METODE NUMERIK

LAPORAN AKHIR PRAKTIKUM

DI SUSUN OLEH :

Nama : Dwi Ardiyanti

NPM : F1A009047

Dosen : Yulian Fauzi S.Si. M.Si

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BENGKULU

2011

1

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan YME kerena berkat rahmat dan hidayahNya penulis dapat

menyelesaikan Laporan Praktikum Metode Numerik ini. Penulis mengucapkan terima kasih

kepada semua pihak yang telah membantu dalam proses pembuatan Laporan ini. Terutama

penulis ucapkan banyak terima kasih kepada Bpk Yulian Fauzi S.si.M.si.selaku dosen

pembimbing mata kuliah ini, penulis juga mengucapkan kepada asisten dosen, karena berkat

bantuan dan dukungan merekalah laporan ini dapat terselesaikan.

Penulis sadari seperti pepatah “tiada gading yang tak retak’, maka tiada pulalah

kesempurnaan selain Allah SWT. Oleh karena itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran

dari pembaca demi makalah ini lebih baik.

Semoga makalah ini dapat semakin membuka dan memperluas wawasan dan cakrawala berfikir

para pembaca, serta menambah pengetahuan dan pemahaman pembaca mengenai penyelesaian Metode

Numerik dalam Matlab.

Bengkulu, Juni 2011

Penulis

2

DAFTAR ISI

Kata pengantar.......................................................................i

Daftar isi................................................................................ii

Bab I . Pendahuluan..................................................1

A. Latar Belakang...............................................................................1

B. Tujuan............................................................................................3

C. Rumusan Masalah..........................................................................3

D. Manfaat..........................................................................................4

Bab II........................................................................5

A. Penyelesaian persamaan nonlinier.................................5

1. Metode Bisection......................................................5

2. Metode Newton Raphson dan Secant......................13

A. Interpolasi.......................................................................29

1. Interpolasi linier.............................................................29

2. Interpolasi Lagrange......................................................36

1. Interpolasi Beda terbagi Newton..............................41

A. Integrasi Numerik...........................................................50

1. Aturan Trapesium.......................................................50

2. Aturan Simpson........................................................................54

Bab III. Kesimpulan dan Saran...................................60

1. Kesimpulan....................................................................................60

2. Saran.............................................................................................60

Daftaar Pustaka...............................................................................61

BAB I

3

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Seiring pesatnya perkembangan teknologi dan kemajuan zaman, maka diperlukan suatu

produk dengan ketelitian dan akurasi tinggi, dan waktu pengerjaan yang singkat. Begitu juga

dengan permasalahan dalam bidang matematika, ilmu pengetahuan fisika murni maupun

terapan, bidang rekayasa teknik metalurgi, mesin, elektro, sipil dan lain-lain dituntut hal yang

sama, dimana dalam suatu perhitungan dengan data numerik membutuhkan ketelitian dan

akurasi yang cukup baik. Pada saat teknologi informasi belum ada atau boleh dikatakan belum

maju pesat, para praktisi dan profesional di bidang rekayasa teknik dan sain menganalisa dengan

perhitungan manual. Simplifikasi digunakan dimana struktur yang sangat kompleks

disederhanakan menjadi struktur yang lebih sederhana. Artinya akan terjadi perbedaan dari

suatu permodelan dengan kondisi aktual. Hal ini dilakukan untuk menghindari kesulitan dalam

analisa.

Adanya perkembangan teknologi informasi yang sangat pesat pada saat ini mendorong

para praktisi untuk mengembangkan cara baru agar pekerjaan analisa dapat dilakukan dengan

lebih baik dan lebih efektif. Metode kalkulasi dengan matriks dapat dilakukan dengan mudah

menggunakan teknologi informasi. Sudah banyak persoalan di bidang teknik maupun sain yang

dapat diselesaikan dengan menggunakan permodelan matematika. Sering kali permodelan

matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal, sehingga tidak dapat diselesaikan

dengan menggunakan metode analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution).

Jika persoalan-persoalan yang kita hadapi tidak dapat diselesaikan dengan metode

permodelan matematika metode analitik menggunakan dalil-dalil kalkulus, maka solusinya

dapat diperoleh dengan metode numerik. Metode numerik secara harafiah berarti suatu cara

berhitung dengan menggunakan angka-angka, sedangkan secara istilah metode numerik adalah

teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat

diselesaikan dengan operasi aritmatika biasa.

