1

APLIKASI PROGRAM LINEAR DALAM MASALAH ALOKASI DENGANMENGGUNAKAN PROGRAM DINAMIK

Erlia Sri Wijayanti

ABSTRAK

Dalam permasalahan sehari-hari, kita sering menggunakan salah satu cabang ilmu dalammatematika yaitu riset operasi yang berhubungan dengan prinsip optimisasi. Secara umumoptimisasi adalah pencapaian suatu keadaan yang terbaik, misalnya memaksimumkan keuntunganatau meminimumkan biaya. Salah satu pendekatan yang dapat digunakan untuk memecahkanmasalah optimisasi adalah metode program linear. Permasalahan umum dalam program lineardapat dirumuskan sebagai model program dinamik. Dalam penelitian ini, untuk mencaripenyelesaian yang optimal dalam program linear pada permasalahan alokasi sumber daya yangterbatas yaitu dengan menggunakan teknik program dinamik. Dalam program dinamik masalahdibagi menjadi bagian-bagian masalah yang lebih kecil, sehingga lebih mudah dalam mengevaluasimasalah tersebut. Program dinamik juga dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahanprogram linear lebih dari 2 variabel. Tetapi dalam program dinamik tidak mempunyai rumusanmatematika yang baku, perumusan masalahnya masih samar, sehingga menurut penghitungan halitu tidak layak untuk beberapa masalah karena walaupun suatu masalah dapat diuraikan secarabenar, pemecahan numerik tetap tidak dapat dicapai karena kerumitan proses optimisasi padatiap-tiap tahap. Selain itu tidak adanya program komputer yang umum dari masalah programdinamik.

Kata Kunci : Masalah Alokasi Sumber Daya yang Terbatas, Program Linear, Program Dinamik

PENDAHULUANA. Latar BelakangDalam kehidupan sehari-hari, ilmu

yang berhubungan dengan riset operasitelah banyak digunakan dan diterapkanoleh manusia. Menurut Taha (1996:1),riset operasi merupakan metode untukmerumuskan permasalahan sehari-harike dalam bentuk model matematika agarmendapatkan hasil yang optimal. Salahsatu masalah optimisasi tersebut adalahmengalokasikan sumber daya yangterbatas seperti lahan, waktu, biaya,modal, tenaga kerja, dsb agar mampumendapatkan hasil yang optimal.Mendapatkan hasil yang optimal dapatberarti meminimumkan sesuatu yangmerugikan atau memaksimumkansesuatu yang menguntungkan. Salahsatu metode yang digunakan untukmenyelesaikan permasalahan alokasitersebut adalah metode program linear.

Program linear merupakan suatuteknik perencanaan yang menggunakanmodel matematika dengan tujuanmenemukan beberapa alternatif daripemecahan masalah yang kemudian

dipilih mana yang terbaik untukmenyusun strategi dan langkah-langkahkebijakan tentang alokasi sumber dayayang terbatas agar mencapai tujuan atausasaran yang diinginkan secara optimaldengan melibatkan variabel-variabellinear (Ernawati, 2009:1).

Ada beberapa metode untukmencari penyelesaian optimal padamasalah program linear, yaitu metodegrafik, metode simpleks, metodesimpleks dua tahap, metode titikinterior, dan sebagainya. Dalampenelitian ini, penulis menyelesaikanmasalah program linear denganmenggunakan teknik program dinamik.

Program dinamik adalah suatuteknik matematika yang digunakanuntuk mengoptimalkan proses pengam-bilan keputusan secara bertahap(Siagian, 1987: 238). Prosedurpemecahan permasalahan dalamprogram dinamik dilakukan secararekursif. Hal ini berarti bahwa dalammengambil keputusan kita harusmemperhatikan keadaan yang dihasilkanoleh keputusan sebelumnya. Sehingga

2

hasil dari suatu keputusan (solusi) padasuatu tahap akan mempengaruhikeputusan tahap berikutnya.

Dalam penelitian ini, penulismenggunakan teknik program dinamikuntuk menyelesaikan masalah programlinear. Karena masalah program linearsecara umum dapat dirumuskan sebagaisebuah model program dinamik apalagidalam permasalahan alokasi sumberdaya yang terbatas. Selain itu, selamapenulis melakukan studi matematika,penulis hanya dapat menyelesaikanmasalah program linear denganmenggunakan metode simpleks danmetode grafik. Penulis juga inginmenambah pustaka bagi mahasiswaProgram Studi Matematika denganmemperkenalkan alternatif metode lainuntuk menyelesaikan masalah programlinear tersebut.

