solusi persamaan non linear 2

Fisika Komputasi Dasar UM Mataram 2011 (Islahudin, S.Pd., M.PFis)

1

BAB I MODEL MATEMATIKA

BAB II PENGENALAN KOMPUTER DAN PERANGKAT LUNAK (BAHASA

PEMROGRAMAN)

2.1. Definisi Komputer

Computer berasal dari bahasa latin computare yang mengandung arti menghitung.

Karena luasnya bidang garapan ilmu computer, para pakar dan peneliti sedikit berbeda

dalam mendefinisikan terminology computer.

Menurut Hamacher

Komputer adalah mesin penghitung elektronik yang cepat dan dapat menerima

informasi input digital, kemudian memprosesnya sesuai dengan program yang

tersimpan di memorinya, dan menghasilkan output berupa informasi.

Menurut Blissmer

Computer adalah suatu alat elektronik yang mampu melakukan beberapa tugas

sebagai berikut:

- Menerima input

- Memproses input tadi sesuai dengan programnya

- Menyimpan perintah-perintah dan hasil dari pengolahan

- Menyediakan output dalam bentuk informasi

Menurut Fuori

Computer adalah suatu pemroses data yang dapat melakukan perhitungan besar

secara cepat, termasuk perhitungan aritmatika dan operasi logika, tanpa campur

tangan dari manusia.

Untuk mewujudkan konsepsi computer sebagai pengolah data untuk

menghasilkan suatu informasi, maka diperlukan sistem computer (computer system)

yang elemennya terdiri dari:

- Hardware, perangkat keras: peralatan yang secara fisik terlihat dan bisa dijamah

- Software, perangkat lunak: program yang berisi instruksi/perintah untuk

melakukan pengolahan data

- Brainware: manusia yang mengoperasikan dan mengendalikan sistem computer.

2.2. Penggolongan komputer

Berdasarkan data yang diolah

a. Komputer analog

b. Komputer digital

c. Komputer hybrid


2

Berdasarkan penggunaannya

a. Komputer untuk tujuan khusus

b. Komputer untuk tujuan umum

Berdasarkan kapasitas dan ukurannya

a. Komputer mikro

b. Komputer mini

c. Komputer kecil

d. Komputer menengah

e. Komputer besar

f. Komputer super

Berdasarkan generasinya

a. Komputer generasi pertama (1946-1959)

b. Komputer generasi kedua (1959-1964)

c. Komputer generasi ketiga (1964-1970)

d. Komputer generasi keempat (1979-sekarang)

e. Komputer generasi kelima

2.3 Bahasa Pemrograman

Bahasa (languages)

Adalah suatu sistem untuk berkomunikasi. Bahasa tertulis menggunakan simbol

(yaitu huruf) untuk membentuk sebuah kata. Dalam ilmu komputer, bahasa manusia

disebut sebagai bahasa alamiah, dimana komputer tidak bisa memahaminya, sehingga

diperlukan suatu bahasa komputer.

Bahasa Pemrograman

Merupakan sekumpulan instruksi yang merupakan penyelesaian masalah. Program

dimasukkan kedalam komputer, komputer yang mengerjakan instruksi-instruksi di

dalam program tersebut, lalu memberikan hasil atau keluaran yang diinginkan.

Agar program dapat dilaksanakan oleh komputer, program tersebut harus

ditulis dalam suatu bahasa yang dimengerti oleh komputer. Karena komputer adalah

mesin, maka program harus ditulis dalam bahasa yang khusus dibuat untuk

berkomunikasi dengan komputer. Bahasa yang digunakan dalam menulis program

dinamakan bahasa pemograman.