4

Dengan menggunakan metode numerik, solusi exact dari persoalan yang dihadapi tidak

akan diperoleh. Metode numerik hanya bisa memberikan solusi yang mendekati atau

menghampiri solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran

( approximation solution). Pendekatan solusi ini tentu saja tidak tepat sama dengan solusi sejati,

sehingga ada selisih antara keduanya. Solusi tersebut disebut solusi galat (error). Semakin kecil

galat yang diperoleh berarti semakin dekat solusi hampiran yang diperoleh dengan solusi

sejatinya.

Pada saat sebelum perkembangan teknologi informasi belum pesat seperti sekarang ini,

ada dua cara pendekatan yang biasa digunakan jika suatu persoalan tidak bisa diselesaikan

dengan metode analitik, yaitu :

a. Solusi grafik dipakai untuk mencirikan suatu perilaku sistem, teknik ini kurang presisi

karena sangat tergantung pada ketelitian penggambaran grafik.

b. Metode numerik secara manual. Secara teori pendekatan ini dapat digunakan dengan

baik untuk penyelesaian masalah yang rumit, namun pada kenyataannya seringkali

menemui masalah. Masalah ini timbul biasanya karena kesalahan kecil dalam

perhitungan (Chapra & Canale, 1991)

c. Komputer dan metode numerik memberikan suatu alternatif pemecahan dari masalah-

masalah tersebut. Dengan menggunakan kemampuan komputer untuk mendapatkan

solusi langsung, hampir semua persoalan dapat diselesaikan tanpa perlu penyederhanaan

asumsi atau penggunaan teknik yang rumit. Selain mempercepat perhitungan numerik,

dengan komputer kita dapat mencoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat

perubahan beberapa parameter dan kriteria error.

MATLAB adalah sebuah lingkungan komputasi numerikal dan bahasa pemrograman

komputer generasi keempat. Dikembangkan oleh The MathWorks, MATLAB memungkinkan

manipulasi matriks, pem-plot-an fungsi dan data, implementasi algoritma, pembuatan antarmuka

pengguna, dan peng-antarmuka-an dengan program dalam bahasa lainnya. Meskipun hanya

bernuansa numerik, sebuah kotak kakas (toolbox) yang menggunakan mesin simbolik MuPAD,

memungkinkan akses terhadap kemampuan aljabar komputer. Sebuah paket tambahan,

Simulink, menambahkan simulasi grafis multiranah dan Desain Berdasar-Model untuk sistem

terlekat dan dinamik. Pada tahun 2004, MathWorks mengklaim bahwa MATLAB telah

dimanfaatkan oleh lebih dari satu juta pengguna di dunia pendidikan dan industri.

5

MATLAB (yang berarti "matrix laboratory") diciptakan pada akhir tahun 1970-an oleh

Cleve Moler, yang kemudian menjadi Ketua Departemen Ilmu Komputer di Universitas New

Mexico. Ia merancangnya untuk memberikan akses bagi mahasiswa dalam memakai LINPACK

dan EISPACK tanpa harus mempelajari Fortran. Karyanya itu segera menyebar ke universitas-

universitas lain dan memperoleh sambutan hangat di kalangan komunitas matematika terapan.

Jack Little, seorang insinyur, dipertemukan dengan karyanya tersebut selama kunjungan Moler

ke Universitas Stanford pada tahun 1983. Menyadari potensi komersialnya, ia bergabung dengan

Moler dan Steve Bangert. Mereka menulis ulang MATLAB dalam bahasa pemrograman C,

kemudian mendirikan The MathWorks pada tahun 1984 untuk melanjutkan pengembangannya.

Pustaka yang ditulis ulang tadi kini dikenal dengan nama JACKPAC. Pada tahun 2000,

MATLAB ditulis ulang dengan pemakaian sekumpulan pustaka baru untuk manipulasi matriks,

LAPACK.

MATLAB pertama kali diadopsi oleh insinyur rancangan kontrol (yang juga spesialisasi

Little), tapi lalu menyebar secara cepat ke berbagai bidang lain. Kini juga digunakan di bidang

pendidikan, khususnya dalam pengajaran aljabar linear dan analisis numerik, serta populer di

kalangan ilmuwan yang menekuni bidang pemrosesan citra. (Hanselman & Littlefield)

A. TUJUAN

Adapun tujuan dari penyusunan laporan ini adalah untuk menambah wawasan

dan pengetahuan penyusun tentang penyelesaian metode numerik dengan

menggunakan program Matlab.

B. Rumusan Masalah

– Bagaimana menyelesaikan metode numerik dengan menggunakan

program matlab?

– Bagaimana mengaplikasikan interpolasi dalam berbagai permasalahan

yang diberikan dengan mengguanakan program komputer?

– Apa perbandingan antara aturan komposisi trapesium dan Simpson?

