BAB I. PENGENALAN MAPLE

     

Maple merupakan software dikembangkan oleh Waterloo Maple Inc untuk

menyelesaikan masalah matematika. Maple berjalan pada sistem operasi keluarga

Windows dan cukup mudah untuk digunakan. Perintah-perintah seperti cut, copy,  dan

paste bisa menggunakan hotkey seperti di Windows. Sebelum masuk ke perintah-

perintah yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah, khususnya untuk Kalkulus

I, terlebih dahulu kita harus memahami lingkungan Maple. Saat pertama kali

menjalankan, Maple akan langsung membuka jendela perintah (command window) dan

di sebelah kiri ada tanda [>, pertanda Maple siap menerima perintah. 

1.1 Aturan Dasar

Setiap akhir baris perintah harus diakhiri dengan tanda titik koma (;) dan untuk eksekusi

perintah digunakan tombol Enter. 

1.2. Maple bersifat sensitif

Arti dari sensitif adalah Maple membedakan perintah yang ditulis dengan huruf besar

dan perintah yang ditulis dengan huruf kecil, secara khusus perbedaan ini hanya ada di

huruf pertama perintah. Secara umum, perintah yang diawali dengan huruf besar

digunakan untuk mendefinisikan atau membentuk permasalahan matematika sedangkan

perintah yang diawali  dengan huruf kecil digunakan untuk mencari atau menghitung

nilai operasi yang kita inginkan.

Contoh:

perintah Diff( ) digunakan untuk membentuk turunan suatu fungsi.

perintah diff( ) digunakan untuk mencari turunan suatu fungsi.

Penerapan di Maple untuk , akan dicari turunan dari

[> Diff(x^2,x);    diawali huruf besar, membentuk turunan dari , output

Maple sbb: 

[> diff(x^2,x);    diawali huruf kecil, mencari turunan dari , output Maple sbb: 

 

1

1.3. Dalam satu baris perintah bisa dimuat lebih dari satu perintah.

Contoh:

[> Int(x^3+1,x);

[> value(%);

[> Diff(2*x^2,x);

[> value(%);

Daripada menuliskan tiga perintah dalam tiga baris yang berbeda, akan sangat efisien

kalau dituliskan dalam satu baris saja.

[> Int(x^3+1,x); value(%); Diff(2*x^2,x); value(%);

Output dari Maple akan dituliskan berurutan dari atas ke bawah sesuai urutan perintah. 

 

 

 

2

BAB II. DASAR MAPLE

      Dalam Maple setiap perintah akan berbentuk perintah( ); perintah di sini

menyesuaikan perintah yang digunakan. Di dalam kurung berisi permasalahan

matematika, dan parameter yang diperlukan.

2.1. Aturan Dasar Operasi Matematika dalam Maple

Bentuk a disajikan sebagai perkalian a dengan , bentuk disajikan sebagai a dikali x

pangkat n.

penulisan  biasa penulisan Maple

penjumlahan + +

pengurangan - -

perkalian x *

pembagian : atau / /

pangkat                                axn a*x^n

trigonometri sin x sin(x)

(sin x)n (sin(x))^n

invers fs. trig. arc sin x   atau arcsin(x)

hyperbolic sinh x sinh(x)

cosech x csch(x)

pi                                                                           pi     (untuk symbol)

pi                                                                           Pi     (untuk bilangan)

akar pangkat dua                                                sqrt(x)

nilai mutlak  | x | abs(x)

tak hingga infinity

pemberian nilai x = a x := a

logaritma log x log(x)

ln x ln(x)

log10 x log10(x)

log[b] x log[b](x)

exponential, e exp(x) 

3

Perintah log(x) sama dengan perintah ln(x). Sedangkan log10(x) adalah logaritma basis

sepuluh, yaitu yang umum kita gunakan jika kita menuliskan log x. Jadi hati-hati

mengingat perintah ini. log[b](x) adalah logaritma basis b adalah sebarang bilangan

dengan b>0 dan x>0. 

Ingat, pemberian nilai suatu variabel dalam Maple digunakan tanda titik dua sama

dengan ( := ), bukan tanda sama dengan ( = ). 