B. Rumusan MasalahMasalah dalam penelitian ini

dirumuskan sebagai berikut:Bagaimana cara mencari penyelesaianyang optimal dalam permasalahanalokasi sumber daya yang terbatasdengan menggunakan teknik programdinamik?

C. Tujuan PenelitianTujuan penelitian ini adalah

mengetahui cara mencari penyelesaianyang optimal dalam permasalahanalokasi sumber daya yang terbatasdengan menggunakan teknik programdinamik.

D. Batasan MasalahBatasan-batasan permasalahan yang

dibahas pada penelitian ini, yaitu:1. Masalah yang dibahas

hanya dalam masalahalokasi sumber dayayang terbatas.

2. Penyelesaian masalahmengguna- kan programdinamik denganm e n g g u n a k a n

pendekatan rekursifmundur.

E. Manfaat PenelitianManfaat yang diperoleh dari

penelitian ini, yaitu:1. Bagi penulis

a. Dapat memperkaya wawasandan pengetahuan dalampenerapan program dinamik.

b. Dapat digunakan sebagai saranauntuk mengetahui kemampuandan kreativitas keilmuan dalammencari penyelesaianpermasalahan alokasi sumberdaya yang terbatas.

2. Bagi pihak lainUntuk menambah pustakamengenai cara mendapatkan hasilyang optimal dalam alokasi sumberdaya yang terbatas denganalternatif metode yang lain yaitudengan menggunakan teknikprogram dinamik.

KAJIAN PUSTAKAA. Program Linear

1. Definisi Program LinearProgram Linear adalah suatu

teknik riset operasi yang digunakandalam menentukan alokasi sumberdaya alam yang terbatas dengan carayang optimal untuk mencapai suatutujuan yaitu memaksimumkankeuntungan dan meminimumkanbiaya.

2. Model Program LinearSecara matematis bentuk baku

atau bentuk program linear secaraumum adalah sebagai berikut:(Susanta, 1994: 6)

Maksimumkan atau minimumkan

dengan kendala:

Untuk ,

dimana: : fungsi tujuan : koefisien fungsi tujuan ke-j

3

: variabel keputusan ke-j : koefisien fungsi kendala ke-i

untuk variabel ke-j : konstanta/suku tetap ke-i

3. Penyelesaian ProgramLinear dengan MetodeGrafik

Salah satu metode yangdigunakan untuk menyelesaikanpermasalahan optimasi dalam programlinear adalah metode grafik. Metodegrafik menggunakan grafik kendalasebagai alat untuk mencari titikoptimum. Metode ini relatif mudahdikerjakan, tetapi banyaknya variabelkeputusan hanya dua variabel saja.Variabel keputusan dalam modelprogram linear menyatakan dimensiruang.

Langkah-langkah penyelesaianprogram linear dengan metode grafiksebagai berikut:

1. Buat model matematikayang sesuai denganmasalah program linearyang ada.

2. Gambarkan sebuahbidang koordinatdengan keduavariabelnya sebagaisumbu koordinat.

3. Ubahlah masing-masingpertidaksamaan padafungsi kendala menjadipersamaan. Kemudiangambarkan grafikpersamaan fungsikendala tersebut.

4. Tentukan daerah dalamgrafik yang memenuhisemua kendala, daerahini disebut daerahf i s i b e l / d a e r a hpenyelesaian.

5. Tentukan koordinattitik-titik sudut daerahfisibel. Dan himpunantitik-titik sudut daridaerah fisibel tersebutdisebut titik verteks.

6. Hitung nilai fungsi dititik-titik sudut daerahfisibel tersebut.

7. Cari titik yangmenghasilkan nilaifungsi tujuan yangpaling optimal sebagaipenyelesaian masalah.

B. Masalah Alokasi SumberDaya yang Terbatas

Model alokasi dalam permasalahanprogram linear merupakan aplikasi yangpaling praktis. Semua model alokasibiasanya mencoba untuk mengalokasi-kan suatu sumber daya yang terbatassupaya mengoptimalkan hasil darialokasi itu. Sumber daya yang terbatasitu dapat berupa lahan, bahan baku,tenaga kerja, mesin, modal, waktu, danlain lain. Alokasi ini dilakukan untukmemaksimalkan laba atau memperkecilbiaya, atau mengoptimalkanukuran-ukuran efisiensi lain yangditetapkan oleh keputusan pembuat.

