MAPLE : Pertemuan 1

1 PendahuluanMaple merupakan salah satu software matematika ideal untuk para profesional teknik, peneliti,pengajar dan siwwa. Dengan lebih dari 3,500 routines, Maple mencakup spektrum matematikayang sangat luas, mulai dari pengantar kalkulus sampai ke topik Transformasi Fourier cepat.

Sebenarnya terdapat paling sedikit 12 topik pada pelatihan dasar, seperti yang terdapat padaMaple New User’s Tour, yaitu :

(1) Working Through the New User’s Tour(2) Numerical Calculations(3) Algebraic Computations(4) 2-D Graphics(5) 3-D Graphics(6) Calculus(7) Vector Calculus(8) Differential Equations(9) Linear Algebra(10) Programming(11) Programming the Maple Graphical User Interface(12) Help SystemKarena keterbatasan waktu maka hanya disajikan beberapa topik penting dan dasar saja.

2 Tampilan MapleBegitu kita membuka MAPLE maka jendela maple yang terlihat disebut dengan lembaran kerja(worksheet) maple. Dengan lembaran kerja ini kita dapat melakukan komputasi matematika denganmemberikan perintah pada daerah masukan (input region). Daerah masukkan ini ditandai olehtanda > yang diikuti oleh kursor kedap kedip dikanannya. Misalkan kita ingin melakukan komputasi2 + 3, maka dilakukan langkah-langkah berikut

1. Tempatkan kursor baris perintah pertama, yaitu persis di kanan tanda >,2. Ketik 2 + 2; Tekan ENTER.

Pada jendela maple kita dapat melihat menu bar, tool bar, simbol pallete, dan lain-lain.

3 Kalkulasi Numerik

3.1 Komputasi dengan bilangan bulatPada level yang paling sederhana, kita dapat memanfaatkan maple sebagai kalkulator super hebat.Operasi-operasi binair dan unair seperti +, -, *, /, ^, sqrt sudah tersedia pada maple. Untukmenghitung (33)(159) kita masukkan perintah berikut

>33∗15^9;

Maple mengenal operator-operator khusus seperti faktorial, faktor persekutuan terkecil, faktor ke-lipatan terbesar, dan lain-lain. Baris berikut

>35!;

adalah digunakan untuk menghitung nilai dari faktorial 35. Apabila ditekan ENTER maka akanmuncul hasil berikut

10333147966386144929666651337523200000000

1

Operator ditto yang dilambangkan dengan tanda % merujuk ekpsresi terakhir yang telah dihitungoleh maple. Perintah ifactor digunakan untuk memfaktorkan bilangan bulat dalam faktor-faktorbilangan prima. Bila 35! akan difaktorkan maka diberikan perintah berikut

>i f a c t o r (%);

Hasilnya adalah :

(2)32(3)15(5)8(7)5(11)3(13)2(17)2(19)(23)(29)(31)

3.2 Aritmatika titik mengambangKekuatan utama maple adalah kemampuannya dalam menghasilkan nilai eksak, artinya kesalahanpembulatan dalam kalkulasi sedapat mungkin dihindari. Dalam kasus kita membutuhkan nilaidesimal hasil kalkuklasi maple, kita dapat menggunakan perintah evalf. Sebagai contoh dalammenghitung

230√3320

kita memberikan perintah

>2^30∗ s q r t (3)/3^20 ;

Hasil yang diberikan masih memuat√

3, yaitu10737418243486784401

√3

Bila kita menginginkan hasilnya dalam bentuk desimal, kita dapat menggunakan perintah evalfberikut.

>e v a l f (%);

dan hasil yang diberikan adalah :

0.5333783739

4 Komputasi Aljabar

4.1 Penjabaran dan pemfaktoranMaple dapat melakukan penjabaran terhadap bentuk pangkat tertentu, misalnya menjabarkan ben-tuk pangkat (x+y)10. Sebaliknya, Maple dapat memfaktorkan ekspresi khusus yang memungkinkandapat difaktorkan. Dua perintah expand dan factor digunakan untuk keperluan ini.

Untuk menjabarkan (x + y)5 ke dalam bentuk panjang, pertama-tama kita definisikan kalimatmatematika ini dalam eksp1,

>expr1 := ( x+y )^5 ;

Setelah menekan ENTER, kita berikan perintah berikut

>expand ( expr1 ) ;

maka hasil yang didapat adalah sebagai berikut

x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5

Selanjutnya jika kita inginkan hasil ini difaktorkan kita lakukan perintah

>f a c t o r ( % ) ;

Tanda % menunjuk hasil/keluaran terakhir Maple. Hasilnya adalah (x + y)5. Mudah, bukan !Sekarang kerjakan latihan berikut dengan menggunakan Maple. Diatas kita telah mendefinisikanstring expr1 kemudian diikuti oleh tanda :=. String expr1 dalam Maple merupakan nama un-tuk ekspresi metematika yang didefinisikannya. Kita dapat menggunakan ekspresi lebih lanjut inidengan cukup menulis namanya.

2

Latihan 1

1. Jabarkan bentuk (x− 2y)7.

2. Jabarkan bentuk (x− y)5(x + y)4.

3. Faktorkan bentuk (x3 − y3).

4. Faktorkan bentuk x3 − 5x2y + 8xy2 − 4y3.

4.2 PenyederhanaanMaple dapat menggunakan identitas untuk menyederhanakan ekspresi matematika yang panjang,seperti ekspresi trigonometri. Juga dapat menyederhanakan bentuk pecahan dengan menggunakanfaktor persekutuannya. Perintah yang digunakan untuk keperluan ini adalah simplify dan normal.

>s imp l i f y ( cos ( x)^5 + s in (x)^4 +2∗ cos ( x)^2 −2∗ s i n (x)^2 − cos (2∗x ) ) ;

akan memberikan hasil keluaran cos(x)4(cos(x) + 1). Ini berarti bentuk panjang cos5x + sin4x +2cos2x− 2sin2x− cos2x dapat disederhanakan menjadi cos4x(cosx + 1).

>s imp l i f y ( 64/24 ) ;

memberikan hasil 83 . Penyederhanaan pecahan dapat pula menggunakan perintah normal. Coba

tulis

>normal ( 64/24 ) ;

apa hasilnya. Sekarang perintah normal kita gunakan untuk masalah yang lebih sulit.

>normal ( ( x^3−y^3)/(x^2+x−y−y ^2 ) ) ;

dan hasilnya adalah x2+yx+y2

x+1+y . Ini tidak lain adalah penyederhananaan dari x3−y3

x2+x−y−y2 .

Latihan 2: Coba sederhanakan bentuk-bentuk di bawah ini :a. 153

102b. cos2x− sin2xc. 8x3−36x2+54x−27

8x4−44x3+90x2−81x+27

4.3 Konversi ke dalam bentuk lainMaple dapat menyatakan suatu ekspresi matematika kedalam bentuk lainnya yang identik. Perintahuntuk keperluan ini adalah convert.

>ekspr2 := 1/( x^2−1);>convert ( ekspr2 , par f rac , x ) ;

Hasilnya adalah 12(x−1) −

12(x+1) . Ini berarti pecahan 1

x2−1 dikonversikan kedalam bentuk pecahanparsialnya.

> convert ( s inh (x ) , exp ) ;

Hasilnya adalah 12ex − 1

2ex , yaitu bentuk sinus hiperbolik disajikan dalam bentuk eksponensial.

> convert ( 60∗ degrees , rad ians ) ;

menghasilkan 13π. Ini berarti satuan derajat (sudut) dibawa ke satuan radian. Banyak sekali bentuk

atau satuan tertentu yang dapat dikonversikan kedalam bentuk atau satuan yang lainnya. Untukmelihat apa saja yang dapat dikonversikan, lihat help convert.

3

Latihan 3: Konversikanlah ekspresi berikut kedalam bentuk yang dimaksuda. 3

4π ke dalam satuan derajat.b. cosx ke dalam bentuk eksponensial.c. 32 dalam basis 10 ke dalam bentuk basis 2.d. 221 dalam basis 3 ke dalam basis 10.

4.4 Mendefinisikan fungsiAda beberapam cara mendefinisikan fungsi pada Maple. Salah satunya adalah sebagai berikut.Misalkan kita akan mendefinsikan fungsi f(x) = x2 + 1.

> f :=x−>x^2+1;

Disini f adalah nama fungsi. Nilai fungsi ini dititik tertentu, katakan untuk mengetahui nilai f(2),cukup ketik

> f ( 2 ) ;

Metoda lainnya adalah dengan menggunakan perintah unapply. Tujuan yang sama dengan se-belumnya adalah

> g:=unapply (x^2+1,x ) ;

Penggunaan unapply ini memungkinkan kita dalam membedakan antara parameter dan variabel.Misalkan fungsi g(x) = ax2 + bx + c memuat tiga parameter a, b dan c.

Latihan 4: Coba definisikan fungsi f(x) = 1σ√

πe−

(x−µ)2

2σ2 dengan σ dan µ sebagai parameter.a. Berapa nilai f bila x = 0.b. Bila σ = 1, µ = 0, berapa f(1).

4.5 Menyelesaikan persamaan dan sistem persamaanPerintah yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan adalah solve. Contoh berikut kita akanmenyelesaikan persamaan yang memuat parameter

x3 − ax2

2 + 13x2

3 = 13ax6 + 10x

3 − 5a3

Pertama-tama tulis persamaan ini dalam ekspresi berikut.

> eqn := x^3−1/2∗a∗x^2+13/3∗x^2 = 13/6∗a∗x+10/3∗x−5/3∗a ;

Selanjutnya gunakan perintah solve berikut

> so l v e ( eqn , { x } ) ;

Hasilnya adalah {x = 2/3} , {x = −5} , {x = 1/2 ∗ a}. Diperhatikan hasilnya masih memuat param-eter a. Selanjutnya kita menggunakan Maple untuk menyelesaikan sistem persamaan linier berikut

a + 2b + 3c + 4d = 415a + 3b + 4c + 3d = 10

3b + 4c-8d = 8a + b + c + d = 21

Untuk menyelesaikan ini, keempat persamaan ini harus didefinisikan satu per satu, kemudian gu-nakan perintah solve.

> eqn1 :=a+2∗b+3∗c+4∗d =41;> eqn2 :=5∗a+3∗b+4∗c+3∗d =10;> eqn3 :=3∗b+4∗c−8∗d =8;> eqn4 :=a+b+c+d =21;

4

> so l v e ({ eqn1 , eqn2 , eqn3 , eqn4 } ,{a , b , c , d } ) ;

Hasilnya adalah {b = 2348/43; d = 266/43; c = (−1143)/43; a = (−568)/43}. Dengan menggunakansolve, persamaan taklinier dapat juga diselesaikan. Berikutnya kita akan menyelesaikan persamaanx3 − 5

2x2 + 12x + 1 = 0.

> eqn_t1:=x^3−2.5∗x^2+0.5∗x+1=0;> so l v e ({ eqn_t1 } ,{x } ) ;

Hasilnya adalah {x = 1.}, {x = 2.}, {x = −.5000000000}.

Latihan 5: Selesaikan persamaan berikut dalam variabel yang diminta !(a) x− cos(x) = 0.(b) x2y2 = 0, x− y = 1.(c) x2 = 2x.

5

MAPLE : Pertemuan 2

5 Menggambar grafik fungsiMaple menyediakan fasilitas yang cukup banyak untuk membuat grafik suatu fungsi. Perintahutama yang digunakan adalah plot. Bahkan untuk membuat grafik ini, Maple menyediakan toolboxkhusus yang terdiri dari puluhan perintah yang terkait untuk menggambar grafik. Fasilitas ini dapatdiaktifkan dengan memberikan perintah

> with ( p l o t s ) ;

maka akan muncul informasi berikut[animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal,conformal3d, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, densityplot, display, dualaxisplot,fieldplot, fieldplot3d, gradplot, gradplot3d, graphplot3d, implicitplot, implicitplot3d, inequal, interac-tive, interactiveparams, intersectplot, listcontplot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot, listplot3d,loglogplot, logplot, matrixplot, multiple, odeplot, pareto, plotcompare, pointplot, pointplot3d, po-larplot, polygonplot, polygonplot3d, polyhedra_supported, polyhedraplot, rootlocus, semilogplot, set-colors, setoptions, setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, surfdata, textplot, textplot3d, tube-plot]

5.1 Grafik fungsi 2 dimensiKita akan menggambar grafik fungsi y = sin x dengan pada domain x ∈ [−2π, 2π].

> plo t ( s i n ( x ) , x=−2∗Pi . . 2 ∗ Pi , t i t l e ="y = s in (x ) " ) ;

Coba tekan ENTER setelah perintah ini, apa yang didapat. Secara umum struktur perintah plotadalah sebagai berikut

p l o t ( f , h , v , . . . )

dimana f : fungsi yang akan diplot, h : range untuk horizontal, v :(optional) range vertikal. Untukmengedit grafik yang dihasilkan dapat dilakukan secara interaktif dengan menggunakan toolbar.Beberapa grafik fungsi dapat ditampilkan pada satu bidang koordinat.

>p lo t ( [ s i n ( x ) ,2∗ s i n (x ) , s i n (x /2) , s i n (2∗x ) ] , x=−2∗Pi . . 2 ∗ Pi , y=−2..2 ,c o l o r =[ red , black , green , b lue ] ) ;

Perintah ini menghasilkan 4 buah grafik fungsi y1 = sin(x), y2 = 2sin(x), y3 = sin(x/2); y4 =sin(2x) yang digambarkan pada satu bidang koordinat.