Perintah restart; digunakan untuk membersihkan memori yang dikelola oleh Maple.

Setelah kita menjalankan perintah restart; maka semua penghitungan (computasi)

sebelumnya akan dihapus. 

2.2. Memanggil Menu Help.

Untuk memanggil menu Help, kita bisa gunakan pada bagian menu, yaitu bagian paling

atas dan paling kanan. Atau cara yang lebih cepat, kita bisa juga memanggil Help

langsung dari jendela perintah. Caranya ketikkan tanda tanya " ? " diikuti bagian yang

ingin kita tanyakan.

Contoh :

> ? diff

Perintah di atas meminta Maple menunjukkan menu Help untuk diferensial (turunan).

Untuk perintah memanggil Help, kita tidak perlu menambahkan tanda titik koma " ; " di

akhir perintah.

> ? plot

Perintah di atas untuk memanggil Help untuk plot.

Jika kita tidak menambahkan bagian yang ingin kita tanyakan, artinya kita hanya

mengetikkan tanda tanya, maka Maple akan membukakan Help untuk deskripsi syntak,

tipe data, dan function yang ada di Maple.

> ? 

 

4

BAB III. MAPLE UNTUL KALKULUS I 

3.1. Fungsi Komposisi

Syntak yang digunakan adalah (f@g)(x); .

f , g  : sebarang fungsi

x : variable

Contoh:

[> f:=x^2+5; 

[> g:=2*x^3+2*x; 

[> (f@g)(x); 

Perhatikan, hati-hati membedakan tanda perkalian x dengan variabel x. 

3.2. Menggambar Grafik Fungsi.

3.2.1. Satu fungsi dalam satu sumbu koordinat XOY.

Syntak yang digunakan adalah plot(  f(x) ,  x = a..b ,  y = c..d , color = warna , style=

style);

f(x) : fungsi yang akan dibuat grafiknya.

x     : variabel

a..b : range sumbu X

c..d : range sumbu Y   *

color : warna grafik, dalam bahasa inggris *

style : style grafik, ada 3 macam, point (titik), line (garis), dan patch ( ). *

Bagian yang bertanda star ( * ) bersifat opsional, jadi boleh tidak ditambahkan. Bahkan

adanya penambahan perintah range Y bisa mengakibatkan Maple tidak mengenali

perintah tersebut. Inilah kelemahan Maple. Kelemahan Maple adalah tidak stabil dan

manajemen memorinya kurang bagus, sehingga terkadang menghasilkan hasil komputasi

yang salah atau bahkan tidak mampu menyelesaikannya.

Contoh:

1. Gambarlah grafik fungsi untuk pada interval [-2,3]

> plot(x^3+2,x=-2..3); 

5

> plot(x^3+2,x=-2..3,y=-8..30,color=blue,style=point); 

 

3.2.2. Lebih dari satu fungsi dalam satu sumbu koordinat XOY.

Syntak yang digunakan adalah plot(  [f 1(x), f2(x), ... ] ,  x = a..b ,  y = c..d , color =

[warna1,warna2, ... ] , style=[ style1, style2, ... ] );

f1(x), f2(x), ...  : fungsi pertama, fungsi kedua, dst...

Contoh:

1. Butlah grafik fungsi untuk , dan pada interval [-1,3]. Warna fungsi pertama adalah

biru dengan style garis, warna fungsi ke dua merah dengan style titik, dan fungsi ke tiga

berwarna hijau dengan style patch.

> f1(x):=x^2-3; f2(x):=2*x+3; f3(x):=x^3+1; 

  

> plot([f1(x),f2(x),f3(x)],x=-

1..3,color=[blue,red,green],style=[line,point,patch]); 

3.3. Limit.

Syntak yang digunakan adalah Limit(  f(x) , x=a , arah ); dan limit(  f(x) , x=a , arah );

f  : formula yang akan dicari limitnya

x : variabel

a : titik limit, infinity untuk dan -infinity untuk

arah : arah limit, left (kiri), right (kanan), real, dan complex. Bersifat opsional

(pilihan), jadi boleh tidak dituliskan pada baris perintah.

