FUNGSI NON LINEAR

Kuliah ke-2Senin, 14 Mei 2012

1

Pendahuluan

• Kurva non linear → suatu persamaan yang grafiknya tidak berupa garis lurus.

• Sebagian dari model ekonomi linear merupakan penyederhanaan dari hubungan yang non linear → linearisasi dari model non linear.

• Terdapat 4 macam bentuk fungsi non linear yang paling sering dijumpai yaitu fungsi kuadrat parabolik, fungsi kubik, fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik.

2

I. Fungsi Kuadrat

• Fungsi kuadrat (fungsi berderajat 2) → fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua.

• Gambar dari fungsi kuadrat dapat berupa lingkaran, elips, hiperbola maupun parabola → tergantung dari posisi pemotongan suatu bidang kerucut.

3

Lanjutan Fungsi Kuadrat.....

• Lingkaran → jika bidang kerucut dipotong dengan posisi mendatar.

• Elips → jika bidang kerubut dipotong dengan posisi menyerong.

• Hiperbola → jika bidang kerucut dipotong dengan posisi tegak lurus, tetapi bukan pada pertengahan kerucut.

• Parabola → jika bidang kerucut dipotong menyerong pada separuh bidang kerucut.

4

Lanjutan Fungsi Kuadrat.....

5

Identifikasi Persamaan Kuadrat

• Persamaan kuadrat yang umum adalah:Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

• Paling tidak salah satu A atau C ≠ 0 dapat diidentifikasi gambar dari persamaan:

Jika B = 0 dan A = C → kurvanya sebuah lingkaranJika B2 – 4AC < 0 → kurvanya sebuah elipsJika B2 – 4AC = 0 → kurvanya sebuah parabolaJika B2 – 4AC > 0 → kurvanya sebuah hiperbola

6

Lanjutan Identifikasi Persamaan Kuadrat.....

• Apabila B = 0, dengan A atau B ≠ 0 → prosedur di atas dapat disederhanakan menjadi:

Jika A = C → kurva merupakan lingkaranJika A ≠ B, tetapi bertanda sama → kurva

merupakan elipsJika A = 0 atau C = 0, tetapi tidak keduanya →

kurva merupakan parabolaJika A dan C berlawanan tanda → kurva

merupakan hiperbola

7

Kurva Lingkaran

• Lingkaran → tempat kedudukan titik-titik yang berjarak tetap terhadap sebuah titik tertentu yang disebut pusat.

• Jarak titik tersebut terhadap pusat → jari-jari lingkaran.• Bentuk umum persamaan:

Ax2 + Cy2 + Dx +Ey + F = 0 ( A = C dan B = 0)• Dengan memanipulasi bentuk umum persamaan,

diperoleh bentuk baku rumus lingkaran: (x-h)2 + (y-k)2 = r2

• Dimana: (h, k) → titik pusat lingkaran → jarak pusat lingkaran terhadap sumbu vertikal –y dan sumbu horizontal –x ; r = radius atau jari-jari.

8

Lanjutan Kurva Lingkaran.....

• Dari nilai r-nya dapat diketahui bentuk kurva lingkaran:

Jika r2 < 0 → tempat kedudukannya tidak nyata → persamaan tidak dapat disajikan secara grafik.

Jika r2 = 0 → tempat kedudukannya akan berupa sebuah titik → lingkaran dengan jari-jari = 0.

Jika r2 > 0 → tempat kedudukannya berupa lingkaran.

9

Kurva Elips• Elips → tempat kedudukan titik-titik yang jumlah

jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan.• Elips mempunyai 2 sumbu simetri yang saling

tegak lurus → yang panjang disebut mayor dan yang pendek disebut minor.

• Titik dimana kedua sumbu berpotongan disebut pusat elips.

• Bentuk umum persamaan:Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 ; A setanda tapi tidak sama besar dengan C.

10

Lanjutan Kurva Elips.....

• Dengan memanipulasi bentuk umum persamaan, diperoleh bentuk baku rumus elips:

• Dimana: r1 → jari-jari panjang ; r2 → jari-jari pendek ; (h, k) → pusat elips:

sumbu mayor sejajar dengan sumbu x jika r1 > r2

Sumbu mayor sejajar dengan sumbu y jika r1 < r2 11

12

2

2

21

2

r

ky

r

hx

Lanjutan Kurva Elips.....