5.2 Penggunaan implicitplotPerintah implicitplot digunakan untuk menggambarkan kurva yang disajikan oleh fungsi secaraimplicit. Akan digambarkan kurva yang disajikan oleh persamaan

x2 − y2 = 1, x ∈ [π, π], y ∈ [−π, π]

>imp l i c i t p l o t ( x^2−y^2=1 , x=−Pi . . Pi , y=−Pi . . Pi ) ;

6

5.3 Grafik daerah penyelesaian pertidaksamaanDiberikan sistem ketidaksamaan

x + y > 0x− y ≤ 1

y < 2

Untuk menggambarkan daerah penyelesaian (feasible area) sistem ini, kita lakukan perintah berikut:

>inequa l ( { x+y > 0 , x−y <= 1 ,y<2} , x=−3..3 , y=−3..3 ,o p t i o n s f e a s i b l e =( c o l o r=blue ) , opt ionsopen=( c o l o r=yel low , th i c kne s s =3,l i n e s t y l e=DASHDOT) , op t i on s c l o s ed=( c o l o r=black ,th i c kne s s =3) , opt ionsexc luded=( c o l o r=magenta ) ) ;

Disini ada 4 daerah yang dibedakan berdasarkan warna. Bagian dalam daerah penyelesaian sebagaioptionsfeasible, garis batas yang tidak masuk penyelesaian sebagai optionsopen, garis batas yangmasuk penyelesaian sebagai optionsclosed, daerah yang benar-benar diluar penyelesaian sebagaioptionsexcluded. Dalam perintah ini, warna biru menunjukkan bagian dalam (interior) daerahpenyelesaian.

Latihan 6: Gambarkan grafik/kurva dibawah ini dalam domain yang diminta!

1. f(x) = e−x2pada domain x ∈ [−2, 2].

2. Tiga fungsi g1(x) = e−x2sin(πx3), g2(x) = e−x2

dan g3(x) = −e−x2pada domain x ∈ [−2, 2].

3. g(x) = sin(x2)/x2 pada domain x ∈ [−6, 6].

4. x2

9 + y2

4 = 1 pada daerah[−3, 3]× [2, 2].

5. (x2 + y2)2 = (x2 − y2) pada [−1, 1]× [−1, 1].

6. 2x4 + y4 − 3x2y − 2y3 + y2 = 0 pada [−5/2, 5/2]× [−5/2, 5/2].

Catatan : untuk memperhalus kurva soal (e) dan (f) dapat ditambahkan perintah grid=[200,200]kedalam opsi plotnya.

5.4 Grafik fungsi 3 dimensiPerintah yang digunakan untuk menggambar grafik 3 dimensi ini adalah plot3d. Beberapa strukturyang mungkin adalah

plot3d(expr,x=a..b,y=c..d), plot3d(f, a..b,c..d), plot3d([f,g,h],x=a..b,y=c..d), dimana expr,f,g,hadalah fungsi dalam x dan y, [a; b] batas pada sumbu x, [c; d] batas pada sumbu y.

>plot3d ( x∗exp(−x^2−y^2) , x=−2..2 ,y=−2..2 , t i t l e ="Plot permukaan " ) ;

Perintah ini digunakan untuk menggambarkan grafik fungsi f(x, y) = xe−x2−y2pada daerah [−2, 2]×

[−2, 2].

5.5 Penggunaan implicitplot3dKita tahu bahwa persamaan bola dengan pusat asal (0, 0, 0) dan radius 1 adalah x2 + y2 + z2 = 1.Untuk itu menggambar kurva ini kita gunakan implicitplot3d berikut.

>imp l i c i t p l o t 3 d (x^2+y^2+z^2=1 , x=−1..1 ,y=−1..1 , z =−1. .1);

7

Latihan 7: Gambarkan grafik/kurva yang diberikan oleh fungsi/persamaan berikut!

1. f(x, y) = xx2+y2 untuk x dan y pada rentang dari -1 sampai 1.

2. f(x, y) = x(x2−3y2)dengan x dan y diatur sedemikian rupa sehingga grafiknya terlihat utuh.

3. f(x, y) = sin(2πx)sin(2πy) dengan x dan y pada rentang dari 0 sampai 25.

4. Gambarkan kurva elipsoida x2

4 + y2

9 + z2

16 = 1 dengan range diatur sendiri sehingga kurvaterlihat utuh.

8

MAPLE : Pertemuan 3

6 KalkulusMateri yang tercakup pada bahasan ini adalah diferensial, integral, limit fungsi, luas dan vol-ume benda putar, limit fungsi dan fungsi cabang. Maple telah menyediakan paket fasilitas untukmenyelesaikan masalah-masalah kalkulus ini. Untuk mengaktifkan fasilitas ini kita lakukan perintahberikut’

>with ( Student [ Calcu lus1 ] ) :

6.1 DiferensialMisalkan diketahui fungsi f(x) = xsin(x) + x2. Untuk menentukan derivatif fungsi ini kita meng-gunakan perintah diff berikut :

>d i f f ( x∗ s i n (x)+x^2 ,x ) ;

maka hasil keluarannya adalah cos(x)x + sin(x) + 2x. Struktur umum penggunaan diff adalahdiff(a,x,y,z,...) dimana a ekspresi fungsi yang akan didiferensialkan, x,y,z ... variabel diferensiasi.Perintah diff dapat digunakan untuk menentukan turunan parsial. Misalkan kita mempunyai fungsi2 variabel

f(x; y) = x2 + y2 + sin(xy) + ex+y.

>f :=(x , y)−>x^2+y^2+s in (x∗y)+exp (x+y ) ;>Df_x=d i f f ( f (x , y ) , x ) ;

Dfx = 2x + cos(xy)y + e(x+y)

Selain diff, terdapat pula perintah DerivatifPlot yang digunakan untuk menentukan derivatifsekaligus menggambar plot fungsi asal dan grafik derivatifnya. Coba periksa apakah yang dihasilkanperintah berikut!

>Der iva t i v eP lo t ( x∗ s i n (x ) ) ;

6.2 IntegralUntuk keperluan integral ini digunakan perintah int. Struktur penggunaan perintah int adalahint(expr,x) atau int(expr,x=a..b). Misalkan kita akan menentukan nilai integral taktentu∫

(xsinx + x3)dx

dan integral tertentu ∫ π/2

0(xsinx + x3)dx

maka perintahnya adalah sebagai berikut

>f :=x−>x∗ s i n (x)+x^3;>in t ( f ( x ) , x ) ;

maka hasilnya adalah sin(x)− cos(x) + 15x4. Selanjutnya

>in t ( f ( x ) , x=0. . Pi / 2 ) ;

menghasilkan nilai 1 + 164π2.

9

6.3 Luas dan volume benda putarBila fungsi y = 1

x diputar mengelilingi sumbu x dari x = 1 sampai dengan x = 2 maka akanterjadi benda tiga dimensi yang mirip terompet. Selain bentuknya, dua fakta lain yang pentingdiperhatikan adalah luas permuakaan dan volume benda putar yang terjadi.

>Sur faceOfRevolut ion (1/x , x =1 . . 2 ) ;>Sur faceOfRevolut ion (1/x , x=1. .2 , output=p lo t ) ;

Perintah pertama akan menghasilkan nilai π√

2−πln(1+√

2)− 14π√

17+πln(4+√

17), sedangkanperintah kedua akan menghasilkan gambar benda putar yang terbentuk. Selanjutnya

>VolumeOfRevolution ( s i n (x ) , x=0. . Pi / 2 ) ;>VolumeOfRevolution ( s i n (x ) , x=0. . Pi /2 , output=p lo t ) ;

mempunyai makna yang sama seperti sebelumnya tetapi untuk volume benda putar yang dihasilkanoleh y = sin(x).

6.4 Limit fungsiMasalah menghitung limit

limx→2

x2−4x−2

dapat dilakukan dengan mudah, yaitu

>l im i t ( ( x^2−4)/(x−2) ,x=2);

dan hasilnya adalah 4. Maple juga mampu untuk menghitung limit kiri dan limit kanan. Misalkankita akan menghitung

limx→0+

1e1/x+1

dan limx→0−

1e1/x+1

Maka perintah yang perlu diberikan adalah

>l im i t ( 1 / ( exp (1/x )+1) , x=0, l e f t ) ;

untuk limit kiri dan

>l im i t ( 1 / ( exp (1/x )+1) , x=0, r i g h t ) ;

untuk limit kanan.

6.5 Fungsi bercabangMisalkan kita mempunyai fungsi yang didefinisikan sebagai berikut

f(x)

−1 bila x < 0,

x2 bila 0 ≤ x ≤ 1,

2x untuk x lainnya.

Pertanyaan yang terkait dengan fungsi ini sangat banyak misalnya berapakah f(0, 5), f(−0, 3), f(3),atau mungkin diminta untuk menghitung

∫ 2

−1f(x). Jadi kuncinya adalah bagaimana kita mendefin-

sikan fungsi cabang ini dalam input Maple. Caranya adalah menggunakan perintah piecewiseberikut :

>f :=x−>pi e c ew i s e (x<0 ,−1 , x>=0 and x<=1,x^2 ,2∗x ) ;

Selanjutnya, coba jalankan perintah berikut

10

>f ( 3 ) ;>in t ( f ( x ) , x ) ;>in t ( f ( x ) , x=−1. .1);>d i f f ( f ( x ) , x ) ;

Latihan 8:

1. Tentukan derivatif fungsi f(x) = x sin(1/x)

2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = e−x2dari x = 0 sampai denganx = 4.

3. Hitunglah luas dan volume benda putar yang terbentuk dari pemutaran kurva y = x3 darix = −1 sampai dengan x = 1.

4. Hitunglah limx→0

(1 + 1x )x Bandingkan hasilnya dengan e.

5. Hitunglah limx→0+

( 1x −

1arctan x )

6. Hitunglah limx→π/2−

(sec x− tan x)

7. Diberikan fungsi

f(x) =

{x sin(1/x) bila x 6= 00 bila x = 0.

(a) Gambarkan grafik fungsi ini beserta grafik fungsi y = x dan y = −x dari x = −1/πsampaidengan x = 1/π.

(b) Hitunglah limx→0

f(x)dx.

(c) Tentukan∫

f(x)dx.

(d) Tentukan ddxf(x).

8. Hitunglah luas daerah dan volume benda putar jika fungsi f(x) pada soal no 7 diputar men-gelilingi sumbu x dari x = 1/(2π) sampai dengan x = 1/π.

11

MAPLE : Pertemuan 4

7 Aljabar LinierMaple telah menyediakan paket aljabar linier yang diaktifkan dengan cara ketik perintah berikut

>> with ( LinearAlgebra ) :

Lebih dari 50 command yang ada disini yang dapat digunakan untuk memecahkan banyak per-masalahan dalam aljabar linier. Namun pada pengenalan ini hanya dibahas cara mendefinisikanmatriks, vektor, operasi aljabar pada matriks dan vektor, transpose, invers, determinan matriks,hasil kali titik, hasil kali silang dan norm (besar) vektor. Misalkan kita mempunyai matriks danvektor berikut

A =

1 2 23 0 14 2 2

, B =

−1 3 20 2 24 −3 −5

, u =

321

, v =

201

Matriks dan vektor ini didefinisikan sebagai berikut.

>A := Matrix ( [ [ 1 , 2 , 2 ] , [ 3 , 0 , 1 ] , [ 4 , 2 , 2 ] ] ) ;>B := Matrix ( [ [ − 1 , 3 , 2 ] , [ 0 , 2 , 2 ] , [ 4 , − 3 , − 5 ] ] ) ;>u := Vector ( [ [ 3 , 2 , 1 ] ] ) ;>v := Vector ( [ [ 2 , 0 , 1 ] ] ) ;

Untuk menghitung determinan matriks A dilakukan dengan cara

>Determinant (A) ;

Invers matriks A ditentukan dengan cara

>Matr ixInvers (A) ;

Transpose matriks A diperoleh dari

>Transpose (A) ;

Hasil kali antara matriks dan vektor dilakukan sebagai berikut :

>C:=A . B;>d:=B . u ;

Operasi penjumlahan dan pengurangan dilakukan seperti biasa. Hasil kali titik dan hasil kali silangantara vektor u dan vektor v adalah

>t :=DotProduct (u , v ) ;>s :=CrossProduct (u , v ) ;

Norma (besar) vektor u diperoleh dari:

>n:=norm(u ) ;

Sudut antara vektor u dan v adalah

>theta :=VectorAngle (u , v ) ;

Bila masih didapatkan dalam bentuk arccos maka tambahkan evalf didepannya.

12

Latihan 9 : Diberikan matriks dan vektor berikut :1. Matriks A berukuran 4× 4 dengan entri ai,j = 1

i+j .2. Matriks B berukuran 4× 4 dengan semua entrinya 1.3. Vektor u sebagai diagonal utama matriks A4. Vektor v sebagai kolom keempat matriks A.

Hitunglah menggunakan Maple, hitunglah invers matriks A, transpose matriks A, AB, BA, Au,determinan matriks B, hasilkali titik dan hasilkali silang antara vetor u dan v, besar sudut antaravektor u dan v.

8 Maple sebagai media pembelajaranMengajarkan suatu konsep didalam matematika membutuhkan persiapan khusus, termasuk mediapembelajarannya. Media pembelajaran menjadi sesuatu yang penting karena ia dapat mempermu-dah pemahaman siswa terhadap suatu konsep. Matematika yang terdiri dari objek abstrak dapatlebih direalistiskan dengan menggunakan media audio visual. Maple sebagai software matematikamempunyai fasilitas untuk membuat media pembelajaran dalam bentuk graphical user interface(GUI). Dengan menggunakan fasilitas ini, menjelaskan suatu konsep dapat dilakukan dengan carainteraktif. Beberapa topik tertentu sudah disediakan oleh Maple, sedangkan topik-topik lainnyadapat dirancang sediri oleh guru. Fasilitas Maple yang dapat digunanakan untuk membuat mediaini disebut MAPLET.

Untuk menjelaskan keunggulan Maplet pada Maple ini, kita ambil contoh materi persamaangaris lurus. Kalau tidak salah topik ini diberikan pada tingkat satuan pendidikan SMP. Dalammengajarkan konsep garis lurus pada aljabar, kita memperkenalkan beberapa cara untuk mem-peroleh persamaan garis ini. Sebelumnya, konsep seperti titik potong dengan sumbu koordinat,gradien/ kemiringan (slope), titik yang dilalui garis, garis yang melalui titik, intersep. Selanjutnyabeberapa bentuk persamaan garis adalah :

1. Garis yang melalui titik p = (x1, y1) dan gradien m mempunyai persamaan

y − y1 = m(x− x2)

2. Garis yang melalui dua titik p1 = (x1, y1) dan p2 = (x2, y2) mempunyai bentuk persamaan

x− x1

x2 − x1=

y − y1

yx2 − y1

3. Garis yang mempunyai gradien m dan intersep a mempunyai bentuk persamaan

y = mx + a

4. Bentuk umum persamaan garis lurus adalah

ax + by = c

Untuk mengajarkan materi ini akan sangat membantu jika kita mencoba untuk menggunakan fasil-itas Maple berikut. Pada menubar, klik

tool-tutors-precalculus-line...Apa yang anda temukan di sana, silahkan berimprovisasi lebih lanjut. Lebih lanjut, dengan meng-gunakan Maplet kita dapat merancang sendiri media pembelajaran untuk tiap-tiap materi sesuaidengan kebutuhan. Kemampuan dasar dan pemrograman dalam Maple mutlak diperlukan untukmembuat Maplet ini. Silahkan bereksplorasi.

