komputasi numerik regresi linear dan persamaan linear simultan

2013

Departemen Teknik Kimia FTUI

Fachryan Zuhri/Teknologi Bioproses/1106012224

[STUDI KASUS KOMPUTASI NUMERIK] Regresi Linear dan Persamaan Linear Simultan

Fachryan Zuhri/110601224

SOAL 2 – File 1

Beberapa cuplikan hasil penelitian ilmiah tentang Extraction of solanesol from tobacco (Nicotiana

tobaccum L.) Leaves dimuat dalam Chemical Engineering and Processing 48 (2009) 203–208.

Berdasarkan data tersaji pada tabel, model persamaan yang bisa didekati mengikuti formula,

Y = β1X12+ β2X2

2 + β3X3

2 + β4X1 X2, + β5 X1.X3 + β6 X2.X3 + β7 X1 +β8 X2 + β9 X3 + β10, dimana koefisien

angka β1, β2, β3, β4, ,β5, β6, β7,β8, β9, β10 adalah koefisien persamaan. Hasil penelitian tersebut sudah

dapat menentukan berbagai koefisien tersebut dan terbentuk suatu persamaan.

Y = -0.001X12 - 0.00644 X2

2 – 0.00016 X3

2 - 0.00165 X1 X2 - 0.00017 X1.X3 + 0.00077 X2.X3 +

0.14253 X1 + 0.20159 X2 + 0.02262 X3 – 1.7743

Table 1 Results of uniform experimental design for the extraction of solanesol

Experiment

No.

X1, extraction time

(min)

X2, liquor to material

(l/kg)

X3, air flow (l/min) Y, yield of

solanesol (mg/g)

1 4 8 80 1.15

2 8 12 60 1.88

3 12 17 40 2.10

4 16 6 10 1.29

5 20 10 90 2.82

6 24 15 70 3.39

7 28 4 50 2.59

8 32 8 20 2.89

9 36 13 100 3.83

10 40 17 80 4.01

11 44 6 60 3.73

12 48 11 30 3.91

13 52 15 10 3.44

14 56 4 90 3.55

15 60 9 70 4.10

16 2 13 40 1.03

17 6 18 20 1.06

18 10 7 100 1.54

19 14 11 80 2.52

20 18 16 50 2.77

21 22 5 30 2.05

22 26 9 10 2.40

23 30 14 90 3.78

24 34 18 60 3.69

25 38 7 40 3.46

26 42 12 20 3.51

27 46 16 100 4.12

28 50 5 70 3.70

29 54 10 50 4.16

30 58 14 30 3.87

Pertanyaan:

Dengan kemampuan komputasi numerik dari persamaan linear simultan yang telah anda

pelajari, tunjukkan bagaimana mendapatkan koefisien angka β1, β2, β3, β4, ,β5, β6, β7,β8, β9, β10.


JAWABAN

Diketahui, model persamaan bisa didekati mengikuti formula

Y = β1X12+ β2X2

2 + β3X3

2 + β4X1 X2, + β5 X1.X3 + β6 X2.X3 + β7 X1 +β8 X2 + β9 X3 + β10 (1)

Dari tabel di atas. didapatkan angka variabel X1, X2, X3, dan Y adalah sebagai berikut:

No. X1 X2 X3 Y

1 4 8 80 1.15

2 8 12 60 1.88

3 12 17 40 2.10

4 16 6 10 1.29

5 20 10 90 2.82

6 24 15 70 3.39

7 28 4 50 2.59

8 32 8 20 2.89

9 36 13 100 3.83

10 40 17 80 4.01

11 44 6 60 3.73

12 48 11 30 3.91

13 52 15 10 3.44

14 56 4 90 3.55

15 60 9 70 4.10

16 2 13 40 1.03

17 6 18 20 1.06

18 10 7 100 1.54

19 14 11 80 2.52

20 18 16 50 2.77

21 22 5 30 2.05

22 26 9 10 2.40

23 30 14 90 3.78

24 34 18 60 3.69

25 38 7 40 3.46

26 42 12 20 3.51

27 46 16 100 4.12

28 50 5 70 3.70

29 54 10 50 4.16

30 58 14 30 3.87

Untuk mendapatkan nilai β1, β2, β3, β4, ,β5, β6, β7,β8, β9, β10, kita terlebih dulu harus mensubstitusi

nilai X1, X2, X3, dan Y ke dalam persamaan (1) di atas sehingga didapatkan 30 persamaan linear sebagai

berikut:

16β1+ 64 β2 + 6400β3 + 32β4, + 320β5 + 640β6 + 4β7 + 8β8 + 80β9 + β10 = 1.15 (1)

64β1+ 144β2 +3600 β3 +96β4, +480β5 + 720β6 +8β7 + 12β8 + 60β9 + β10 = 1.88 (2)


144β1+ 289β2 +1600 β3 +204β4, +480β5 + 680β6 +12β7 + 17β8 + 40β9 + β10 = 2.1 (3)

256β1+ 36β2 +100 β3 +96β4, +160β5 + 60β6 +16β7 + 6β8 + 10β9 + β10 = 1.29 (4)

400β1+ 100β2 + 8100 β3 +200β4, +1800β5 + 900β6 +20β7 + 10β8 + 90β9 + β10 = 2.82 (5)

576β1+ 225β2 +4900 β3 +360β4, +1680β5 + 1050β6 +24β7 + 15β8 + 70β9 + β10 = 3.39 (6)

784β1+ 16β2 +2500 β3 +112β4, +1400β5 + 200β6 + 28β7 + 4β8 + 50β9 + β10 = 2.59 (7)

1024β1+ 64β2 +400 β3 +256β4, +640β5 + 160β6 +32β7 + 8β8 + 20β9 + β10 = 2.89 (8)

1296β1+ 169β2 +10000 β3 + 468β4, +3600β5 + 1300β6 +36β7 + 13β8 + 100β9 + β10 = 3.83 (9)

1600β1+ 289β2 +6400 β3 + 680β4, +3200β5 + 1360β6 +40β7 + 17β8 + 80β9 + β10 = 4.01 (10)

1936β1+ 36β2 +3600 β3 + 264β4, +2640β5 + 360β6 +44β7 + 6β8 + 60β9 + β10 = 3.73 (11)

2304β1+ 121β2 + 900 β3 + 528β4, +1440β5 + 330β6 +48β7 + 11β8 + 30β9 + β10 = 3.91 (12)

2704β1+ 225β2 +100 β3 + 780β4, + 520β5 + 150β6 +52β7 + 15β8 + 10β9 + β10 = 3.44 (13)

3136β1+ 16β2 +8100 β3 + 224β4, + 5040β5 + 360β6 +56β7 + 4β8 + 90β9 + β10 = 3.55 (14)

3600β1+ 81β2 +4900 β3 + 540β4, + 4200β5 + 630β6 + 60β7 + 9β8 + 70β9 + β10 = 4.1 (15)

4β1+ 169β2 +1600 β3 + 26β4, + 80β5 + 520β6 + 2β7 + 13β8 + 40β9 + β10 = 1.03 (16)

36β1+ 324β2 +400 β3 + 108β4, + 120β5 + 360β6 + 6β7 + 18β8 + 20β9 + β10 = 1.06 (17)

100β1+ 49β2 + 10000β3 + 70β4, + 1000β5 + 700β6 + 10β7 + 7β8 + 100β9 + β10 = 1.54 (18)

196β1+ 121β2 +6400 β3 +154β4, + 1120β5 + 880β6 + 14β7 + 11β8 + 80β9 + β10 = 2.52 (19)

324β1+ 256β2 +2500 β3 +288β4, + 900β5 + 800β6 + 18β7 + 16β8 + 50β9 + β10 = 2.77 (20)

484β1+ 25β2 +900 β3 +110β4, + 660β5 + 150β6 + 22β7 + 5β8 + 30β9 + β10 = 2.05 (21)