C. Program DinamikProgram dinamik adalah suatu

teknik matematika yang digunakanuntuk mengoptimalkan prosespengambilan keputusan secarabertahap-ganda. Dalam teknik ini,keputusan yang menyangkut suatupersoalan dioptimalkan secara bertahaptidak sekaligus. Dengan kata lain,metode program dinamik ini membagisuatu persoalan menjadi beberapabagian persoalan yang lebih kecil agarlebih mudah mencari solusinya (Siagian,1987: 238).

Dalam program dinamik,bagian-bagian persoalan disebut sebagaitahap (stage). Tiap tahap dipecahkandengan mengoptimalkan keputusan tiaptahap sampai seluruh tahap terpecahkan,dimana hasil tiap keputusan tergantungpada hasil keputusan sebelumnya.

1. Pendekatan PenyelesaianMasalah Secara Rekursif

4

Perhitungan pada tahap yangberbeda-beda dihubungkan melaluiperhitungan rekursif dengan caramenghasilkan keputusan optimal yangmungkin bagi seluruh masalah. Untukmenyelesaikan persoalan programdinamik harus dilakukan denganformat yang seragam untuk semuatahap. Artinya tiap perolehan harusdiperoleh dari perolehan sebelumnya.Ada dua penyelesaian masalah secararekursif, yaitu penyelesaian persamaanrekursif maju dan rekursif mundur.

a. Persamaan Rekursif MajuPermasalahan dalam program

dinamik diselesaikan denganmenghitung terlebih dahulu, laludilanjutkan menghitung , sampaidengan . Cara perhitungan seperti inidisebut dengan persamaan rekursifmaju. Perhitungan dilakukan denganurutan sebagai berikut:

dimana merupakan fungsi awal danmerupakan fungsi akhir.Secara matematis persamaan rekursifmaju dirumuskan sebagai berikut:

Dimana : nilai optimal dari tahap

1, 2, 3, ..., j jika keadaan : pendapatan alternatif

pada tahap ke-j : harga alternatif pada

tahap ke-j

b. Persamaan RekursifMundur

Kebalikan dari persamaanrekursif maju, dalam persamaanrekursif mundur permasalahan dalamprogram dinamik diselesaikandengan menghitung terlebih dahulu,lalu dilanjutkan menghitung , danberakhir di . Perhitungan dilakukandengan urutan sebagai berikut:

Secara matematis persamaan rekursifmundur dirumuskan sebagai berikut:

Dimana : nilai optimal tahap j, j+1, j+2, ..., n

jika keadaan : pendapatan alternatif pada

tahap ke-j : harga alternatif pada

tahap ke-j

2. L a n g k a h - L a n g k a hPenyelesaian Program Lineardengan Program Dinamik

Untuk menyelesaikan masalahprogram linear dengan programdinamik didefinisikan:

: banyaknya sumber jenis 1 yangdialokasikan pada tahap j,j+1,...,n

: banyaknya sumber jenis 2 yangdialokasikan pada tahap j,j+1,...,n

: banyaknya sumber jenis m yangdialokasikan pada tahap j,j+1,...,n

Oleh karena itu,

Dan

Yang dijabarkan menjadi:

Langkah-langkah penyelesaiannyaadalah:Tahap nHitung harga

Karena

5

Maka

Selanjutnya dicari:

Tahap n-1Hitung harga

Dimana:

Selanjutnya dicari:

Tahap n-jHitung harga

Dimana:

Selanjutnya dicari:

Tahap 1Hitung harga

Dimana:

Selanjutnya dicari:

PEMBAHASANA. Model Alokasi Portofolio

1. Seorang investormempunyai modal sebesarRp1.000.000,00. Dia inginmenanamkan modalnyadalam obligasi dan saham.

Tingkat bunga, faktorresiko dan ekspektasipeningkatan nilai investasiditunjukkan tabel berikut:

6

Tabel 3.1 Jenis Investasi, Tingkat Bunga, Faktor Resiko dan Ekspektasi PeningkatanNilai Investasi

Jenisinvestasi

Bunga(dalam %, tiap tahun) Faktor resiko Nilai peningkatan

ekspektasi tahunanObligasi 5 % 3 0 %Saham 2 % 10 7 %

Tujuannya adalah untukmemaksimalkan keuntunganinvestasinya dalam 1 tahun, dengankendala sebagai berikut:

a. Total jumlah uangy a n gd i i n ve s t a s i ka n ,sedikitnya 30%d i i n v e s t a s i k a ndalam obligasi dantidak lebih dari10% saham.

b. Rata-rata faktorresiko investasitidak lebih dari 4.

