PENERAPAN FUNGSI LINEAR

Oleh : Endah Puspitojati

Fungsi linier

• Adalah fungsi paling sederhana karena hanya mempunyai satu variabel bebas dan berpangkat satu pada variabel tersebut,atau dengan kata lain tak satupun variabel berpangkat lebih dari 1.

persamaan grafik fungsi f adalah y=ax+b yang berbentuk garis lurus. Dimana: a dan b adalah konstanta a adalah slope/gradien b adalah intercept apabila a>0 : garis condong ke kanan a<0 : garis condong ke kiri a=0 : garis mendatar (sejajar sumbu x) a=~ : garis tegak (tegak lurus dengan sumbu x)

f(x)=ax+b

Bentuk Kurva Suatu Fungsi

• Persamaan linier juga

dapat ditulis ditulis dengan simbol y = ax + b (ini untuk mempermudah dalam memahami gambar)

• Jika b bernilai positif : fungsi linier digambarkan garis dari kiri bawah ke kanan atas

• Jika b bernilai negatif : fungsi linier digambarkan garis dari kiri atas ke kanan bawah

• Jika b bernilai nol : digambarkan garis yg sejajar dengan sumbu datar x

• Apabila b bernilai negatif, contoh: Y = 10 - 2X maka kurva bergerak dari kiri atas ke kanan bawah seperti gambar berikut:

Apabila b bernilai positif, misalnya : Y = 3 + 2X maka kurva bergerak dari kiri bawah ke kanan atas seperti gambar berikut:

Sb. x

a<0 a>0

a=0 }b (+)

b (-){

a= Sb. y

Gradien (slope/kemiringan/kecondongan) adalah garis yang mengukur perubahan (Δ) nilai variabel pada sumbu tegak dibagi dengan

perubahan (Δ) nilai variabel pada sumbu datar. Arahnya disebut dengan

koefisien arah

⚫ Dari gambar Terlihat bahwa slope garis:

⚫ Bila slope garis dilambangkan dengan a, maka:

x

y

X2 X1

Y2

Y1 x

0

y

titik dimana grafik memotong sumbu tegak, jika persamaan

berbentuk y=f(x) atau titik dimana grafik memotong sumbu

datar, jika persamaan berbentuk x=f(y)

Intercept

Misal Persamaan

4y=2x+8

y= 2/4x + 8/4

y=x+2

4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Jadi slope = 1/2

Intercept = 2

Y=1/2x +2

X 0 1 2 3 4

y 2 2 3 3 4

1. Metode Koordinat Lereng (Slope-Coordinate)

Dari sebuah titik, misal koordinat titik A (x1,y1) dan

sebuah lereng, misal koefisien arah a dapat dibentuk

sebuah persamaan linier yang memenuhi titik dan

lereng tersebut, maka persamaan garisnya dapat dicari

dengan menggunakan rumus:

y-y1 = a (x-x1)

2. Metode Dwi-Kooordinat (Bi-Coordinate)

Dari dua buah titik, misal titik A (x1,y1) dan titik B

(x2,y2) dapat dibentuk sebuah persamaan linier yang

memenuhi kedua titik tersebut, maka persamaan

garisnya dapat dicari dengan menggunakan rumus:

y – y1 = x – x1

Y2-y1 = x2 – x1

CARA MEMBENTUK FUNGSI LINEAR

3.Melalui D ua Titik Potong

Titik potong dengan sumbu x, maka y=0, jika x=a maka

koordinat titik (a,0), titik tersebut merupakan titik (x1,y1).

Titik potong dengan sumbu y, maka x=0, jika y=b maka

koordinat titik (0,b), titik tersebut merupakan titik (x2,y2).

Apabila ada 2 titik koordinat, maka dapat diselesaikan

dengan menggunakan metode dwi-koordinat.

atau

CARA MEMBENTUK FUNGSI LINEAR

1. Sembarang Nilai untuk Variabel Bebas

yang Di dalam persamaan y= f(x), setiap harga

diberikan untuk x menentukan harga dari pada y.