676β1+ 81β2 +100 β3 +234β4, + 260β5 + 90β6 + 26β7 + 9β8 + 10β9 + β10 = 2.4 (22)

900β1+ 196β2 + 8100β3 +420β4, + 2700β5 + 1260β6 + 30β7 + 14β8 + 90β9 + β10 = 3.78 (23)

1156β1+ 324β2 +3600 β3 +612β4, + 2040β5 + 1080β6 + 34β7 + 18β8 + 60β9 + β10 = 3.69 (24)

1444β1+ 49β2 + 1600β3 +266β4, + 1520β5 + 280β6 + 38β7 + 7β8 + 40β9 + β10 = 3.46 (25)

1764β1+ 144β2 +400 β3 +504β4, + 840β5 + 240β6 + 42β7 + 12β8 + 20β9 + β10 = 3.51 (26)

2116β1+ 256β2 + 10000 β3 +736β4, + 4600β5 + 1600β6 + 46β7 + 16β8 + 100β9 + β10 = 4.12 (27)

2500β1+ 25β2 +4900 β3 +250β4, + 3500β5 + 350β6 + 50β7 + 5β8 + 70β9 + β10 = 3.7 (28)

2916β1+ 100β2 +2500 β3 +540β4, + 2700β5 + 500β6 + 54β7 + 10β8 + 50β9 + β10 = 4.16 (29)


3364β1+ 196β2 +900 β3 +812β4, + 1740β5 + 420β6 + 58β7 + 14β8 + 30β9 + β10 = 3.87 (30)

X12

X22

X32

X1.X2

X1.X3

X2.X3

X1

X2

X3

Y

16 64 6400 32 320 640 4 8 80 1.15

64 144 3600 96 480 720 8 12 60 1.88

144 289 1600 204 480 680 12 17 40 2.1

256 36 100 96 160 60 16 6 10 1.29

400 100 8100 200 1800 900 20 10 90 2.82

576 225 4900 360 1680 1050 24 15 70 3.39

784 16 2500 112 1400 200 28 4 50 2.59

1024 64 400 256 640 160 32 8 20 2.89

1296 169 10000 468 3600 1300 36 13 100 3.83

1600 289 6400 680 3200 1360 40 17 80 4.01

1936 36 3600 264 2640 360 44 6 60 3.73

2304 121 900 528 1440 330 48 11 30 3.91

2704 225 100 780 520 150 52 15 10 3.44

3136 16 8100 224 5040 360 56 4 90 3.55

3600 81 4900 540 4200 630 60 9 70 4.1

4 169 1600 26 80 520 2 13 40 1.03

36 324 400 108 120 360 6 18 20 1.06

100 49 10000 70 1000 700 10 7 100 1.54

196 121 6400 154 1120 880 14 11 80 2.52

324 256 2500 288 900 800 18 16 50 2.77

484 25 900 110 660 150 22 5 30 2.05

676 81 100 234 260 90 26 9 10 2.4

900 196 8100 420 2700 1260 30 14 90 3.78

1156 324 3600 612 2040 1080 34 18 60 3.69

1444 49 1600 266 1520 280 38 7 40 3.46

1764 144 400 504 840 240 42 12 20 3.51

2116 256 10000 736 4600 1600 46 16 100 4.12

2500 25 4900 250 3500 350 50 5 70 3.7

2916 100 2500 540 2700 500 54 10 50 4.16

3364 196 900 812 1740 420 58 14 30 3.87

Persamaan-persamaan diatas dapat diselesaikan untuk mendapatkan nilai β1, β2, β3, β4, ,β5, β6, β7,β8, β9,

dan β10 dengan menggunakan “Multiple Linear Regression” dan nanti akan menggunakan

“Gauss Seidell Elimination”. Dimana bentuk umum persamaan diatas adalah sebagai berikut:

y= β1x1+ β2x2+...+ β9x9+ β10


Menentukan β1, β2, β3, …, β10 dapat menggunakan metode kuadrat terkecil melalui apa yang

disebut dengan persamaan normal seperti di bawah ini :

