metnum 3 - sistem persamaan linear (spl) bag.1
TRANSCRIPT
SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)
Bentuk umum SPL
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
31 1 32 2 3 3
1 1 2 2
...
...
...
: : :
...
n n
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
Bentuk umum SPLSistem persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut.
AX B11 12 1
21 22 2
31 32 3
1 2
n
n
n
n n nn
a a a
a a a
A a a a
a a a
1
2
3
n
x
x
X x
x
1
2
3
n
b
b
B b
b
METODE PENYELESAIAN
METODE
HITUNGAN LANGSUNG
METODE ITERATIF
METODE HITUNGAN LANSUNGHITUNGAN LANGSUNG
ELIMINASI
DEKOMPOSISI
GAUSS
GAUSS-JORDAN
MET. DOOLITTLE
MET. CROUT
BACK
METODE ITERATIF
METODE ITERATIF
METODE JACOBI
MET. GAUSS SEIDEL
BACK
ELIMINASI GAUSSEliminasi Gauss menggunakan dua tahap dalam menyelesaikan SPL.
1. Operasi baris elementer (OBE) Bentuk eselon Baris
2. Penyulihan Mundur
ALGORITHM
BACK
CONTOH
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4
2 8
2
2 2 3 3 20
4 3 4
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
1 1 2 1 8
1 1 1 0 2
2 2 3 3 20
1 1 4 3 4
1 1 2 1 8
0 2 1 1 6
0 0 1 1 4
0 0 0 2 4
TAHAP 1. OBE
OBE
TAHAP 2. PENYULIHAN MUNDUR
1 1 2 1 8
0 2 1 1 6
0 0 1 1 4
0 0 0 2 4
Bentuk Eselon Baris
4
43
3 42
1 2 3 4
42
24
21
63
28 2 7
x
xx
x xx
x x x x
BACK
ALGORITHM Tahap Eliminasi
Input : A,B, nOutput : Xk=1;while k<=ordo-1 pivot=A(k,k); r=k; for t=k+1:ordo if (abs(A(t,k))>abs(pivot)) pivot=A(t,k); r=t;if pivot==0 disp('Singular'),break else if r>k for s=1:ordo tampung=A(k,s); A(k,s)=A(r,s); A(r,s)=tampung;
tampung=B(k); B(k)=B(r); B(r)=tampung;for i=k+1:ordo p=A(i,k)/A(k,k); for j=k:ordo A(i,j)=A(i,j)-p*A(k,j); B(i)=B(i)-p*B(k); k=k+1;Stop
ALGORITHM Tahap Penyulihan Mundur
X(ordo)=B(ordo)/A(ordo,ordo);
for k=ordo-1:-1:1
sigma=0;
for j=k+1:ordo
sigma=sigma+A(k,j)*X(j);
X(k)=(B(k)-sigma)/A(k,k);
Cetak ‘Matriks X’
Stop
BACK
GAUSS-JORDANMetode ini sangat mirip dengan metode Eliminasi gauss,
akan tetapi pada metode Gauss-Jordan Matriks hasil OBE didapat sampai Bentuk Eselon Baris Tereduksi.
Contoh:
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4
2 8
2
2 2 3 3 20
4 3 4
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
Penyelesaian
1 1 2 1 8
1 1 1 0 2
2 2 3 3 20
1 1 4 3 4
1 1 2 1 8
0 2 1 1 6
0 0 1 1 4
0 0 0 2 4
OBE
Bentuk eselon baris
1 0 0 0 7
0 1 0 0 3
0 0 1 0 2
0 0 0 1 2
1 1 2 1 8
0 2 1 1 6
0 0 1 1 4
0 0 0 2 4
OBE
Bentuk eselon baris tereduksi
BACK
DEKOMPOSISI (PEMFAKTORAN)
Salah satu metode penyelesaian SPL AX=B yang lain adalah yang biasa dikenal dengan
sebutan Dekomposisi LU. Prinsip Metode ini adalah menfaktorkan Matriks A menjadi Suatu
perkalian 2 matrik yaitu matriks L (Matriks segitiga bawah) dan U (matriks segitiga atas).
(A=LU)
Sebagai contoh SPL AX=B.
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
31 32 3 3 3
1 2
n
n
n
n n nn n n
a a a x b
a a a x b
a a a x b
a a a x b
Maka Matriks A dapat difaktorkan sebagai berikut:
11 12 13 14 11 11 21 31 41
21 22 23 24 21 22 22 32 42
31 32 33 34 31 32 33 33 43
41 42 43 44 41 42 43 44 44
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
a a a a l u u u u
a a a a l l u u u
a a a a l l l u u
a a a a l l l l u
AX B
LUX B
Misal UX Y
LY B
UX Y
Langkah Penyelesaian SPL AX=B adalah sebagai berikut:
Maka,
Matriks Y dapat dicari dari LY=B dengan Menggunakan Penyulihan Maju, kemudian
dapat diselesaikan dengan menggunakan penyulihan Mundur.
