kestabilan - tka - pid

Kestabilan

Analisa Respon Sistem

1

Definisi Kestabilan

Total respon output sistem :

Definisi kestabilan (berdasar natural response):

Sistem stabil jika natural response mendekati nol saat waktu

mendekati tak hingga

Sistem tidak stabil jika natural response mendekati tak hingga

saat waktu mendekati tak hingga

Sistem marginally stable jika natural response tetap/konstan

atau berosilasi teratur

Definisi kestabilan (berdasar total respon):

Sistem stabil jika setiap input yang dibatasi menghasilkan

output yang terbatas juga.

Sistem tidak stabil jika setiap input yang dibatasi

mengahasilkan output yang tidak terbatas

)()()( tctctc naturalforced

2

Apakah Sistem Ini Stabil?

Suatu sistem dengan pole di sebelah kiri bidang s ( )

menghasilkan :

Respon eksponensial yang meluruh (decay), atau

Respon sinusoidal yang teredam

Berarti natural response mendekati nol saat waktu mendekati

tak hingga sistem stabil

Sistem yang stabil hanya mempunyai poles sistem close

loop di sebelah kiri bidang s

Sistem yang tidak stabil mempunyai poles sistem close

loop di sebelah kanan bidang s dan atau mempunyai lebih

dari 1 poles di sumbu imajiner

Sistem yang marginally stable mempunyai 1 pole di

sumbu imajiner dan poles di sebelah kiri

ate

3


4


5

Kriteria Kestabilan Routh

Transfer function dari suatu sistem loop tertutup berbentuk :

Hal pertama memfaktorkan A(s) A(s) : persamaan karakteristik

Pemfaktoran polinomial dengan orde lebih dari 2 cukup sulit, sehingga digunakan

Kriteria Kestabilan Routh

Kriteria kestabilan Routh memberi informasi ada tidaknya akar positif pada persamaan karakterisitik bukan nilai akar tersebut

)(

)(

...

...

)(

)(

1

1

10

1

1

10

sA

sB

asasasa

bsbsbsb

sR

sC

nn

nn

mm

mm

6

Prosedur Kriteria Kestabilan Routh

1. Tulis persamaan karakteristik sistem

dalam bentuk polinomial s:

2. Semua koefisien persamaan

karakteristik harus positif. Jika tidak,

sistem tidak stabil.

3. Jika semua koefisien positif, susun

koefisien polinomial dalam baris dan

kolom dengan pola:

0... 11

10

nn

nn asasasa

7


1

0

1

1

21

2

4321

4

4321

3

4321

2

7531

1

6420

...

...

...

.

.

.

.

.

gs

fs

ees

dddds

ccccs

bbbbs

aaaas

aaaas

n

n

n

n

n

1

30211

a

aaaab

1

50412

a

aaaab

1

70613

a

aaaab

1

21311

b

baabc

1

31512

b

baabc

1

41713

b

baabc

1

21211

c

cbbcd

1

31312

c

cbbcd

8


Proses ini diteruskan sampai baris ke-n secara

lengkap. Susunan lengkap dari koefisien

berbentuk segitiga.

Syarat perlu dan syarat cukup agar sistem stabil

(memenuhi kriteria kestabilan Routh)

Koefisien persamaan karakteristik semua positif

(jika semua negatif maka masing masing ruas dikalikan minus 1 sehingga hasilnya positif)

Semua suku kolom pertama pada tabel Routh

mempunyai tanda positif.

Jika ada nilai nol lihat pada bagian kondisi khusus 9

Contoh

Contoh 4-3

Terapkan kriteria kestabilan Routh untuk :

Dengan semua koefisien positif. Susunan koefisien menjadi

Syarat agar semua akar mempunyai bagian real negatif diberikan :

0322

1

3

0 asasasa

3

01

30211

31

2

20

3

as

a

aaaas

aas

aas

a1a2 > a0 a3 10

Contoh

Contoh 4-4

Perhatikan polinomial berikut :

Ikuti prosedur untuk membuat susunan koefisien.