Bentuk persamaan matriks di atas termasuk ke dalam suatu sistem persamaan linier. Mencari

atau menentukan β1, β2, β3, …, β10 berarti mencari atau menentukan solusi dari sistem

persamaan linier (SPL). Mencari solusi SPL ada berbagai macam cara, diantaranya ialah Metode

Eliminasi Gauss. Yang akan dipakai adalah eliminasi Gauss Seidell karena mengingat matrix

yang dihasilkan adalah matrix 10 x 10. Berikut adalah algoritma dari program Gauss-Seidell:

Setelah dihitung dengan menggunakan program dari http://www.xuru.org/rt/MLR.asp

didapatkan hasil sebagai berikut:

y = -9.701049519·10-4 x1 - 6.169222758·10-3 x2 - 1.493527865·10-4 x3 - 2.107636824·10-3 x4 -

2.320233738·10-4 x5 + 9.964550329·10-4 x6 + 1.486865581·10-1 x7 + 0.197860026 x8 +

2.088013436·10-2 x9 - 1.83423665

Maka, dari persamaan diatas, didapatkan nilai:

β1 = -9.701049519·10-4

β2 = - 6.169222758·10-3

β3 = - 1.493527865·10-4

β4 = - 2.107636824·10-3

β5 = - 2.320233738·10-4

β6 = 9.964550329·10-4

β7 = 1.486865581·10-1

β8 = 0.197860026

β9 = 2.088013436·10-2

β10 = - 1.83423665

http://www.xuru.org/rt/MLR.asp


SOAL 7 – File 2

The release of petroleum product by leaky underground storage tanks is serious threat to clean

ground water. BTEX compounds (benzene, toluene, ethyl benzene, xylenes) are of primary

concern due to their ability to cause health problems at low concentrations. D.S Kershaw, B.C

Kulik, and S. Pamukcu (J. Geotech. & Geoenvir. Engrg. 123, 234(1997)) have studied the ability

of ground tyre rubber to sorb (adsorb and absorb) benzene and o-xylene. Though sorption

involves more than surface interactions, sorption data is usually found to fit one of the sorption

isotherms. In this study, the authors have tested how well their data fit the linier ,

Freundlich , and Langmuir type isotherms, where q is the

mass of solvent adsorbed per gram of ground rubber (in milligrams per gram), the Ks and M are

empirical constants, the equilibrium concentration of contaminant in solutions (in

milligrams per litre).

a) Determine the units of the empirical constants

b) Determine which of the isotherms best fits data in table below for the sorption of

benzene on ground rubber.

(mg/dm3)

97.10 36.10 10.40 6.51 6.21 2.48

q (mg/g) 7.13 4.60 1.80 1.10 0.55 0.31

c) Compare the sorption efficiency of ground rubber to that of granulated activated

charcoal which for benzene has been shown to obey the Freundlich isotherm in

the form with coefficient of determination R2 = 0.94.

JAWABAN

a) Determine the units of the empirical constants

K unit :

KF unit : (mg)(1-1/n)

gr-1

dm-3/n

KL unit : (mg dm-3)-1

M unit : (mg gr-1

)


b) Determine which of the isotherms best fits data in table below for the sorption of

benzene on ground rubber.

(mg/dm3)

97.10 36.10 10.40 6.51 6.21 2.48

q (mg/g) 7.13 4.60 1.80 1.10 0.55 0.31

Linear sorption isotherm

No. x Y x2

y2 xy

1 97.1 7.13 9428.41 50.8369 692.323

2 36.1 4.6 1303.21 21.16 166.06

3 10.4 1.8 108.16 3.24 18.72

4 6.51 1.1 42.3801 1.21 7.161

5 6.21 0.55 38.5641 0.3025 3.4155

6 2.48 0.31 6.1504 0.0961 0.7688

158.8 15.49 10926.87 76.8455 888.4483

Dari hasil perhitungan di atas, didapatkan:

K (linear) = 0.071 (gR dm-3

)-1

R (linear) = 0.961

y = m x + b


Freundlich sorption isotherm

Persamaan di atas dapat dilinearisasi menjadi:

No. x Y x2

y2 xy

1 4.5757414 1.9643112 20.93741 3.858519 8.98818

2 3.5862929 1.5260563 12.8615 2.328848 5.472885

3 2.3418058 0.5877867 5.484054 0.345493 1.376482

4 1.8733395 0.0953102 3.509401 0.009084 0.178548

5 1.8261609 -0.597837 3.334864 0.357409 -1.09175

6 0.9082586 -1.171183 0.824934 1.37167 -1.06374

15.111599 2.4044444 46.95216 8.271022 13.86061

Lalu, masukkan ke dalam persamaan:


K (Freundlich) = 0.1638 (mg)(1-1/n)

gr-1

dm-3/n

R (Freundlich) = 0.9680

y = m x + b


Langmuir sorption isotherm

Persamaan di atas dapat dilinearisasi menjadi:

No. x Y x2

y2 xy

1 0.0102987 0.1402525 0.000106 0.019671 0.001444

2 0.0277008 0.2173913 0.000767 0.047259 0.006022

3 0.0961538 0.5555556 0.009246 0.308642 0.053419

4 0.1536098 0.9090909 0.023596 0.826446 0.139645

5 0.1610306 1.8181818 0.025931 3.305785 0.292783

6 0.4032258 3.2258065 0.162591 10.40583 1.300728

0.0062972 0.0645578 3.97E-05 0.004168 0.000407

Lalu, masukkan ke dalam persamaan:

y = m x + b



K (Langmuir) =

R(Langmuir) = 0.9690

Dari data diatas diketahui bahwa ketiga nilai regresi mempunyai selisih yang

sangat kecil (nilainya hampir sama) sehingga tidak dapat digunakan menjadi

parameter untuk menentukan persamaan terbaik yang digunakan untuk

menyelesaikan persoalan tsb. Terlebih lagi metode isotherm Langmuir yang

menghasilkan nilai regresi paling besar memberikan nilai KL negatif, dimana K

merupakan konstanta kesetimbangan yang nilainya harus positif, sehingga otomatis

persamaan Langmuir tidak dapat digunakan. Karena persamaan isotherm Freundlich

yang biasanya dipilih untuk menyelesaikan persoalan dengan sistem seperti ini

walaupun pilihan ini tidak didukung oleh data yang ada.

c) Compare the sorption efficiency of ground rubber to that of granulated activated

charcoal which for benzene has been shown to obey the Freundlich isotherm in the

form with coefficient of determination R2 = 0.94.

Sorption efficiency of ground rubber for benzene:

(mg/dm3)

97.10 36.10 10.40 6.51 6.21 2.48

q (mg/g) 7.13 4.60 1.80 1.10 0.55 0.31

Sorption efficiency of granulated activated charcoal for benzene:

(mg/dm3)

97.10 36.10 10.40 6.51 6.21 2.48

q (mg/g) 1511.9 310.46 42.39 20.03 18.57 4.277

Bisa kita lihat dari kedua tabel di atas, sorption efficiency yang paling besar

untuk benzene adalah Sorption efficiency menggunakan granulated activated

charcoal.


SAMPLE 19 – File 3

Pengukuran luas permukaan karbon aktif pada setiap sampelnya dengan menggunakan teknik

adsorpsi BET (Brunauer-Emmett-Teller) isotherm. Adsorpsi menggunakan gas nitrogen,

adsorpsi pada suhu cairnya sekitar -160 oC (luas permukaan molekul Nitrogen Am = 16.2 x 10

-20

m2/molekul. Data hasil pengukuran dinyatakan dalam bentuk Relative Pressure (P/Po) dengan

N2 Gas adsorbed Vgas (ml/g) pada kondisi STP, ditabelkan sebagai berikut:

Sample 19 - RUN 5

Relative Pressure

P/Po

N2Gas adsorbed

Vgas (ml/g) STP

0.05337 20.01320

0.07747 21.19470

0.10098 22.22490

0.12592 23.29590

0.15090 24.25820

0.17599 25.19650

0.20080 26.11400

0.22718 27.13580

0.25069 28.01210

0.27541 28.96660

0.30032 29.91720

Untuk menguji kelinieran garis sesuai persamaan, maka perlu diolah data sebagai berikut :

1. Plot antara Relative Pressure (P/Po) dengan N2 Gas adsorbed Vgas (ml/g) STP.

Bagaimanakah pola kurva yang terbentuk, linier, melengkung atau ada kecenderungan

linier? Apakah titik-titik data cenderung membentuk suatu hubungan variabel?

2. Data-data dapat dilinearisasi sesuai dengan persamaan isothermal BET, yakni:

Dengan membuat harga Y = dan harga X= )/( 0PP , dapatkah anda memperoleh

data-data pola kurva yang cenderung membentuk garis lurus/linier setelah diplot.

Pertanyaan:

Dengan komputasi numerik, bisakah menentukan metode yang mana yang anda

pakai sehingga didapat konstanta persamaan adsorpsi isotermis BET yakni Vm dan

c.

)/( )/(11

)/1(

/00

0

0 PPPPcV

c

cVPPV

PP

mm

)/1(

/

0

0

PPV

PP


JAWABAN

Plot antara Relative Pressure (P/Po) dengan N2 Gas adsorbed Vgas (cc/g) STP.

Bagaimanakah pola kurva yang terbentuk, linier, melengkung atau ada kecenderungan

linier? Apakah titik-titik data cenderung membentuk suatu hubungan variabel?

Relative Pressure

P/Po

N2Gas adsorbed

Vgas (cc/g) STP

0,05337 20,01320

0,07747 21,19470

0,10098 22,22490

0,12592 23,29590

0,15090 24,25820

0,17599 25,19650

0,20080 26,11400

0,22718 27,13580

0,25069 28,01210

0,27541 28,96660

0,30032 29,91720

Dari plot antara P/Po dan Vgas, ternyata didapatkan plot yang cenderung linear dan titik-

titik data tersebut cenderung membentuk hubungan variabel

Data-data dapat dilinearisasi sesuai dengan persamaan isothermal BET, yakni:

)/(11

)/1(

/0

0

0 PPcV

c

cVPPV

PP

mm

Dengan membuat harga Y = )/1(

/

0

0

PPV

PP dan harga X= )/( 0PP , dapatkah anda

memperoleh data-data pola kurva yang cenderung membentuk garis lurus/linier setelah

diplot.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 5 10 15 20 25 30 35

P/P

o

Vgas


X Y

)/( 0PP

)/1(

/

0

0

PPV

PP

0.05337 0.002817088

0.07747 0.003962103

0.10098 0.005053895

0.12592 0.006183923

0.1509 0.007326083

0.17599 0.008476475

0.2008 0.009621324

0.22718 0.010833009

0.25069 0.01194345

0.27541 0.013121692

0.30032 0.014347091

Setelah diplot ternyata data-data tersebut memiliki hubungan yang linear.

Pertanyaan:

Dengan komputasi numerik, bisakah menentukan metode yang mana yang anda

pakai sehingga didapat konstanta persamaan adsorpsi isotermis BET yakni Vm dan

c.

Nilai Vm dan c dapat dicari dengan menggunakan linearisasi dari persamaan:

)/(11

)/1(

/0

0

0 PPcV

c

cVPPV

PP

mm

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0 0.1 0.2 0.3 0.4

y = b + m x


Untuk mendapatkan nilai Vm dan c, kita perlu mencari dulu nilai gradien (slope) dan

perpotongan (intercept) dari persamaan linear diatas. Dengan kata lain, nilai Vm dan c

dapat dicari dengan menggunakan ”Regresi Linear”.