6

D. MANFAAT

Dapat memahami beberapa metode penyelesaian persamaan atau mencari

akar persamaan non linier.

BAB II

HASIL PRAKTIKUM

7

A.Penyelesaian Persamaan Nonlinier

1. Metode Bisection (Bagi Dua)

Tujuan Praktikum

1. Memahami beberapa metode penyelesaian persamaan atau mencari akar persamaan non linier

khususnya menggunakan metode bagi dua.

2. Dapat menggunakan metode tersebut untuk menyelesaikan masalah yang diberikan.

Metode Numerik

Dasar Teori

Metode Bisection atau disebut juga dengan metode bagi dua merupakan salah satu jenis metode

pencarian instrumental dimana selang/range selalu dibagi dua atau membagi range menjadi 2 bagian. Ide

awal metode ini adalah metode table, dimana suatu area dibagi menjadi N bagian. Pada Metode Bisection

ini jika suatu fungsi berubah tanda pada suatu selang, maka nilai fungsi dihitung pada titik tengah,

kemudian lokasi akar ditentukan sebagai titik tengah selang bagian terjadinya perubahan tanda.

Metode ini melakukan pengamatan terhadap nilai f(x) dengan berbagai nilai x, yang

mempunyai perbedaan tanda. Taksiran akar diperhalus dengan cara membagi 2 pada interval x

yang mempunyai beda tanda tersebut.

Prinsip dari Metode Bisection adalah: membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini

dipilih bagian mana yang mengandung akar dan membuang bagian yang tidak mengandung akar. Hal ini

dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

Berikut adalah langkah-langkah dalam menyelesaikan Metode Bisection (metode bagi dua),

yaitu :

Langkah 1 : Pilih a sebagai batas bawah dan b sebagai batas atas untuk taksiran

akar sehingga terjadi perubahan tanda fungsi dalam selang interval.

Langkah 2 : Taksiran nilai akar baru yaitu c

Langkah 3 : Menentukan daerah yang berisi akar fungsi: jika |f(c)| ≤ toleransi,

maka harga c adalah harga x yang dicari, bila tidak dilanjutkan ke tahap 4.

8

Langkah 4 : Jika f(c) > 0, maka a baru = a dan b baru = c, sehingga daerah akar

fungsi a < x < c. Jika f(c) < 0, maka a baru = c dan b baru = b, sehingga daerah

akar fungsi c < x < b. Kemudian kembali ke tahap 2.

ALGORITMA

Masukan : f(x),a,b dan epsilon

Keluaran : akar

Langkah-langkah

1. bm≔an;cm≔bm2. untuk iterasi=1,2, … ,m

untuk i=m-1,m-2, … ,1 bi≔ai+

3. fa.fb<04. T≔a+b25. jika fa.fT<0 berarti akar berada pada selang a,Tmaka b≔T, jika tidak a≔T6. jika b-a≤epsilon maka estimasi akar :=T. selesai7. Ulangi kembali ke langkah 1

9

Definisi Fungsi

tr,ta

Mulai

H=5*t2-30*t+20

t1=t2

t0=tc

tc=akarSelesa

iht1,ht2=0

no

yes

10

Flowchart Metode Bisection Soal’1

Definisi Fungsi

zr,z

Mulai

H=z3-11z2+39z-105

t1=t2

t0=tc

tc=akarSelesa

iht1,ht2=0

no

yes

11

Flowchart Metode Bisection Soal’2

Listing Program Metode Bagi Dua

12

Fungsi Soal 1

Output Program

13

14

Fungsi Soal 2

Output Program

15

16

1. Metode Newton Raphson dan Secant

Tujuan

1. Memahami beberapa metode penyelesaian persamaan atau mencari akar

persamaan linier khususnya menggunakan metode Newton Raphson dan

Secant

2. Dapat menggunakan metode tersebut untuk menyelesaikan masalah yang

diberikan.

Dasar Teori Metode Newton Raphson

Metode newton Raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal

dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradient pada titik tersebut. Titik

pendekatan n+1 dituliskan sebagai berikut:

Xn+1=xn-F(xn)F1(xn)

Newton Raphson ini menggunakan fungsi derivatif (turunan) sebagai fungsi garis

singgung. Hal lain yang harus diperhatikan adalah bahwa Metode Newton Raphson ini

memberikan beban tambahan kepada penggunanya, karena adanya keharusan menghitung

fungsi turunan f ’(x)n di setiap iterasi (titik xn ). Hal ini merupakan salah satu kekurangan dari

metode ini, mengingat tidak semua fungsi dapat diturunkan atau mempunyai turunan pada suatu

interval yang kontinu. Kekurangan lainnya adalah penetapan harga awal sulit dan tidak selalu

menemukan akar (divergen). Sedangkan keunggulan metode ini adalah memiliki laju

konvergensi kuadratik, sehingga metode ini lebih cepat untuk konvergen menuju akar

pendekatan daripada metode lain yang memiliki laju konvergensi linear.