13

SPSS : Pertemuan 5

9 PENDAHULUANStatistik dalam praktek berhubungan dengan banyak angka, hingga diartikan “numerical decrip-tion” oleh banyak orang. Namun selain merupakan kumpulan data, statistik juga dipakai untukmelakukan berbagai analisis terhadap data, seperti melakukan peramalan (forecasting), melakukanberbagai uji hipotesis dan lainnya.

Aplikasi ilmu statistic dibagi dalam dua bagian :

• Statistik Deskriptif Menjelaskan (menggambarkan) karakteristik data, seperti rata-rata, var-iansi, modus dll

• Statistik Induktif (Inferensi) Statistik induktif berusaha membuat berbagai inferensi terhadapsekumpulan data yang berasal dari suatu sample. Melakukan perkiraan, peramalan, pengam-bilan keputusan dan sebagainya.

Elemen Statistik :

1. Populasi

2. sampel

3. Statistik inferensi Pada dasarnya adalah suatu keputusan, perkiraan atau generalisasi tentangsuatu populasi berdasarkan informasi yang terkandung dari suatu sample. Jadi apa yangdisimpulkan dari analsisi terhadap sampel, itu pula digeneralisasi (kesimpulan umum) padapopulasi.

4. Pengukuran Realibilitas dari statistic inferensi Dari tiga elemen diatas, dapat disimpulkanbahwa tujuan statistik pada dasarnya adalah melakukan deskripsi terhadap data sampel, ke-mudian melakukan inferensi terhadap populasi data berdasarkan pada informasi (hasil statsi-tik deskripsi) yang terkandung dalam sampel. Namun karena sampel yang diambil hanyalahsebagaian dari populasi, maka dapat terjadi bias dalam kesimpulan yang diperoleh. Olehkarena itu perlu adanya prediksi kesalahan terhadap suatu keputusan.

10 PENGENALAN SPSS FOR WINDOWSSPSS (Statistical Package for Social Science) adalah software khusus untuk menganalisis data statis-tik yang banyak dipakai dalam berbagai riset pasar, pengendalian dan perbaikan mutu (qualityimprovement) serta riset-riset sains.

Window pada SPSS

1. Data EditorWindow ini terbuka secara otomatis setiap kali SPSS dijalankandanberfungsi untuk inputdata SPSS. Menu yang ada pada data editor adalah : File, Edit, View, Data, Transform,Analyze, Graphs, Utilities, Window dan Help.

2. Output viewerMerupakan window untuk menampilkan hasil pengolahan data atau informasi yang telahdiolah lewat menu analyze. Isi output dapat berupa sebuah tabel, sebuah grafik atau sebuahteks.

14

3. Syntaks EditorWalaupun SPSS sudah menyediakan berbagai macam pengolahan data statistik secara memadai,namun ada beberapa perintah atau pilihan yang hanya dapat ditulis pada menu syntaks ed-itor. Perintah SPSS harus diketik secara manual, namun SPSS juga menyediakan berbagaikemudahan untuk pembuatan syntaksseperti lewat Output Log, Journal File dan lainnya.

4. Script EditorScript Editor digunakan untuk melakukan berbagai pengerjaan SPSS secara otomatis, sepertimembuka dan menutup file, ekspor Chart, penyesuaian bentuk output dan lainnya.

Menjalankan SPSS for Windows Untuk menjalankan SPSS pilihlah dari start menu, menuprogram kemudian pilih SPSS 10.0 for Windows. Ketika SPSS telah jalan akan muncul tampilanpertanyaan “What would you like to do ? untuk sementara pilih “Cancel”.

Data editor mempunyai 2 fungsi utama :

1. Input data yang akan diolah oleh SPSS.

2. Proses data yang telah diinput dengan prosedur statistik tertentu.

Input Data ke SPSS Untuk lebih mempermudah untuk memahami maka akan dijelaskan den-gan contoh, misalnya kita punya data :

Orang ke Jenis Kelamin Umur Jumlah Saudara Tinggi Badan1 Laki-laki 26 0 165.672 Perempuan 28 3 160.453 Laki-laki 19 2 167.984 Perempuan 17 2 150.565 Perempuan 25 1 154.876 Laki-laki 26 5 170.057 Laki-laki 30 1 165.328 Perempuan 39 2 145.98

Langkah-langkah yang dilakukan adalah

1. Buka lembar kerja baruUntuk membuka lembar kerja baru dari menu utama File, pilih menu New kemudian pilihData.

2. Menamai variabel yang diperlukan.Klik mouse pada tab sheet Variable View yang ada di bagian kiri bawah, atau dari menuView pilih submenu Variable.Langkah-langkah yang dilakukan adalah :

• Pada contoh di atas variable pertama adalah orang ke, definisi dari variable ini :• Name, letakkan pointer di bawah kolom Name, ketik nama variabel misalnya orang_ke

(ingat ! Tidak boleh ada spasi pada nama variabel). Secara otomatis kolom lain padabaris ini akan terisi, yang merupakan format default dari variabel. Ketik juga namavariabel yang lain pada baris bawahnya.

• Type, macam-macam tipe data pada SPSS adalah Numeric, Comma, Dot, Scientificnotation, Date, Dollar, Custom Currency dan string, sedangkan tipe data defaultnyaadalah numeric.untuk variabel orang_ke tipenya adalah numeric, sedangkan untuk jeniskelamin tipenya adalah string.

• Width, merupakan lebar karakter atau jumlah digit angka variabel.• Decimals, menunjukkan nilai di belakang koma, untuk tipe string nilai desimal otomatis

terisi 0.

15

• Label, adalah keterangan untuk nama variabel, kolom ini tidak harus diisi.

• Values, untuk proses pemberian kode, misalnya untuk jenis kelamin, kode 1 = “laki-laki”sedangkan 2 = “ perempuan”. setelah value dan value label diisi klik Add.

• Missing, yaitu data yang hilang atau tidak ada, abaikan bagian ini.

• Column, hampir sama dengan width yaitu untuk menentukan lebar kolom.

• Align, yaitu posisi data, rata kiri, rata kanan atau tengah.

• Measure, bagian ini penting karena menyangkut tipe variabel yang nantinya akan berpen-garuh pada jenis analisis yang akan digunakan. Untuk data kuantitatif dan tanpa kat-egorisasi, otomatis SPSS akan memilih scale, untuk data yang bersifat unik (tidak adadata yang sama) maka pilih nominal.

3. Mengisi dataUntuk mengisi data klik tab sheet Data View pada kiri bawah layar atau pilih menu viewdan klik Data, atau langsung tekan CTRL+T. Salah satu cara di atas akan membuat tampi-lan data editor kembali ke data view , dengan cirri munculnya 5 nama variabel yang telahkita masukkan. Pengisian dilakukan dengan mengetik biasa, seperti pada Ms. Excel, ataumengetik tabel pada Ms. Word.Untuk variable dengan value (contoh jenis kelamin), pengisian dilakukan cukup dengan mengetiknilai valuenya, secara otomatis SPSS akan mengubah menjadi laki-laki atau perempuan. Tapisebelumnya Value Label harus diaktifkan dulu dengan cara dari menu view klik mouse padavalue label sehingga menjadi aktif (dengan adanya tanda

√)

Menyimpan Data Untuk menyimpan data caranya adalah sebagai berikut : Dari menu utamaFile pilih submenu Save As (untuk penyimpanan pertama) atau Save untuk data yang pernahdisimpan. Untuk penyimpanan pertama beri nama kemudian klik Save. Data akan tersimpandengan ekstensi .sav.

Menyisipkan Data

1. Menyisipkan variableLetakkan pointer di sembarang tempat di kolom orang_ke, Pilih insert variable dari menuData, untuk menamai variable ini lakukan pada variable view.

2. Menyisipkan kasus(cases)Letakkan pointer pada sebarang tempat di baris yang akan disisipi, kemudian dari menu Datapilih Insert Cases maka akan muncul baris kosong yang bisa langsung diisi.

Memisah Isi file dengan Kriteria tertentu Misalnya data akan dipisah berdasasrkan jeniskelamin maka langkahnya adalah :

• Dari menu Data pilih Split File, hingga muncul• klik pilihan Organize output by groups.• Pilih variable jeniskel klik panah hingga jeniskel masuk ke kolom Group based on• Pilih sort the file by grouping variable.

Megurutkan Data Jika isi file akan diurutkan berdasarkan tinggi badan maka ; Dari menu Datapilih Sort Cases klik variable tinggi masukkan dalam kolom Sort By dan klik ascending. Terakhirtekan OK.

16

11 TRANSFORMASI DATAPerintah Compute Perintah dari menu Transform ini berfungsi untuk menambah variable baruyang berisi hasil perhitungan berdasar data variabel lain. Misalnya pada contoh di atas akan dibuatvariable baru yang berisi berat ideal yang dihitung dari tinggi badan, yaitu : berat ideal = tinggi– 110. Langkahnya :

• Dari menu Transform pilih Compute, tampak dilayar :• Isi target variable dengan nama variable baru, misalnya ideal.• Tekan tombol Type&Label.• Pada kolom label isi dengan berat ideal responden, dan type diisi numeric.• Numeric expression diisi dengan mengetik pada kotak : Tinggi - 110• Tekan tombol OK

Perintah Count Berfungsi untuk menghitung data dengan criteria tertentu. Untuk menghitungcount yang lebih kompleks buatlah file data sebagai berikut :

NIP Gender Bidang Status Pendidikan Gaji Umur Kerja921 Pria Marketing Menikah SMU 276 28 4925 Wanita Akuntansi Menikah Sarjana 350 30 5927 Wanita Marketing Belum SMU 265 23 3930 Pria Akuntansi Menikah Akademi 300 27 4937 Wanita Marketing Belum SMU 265 22 3939 Pria Produksi Belum Akademi 270 25 2941 Wanita Produksi Menikah Sarjana 350 30 5942 Wanita Akuntansi Belum Akademi 275 25 2944 Pria Produksi Menikah Akademi 300 29 4945 Wanita Marketing Belum SMU 265 24 3Gaji dalam ribuan. Simpan File misalkan dengan nama Fileku.

Langkah selanjutnya adalah : Dari menu Transform pilih Count,

• Target variable diisi nama variable baru, misal pria_270

• Target label isi dengan jumlah pria bergaji >270

• Variable, diisi dengan nama variable yang akan diproses, pilih gender.

• Tekan devine values, value diisi dengan 1(value gender pria = 1).

• Untuk menulis persyaratan gaji di atas 270.000, tekan tombol If, klik pilihan Include ifcases satisfies condition, isi kotak bawahnya dengan : Gaji >270 Kemudian tekan tombolcontinue

• Tekan tombol OK

Rank Cases Berfungsi untuk mengurutkan kasus dengan kriteria tertentu, misalnya pada fileFileku akan diurutkan berdasarkan umur, maka langkahnya adalah :

• Dari menu transform, pilih Rank cases, tampak pada layar :

• Karena umur diurutkan berdasarkan gendernya maka pindah gender ke kolom By.

• Pilihlah Display summary tables.

• Pilih rank untuk rank types dan pilih Mean untuk ties.

• Tekan OK.

17

Automatic Recode Fungsi ini akan mengubah sebuah variable numerk tanpa values menjadivariable numeric dengan values secara otomatis. Misalnya pada file Fileku, akan dilakukan auto-matic recode , sehingga umur akan dibuat kode sendiri. Lamgkahnya :

• Dari menu transform pilih automatic recode.• Isi variable−→ New Name , masukkan variable umur.• Ketik umur_rec untuk New Name, kemudian tekan tombol New Name.• Pilihlah Lowest Value untuk Recode starting From.• Tekan OK.

12 GRAFIKDalam SPSS tersedia fasilitas pembuatan grafik yang memungkinkan pemakai mentransformasikandata statistik ke dalam berbagai bentuk grafik yang menarik dan komunikatif. Sebagai contoh kasus

Karyawan Pendidikan Masuk Usia Gaji_aw Gaji_ki1 SMA 1994 24 550 5652 Akademi 1992 35 750 7753 SMA 1994 25 525 5454 Sarjana 1992 33 800 8505 Akademi 1993 35 675 6806 Sarjana 1992 33 980 9907 SMA 1994 25 475 5458 Akademi 1993 25 650 7509 Sarjana 1993 30 825 85010 Sarjana 1994 27 815 82011 Akademi 1993 27 725 74012 Akademi 1993 31 770 79013 SMA 1993 30 650 70014 SMA 1992 33 450 50015 Sarjana 1994 33 800 825

Masukkan data di atas dengan semua variable bertype Numeric dan untuk variable didik isilahValue dengan nilai 1 untuk SMA, 2 untuk Akademi dan 3 untuk Karyawan.Pada prinsipnya, grafik yang dibuat dalam SPSS dapat dibagi dalam 3 bagian, yaitu :

1. Summaries for groups of cases Grafik ini menyajikan data untuk tiap grup tertentu ( dalamkasus ini misal untuk karyawan yang berpendididkan SMA, Akademi dan sarjana).

2. Summaries of separate variables Grafik ini menyajikan data untuk tiap variable yang terpisah( misal variable usia dibandingkan dengan variable gaji).

3. Values of individual cases Grafik ini menyajikan data untuk setiap kasus secara individual(misal penyajian data kelima belas karyawan secara berurutan).

