matematika i: aplikasi turunan · pdf file2 kemonotonan fungsi 3 kecekungan ... 5 menggambar...

100
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70

Upload: ngonga

Post on 05-Feb-2018

457 views

Category:

Documents


16 download

TRANSCRIPT

Page 1: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Matematika I:APLIKASI TURUNAN

Dadang Amir Hamzah

2015Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70

Page 2: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Outline

1 Maksimum dan Minimum

2 Kemonotonan Fungsi

3 Kecekungan

4 Masalah Praktis (Practical Problem)

5 Menggambar Grafik denga Kalkulus

6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan

7 Antiturunan

8 Pengantar persamaan diferensial

9 Referensi

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70

Page 3: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Outline

1 Maksimum dan Minimum

2 Kemonotonan Fungsi

3 Kecekungan

4 Masalah Praktis (Practical Problem)

5 Menggambar Grafik denga Kalkulus

6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan

7 Antiturunan

8 Pengantar persamaan diferensial

9 Referensi

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70

Page 4: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Outline

1 Maksimum dan Minimum

2 Kemonotonan Fungsi

3 Kecekungan

4 Masalah Praktis (Practical Problem)

5 Menggambar Grafik denga Kalkulus

6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan

7 Antiturunan

8 Pengantar persamaan diferensial

9 Referensi

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70

Page 5: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Outline

1 Maksimum dan Minimum

2 Kemonotonan Fungsi

3 Kecekungan

4 Masalah Praktis (Practical Problem)

5 Menggambar Grafik denga Kalkulus

6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan

7 Antiturunan

8 Pengantar persamaan diferensial

9 Referensi

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70

Page 6: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Outline

1 Maksimum dan Minimum

2 Kemonotonan Fungsi

3 Kecekungan

4 Masalah Praktis (Practical Problem)

5 Menggambar Grafik denga Kalkulus

6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan

7 Antiturunan

8 Pengantar persamaan diferensial

9 Referensi

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70

Page 7: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Outline

1 Maksimum dan Minimum

2 Kemonotonan Fungsi

3 Kecekungan

4 Masalah Praktis (Practical Problem)

5 Menggambar Grafik denga Kalkulus

6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan

7 Antiturunan

8 Pengantar persamaan diferensial

9 Referensi

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70

Page 8: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Outline

1 Maksimum dan Minimum

2 Kemonotonan Fungsi

3 Kecekungan

4 Masalah Praktis (Practical Problem)

5 Menggambar Grafik denga Kalkulus

6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan

7 Antiturunan

8 Pengantar persamaan diferensial

9 Referensi

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70

Page 9: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Outline

1 Maksimum dan Minimum

2 Kemonotonan Fungsi

3 Kecekungan

4 Masalah Praktis (Practical Problem)

5 Menggambar Grafik denga Kalkulus

6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan

7 Antiturunan

8 Pengantar persamaan diferensial

9 Referensi

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70

Page 10: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Outline

1 Maksimum dan Minimum

2 Kemonotonan Fungsi

3 Kecekungan

4 Masalah Praktis (Practical Problem)

5 Menggambar Grafik denga Kalkulus

6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan

7 Antiturunan

8 Pengantar persamaan diferensial

9 Referensi

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70

Page 11: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Outline

1 Maksimum dan Minimum

2 Kemonotonan Fungsi

3 Kecekungan

4 Masalah Praktis (Practical Problem)

5 Menggambar Grafik denga Kalkulus

6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan

7 Antiturunan

8 Pengantar persamaan diferensial

9 Referensi

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 3 / 70

Page 12: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Maksimum dan Minimum

Salah satu aplikasi turunan adalah menyelesaikan masalahmaksimum-minimum, Misalnya :

Bagaimana menentukan biaya minimum suatu produksi.Bagaimana menentukan harga jual suatu barang agarmendapatkan keuntungan maksimum.Bagaimana menentukan jarak terpendek/minimum untuk menujusuatu tempat, dst.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 4 / 70

Page 13: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Maksimum dan Minimum

Salah satu aplikasi turunan adalah menyelesaikan masalahmaksimum-minimum, Misalnya :

Bagaimana menentukan biaya minimum suatu produksi.

Bagaimana menentukan harga jual suatu barang agarmendapatkan keuntungan maksimum.Bagaimana menentukan jarak terpendek/minimum untuk menujusuatu tempat, dst.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 4 / 70

Page 14: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Maksimum dan Minimum

Salah satu aplikasi turunan adalah menyelesaikan masalahmaksimum-minimum, Misalnya :

Bagaimana menentukan biaya minimum suatu produksi.Bagaimana menentukan harga jual suatu barang agarmendapatkan keuntungan maksimum.

