Presentation TitleBayu Seto Respati (1410501016)Dosen Pembimbing : R. Suryoto Edy Raharjo, S.T., M.Eng.Teknik Elektro, Fakultas Teknik ,Universitas Tidar

OUTLINE

• Kestabilan dalam arti Lyapunov• Pengertian metode Lyapunov• Kriteria kestabilan Lyapunov• Metode – metode Lyapunov

Kestabilan dalam arti Lyapunov

Pengertian Metode Lyapunov

Metode Lyapunov adalah salah satu metode yang dapat digunakan untuk :

Menyelidiki kinerja (terutama kestabilan) sistem linier maupun nonlinier , yang :• tak berubah dengan waktu maupun berubah dengan waktu• dengan order rendah maupun order tinggi.

Dan hanya berlaku bagi sistem nonlinier , dengan sifat nonlinieritas tidak diskontinyu atau mendadak perubahannya.

Pengertian Metode Lyapunov

Pemikiran Lyapunov didalam menyelidiki kelakuan sistem dinamis bertitik tolak pada hukum kekekalan energi, dimana :

• jumlah energi kinetis dan energi potensial suatu sistem yang bergerak (sistem dimamis) adalah konstan• diambil anggapan bahwa selama suatu benda bergerak maka berlaku hukum kekekalan energi

jadi kalau energi potensial semakin tinggi, maka energi kinetik semakin rendah, yang juga berarti kecepatan gerakan benda semakin pelan, demikian juga sebaliknya.

Kriteria Kestabilan Lyapunov

Pada kriteria kestabian lyapunov ini ada persamaan keadaan untuk sistem nonlinier secara umum dapat ditulis sebagai berikut :

ttutxfx ),(),(Dimana untuk sistem mekanik :

Jika diusahakan penyelesaian terhadap kestabilan lyapunov secara numerik , maka :• akan timbul pertanyaan mengenai sifat kestabilannya , yaitu :

apakah sepenuhnya dapat dijawab keadaan bilamana dikehendaki penyele-saian yang mempertimbangkan tak terhingga himpunan kondisi awal dan dengan menggunakan dengan keadaan tak terhingga himpunan kondisi awal tersebut terhadap :

permasalahan engineering dan memusatkan perhatian kepada pengetahuan tentang sistemnya .

Kriteria Kestabilan Lyapunov

Metode Lyapunov

Metode lyapunov ada 2 macam, yaitu :

1. Metode Liapunov-1 : adalah metode yang digunakan untuk menentukan kestabilan sistem , dengan cara melalukan penyelesaian persamaan diferensial nonlinier sistem.

2. Metode Liapunov-2 : adalah metode yang digunakan untuk menentukan kestabilan sistem tanpa menyelesaikan persamaan diferensial nonli-nier sistem.

Metode Lyapunov-1

Metode lyapunov-1 adalah :• metode dimana persamaan diferensial sistem dinamis dapat diselesaikan• kestabilan ataupun ketidak stabilan sistem ditentukan dari hasil penyelesaian persamaan diferensial

Pada metode pertama ini Liapunov tidak menunjukkan bahwa penyelesaian dapat diperoleh dalam bentuk deret.Liapunov juga membuktikan bahwa penyelesaian-penyelesaian secara pendekatan terhadap persamaan diferensial nonlinier sering menghasilkan informasi kestabilan yang penting.

Metode Lyapunov-2

Untuk memberi gambaran tentang metode Liapunov pertama ini, dianggap bahwa :• nonlinieritas adalah bernilai tunggal (tidak ada hysteresis)• mempunyai turunan-turunan setiap order disekitar titik A

Fungsi nonlinier, y = f(x) dapat diuraikan menurut deret Taylor disekitar titik A yang uraiannya sebagai berikut :

Suku pertama dan kedua deret diatas menggambarkan pendekatan linier disekitar titik kerja sistem nonlinieritas.Metode Liapunov pertama hanya dapat menentukan kestabilan disekitar titik keseimbangan saja.

An

nn

AA dtydAx

ndtydAx

dxdyAxAyxfy

!1

!21)( 2

22

Metode Lyapunov-1

Metode lyapunov-2 adalah metode dalam menentukan kestabilan tanpa menyelesaikan persamaan diferensial dari persamaan gerak sistem.

Pada metode ini lebih dahulu dibentuk persamaan keadaan untuk sistem dinamisSelanjutnya ditentukan jumlah dari energi potensial dan energi kinetik, yang mana sesuai dengan hukum ilmu fisika , yaitu jumlah tersebut adalah konstanJumlah kedua jenis energi tersebut disebut dengan fungsi Liapunov, yang nilai selalu positip (defenit positip) dan merupakan fungsi yang skalar

Metode Lyapunov-1Gambaran tentang metode Liapunov kedua ini, perhatikanlah persamaan dife-rensial linier yang menggambarkan sistem massa-pegas-redaman lebih dahulu, sebagai gambar dibawah ini :

Sebagai dasar ntuk membahas teori kestabilan, perlu diperhatikan kestabilan yang terjadi pada sistem massa-pegas-redaman.Persamaan diferensial gejala peralihan (transient) untuk sistem massa-pegas-redaman adalah :

Daftar Pustaka

• xa.yimg.com/kq/groups/25893398/1024362674/name/metode+liapunov.doc• share.its.ac.id/mod/resource/view.php?id=19911• http://www.mnurq.ga/2014/11/persamaan-dan-fungsi-lyapunov.html• Estimasi kestabilan dengan fungsi lyapunov – Universitas Indonesia• http://www.slideshare.net/Koconagari95/konsep-kestabilan-sistem-non-linier-amp-metode-lyapunov-56241673