sistem dinamik · pdf filesistem dinamik diskret ... kontinu diskret sistem dinamik sistem...
TRANSCRIPT
SISTEM DINAMIK DISKRET
Anggota Kelompok:
1. Inggrid Riana C.
2. Kharisma Madu B.
3. Solehan
Kontinu
Diskret
Sistem Dinamik
SISTEM DINAMIK
POKOK BAHASAN
SDD
OTONOMUS
1-D
LINEAR NON-LINEAR
MULTI-D
LINEAR NON-LINEAR
NON-OTONOMUS
SISTEM OTONOMUS 1-D
Kestabilan
Solusi
Titik Tetap
SDD Otonomus Linear 1-D
Kestabilan
Linearisasi
Solusi Jika Ada
Titik Tetap
SDD Otonomus Non-Linear 1-D
SDD OTONOMUS LINEAR 1-D
𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏,
dengan
𝑛 = 0,1,2, …,
𝑥𝑛 ∈ ℝ, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
Bentuk Umum
SDD OTONOMUS LINEAR 1-D
Solusinya adalah
𝑥𝑛 = 𝑥0 −
𝑏
1 − 𝑎𝑎𝑛 +
𝑏
1 − 𝑎 , jika 𝑎 ≠ 1
𝑥0 + 𝑏𝑛 , jika 𝑎 = 1
Solusi Sistem
Diberikan SDD 𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏, dengan nilai awal 𝑥0.
SDD OTONOMUS LINEAR 1-D
Titik Tetap
Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏, adalah 𝑥∗ ∈ ℝ
sedemikian sehingga
𝑥∗ = 𝑎𝑥∗ + 𝑏,
diperoleh
𝑥∗ =
𝑏
1 − 𝑎, jika 𝑎 ≠ 1
𝑥0, jika 𝑎 = 1 dan 𝑏 = 0.
Untuk 𝑎 = 1 dan 𝑏 ≠ 0 titik tetap tidak ada.
SDD OTONOMUS LINEAR 1-D
Proposisi 1.
Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏 ada jika dan hanya jika
𝑎 ≠ 1 atau 𝑎 = 1 dan 𝑏 = 0 .
Proposisi 2.
Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏 tunggal jika dan hanya jika
𝑎 ≠ 1.
SDD OTONOMUS LINEAR 1-D
Kestabilan Titik Tetap
Titik tetap 𝑥∗ dari 𝑥𝑛+1 = 𝑓(𝑥𝑛) adalah:
• Stabil global (asimtotik) jika
lim𝑛→∞
𝑥𝑛 = 𝑥∗, ∀𝑥0 ∈ ℝ
• Stabil lokal (asimtotik) jika 𝑥∗ stabil lokal
dan
lim𝑛→∞
𝑥𝑛 = 𝑥∗.
Proposisi 3.
Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏, stabil global
jika dan hanya jika
𝑎 < 1
SDD OTONOMUS LINEAR 1-D
Contoh
1. 𝑥𝑛+1 =3
4𝑥𝑛 + 2
Solusi: 𝑥𝑛 =3
4
𝑛𝑥0 − 8 + 8
Titik Tetap: 𝑥∗ = 8
Kestabilan: 𝑎 =3
4< 1 → stabil
SDD OTONOMUS LINEAR 1-D
Contoh
2. 𝑥𝑛+1 = −2𝑥𝑛 + 2
Solusi: 𝑥𝑛 = −2 𝑛 𝑥0 −2
3+
2
3
Titik Tetap: 𝑥∗ =2
3
Kestabilan: 𝑎 = −2 > 1 → tak stabil
SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D
𝑥 𝑛+1 = 𝑓 𝑥 𝑛 , dengan 𝑛 = 0,1,2, … .
Bentuk Umum
Solusinya adalah
𝑥 1 = 𝑓 𝑥 0
𝑥 2 = 𝑓 𝑥 1 = 𝑓 𝑓 (𝑥 0) = 𝑓 2 𝑥 0
⋮ 𝑥 𝑛 = 𝑓 𝑛 𝑥 0
Solusi Sistem
Diberikan SDD 𝑥𝑛+1 = 𝑓 𝑥𝑛 dengan nilai awal 𝑥0.
SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D
Titik Tetap
Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝑓 𝑥𝑛 , adalah 𝑥∗ ∈ ℝ
sedemikian sehingga
𝑥∗ = 𝑓 𝑥∗ .
Linearisasi
Hasil linearisasi: 𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏,
dengan 𝑎 = 𝑓′ 𝑥∗ dan 𝑏 = 𝑓 𝑥∗ − 𝑓′ 𝑥∗ 𝑥∗
SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D
Kestabilan Titik Tetap
Proposisi 4.
Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝑓 𝑥𝑛 , stabil lokal di sekitar
titik tetap 𝑥∗ jika dan hanya jika
𝑓′(𝑥∗) < 1.
SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D
Contoh
𝑥𝑛+1 = 3𝑥𝑛 + 𝑥𝑛2 − 𝑥𝑛
3
Titik Tetap: 𝑥1∗ = 0 ∨ 𝑥2
∗ = −1 ∨ 𝑥3∗ = 2
Kestabilan:
𝑓′(𝑥1∗) = 𝑓′(0) = 3 > 1 → tidak stabil
𝑓′(𝑥2∗) = 𝑓′ −1 = −2 > 1 → tidak stabil
𝑓′(𝑥1∗) = 𝑓′(2) = −3 > 1 → tidak stabil
SISTEM OTONOMUS MULTI-D
Kestabilan
Solusi
Titik Tetap
SDD Otonomus Linear Multi-D
Kestabilan
Linearisasi
Solusi
Titik Tetap
SDD Otonomus Non-Linear Multi-D
dengan
𝑛 = 0,1,2, ….
Bentuk Umum
𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵, 𝑥 𝑛 ∈ ℝk
Titik Tetap
Titik tetap dari 𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵, adalah 𝑥 ∗ ∈ ℝ𝑘
sedemikian sehingga 𝑥 ∗ = 𝐴𝑥 ∗ + 𝐵, diperoleh
𝑥 ∗ = 𝐼 − 𝐴 −1𝐵, jika 𝐼 − 𝐴 ≠ 0.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Proposisi 5.
Titik tetap dari 𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵, tunggal jika dan hanya
jika 𝐼 − 𝐴 ≠ 0.
Solusinya adalah
𝑥 𝑛 = 𝐴𝑛 𝑥 0 − 𝐼 − 𝐴 −1𝐵 + 𝐼 − 𝐴 −1𝐵, jika 𝐼 − 𝐴 ≠ 0.
atau
𝑥 𝑛 = 𝐴𝑛 𝑥 0 − 𝑥 ∗ + 𝑥 ∗.
Solusi Sistem
Diberikan SDD 𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵, dengan nilai awal 𝑥 0.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Lemma 1. Jika matriks 𝐴𝑛×𝑛 mempunyai 𝑛 nilai
eigen real berbeda 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛 maka ada matriks
non singular 𝑄𝑛×𝑛 sedemikian sehingga
𝐴 = 𝑄𝐷𝑄−1,
di mana 𝐷 matriks diagonal
𝐷 =
𝜆1 0 ⋯ 00⋮0
𝜆2⋮0
⋯⋱⋯
00𝜆𝑛
,
𝑄 = 𝑣 1𝑣 2⋯𝑣 𝑛 dan 𝐴𝑣 𝑖 = 𝜆𝑖𝑣 𝑖, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Proposisi 6.
Sistem persamaan beda linear orde pertama non-
homogen
𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵,
dapat ditransformasi ke sistem persamaan beda linear
orde pertama homogen
𝑧 𝑛+1 = 𝐴𝑧 𝑛,
di mana 𝑧 𝑛 ≡ 𝑥 𝑛 − 𝑥 ∗ dan 𝑥 ∗ = 𝐼 − 𝐴 −1𝐵.
Proposisi 6.
Sistem persamaan beda linear orde pertama non-
homogen
𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵,
dapat ditransformasi ke sistem persamaan beda
linear orde pertama homogen
𝑧 𝑛+1 = 𝐴𝑧 𝑛,
di mana 𝑧 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑥 ∗ dan 𝑥 ∗ = 𝐼 − 𝐴 −1𝐵.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Proposisi 7.