Bagaimana menentukan jarak terpendek/minimum untuk menujusuatu tempat, dst.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 4 / 70

Page 15: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Maksimum dan Minimum

Salah satu aplikasi turunan adalah menyelesaikan masalahmaksimum-minimum, Misalnya :

Bagaimana menentukan biaya minimum suatu produksi.Bagaimana menentukan harga jual suatu barang agarmendapatkan keuntungan maksimum.Bagaimana menentukan jarak terpendek/minimum untuk menujusuatu tempat, dst.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 4 / 70

Page 16: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Maksimum dan Minimum

Salah satu aplikasi turunan adalah menyelesaikan masalahmaksimum-minimum, Misalnya :

Bagaimana menentukan biaya minimum suatu produksi.Bagaimana menentukan harga jual suatu barang agarmendapatkan keuntungan maksimum.Bagaimana menentukan jarak terpendek/minimum untuk menujusuatu tempat, dst.

Masalah-masalah diatas dapat diselesaikan dengan terlebih dahulumenentukan fungsi yang bersesuaian kemudian mencari titikmaksimum dan minimumnya.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 4 / 70

Page 17: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Maksimum dan Minimum

Perhatikan grafik fungsi berikut:

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 5 / 70

Page 18: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Maksimum dan Minimum

Perhatikan grafik fungsi berikut:

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 5 / 70

Page 19: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Maksimum dan Minimum

Perhatikan grafik fungsi berikut:

grafik diatas mencapai titik tertinggi di (3, 5) dan terendah di (6, 2)

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 5 / 70

Page 20: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Maksimum dan Minimum

Perhatikan grafik fungsi berikut:

Dapat juga kita katakan bahwa f(3) = 5 dan f(6) = 2

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 5 / 70

Page 21: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Maksimum dan Minimum

Perhatikan grafik fungsi berikut:

Nilai f(3) = 5 disebut maksimum dan f(6) = 2 disebut minimum dari f

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 5 / 70

Page 22: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Maksimum dan Minimum

DefinisiMisalkan D adalah domain dari suatu fungsi f dan c suatu bilanganpada domain D

f(c) disebut nilai maksimum dari f pada D jika untuk setiapx ∈ D, f(c) ≥ f(x).f(c) disebut nilai minimum dari f pada D jika untuk setiap x ∈ D,f(c) ≤ f(x).f(c) disebut nilai ekstrim dari f pada D apabila f(c) adalah nilaimaksimum atau nilai minimum.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 6 / 70

Page 23: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Eksistensi Nilai Ekstrim

Teorema Nilai EkstrimJika f kontinu pada interval tutup [a, b] maka f pasti mempunyai nilaimaksimum, nilai maksimum, atau keduanya.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 7 / 70

Page 24: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Eksistensi Nilai Ekstrim

Teorema Nilai EkstrimJika f kontinu pada interval tutup [a, b] maka f pasti mempunyai nilaimaksimum, nilai maksimum, atau keduanya.

Ilustrasi :

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 7 / 70

Page 25: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Maksimum dan Minimum

Teorema titik kritisMisal f terdefinisi pada interval I = [a, b]. Titik-titik kritis dari f beradapada

Titik-titik ujung dari I.Titik stasioner dari f , yakni x = c sedemikian sehingga f ′(c) = 0untuk suatu c ∈ I.Titik singular dari f atau titik dimana f tidak punya turunan di titiktersebut.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 8 / 70

Page 26: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Maksimum dan Minimum

Teorema titik kritisMisal f terdefinisi pada interval I = [a, b]. Titik-titik kritis dari f beradapada

Titik-titik ujung dari I.Titik stasioner dari f , yakni x = c sedemikian sehingga f ′(c) = 0untuk suatu c ∈ I.Titik singular dari f atau titik dimana f tidak punya turunan di titiktersebut.

catatan: Jika f(x) kontinu pada interval tutup: Nilai ekstrim hanyamungkin terjadi pad titik kritis

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 8 / 70

Page 27: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Identifikasi Nilai Ekstrim

Menentukan nilai ekstrim fungsi pada interval tutup [a, b]

1 Tentukan semua titik kritis.2 Bandingkan nilai-nilai f(x) pada titik-titik tersebut.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 9 / 70

Page 28: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Problem

1 Tentukan nilai-nilai ekstrim daria. x2 + 4x+ 4 pada selang [−4, 0].b. f(x) = x+ 2 cos(x) pada selang [−π, 2π]

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 10 / 70

Page 29: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Outline

1 Maksimum dan Minimum

2 Kemonotonan Fungsi

3 Kecekungan

4 Masalah Praktis (Practical Problem)

5 Menggambar Grafik denga Kalkulus

6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan

7 Antiturunan

8 Pengantar persamaan diferensial

9 Referensi

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 11 / 70

Page 30: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Informasi dari Turunan : Kemonotonan

Perhatikan gambar berikut :

Figure: Garis merah adalah garis singgung dari grafik f

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 12 / 70

Page 31: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Kemonotonan

Definisi (Kemonotonan)Misalkan f(x) terdefinisi pada sebuah interval I.