Contoh:

1. Carilah limit kiri dari untuk

[> Limit(1/x,x=0,left) = limit(1/x,x=0,left); 

2. Carilah limit dari untuk

[> f(t):=(2*t^3+2*t+7)/(5*t^3+3*t^2+t); 

[> Limit(f(t),t=infinity) = limit(f(t),t=infinity); 

6

3.4. Fungsi Kontinu.

3.4.1. Uji kontinuitas.

Untuk mengetahui apakah suatu fungsi kontinu atau tidak, Maple menyediakan fasilitas

iscont. Ada 3 macam, yaitu:

iscont( f(x), x=a..b);     tidak ditentukan jenis intervalnya

iscont( f(x), x=a..b,’open’);    untuk interval terbuka (a,b)

iscont( f(x), x=a..b,’closed’);   untuk interval tertutup (a,b)

Output dari Maple adalah ‘true’ jika kontinu, dan ‘false’ jika tidak kontinu.

Contoh:

[> iscont( 1/x, x=1..2 ); 

[> iscont( 1/x, x=-1..1 ); 

[> iscont( 1/x, x=0..1 ); 

[> iscont( 1/x, x=0..1, 'closed' ); 

[> iscont( 1/(x+a), x=0..1); 

Output ‘Fail’ menunjukkan bahwa uji kontinuitas tidak bisa dijalankan karena fungsi

yang diberikan tidak ‘fixed’ atau tidak diberikan secara pasti. Dalam contoh di atas, nilai

a tidak diberikan, sedangkan nilai a menentukan hasilnya, kontinu atau tidak. 

3.4.2. Mencari titik-titik diskontinu.

Jika ternyata uji kontinuitas menghasilkan jawaban ‘False’, tentu bagian yang menarik

adalah untuk mengetahui dimana titik-titik diskontinunya. Syntak yang digunakan

adalah discont( f, x );.

Contoh:

[> discont(1/x,x); 

[> discont((x+1)/(1-x^2),x); 

 

3.5. Turunan

3.5.1 Turunan Eksplisit

Syntak yang digunakan adalah Diff (  f(x) , x ); digunakan untuk membentuk turunan

dari f(x) terhadap x.

7

Disini, turunan tergantung fungsinya, jika fungsinya adalah fungsi x maka turunannya

juga terhadap x, demikian pula jika fungsinya adalah fungsi t maka turunannya juga

terhadap t.

Contoh:

Akan dicari turunan dari dan

[> Diff(3*x^2+2*x,x);       membentuk turunan 

[> diff(3*x^2+2*x,x);   mencari tutrunannya 

[> Diff(sqrt(u^2+1),u); 

[> diff(sqrt(u^2+1),u); 

Jika salah memasukkan parameter maka hasilnya juga akan salah. Contoh:

[> Diff(x^2,t); 

[> diff(x^2,t); 

akan dianggap sebagai konstanta, sehingga turunannya adalah 0. 

3.5.2. Turunan Implisit.

Syntak yang digunakan adalah implicitdiff(  f, y , x ); .

f  : fungsi implisit

y, x  : variabel

Perintah diatas digunakan untuk mencari , sehingga urutan penulisan adalah y dahulu,

baru kemudian x.

Jika akan dicari , tentu saja urutan penulisan harus dibalik, sehingga menjadi

implicitdiff(  f,  x , y ); .

Perhatikan, dalam hal ini tidak ada perintah Implicitdiff (diawali dengan huruf besar).

Contoh:

1. Carilah dan    dari fungsi implicit xy2 + xy = 10.

[> F:=x*y^2+x*y=10; (membentuk fungsi implisit) 

[> implicitdiff(F,y,x); (mencari ) 

[> implicitdiff(F,x,y); (mencari ) 

2. Carilah turunan implisit dari fungsi implicit  y + cos( xy2) + 3x = 4.

[> g:=y+cos(x*y^2)+3*x=4; (membentuk fungsi implisit 

8

[> implicitdiff(g,y,x); (mencari ) 

[> implicitdiff(g,x,y); (mencari ) 

3. Carilah dari fungsi implisit

[> H:=y^2/x^3-1=y^(3/2); 

[> implicitdiff(H,y,x); 

3.6 Nilai Ekstrim

3.6.1. Nilai Maksimum Fungsi

Sintak: maximize(expr, syarat);

Contoh:

1. Carilah nilai maksimum fungsi y = 3x3 – 2x2 – 3 pada interval [0,5].

[> maximize(3*x^3-2*x^2-3, x=0..5); 

Jika ingin diketahui lokasi titik maksimum, maka pada baris perintah tambahkan

perintah ‘location’.