Solusi dari sistem persamaan beda linear orde pertama
non-homogen
𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵,
adalah
𝑥 𝑛 = 𝑄𝐷𝑛𝑄−1 𝑥 0 − 𝑥 ∗ + 𝑥 ∗,
di mana 𝐷 adalah Jordan Matriks yang bersesuaian
dengan 𝐴.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Kasus 2 (Nilai Eigen Real Kembar)
Contoh
1. Uncoupled System
𝑥𝑛+1 = 2𝑥𝑛,
𝑦𝑛+1 = 2𝑦𝑛,
di mana 𝑥 0 = 𝑥0, 𝑦0 .
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
2. Coupled System
𝑥𝑛+1 = 2𝑥𝑛 − 𝑦𝑛,
𝑦𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 4𝑦𝑛,
di mana 𝑥 0 = 𝑥0, 𝑦0 .
dengan
𝑛 = 0,1,2, ….
Bentuk Umum
𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵
Titik Tetap
Titik tetap dari 𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵, adalah 𝑥 ∗ ∈ ℝ
sedemikian sehingga 𝑥 ∗ = 𝐴𝑥 ∗ + 𝐵, diperoleh
𝑥 ∗ = 𝐼 − 𝐴 −1𝐵, jika 𝐼 − 𝐴 ≠ 0.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Kasus 3 (Nilai Eigen Kompleks Berbeda)
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Lemma 3. Jika matriks 𝐴𝑘×𝑘 mempunyai 𝑘 2 nilai eigen
kompleks berbeda 𝜇1, 𝜇 1, 𝜇2, 𝜇 2, ⋯ , 𝜇𝑘 2 , 𝜇 𝑘 2
dimana 𝜇𝑗 ≡ 𝛼𝑗 + 𝑖𝛽𝑗 dan 𝜇 𝑗 ≡ 𝛼𝑗 − 𝑖𝛽𝑗, maka ada matriks
non singular 𝑄𝑘×𝑘 sedemikian sehingga
𝐴 = 𝑄𝐷𝑄−1,
di mana 𝐷 matriks blok
𝐷 =
𝛼1 −𝛽1𝛽1 𝛼1
0 00 0
0 00 0
𝛼2 −𝛽2𝛽2 𝛼2
… …⋯ ⋯… …… …
0 00 00 00 0
⋱ ⋱⋱ ⋱
0 00 0
0 00 0
0 00 0
… …… …
𝛼𝑛 2 −𝛽𝑛 2
𝛽𝑛 2 𝛼𝑛 2
,
𝑄 = 𝑣 1𝑤 1⋯𝑣 𝑖𝑤 𝑖 dan 𝐴𝑄 = 𝑄𝐷, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑘.
Kemudian jika blok pertama pada matriks blok D diubah
dalam bentuk koordinat polar dimana 𝛼𝑗 = 𝑟𝑗 cos 𝜃𝑗 dan
𝛽𝑗 = 𝑟𝑗 sin 𝜃𝑗, maka :
𝛼𝑗 −𝛽𝑗𝛽𝑗 𝛼𝑗
= 𝑟𝑗cos 𝜃𝑗 −sin 𝜃𝑗sin 𝜃𝑗 cos 𝜃𝑗
Lemma 6
𝑟𝑗cos 𝜃𝑗 −sin 𝜃𝑗sin 𝜃𝑗 cos 𝜃𝑗
𝑛
= 𝑟𝑗𝑛cos 𝑛𝜃𝑗 −sin 𝑛𝜃𝑗sin 𝑛𝜃𝑗 cos 𝑛𝜃𝑗
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Teorema 3
Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝐴𝑥𝑛 + 𝐵 dengan 𝐴 mempunyai 𝑘 2
pasang 𝜇1, 𝜇 1, 𝜇2, 𝜇 2, ⋯ , 𝜇𝑘 2 , 𝜇 𝑘 2 nilai eigen imajiner yang
berbeda, dimana 𝜇𝑗 ≡ 𝛼𝑗 + 𝑖𝛽𝑗 dan 𝜇 𝑗 ≡ 𝛼𝑗 − 𝑖𝛽𝑗 stabil global
(asimtotik) jika dan hanya jika
𝑟𝑗 ≡ 𝛼𝑗2 + 𝛽𝑗
2 1 2 < 1, ∀𝑗 = 1,2,⋯ , 𝑘 2
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Diagram Phase
Sistem
𝑥𝑛+1 = 𝛼𝑥𝑛 − 𝛽𝑦𝑛
𝑦𝑛+1 = 𝛽𝑥𝑛 + 𝛼𝑦𝑛
mempunyai variasi perilaku bergantung pada nilai
𝑟.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Orbit Periodik : 𝒓 = 𝟏
Spiral Masuk : 𝒓 < 𝟏
Spiral Keluar : 𝒓 > 𝟏
Searah Jarum Jam Berlawanan Arah Jarum Jam
Searah Jarum Jam
Searah Jarum Jam
Berlawanan Arah Jarum Jam
Berlawanan Arah Jarum Jam
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Orbit Periodik : 𝒓 = 𝟏
Orbit periodik berlawanan arah jarum jam
Misalkan 𝑟 = 1, 𝛽 = 1 dan nilai awal 𝑥0, 𝑦0 = 1,0 .