3

BAB III SOLUSI PERSAMAAN NON LINEAR

Dalam beberapa kasus, akar-akar bisa ditentukan dengan metode langsung. Contoh

yang paling sederhana seperti pada persamaan linear ax + b=0 (dimana a dan b

adalah konstanta dan a0), maka akar tunggal dari persamaan, xo=–b/a. Persamaan

kuadrat ax2+bx+c=0 dalam keadaan tertentu bisa diselesaikan dengan formula

kuadratik:

a

acbbx

2

42

2,1

Rumus-rumus yang memberikan nilai eksak dari penyelesaian secara eksplisit hanya ada

untuk kasus-kasus yang sangat sederhana. Fungsi yang cukup sederhana seperti

f(x) = e-x–x, sudah tidak bisa diselesaikan secara analitik. Dalam hal ini satu-satunya

alternatif adalah menggunakan solusi pendekatan (approximate solution).

Beberapa metode pendekatan (numeric) sebagai solusi adalah sebagai berikut:

1. Metode grafik

2. Metode bagi dua (bisection)

3. Metode interpolasi linier

4. Metode newton raphson

5. Metode Secant

Note: masih banyak lagi metode pendekatan yang lain

2.1. Metode Grafik

Metode grafik adalah metode metode paling sederhana untuk mendapatkan akar

perkiraan dari persamaan f(x)=0, yaitu dengan membuat plot dari fungsi dan

mengamatinya dimana fungsi tersebut memotong sumbu x. Pada titik ini yang

mempresentasikan nilai x yang membuat f(x)=0, memberikan hampiran kasar bagi akar

persamaan itu.


4

Contoh 2.1.

Gunakan pendekatan grafik untuk menentukan koefisien tarik (drag coeffisient) c

yang diperlukan sebuah parasut bermassa m=68,1 kg sehingga kecepatannya 40 m/dtk

setelah terjun bebas selama t=10 detik. (g=9,8 m/dtk).

Solusi:

Persamaan kecepatan parasut ketika jatuh adalah:

tm

c

ec

gmtv 1)(

Dengan mesubstitusikan besaran-besaran yang sudah diketahui nilainya, maka

diperoleh:

10.1,681

)1,68).(8,9(40

c

ec

Untuk menentukan nilai c, maka persamaan di atas dapat diubah menjadi:

401)1,68).(8,9(

)(10.

1,68

c

ec

cf

Sehingga dalam hal ini, f(c)=0 agar c dapat dicari.

Dengan menggunakan Ms. Excel diperoleh grafik sebagai berikut:

Tampak dari grafik di atas, f(c) mendekati nol pada nilai c antara 10 dan 20 yaitu

sekitar 15. Jika disubstitusi c = 15 ke dalam f(c), maka:

40115

)1,68).(8,9()15(

10.1,68

15

ef

-0.42484)15(f (Hasilnya cukup dekat dengan nol)


5

Bila nilai c kita substitusi ke dalam persamaan : t

m

c

ec

gmtv 1)( , maka

m/s4039.575161)1,68).(8,9( 10.

1,68

15

ec

v

Kelemahan metode grafik adalah tidak cukup akurat, karena dapat saja tebakan akar

bagi orang yang satu berbeda dengan yang lain.

2.2. Metode bagi dua/interval tengah (bisection)

Jika fungsi f(x) bernilai riil dan kontinu dalam selang [xl,xu] serta f(xl) dan f(xu)

berlawanan tanda, yakni:

f(xl) . f(xu) 0

maka pasti terdapat paling sedikit satu buah akar riil antara xl dan xu.

