernah takut

salah. Agar tidak salah, seharusnya praktikan bisa mencerna dan mendengarkan

apa yang dijelaskan oleh asisten dengan baik. Sehingga bias meminimalisir

kesalahan yang terjadi

DAFTAR PUSTAKA

Kartono,Suprapto.1983.Penerapan Fungsi Dalam Ekonomi.Jakarta: Universitas Indonesia.Baisuni,hasyim.1986.Kalkulus.Jakarta:Universitas Indonesia.www.meetmath.com/001297-materi- komposisi - fungsi .html http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_%28matematika%29 ( anonim 1)

http://yos3prens.wordpress.com/2013/01/28/fungsi-komposisi/ (anonim 2)