1 f disebut monoton naik pada I jika untuk setiap x1, x2 ∈ I,

x1 < x2 → f(x1) < f(x2).

2 f disebut monoton turun pada I jika untuk setiap x1, x2 ∈ I,

x1 < x2 → f(x1) > f(x2).

3 f disebut monoton pada I jika f(c) monoton naik ataumonoton turun pada I.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 13 / 70

Page 32: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Uji Kemonotonan

TeoremaMisalkan f(x) kontinu pada interval I dan f ′(x) ada untuk setiap titikdalam I.

1 Jika f ′(x) > 0 untuk setiap titik dalam I, maka f(x) monoton naikpada I.

2 Jika f ′(x) < 0 untuk setiap titik dalam I, maka f(x) monoton turunpada I.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 14 / 70

Page 33: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Uji Kemonotonan

TeoremaMisalkan f(x) kontinu pada interval I dan f ′(x) ada untuk setiap titikdalam I.

1 Jika f ′(x) > 0 untuk setiap titik dalam I, maka f(x) monoton naikpada I.

2 Jika f ′(x) < 0 untuk setiap titik dalam I, maka f(x) monoton turunpada I.

Teorema ini dapat digunakan untuk menentukan interval dimana f(x)monoton naik dan interval dimana f(x) monoton turun.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 14 / 70

Page 34: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Problem

Tentukan interval di mana fungsi-fungsi berikut monoton naik dandimana monoton turun

1 f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5

2 f(x) = xx2+1

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 15 / 70

Page 35: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Grafik soal No.1

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 16 / 70

Page 36: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Grafik soal No.2

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 17 / 70

Page 37: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Outline

1 Maksimum dan Minimum

2 Kemonotonan Fungsi

3 Kecekungan

4 Masalah Praktis (Practical Problem)

5 Menggambar Grafik denga Kalkulus

6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan

7 Antiturunan

8 Pengantar persamaan diferensial

9 Referensi

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 18 / 70

Page 38: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Kecekungan (Concavity)

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 19 / 70

Page 39: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Kecekungan

Definisi Cekung ke Atas/BawahMisalkan f(x) terdefinisi pada sebua interval buka I. Grafik fungsif(x) dikatakan

1 Cekung ke atas pada I, jika f ′(x) monoton naik pada I.2 Cekung ke bawah pada I, jika f ′(x) monoton turun pada I.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 20 / 70

Page 40: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Teorema kecekungan

Teorema kecekunganMisalkan f fungsi yang terdiferensialkan dua kali pada interval buka I.

i. Jika f ′′(x) >0 pada x ∈ I, maka f cekung ke atas pada I.ii. Jika f ′′(x) < 0 pada x ∈ I, maka f cekung ke bawah pada I.

ContohTentukan interval di mana fungsi-fungsi berikut cekung ke atas dandimana cekung ke bawah

1 f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5

2 f(x) = xx2+1

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 21 / 70

Page 41: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Titik belok

Titik belok adalah titik dimana kecekungan grafik f(x) berubah daricekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau sebaliknya

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 22 / 70

Page 42: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Titik belok

Apakah jika f ′′(c) = 0, maka c adalah titik belok?

Coba tentukan semua titik beloknya, bila ada :1 f(x) = sin(x)2 f(x) = x4

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 23 / 70

Page 43: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Titik belok

Apakah jika f ′′(c) = 0, maka c adalah titik belok?Coba tentukan semua titik beloknya, bila ada :

1 f(x) = sin(x)2 f(x) = x4

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 23 / 70

Page 44: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Ekstrim Lokal

DefinisiMisalkan c ∈ Df domain fungsi f .

f(c) disebut nilai maksimum lokal dari f(x) jika terdapat intervalJ ⊂ Df sedemikian sehingga f(c) > f(x) untuk setiap x ∈ J .f(c) disebut nilai minimum lokal dari f(x) jika terdapat intervalJ ⊂ Df sehingga f(c) < f(x) untuk setiap x ∈ J .

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 24 / 70

Page 45: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Nilai Ekstrim Lokal

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 25 / 70

Page 46: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Definisi Ekstrim Lokal pada Interval buka

Definisif(c) disebut nilai maksimum lokal jika terdapat selang buka(a, b) sehingga

a < x < b dan x ∈ Df → f(c) ≥ f(x)

f(c) disebut nilai minimum lokal jika terdapat selang buka (a, b)sehingga

a < x < b dan x ∈ Df → f(c) ≤ f(x)

f(c) disebut nilai ekstrim lokal f(x) jika f(c) adalah nilaimaksimum lokal atau nilai minimum lokal.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 26 / 70

Page 47: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Lokasi Nilai Ekstrim

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 27 / 70

Page 48: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Lokasi Nilai Ekstrim

Teorema (Uji turunan pertama)Misalkan c adalah titik kritis f(x) dan f(x) terdefinisi pada interval(a, b) yang memuat c.

