Kestabilan Lyapunov

Disusun oleh :Annisaa Amalia (1410501028)

Dosen pembimbing:R. Suryoto Edy Raharjo, S.T.,M.eng

Jurusan Teknik ElektroFakultas Teknik

Universitas TidarSistem non linear

Outline

• Keadaan setimbang• Kestabilan dalam arti lyapunov• Metode lyapunov

Keadaan Setimbang

• Jika sistem dinyatakan berada pada kondisi kesteimbangan berada pada keadaan dengan untuk semua t

• Sistem dalam keadaan kestimbangan, jika sistem ini linier dan tidak berubah terhadap waktu.

• Jika f(x,t) = Ax, maka terdapat hanya satu keadaan setimbang pada saat A adalah nonsingular. Jika A singular maka akan didapat kondisi kesetimbangan yang tak berhingga.

•  Keadaan kesetimbangan xe dari sistem disebut stabil sesuai Lyapunov. Jika untuk setiap S(ε), ada S(δ), sehingga trayektori dengan titik awal didalam S(δ) tidak meninggalkan S(ε) dengan membesarnya waktu t menuju tak terhingga.

• Bilangan real δ tergantung pada ε dan pada umumnya juga bergantung pada t0, maka keadaan kesetimbangan tersebut disebut stabil uniform.

Kesetimbangan Dalam Arti Lyapunov• Keadaan kesetimbangan xe dari sistem disebut stabil sesuai

Lyapunov. Jika untuk setiap S(ε), ada S(δ), sehingga trayektori dengan titik awal didalam S(δ) tidak meninggalkan S(ε) dengan membesarnya waktu t menuju tak terhingga.

• Bilangan real δ tergantung pada ε dan pada umumnya juga bergantung pada t0, maka keadaan kesetimbangan tersebut disebut stabil uniform.

Kestabilan Lyapunov• Jika sebuah bola dengan jari – jari k terhadap kondisi

kesteimbanga xe,

• Misalkan S(ε) terdiri atas semua titik, sedemikian hingga :

• Dan bila juga S(ε) teridi dari titik sedemikian hingga :

Metode Lyapunov

•  Metode pertama Lyapunov Semua metode dimana persamaan differensial dari sistem diselesaikan dan kestabilan ditentukan dari solusinya.

• Metode kedua Lyapunov Kestabilan sistem ditentukan tanpa penyelesaian persamaan differensial, tetapi berdasarkan energi yang tersimpan baik energi kinetik maupunpotensial

Metode Lyapunov• Pengertian dasar analisis 1. Sistem stabil : bila energi yang disimpan makin lama

makin kecil sehingga osilasi diredam.2. Sistem tidak stabil: bila energi yang disimpan makin

lama makin besar sehingga osilasi juga membesar. 3. Fungsi Lyapunov: • V( x,t) ≥0 untuk t ≥0 atau V(x) ≥0 • V( 0) = 0 • V( 0, t ) = 0 untuk t ≥0 • V(x, t ) →skalar • V(x,t )- perkalianvariabel • Kuadrat salah satu variabel • dV (x,1)/dt = V (x,1)

Metode Lyapunov4. Persamaan sistem : x= f(x, u, t) x= f (x, u, t) vektor berdimensi n dengan elemen-elemennya fungsi dari x1,x2, ...xn, u1, u2, ...un, t. Dimana x =turunan x terhadap t. Untuk sistem linar invarian waktu: x1 = a11.x1+ a12.x2+ ...+a1n.xn+ b11.u1+ ...+ bnm.Um xn = an1.x1+ an2.x2+...+ann.xn+ b11.u1+ ...+ bnm.um dimana a11, a12, ...amn konstanta b11, b12,...bmn Untuk menganalisa kestabilan : U= 0 →x=f (x,t)=f(x)

Metode Lyapunov• Sistem dengan dinamika

ẋ=f(x) dapat dikatakan stabil secara asimptotik jika terdapat satu fungsi V(x) , yang disebut kandidat fungsi Lyapunov, yang memenuhi sifat- sifat berikut ini.

V(x) > 0, V(x) < 0, dan hanya bernilai nol untuk

x=0

Kestabilan Asimtotik

• Keadaan kesetimbanganxe dari sistem yang dinyatakan oleh f(xe,t)=0 untuk sembarang t disebut stabil asimptotik jika keadaan tersebut stabil Lyapunov dan setiap kondisi dengan titik awal didalam S(δ) tanpa meninggalkan S(ε), konvergen ke xe dengan membesarnya t menuju tak berhingga.

• Stabil secara Asimptotik dapat bersifat lokal ataupun global. Lokal, bila hanya berlaku untuk nilai-nilai state awal (initial state) di sekitar titik kesetimbangan (the neighborhood of the equilibrium point). Global, bila untuk semua nilai-nilai state awal, semua state akan bergerak menuju 1 titik kesetimbangan yang sama.

Referensi • http://

share.its.ac.id/pluginfile.php/40669/mod_resource/content/3/8.9%20Analisa%20Kestabilan%20Lyapunov.pdf

• https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_stability• http://

eprints.undip.ac.id/25678/1/ML2F000605.pdf• http://www.slideshare.net/Zifalaniasta/konsep-k

estabilan-non-linier?qid=0639b5f1-3aec-4918-ada4-24a0fa4852c4&v=&b=&from_search=6

Sekian dan Terima kasih