Pada dasarnya, algoritma metode Newton untuk mencari akar suatu fungsi f(x) dimulai

dengan menentukan nilai awal iterasi terlebih dahulu, misalkan x = a. Pada setiap iterasi, metode

Newton ini akan mencari suatu nilai katakanlah b yang berada pada sumbu-x. Nilai b ini

diperoleh dengan menarik garis singgung fungsi f(x) di titik x = a ke sumbu-x. Dibawah ini

adalah langkah-langkah penyelesaian dengan Newton Raphson :

1. Definisikan fungsi f (x) dan f ’(x)

17

2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)

3. Tentukan nilai pendekatan awal x0

4. Hitung f (x0) dan f ’(x0)

5. Hitung nilai x1 = x0 - dan selanjutnya yaitu

6. Untuk iterasi i = 1 s/d n, hitung f (X i+1) dan f ‘ (X i+1)

7. Akar persamaannya adalah x terakhir yang diperoleh.

Beberapa permasalahan pada Metode Newton Raphson antara lain :

a. Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada titik

ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai f ‘(x) = 0.

b. Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik

pendekatannya berada di antara dua titik stasioner

Solusi akar (atau akar-akar) dengan menggunakan Metode Newton-Raphson, secara sederhana,

dapat diturunkan dari geometri gambar di bawah ini:

Gambar. Representasi garis tangent pada metode Newton-Raphson.

Garis tangent yang dimaksudkan pada Gb. di atas adalah garis AC, yang berarti juga

bahwa tangent dari ∠ CAB (sudut CAB) dapat dituliskan sebagai berikut:

tan(∠ CAB) = CB AB

18

Bila diperhatikan pada gambar di atas, maka akan diperoleh kesamaan-kesamaan berikut:

CB = f (xn ) − 0 = f (xn )

AB = xn − xn+1, dan

tan(< CAB)= f ' ( xn)

Sehingga, persamaan tan(∠ CAB) dapat ditulis kembali sebagai:

f'xn=f(xn)xn-xn+1

atau setelah disusun-ulang, akan diperoleh formula rekursif dari Metode Newton-Raphson:

xn+1=xn-fxnf'xn

ALGORITMA METODE NEWTON RAPHSON

Masukan : f(x),f’(x),x0, epsilon dan m (banyaknya iterasi)

Keluaran : akar

Langkah-langkah

1. Definisikan terlebih dahulu fungsi dan turunan fungsinya .2. Jika f’(x)=0 maka proses gagal. Selesai3. Jika tidak, xr :=x0 f(x0)f'(x)4. Jika |xr-x0xr| ≤ epsilon maka akar :=xr. Selesai satu iterasi5. Ulangi iterasi dengan mengambil x0 :=xr

19

MulaiSelesai Ti+1=akar To,ti+1

Max iter=10 dan eps=0,00001

Ti=ti+1ti+1-ti<epsH=5t2-30t+20H'=10t-30 Flowchart Metode Newton Raphson Soal’1

20

MulaiSelesai Ti+1=akar To,ti+1

Max iter=10 dan eps=0,00001

Ti=ti+1ti+1-ti<epsH=5t2-30t+20H'=10t-30 Flowchart Metode Newton Raphson Soal’1

Flowchart Metode Newton Raphson Soal’2

Listing Program

21

Mulaiz0,zi+1Max iter=10 dan eps=0,00001

Selesaizi=zi+1H=z3-11z2+39z-105 zi+1-zi<epszi=zi+1

Fungsi soal 1

22

Output Program

Fungsi Soal 2

23

Output Program

24

METODE SECANT

Dasar Teori

Metode Secant, memiliki kemiripan persamaan rekursif yang sangat dekat dengan

Metode Newton-Raphson. Namun demikian, perbedaan yang paling mencolok dari keduanya

adalah dalam hal cara mereka menghitung turunan fungsi y = f (x), yaitu: metode Newton-

Raphson menghitung turunan fungsi dengan cara analitis , sedangkan Metode Secant

menghitung turunan fungsi dengan pendekatan numeris. Oleh sebab itulah, Metode Secant ini

tidak ada pilihan lagi mengharuskan para penggunakan untuk ‘menebak 2 buah (sembarang)

harga x-awal’ yang berbeda.