Misal persamaan: y = 4x+3

x 0 1 2 3 4 5

y 3 7 11 15 19 23

y

30

y=4x+3

20

10

x

-1 0 1 2 3 4 5

PENGGAMBARAN GRAFIK/KURVA

2.Metode Dwi-Kooordinat (Bi-Coordinate)

Umumnya untuk menggambarkan grafik fungsi linier

cukup kalau ditentukan dua titik. Kedua titik yang

sering diambil ialah dimana x=0 dan dimana y=0

Titik potong dengan sumbu y, maka y=0

y=4x+3

0=4x+3

4x=3

X= - 3/4 (-3/4,0)

Titik potong dengan sumbu y, maka x=0

y=4x+3

y=4.0+3

y=3 (0,3)

PENGGAMBARAN GRAFIK/KURVA

x

y

1

3

2

1

Y=4x+3

HUBUNGAN DUA GARIS Dalam sistem sepasang sumbu silang, dua buah garis lurus

mempunyai empat macam kemungkinan bentuk hubungan

yaitu berimpit/identik, berpotongan, sejajar/paralel dan

tegak lurus.

Hubungan dua garis tersebut dapat diterangkan dengan

menggunakan 2 persamaan, yaitu:

Persamaan I y = ax+b

Persamaan II y = mx+n

x 1

3 2 1

3. Intercept

Titik potong dengan sumbu tegak atau dengan sumbu datar

tergantung pada bentuk persamaannya. Jika persamaannya

y=f(x), titik potong pada sumbu tegak dan jika

persamaannya x=f(y), titik potongnya ada di sumbu datar.

Misal persamaan:

Y = 4x+3, berarti interceptnya 3 digambarkan di sumbu y.

X = , berarti interceptnya = ada pada sumbu x

y Y=4x+3

a=m dan b=n.

1. Berimpit

Dua buah garis lurus akan berimpit/identik apabila koefisien

arah dari intercept dan dua persamaan adalah sama, yaitu

x

Berimpit

a=m

b=n

y

2. Berpotongan

x Berpotongan

a≠m

Dua buah garis lurus akan berpotongan apabila mempunyai

koefisien arah yang berlainan, yaitu a≠m y

x

Tegak lurus

axm= -1

4. Tegak Lurus

Dua buah garis lurus akan saling tegak lurus apabila hasil

kali dari koefisien arahnya sama dengan -1, yaitu a x m = -1 y

PENCARIAN AKAR-AKAR

Digunakan untuk menghitung besarnya nilai variabel-variabel

tertentu di dalam persamaan suatu fungsi atau menghitung harga

dari bilangan tak diketahui dalam persamaan. Pencarian besarnya

harga dari bilangan dalam persamaan dapat diselesaikan dengan cara

substitusi dan eliminasi

Cara Substitusi

Dua persamaan dapat diselesaikan dengan cara menyelesaikan

terlebih dahulu sebuah persamaan, kemudian mensubstitusikannya ke

dalam persamaan yang lain

Cara Eliminasi

Dua persamaan dapat diselesaikan dengan cara menghilangkan

(mengeliminasi) salah satu bilangan, sehingga dapat dicari nilai atau

harga dari bilangan yang lain

Penggunaan Fungsi Linear

• Penerapan fungsi dalam

ekonomi dan bisnis merupakan salah satu bagian yang sangat penting untuk dipelajari, karena model-model ekonomi yang berbentuk matematika biasanya dinyatakan dengan fungsi.

• Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal di antara dua himpunan data. Jika himpunan data tersebut adalah variabel, maka fungsi dapat dikatakan sebagai hubungan antara dua variabel.

Variabel adalah unsur yang sifatnya berubah-ubah dari satu keadaan ke keadaan lainnya.. Variabel bebas : variabel yang menjelaskan variabel lainnya. Variabel terikat adalah variabel yang diterangkan oleh variabel bebas. Koefisien adalah bilangan atau angka yang diletakkan tepat di depan suatu variabel, terkait dengan variabel yang bersangkutan. Konstanta sifatnya tetap dan tidak terkait dengan suatu variabel apapun.

Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel, koefisien, dan konstanta.

• Contoh: Y = 0,8X + 5 • Keterangan: • X = Variabel bebas (Independent variabel) adalah

variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel lain.

• Y = Variabel terikat (Dependent variabel) adalah variabel yang nilainya tergantung pada variabel lain.