Pada kolom 1, terjadi dua kali perubahan tanda. Ini berarti ada dua akar positif dan sistem tidak stabil.

05432 234 ssss

5

6

51

042

531

0

1

2

3

4

s

s

s

s

s

5

3

51

021

042

531

0

1

2

3

4

s

s

s

s

s

Baris ke dua dibagi dengan 2

11

Keadaan khusus K.K.Routh 0 di kolom pertama

Bila salah satu suku kolom pertama dalam suatu baris adalah nol, maka suku nol ini diganti dengan bilangan positif yang sangat kecil.

Contoh :

s3 + 2s2 + s + 2 = 0

Susunan koefisiennya :

Bila tanda koefisiennya sama, berarti terdapat pasangan akar imajiner pada sistem. Pada persamaan di atas ada akar di

2

0

22

11

0

1

2

3

s

s

s

s

j12

Bila tanda koefisien () berlawanan, berarti ada akar positif persamaan karakteristik.

Contoh :

s3 3 s + 2 = (s 1)2 (s + 2) = 0 Susunan koefisiennya adalah

s3 1 -3

berubah tanda s2 0 2

berubah tanda s1 -3 (2/ )

s0 2

Terdapat dua perubahan tanda koefisien di kolom pertama, berarti ada dua akar positif di pers. karakteristik. Sesuai dengan persamaan awalnya sistem tidak stabil

Keadaan khusus K.K.Routh 0 di kolom pertama

13

Keadaan khusus K.K.Routh 0 di seluruh suku baris

Jika semua koefisien pada suatu baris adalah nol maka koefisien itu menunjukkan

akar akar besaran yang sama tapi letaknya berlawanan

Penyelesaian : menggantinya dengan turunan suku banyak pembantu P(s) P(s) berasal dari suku pada baris sebelumnya

Contoh :

s5 + 2s4 + 24s3 + 48s2 25s 50 = 0

Susunan koefisiennya adalah

s5 1 24 -25

s4 2 48 -50 Suku banyak pembantu P(s)

s3 0 0

14

Keadaan khusus 0 di seluruh suku baris

Susunan koefisiennya adalah

s5 1 24 -25

s4 2 48 -50 Suku banyak pembantu P(s) s3 0 0

P(s) = 2s4 + 48s2 500 dP(s)/ds = 8s3 + 96s

Sehingga susunan koefisiennya:

s5 1 24 -25

s4 2 48 -50

s3 8 96 Koefisien dari dP(s)/ds s2 24 -50

s1 112,7 0

s0 -50

Ada satu perubahan tanda, berarti ada satu akar positif. Sistem tidak stabil.

15

Aplikasi K.K.Routh

untuk analisa sistem Kontrol Tinjau sistem berikut

Fungsi alih loop tertutup Persamaan karakteristik

Susunan koefisien

Untuk kestabilan, K harus positif dan semua koefisien pada kolom pertama harus positif. Oleh karena itu,

14/9 > K > 0

Kssss

K

sR

sC

)2)(1()(

)(2

R(s) ____K______

s(s2+s+1)(s+2)

C(s) +

-

0233 234 Kssss

Ks

Ks

Ks

s

Ks

0

791

372

3

4

2

023

31

16

19

em es

ia Ra

t,q

J

B

ea

Rs La

20

)t(iK)t(

)t(dt

)t(dB

dt

)t(dJ

)t(edt

)t(diL)t(i)RR()t(e

dt

)t(dK

dt

)t(dK)t(e

am

2

2

ma

aaass

mm

t

tq

q

q

q

21

)s(IK)s(

sBsJ

)s()s(

sLRR

)s(E)s(E)s(I

)s(sK)s(E

am

2

aas

msa

mm

t

22

Es

Em

G1(s) Ia

Km t G2(s)

Km s

sBsJ

1)s(G

RRLs

1)s(G

22

asa1

23

Es T(s)

)s(G)s(GKs1

)s(G)s(GK

)s(E

)s()s(T

212m

21m

s

assa

msasaaa

m

RRR

KBRsJRBLsJLs

K

)()( 223

Jika nilai La sangat kecil

24

assa

msasa

m

RRR

KBRsRJs

KsT

)()(

22

TEMPAT KEDUDUKAN AKAR

Root Locus

Pendahuluan

Tempat Kedudukan Akar (TKA) Metode menetukan kestabilan sistem.