Sesuai dengan namanya, Metode Secant bekerja berdasarkan GARIS SECANT (garis

busur) yang menghubungkan 2 titik pada kurva y = f (x), sedemikian rupa sehingga secara

geometris akan terbentuk “kesebangunan segitiga” dan kemudian daripadanya dapat dihitung

suatu titik pendekatan baru pada kurva y = f(x) yang mendekati akar atau jawaban eksaknya dan

kemudian dari titik yang baru ini ditarik lagi suatu ‘garis secant yang baru’ yang berhubungan

dengan salah satu titik awal yang tempat kedududkannya lebih dekat ke arah akar eksaknya,

demikian proses rekursif tersebut dilakukan secara berulang (iteratif) sehingga diperoleh suatu

akar yang paling mendekati akar eksaknya sesuai dengan kriteria yang ditentukan. (Metode

Secant untuk Solusi PANLT)

Solusi akar (atau akar-akar) dengan menggunakan Metode Secant, secara sederhana,

dapat diturunkan dari representasi grafis di bawah ini:

25

Gambar. Representasi grafis untuk Metode Secant.

Perhatikan Gb. di atas, maka kesebangunan segitiga yang terbentuk adalah perbandingan

berikut:

xn+1≔xn-fxnxn-xn-1fxn-f(xn-1)

Algoritma Metode Secant

Masukan : xn,xn-1,f(x),x, epsilon dan m (banyaknya iterasi)

Keluaran : akar

Langkah-langkah

1. Masukkan 2 tebakan awal.

2. Jika f beda hingga = 0 maka proses gagal. Selesai

3. Jika tidak, xn+1≔xn-fxnxn-xn-1fxn-f(xn-1)

4. Jika |xn+1-xnxn+1≤ epsilon maka akar := xn+1. Selesai5. Ulangi iterasi dengan mengambil xn:=xn+1 hingga galat ≤ epsilon

atau sesuai jumlah iterasi.

26

Mulai

Tk,tk-1,tk+1,kMax iter=10 dan

eps=0,00001

H=5t2-30t+20Tk+1=tk.Ftk(tk. tk-1)Ftk-f(tk-1)

(Tk-tk-1)tk≤eps

Max iter

Toleransi error terpenuhiIter>max

iterSelesa

i

Mulai

zk,zk-1,zk+1,kMax iter=10 dan

eps=0,00001

Zk+1=zk.Fzk(zk. zk-1)Fzk-f(zk-1)

(Zk-zk-1)zk≤eps

Max iter

Toleransi error terpenuhiIter>max

iterSelesa

i

27

Flowchart metode secant soal 2

Flowchart metode secant soal 1

Listing Program

Fungsi Soal 1

28

Output

29

Fungsi Soal 2

30

Output program

31

A. INTERPOLASI

1. Interpolasi Linier

Tujuan Praktikum

1. Dapat memahami Interpolasi Linier.

2. Dapat mengaplikasikan interpolasi linier dalam berbagai permasalahan yang diberikan

dengan menggunakan program komputer.

Dasar Teori

Metode ini dikenal juga dengan metode false position, metode ini ada untuk menutupi

kekurangan pada metode setengah interval yang mudah tetapi tidak efisien (untuk mendapatkan

hasil yang mendekati nilai eksak diperlukan langkah iterasi cukup panjang). Dengan metode ini

nilai akar dari suatu fungsi dapat lebih cepat diperoleh daripada dengan metode setengah

interval, metode ini didasarkan pada interpolasi antara dua nilai dari fungsi yang mempunyai

tanda berlawanan.

Mula-mula dicari nilai fungsi untuk setiap interval x, yang sama hingga didapat dua

nilai fungsi f (xi) dan f (xi + 1) berurutan dengan tanda berlawanan. Kedua nilai fungsi tersebut

ditarik garis lurus hingga terbentuk suatu segitiga, dengan menggunakan sifat segitiga sebangun

didapat persamaan berikut:

i1i

1i

xx

xx

−−

+

∗+

=

)()(

)(

i1i

1i

xfxf

xf

−+

+

x∗ = xi + 1 −

)()(

)(

i1i

1i

xfxf

xf

−+

+

(xi + 1 − xi)

32

Gambar Metode interpolasi linier

Nilai fungsi untuk setiap interval ∆ x, digunakan untuk menghitung nilai fungsi f (x∗) yang

kemudian digunakan lagi untuk interpolasi linier dengan nilai f (xi) atau f (xi + 1) sedemikian

sehingga kedua fungsi mempunyai tanda berbeda, prosedur ini diulang sampai nilai f (x∗) yang

didapat mendekati nol.

Contoh soal:

1) Hitung salah satu akar dari persamaan berikut ini:

f (x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0.