Langkah-langkah dalam menjalankan metode bagi dua sebagai berikut:

Langkah 1 : Tentukan nilai awal xl yang lebih rendah dan xu yang lebih tinggi,

sehingga fungsi berubah tanda melalui interval. Ini bisa dicek dengan

menghitung f(xl) . f(xu) 0

Langkah 2 : Taksiran nilai akar baru, xr, diperoleh dari:

2

ul

r

xxx

Langkah 3 : Lakukan evaluasi berikut untuk menentukan interval akar:

(a) Jika f(xl).f(xr) 0, berarti akar pada sub-interval bawah(xl,xr ),

kemudian set xu=xr dan kembali lakukan langkah 2

(b) Jika f(xl).f(xr) 0, berarti akar pada sub-interval atas(xu,xr),

kemudian set xl=xr dan kembali lakukan langkah 2

(c) Jika f(xl).f(xr) = 0, berarti akarnya adalah xr, perhitungan

dihentikan. Lakukan evaluasi berikut

Iterasi dapat dihentikan jika keasalahan relatifnya ( a) sudah lebih kecil dari syarat

yang diberikan, atau:

%100baru

r

lama

r

baru

r

ax

xx

Contoh 2.2

Dengan menggunakan metode bisection (Bagi dua), selesaikan problem pada

contoh 2.1, tentukan akarnya sampai kesalahan pendekatan dibawah 0,5%.


6

Solusi:

Langkah pertama dalam metode bagi dua adalah memberi dua nilai awal dari nilai yang

tidak diketahui yaitu koefisien drag (c), sehingga f(c) memberikan tanda yang

berbeda dari gambar 2.1 dapat dilihat bahwa fungsi berubah tanda antara nilai 12 dan

16. Sehingga,

Iterasi I: xu = 16 dan xl = 12

142

1612r

x

f(12)=6.07

f(14)=1,57

sehingga f(12).f(14) 0, maka xl=xr=14 untuk iterasi II

untuk %100baru

r

lama

r

baru

r

ax

xx belum bisa ditentukan, karena nilai xr

lama tidak ada

nilainya.

Iterasi II: xu=16 dan xl = 14

152

1416r

x

f(14)=1,57

f(15)=-0,42

f(14).f(15) 0,maka xu=xr=15 untuk iterasi III

%100baru

r

lama

r

baru

r

ax

xx

%100.15

1415a

=6,67%

Iterasi III: xu=15 dan xl = 14

2

1415r

x 14,5

f(14)=-0,42

f(14,5)=-0,55

f(15).f(16) 0,maka xl=xr=14,5 untuk iterasi IV

%100baru

r

lama

r

baru

r

ax

xx

%100.5,14

155,14a =3,45%


7

Iterasi IV: xu=15 dan xl = 14,5

2

5,1415r

x 14,75

f(14,75)=0,06

f(15)=-0,42

f(14,75).f(15) 0,maka xu=xr=14,75 untuk iterasi V

%100baru

r

lama

r

baru

r

ax

xx

%100.75,14

1575,14a

=1,69%

Dan seterusnya.

Hasil hitungan ditabelkan pada table di bawah ini

iterasi xl xu xr f(xl) f(xr) f(xl)f(xr) r (%)

1 12 16 14 6.07 1.56870 9.517198 -

2 14 16 15 1.57 -0.42484 -0.66645 6.67

3 14 15 14.5 1.57 0.55232 0.866422 3.45

4 14.5 15 14.75 0.55 0.05895 0.032561 1.69

5 14.75 15 14.875 0.06 -0.18413 -0.01085 0.84

6 14.75 14.875 14.8125 0.06 -0.06288 -0.00371 0.42

7 14.75 14.8125 14.78125 0.06 -0.00204 -0.00012 0.21

2.3. Interpolasi Linier/false position/regulasi falsi.

Bentuk paling sederhana dari interpolasi adalah menghubungkan dua buah titik data

dengan garis lurus. Metode ini disebut dengan interpolasi linier yang dapat dijelaskan

dengan Gambar 2.1.

Gambar 2.1. Interpolasi Polinomial


8

Gambar 2.2. Interpolasi Linier

Diketahui nilai suatu fungsi di titik x0 dan x1, yaitu f (x0) dan f (x1). Dengan metode

interpolasi linier akan dicari nilai fungsi di titik x, yaitu f1(x). Indeks 1 pada f1(x)

menunjukkan bahwa interpolasi dilakukan dengan interpolasi polinomial order satu.