Penyelesaian:Kita asumsikan:

: besar uang yang dialokasikanuntuk investasi obligasi

: besar uang yang dialokasikanuntuk investasi saham

Model umum Program linear adalah:Fungsi tujuan:

Maksimumkan

Kendala:

Kendala dapat ditulis sebagai berikut:

Karena ada 4 sumber keadaan modelprogram dinamik, sehingga dapatdigambarkan dengan 4 variabel.Misalkan menggam- barkan keadaanpada tahap j (j=1, 2).Tahap 2

Dimana:

Dan,

Tahap 1

Karena ini tahap terakhir, maka

Jadi,

Sehingga

Oleh karena itu, untuk menghitungdiperlihatkan pada grafik keempat garislurus berikut:

7

Gambar 3.1 Grafik Penyelesaian Program Linear

Dari grafik absis dari titik A, B dan Cadalah 300.000, dan 900.000, sehinggapada grafik tersebut terlihat bahwa:

Maka

Untuk kisaran yang telah ditentukan,maka

Yang dicapai pada

Jadi solusi masalah di atas adalah

Jadi, investor tersebut akanmendapatkan keuntungan investasimaksimal sebesar Rp55.714, 2857 jikauang yang dialokasikan untuk obligasisebesar Rp857.142, 8571 dan untuksaham sebesar Rp142.857, 1429.

2. Seseorang mempunyaimodal sebesarRp1.000.000,00. Modaltersebut dibagi menjadi 3bagian. Modal pertamadibungakan dengan bungatunggal sebesar 3% tiapbulan, selama 10 bulan.Modal kedua dibungakandengan bunga tunggal

sebesar 5% tiap bulan,selama 20 bulan dan modalketiga dibungakan denganbunga tunggal sebesar 4%tiap bulan, selama 15bulan. Jumlah modal keduadan ketiga paling banyakRp750.000,00. Berapabesar masing-masing modalyang dibungakan, supayadiperoleh bungasebanyak-banyaknya?

Penyelesaian:Kita asumsikan:

: besar modal pertama yang akandialokasikan

: besar modal kedua yang akandialokasikan

: besar modal ketiga yang akandialokasikan

Model umum Program linear adalah :Fungsi tujuan:

Maksimumkan

Kendala:

Karena ada 2 sumber keadaan modelprogram dinamik, sehingga dapatdigambarkan dengan 2 variabel.Misalkan menggambarkan keadaanpada tahap j (j=1, 2, 3).Tahap 3

Dimana

8

Dan

Tahap 2

Dimana

Dan

Tahap 1

Karena ini tahap terakhir, maka

Jadi,

Sehingga

Oleh karena itu, untuk menghitungdiperlihatkan pada grafik kedua garislurus berikut:

9

10

11

12

13

Gambar 3.2 Grafik Penyelesaian Program Linear

Dari grafik di atas, absis dari titik Aadalah 250.000, sehingga pada grafiktersebut terlihat bahwa:

Maka

Untuk kisaran yang telah ditentukan,maka

Yang dicapai pada

Jadi solusi masalah di atas adalah

Jadi, orang tersebut akanmendapatkan bunga yang maksimalsebesar Rp825.000,00 jika modalpertama dialokasikan sebesarRp250.000,00, modal keduadialokasikan sebesar Rp750.000,00 dantidak ada pengalokasian untuk modalketiga.

B. Model Alokasi Pertanian1. Seorang petani memiliki tanah

pertanian seluas kurang lebih

100 are. Dia ingin menggunakantanahnya untuk berternakkambing, menanam jagung dantomat. Setiap ekor kambingmembutuhkan tanah seluas are.Setiap tahun, tersedia 5000 jamtenaga kerja (kita asumsikan disini 5000 jam bisa digunakanpada setiap waktu sepanjangtahun). Tabel 3.2 menyediakaninformasi mengenai laba, hasil,dan kebutuhan tenaga kerjauntuk tiga aktivitas ekonomi.