Penyelesaian:

Langkah pertama adalah menghitung nilai f (x) pada interval antara dua titik sedemikian

sehingga nilai f (x) pada kedua titik tersebut berlawanan tanda.

Dihitung nilai f (x) pada interval antara dua titik, misalnya x = 1 dan x = 2.

Untuk x1 = 1; f (x1 = 1) = (1)3 + (1)2 – 3(1) – 3 = – 4.

Untuk x2 = 2; f (x2 = 2) = (2)3 + (2)2 – 3(2) – 3 = 3.

Dengan menggunakan persamaan (3.2), didapat:

x∗ = xi + 1 −

)()(

)(

i1i

1i

xfxf

xf

−+

+

(xi + 1 − xi) = 2 −

)]4(3[

3

−−

(2 1) = 1,57142.

33

f (x∗) = (1,57142)3 + (1,57142)2 – 3(1,57142) – 3 = –1,36449.

Karena f (x∗) bertanda negatif maka akar terletak antara x = 1,57142 dan x = 2,

selanjutnya dihitung nilai x∗:

x = 2 −

)]36449,1(3[

3

−−

(2 − 1,57142) = 1,70540.

f (x ) = (1,70540)3 + (1,70540)2 – 3(1,70540) – 3 = –0,24787.

Dengan menggunakan pemrograman komputer, hasil hitungan tersebut diatas ada pada

tabel dan didapat pada iterasi ke 7, yaitu x = 1,73205.

Tabel Hasil hitungan metode interpolasi linier

I xi xi + 1 x∗ f (xi) f (xi + 1) f (x∗)

1 1.0000

0

2.0000

0

1.5714

3

-

4.00000

3.0000

0

-

1.36443

2 1.5714

3

2.0000

0

1.7054

1

-

1.36443

3.0000

0

-

0.24774

3 1.7054

1

2.0000

0

1.7278

8

-

0.24774

3.0000

0

-

0.03934

4 1.7278

8

2.0000

0

1.7314

1

-

0.03934

3.0000

0

-

0.00611

5 1.7314

1

2.0000

0

1.7319

5

-

0.00611

3.0000

0

-

0.00094

6 1.7319

5

2.0000

0

1.7320

4

-

0.00094

3.0000

0

-

0.00014

7 1.7320

4

2.0000

0

1.7320

5

-

0.00014

3.0000

0

-

0.00002

34

Algoritma Interpolasi Linier

Masukan : xi, f(xi), x ; i = 1, 2, …, n

keluaran : ilinier

Langkah-langkah

1. Untuk i = 1, 2, masukan xi dan f(xi)

2. Beda terbagi : = f(x2)-f(x1)x2-x1

3. Ilinier : = f(x1) + Beda terbagi x ( x – x1)

Listing Program

35

Flowchart interpolasi linier 1X0,x,x

1Mulai F(x)=50+590(x-1997)SelesaiFx=fx0+fx1-fx0x1-x0.(x-x0)

Flowchart interpolasi linier 2X0,x,x

1Mulai F(x)=2.26+0.21(x-1)SelesaiFx=fx0+fx1-fx0x1-x0.(x-x0)

Fungsi Soal 1

Output Program

36

Fungsi soal 2

Output Program

37

1. Interpolasi Lagrange

Tujuan Praktikum

1. Dapat memahami Interpolasi Langrange beserta keuntungan dan kerugiannya.

2. Dapat mengaplikasikan Interpolasi Langrange tersebut dalam berbagai permasalahan yang

diberikan dengan menggunakan program komputer.

Dasar Teori

Interpolasi Lagrange sangat dikenal dalam metode numerik, karena menggunakan fungsi dalam

bentuk polinomial. Dari sekumpulan data berpasangan yang ada, dapat diketahui dengan pasti

fungsi yang melalui titik-titik tersebut. Dengan menggunakan Matlab dibuat aplikasi untuk

membantu proses pencarian fungsi yang dimaksud. Titik-titik yang diketahui haruslah

merupakan bilangan real, dalam bidang datar. Berdasarkan fungsi ini dapat diprediksikan nilai

38

selanjutnya untuk kasus yang ada. Interpolasi banyak digunakan untuk memprediksi nilai data

berpasangan.

Interpolasi Lagrange diterapkan untuk mendapatkan fungsi polinomial P(x) berderajat

tertentu yang melewati sejumlah titik data. Misalnya, kita ingin mendapatkan fungsi polinomial

berderajat satu yang melewati dua buah titik yaitu (x0, y0) dan (x1, y1).