Dari dua segitiga sebangun ABC dan ADE seperti tampak dalam Gambar 6.3, terdapat

hubungan berikut:

AD

DE

AB

BC

01

01

0

01 )()()()(

xx

xfxf

xx

xfxf

)xx(xx

)x(f)x(f)x(f)x(f

0

01

01

01 2.1

Persamaan (2.1) adalah rumus interpolasi linier, yang merupakan bentuk interpolasi

polinomial order satu. Suku [f (x1) f (x0)] / (x1 x0) adalah kemiringan garis yang

menghubungkan dua titik data dan merupakan perkiraan beda hingga dari turunan

pertama. Semakin kecil interval antara titik data, hasil perkiraan akan semakin baik.

Contoh 2.3

Dicari nilai ln 2 dengan metode interpolasi linier berdasar data ln 1 = 0 dan ln 6 =

1,7917595. Hitung juga nilai tersebut berdasar data ln 1 dan ln 4 = 1,3862944. Untuk

membandingkan hasil yang diperoleh, dihitung besar kesalahan (diketahui nilai eksak

dari ln 2 = 0,69314718).

Solusi:

Dengan menggunakan persamaan (2.1), dihitung dengan interpolasi linier nilai ln pada x

= 2 berdasar nilai ln di x0 = 1 dan x1 = 6.


9

)()()(

)()( 0

01

0101 xx

xx

xfxfxfxf

ln(2) = 0 + 16

07917595,1(2 1) = 0,3583519.

Besar kesalahan adalah:

Et = 69314718,0

35835190,069314718,0 100 % = 48,3 %.

Apabila digunakan interval yang lebih kecil, yaitu nilai x0 = 1 dan x1 = 4, maka:

)()()(

)()( 0

01

0101 xx

xx

xfxfxfxf

f1(2) = 0 + 14

03862944,1(2 1) = 0,46209813.

Besar kesalahan adalah:

Et = 69314718,0

0,4620981369314718,0 100 % = 33,3 %.

Dari contoh nampak bahwa dengan menggunakan interval yang lebih kecil didapat hasil

yang lebih baik (kesalahan lebih kecil). Gambar 2.3, menunjukkan prosedur hitungan

dalam contoh secara grafis.

Gambar 2.3. Interpolasi linier mencari ln 2


10

Berdasarkan gambar 2.3. di bawah ini

Gambar 2.4. Metode interpolasi linier

ur

u

lr

l

xx

)f(x

xx

)f(x

)x).(xf(x)x).(xf(xuruurl

Bila suku-sukunya dikumpulkan kembali, maka diperoleh:

)f(x)f(x

).f(xx).f(xxx

ul

ullu

r

Atau dapat dibentuk menjadi:

)f(x)f(x

)x).(xf(xxx

ul

ulu

ur 2.2

Persamaan 2.2. merupakan rumus bagi metode interpolasi linier. Langkah berikutnya

sama dengan metode interval tengah/bagi dua. Kelemahan metode interval tengah

adalah pembagian selang mulai dari xl hingga xu yang selalu sama., nilai fungsi f(xl) dan

f(xu) tidak diperhitungkan.


11

Contoh 2.4

Gunakan metode interpolasi linier untuk menentukan nilai koefisien gesekan udara

pada kasus penerjun payung

Solusi:

iterasi xl xu xr f(xl) f(xu) f(xr) f(xl).f(xr) r (%)

1 12 16 14.911 6.07 -2.26876 -0.25428 -1.54269 -

2 12 14.911 14.794 6.07 -0.25369 -0.02719 -0.16499 0.79

3 12 14.794 14.782 6.07 -0.02688 -0.00287 -0.0174 0.08

4 12 14.782 14.780 6.07 -0.00350 -0.00037 -0.00226 0.01

5 12 14.78 14.780 6.07 0.00040 0.00004 0.000257 0.00

Nampak hasil iterasi dengan menggunakan metode interpolasi linier lebih cepat

konvergen dibandingkan dengan metode interval tengah.