14

Tabel 3.2 Laba, Hasil Dan Kebutuhan Tenaga KerjaKambing Jagung Tomat

Keuntungan Rp500.000/ekor Rp1000/kg Rp500/kgHasil/are 4 ekor/are 50 kg/are 100 kg/are

Tenaga kerja setiap tahun 40 jam/orang 10 jam/orang 25 jam/orang

Sedikitnya 20% tanah pertaniandigunakan untuk betemak kambing,paling banyak 30% tanah pertanianyang tersedia digunakan untukmenanam tomat.

Penyelesaian:Kita asumsikan:

: luas tanah yang dialokasikan untukberternak kambing (are)

: luas tanah yang dialokasikan untukditanami gandum (are)

: luas tanah yang dialokasikan untukditanami tomat (are)

Model umum Program linear adalah :Fungsi tujuan:

Maksimumkan

Kendala:

Karena ada 4 sumber keadaan modelprogram dinamik, sehingga dapatdigambarkan dengan 2 variabel.Misalkan menggambarkan keadaanpada tahap j (j=1, 2, 3).Tahap 3

Dimana

Dan

Tahap 2

Dimana

Dan

Tahap 1

Karena ini tahap terakhir, maka

Jadi,

Sehingga

Oleh karena itu, untuk menghitungdiperlihatkan pada grafik ketiga garislurus berikut:

15

Gambar 3.3 Grafik Penyelesaian Program LinearDari grafik di atas, absis dari titik Adan B adalah 20 dan , sehingga padagrafik tersebut terlihat bahwa:

Maka

Untuk kisaran yang telah ditentukan,maka

Yang dicapai pada

Jadi solusi masalah di atas adalah

Jadi, petani tersebut akanmendapatkan keuntungan maksimalsebesar Rp200.000.000,00 jika lahanyang digunakan untuk berternakkambing seluas 100 are dan tidakmenanam menanam jagung dan tomat.

2. Seorang petani mempunyaitanah pertanian seluas 3,5ha yang ditanami padi,kacang tanah, kedelai danjagung. Denganpertimbangan-pertimbangan tertentu, ia bermaksudtidak menanami lebih darisetengah areal tanahnyadengan padi dan kacangtanah dan paling banyak

0,75 ha ditanami denganjagung.

Dari 500 jam kerja yangtersedia, maka 3 jam diperlukanuntuk tiap are tanaman padi dankedelai dan 1 jam kerja diperlukanuntuk tiap are tanaman jagung dankacang tanah. Laba yangdiharapkan dari tiap are tanamanberturut-turut adalah: Rp25.000,00untuk padi, Rp10.000,00 untukkacang tanah, Rp15.000,00 untukkedelai dan Rp5.000,00 untukjagung. Berapa luas arealmasing-masing tanaman supayalaba yang diperoleh maksimum?

Penyelesaian:Kita asumsikan:

: luas areal lahan pertanian yangditanami padi (are)

: luas areal lahan pertanian yangditanami kacang tanah (are)

: luas areal lahan pertanian yangditanami kedelai (are)

: luas areal lahan pertanian yangditanami jagung (are)

Model umum Program linear adalah :Fungsi tujuan :

Maksimumkan

Kendala :

Karena ada 4 sumber keadaan modelprogram dinamik, sehingga dapatdigambarkan dengan 4 variabel.Misalkan menggambarkan keadaanpada tahap j (j=1, 2, 3, 4).

16

Tahap 4

Dimana:

Dan,

Tahap 3

Dimana

Dan

Tahap 2

Dimana

Dan

Tahap 1

Karena ini tahap terakhir, maka

Jadi,

Sehingga

Oleh karena itu, untuk menghitungdiperlihatkan pada grafik ketiga garislurus berikut:

17

Gambar 3.4 Grafik Penyelesaian Program Linear

Dari grafik absis dari titik A dan Badalah dan , sehingga pada grafiktersebut terlihat bahwa:

Maka

Untuk kisaran yang telah ditentukan,maka

Yang dicapai pada

Jadi solusi masalah di atas adalah

Jadi, petani tersebut akanmendapatkan keuntungan maksimalsebesar Rp4.187.500,00 jika lahan yang

ditanami padi seluas 162, 5 are, yangditanami kacang tanah seluas 12, 5 are,dan tidak menanam kedelai dan jagung.