Sedangkan jenis grafik adalah sebagai berikut :

1. Grafik Bar (Batang)

18

SPSS : Pertemuan 6

13 Analisis Statistik Menggunakan SPSS

13.1 MEANSTujuannya untuk mendapatkan serangkaian statistik deskriptif dari berbagai masukan data, dalamhal ini tidak ada uji hipotesis.Kasus : Seorang peneliti menyajikan data tinggi dan berat badan di daerahnya, hasilnya adalah :

Tinggi Berat Gender Tinggal1 174.5 65.8 Pria Desa2 178.6 62.7 Pria Desa3 170.8 66.4 Pria Kota4 168.2 68.9 Pria Desa5 159.7 67.8 Pria Kota6 167.8 67.8 Pria Kota7 165.5 65.8 Pria Desa8 154.7 48.7 Wanita Kota9 152.7 45.7 Wanita Kota10 155.8 46.2 Wanita Desa11 154.8 43.8 Wanita Kota12 157.8 58.1 Wanita Kota13 156.7 54.7 Wanita Desa14 154.7 49.7 Wanita Kota

Langkah langkah pengolahan data :

• Pilih Analyze

• Compare Means

• Means, akan muncul tampilan:

• Dependent List (variable tak bebas) diisi dengan berat dan tinggi (variable dengan tipe nu-meric)

• Independent List (variable bebas) diisi dengan gender (variable dengan tipe string).

• Tekan tombol next.

• Masukkan variable tinggal ke independent List sebagai layer kedua.

• Tekan OK

13.2 UJI ANOVAUji ini digunakan untuk pengujian lebih dari dua sample. Asumsi yang digunakan pada pengujianAnova adalah :

1. Populasi-populasi terdistribusi normal.2. Varians dari populasi-populasi tersebut adalah sama.3. Sample tidak berhubungan satu sama lain.

Kasus : Sebuah pabrik selama ini mempekerjakan karyawannya dalam 4 shift (satu shift terdiriatas sekelompok pekerja yang berlainan). Manajer pabrik tersebut ingin mengetahui apakah adaperbedaan produktivitas yang nyata diantara 4 kelompok kerja shift yang ada selama ini. Hasilpengamatan produktifitas kerja adalah :

19

Hari Shift 1 Shift 2 Shift 3 Shift 41 38 45 45 582 36 48 48 253 39 42 42 344 34 46 46 265 35 41 41 396 32 45 45 447 39 48 48 328 34 47 47 389 32 42 42 3910 36 41 41 4311 33 39 39 4412 39 33 33 62

Ubahlah tabel data pada kasus di atas dalam format 2 kolom, dengan variable produk (jumlahproduksi) dan shift. Tipe data shift adalah numeric, dengan nilai value 1 untuk shift satu, 2 untukshift dua dan seterusnya. Simpan data tersebut dengan nama ANOVA1. Langkah selanjutnya :

• Pilih menu Analyze −→ Compare Means −→ One Way Anova,

• Oleh karena yang akan diuji produktifitas karyawan, maka Dependet List diisi denganvariable produk

• Oleh karena variable pengelompokan ada pada variable Shift maka Factor diisi dengan Shift.

• Tekan tombol Option, Untuk tombol statistic pilih descriptive dan Homogenetity ofvariance. Abaikan Missing Values. Tekan continue

• Tekan Post Hoc (analisis lanjutan dari F Test),

• Untuk keseragaman pilih Benferroni dan Tukey. Tekan Continue.

• Tekan OK.

ANALISIS Output bagian pertama berisi ringkasan data yang diproses.Output bagian kedua (Analysis of Variance/uji ANOVA). Dalam kasus ini Anova satu factor untukmelihat apakah ada perbedaan yang nyata antara produktivitas kerja antara kelompok kerja shiftdan kelompok gender.

Hipotesis : Ho= keempat rata-rata populasi adalah identikHi= keempat rata-rata populasi adalah tidak identik

Pengambilan keputusan: Berdasar kelompok shift Terlihat bahwa nilai probabilitas 0,000 yangberarti kurang dari 0,05, maka Ho ditolak atau rata-rata produksi keempat kelompok shift tersebutmemang berbeda nyata.

LATIHAN Uji Anova dua arah

13.3 Korelasi Bivariate / Product moment PearsonKorelasi adalah asosiasi / hubungan antara variable-variabel yang diminati. Di sini akan disorotidua analisis korelasi yaitu tentang apakah data sample yang ada menyediakan bukti cukup bahwaada kaitan antar variable-variabel dalam populasi asal sample dan jika ada hubungan seberapa kuathubungan antar variable tersebut.

Korelasi Bivariate / Product moment Pearson untuk mengukur keeratan hubungan diantarahasil-hasil pengamatan dari populasi yang memounyai dua varian (bivariate). Perhitungan ini

20

mensyaratkan bahwa populasi asal sample mempunyai dua varian dan terdistribusi normal. KorelasiPearso banyak digunakan untuk mengukur korelasi data interval atau rasio.

Contoh kasus : Ingin diketahui apakah ada korelasi diantara variable-variabel berikut : Jumlahpelanggaran lalu lintas, jumlah mobil, sepeda motor dan jumlah polisi. Untuk itu diambil datamengenai variable-variabel di atas pada sejumlah daerah pada waktu tertentu dengan hasil sebagaiberikut :

Tilang Mobil Motor Polisi20 258 589 8924 265 587 5225 249 698 5918 125 625 5715 * 712 5216 124 692 48* 251 681 4910 * 634 2912 124 697 2717 159 521 59

Ket : tanda * menunjukkan data tersebut ‘missing’ atau tidak diketahui / tersedia.Untuk pengolahan data masukkan data tersebut ke SPSS dengan semua variable bertype datanumeric. Simpan dengan nama KORELASI. Langkah selanjutnya :

• Pilih submenu Correlate dari menu Analyze. Kemudian pilih Bivariate.

• Karena semua variable akan dikorelasikan maka klik variable tilang kemudian klik tanda >,begitu juga untuk tiga variable lainnya.

• Untuk kolom Correlation Coefficients (alat hitung koefisien korelasi) pilih Pearson karenadata pada kasus ini adalah kuantitatif dan berskala rasio.

• Untuk kolom Test of Significance, pilih Two tailed karena akan diuji dua sisi.

• Untuk pilihan Flag significant correlations atau berkenaan dengan tanda untuk tingkatsignifikansi 5 % dan 10 % akan ditampilkan pada output ataukah tidak. Untuk keseragamanpilihan tersebut dipakai hingga nanti pada output ada tanda * untuk 5 % dan / atau tanda** untuk 10 %. Kemudian klik tombol option

– Pada pilihan statistic abaikan saja.

– Pada pilihan Missing Values atau perlakuan korelasi sehubungan dengan adanya datayang tidak tersedia pada kasus, SPSS menyediakan 2 alternatif yaitu :

∗ Exclude cases pairwise yaitu pasangan yang salah satu tidak ada datanya tidakdimasukkan dalam perhitungan, misal korelasi anatara tilang dan motor pada kasusno 7 yang hilang tilang mengakibatkan korelasi hanya 9 data karena kasus no 7dihilangkan. Dengan demikian pilihan ini mengakibatkan jumlah data tiap korelasibervariasi, tergantung jumlah data yang missing.

∗ Exclude cases Listwise. Pada pilihan ini kasus yang salah satu variabelnya ter-dapat missing data akan dibuang, sehingga jumlah data untuk semua korelasi sama.Pada kasus di atas kasus no 5, 7 dan 8 akan dikeluarkan hingga jumlah kasus menjadi7

– Tekan tombol continue

• Tekan OK.

21

ANALISIS 1. Arti angka korelasi

• Angka korelasi berkisar pada angka 0 (tidak ada korelasi) dan 1 (korelasi sempurna). Sebagaipedoman sederhana angka korelasi di atas 0,5 menunjukkan korelasi yang cukup kuat sedangdi bawah 0,5 korelasi lemah.

• Tanda – (negatif) pada output menunjukkan adanya arah berlawanan, misalnya output kore-lasi antara mobil dan motor yang menghasilkan angka –0,127. hal ini menunjukkan lemahnyakorelasi antara mobil dan motor dan tanda ‘– ‘ menunjukkan bahwa semakin banyak mobilakan membuat semakin sedikit jumlah motor, begitu juga sebaliknya.

• Tanda + (positif) menunjukkan arah yang sama misalnya anatara polisi dan tilang, semakinbanyak polisi berarti semakin banyak pula tilang.

2. Signifikansi hasil korelasi

• Uji dilakukan dua sisi karena akan dicari ada atau tidak hubungan korelasi, bukan lebihbesar atau lebih kecil. Untuk pengambilan keputusan dilihat pada kolom Sig. (2-tailed)didapat serangkaian angka probabilitas. Terlihat hanya ada satu pasangan yang berkorelasisecara signifikan, yaitu antara mobil dan tilang (probabilitas 0,015 < 0,05). Oleh karenaitu disimpulkan bahwa yang berkorelasi secara signifikan hanya variable mobil dengan tilang.Keputusan bisa juga dilihat berdasarkan tanda * (lihat pilihan flag Significant correlations),terlihat hanya variable mobil dan tilang yang terdapat tanda *.

LATIHAN Masih banyak Analisis korelasi diantaranya Sperman dan Kendal, Korelasi Parsialataupun korelasi distance.

13.4 REGRESI SEDERHANAAnalisis regresi digunakan terutama untuk tujuan peramalan, dimana dalam model tersebut adavariable dependen(tergantung) dan independen (bebas). Regresi sering dibedakan menjadi dua,yaitu regresi sederhana (simple regression) jika hanya ada satu variable independen dan regresiberganda jika lebih dari satu variable independen.

Contoh Kasus regresi sederhana: PT CEMERLANG gencar melakukan promosi produknyadi berbagai daerah. Berikut data biaya promosi dan hasil penjualan di 15 daerah :

Daerah Penjualan (Juta Rp.) Promosi (Juta Rp.)Jakarta 205 26

Tangerang 206 28Bekasi 254 35Bogor 246 31

Bandung 201 21Semarang 291 49

Solo 234 30Yogya 209 30

Surabaya 204 24Purwokerto 216 31

Madiun 245 32Tuban 286 47Malang 312 54Kudus 265 40

Pekalongan 322 42Disini ingin diketahui seberapa besar hubungan atau seberapa jauh pengaruh promosi terhadaphasil penjualan, maka akan dilakukan uji regresi dengan variable dependen Penjualan dan variable

22

independen adalah biaya promosi. Langkah pertama masukkan data tersebut ke SPSS dengantype variable string untuk daerah dan numeric untuk yang lainnya, kemudian simpan dengan namaregresi_sederhana. Langkah selanjutnya :

• Dari menu Analyze pilih Regression kemudian pilih Linier.

• Masukkan variable jual pada kolom dependent dan promosi pada kolom independent.

• Karena kasus didasarkan pada daerah maka Cases Labels atau keterangan pada kasus diisidengan daerah.

• Untuk Method untuk keseragaman pilih defaultnya yaitu Enter.

• Pilih Option,

– Untuk Stepping Method Criteria, gunakan uji F yang mengambil standard angkaprobabilitas 5%, oleh karena itu Entry .05 dipilih.

– Untuk pilihan yang lainnya ikuti pilihan defaultnya (tidak perlu diganti).

– Klik Continue.

• Pilih kolom Statistic

– Untuk Regression Coefficient (perlakuan koefisien regresi) tetap aktifkan Estimate(default SPSS). Jika estimate tidak diaktifkan maka koefisien regresi tidak ditampilkanpada output SPSS.

– Untuk Descriptive, tetap aktifkan model fit.

– Residual, klik Casewise diagnostics dan dari situ pilih All cases.

– Klik Continue .

• Pilih kolom Plots (berhubungan dengan grafik untuk regresi)

– Klik pilihan SDRESID dan masukkan ke pilihan Y, klik pilihan ZPRED dan masukkanke pilihan X kemudian klik next.

– Tampak X dan Y kosong. Sekarang pilih ZPRED dan masukkan ke pilihan Y danDEPENDNT ke pilihan X.

– Untuk pilihan Standarized Residual Plots pilih Normal Probability Plot.

– Klik Continue.

• Tekan OK.

23

MATLAB : Pertemuan 7

14 Apakah MATLAB?MATLAB adalah bahasa pemrograman dengan performa tinggi untuk kom- putasi teknis. MAT-LAB menggabungkan tiga unsur : komputasi, visualiasasi dan pemrograman ke dalam satu wadah.Masalah dan penyele- saian pada MATLAB diekspresikan dalam simbol matematika yang familiar.Penggunaan MATLAB mencakup :

• Matematika dan komputasi

• Pengembangan algoritma

• Pemodelan, simulasi dan prototype

• Analsis data, eksplorasi dan visualisasi

• Grak saintik dan keteknikan

• Pengembangan penggunaan, termasuk pembuatan Graphical User Interface (GUI) yang memu-dahkan pemakai dalam memasukkan data dan melihat hasil keluaran suatu program.

MATLAB merupakan singkatan dari matrix laboratory. MATLAB merupakan sistem interakif den-gan elemen basis data berupa array yang tidak membutuhkan dimensi. Oleh karena itu, MATLABmampu menyelesaikan banyak masalah komputasi teknis, khususnya masalah yang dapat diformu-lasikan dalam bentuk matriks dan vektor.

Penggunaan MATLAB dewasa ini sangat luas, tidak hanya di bidang pen- didikan tinggi tetapisudah banyak digunakan pada bidang industri. Pada beberapa topik tertentu yang banyak digu-nakan pada bidang sains dan teknologi telah diciptakan sejumlah toolbox pada MATLAB, sepertisignal processing, control systems, neural networks, fuzzy logic, wavelets, simulation, finance danbanyak lagi yang lainnya.Sistem pada MATLAB terdiri dari lima bagian utama, yaitu

• Development Environment, yaitu kumpulan alat dan fasilitas yang diperlukan untuk meng-gunakan file dan fungsi MATLAB. Bagian ini terdiri dari desktop dan command window,command history, editor dan debugger, dan browsers untuk bantuan, workspace, files, dansearch path.