Jadi, dalam Dekomposisi LU ada dua tahap yang harus dilakukan yaitu:
1. Penyulihan maju untuk mencari Matriks Y dari LY=B
2. Penyulihan mundur untuk menyelesaikan SPL (Mencari matriks X dari UX=Y)
Langkah Penyelesaian SPL AX=B adalah sebagai berikut:
BACK
METODE DOOLITTLE Prinsip Metode Dekomposisi LU ini adalah bahwa
diagonal utama matriks L-nya bernilai 1 dan diagonal matriks U tak nol
sehingga bentuknya sebagai berikut:
11 12 13 14 11 21 31 41
21 22 23 24 21 22 32 42
31 32 33 34 31 32 33 43
41 42 43 44 41 42 43 44
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
a a a a u u u u
a a a a l u u u
a a a a l l u u
a a a a l l l u
BACK
METODE CROUT Perbedaan Metode Crout dengan Metode Doolitte adalah ada pada matriks U. Matriks U pada metode
Crout diagonal utamanya bernilai 1 dan diagonal matriks
L tak nol. sehingga bentuknya sebagai berikut:
11 12 13 14 11 21 31 41
21 22 23 24 21 22 32 42
31 32 33 34 31 32 33 43
41 42 43 44 41 42 43 44
0 0 0 1
0 0 0 1
0 0 0 1
0 0 0 1
a a a a l u u u
a a a a l l u u
a a a a l l l u
a a a a l l l l
BACK
CONTOH METODE DOOLITTLE Carilah Matriks LU metode Doolittle dari dan selesaikan SPL
berikut.
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4
2 8
2
2 2 3 3 20
4 3 4
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
PENYELESAIAN1 0 0 0 1 1 2 1
0 1 0 0 1 1 1 0 1
0 0 1 0 2 2 3 3 2
0 0 0 1 1 1 4 3 1
1 0 0 0 1 1 2 1
1 1 0 0 0 2 1 1
2 0 1 0 0 0 1 1
1 0 0 1 0 0 2 4 2
1 0 0 0 1 1 2 1
1 1 0 0 0 2 1 1
2 0 1 0 0 0 1 1
1 0 2 1 0 0 0 2
MENCARI MATRIKS LU
1 0 0 0
1 1 0 0
2 0 1 0
1 0 2 1
L
1 1 2 1
0 2 1 1
0 0 1 1
0 0 0 2
U
Jadi, didapatkan matriks LU Sebagai berikut:
Menyelesaikan SPL
1
2
3
4
1 0 0 0 8
1 1 0 0 2
2 0 1 0 20
1 0 2 1 4
y
y
y
y
1
2
3
4
8
2 8 6
20 16 4
4 2. 4 8 4
y
y
y
y
Dengan Penyulihan majuLY=B
Menyelesaikan SPL
Dengan Penyulihan mundurUX=Y
1
2
3
4
1 1 2 1 8
0 2 1 1 6
0 0 1 1 4
0 0 0 2 4
x
x
x
x
4
3
2
1
2
( 4 2) 2
6 2 23
28 3 2.2 2 7
x
x
x
x
Jadi, solusi dari SPL tersebut adalah (-7, 3, 2, 2)
CONTOH METODE CROUT Carilah Matriks LU metode Crout dari dan selesaikan SPL
berikut.
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4
2 8
2
2 2 3 3 20
4 3 4
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
PENYELESAIANMENCARI MATRIKS LU
1 2 1
1 1 2 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 1 0 0
2 2 3 3 0 0 1 0
1 1 4 3 0 0 0 1
1 12 2
1 0 0 0 1 1 2 1
1 2 1 1 0 1 0 0
2 0 1 1 0 0 1 0
1 0 2 4 0 0 0 1
PENYELESAIAN1
1 0 0 0 1 1 2 1
1 2 0 0 0 1 1 2 1 2
2 0 1 1 0 0 1 0
1 0 2 4 0 0 0 1
1 0 0 0 1 1 2 1
1 2 0 0 0 1 1 2 1 2
2 0 1 0 0 0 1 1
1 0 2 2 0 0 0 1
Jadi, didapatkan matriks LU Sebagai berikut:
1 0 0 0
1 2 0 0
2 0 1 0
1 0 2 2
L
1 1 2 1
0 1 1 2 1 2
0 0 1 1
0 0 0 1
U
Menyelesaikan SPL
Dengan Penyulihan majuLY=B
1
2
3
4
1 0 0 0 8
1 2 0 0 2
2 0 1 0 20
1 0 2 2 4
y
y
y
y
1
2
3
4
8
2 83
220 16 4
4 2.4 82
2
y
y
y
y
Menyelesaikan SPL
Dengan Penyulihan mundurUX=Y
Jadi, solusi dari SPL tersebut adalah (-7, 3, 2, 2)
1
2
3
4
1 1 2 1 8
0 1 1 2 1 2 3
0 0 1 1 4
0 0 0 1 2
x
x
x
x
4
3
2
1
2
4 2 2
1 13 .2 .2 32 2
8 3 2.2 2 7
x
x
x
x
Metode Doolittle11 12 13 14 11 12 13 14
21 22 23 24 21 22 23 24
31 32 33 34 31 32 33 34
41 42 43 44 41 42 43 44
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
a a a a u u u u
a a a a l u u u
a a a a l l u u
a a a a l l l u
11 12 13 14
21 11 21 12 22 21 13 23 21 14 24
31 11 31 12 32 22 31 13 32 23 33 31 14 32 24 34
41 11 41 12 42 22 41 13 42 23 43 33 41 14 42 24 43 34 44
u u u u
l u l u u l u u l u u
l u l u l u l u l u u l u l u u
l u l u l u l u l u l u l u l u l u u
Soal
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 4
4 8 4 8
5 4 3 4
4 7 2 10
3 3 4
x x x
x x x x
x x x x
x x x
Selesaikan SPL tersebut dengan metode Doolittle dan Metode Crout
Soal
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 4
4 8 4 8
5 4 3 4
4 7 2 10
3 3 4
x x x
x x x x
x x x x
x x x
Selesaikan SPL tersebut dengan metode Doolittle dan Metode Crout