1 Jika f ′ < 0 pada (a, c) dan f ′ > 0 pada (c, b), maka f(c) adalahnilai minimum lokal f .

2 Jika f ′ > 0 pada (a, c) dan f ′ < 0 pada (c, b), maka f(c) adalahnilai maksimum lokal f .

3 Jika tanda f ′ sama pada kedua sisi dari c, maka f(c) bukan nilaiekstrim lokal f .

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 28 / 70

Page 49: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Problem

Tentukan nilai-nilai ekstrim fungsi1 f(x) = 1

3x3 − x2 + 3x+ 4 pada (∞,∞)

2 f(x) = sin23 (x) pada (−π

6 ,2π3 )

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 29 / 70

Page 50: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Grafik fungsi f(x) = sin23 (x) pada (−π

6 ,2π3 )

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 30 / 70

Page 51: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Uji Turunan Kedua

Teorema (Uji turunan kedua)Jika f ′ dan f ′′ ada pada interval (a, b) yang memuat c, dan f ′(c) = 0,maka

1 Jika f ′′(c) > 0 , maka f(c) adalah nilai minimum lokal2 Jika f ′′(c) < 0, maka f(c) adalah nilai maksimum lokal

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 31 / 70

Page 52: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Contoh

Tentukan semua nilai ekstrim f(x) = x4 − 4x pada interval (−∞,∞)

1 f ′(x) = 4x3 − 4 = 4(x3 − 1) = 4(x− 1)(x2 + x+ 1), dengan(x2 + x+ 1) > 0 untuk setiap x.

2 f memiliki satu titik kritis yaitu x = 1, dengan

x < 1→ f ′(x) < 0 dan x > 1→ f ′(x) > 0

maka f(1) adalah nilai minimum global. f(x) tidak mempunyainilai maksimum.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 32 / 70

Page 53: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Contoh

Tentukan semua nilai ekstrim f(x) = x4 − 4x pada interval (−∞,∞)

1 f ′(x) = 4x3 − 4 = 4(x3 − 1) = 4(x− 1)(x2 + x+ 1), dengan(x2 + x+ 1) > 0 untuk setiap x.

2 f memiliki satu titik kritis yaitu x = 1, dengan

x < 1→ f ′(x) < 0 dan x > 1→ f ′(x) > 0

maka f(1) adalah nilai minimum global. f(x) tidak mempunyainilai maksimum.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 32 / 70

Page 54: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Contoh

Tentukan semua nilai ekstrim f(x) = x4 − 4x pada interval (−∞,∞)

1 f ′(x) = 4x3 − 4 = 4(x3 − 1) = 4(x− 1)(x2 + x+ 1), dengan(x2 + x+ 1) > 0 untuk setiap x.

2 f memiliki satu titik kritis yaitu x = 1, dengan

x < 1→ f ′(x) < 0 dan x > 1→ f ′(x) > 0

maka f(1) adalah nilai minimum global. f(x) tidak mempunyainilai maksimum.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 32 / 70

Page 55: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Outline

1 Maksimum dan Minimum

2 Kemonotonan Fungsi

3 Kecekungan

4 Masalah Praktis (Practical Problem)

5 Menggambar Grafik denga Kalkulus

6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan

7 Antiturunan

8 Pengantar persamaan diferensial

9 Referensi

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 33 / 70

Page 56: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Contoh

Sebuah kotak tanpa tutup akan dibuat dari suatu karton yangmempunyai panjang 24 inci dan lebar 9 inci dengan cara membuatjaring-jaring kotak dan membuang bagian yang diarsir seperti gambardibawah. Tentukan ukuran kotak sehingga didapat volumemaksimum? Berapakah volume maksimumnya?

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 34 / 70

Page 57: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Solusi

1 V (x) = (24− 2x)(9− 2x)x = 4x3 − 66x2 + 216x untuk 0 ≤ x ≤ 92 .

2 V ′(x) = 12x2 − 132x+ 216 = 12(x− 2)(x− 9)

I Titik-titik kritis: ujung interval ({0, 92}), stasioner ({2}), tidak ada titiksingular karena V (x) adalah polinom (suku banyak).

I Jelas V (0) = V ( 92 ) = 0. Sedangkan V (2) = 200.I V ′(x) > 0 pada (0, 2) dan V ′(x) < 0 pada (2, 92 ). Jadi V (2) adalah

nilai maksimum (global).