PENUTUPA. SimpulanLangkah-langkah penyelesaian

program linear dengan menggunakanprogram dinamik rekursif mundur, yaitusebagai berikut:

1. Diasumsikan bahwa setiapkegiatan dalam masalahalokasi sumber dayaterbatas dapat dianggapsebagai suatu tahap. Tingkatkegiatan mewakilialternatif-alternatif padatahap-tahap dalam programdinamik, setiap tahapmempunyai jumlahalternatif yang tidak terbatasdi dalam ruang layak/fisibel.Keadaan dapat diasumsikansebagai jumlah sumber yangakan dialokasikan padatahap sekarang dantahap-tahap berikutnya.

2. Kemudian pada tahap ke-nmencari titik optimum yaitunilai optimum dari jumlahsumber jenis yang akandialokasikan pada tahap

18

ke-n dan menghitungpenyelesaian optimal yaitunilai optimum dari fungsitujuan tahap n. Tahap ke-ntidak dipengaruhitahap-tahap yang lain. Jaditahap ke-n dapatdioptimumkan tersendiri.

3. Selanjutnya pada tahap n-1,mencari titik optimum yaitunilai optimum dari jumlahsumber jenis yang akandialokasikan pada tahap n-1dan menghitungpenyelesaian optimal tahapn-1. Penyelesaian optimaltahap n-1 merupakanpenyelesaian optimal tahapke-n digabungkan dengantahap ke n-1.

4. Pada tahap selanjutnya yaitutahap n-2, mencari titikoptimum yaitu nilaioptimum dari jumlahsumber jenis yang akandialokasikan pada tahap n-2dan menghitungpenyelesaian optimal tahapn-2. Penyelesaian optimaltahap n-2 merupakanpenyelesaian optimal tahapke n-1 digabungkan dengantahap ke n-2. Demikianseterusnya, sampai dengantahap pertama.

5. Pada tahap pertama jugamencari titik optimum yaitunilai optimum dari jumlahsumber jenis yang akandialokasikan pada tahappertama dan menghitungpenyelesaian optimal tahappertama. Penyelesaianoptimal tahap pertamamerupakan penyelesaianoptimal tahap pertamadigabungkan dengan tahapkedua. Karena ini adalahtahap terakhir, makapenyelesaian optimal padatahap pertama ini

merupakan penyelesaianoptimal dari masalahprogram linear tersebut.

B. SaranPermasalahan yang dibahas dalam

penelitian ini terbatas padalangkah-langkah dalam mengalokasikansumber daya yang terbatas agarmendapatkan hasil yang optimal denganmenggunakan salah satu alternatifpenyelesaian selain metode yang sudahada yaitu dengan menggunakan programdinamik. Bagi pembaca yang tertarik,khususnya mahasiswa Program StudiMatematika dapat melanjutkan danmengembangkan tulisan ini, misalnyamenggunakan metode lain untukmengalokasikan sumber daya yangterbatas agar mendapatkan hasil yanglebih optimal.

SUMBER REFERENSIKepustakaan:Eiselt, H.A., C-L Sanblom. 2007. Linear

Programming and itsApplications. Berlin: Springer.

Siagian, P. 1987. PenelitianOperasional: Teori dan Praktek.Jakarta: Universitas IndonesiaPress.

Siang, J. J. 2011. Riset Operasi dalamPendekatan Algoritmis.Yogyakarta: Andi Offset.

Siringoringo, H. 2005. Seri Teknik RisetOperasional PemrogramanLinear. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Siswanto. 2007. Operation ResearchJilid 1. Jakarta: Erlangga.

Sugeng, K. A., dkk. 2006. Matematikauntuk SMA dan MA Kelas XIIProgram IPA. Jakarta:Pustakawidya Utama.

Susanta, B. 1994. Program Linear.Yogyakarta: DepartemenPendidikan dan Kebudayaan.

Taha, H. A. 1996. Riset Operasi JilidSatu. Jakarta: Binarupa Aksara.

Website:

19

http://anneahira.com diakses padatanggal 22 Mei 2013.

http://repository.binus.ac.id diaksespada tanggal 25 Juni 2013.

http://eprints.uny.ac.id diakses padatanggal 29 April 2013.

http:// undip.ac.id diakses pada tanggal22 Mei 2013.

http://qmobi-ost.blogspot.com diaksespada tanggal 25 Juni 2013.

http://mohamadrisalrozakamakali.blogspot.com diakses pada tanggal 25Juni 2013.

http:/ /senaresearch.blogspot .comdiakses pada tanggal 25 Juni2013.

http://repository.usu.ac.id diakses padatanggal 29 April 2013.