No. x y x2

y2

Xy

1 0.05337 0.002817088 0.002848357 7.93598E-06 0.000150348

2 0.07747 0.003962103 0.006001601 1.56983E-05 0.000306944

3 0.10098 0.005053895 0.01019696 2.55419E-05 0.000510342

4 0.12592 0.006183923 0.015855846 3.82409E-05 0.00077868

5 0.1509 0.007326083 0.02277081 5.36715E-05 0.001105506

6 0.17599 0.008476475 0.03097248 7.18506E-05 0.001491775

7 0.2008 0.009621324 0.04032064 9.25699E-05 0.001931962

8 0.22718 0.010833009 0.051610752 0.000117354 0.002461043

9 0.25069 0.01194345 0.062845476 0.000142646 0.002994104

10 0.27541 0.013121692 0.075850668 0.000172179 0.003613845

11 0.30032 0.014347091 0.090192102 0.000205839 0.004308718

1.93903 0.093686133 0.409465694 0.000943527 0.019653267

0.04638773760533


Masukkan ke dalam persamaan:

Substitusi persamaan (2) ke

persamaan (1)

0

Jadi dari hasil perhitungan diatas, didapatkan nilai dan menggunakan metode

regresi linear adalah dan 4


SOAL TAMBAHAN – Soal 5 File 1

Disamping itu, beberapa hasil perumusan HHV sebgai fungsi dari variable karbon terikat (fixed carbon)

juga sudah berhasil dilakukan. Sekilas gambaran hasil perumusannya disajukan dalam kalimat berikut.

Calorific values of the biomass samples can be calculated from the proximate analysis data given in Table

3. The HHV (MJ/kg) of the biomass samples as a function of fixed carbon (FC, wt%) can be calculated

from:

HHV = 0.196(FC) + 14.119 (2)

The HHVs calculated by using Equation (2) are also given in Table 3. Equation (2) represents the

correlation obtained by means of regression analysis. The correlation coefficient is 0.9997. The calorific

values calculated using Equation (2) showed a mean difference of 2.2% (Table 4).

Pertanyaan:

Dengan kemampuan komputasi numerik yang telah anda miliki, selesaikanlah bagaimana

persamaan (2) tersebut bisa diperoleh berdasar data-data terkait?


JAWABAN

Persamaan (2) di atas dapat dicari dengan menggunakan ”Regresi Linear”. Menyelesaikan

permasalahan ini cukup mudah karena hanya melibatkan 2 variabel yaitu: HHV sebagai sumbu-y

dan FC sebagai sumbu-x, dimana data data HHV dan FC bisa didapatkan dari tabel diatas.

HHV = (FC) +

Persamaan di atas dapat ditentukan dengan menggunakan metode Least Square:

y = m x + b


No. x (FC) y (HHV) x2 y

2 xy

1 26.1 19.2 681.21 368.64 501.12

2 28.3 19.7 800.89 388.09 557.51

3 27 19.4 729 376.36 523.8

4 28.1 19.6 789.61 384.16 550.76

5 25 19 625 361 475

6 23.5 18.7 552.25 349.69 439.45

7 31.8 20.4 1011.24 416.16 648.72

8 16.8 17.4 282.24 302.76 292.32

9 12.5 16.6 156.25 275.56 207.5

10 13.6 16.8 184.96 282.24 228.48

11 17.6 17.6 309.76 309.76 309.76

12 28.3 19.7 800.89 388.09 557.51

13 24.6 18.9 605.16 357.21 464.94

14 11.2 16.3 125.44 265.69 182.56

15 24.8 19 615.04 361 471.2

16 18 17.6 324 309.76 316.8

357.2 295.9 8592.94 5496.17 6727.43

Berikut adalah grafik dari plot data di atas:

Jadi, persamaan (2) pada soal dapat diselesaikan dengan menggunakan ”Regresi Linear”

y = 0.196x + 14.10R² = 0.999

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40

HH

V

FC

HHV vs FC

komputasi numerik regresi linear dan persamaan linear simultan

Documents