• 0,8 = adalah koefisien variabel X • 5 = adalah konstanta

Penerapan Fungsi Linier Pada Fungsi Permintaan (Demand Function)

• Fungsi Permintaan menunjukkan hubungan antara harga dengan jumlah barang yang diminta oleh konsumen dengan anggapan bahwa faktor-faktor lain tetap (ceteris paribus), yaitu selera tetap, pendapatan tetap dan harga barang-barang lain tetap, maka ini menandakan bahwa apabila harga turun jumlah barang yang diminta oleh konsumen naik, demikian pula sebaliknya.

Hal –hal yang perlu diperhatikan: 1. P = harga per unit; Q = Quantitas barang 2. Kurva permintaan bergerak dari kiri atas ke kanan bawah 3. P dan Q positif 4. Pada suatu tingkatan harga (P) hanya terkandung nilai kuantitas (Q)

dan sebaliknya 5. Skala P dan Q tidak perlu sama, karena harga tidak sama dengan

kuantitas.

1. Pada saat harga turun P1 ke P2, maka permintaan naik dari Q1 ke Q2

2. Pada saat harga naik P1 ke P3, maka per mintaan turun dari Q1 ke Q3

2. Penerapan Fungsi Linier Pada Fungsi Penawaran (Supply Function)

Fungsi Penawaran menunjukkan hubungan antara harga dengan jumlah barang yang ditawarkan kepada konsumen, dengan anggapan faktor-faktor lain tetap (ceteris paribus). Maka apabila tingkat harga meningkat, jumlah barang yang ditawarkan bertambah, demikian pula sebaliknya

1. Pa → Pc : Jumlah barang yang ditawarkan naik Qa → Qc 2. Pa → Pb : Jumlah barang yang ditawarkan turun Qa → Qb

3. Penerapan Fungsi Linier Pada Market Equilibrium (Keseimbangan Pasar)

• Pasar suatu jenis barang dikatakan berada dalam keseimbangan apabila jumlah barang yang diminta dipasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan. Secara matematik dan grafik hal ini ditunjukkan oleh persamaan :

• FS = FD • ( Fungsi Penawaran = Fungsi Permintaan)

• Yaitu pada perpotongan kurva permintaan dengan kurva penawaran.

• Pada posisi keseimbangan pasar ini tercipta harga keseimbangan (equilibrium price) dan Jumlah keseimbangan (equilibrium quantity).

Contoh Soal Fungsi Permintaan Bu Evi seorang penjual daging ayam di pasar tradisional. Pada saat tingkat harga Rp. 9000,00 per kg, jumlah daging ayam yang diminta 200 kg. Ketika harga daging ayam naik menjadi Rp. 11.000,00 per kg, jumlah daging ayam yang diminta menurun menjadi 150 kg. Pertanyaan : Berdasarkan uraian tersebut, bagaimana fungsi permintaan daging ayam di pasar?Gambarkan bentuk kurva permintaan ! Jawaban : Di ketahui : P1 : Rp. 9000,- Q1 : 200 kg P2 : Rp. 11.000,- Q2 : 150 kg Di tanya : Fungsi Permintaan ? Bentuk kurva permintaan ? Jawab :

Cara 1 : P – P1 = Q – Q1 P2 – P1 Q2 – Q1 P – 9.000 = Q – 200 11.000 -9000 150 – 200 P – 9000 = Q – 200 2000 – 50 – 50 P + 450.000 = 2000 Q – 400.000 2000 Q = – 50 P + 450.000 + 400.000 2000 Q = – 50 P + 850.000 Q = -1/4 P + 425

• Cara 2 : P – P1 = Q – Q1 P2 – P1 Q2 – Q1 P – 9.000 = Q – 200 11.000 -9000 150 – 200 P – 9000 = Q – 200 2000 – 50 – 50 P + 450.000 = 2000 Q – 400.000 – 50 P = 2000 Q – 400.000 – 450.000 -50 P = 2000 Q – 850.000 P = -40 Q + 17.000 Maka dapat dimisalkan jika P = 0 Q = 0 Q = -1/4 P + 425 P = -40 Q + 17.000 = -1/4 (0) + 425 = – 40 (0) + 17.000 = 425 = 17.000