Rumus yang digunakan untuk interpolasi Lagrange adalah sebagai berikut

Algoritma Interpolasi Linier

Masukan : n, xi, f(xi), x ; i:= 0, 1, 2, . . ., n

Keluaran : perkiraan langrange (plag)

Langkah-langkah

1. Plag := 0

2. Untuk i := 0,1,2 , …,n

3. Jika j ≠ I,faktor := factor. x-xjxi-xj

4. Plag :=plag + faktor . f(xi)

39

Mulai

Jika j tidak sama dengan iFaktor≔faktor (x-xi)(xi-xj)

Selesai

40

X,y,x_dibacariFx=k(x)k(xk)=fk Factor := 1J:=1,2,3,4,5,6

Flowchart interpolasi lagrange1

Mulai

Jika j tidak sama dengan iFaktor≔faktor (x-xi)(xi-xj)

Selesai

41

X,y,x_dicariFx=k(x)k(xk)=fk Factor := 1J:=1,2,3,4

Flowchart interpolasi lagrange 2

Listing Program

42

Output soal 1

43

Output Soal 2

44

1. Interpolasi Beda Terbagi Newton

Tujuan Praktikum

1. Dapat memahami Interpolasi beda terbagi newton.

2. Dapat mengaplikasikan interpolasi beda terbagi newton tersebut dalam berbagai

permasalahan yang diberikan dengan menggunakan program komputer.

Dasar Teori

Basis polinomial Newton, , didefinisikan oleh:

dengan konvensi sebagai berikut:

Lagi pula

45

Dasar Newton adalah dasar , ruang polinomial gelar paling banyak sebesar .

Memang, mereka merupakan sebuah eselon derajat set polinomial. Polinomial

interpolasi Newton derajat terkait dengan pembagian yang

adalah:

dimana

Kita akan melihat bagaimana untuk menentukan koefisien dalam bagian berikut

berhak perbedaan dibagi. Polinomial interpolasi Newton derajat , , Dievaluasi pada ,

memberikan:

46

Secara umum, ditulis:

disebut orde nol dibagi perbedaan. Polinomial interpolasi Newton derajat , ,

dievaluasi pada , memberikan:

Karenanya

disebut . Order dibagi perbedaan. Polinomial interpolasi Newton derajat , ,

Dievaluasi pada , memberikan:

Oleh karena itu:

47

Bentuk umumnya pilihan berikut:

Karenanya

disebut . Order dibagi perbedaan. Dengan kambuh, kita memperoleh:

demikian disebut . Order dibagi perbedaan. Dalam prakteknya, ketika kita

ingin menentukan . Order dibagi perbedaan misalnya, kita perlu kuantitas

berikut

48

Karenanya

Biarkan dan merupakan permutasi dari . Kemudian

Algoritma Interpolasi Beda Terbagi Newton

Masukan : n, xi, f(xi), z, epsilon ; i = 1, 2, …, n

Keluaran : perkiraan bagi (pbagi)

Langkah-langkah

bo : = f(xo) pbagi :=bo faktor :=i

Untuk i :=1,2,…,n lakukan

bi := f(xi)

untuk j :=i-1,…,0 lakukan

bj= bj+1-bxi-xj

faktor := faktor ∙ (z – xi-1)

suku :=bo∙faktor

pbagi := pbagi + suku

Jika suku≤epsilon ,selesai

49

x0,x1,x2,…

Fx=1666.7x—2617.2

Mulai

Factor≔dfactor.z-xi-1

Bi=fx1Untuk i≔1,2,… , n

Suku;=b0.factor Bj;=bj+1-b Xi-xjUntuk j=i-1,1-2,… ,0

p.bagi= pbagi+suku

jikasuku<=eps Selesai

50

Flowchart Interpolasi Beda Terbagi Newtonerbagi newtoninterpolasi linier beda terbagi newton

Listing Program

51

Output soal 1

52

Output Soal 2

53

A. INTEGRASI NUMERIK

1. Aturan Trapesium

Tujuan Praktikum

1. Dapat memahami aturan trapesium untuk menyelesaikan integral.

2. Dapat menggunakan aturan Trapesium untuk menyelesaikan permasalahan yang diberikan.

Dasar Teori

Pada metode pertama, kami akan perkiraan oleh mendekati grafik fungsi

dengan garis lurus. Itu berarti bahwa kita mendekati daerah di bawah grafik y = f (x) oleh

trapesium terbentuk di bawah ini.

Luas trapesium adalah luas persegi panjang ditambah luas segitiga tersebut. Itu berarti

pendekatan kita adalah

Tentu saja, kita tidak bisa berharap ini menjadi pendekatan yang baik. Namun, kami dapat

mematahkan wilayah [a, b] menjadi potongan-potongan yang lebih kecil dan menerapkan

pendekatan pada masing-masing bagian. Pada bagian-bagian yang lebih kecil, grafik terlihat

lebih dan lebih seperti garis lurus sehingga pendekatan harus memperbaiki.