3 Maka V mencapai nilai maksimum yaitu 200 saat x = 2.4 Ukuran kotak adalah p = 20, l = 5, dan tinggi x = 2.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 35 / 70

Page 58: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Solusi

1 V (x) = (24− 2x)(9− 2x)x = 4x3 − 66x2 + 216x untuk 0 ≤ x ≤ 92 .

2 V ′(x) = 12x2 − 132x+ 216 = 12(x− 2)(x− 9)

I Titik-titik kritis: ujung interval ({0, 92}), stasioner ({2}), tidak ada titiksingular karena V (x) adalah polinom (suku banyak).

I Jelas V (0) = V ( 92 ) = 0. Sedangkan V (2) = 200.I V ′(x) > 0 pada (0, 2) dan V ′(x) < 0 pada (2, 92 ). Jadi V (2) adalah

nilai maksimum (global).3 Maka V mencapai nilai maksimum yaitu 200 saat x = 2.4 Ukuran kotak adalah p = 20, l = 5, dan tinggi x = 2.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 35 / 70

Page 59: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Solusi

1 V (x) = (24− 2x)(9− 2x)x = 4x3 − 66x2 + 216x untuk 0 ≤ x ≤ 92 .

2 V ′(x) = 12x2 − 132x+ 216 = 12(x− 2)(x− 9)I Titik-titik kritis: ujung interval ({0, 92}), stasioner ({2}), tidak ada titik

singular karena V (x) adalah polinom (suku banyak).

I Jelas V (0) = V ( 92 ) = 0. Sedangkan V (2) = 200.I V ′(x) > 0 pada (0, 2) dan V ′(x) < 0 pada (2, 92 ). Jadi V (2) adalah

nilai maksimum (global).3 Maka V mencapai nilai maksimum yaitu 200 saat x = 2.4 Ukuran kotak adalah p = 20, l = 5, dan tinggi x = 2.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 35 / 70

Page 60: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Solusi

1 V (x) = (24− 2x)(9− 2x)x = 4x3 − 66x2 + 216x untuk 0 ≤ x ≤ 92 .

2 V ′(x) = 12x2 − 132x+ 216 = 12(x− 2)(x− 9)I Titik-titik kritis: ujung interval ({0, 92}), stasioner ({2}), tidak ada titik

singular karena V (x) adalah polinom (suku banyak).I Jelas V (0) = V ( 92 ) = 0. Sedangkan V (2) = 200.

I V ′(x) > 0 pada (0, 2) dan V ′(x) < 0 pada (2, 92 ). Jadi V (2) adalahnilai maksimum (global).

3 Maka V mencapai nilai maksimum yaitu 200 saat x = 2.4 Ukuran kotak adalah p = 20, l = 5, dan tinggi x = 2.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 35 / 70

Page 61: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Solusi

1 V (x) = (24− 2x)(9− 2x)x = 4x3 − 66x2 + 216x untuk 0 ≤ x ≤ 92 .

2 V ′(x) = 12x2 − 132x+ 216 = 12(x− 2)(x− 9)I Titik-titik kritis: ujung interval ({0, 92}), stasioner ({2}), tidak ada titik

singular karena V (x) adalah polinom (suku banyak).I Jelas V (0) = V ( 92 ) = 0. Sedangkan V (2) = 200.I V ′(x) > 0 pada (0, 2) dan V ′(x) < 0 pada (2, 92 ). Jadi V (2) adalah

nilai maksimum (global).

3 Maka V mencapai nilai maksimum yaitu 200 saat x = 2.4 Ukuran kotak adalah p = 20, l = 5, dan tinggi x = 2.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 35 / 70

Page 62: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Solusi

1 V (x) = (24− 2x)(9− 2x)x = 4x3 − 66x2 + 216x untuk 0 ≤ x ≤ 92 .

2 V ′(x) = 12x2 − 132x+ 216 = 12(x− 2)(x− 9)I Titik-titik kritis: ujung interval ({0, 92}), stasioner ({2}), tidak ada titik

singular karena V (x) adalah polinom (suku banyak).I Jelas V (0) = V ( 92 ) = 0. Sedangkan V (2) = 200.I V ′(x) > 0 pada (0, 2) dan V ′(x) < 0 pada (2, 92 ). Jadi V (2) adalah

nilai maksimum (global).3 Maka V mencapai nilai maksimum yaitu 200 saat x = 2.