TKA adalah penggambaran posisi-posisi akar-akar sistem pada bidang-s dengan parameter dari 0 hingga tak hingga.

Parameter tersebut pada umumnya adalah nilai gain K pada sistem umpan tertutup

TKA memberikan penjelasan secara grafis kestabilan sistem serta kondisi-kondisi lainnya.

Bilangan Kompleks

Suatu bilangan komlpeks A=+ j dapat digambarkan dalam bidang-s sebagai berikut

Dengan

M = (2+2)

q = tan-1 (/)

j

M

j

q

s

ROOT LOCUS

ROOT = akar-akar

LOCUS = tempat kedudukan

ROOT LOCUS

Tempat kedudukan akar-akar persamaan karakteristik dari sebuah sistem pengendalian proses

Digunakan untuk menentukan stabilitas sistem tersebut: selalu stabil atau ada batas kestabilannya?

Dua Cara Penggambaran ROOT LOCUS

Cara 1: Mencari akar-akar persamaan karakteristik pada tiap inkremen harga Kc (controller gain)

Cara 2: Didasarkan pada pengalaman

Mencari harga pole dan zero

Menentukan harga breakaway point, center of gravity, asimtot

Mencari harga u (titik potong dengan sumbu imajiner, menggunakan substitusi langsung)

Contoh 1

Perhatikan diagram blok di bawah ini

Persamaan Karakteristiknya:

atau 1 + OLTF = 0

30

Kc

0.5

R(s) C(s)

)1)(13(

2

ss

0)1)(13(

1

ss

Kc

Rumus Penentuan Akar

3s2 + 4s + (1 + Kc) = 0

31

c

cK

Krr 31

3

1

3

2

6

)1(12164, 21

Gambar Root Locus

REAL

IMAJINER

X X

-1 -1/3 -2/3

Kc AKAR

0 -1; -1/3

1 -2/3 (2)/3

5 -2/3 (14)/3

10 -2/3 (29)/3

20 -2/3 (59)/3

50 -2/3 (149)/3

-

Sistem SELALU STABIL karena akar-akarnya selalu berada di sebelah KIRI

Contoh 2

Persamaan karakteristik:

0

15,0)1)(13(1

sss

Kc

33

Kc R(s) C(s)

)1)(13(

2

ss

15,0

5,0

s

Persamaan Karakteristik

015.455.1

015.0)1)(13(

015.0)1)(13(

15.0)1)(13(

015.0)1)(13(15.0)1)(13(

15.0)1)(13(

015.0)1)(13(

1

23

c

c

c

c

c

Ksss

Ksss

sss

Ksss

sss

K

sss

sss

sss

K

Gambar Root Locus

REAL

IMAJINER

X X

-1 -1/3

Kc AKAR

0 -1; -1/3; -2

1 -2.271; -0.530.55i

5 -2.77; -0.2811.168i

14 -3.3; 1.732i

20 -3.586; 0.1261.97i

30 -3.92; 0.292.279i

-

X

-2

Sistem ADA BATAS KESTABILAN karena akar-akarnya ada yang berada di sebelah KANAN

Cara 2

Persamaan karakteristik:

pole: -1/3, -1, -2; n (jumlah pole) = 3

zero: tidak ada; m (jumlah zero) = 0

0

15,0)1)(13(1

sss

Kc

Tentukan Letak Pole/Zero

REAL

IMAJINER

X X

-1 -1/3

X

-2

n m = 3 0 =

ganjil tempat

kedudukan akar


REAL

IMAJINER

X X

-1 -1/3

X

-2

n m = 2 0 = genap BUKAN

tempat kedudukan

akar


REAL

IMAJINER

X X

-1 -1/3

X

-2

n m = 1 0 = ganjil tempat kedudukan

akar


REAL

IMAJINER

X X

-1 -1/3

X

-2

Di Antara Tempat Kedudukan 2 Pole Ada BREAKAWAY POINT

0363

01223

0213/1

13/123/121

2

1

1

1

3/1

10

11

322

31

312

32

3122

11

ss

ssssss

sss

ssssss

sss

pszs

n

j j

m

i i

0.6268

1.5954

2

1

s

s DI LUAR TEMPAT KEDUDUKAN

YANG DIPAKAI

Letak Breakwaway Point

REAL

IMAJINER

X X

-1 -1/3

X

-2 -0.6

Penentuan Center of Gravity dan Sudut Asimtot

1.13

3

03

2131

31

1 1

mn

zp

CG

n

j

m

i

ij

o

o

o

mn

k

30003

2)360(180

18003

1)360(180

6003

0)360(180

)360(180

00

2

00

1

00

0

00

Center of Gravity dan Sudut Asimtot

REAL

IMAJINER

X X

-1 -1/3

X

-2 -0.6 -1.1

60o

180o

300o

Titik Potong dengan Sumbu Imajiner

015.455.1 23 cKsssSubstitusi dengan

uis

01)(5.455.1

01)(5.4)(5)(5.1

23

23

cuuu

cuuu

Kii

Kiii

3dan 0

05.45.1

05.45.1

2

2

3

uu

uu

uu

i

ii

14

01)3(5

0152

c

c

cu

K

K

K

7.1 u TITIK POTONGNYA

Titik Potong dengan Sumbu Imajiner

REAL

IMAJINER

X X

-1 -1/3

X

-2 -0.6 -1.1

1.7

-1.7

Hasil ROOT LOCUS

REAL

IMAJINER

X X

-1 -1/3

X

-2 -0.6 -1.1

TERIMA KASIH

49

Tugas

)3()(

)5)(2)(1(

1)(

ssH

sssssG

K G(s)

H(s)

C(s) R(s)

Kontroler PID

Pengendalian Sistem

Pendahuluan

Urutan cerita : 1. Pemodelan sistem

2. Analisa sistem

3. Pengendalian sistem

Contoh : motor DC 1. Pemodelan mendapatkan transfer function dan

blok sistem motor DC

2. Analisa memberikan inputan sinyal uji pada motor, menganalisa respon yang dihasilkan

3. Pengendalian mengendalikan motor agar memberikan hasil yang sesuai

Pendahuluan

Dari analisa respon sistem yang telah kita

lakukan, bagaimana respon sistem (c(t)) yang

kita inginkan?

Sesuai dengan input/r(t) (misal : unit step)

Jika tidak sesuai?

Salah satu caranya dengan menambahkan kontroler

Fungsi kontroler :

Mengendalikan sistem dengan memanipulasi sinyal

error, sehingga respon sistem (output) sama dengan

yang kita inginkan (input)

Kontroler dalam Diagram Blok

Error detector

(comparator)

Set Point

+ -

Feedback

Signal

Measurement

Devices

Error

Signal Controller

Controller

Output

Signal Actuator

Energy or

fuel

Manipulated

variable

Manufacturing

Process

Controlled

variable

Disturbances

Measured

variable

r(t) e(t) u(t)

c(t)

Definisi kontroler

Controller

Otak dari sistem.