2.4. Metode Newton Raphson

Metode Newton Raphson adalah metode iterasi lain untuk memecahkan persamaan

f(x)=0, dengan f diasumsikan mempunyai turunan kontinu f’. Secara geometri metode

ini menggunakan garis singgung sebagai hampiran fungsi pada suatu selang. Gagasan

dasarnya adalah grafik f dihampiri dengan garis-garis singgung yang sesuai. Dengan

menggunakan suatu nilai xi sebagai tebakan awal yang diperoleh dengan melokalisasi

akar -akar dari f(x) terlebih dahulu, kemudian ditentukan x i+1 sebagai titik potong

antara sumbu x dan garis singgung pada kurva f di titik (xi ,f(xi). Prosedur yang sama

diulang, menggunakan nilai terbaru sebagai nilai coba untuk iterasi seterusnya.

Gambar 2.5. Pelukisan Grafik Metode Newton Raphson


12

Dari gambar 2.4, turunan pertama terhadap x adalah ekivalen dengan kemiringan:

1ii

i'

xx

0)f(x(x)f

Jika persamaan di atas disusun kembali, maka diperoleh:

)(xf

)f(xx

i

'

i

1i ix (persamaan inilah yang disebut dengan rumus Newton-Raphson)

Secara singkat, langkah-langkah dalam menggunakan metode Newton-Raphson sebagai

berikut:

1. Carilah f’(x) dan f’’(x) dari f(x)

2. Langkah 2, tentukan titk x0 dan Uji sesuai : Apakah memenuhi syarat

persamaan? Jika tidak, cari nilai xo baru.

1)(x).f(xf'

)('').f(x

0

'

0

00xf

3. Lakukan iterasi dengan persamaan: )(xf

)f(xx

i

'

i

1i ix

Contoh 2.6

Gunakan Metode Newton-Raphson untuk menaksir akar dari : f(x) = e-x-x,

menggunakan sebuah tebakan awal x0 = 0.

Solusi:

Langkah 1:

Turunan pertama dan kedua dari fungsi f(x) = e-x-x dapat dievaluasikan sebagai:

f(x) = e-x-x, f(x=0)=1

f’(x) = -e-x-1, f’(x = 0)=-2

f’’(x) = e-x, f’’(x=0)=1

langkah2:

1)(x).f(xf'

)('').f(x

0

'

0

00xf

12-2.-

1.1

14

1

memenuhi syarat persamaan, sehingga akar-akarnya dapat dicari dengan metode

Newton-Raphson.


13

Langkah 3:

)(xf

)f(xx

i

'

i

1i ix

iterasi xi xi+1 f(xi) f'(xi) f(xk+1) er (%)

1 0 0.50000000000 1.000000000000 -2.0000000000000 0.10653065971263 -

2 0.50000 0.56631100320 0.106530659713 -1.6065306597126 0.00130450980602 100.00

3 0.56631 0.56714316473 0.001306082434 -1.5676160824338 0.00000019695447 11.71

4 0.56714 0.56714329041 0.000005156547 -1.5671451565467 0.00000000000307 0.15

5 0.567143 0.56714329041 0.000000000000 -1.5671432904097 0.00000000000000 0.00

Dengan cara yang sama, pada kasus terjun payung dapat diselesaikan dengan metode

Newton-Raphson.

401)1,68).(8,9(

)(10.

1,68

c

ec

cf

TUGAS.

1. Carilah akar positif dari x2–0,9x–1,52 pada interval menggunakan metode Bisection

dengan toleransi 0,001

2. Gunakan metode Newton Raphson untuk menentukan akar dari

f(x)= 0,9x2+1,7x+2,5 dengan xo=5

3. Gunakan pendekatan Newton Raphson untuk menentukan koefisien tarik (drag

coeffisient) c yang diperlukan sebuah parasut bermassa m=68,1 kg sehingga

kecepatannya 40 m/dtk setelah terjun bebas selama t=10 detik. (g=9,8 m/dtk).