• Gambar a → kondisi r1 > r2

• Gambar b → kondisi r1 < r2

12

Kurva Hiperbola

• Hiperbola → tepat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya terhadap 2 fokus selalu konstan.

• Hiperbola mempunyai 2 sumbu simetri yang saling tegak lurus dan sepasang asimtot.

• Perpotongan antara sumbu-sumbu simetri (antara asimtot-asimtot) disebut pusat hiperbola.

• Sumbu simetri yang memotong hiperbola → sumbu lintang.

• Sumbu lintang dapat berupa garis yang sejajar dengan sumbu -x atau sejajar dengan sumbu –y → tergantung bentuk hiperbolanya.

13

Lanjutan Kurva Hiperbola.....

• Bentuk umum persamaan hiperbola:Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 A berlawanan tanda dengan B

• Dengan memanipulasi bentuk umum persamaan, diperoleh bentuk baku rumus hiperbola:

• Dimana: (i, j) adalah koordinat titik pusat hiperbola.• Sumbu lintang sejajar sumbu –x → lihat gambar a (di slide

18)

14

1

2

2

2

2

n

jy

m

ix

Lanjutan Kurva Hiperbola.....

• Atau:

• Dimana: (i, j) adalah koordinat titik pusat hiperbola.

• Sumbu lintang sejajar dengan sumbu -y →lihat gambar b (di slide 18)

15

1

2

2

2

2

m

ix

n

jy

Lanjutan Kurva Hiperbola.....

• Gambarnya:

16

Kurva Parabola• Parabola → tempat kedudukan titik-titik yang

berjarak sama terhadap sebuah titik fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direktriks.

• Setiap parabola mempunyai sebuah sumbu simetri dan sebuah titik ekstrem.

• Sumbu simetri parabola dapat garis yang sejajar dengan sumbu vertikal –y atau berupa garis yang sejajar dengan sumbu horizontal –x.

• Titik ekstem parabola → titik potong antara sumbu simetri dan parabola itu sendiri.

17

Letak Titik Ekstrem Kurva Parabola

• Terdapat 4 kemungkinan letak titik ekstrem, yaitu:

18

Persamaan Parabola• Bentuk umum persamaan:

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0Salah satu, A atau B, sama dengan nol.

• Jika sumbu simetri sejajar dengan sumbu vertikal maka:y = Ax2 + Bx + C ; A ≠ 0

• Parabola terbuka ke bawah jika A < 0 ; parabola terbuka ke atas jika A > 0.

• Jika sumbu simetri sejajar dengan sumbu horizontal maka:x = Ay2 + By + C ; A ≠ 0

• Parabola terbuka ke kanan jika A > 0 ; parabola terbuka ke kiri jika A < 0.

19

Titik Ekstrem Parabola• Titik ekstrem parabola (i, j):

• Dimana: -b/2a → jarak titik ekstrem dari sumbu vertikal –y b2-4ac/-4a → jarak titik ekstrem dari sumbu horizontal

–x.

20

a

acb

a

b

4

4,

2

2

II. Fungsi Kubik• Fungsi kubik (fungsi berderajat tiga) → fungsi yang

pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat tiga.• Bentuk umum:

y = A + Bx + Cx2 + Dx3 ; D ≠ 0• Setiap fungsi kubik setidak-tidaknya mempunyai

sebuah titik belok → titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atau dari cembung menjadi cekung.

• Setiap fungsi kubik mempunyai 1 titik ekstrem (maksimum atau minimum) atau 2 titik titik ekstrem (maksimum atau minimum).

• Keberadaan titik ekstrem tergantung pada nilai B, C dan D dalam persamaan → menentukan bentuk kurva.

21

Kurva Fungsi Kubik (Tanpa Titik Ekstrem)

22

Kurva Fungsi Kubik dengan Titik Ekstrem

23

III. Aplikasi dalam Ekonomi• Penerapan persamaan non linear dalam ekonomi: Permintaan, penawaran dan keseimbangan

pasarFungsi biayaFungsi penerimaanKeuntungan, kerugian dan Pulang-pokokFungsi utilitasFungsi produksiTransformasi produk

24