Berdasarkan persamaan di atas, diperoleh 𝑥1, 𝑦1 = 0,1 ,
𝑥2, 𝑦2 = −1,0 , 𝑥3, 𝑦3 = 0,−1 , dan 𝑥4, 𝑦4 = 1,0 .
Terlihat bahwa sistem berbentuk orbit periodik dan
berlawanan arah jarum jam.
𝑥𝑛+1 = 𝛼𝑥𝑛 − 𝛽𝑦𝑛
𝑦𝑛+1 = 𝛽𝑥𝑛 + 𝛼𝑦𝑛
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Orbit Periodik : 𝒓 = 𝟏
Orbit periodik searah arah jarum jam
Misalkan 𝑟 = 1, 𝛽 = −1 dan nilai awal 𝑥0, 𝑦0 = 1,0 .
Berdasarkan persamaan di atas, diperoleh
𝑥1, 𝑦1 = 0,−1 , 𝑥2, 𝑦2 = −1,0 , 𝑥3, 𝑦3 = 0, 1 , dan
𝑥4, 𝑦4 = 1,0 . Terlihat bahwa sistem berbentuk orbit
periodik dan searah jarum jam. Sebagai catatan, 𝛼
menentukan arah pergerakan.
𝑥𝑛+1 = 𝛼𝑥𝑛 − 𝛽𝑦𝑛
𝑦𝑛+1 = 𝛽𝑥𝑛 + 𝛼𝑦𝑛
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Contoh
1. Uncoupled System
𝑥𝑛+1 = 2𝑥𝑛,
𝑦𝑛+1 = 0.5𝑦𝑛,
di mana 𝑥 0 = 𝑥0, 𝑦0 .
Kasus 1 (Nilai Eigen Real Berbeda)
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
2. Coupled System
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 0.5𝑦𝑛,
𝑦𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 1.5𝑦𝑛,
di mana 𝑥 0 = 𝑥0, 𝑦0 .
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Contoh
1. 𝒓 = 𝟏, 𝜷 > 𝟎
𝑥𝑛+1 = 𝑦𝑛,
𝑦𝑛+1 = −𝑥𝑛,
di mana 𝑥 0 = 𝑥0, 𝑦0 .