Ia menerima error / e(t) sebagai input

Lalu menghasilkan sinyal kontrol / u(t)

U(t) menyebabkan controlled variable / c(t)

menjadi sama dengan set point / r(t)

Respon Sistem Analisa respon sistem :

Kestabilan

Respon transient (karakteristik sistem)

Error steady state

Respon yang diinginkan (set point), misal unit step. Spesifikasi :

Stabil

Karakteristik respon transient : Mp : 0 % (sekecil mungkin)

Tr, tp, ts : 0 (sekecil mungkin)

Error steady state : 0 (tidak ada error steady state

1

t

Unit step

Kontroler Proporsional (P) Persamaan matematis :

u(t) = KP . e(t)

dimana KP : konstanta proporsional

dalam Laplace

U(s)/E(s) = KP Diagram Blok

Dikenal juga sebagai : gain/penguatan

KP

U(s) E(s) +

-

Kontroler Proporsional (P) Pengaruh pada sistem :

Menambah atau mengurangi kestabilan

Dapat memperbaiki respon transien khususnya : rise time, settling time

Mengurangi (bukan menghilangkan) Error steady state Catatan : untuk menghilangkan Ess, dibutuhkan KP besar,

yang akan membuat sistem lebih tidak stabil

Kontroler Proporsional memberi pengaruh langsung (sebanding) pada error Semakin besar error, semakin besar sinyal kendali

yang dihasilkan kontroler

Grafik (di Ogata)

+

+

-

+

Aplikasi kontroler Proporsional 1 Dari K. Ogata halaman 311, plant stabil jika : 14/9 > K > 0

K = 1.2 , stabil K = 1.6 , tidak stabil

Aplikasi kontroler Proporsional 2

Tanpa Kontroler, respon lambat Dengan kontroler P, respon cepat

Contoh 2

Kontroler Integral (I) Persamaan matematis :

dimana Ki : konstanta integral

dalam Laplace

Diagram Blok

Ki / s

U(s) E(s) +

-

t

i dtteKtu0

)()(

s

K

sE

sU i)(

)(

Kontroler Integral (I)

Pengaruh pada sistem :

Menghilangkan Error Steady State

Respon lebih lambat (dibanding P)

Dapat menimbulkan ketidakstabilan (karena menambah orde sistem)

Perubahan sinyal kontrol sebanding dengan perubahan error

Semakin besar error, semakin cepat sinyal kontrol bertambah/berubah

Grafik (lihat Ogata)

+

-

-

Aplikasi kontroler Integral

Respon sistem tanpa kontroler


Dengan kontroler P, KP = 2

Dengan kontroler I, Ki = 1

Dengan kontroler PI

Kp = 2 , Ki = 1


sssG

22

1)(

12

1)(

s

sGP

)()(1

1

)(

)(

sHsGsR

sE

sss

sssE

ss

ss

sR

sE

1

12

2)(

12

2

)(

)(

2

2

2

2

01

12

2lim

)(lim

2

2

0

0

sss

sssE

ssEE

sss

sss

Perhitungan dari contoh tersebut :

ssGC

1)(

Jika transfer function plant = Jika transfer function kontroler I =

Maka transfer function open loop =

Transfer function error =

TF Error steady state =

Terbukti bahwa penggunaan kontroler I menghilangkan error steady state!

Kontroler Derivatif (D)

Pengaruh pada sistem : Memberikan efek redaman pada sistem yang

berosilasi sehingga bisa memperbesar pemberian nilai Kp

Memperbaiki respon transien, karena memberikan aksi saat ada perubahan error

D hanya berubah saat ada perubahan error, sehingga saat ada error statis D tidak beraksi Sehingga D tidak boleh digunakan sendiri

Besarnya sinyal kontrol sebanding dengan perubahan error (e) Semakin cepat error berubah, semakin besar aksi

kontrol yang ditimbulkan

Grafik (lihat Ogata)

+

+

-

Aplikasi kontroler Derivatif

Dengan kontroler P saja,

respon berosilasi Dengan kontroler PD, Kp=1, Kd = 3

Aplikasi kontroler Derivatif

01

1

1

)(

)(

1)(

2

2

2

s

ssR

sC

ssG

Perhitungan dari contoh tersebut :