4 Ukuran kotak adalah p = 20, l = 5, dan tinggi x = 2.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 35 / 70

Page 63: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Solusi

1 V (x) = (24− 2x)(9− 2x)x = 4x3 − 66x2 + 216x untuk 0 ≤ x ≤ 92 .

2 V ′(x) = 12x2 − 132x+ 216 = 12(x− 2)(x− 9)I Titik-titik kritis: ujung interval ({0, 92}), stasioner ({2}), tidak ada titik

singular karena V (x) adalah polinom (suku banyak).I Jelas V (0) = V ( 92 ) = 0. Sedangkan V (2) = 200.I V ′(x) > 0 pada (0, 2) dan V ′(x) < 0 pada (2, 92 ). Jadi V (2) adalah

nilai maksimum (global).3 Maka V mencapai nilai maksimum yaitu 200 saat x = 2.4 Ukuran kotak adalah p = 20, l = 5, dan tinggi x = 2.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 35 / 70

Page 64: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Solusi

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 36 / 70

Page 65: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Tips Menyelesaikan soal Masalah Praktis

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 37 / 70

Page 66: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Outline

1 Maksimum dan Minimum

2 Kemonotonan Fungsi

3 Kecekungan

4 Masalah Praktis (Practical Problem)

5 Menggambar Grafik denga Kalkulus

6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan

7 Antiturunan

8 Pengantar persamaan diferensial

9 Referensi

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 38 / 70

Page 67: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Guidelines

Informasi-informasi berikut (walau tidak selalu semua ada ataudiperlukan) akan membantu kita untuk mensketsa grafik suatufungsi

1 Domain2 Titik-titik potong dengan sumbu-x atau sumbu-y3 Interval kemonotonan4 Titik stasioner, titik maks lokal dan min lokal5 Interval kecekungan6 Titik belok7 Asimptot: Horizontal, vertikal, miring (jika ada)

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 39 / 70

Page 68: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Contoh

Sketsa grafik f(x) = 2x2

x2−11 Domain : semua bilangan real kecuali x = −1 dan x = 1.2 f(0) = 0 dan f(x) = 0 memberikan x = 0. Jadi, grafik memotong

sumbu-x dan sumbu-y di (0, 0)3 f ′(x) = −4x

(x2−1)2 .I Titik kritis hanya titik stasioner. f ′(x) = 0 jika x = 0.I pada x > 0, f ′(x) < 0, grafik f turun pada (0, 1) ∪ (1,∞) kemudian

pada x < 0, f ′(x) > 0, grafik f naik pada (−∞,−1) ∪ (−1, 0)4 f ′′(x) = 4(3x2+1)

(x2−1)3 untuk semua x 6= −1, 1. Karena f ′′(0) = 4−1 < 0,

f(0) adalah nilai maks lokal.5 Tanda f ′′(x) ditentukan oleh tanda penyebut (x2 − 1)3 karena

pembilang selalu positif.

(x2 − 1)3 > 0 jika x2 − 1 > 0, jhj x < −1 atau x > 1 dan(x2 − 1)3 < 0 jika , x2 − 1 < 0 jhj − 1 < x < 1

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 40 / 70

Page 69: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

6. limx→∞

2x2

x2−1 = 0 = limx→−∞

2x2

x2−1 = f(x). Terdapat satu asimptot datar

di y = 0.Calon asimptot tegak x = 1 dan x = −1.

limx→1+

2x2

x2 − 1= +∞.

garis x = 1 adalah asimptot tegak. limx→1−

2x2

x2−1 = −∞.

limx→−1+

2x2

x2 − 1= −∞

x=-1 asimptot tegak. limx→−1−

2x2

x2−1 =∞.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 41 / 70

Page 70: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 42 / 70

Page 71: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 43 / 70

Page 72: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Problem

Sketsa grafik fungsi berikut1 f(x) = x2√

x+1

2 f(x) = cosx2+sinx

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 44 / 70

Page 73: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 45 / 70

Page 74: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 46 / 70

Page 75: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Outline

1 Maksimum dan Minimum

2 Kemonotonan Fungsi

3 Kecekungan

4 Masalah Praktis (Practical Problem)

5 Menggambar Grafik denga Kalkulus

6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan

7 Antiturunan

8 Pengantar persamaan diferensial

9 Referensi

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 47 / 70

Page 76: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

TNR Turunan

Teorema Nilai Antara TurunanMisalkan f adalah fungsi yang memenuhi

1. f kontinu pada interval tutup [a, b].2. f differensiabel pada interval buka (a, b).

Maka terdapat c anggota (a, b) sedemikian sehingga

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a

atauf(b)− f(a) = f ′(c)(b− a)

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 48 / 70

Page 77: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Teorema Nilai Rata-rata Turunan

Contoh :Misalkan f(x) = x3 − x adalah fungsi yang terdefinisi pada [0, 2].Tentukan nilai c pada (0, 2) sedemikian sehingga

f ′(c) =f(2)− f(0)

2− 0

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 49 / 70

Page 78: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Teorema Nilai Rata-rata Turunan

TeoremaJika f ′(x) = 0 untuk setiap x ∈ (a, b) maka f fungsi konstan pada(a, b).