• Mathematical Function Library, yaitu kumpulan algoritma komutasi mulai dari fungsi seder-hana seperti sum, sine, cosine, dan aritmatika bilangan kompleks sampai fungsi lebih rumitseperti invers matriks, nilai eigen matriks, fungsi bessel, transformasi Fourier cepat,

• MATLAB Language, yaitu bahasa matriks/array yang terdiri dari control flow statements,functions, data structures, input/output, and object-oriented programming features. Olehkarena itu MATLAB dapat digunakan dalam pemrograman dari masalah sederhana sampaimasalah yang sangat kompleks.

• Handle Graphics, yaitu berupa fasilitas untuk penyajian vektor dan matriks sebagai grafik,termasuk anotasi dan pencetakan grafik tersebut. Ia juga memuat fungsi untuk visualisasidata baik dua dimensi maupun tiga dimensi, pemrosesan citra/gambar, animasi dan grafikpresentasi. Pengaturan tampilan grafik dan juga pembuatan GUI telah tersedia pada bagianini.

• Application Program Interface(API), yaitu fasilitas yang dapat digunakan untuk menginter-aksikan program yang ditulis dalam bahasa C, Fortran dan MATLAB. Ia juga memuat fasil-itas untuk pemanggilan routines dari MATLAB (dynamical linking), pemanggilan MATLABsebagai mesin hitung, dan untuk pembacaan dan penulisan MAT-files.

24

15 Memulai dan Mengakhiri MATLABUntuk mengaktifkan MATLAB, cukup diklik dua kali icon shortcut MATLAB pada desktop windowatau melalui kelompok program pada MENU START. Sedangkan untuk keluar dari MATLAB, pilihExit MATLAB dari menu File pada desktop, atau ketik quit pada CommandWindow.

16 Tampilan MATLABKetika pertama kali kita memulai MATLAB akan muncul desktop MATLAB yang memuat alat-alatuntuk pengolahan file, variabel dan aplikasi apapun yang berakitan dengan MATLAB.

Tampilan Desktop MATLAB

• Command Window, Fungsi dari Command Window adalah untuk memasukkan variabeldan menjalankan fungsi MATLAB dan M-files.

• Command History, Baris-baris yang telah kita buat pada Command Window selalu ter-cantum pada Command History sehingga kita dapat melihat, dan mengambil kembali barisyang telah digunakan sebelumnya.

• Launch Pad, Berfungsi untuk memudahkan dalam mengakses fasilitas, demonstrasi dandokumentasi pada MATLAB.

• Help browser, Fungsi dari browser adalah untuk mencari dan melihat dokumen pada MAT-LAB yang diperlukan untuk minta bantuan. Untuk mengaktifkan sarana ini klik tomboltandatanya pada toolbar, atau ketik helpbrowser pada Command WIndow.

• Current Directory, Apapun file yang akan dijalankan haruslah terletak pada direktoriyang sedang aktif atau berada pada search path titik acuan. Untuk melihat, membuka ataumengedit file-file MATLAB kita dapat menggunakan Current Directory browser, atau denganmenggunakan perintah dir, cd, dan delete.

25

• Workspace Browser, Workspace Browser pada MATLAB terdiri dari kumpulan variabel(nama array) yang didefinisikan ketika sedang menggunakan MATLAB dan tersimpan didalam memory. Untuk mengetahui variabel yang sedang aktif beserta karakterisasinya kitadapat menggunakan Workspace Brow ser atau dengan mengetik who atau whos pada Com-mand Window. Ingat, variabel ini hanya aktif sementara yaitu sepanjang belum keluar MAT-LAB. Bila kita sudah keluar MATLAB maka semua variabel yang telah didefinisikan akanhilang. Bila variabel tersebut masih akan digunakan lagi maka variabel tersebut dapat dis-impan dengan memilih Save Workspace As dari Menu File.

• Array Editor, Bila kita mengklik double variabel padaWorkspace Browser maka akan munculArray Editor. Editor ini dapat digunakan untuk mengedit data yang ada pada array tersebut.

• Editor/Debugger, Editor/Debugger digunakan untuk membuat M-files dan menjalankanproses debugging. Sesungguhnya M-file dapat dibuat pada text editor apapun tetapi untukproses debugging tetap harus menggunakan MATLAB Editor/Debugger.

Tampilan ini dapat diubah sesuai selera yaitu dengan cara membuka, menutup atau memperbe-sar/memperkecil ukuran window yang tersedia.

17 Ekspresi Matematika pada MATLABPada dasarnya data numerik pada MATLAB berbentuk matriks. Pendefinisian matriks akandiberikan pada bab selanjutnya. Untuk sementara pada bab ini kita hanya berurusan denganbilangan atau skalar. Ekspresi matematika pada MATLAB terdiri dari empat macam, yaitu :

1. Variabel

2. Bilangan

3. Operator

4. Fungsi

VariabelVariabel MATLAB tidak membutuhkan deklarasi ataupun statemen dimensi. Penu lisan variabeldimulai dengan hurup, dapat diikuti dengan hurup atau angka atau underscore. MATLAB hanyadapat mengenal 31 karakter pertama dari nama variabel. Contoh :

>> Jumlah_nilai=270

Tekan enter, maka akan diperoleh :

Jumlah_nilai =270

>>

Di sini Jumlah_nilai adalah nama variabel yang disimpan pada workspace dengan nilai 270. Bilaterdapat variabel baru dengan nama sama maka secara otomatis nilai variabel lama akan terhapusdan berlaku nilai variabel baru. MATLAB sangat sensitif dalam membaca variabel, ia membedakanantara hurup besar dan hurup kecil. Contoh : X dan x adalah dua variabel yang berbeda. Padasatu baris kita dapat mendefinsikan lebih dari satu variabel dengan cara memberikan tanda koma(,) diantara dua variabel. Sebagai contoh

26

> x=23 , X=73

maka akan muncul

x =23

X =73

Semua variabel yang telah didefinisikan tersimpan di dalam workspace. Bila kita ingin melihatkembali variabel apa saja yang telah tersimpan dapat dilihat pada workspace, atau pada commandwindow ketik who atau whos. Sebagai contoh bila diketik perintah whos dan tekan enter makadiperoleh :

>> whosName S i z e Bytes ClassX 1x1 8 double arrayJumlah_nilai 1x1 8 double arrayx 1x1 8 double

array Grand t o t a l i s 3 e lements us ing 24 bytes>>

Jadi kita telah mempunyai tiga variabel dengan nama X, Jumlah_nilai, dan x. Ketiga varibeladalah skalar yaitu matriks dengan ukuran 1x1. Masing- masing variabel membutuhkan 8 byteuntuk ukuran file, jadi total space yang dibutuhkan adalah 24 byte. Untuk mengetahui kembalinilai variabel tersebut cukup diketik nama variabelnya. Sebagai contoh :

>> Jumlah_nilaiJumlah_nilai =

270

Sebagaimana telah dijelaskan bahwa variabel-variabel yang telah didefinisikan tidaklah permanentersimpan pada workspace. Untuk menyimpan variabel di- gunakan perintah >‌>save {nama file}untuk menyimpan semua variabel dan >‌>save {nama file} {nama variabel}{nama variabel}untuk menyimpan variabel tertentu saja. Sebagai contoh

>> save f i l e k u Jumlah_nilaiJumlah_nilai =

25

akan menyimpan variabel Jumlah_nilai dalam fileku.mat. Untuk membersihkan command windowgunakan perintah >‌>clc, sedangkan untuk menghi- lang semua variabel yang ada pada commandwindow gunakan perintah >‌>clear. Jadi perintah

>>c l e a r>>c l c

akan membersihkan command window dan menghapus semua variabel yang telah tersimpan padaworkspace. Dalam kasus ini semua variabel tidak bisa di panggil lagi, kecuali variabel yang telahdisimpan. Untuk memanggil kembali variabel yang tersimpan dalam mat.file, gunakan perintah>‌>load {nama file}. Contoh

>> load f i l e k u

akan mengaktifkan kembali variabel Jumlah_nilai yang tersimpan di dalam file fileku.

27

BilanganBilangan pada MATLAB menggunakan notasi desimal biasa, menggunakan titik desimal, tandaplus atau tanda minus. Notasi saintifik menggunakan hurup e untuk menyatakan pangkat 10.Bilangan imaginer dinyatakan dengan hurup i atau j. contoh : Beberapa contoh bilangan yangberlaku pada MAT LAB : 3, -99 0.0001 9.6397238, 1.60210e-20, 6.02252e+23, 1i, -3.14159j, 3e5i.Semua bilangan tersimpan secara internal dengan menggunakan format long yang dispesifikasi olehstandar titik mengambang (floating-point) IEEE. Bilangan titik mengambang mempunyai presisikira-kira 16 digit desimal signifikan dan jangkauan antara 10−323 sampai dengan 10308.

OperatorOperator pada MATLAB dan artinya dapat dilihat sebagai berikut :

Operator pada Matlab

Lambang arti contoh : >‌>x = 4; y = 12;z = 3-2i;+ penjumlahan >‌>x+y, ans = 16- pengurangan >‌>c=y-b, c=8* perkalian >‌>a*b, ans = 48\ pembagian biasa >‌>x/y, ans = 0.2500/ pembagian kiri >‌>n = x\y, n = 3^ pangkat >‌>x^3, ans = 64’ kompleks konjugat atau transpose matriks >‌>z’, ans = 3+2i

Catatan bahwa x\y berarti x membagi y atau y dibagi oleh x.

Contoh

>> x = 4 ; y = 12 ; z = 3−2 i ;>> x+yans =

16

Angka 16 adalah hasil penjumlahan antara 4 dan 12. Di sini ans adalah variabel yang diberikanoleh MATLAB karena tidak ada definisi variabel untuk x +y sebelumnya.Terkadang kita hanya ingin melihat hasil akhir perhitungan tetapi tidak perlu menampilkan nilaidari setiap variabel dengan alasan terlalu ramai. Untuk itu gunakan saja semicolon (;) setelah nilaivariabel yang tidak perlu ditampilkan.

Fungsi dan kontanta pada matlabMATLAB menyediakan banyak fungsi matematika mulai dari fungsi elementer seperti sqrt, exp,sin, dan lain-lain sampai dengan fungsi matematika lanjutan seperti gamma, beseel, dan lain-lain.Sebagian fungsi pada MATLAB merupakan built-in yaitu bagian yang tidak dapat dipisahkan dariMATLAB sehingga fungsi-fungsi built-in tidak bisa diedit atau dimodifikasi sama sekali. Selainfungsi-fungsi built-in, terdapat pula fungsi MATLAB yang didefinisikan dalam m-file sehingga masihdapat diedit, misalnya fungsi bessel, sinh, dan lain-lain.

Fungsi Pangkat/Eksponensial contohexp Eksponensial. >‌> exp(1), ans =2.7183log Logaritma natural (bilangan pokok e). >‌> log(exp(1)), ans =1

log10 Logaritma bilangan pokok 10. >‌> log10(100), ans = 2log2 Logaritma bilangan pokok 2. >‌> log2(8), ans = 3sqrt Akar kuadrat. >‌> sqrt(225), ans = 15

28

Fungsi Bilangan Kompleksabs Nilai mutlak.

angle Sudut phase.conj Kompleks konjugate.imag Bagian imajiner bilangan kompleks.real Bagian real bilangan kompleks.

Fungsi Pembulatan dan sisafix Pembulatan menuju nol.

floor Pembulatan menuju -∼.ceil Pembulatan menuju ∼.

round Pembulatan menuju bilangan bulat terdekatmod modulorem sisa setelah pembagian

Fungsi Trigonometrisin Sinus.sinh Sinus hiperbolik.asin Invers Sinus.asinh Invers Sinus hiperbolik.cos Cosinus.cosh Cosinus hiperbolik.acos Invers cosinus.acosh Invers cosinus hiperboliktan Tangen.tanh Tangen hiperbolik.atan Invers tangen.atanh Invers tangen hiperbolik.sec secan.sech secan hiperbolik.asec Invers secan.aceh Invers secan hiperbolik.csc Cosecan.csch Cosecan hiperbolik.acsc Invers cosecan.acsch Invers cosecan hiperbolik.cot Cotangen.coth Cotangen hiperbolik.acot Invers cotangenacoth Invers cotangen hiperbolik

>> exp (1)ans =

2.7183>> log ( exp ( 1 ) )ans =

1>> sqr t ( 2 ) , abs (−3)ans =

1.4142ans =

29

3>> x1=−1.4; x2 =3.6 ;>>f i x ( x1 ) , f i x ( x2 )ans =

−1ans =

3>>f l o o r ( x1 ) , f l o o r ( x2 )ans =

−2ans =

3>> c e i l ( x1 ) , c e i l ( x2 )ans =

−1ans =

4>> round ( x1 ) , round ( x2 )ans =

−1ans =

4

Selain fungsi-fungsi elemeter di atas masih terdapat ratusan bahkan ribuan fungsi yang sudah dise-diakan oleh MATLAB, baik dalam bentuk built-in maupun dalam m-le. Secara khusus, MATLABmenyediakan fungsi khusus untuk membangkitkan konstanta yang sering digunakan.

Konstanta pada Matlabpi 3.14159265358...i satuan imajiner, yaitu i =

√−1.

j sama seperti i.eps Presisi relatif, atau epsilon mesin, yaitu 2.2204e-016.

realmin Bilangan titik mengambang terkecil, yaitu 2.2251e-308.realmax Bilangan titik mengambang terbesar, yaitu 1.7977e+308.

Inf Takberhingga.NaN Not-a-number.

>> s in ( p i /2)ans =

1>> atan (1 )ans =

0.7854

Diperhatikan output MATLAB tidak pernah menghasilkan lambang konstanta. Dalam contohterakhir, kita tahu bahwa arctan(1) = π/4 tetapi MATLAB menulis dalam bentuk desimal 0.7854yang merupakan aproksimasi dari π/4 atau dalam degree adalah 45. Untuk mengubah dari radianke degree gunakan perintah >‌> rad2deg(s) dan berlaku sebaliknya.

>> rad2deg ( p i )ans =

180

30

Bilangan eps digunakan sebagai toleransi untuk beberapa fungsi MATLAB, seperti rank, det, eig,dan lain-lain. Lambang Inf akan muncul bila kita membagi dengan nol bilangan yang tidak nol,atau bila hasil suatu kalkulasi melebihi realmax. Sedangkan NaN menunjukkan ekspresi yang tidakterdefinisi, seperti 0/0 atau Inf-Inf. Secara matematis, ekspresi a/0 dengan a 6= 0 juga tidakterdenisi.