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Contoh 1
𝐴 =0 1−1 0
𝜆𝐼 − 𝐴 = 0
𝜆 −11 𝜆
= 0
𝜆2 + 1 = 0
𝜆2 = −1
𝜆1,2 = ±𝑖
𝜇1 = 𝑖 𝜇 1 = −𝑖
𝜆 = 𝑖
𝑖 −11 𝑖
𝑏1 ↔ 𝑏2 1 𝑖𝑖 −1
𝑖𝑏1 + 𝑏2 1 𝑖0 0
𝑤 =𝑖−1
=0−1
+ 𝑖10
𝑄 =0 1−1 0
𝑄−1 =0 −11 0
𝜇1 = 𝑖 𝜇 1 = −𝑖 maka 𝛼 = 0, 𝛽 = 1
𝜃 = tan−1𝛽
𝛼= tan−1∞ = 90
𝑟 = 𝛼2 + 𝛽2 = 0 + 1 = 1
𝑥𝑛+1 = 𝑦𝑛,
𝑦𝑛+1 = −𝑥𝑛,
𝑥 0 = 𝑥0, 𝑦0
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
𝐷𝑛 = 1𝑛cos 90𝑛 − sin 90𝑛sin 90𝑛 cos 90𝑛
=cos 90𝑛 − sin 90𝑛sin 90𝑛 cos 90𝑛
𝑥 𝑛 = 𝑄𝐷𝑛𝑄−1𝑥 0
=0 1−1 0
1cos 90𝑛 − sin 90𝑛sin 90𝑛 cos 90𝑛
0 −11 0
𝑥0𝑦0
=cos 90𝑛 − sin 90𝑛sin 90𝑛 cos 90𝑛
𝑥0𝑦0
𝑥𝑛+1 = 𝑦𝑛,
𝑦𝑛+1 = −𝑥𝑛,
𝑥 0 = 𝑥0, 𝑦0
𝑥𝑛 = 𝑥0 cos 90𝑛 − 𝑦0 sin 90𝑛
𝑦𝑛 = 𝑥0 sin 90𝑛 + 𝑥0 cos 90𝑛
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
2. 𝒓 > 𝟏, 𝜷 > 𝟎
𝑥𝑛+1 = −𝑥𝑛 + 𝑦𝑛,
𝑦𝑛+1 = −𝑥𝑛 − 𝑦𝑛,
di mana 𝑥 0 = 𝑥0, 𝑦0 .
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Contoh 2
𝐴 =−1 1−1 −1
𝜆𝐼 − 𝐴 = 0
𝜆 + 1 −11 𝜆 + 1
= 0
(𝜆 + 1)2+1 = 0
𝜆2 + 2𝜆 + 2 = 0
𝜆1,2 = −1 ± 𝑖
𝜇1 = −1 + 𝑖
𝜇 1 = −1 − 𝑖
𝜆 = 𝑖
𝑖 −11 𝑖
𝑏1 ↔ 𝑏2 1 𝑖𝑖 −1
𝑖𝑏1 + 𝑏2 1 𝑖0 0
𝑤 =𝑖−1
=0−1
+ 𝑖10
𝑄 =0 1−1 0
𝑄−1 =0 −11 0
𝜇1 = −1 + 𝑖, 𝜇 1 = −1 − 𝑖
maka 𝛼 = −1, 𝛽 = 1
𝜃 = tan−1𝛽
𝛼= tan−1−1 = 135
𝑟 = 𝛼2 + 𝛽2 = 1 + 1 = 2
𝑥𝑛+1 = −𝑥𝑛 + 𝑦𝑛,
𝑦𝑛+1 = −𝑥𝑛 − 𝑦𝑛,
𝑥 0 = 𝑥0, 𝑦0
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
𝐷𝑛 = 2𝑛 cos 135𝑛 − sin 135𝑛
sin 135𝑛 cos 135𝑛=
cos 135𝑛 − sin 135𝑛sin 135𝑛 cos 135𝑛
𝑥 𝑛 = 𝑄𝐷𝑛𝑄−1𝑥 0
=0 1−1 0
2𝑛 cos 135𝑛 − sin 135𝑛
sin 135𝑛 cos 135𝑛0 −11 0
𝑥0𝑦0
= 2𝑛 cos 135𝑛 − sin 135𝑛
sin 135𝑛 cos 135𝑛
𝑥0𝑦0
𝑥𝑛 = 2𝑛𝑥0 cos 135𝑛 − 2
𝑛𝑦0 sin 135𝑛
𝑦𝑛 = 2𝑛𝑥0 sin 135𝑛 + 2
𝑛𝑥0 cos 135𝑛
𝑥𝑛+1 = −𝑥𝑛 + 𝑦𝑛,
𝑦𝑛+1 = −𝑥𝑛 − 𝑦𝑛,
𝑥 0 = 𝑥0, 𝑦0
dengan
𝑛 = 0,1,2, ….