4. F(x) = x3+x2-3x-3, dengan mengambil toleransi r 0,01 %, tentukan akar dari fungsi

tersebut dengan metode:

a. Metode grafik

b. Metode Bisection

c. Metode Interpolasi linier

d. Metode Newton Raphson


14

2.5. Metode Secant

Masalah potensial dalam implementasi metode Newton Raphson adalah evaluasi pada

turunan. Metode Secant diperoleh dari metode Newton dengan cara menggantikan

turunan f’(x) dengan beda hingga terbagi,

1

1' )()()(

ii

ii

xx

xfxfxf (forward)

ii

ii

xx

xfxfxf

1

1' )()()( (backward)

Jika persamaan forward kita masukkan ke dalam persamaan Newton Raphson, maka

diperoleh:

)()(

))((

21

21

1

ii

iii

iixfxf

xxxfxx

Gambar 2. 5 Skema metode Secant

Secara geometri, dalam metode Newton Raphson xi+1 merupakan perpotongan sumbu x

dengan garis singgung di xi , sedangkan dalam metode Secant x i+1 adalah

perpotongan sumbu x dengan talibusur kurva f(x) yang berpadanan terhadap xn+1 dan

xn. Metode Secant memerlukan dua tebakan awal, xi–1 dan xi , tetapi tanpa

perhitungan turunan.

Contoh 2.7

Perkirakan akar dari f(x)=e-x-x menggunakan metode secant dengan taksiran awal x-1 =

0 dan x0 = 1,0.

Solusi:


15

Iterasi 1

Dengan menggunakan persamaan

)()(

))((

21

21

1

ii

iii

iixfxf

xxxfxx

x-1 = 0 maka f(x-1) = 1

x0 = 1 maka f(x0) = -0,63212

x1 = 61270,0)63212,0(1

)10(63212,01

r = 8 %

Iterasi 2

x0 = 1 maka f(x0) = -0,63212

x1 = 1 maka f(x1) = 0,612270

x2 = 56384,0)07081,0(63212,0

)61270,01(07081,0612270,0

r = 0,58 %

Iterasi 3:

x1 = 1 maka f(x1) = 0,612270

x2 = 1 maka f(x2) = 0,56384

x3 = 56717,0)00518,0(07081,0

)56384,062170,0(00518,056384,0

r = 0,0048 %

Contoh 2.8

Dengan menggunakan Metode Secant, tentukan akar dari fungsi f(x) = cosx−0,5.

Terkaan awal adalah x = 0 dan x = /2.

Solusi:

Iterasi 1

xo=0, x1 = /2 = 1,5708

f(xo) = cosxo – 0,5 = 0,5

f(x1) = cosx1 – 0,5 = -0,5

)1()()1(

112 xf

xofxf

xoxxx = 0,7854

Iterasi 2

x1=0, x2 = 0,7854

f(x1) = cosx1 – 0,5 = -0,5

f(x2) = cosx2 – 0,5 = 0,2071


16

)2()1()2(

1223 xf

xfxf

xxxx = 1,0154

Iterasi 3

X2=0,7854, x3 = 1,0154

f(x2) = cosx2 – 0,5 = 0.2071

f(x3) = cosx3 – 0,5 = 0.0272

)3()2()3(

2334 xf

xfxf

xxxx = 1.0503

Iterasi 4

X3=1,0154, x4 = 1.0503

f(x2) = cosx2 – 0,5 = −0.0273

f(x3) = cosx3 – 0,5 = −0.0027

)3()2()3(

2335 xf

xfxf

xxxx = 1.0472

solusi persamaan non linear 2

Documents