>> f a c t o r i a l (170)ans =

7.257415615307994 e+306>> f a c t o r i a l (171)ans =

In f

Di sini fungsi factorial berarti factorial(n) = n! = n(n − 1)(n − 2)(2)(1). Dalam contoh ini,MATLAB masih dapat menghitung 170! tetapi tidak mampu lagi menghitung faktorial yang lebihbesar, karena sudah melebihi bilangan realmax yaitu sekitar 1.7977e+308.

Latihan1. Hitunglah

(a) 1− 22+ 3

4

(b)(

1√2− 5

2√

2

)−2

(c) 2 3√

4(

3√

2 + 3√

16)

(d)12−

34+ 7

812+ 3

4−78

(e) log 13 + e2

(f) ln7− e2log5

2. Carilah masing-masing nilai berikut:

(a) 0.0

(b) 08

(c) 80

(d) 00

(e) 80

(f) 08

3. Hitung f(3,12) jika f(x) =(√

x2+x1+x3

)5

31

MATLAB : Pertemuan 8

18 Format TampilanTampilan standar (default) MATLAB adalah menggunakan sistem desimal dengan empat digitsignikan. Tetapi tampilan ini dapat diubah dalam bentuk lain dengan menggunakan fungsi format.

19 Bekerja dengan MatriksMatriks pada MATLAB berupa array bilangan yang berbentuk persegi pan- jang. Seperti biasaukuran matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom. Secara khusus, bilangan atau skalaradalah matriks berukuran 1 × 1. Sedangkan vektor dipandang sebagai matriks yang hanya mem-punyai satu kolom atau satu baris. Jadi semua data numerik di dalam MATLAB dipan- dangsebagai matriks. Sejumlah ekspresi matematika seperti variabel, bilan- gan, operator dan fungsidigunakan dalam dalam bekerja dengan matriks atau array.Beberapa cara mendefinisikan matrik dalam MATLAB, yaitu :

• Memasukan elemen matriks secara eksplisit.

• Membangun matriks dengan menggunakan fungsi built-in,

• Mendefinisikan matriks dengan M-file.

• Mengambil matriks dari file eksternal.

Contoh cara pertama. Misalkan akan didefinisikan matriks

A =

16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1

.

Caranya :Semua elemen matriks ditulis didalam tanda kurung siku, []. Gunakan spasi atau koma untukmemisahkan tiap-tiap elemen pada setiap baris. Semicolon (;) untuk mengakhiri tiap-tiap baris.

>> A= [ 1 6 3 2 1 3 ; 5 1 0 1 1 8 ; 9 6 7 1 2 ; 4 1 5 1 4 1 ]A =

16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1

Diperhatikan dua ekspresi untuk mendenisikan vektor baris dan vektor kolom berikut :

>> b =[16 3 2 13 ]b =

16 3 2 13>> c = [ 1 6 ; 3 ; 2 ; 1 3 ]c =

1832

13>>c ’ans =

16 3 2 13

32

19.1 Elemen Baris-Kolom MatriksElemen matriks pada MATLAB ditunjukkan oleh indeks baris-kolom, yaitu :

• A(i,j) : Elemen A yang berada pada baris ke i dan kolom ke j.

• A(i1:i2,j1:j2): Sub matriks yang terdiri dari elemen A yang berada pada baris i1 s.d. baris i2,dari kolom j1 s.d. kolom j2.

• A(i,j1:j2): Vektor baris yang memuat semua elemen A yang berada pada baris i dari kolomj1 s.d. kolom j2.

• A(i1:i2,j): Vektor kolom yang memuat semua elemen A yang berada pada kolom j dari barisi1 s.d. baris i2.

• A(i,:): Vektor baris terdiri dari baris ke i matriks A. Notasi ini dapatpula ditulis A(i,1:end).Kata end menunjukkan nilai terakhir indeks kolom j.

• A(:,j): Vektor kolom terdiri dari kolom ke j matriks A. Seperti sebelumnya, notasi ini dapatditulis dengan A(1:end,j)

>> A(3 , 2 ) ,A(4 , 3 )ans =

6ans =

14

Tetapi,

>> A(5 ,1 )??? Index exceeds matrix dimensions .

Artinya tidak ada elemen matriks A yang berada pada baris ke 5 dan kolom ke 1 sebab matrikshanya berukuran 4x4.

>> A( 1 : 3 , 2 : 4 )ans =

3 2 1310 11 815 14 1

>> A( 3 , : )ans =

9 6 7 12>> A(1 : 3 , 2 )ans =

3106

>> A(3 , 2 : end )ans =

6 7 12

Bila a suatu vektor tidak masalah baris ataupun kolom, maka ekspresi a(j), j = 1, 2, ..., end meny-atakan komponen ke j vektor a. Ekspresi a(k:l) adalah elemen vektor a dari komponen k s.d.komponen l.

33

>> a=[2 34 −46 67 −5]a =

2 34 −46 67 −5>> a (3)ans =

−46>> a ( 2 : 4 )ans =

34 −46 67

19.2 Fungsi sum, diag, inv, det dan transpose matriksDiperhatikan matriks A yang telah kita definisikan di atas berupa bujur sangkar ajaib, yaitu jumlahsemua bilangan pada setiap baris, setiap kolom, dan diag- onalnya adalah sama. Dalam hal inijumlahnya 34.

>> sum(A)ans =

34 34 34 34

Dalam hal ini sum(A) menghasilkan vektor baris yang terdiri dari jumlah semua bilangan padamasing-masing kolom. Untuk melihat jumlah semua bilangan pada kolom tertentu, katakanlahkolom 3, tulis :

>>sum(A( : , 3 ) )

Hasilnya juga 34. Bagaimana jumlah baris-barisnya?. Transpose A diperoleh sebagai berikut :

>> A’ans =

16 5 9 43 10 6 152 11 7 1413 8 12 1

Jadi jumlah bilangan pada semua baris A adalah

>> sum(A’ )ans =

34 34 34 34

Diagonal A diperoleh seperti berikut :

>> diag (A)ans =

161071

dan>> sum( diag (A) )ans =

34

memberikan jumlah bilangan pada diagonal.MATLAB telah menyediakan fungsi untuk menghitung invers dan determinan suatu matriks.

34

>> P= [ 1 2 4 ; 4 6 5 ; 2 2 5 ]P =

1 2 44 6 52 2 5

>> inv (P)ans =

−1.2500 0 . 1250 0 .87500 . 6250 0.1875 −0.68750 .2500 −0 .1250 0 .1250

>> det (P)ans =

−16

19.3 Operator kolon dan arrayNotasi titik dua (kolon), : , adalah salah satu operator paling penting pada MATLAB. Ia banyakdigunakan untuk mendenisikan array dengan cepat.

• a1:a2 mendenisikan array mulai dari a1, a1+1, a1+2, ..., sampai dengan bilangan terbe-sar sebelum a2.

• a1:s:a2 mendenisikan array mulai dari a1, a1+s, a1+2s, ... dan seterusnya sampai den-gan bilangan yang "paling dekat" dengan a2. Bila a1<a2 dan s>0 diperoleh array naik.Sebaliknya, bila a1>a2 dan s<0 diperoleh array turun.

• linspace(a1,a2,n) mendenisikan array dengan cara membagi interval [a1,a2] menjadi nbagian yang sama panjang.

>> x=1:10x =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0>> yy=1:5:50yy =

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46>> y=50:−5:1y =

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5>> ab =1 :0 . 5 : 4ab =

Columns 1 through 61 . 0 0 0 0 1 . 5 0 0 0 2 . 0 0 0 0 2 . 5 0 0 0 3 . 0 0 0 0 3 . 5 0 0 0Column 74.0000

>> ddd=l i n s p a c e (1 ,10 , 12 )ddd =

Columns 1 through6 1 . 0 0 0 0 1 . 8 1 8 2 2 . 6 3 6 4 3 . 4 5 4 5 4 . 2 7 2 7 5 . 0 9 0 9Columns 7 through 125 . 9 0 9 1 6 . 7 2 7 3 7 . 5 4 5 5 8 . 3 6 3 6 9 . 1 8 1 8 10 . 0 0 0 0

Coba dicermati perbedaan array yang didenisikan menggunakan operator kolon dan menggu-nakan perintah linspace. Bila array yang dihasilkan ternyata tidak mencukupi bila ditulis satu baris

35

pada command window maka penulisan lebih dari satu baris akan muncul seperti ab dan ddd diatas. Bila pendenisian array tidak sesuai dengan alur logika maka akan dihasilkan array kosong.Contoh :

>> ko=−5:−2:10ko =

Empty matrix : 1−by−0

36

MATLAB : Pertemuan 9

19.4 Matriks-matriks Penting pada MATLABCara lain mendenisikan matriks adalah dengan menjalankan fungsi MATLAB baik built-in maupunm-le. Beberapa matriks penting yang sudah terdenisi secara built-in adalah :

• zeros(m,n) mendenisikan matriks berukuran mxn dengan semua elemen nol.

• ones(m,n) mendenisikan matriks berukuran mxn dengan semua elemen satu.

• diag(a) mendenisikan matriks diagonal dengan diagonal utama adalah vektor a.

• rand(m,n) mendenisikan matriks berukuran mxn yang dibangkitkan secara random oleh dis-tribusi seragam.

• randn(m,n) mendenisikan matriks berukuran mxn yang dibangkitkan secara random olehdistribusi normal.

• magic(n) mendenisikan matriks bujur sangkar ajaib ordo n.

Tiga matriks pertama di atas paling sering digunakan terutama ketika kita menyusun programuntuk numerik matematika.

>> Z=ze ro s (3 , 5 )Z =

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

>> A=ones (1 , 5 )A =

1 1 1 1 1>> V=3∗ones (4 , 4 )V =

3 3 3 33 3 3 33 3 3 33 3 3 3

>> BR=rand (1 , 6 )BR =

0 . 6 1 5 4 0 . 7 9 1 9 0 . 9 2 1 8 0 . 7 3 8 2 0 . 1 7 6 3 0 . 4 0 5 7>> R=randn (4 , 4 )R =

0.8147 0.6324 0.9575 0.95720.9058 0.0975 0.9649 0.48540.1270 0.2785 0.1576 0.80030.9134 0.5469 0.9706 0.1419

19.5 Operasi pada MatriksMemperbesar Matriks Penggunaan kurung siku [ ] tidak hanya untuk mendenisikan matrikssecara eksplisit tetapi dapat pula digunakan untuk menggabungkan beberapa matriks berukurankecil menjadi matriks baru yang lebih besar.

37

>> B= [ 1 ; 2 ; 3 ]B =

123

>> C= [ 0 0 0 0 ; 1 1 1 1 ]C =

0 0 0 01 1 1 1

>>D=[P B;C]D =

1 2 4 14 6 5 22 2 5 30 0 0 01 1 1 1

Matriks-matriks yang akan digabungkan haruslah kompatibel berdasarkan baris atau kolom. Diper-hatikan contoh berikut

>> E1= [ 1 2 ; 3 4 ]E1 =

1 23 4

>> E2 = [ 3 3 ; 4 4 ; 5 5 ]E2 =

3 34 45 5

>> G1=[E1 E2 ]??? Error us ing ==> horzcat Al l matr i ce s on a row in the bracketed exp r e s s i on must have the same number o f rows .>> G2=[E1 ; E2 ]G2 =

1 23 43 34 45 5

Menghapus Baris dan Kolom Kita dapat menghapus beberapa baris atau beberapa kolomsuatu matriks dengan menggunakan array kosong [ ].

>> A=magic (4 )A =

16 5 9 43 10 6 152 11 7 1413 8 12 1

>> X=A;>> X( : , 2 ) = [ ] ;>> XX =

38

16 3 135 10 89 6 124 15 1

>>Y=A;>> Y( 1 , : ) = [ ] ;>> YY =

9 7 6 124 14 15 1

Ekspresi X(:,2)=[ ] berarti membuang kolom 2 matriks X=A, sedangkan Y(1,:)=[ ] berarti mem-buang baris 1 matriks X=A.

Operasi pada Matriks dan Array Pada MATLAB, matriks dipandang sebagai array numerikdua dimensi. Ope- rasi aritmatika pada array dikerjakan secara elemen demi elemen. Beberapaoperasi aritmatika pada array adalah sebagai berikut :

+ Penjumlahan.- Pengurangan.* Perkalian Matriks./ Pembagian Matriks..* Perkalian elemen demi elemen../ Pembagian elemen demi elemen..^ Pangkat elemen demi elemen.

Sebagai ilustrasi, misalkan kita mempunyai matriks A, B dan vektor a, b yang didenisikan sebagaiberikut :

>> A=magic ( 3 ) ; B=A’ ; a = [ 8 5 2 ] ; b = [ 4 5 6 ] ;

>>A+Bans =

16 4 104 10 1610 16 4

>>A∗Bans =

101 71 5371 83 7153 71 101

>>A.∗Bans =

64 3 243 25 63

24 63 4

Perintah A*B berarti perkalian antara matriks A dan matriks B. Sedangkan A.*B menghasilkanperkalian elemen demi elemen matriks A dan matriks B. Dua matriks A dan B dapat dikalikan bilabanyaknya baris pada matriks A sama dengan banyaknya kolom matriks B. Sedangkan perkalianper elemen A.*B hanya terdenisi bila ukuran kedua matriks persis sama.

39

>> a−bans =

4 0 −4>> a∗b??? Error us ing ==> ∗ Inner matrix dimensions must agree .>> a .∗bans =

32 25 12>> a ./ bans =

2 . 0000 1 . 0 000 0 . 3 333

Diperhatikan di sini operasi a*b tidak terdenisi. Hal ini disebabkan operasi * digunakan padaperkalian matriks, sedangkan di sini banyak baris vektor a yaitu 1 tidak sama dengan banyakkolom vektor b yaitu 3.

>> 3+aans =

11 8 5

Berarti setiap elemen a ditambah dengan 3.