Bentuk Umum
𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵
Titik Tetap
Titik tetap dari 𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵, adalah 𝑥 ∗ ∈ ℝ
sedemikian sehingga 𝑥 ∗ = 𝐴𝑥 ∗ + 𝐵, diperoleh
𝑥 ∗ = 𝐼 − 𝐴 −1𝐵, jika 𝐼 − 𝐴 ≠ 0.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Kasus 4 (Nilai Eigen Kompleks Kembar)
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Lemma 4. Jika matriks 𝐴𝑘×𝑘 mempunyai 𝑘 2 nilai eigen
kompleks kembar, 𝜇, 𝜇 , 𝜇, 𝜇 , ⋯ , 𝜇, 𝜇
dimana 𝜇 ≡ 𝛼 + 𝑖𝛽 dan 𝜇 ≡ 𝛼 − 𝑖𝛽, maka ada matriks non
singular 𝑄𝑘×𝑘 sedemikian sehingga
𝐴 = 𝑄𝐷𝑄−1,
di mana 𝐷 matriks diagonal
𝐷 =
𝛼 −𝛽𝛽 𝛼
0 00 0
1 00 1
𝛼 −𝛽𝛽 𝛼
… …⋯ ⋯… …… …
0 00 00 00 0
0 00 0
1 00 1
⋱ ⋱⋱ ⋱
0 00 0
0 00 0
0 00 0
… …… …
𝛼 −𝛽𝛽 𝛼
,
𝑄 = 𝑣 𝑤 ⋯𝑣 𝑤 dan 𝐴𝑄 = 𝑄𝐷, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
𝐷𝑛 =
𝑟𝑛 cos𝑛𝜃 −𝑟𝑛 sin 𝑛𝜃𝑟𝑛 sin 𝑛𝜃 𝑟𝑛 cos𝑛𝜃
0 00 0
𝑛𝑟𝑛−1 cos 𝑛 − 1 𝜃 −𝑛𝑟𝑛−1 sin 𝑛 − 1 𝜃
𝑛𝑟𝑛−1 sin 𝑛 − 1 𝜃 𝑛𝑟𝑛−1 cos 𝑛 − 1 𝜃𝑟𝑛 cos𝑛𝜃 −𝑟𝑛 sin 𝑛𝜃𝑟𝑛 sin 𝑛𝜃 𝑟𝑛 cos𝑛𝜃
… …⋯ ⋯… …… …
0 00 00 00 0
𝑛 𝑛 − 1 𝑟𝑛−2 cos 𝑛 − 2 𝜃
2!−𝑛 𝑛 − 1 𝑟𝑛−2 sin 𝑛 − 2 𝜃
2!𝑛 𝑛 − 1 𝑟𝑛−2 sin 𝑛 − 2 𝜃
2!
𝑛 𝑛 − 1 𝑟𝑛−2 cos 𝑛 − 2 𝜃
2!
𝑛𝑟𝑛−1 cos 𝑛 − 1 𝜃 −𝑛𝑟𝑛−1 sin 𝑛 − 1 𝜃
𝑛𝑟𝑛−1 sin 𝑛 − 1 𝜃 𝑛𝑟𝑛−1 cos 𝑛 − 1 𝜃
⋱ ⋱⋱ ⋱
0 00 0
⋮ ⋮⋮ ⋮
⋮ ⋮⋮ ⋮
… …… …
𝑟𝑛 cos 𝑛𝜃 −𝑟𝑛 sin 𝑛𝜃𝑟𝑛 sin 𝑛𝜃 𝑟𝑛 cos𝑛𝜃
,
𝑥𝑛+1 = 𝑟𝑛−𝑘𝑛𝑘
cos 𝑛 − 𝑘 𝜃𝑥0 − sin 𝑛 − 𝑘 𝜃𝑦0𝑛−1
𝑘=0
𝑦𝑛+1 = 𝑟𝑛−𝑘𝑛𝑘
sin 𝑛 − 𝑘 𝜃𝑥0 − cos 𝑛 − 𝑘 𝜃𝑦0𝑛−1
𝑘=0
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Teorema 4
Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝐴𝑥𝑛 + 𝐵 dengan 𝐴 mempunyai 𝑘 2 pasang
𝜇, 𝜇 , 𝜇, 𝜇 ,⋯ , 𝜇, 𝜇 nilai eigen imajiner kembar, dimana 𝜇 ≡ 𝛼 + 𝑖𝛽
dan𝜇 ≡ 𝛼 − 𝑖𝛽 stabil global jika dan hanya jika
𝑟𝑗 ≡ 𝛼𝑗2 + 𝛽𝑗
2 1 2 < 1, ∀𝑗 = 1,2,⋯ , 𝑘 2
SDD OTONOMUS NON-LINEAR
MULTI-D
𝑥 𝑛+1 = 𝑓 𝑥 𝑛 , dengan 𝑛 = 0,1,2, … .