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 50 / 70

Page 79: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Teorema Nilai Rata-rata Turunan

TeoremaJika f ′(x) = 0 untuk setiap x ∈ (a, b) maka f fungsi konstan pada(a, b).

Proof.Misalkan x1 dan x2 anggota (a, b) dengan x1 < x2. Karena fdiferensiabel di (a, b) maka f juga diferensiabel di (x1, x2) dan kontinupada [x1, x2]. Dengan Teorema Nilai Antara dari f pada [x1, x2] ada csedemikian sehingga x1 < c < x2 dan

f(x2)− fx1 = f ′(c)(x2 − f(x1)

karena f ′(x) = 0 untuk setiap x , maka f ′(c) = 0. Sehinggaf(x2)− f(x1) = 0 atau f(x1) = f(x2). f bernilai sama untuk setiapx1, x2 di (a, b) atau f konstan pada (a, b).

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 50 / 70

Page 80: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Teorema Nilai Rata-rata Turunan

AkibatJika f ′(x) = g′(x) untuk setiap x pada interval (a, b) maka f − gkonstan pada (a, b) atau f(x) = g(x) + C, dengan c konstanta.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 51 / 70

Page 81: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Teorema Nilai Rata-rata Turunan

AkibatJika f ′(x) = g′(x) untuk setiap x pada interval (a, b) maka f − gkonstan pada (a, b) atau f(x) = g(x) + C, dengan c konstanta.

Misal F (x) = f(x)− g(x). Akibatnya

F ′(x) = f ′(x)− g′(x) = 0

untuk setiap x pada (a, b). Sehingga menurut teorema sebelumnyaF = C, jadi f(x) = g(x) + C.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 51 / 70

Page 82: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Outline

1 Maksimum dan Minimum

2 Kemonotonan Fungsi

3 Kecekungan

4 Masalah Praktis (Practical Problem)

5 Menggambar Grafik denga Kalkulus

6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan

7 Antiturunan

8 Pengantar persamaan diferensial

9 Referensi

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 52 / 70

Page 83: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Antiturunan

Seringkali diperlukan juga menentukan fungsi F sehingga F ′ = f .Fungsi F disebut antiturunan dari f .

DefinisiFungsi F disebut antiturunan dari f pada interval I jika F ′(x) = f(x)untuk setiap x ∈ I.

Contoh: F (x) = x3 adalah antiturunan dari f(x) = 3x2 padainterval (−∞,∞).

I Tetapi F (x) = x3 + 10 juga memenuhi hubungan F ′ = f .I Tentunya F (x) + C, memenuhi hubungan F ′ = f , apapun nilaiC ∈ R.

Jadi, untuk setiap C ∈ R, F (x) = x3 + C adalah antiturunanf(x) = 3x2 pada interval (−∞,∞).Apakah setiap antiturunan dari f(x) = 3x2 juga berbentukF (x) = x3 + C?

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 53 / 70

Page 84: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Akibat TNR

TeoremaJika f ′(x) = g′(x) untuk setiap x ∈ (a, b), maka terdapat bilangan realC ∈ R sehingga

f(x) = g(x) + C untuk setiap x ∈ (a, b)

Proof.Misalan h(x) = f(x)− g(x). Pilih sembarang x1 ∈ (a, b). Untuk setiapx 6= x1, kriteria TNR terpenuhi. Jadi terdapat c diantara x1 dan xsehingga h(x1)− h(x) = h′(c)(x− c). Tetapi kita tahuh′(c) = f ′(c)− g′(c) = 0, sehingga h(x1)− h(x) = 0 atau h(x) = h(x1).Jadi h(x) = f(x)− g(x) = h(x1) konstan pada (a, b). Misal C = h(x1),f(x) = g(x) + C.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 54 / 70

Page 85: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Antiturunan

Teorema ini mengatakan jika dua fungsi turunannya sama, makaselisih diantara keduanya konstan.Kembali ke pertanyaan semula: Apakah setiap antiturunan darif(x) = 3x2 juga berbentuk F (x) = x3 + C?

I Bila g(x) adalah antiturunan dari f(x), dan F (x) = x3, makag′(x) = f(x) = F ′(x).

I Jadi,g(x) = F (x) + C = x3 + C,

untuk suatu C ∈ R

TeoremaJika F adalah antiturunan dari f pada interval I, maka bentuk palingumum dari antiturunan dari f adalah

F (x) + C, C konstanta sembarang

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 55 / 70

Page 86: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Antiturunan

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 56 / 70

Page 87: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Notasi Antiturunan

Notasi Leibniz: antiturunan dari f(x) ditulis sebagai∫f(x)dx

Jika F (x) adalah salah satu antiturunan dari f , maka∫f(x)dx = F (x) + C

yang menyatakan bentuk paling umum dari semua antiturunandari f .