>> 5∗b %se t i a p elemen b d ika l i k an dengan 5ans =

20 25 30

Baru saja diperkenalkan notasi baru yaitu %. Perintah setelah tanda % tidak diproses oleh MAT-LAB, biasanya hanya digunakan untuk memberikan keterangan atau komentar.

>> a∗Aans =

87 51 87

MATLAB memproses a*A sebagai perkalian antara matriks a berukuran 1x3 dan matriks A beruku-ran 3x3.

>> A−10 %s e t i a p elemen matr iks A dikurang i 10ans =

−2 −9 −4−7 −5 −3−6 −1 −8

>> a(3)+b(2)+A(1 ,2)+B(3 , 2 )ans =

15

Ekspresi terakhir ini berarti elemen ketiga vektor a ditambah elemen kedua vektor b ditambahelemen baris kesatu dan kolom kedua matriks A ditambah elemen baris ketiga dan elemen kolomkedua matriks B.

Latihan1. Buatah matriks tridiagonal berukuran 100 x 100 seperti matriks di bawah ini

40

1 −2 0 0 · · · 02 1 −2 0 · · · 00 2 1 −2 0

0 0 2 1. . . 0

......

. . . . . . −20 0 0 0 2 1

2. Diberikan matriks A:

A =

1 2 22 1 13 3 2

carilah :a. A−1 b. A−1A

3. Selesaikan sistem persamaan linear berikut :2x + y + 3 = 62y − z = 3x + y + z = 5

41

MATLAB : Pertemuan 10

20 Grafik Fungsi

20.1 Grafik dua dimensiFungsi MATLAB yang paling sering digunakan untuk membuat grafik fungsi adalah plot. Fungsiplot mempunyai arti yang berbeda tergantung dari data masukan. Bila y suatu vektor makaplot(y) menghasilkan grafik linear sepotong-sepotong yang menghubungkan setiap elemen y secaraberurutan. Misalkan kita akan membuat grafik fungsi

y = sin(2x) untuk xberada pada interval [0; 2].

Tulis pada command window perintah sebagai berikut!

>> x=0:0 .05 :2∗ pi ;>> y=s in (2∗ pi ∗x ) ;>> p lo t (x , y )>> xlim ( [ 0 2 ∗ pi ] )>> x l ab e l ( ’ x ’ )>> y l ab e l ( ’ y ’ )>> t i t l e ( ’ Graf ik 2 dimensi f ung s i \{ y=s i n (2\ pix )\} ’ )

Maka hasilnya adalah

• Pada baris pertama, x=0:0.05:2*pi; berarti kita mempersiapkan data berupa array x. Cobalihat kembali definisi operator kolon (:) sebelumnya. Dapat juga menggunakan perintahlinspace.

• Pada baris kedua, kita mempersiapkan data berupa array y yang berupa nilai fungsi pada x.Jadi x dan y merupakan pasangan array yang mempunyai panjang sama.

• Perintah plot(x,y) berarti kita meminta MATLAB untuk menggambar pasangan data xdan y pada bidang koordinat. Perlu diingat bahwa perintah plot(x,y) hanya berlaku jikapanjang kedua array x dan y adalah sama.

42

• Perintah xlim([0 2*pi]) digunakan untuk membatasi interval grafik pada sumbu x. Sejalandengan ini, kita dapat membatasi grafik pada sumbu y dengan perintah ylim([ymin ymax]).

• Perintah xlabel dan ylabel digunakan untuk membuat label pada sumbu koordinat.

• Perintah title digunakan untuk menuliskan judul grafik.

Secara umum, langkah-langkah dalam membuat grak fungsi dilakukan sebagai berikut :

1. Mempersiapkan data.

2. Memilih letak dan posisi gambar.

3. Memanggil perintah plot.

4. Memilih bentuk garis, warna dan tanda khusus.

5. Menetapkan batas-batas sumbu koordinat termasuk membuat grid bila diperlukan.

6. Melengkapi grak dengan keterangan seperti judul grak, label sumbu koordinat dan legend.

7. Menyimpan atau mengeksport grafik

Ketujuh langkah tersebut tidak semuanya harus dilakukan, tergantung dari bagaimana tampilangambar yang diinginkan. Namun langkah 1 dan langkah 3 mutlak diperlukan. Diperhatikan ma-sukan berikut :

>> x = 0 : 0 . 2 : 1 2 ;>> y1=be s s e l (1 , x ) ;>> y2=be s s e l (2 , x ) ;>> y3=be s s e l (3 , x ) ;>> subplot ( 3 , 1 , 1 )>> p lo t (x , y1 , ’ r .− ’)>> t i t l e ( ’ Graf ik f ung s i Be s s e l pertama ’ )>> subplot ( 3 , 1 , 2 )>> p lo t (x , y2 , ’ g ∗ ’ )>> t i t l e ( ’ Graf ik f ung s i Be s s e l kedua ’ )>> subplot ( 3 , 1 , 3 )>> p lo t (x , y3 , ’m’ )>> t i t l e ( ’ Graf ik f ung s i Be s s e l ket iga ’ )

Hasilnya adalah sebagai berikut.

43

Perintah subplot(m,n,k) berarti MATLAB menyediakan posisi ke k dari m baris dan n kolomtempat gambar yang tersedia. Cara penghitungan dimulai dari kiri-ke kanan-ke bawah kiri -ke kanan - dst. Sebagai contoh, misalkan kita ingin membuat 6 buah grak yang disusun dalam3 baris dan 2 kolom. Kita gunakan perintah subplot(3,2,k), dan posisinya dapat dilihat padagambar berikut.

Bila ketiga grafik di atas mau diletakkan pada satu sumbu koordinat, perintah subplot tidakdiperlukan. Untuk itu cukup ditulis

>> p lo t (x , y1 , x , y2 , x , y3 )>>legend ( ’ Be s s e l pertama ’ , ’ Be s s e l kedua ’ , ’ Be s s e l ket iga ’ )>> gr id>> t i t l e ( ’ Graf ik t i g a buah fung s i Besse l ’ )

44

Secara sederhana, perintah plot mempunyai bentuk

>>plo t (x , y , ’ p i l i han ’ )

Pilihan di sini untuk memberikan warna, tanda (mark) dan jenis/ukuran garis. Untuk lebih jelasnyadapat dilihat pada matlab dengan mengetikkan

>> Help Plot

Diperhatikan contoh berikut !

>> x=−6:0 .2 :6 ;>> y=1/ sq r t ( p i )∗ exp(−x .^2/2 ) ;>> p lo t (x , y , ’ dr : ’ )

Pilihan ’dr:’ di dalam perintah >‌> plot(x,y,’dr:’) berarti titik-titik (x,y) ditandai oleh dia-mond (d), warna merah r dan titik-titik tersebut dihubungkan oleh garis putus-putus (:).Gambar yang terdapat pada jendela grafik akan hilang bila kita keluar dari MATLAB. Bila gambartersebut masih akan digunakan dikemudian hari maka kita perlu menyimpannnya. Ada dua cara

45

menyimpan grafik, yaitu dalam bentuk gambar MATLAB yaitu dengan ekstensi g atau dieksportke dalam bentuk lainnya seperti bmp, eps, jpeg dan lain-lain. Untuk mudahnya, kita dapatmenggunakan jendela grafik secara interaktif.

Untuk menyimpan dan mengeksport grafik kedalam bentuk eps, lakukan langkah-langkah berikut :

1. Pada window grafik seperti tampak pada Gambar, klik File, kemudian pilih save atau saveas.

2. pilih save as type yang diinginkan (dalam hal ini EPS color file dengan ekstensi eps).

3. Berikan nama file yang akan disimpan. letakkan pada direktori yang di inginkan.

20.2 Grafik tiga dimensiPada bagian ini akan dijelaskan cara menggambar grafik pada ruang berdimensi tiga dengan meng-gunakan fungsi-fungsi built-in pada MATLAB. Ada empat macam fungsi MATLAB yang seringdigunakan untuk menggabar grafik tiga dimensi ini, yaitu :

1. plot32. mesh, meshc3. surf, surfc4. contour

Untuk menjelaskan fungsi-fungsi tersebut, diperhatikan beberapa contoh berikut.

>> t=−10∗pi : p i /100:10∗ pi ;>> x=t .∗ cos ( t ) ;>> y=t .∗ s i n ( t ) ;>> plot3 (x , y , t ) ;>> t i t l e ( ’ Kurva r ( t ) = ( t ∗ cos ( t ) , t ∗ s i n ( t ) , t ) ’ )>> x l ab e l ( ’ x ’ )

46

>> y l ab e l ( ’ y ’ )>> z l a b e l ( ’ z ’ )>> gr id

perintah plot3(x,y,z), bila x, y and z are tiga vector dengan panjang sama menggambar lintasangaris dalam ruang 3-d yang melalui koordinat-koordinat x, y dan z. Sedangkan plot3(X,Y,Z),bila X, Y dan Z adalah tiga matriks berukuran sama adalah memplot beberapa lintasan garis yangmasing-masing melalui kolom-kolom matriks X, Y dan Z.Sebelum dijelaskan fungsi mesh, diperkenalkan fungsi meshgrid. Diperhatikan ilustrasi berikut

> x = [ 0 1 2 ] ;>> y = [ 10 12 14 ] ;>> [X,Y]=meshgrid (x , y )X =

0 1 20 1 20 1 2

Y =10 10 1012 12 1214 14 14

Jadi perintah [X,Y]=meshgrid(x,y) menghasilkan dua matriks X yang baris- barisnya adalah arrayx, dan matriks Y yang kolom-kolomnya adalah array y. Jadi pasangan (X,Y) memuat semua pasan-gan nilai pada array x dan array y yang mungkin. Perintah ini biasa digunakan untuk mengevaluasifungsi multivariabel pada sejumlah titik yang diambil pada domainnya.

Contoh 2: Misalkan akan digambar grak dari parabola hyperbolik

z = y2-x2pada kotak {(x, y) : -1 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 1}

>> x=−1:0 .05:1 ;>> y=x ;>> [X,Y]=meshgrid (x , y ) ;>> Z=Y.^2−X.^2 ;

47

>> mesh (X,Y,Z)>> t i t l e ( ’ Graf ik f ung s i z = x^2−y ^2 ’ ) ;

Perintah surf hampir sama seperti mesh tetapi di sini warna kurva lebih padat, seperti terlihatpada Gambar berikut.

Contour kurva yang disebut juga level kurva adalah proyeksi kurva z = f(x,y) pada sumbu xyyang mempunyai nilai fungsi yang sama, yaitu

Ca := {f(x, y) : f(x; y) = a}

48

Bila kita ingin menampilkan level kurva secara lengkap, lakukan perintah berikut.

>> [c , h ] = contour f (X,Y, Z , ’ k− ’ ) ;>> c l a b e l ( c , h )

Masih banyak sekali fungsi-fungsi menarik yang berkaitan dengan grak dimensi tiga ini, sehinggatidak mungkin terangkum semuanya pada tutorial singkat ini. Untuk lebih lengkapnya, silahkanlihat pada MATLAB help dengan mengetik

>>help graph3d

Selain dari kemampuan untuk menghasilkan grafik tiga dimensi, MATLAB juga mampu membacacitra baik gray-scale maupun full-color dengan menggunakan fungsi image dan sejenisnya.

>> load durer>> whosName S i z e Bytes Class

X 648x509 2638656 double arraycapt ion 2 x28 112 char array

49

map 128x3 3072 double arrayGrand t o t a l i s 330272 e lements us ing 2641840 bytes

>> image (X) ; colormap (map)

Di sini file durer sudah tersimpan di dalam MATLAB. Variabel X berupa matriks persegi panjangyang merep resentasikan itensitas keabuan (gray-scale) suatu citra. Masih ada lagi fasilitas padaMATLAB untuk keperluan visualisasi yaitu untuk animasi. Fungsi yang sering digunakan untukanimasi ini adalah movie atau menggunakan Erase- Mode. Bila tertarik, lihat help navigator padaMATLAB.

Latihan

1. Plot dalam satu figure grafik fungsi y1 = |sin(x)|, y2 = |cos(x)|, 0 ≤ x ≤ 10.2. Gambar grafik dari parabola hyperbolik

z = y2 − x2pada daerah {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1,−1 ≤ x ≤ 1}3. Bagaimana contour dari soal no 2.

50

MATLAB : Pertemuan 11

21 Pemrograman dengan MATLABSebagaimana telah dijelaskan pada awal modul ini, MATLAB adalah program komputer untukmelakukan komputasi numerik yang basis datanya berupa matriks. Untuk penggunaan lebih luas,kita harus menulis bahasa dan kode khusus yang dapat dieksekusi oleh MATLAB. Bahasa dan kodeMATLAB ini ditulis pada jendela editor/debugger.

21.1 m-fileBahasa pemrograman MATLAB yang ditulis pada jendela editor/debugger disebut m-file. Adadua macam m-file yaitu :

1. script file, yaitu m-file yang tidak memerlukan variabel masukan dan variabel keluaran. Pro-gram ini dapat dijalankan dari command window dengan cara mengetik nama filenya.

2. input file, yaitu m-file yang variabel keluarannya didefinisikan langsung di dalam file, sedan-gkan variabel masukkannya dimasukkan secara interaktif pada command window.

3. function file, yaitu m-file yang terdiri dari variabel masukan dan variabel keluaran. Bentukumum function file adalahfunction [out1,out2,....]=nama_fungsi(in1,in2,...)Di sini in1,in2,...adalah variabel masukan dan out1,out2,... adalah variabel keluaran.Untuk menjalankan program ini, ketik pada command window :

>> [out1 , out2 , . . . . ] = nama_fungsi ( in1 , in2 , . . . )

Prosedur dalam pemrograman MATLAB dilakukan sebagai berikut :

1. Buka jendela editor/debugger dengan cara, pada desktop MATLAB klik File - pilih New -klik M-le.

2. Tulis bahasa dan kode MATLAB yang telah dipersiapkan.

3. Simpan le dengan cara, pada jendela editor/debugger :klik File- pilih Save As - (beri nama file) - klik Save.

4. Kembali ke command window, dan jalankan program dengan cara seperti yang telah disam-paikan di atas.

Contoh script file : Tulis kalimat berikut pada jendela editor/debugger:

x = pi /100 : p i /100:10∗ pi ;y = s i n (x ) . / x ;p l o t ( x , y )g r id

Setelah selesai, simpan le ini dengan nama file1. Kemudian untuk memanggilnya pada commandwindow, diketik

>> f i l e 1

maka akan dihasilkan:

51

Contoh function file : Misalkan kita ingin membuat suatu program untuk menghitung rata-rata, standar deviasi, nilai maksimum dan nilai minimum untuk suatu data yang disajikan dalamarray x. Jadi dalam hal ini kita mempunyai :

1. variabel masukan : x (berupa data yang diketahui).