[> maximize(3*x^3-2*x^2-3, x=0..5, location); 

Jadi, titik maksimum fungsi y = 3x3 – 2x2 – 3 pada interval [0,5] adalah (x,y)=(5,322). 

3.6.2. Nilai Minimum Fungsi

Sintak minimize(expr, syarat);

Contoh:

Carilah nilai mimimum dan titik minimum fungsi y = x2 + cos x, pada interval [0,3]

[> minimize(x^2 + cos(x), x=0..3); 

[> minimize(x^2 + cos(x), x=0..3,location); 

 

Untuk syarat kadang bisa dihilangkan.

Contoh :

[> minimize(x^2-14,location); 

[> maximize(x^4+x^3-x-5,location); 

9

Sehingga akan dilakukan penghitungan pada interval (-∞,∞). 

 

 

 BAB IV. BEKERJA DENGAN PAKET 

Tema utama Kalkulus I adalah mengenai turunan dan penerapannya. Pada bab ini kan

dibahas mengenai gradien garis, garis singgung, dan titik potong kurva.

Maple sudah menyediakan bayak paket (packages) yang bisa digunakan untuk

membantu komputasi kita, karena dialamnya sudah disediakan function atau perintah

yang bisa langsung digunakan. Satu paket yang ditujukan untuk kalkulus adalah paket

student. Secara umum, untuk memanggil paket, digunakan perintah

with(nama_paket);. 

> with(student); 

 

4.1. Gradien garis.

Untuk mencari gradient atau kemiringan suatu garis, Maple menyediakan perintah

dengan syntax slope( persm , y, x);

persm : persamaan

y, x  : variabel

Urutan y dan x menentukan bagaimana fungsi tersebut dilihat.

slope( persm ,  y , x );   y = f(x)

slope( persm , x ,  y );  x = g(y)

Contoh:

Diberikan persaman fungsi 2y + 4 = x – 3.

[> slope(2*y+4 = x-3, x, y); 

[> slope(2*y+4 = x-3, y, x); 

 

4.2. Garis Singgung.

Untuk melihat garis singgung suatu kurva pada suatu titik, digunakan perintah

showtangent (f(x), x = a);.

10

f(x) : fungsi

x : variabel

a : titik singgung

Contoh:

[> showtangent(x^2,x=2); 

 

[> showtangent(x^3+x+7,x=6); 

 

4.3. Titik Potong Kurva.

Syntak :

intercept(persm);

intercept(persm1, persm2, {x, y});

persm : persamaan

persm1, persm2 : persamaan1, persamaan2

x,y : variabel

Jika digunakan perintah yang pertama, secara default Maple akan menghitung titik

potong pada sumbu Y, artinya dengan memasukkan nilai x=0.

Contoh:

[> intercept(y=x^2-4); 

Hasil di atas akan sama dengan hasil berikut ini.

[> intercept(y=x^2-4,x=0); 

Namun jika sekarang variabel y yang diberi nilai, maka hasilnya adalah sebagai berikut.

[> intercept(y=x^2-4,y=0); 

Jika x = 3, outpunya adalah

[> intercept(y=x^2-4,x=3); 

atau sama saja dicari nilai y saat x = 3.

Perintah yang ke dua digunakan untuk mencari titik potong dua kurva.

Contoh:

1. Carilah titik potong kurva y = sin x  dan  y = cos x

11

[> intercept(y=sin(x),y=cos(x),{x,y}); 

2. Carilah titik potong kurva antara y = x3 + x dengan y = x

[> intercept(y=x^3,y=x,{x,y}); 

 

Hati-hati menggunakan perintah yang termasuk dalam paket. Beberapa perintah yang

termuat dalam paket bisa digunakan tanpa memanggil paketnya terlebih dahulu, namun

beberapa perintah yang lain mengharuskan untuk memanggil paketnya terlebih dahulu.