01

1

1

)(

)(

1)(

2

2

2

ss

ss

s

sR

sC

s

ssG

Dengan kontroler P

Kp = 1

Dengan kontroler PD

Kp = 1, Kd=1

TF open loop

TF close loop

Persamaan

karakteristik

Akar persamaannya imajiner,

responnya berosilasi terus menerus

Akar persamaannya real negatif,

respon saat tak hingga = 0

Kontroler PID

Kombinasi beberapa jenis

kontroler diperbolehkan

PI, PD, PID

Keuntungan kontroler PID:

Menggabungkan kelebihan

kontroler P, I, dan D

P : memperbaiki respon

transien

I : menghilangkan error

steady state

D : memberikan efek

redaman

)()()()(

)()(1

)()(

)()(

1)()(

0

ssEKsEs

KsEKsU

ssETsEsT

sEKsU

dt

tdeTdtte

TteKtu

di

p

d

i

p

t

d

i

p

)()()()(

)()(1

)()(

)()(

1)()(

0

ssEKsEs

KsEKsU

ssETsEsT

sEKsU

dt

tdeTdtte

TteKtu

di

p

d

i

p

t

d

i

p

Kontroler PID Seri

Kontroler PID Paralel

Kontroler PID praktis (rangkaian)

Tuning kontroler PID

Permasalahan terbesar dalam desain kontroler PID Tuning : menentukan nilai Ki, Kp, dan Kd

Metode metode tuning dilakukan berdasar Model matematika plant/sistem

Jika model tidak diketahui, dilakukan eksperimen terhadap sistem

Cara tuning kontroler PID yang paling populer : Ziegler-Nichols metode 1 dan 2

Metode tuning Ziegler-Nichols dilakukan dengan eksperimen (asumsi model belum diketahui)

Metode ini bertujuan untuk pencapaian maximum overshoot (MO) : 25 % terhadap masukan step

Metode tuning Ziegler-Nichols 1

Dilakukan berdasar eksperimen, dengan memberikan input step pada sistem, dan mengamati hasilnya

Sistem harus mempunyai step response (respons terhadap step) berbentuk kurva S

Sistem tidak mempunyai integrator (1/s)

Sistem tidak mempunyai pasangan pole kompleks dominan (misal : j dan j, 2j dan -2j) Muncul dari persamaan karakteristik s2+1, s2+4

Respon sistem berosilasi


Prosedur praktis 1. Berikan input step pada sistem

2. Dapatkan kurva respons berbentuk S

3. Tentukan nilai L dan T

4. Masukkan ke tabel berikut untuk mendapatkan nilai Kp, Ti, dan Td

Tipe alat

kontrol

KP Ti Td

P T/L ~ 0

PI 0.9 T/L L/0.3 0

PID 1.2 T/L 2L 0.5L


Metode ini berguna untuk sistem yang mungkin mempunyai step response berosilasi terus menerus dengan teratur Sistem dengan integrator (1/s)

Metode dilakukan dengan eksperimen Dengan meberikan kontroler P pada suatu sistem

close loop dengan plant terpasang

Gambar

Lalu nilai Kp ditambahkan sampai sistem berosilasi terus menerus dengan teratur Nilai Kp saat itu disebut penguatan kritis (Kcr)

Periode saat itu disebut periode kritis (Pcr)

Metode tuning Ziegler-Nichols 2 Prosedur praktis

1. Buat suatu sistem loop tertutup dengan kontroler P dan plant di dalamnya

2. Tambahkan nilai Kp sampai sistem berosilasi berkesinambungan

3. Dapatkan responnya, tentukan nilai Kcr dan Pcr

4. Tentukan nilai Kp, Ti, dan Td berdasar tabel berikut

Tipe alat

kontrol

KP Ti Td

P 0.5 Kcr ~ 0

PI 0.45 Kcr 1/1.2 Pcr 0

PID 0.6 Kcr 0.5 Pcr 0.125 Pcr

TERIMA KASIH

77

kestabilan - tka - pid

Documents