2. variabel keluaran : mean (untuk rata-rata), stdev (untuk standar deviasi), terkecil (untukdata minimum) dan terbesar (untuk data maksimum).

func t i on [ mean , stdev , t e r k e c i l , t e rb e s a r ] = s t a t ( x )n = length (x ) ;mean = sum(x )/n ;stdev = sq r t (sum( ( x−mean ) .^2 )/ n ) ;t e r k e c i l = min (x ) ;t e rb e s a r = max(x ) ;

Setelah file disimpan, katakan namanya stat.m maka kita dapat menjalankan program ini untukdata x yang diberikan sebagai variabel masukan. Misalnya,

>> x =rand (1 , 6 )x =

0 . 9 9 0 1 0 . 7 8 8 9 0 . 4 3 8 7 0 . 4 9 8 3 0 . 2 1 4 0 0 . 6 4 3 5>> [mean , stdev , t e r k e c i l , t e r b e s a r ] = s t a t ( x )mean =

0.5956stdev =

0.2500t e r k e c i l =

0.2140t e rb e s a r =

0.9901

Data x = rand(1,6) adalah bilangan random berukuran 1x6 yang dibangkitkan dengan menggu-nakan fungsi MATLAB rand.

52

Contoh input file : Kita ingin menghitung akar-akar persamaan kuadrat dengan rumus abc.

%program untuk menghitung akar−akar persamaan kuadrat%dengan rumus abc .a = input ( ’ masukkan n i l a i a : ’ )b = input ( ’ masukkan n i l a i b : ’ )c = input ( ’ masukkan n i l a i c : ’ )akar1 = (−b+sq r t (b^2−4∗a∗c ) )/ (2∗ a ) ;akar2 =(−b−s q r t (b^2−4∗a∗c ) )/ (2∗ a ) ;akarnya = [ akar1 ; akar2 ]

Kemudian file disimpan dengan nama abc.m. Misalkan kita akan menghitung akar-akar persamaan:

x2 + 7x + 4 = 0 :

Dalam hal ini kita harus memberikan nilai a, b dan c yang bersesuaian setiap kali MATLABmemintanya. Coba lakukan prosedur berikut.

>> abcmasukkan n i l a i a : 1a =

1masukkan n i l a i b : 7b =

7masukkan n i l a i c : 4c =

4akarnya =

−0.6277−6.3723

21.2 Pengendali alur ( flow control)Sebelum kita membahas pengendali alur, kita harus mengetahui terlebih dulu relasi dan operatorlogika berikut :

< kurang dari<= kurang dari atau sama dengan> lebih dari>= lebih dari atay ssama dengan= = sama dengan~= tidak sama dengan| atau (disjungsi)& dan (konjungsi)~ tidak (ingkaran)

Beberapa pengendali alur pada MATLAB :1. if2. switch and case3. for4. while5. continue6. break

53

if - elseif - else - end

Pernyataan if akan mengevaluasi suatu ekspresi logika dan selanjutnya serangkaian statemen diek-sekusi bila ekspresi tersebut benar. Pilihan elseif dan else menyediakan alternatif lainnya bilaekspresi sebelumnya salah. Kata end yang berpasangan dengan if digunakan untuk mengakhiristatemen terakhir. Jadi bentuk umum konstruksi if-elseif-else-end adalah sebagai berikut :

i f e k s p r e s i l o g i ka1sekelompok statemen d i e k s e ku s i

e l s e i f e k s p r e s i l o g i ka2sekelompok statemen la innya d i e k s e ku s i

dan se te rusnyae l s e e k s p r e s i l o g i k a t e r akh i r .sekelompok statemen t e r akh i r d i e k s e ku s i

end

Contoh penggunaan if : Misalkan kita akan membuat suatu klasikasi skor angka pada range[0; 10] menjadi tiga kategori kurang, cukup dan baik. Bila nilai yang dimasukkan di luar rangetersebut akan diberi peringatan SALAH DATA.

x=input ( ’ masukkan n i l a i x : ’ )i f x <=5 & x>=0

disp ( ’KURANG’ )e l s e i f x>=5&x<6.5

d i sp ( ’CUKUP’ )e l s e i f x>=6.5 &x<=10

di sp ( ’BAIK’ )e l s e

d i sp ( ’SALAH DATA, n i l a i x harus d i dalam [ 0 , 1 0 ] ’ )end

Perintah disp(’string’) digunakan untuk menampilkan kata string. Sekarang kita simpan m-fileini dengan nama konversi.m. Selanjutnya, pada command window kita lakukan :

>> konver s imasukkan n i l a i x : 2KURANG>> konver s imasukkan n i l a i x : 5 . 7CUKUP>> konver s imasukkan n i l a i x : 8 . 9BAIK>> konver s imasukkan n i l a i x : 1 1SALAH DATA, n i l a i x harus d i dalam [ 0 , 1 0 ]

switch - case - otherwise - end

Pernyataan switch mengeksekusi serangkaian pernyataan yang kreterianya didasarkan pada nilaivariabel atau ekspresi. Hanya kasus yang cocok pertama saja yang dieksekusi, sedangkan kasuslainnya tidak dieksekusi. Untuk mudahnya, struktur kontrol alur ini dapat dilhat pada contohberikut.

54

cho i c e = input ( ’ masukkan n i l a i 1 , atau 2 atau 3 : ’ )x = −pi : 0 . 0 1 : p i ;switch cho i c e

case 1p l o t (x , s i n ( x ) )

case 2p l o t (x , cos ( x ) ) ;

case 3p l o t (x , s i n ( x ) , x , cos ( x ) )

o therwi sed i sp ( ’TIDAK ADA PILIHAN DONG’ )

end

Mari simpan file ini dengan nama kasus.m. Pada m-file ini kita menginginkan salah satu keluarandari tiga pilihan yang ada, yaitu menggambar grafik fungsi y = sin(x) saja, atau grafik y =cos(x) saja, atau grafik y = sin(x) dan y = cos(x) digambar secara bersamaan pada satu bidangkoordinat. Angka 1, 2, atau 3 digunakan untuk pilihan. Untuk memblokir kemungkinan laindigunakan perintah otherwise.

>> kasusmasukkan n i l a i 1 , atau 2 atau 3 : 3cho i c e =

3

Hasilnya akan muncul grak seperti ditunjukkan pada berikut. Perhatikan :

apa yang terjadi bila dimasukkan angka selain 1, 2, atau 3.Sesungguhnya, kendali alur switch-case-otherwise-end mempunyai kemiripan dengan if-elseif-else-end.Tetapi alur switch hanya bisa mengevaluasi kesamaan, sedangkan if bisa untuk kesamaan maupunketidaksamaan. Di lain pihak, switch dapat membandingkan string dengan panjang berbeda,sedangkan if masih membutuhkan perintah strcmp untuk untuk membandingkan string denganpanjang berbeda. File kasus.m di atas dapat pula ditulis dengan menggunakan if sebagai berikut.

cho i c e = input ( ’ masukkan n i l a i 1 , atau 2 atau 3 : ’ )x = −pi : 0 . 0 1 : p i ;i f cho i c e == 1

p lo t (x , s i n ( x ) )

55

e l s e i f cho i c e == 2p lo t (x , cos ( x ) ) ;

e l s e i f cho i c e == 3p lo t (x , s i n ( x ) , x , cos ( x ) )

e l s ed i sp ( ’SALAH MASUKAN’ )

end

Tetapi alur switch tidak bisa digunakan untuk kasus dalam contoh pemakaian if sebelumnya.

56

MATLAB : Pertemuan 12

for - endKontrol alur for digunakan untuk mengulangi serangkaian statemen yang frekuensinya berhinggadan ditentukan terlebih dahulu.

Contoh pemakaian for-end : Misalkan kita ingin membangun matriks Hilbert berukuran m×ndengan elemen ke (i, j) nya didenisikan oleh :

Hi,j := 1i+j .

f unc t i on H=h i l b (m, n)f o r i = 1 : n

f o r j = 1 :mH( i , j )=1/( i+j ) ;

endend

Setelah disimpan dengan nama hilb.m maka diperoleh

>> H=h i l b (4 , 5 )H =

0 . 5000 0 . 3 333 0 . 2 5 00 0 . 2 0 000 . 3 3 33 0 . 2 500 0 . 2 0 00 0 . 1 6 670 . 2 5 00 0 . 2 000 0 . 1 6 67 0 . 1 4 290 . 2 0 00 0 . 1 667 0 . 1 4 29 0 . 1 2 500 . 1 6 67 0 . 1 429 0 . 1 2 50 0 . 1 1 11

Contoh pemakaian gabungan for dan if Misalkan kita akan mendenisikan fungsi berikut danmenggambar grafiknya.

f(x) :=

{xsin(1/x) bila x 6= 00 untuk x lainnya

kita gambarkan juga grafik fungsi y1 = x dan y2 = −x pada bidang koordinat yang sama.

func t i on y = o s i l a s i ( x ) ;f o r i =1: l ength (x ) ;

i f x ( i )~=0y ( i )=x( i )∗ s i n (1/x ( i ) ) ;

e l s ey ( i )=0;

endend

p lo t (x , y ) ;hold on%tambahany1=x ; y2=−x ;p l o t (x , y1 , ’ k : ’ , x , y2 , ’ k : ’ )g r i dhold o f f

57

Di sini variabel masukan berupa array x, sedangkan keluarannya berupa array y yang didefinisikansecara berurutan (pengulangan) oleh ’for’ dan bersyarat oleh ’if’. Perintah length(x) suatubilangan bulat positip yang merupakan panjang vektor x. Perintah hold on meminta MATLABuntuk tetap mengaktifkan jendela grafik, artinya apapun grafik yang dibuat tetap digambarkanpada bidang yang sama sampai muncul perintah hold off. Bila pada command window dilakukan:

>> x=−1/p i : 0 . 0 0 0 1 : 1 / p i ;>> y=o s i l a s i ( x ) ;

maka akan menghasilkan Gambar

while - endKontrol alur while melakukan pengulangan serangkaian statemen terus menerus di bawah kondisilogika tertentu. Bila kondisi ini belum terpenuhi maka proses eksekusi terus dijalankan. Jaditerdapat kemungkinan pengulangan (iterasi) sampai tak berhingga (divergen).

Contoh penggunaan while : Misalkan kita akan membagi dengan dua bilangan , hasilnya kitabagi lagi dengan dua, dan seterusnya sampai diperoleh hasil bagi kurang dari 0.0013. Kemudiankita juga ingin mengetahui berapa banyak pengulangan yang di- lakukan untuk mencapai bilanganini. Untuk mengerjakan ini, langsung saja dikerjakan pada command window sebagai berikut :

>> q=pi ;>> i t =0;>> whi le q >= 0.0013;q = q / 2 ; i t = i t +1; end>> qq =

7.669903939428206 e−004>> i ti t =

12

Jadi q = 7.669903939428206e-004 adalah bilangan pertama yang lebih kecil dari 0.0013 yang diper-oleh dengan proses di atas. Untuk mencapai hasil ini diperlukan 12 kali iterasi (pengulangan).

58

Contoh penggunaan while - if : Misalkan kita ingin menghitung secara pendekatan akar daripersamaan

x3 − 2x− 5 = 0

yang berada pada suatu suatu interval[0, 3]. Metoda yang akan digunakan adalah metoda biseksi,yaitu dengan cara membagi dua interval terus menerus sampai ditemukan akar. Program berikutdilengkapi juga informasi jumlah iterasi yang diperlukan untuk mencapai pendekatan akar tersebut.

f unc t i on [ akar , i t e r a s i ] = b i s e c ( t o l ) ;%m− f i l e untuk menghitung akar persamaan x^3−2x−5 pada%i n t e r v a l [ 0 , 3 ] dengan menggunakan t o l e r a n s i t o l .a=0;b=3; f a = −5; i t = 0 ;whi l e b−a > t o l

x = ( a+b )/2 ;fx = x^3−2∗x−5;i f s i gn ( fx ) == s ign ( f a ) %untuk mengetahui p o s i s i akara = x ; f a = fx ;e l s e

b = x ;endi t = i t +1;

end akar = x ;i t e r a s i = i t ;>> [akar , i t e r a s i ] = b i s e c (3∗ eps )akar =2.09455148154233i t e r a s i =53

Hasil ini berarti dengan toleransi 3eps = 6.661338147750939e-016 kita mem- peroleh akar 2.09455148154233.Untuk mencapai akar ini diperlukan 53 kali pengulangan (iterasi).Dua kendali alur lainnya, yaitu continue dan break tidak dijelaskan secara rinci dalam modul ini.Secara singkat, kendali continue digunakan untuk menghindari sejumlah langkah pada lingkunganfor atau while dengan cara meloncat pada iterasi berikutnya. Sedangkan break digunakan untukmengakhiri secara prematur iterasi pada lingkungan for atau while. Kadang-kadang dengan alasantertentu, kedua kendali ini dibutuhkan dalam pemrograman.

Latihan

1. Buat function file untuk menghitung kar-akar persamaan kuadrat dengan rumus abc, yangdidefinisikan sebagai berikut :

x1 = −b+√

b2−4ac2a dan x2 = −b−

√b2−4ac2a

kemudian hitung akar-akar persamaan :

x2 − 4x + 3 = 0.

2. Buat function file untuk menghitung nilai a dan b pada fungsi regresi linear berikut :y = a + bxdimana :a =

(∑

yi)(∑

x2i )−(

∑xi)(

∑xiyi)

n∑

x2i−(

∑xi)2

danb = n

∑xiyi−(

∑xi)(

∑yi)

n∑

x2i−(

∑xi)2

59

MATLAB : Pertemuan 13-14Presentasi Tugas Mahasiswa

60