Untuk perintah slope, showtangent, dan intercept, paket student harus sudah dipanggil

sebelumnya. Pemanggilan paket cukup dilakukan satu kali, pada Maple versi 7 selama

belum restart maka paketnya akan selalu siap. Jika kita melakukan restart maka harus

dilakukan pemanggilan paket lagi. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

BAB V. LEBIH JAUH DENGAN MAPLE

5.1 Metode Pemecahan Masalah.

Akan dicari turunan dari , terhadap x. Permasalahan ini jika diselesaikan dalam Maple

bisa kita tuliskan sebagai berikut. 

[> Diff((a*x+b)/sqrt(a*x^2+b*x+c),x); 

Perintah diatas adalah untuk mendefinisikan permasalahan. Kemudian kita cari

penyelesaiannya.

[> diff((a*x+b)/sqrt(a*x^2+b*x+c),x); 

 

Pada bagian f(x) kita harus menuliskan formula yang begitu panjang. Dengan semakin

panjangnya formula maka kita harus lebih teliti menuliskan formula agar permasalahan

yang dibentuk sesuai dengan yang kita inginkan. Dengan demikian memperbesar

kemungkinan bagi kita untuk melakukan kesalahan mendefinisikan permasalahan.

Salah satu cara yang ampuh untuk memperkecil kesalahan ini adalah dengan memecah

permasalahan, yaitu kita mendefinisikan satu permasalahan menjadi beberapa tahap

identifikasi.

Tahap 1. Pembentukan f(x), (ingat.. gunakan tanda := )

[> f(x):=(a*x+b)/sqrt(a*x^2+b*x+c); 

Tahap 2. Pendefinisian permasalahan. Karena kita sudah membentuk f(x), maka untuk

selanjutnya kita tinggal memanggil namanya saja.

[> Diff(f(x),x); 

Tahap 3. Menyelesaikan masalah.

[> diff(f(x),x); 

Dalam hal ini, f(x) hanyalah sebuah variabel yang tentu saja namanya bisa kita ganti

menurut keinginan kita, misalnya diganti dengan y, atau g(t) jika fungsinya didalam t. 

5.2. Menyatukan Permasalahan dengan Penyelesaian.

Sebelumnya kita selalu mendefinisikan permasalahan, setelah itu baru kita cari

penyelesaiannya dalam baris perintah yang berbeda. Tentunya kita ingin agar hasil

13

komputasi di Maple mirip seperti pekerjaan manual kita. Misalnya suatu permasalahan

kemudian kita ingin di sebelah kanan adalah langsung penyelesaiannya dengan diawali

tanda sama dengan ( = ). Hal ini bisa kita lakukan di Maple, yaitu setelah kita

definisikan permasalahan, berikutnya tanpa harus ganti baris perintah, langsung kita

tuliskan perintah untuk mencari hasilnya dengan dipisahkan dengan tanda sama dengan

( = ).

Contoh:

Akan dicari turunan dari . Untuk definisi, kita gunakan Diff dan untuk mencari

turunnanya kita gunakan diff.

[> Diff(2*x^4+3*x+7,x) = diff(2*x^4+3*x+7,x); 

Mengapa tidak kita gunakan tanda titik dua sama dengan ? Ingat, tanda titik dua sama

dengan digunakan untuk memberi nilai suatu variabel, jadi sebelah kiri adalah sebuah

variabel. Sedangkan pada bagian ini, sebelah kiri adalah sebuah operasi Maple juga. Jadi

ada dua buah operasi Maple, sehingga tidak boleh kita gunakan tanda titik dua sama

dengan ( := ).

14

MODUL PRAKTIKUM 

MAPLEKALKULUS   I  

 

 

 

 

 

 

oleh:

AD. Pambudi 

 

Program Studi Pendidikan Matematika

Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Sebelas Maret

Surakarta

15

16