Bentuk Umum
Solusinya adalah
𝑥 1 = 𝑓 𝑥 0
𝑥 2 = 𝑓 𝑥 1 = 𝑓 𝑓 (𝑥 0) = 𝑓 2 𝑥 0
⋮ 𝑥 𝑛 = 𝑓 𝑛 𝑥 0
Solusi Sistem
Diberikan SDD 𝑥𝑛+1 =, 𝑓 𝑥𝑛 dengan nilai awal 𝑥0.
SDD OTONOMUS NON-LINEAR
MULTI-D Titik Tetap
Titik tetap dari 𝑥 𝑛+1 = 𝑓 𝑥 𝑛 , adalah 𝑥∗ ∈ ℝ
sedemikian sehingga
𝑥 ∗ = 𝑓 𝑥 ∗ .
Linearisasi
Hasil linearisasi: 𝑥 𝑛+1 = 𝑈𝑥 𝑛 + 𝑉,
dengan 𝑈 = 𝑓 ′ 𝑥 ∗ dan 𝑉 = 𝑓 𝑥 ∗ − 𝑓 ′ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗
Kestabilan
Sama seperti SDD Linear Multi-D
SDD Linear 1D
Bentuk: 𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏
Titik Tetap: 𝑥∗ =𝑏
1−𝑎
Titik tetap 𝑥∗ stabil global ⟺ 𝑎 < 1
SDD Non-Linear 1D
Bentuk: 𝑥𝑛+1 = 𝑓 𝑥𝑛
Titik Tetap: 𝑥∗ = 𝑓 𝑥∗
Titik tetap 𝑥∗ stabil lokal ⟺ 𝑓′ 𝑥∗ < 1
KESIMPULAN
KESIMPULAN
SDD Linear Multi-D
Bentuk: 𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵
Titik Tetap: 𝑥 ∗ = 𝐼 − 𝐴 −1𝐵
Kestabilan untuk kasus 2-D:
Nilai Eigen Positif
• Stabil: 0 < 𝜆1 < 𝜆2 < 1.
• Saddle: 0 < 𝜆1 < 1 < 𝜆2.
• Source: 1 < 𝜆1 < 𝜆2
1. Nilai Eigen Berbeda
Nilai Eigen Negatif
• Stabil (Osilasi Konvergen) : −1 < 𝜆1 < 𝜆2 < 0.
• Saddle (Osilasi Konvergen/Divergen) : 𝜆1 < −1 < 𝜆2 < 0.
• Source (Osilasi Divergen) : 𝜆1 < 𝜆2 < −1
• Fokus (Stabil): 0 < 𝜆1 = 𝜆2 < 1.
• Fokus (Osilasi Konvergen): −1 < 𝜆1 = 𝜆2 < 0.
• Improper (Stabil): 0 < 𝜆 < 1.
• Improper (Source): 𝜆 > 1.
• Continuum Unstable: 𝜆 = 1.
2. Nilai Eigen Kembar
KESIMPULAN
KESIMPULAN
• Periodik Tertutup: 𝑟 = 1.
1. 𝛽 > 0 Berlawanan Arah Jarum Jam
2. 𝛽 < 0 Searah Jarum Jam
• Spiral Masuk (Stabil Asimtotik) : 𝑟 < 1.
1. 𝛽 > 0 Berlawanan Arah Jarum Jam
2. 𝛽 < 0 Searah Jarum Jam
• Spiral Keluar (Tak Stabil) : 1 < 𝑟. 1. 𝛽 > 0 Berlawanan Arah Jarum Jam
2. 𝛽 < 0 Searah Jarum Jam
3. Nilai Eigen Kompleks
SDD Non-Linear Multi-D
Bentuk: 𝑥 𝑛+1 = 𝑓 𝑥 𝑛
Titik Tetap: 𝑥 ∗ = 𝑓 𝑥 ∗
Kestabilan titik tetap 𝑥 ∗ sama seperti SDD Linear Multi-D
KESIMPULAN