I f(x) disebut integran.I x disebut variabel integrasi.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 57 / 70

Page 88: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Contoh

1 Jika r bilangan pecahan, f 6= −1, maka∫xrdx =

xr+1

r + 1+ C

2∫cosx dx = sinx+ C

3∫sinx dx = − cosx+ C

4 Kelinearan antiturunan :∫kf(x)dx = k

∫f(x)dx (1)∫

(f(x) + g(x))dx =

∫f(x)dx+

∫g(x)dx (2)

5 Jika g(x) mempunyai turunan pada interval I dan r 6= −1 bilanganpecahan, maka ∫

[g(x)]rg′(x)dx =[g(x)]r+1

r + 1+ C.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 58 / 70

Page 89: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Outline

1 Maksimum dan Minimum

2 Kemonotonan Fungsi

3 Kecekungan

4 Masalah Praktis (Practical Problem)

5 Menggambar Grafik denga Kalkulus

6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan

7 Antiturunan

8 Pengantar persamaan diferensial

9 Referensi

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 59 / 70

Page 90: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Persamaan diferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkanturunan atau diferensial.Contoh: Tentukan persamaan kurva yang melalui titik (1, 2) dangradien garis singggungnya pada tiap titik adalah dua kalikoordinat-x titik tersebut.

I

dy

dx= 2x dan y(−1) = 2.

I Metode 1: Dari persamaan dydx = g(x) = 2x maka haruslah

y =

∫g(x)dx

yaitu y(x) = x2 + C. Karena melalui (1, 2) maka2 = y(−1) = (−1)2 + C. Jadi, C = 1. Persamaan kurva adalahy = x2 + 1.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 60 / 70

Page 91: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Persamaan diferensial

Metode 2: Padang dydx sebagai perbandingan dua diferensial,

kalikan kedua ruas dengan dx,dy = 2xdx∫dy =

∫2xdx

y + C1 = x2 + C2

y = x2 + C, C = C2 − C1

menggunakan data awal melalui (−1, 2), kita peroleh C = 1. Jadi,y = x2 + 1.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 61 / 70

Page 92: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Persamaan diferensial

Keluarga kurva y = x2 + C

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 62 / 70

Page 93: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Solusi Persamaan Diferensial

Bentuk umum persamaan diferensial orde-1:

F (x, y, y′) = 0.

contoh sin(xy) + x2y′ − y2y′ − 4 = 0Dalam bentuk eksplisit:

y′ = G(x, y)

Contoh: y′ = 4−sin(xy)x2−y2

Sebuah fungsi y = f(x) disebut Solusi (penyelesaian)persamaan diferensial F (x, y, y′) = 0, jika memenuhi persamaantersebut, yaitu

F (x, f(x), f ′(x)) = 0

Persamaan diferensial dengan syarat awal y(x0) = y0 disebutmasalah nilai awal. Contoh:{

y′ = 2xy(1) = 3

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 63 / 70

Page 94: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Contoh

MNA: dydx =

√xy , y(1) = 4.

√ydy =

√xdx∫ √

ydy =∫ √

xdx23y

32 = 2

3x32 + C

y =(x

32 + C

) 23

melalui y(1) = 4,

4 =(1

32 + C

) 23 ⇒ C = 4

32−1=7

Jadi solusi MNA adalah y =(x

32 + 7

) 23

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 64 / 70

Page 95: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Persamaan diferensial

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 65 / 70

Page 96: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Contoh

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 66 / 70

Page 97: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Contoh

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 67 / 70

Page 98: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Contoh

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 68 / 70

Page 99: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Outline

1 Maksimum dan Minimum

2 Kemonotonan Fungsi

3 Kecekungan

4 Masalah Praktis (Practical Problem)

5 Menggambar Grafik denga Kalkulus

6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan

7 Antiturunan

8 Pengantar persamaan diferensial

9 Referensi

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 69 / 70

Page 100: Matematika I: APLIKASI TURUNAN · PDF file2 Kemonotonan Fungsi 3 Kecekungan ... 5 Menggambar Grafik denga Kalkulus 6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan 7 Antiturunan 8

Referensi

E.J. Purcell, J.W. Brown, S.E. Rigdon Calculus: Ninth Edition,Pearson International Edition,Singapore 2009.

J. Stewart Calculus: 7th Edition, Brooks Cole, New York 2011.

Oki Neswan Slide Kuliah Kalkulus IB FMIPA-ITB 2011.

R. Larson Applied Calculus: For the life and social science, Houghton Mifflin HarcourtPublishing Company, Boston USA 2009.

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 70 / 70