54

Mari kita memilih beberapa n bilangan bulat positif dan memecahkan [a, b] menjadi n

potongan yang sama. Luas masing-masing bagian adalah .

Kami akan label poin didefinisikan oleh sub-interval dengan xi dan panggilan yi = f (xi) .

Jika kita dengan perkiraan luas di bawah grafik oleh daerah trapezoids, kami telah

Trapesium Sum

Pendekatan trapesium dari a, b f (x) dx terkait dengan partisi a = x 0 <x 1 <... n x <= b diberikan oleh

Trapesium Sum =1

2[F (x 0) + 2f (x 1) + ... + 2f (x n - 1) + f (x n)] x

Algoritma Aturan Trapesium

Masukan : a, b, n, f(x)

Keluaran : A (Luas daerah)

Langkah-langkah

1. h≔(b-a)n

2. jsisi := 0

3. Untuk i := sampai n-1 lakukan

55

x≔a+h*i+1

jsisi :=jsisi+fx

jsisi≔h2fa+fb+2*jsisi

Listing Program

56

Mulai X(i)= a+hi

I=1,2,…,n-1

S=h2∙(fa+fb+2fxi) Nilai f(a) dan f(b)Masukkan nilai a,b,n dan f(x)H= b-an Selesai Flowchart Aturan Trapesium

Fungsi

Output

57

1. Aturan Simpson

Tujuan Praktikum

1. Dapat memahami aturan komposisi simpson untuk menyelesaikan integral.

2. Dapat menggunakan aturan simpson untuk menyelesaikan permasalahan yang diberikan.

3. Dapat membandingkan aturan komposisi trapesium dan simpson.

Dasar Teori

Di samping menggunakan rumus trapesium dengan interval yang lebih kecil, cara lain

untuk mendapatkan perkiraan yang lebih teliti adalah menggunakan polinomial order lebih

tinggi untuk menghubungkan titik-titik data. Misalnya, apabila terdapat satu titik tambahan di

antara f (a) dan f (b), maka ketiga titik dapat dihubungkan dengan fungsi parabola (Gambar a).

Apabila terdapat dua titik tambahan dengan jarak yang sama antara f (a) dan f (b), maka

keempat titik tersebut dapat dihubungkan dengan polinomial order tiga (Gambar b). Rumus

yang dihasilkan oleh integral di bawah polinomial tersebut dikenal dengan metode (aturan)

Simpson.

58

Aturan Simpson dibentuk oleh aproksimasi kurva umum dengan parabola.

Parabola adalah grafik fungsi kuadrat dan begitu tiga buah informasi

yang diperlukan untuk menentukan koefisien a, b , dan c . Ini berarti harus menggunakan data

tiga titik data untuk memperbaiki parabola tersebut. Lebar

masing-masing dua interval adalah . Dengan sedikit bekerja, Anda akan menemukan

pendekatan tersebut

Ini adalah Aturan Simpson dengan satu langkah. Lebih umum lagi, kita dapat mematahkan

interval menjadi beberapa bagian dan menerapkan Peraturan Simpson pada interval masing-

masing. Sebagai contoh, untuk menggunakan langkah-langkah n, mematahkan [a, b] ke 2n

potong, masing-masing lebar Hubungi koordinat dan

biarkan .

Kemudian kita memiliki

59

Ini adalah ide yang sama dengan Peraturan Trapezoidal tetapi Anda melihat bahwa

algoritma yang sedikit berbeda. Di dalam jumlah tersebut, endpoint yang berbobot sekali,

sedangkan nilai aneh y adalah weigted empat kali dan bahkan nilai-nilai y di tengah adalah

tertimbang dua kali.

Algoritma Aturan Simpson

Masukan : a, b, n, f(x)

Keluaran : Luas

Langkah-langkah

1. definisikan fungsi F(x)

2. input a, b, n

3. dinyatakan xo = a dan luas = 0

dengan menggunakan rumusx1 = xo + 2hx2 = x1 + 2hLuas = Luas + ( 2n/3 ) (f(xo) + 4f(x1) + f(x2))hingga x2 = bmaka integral dari F(x) adalah Luas

60

Masukkan nilai a,b,n dan f(x)

H= b-an

Nilai f(a) dan f(b)

X(i)= a+h*i

I=1,2,…,n-1

Listing Program

61

Flowchart Aturan SimpsonMulaiSelesai

Fungsi

62

Output

63

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Dalam pembelajaran kali ini dapat disimpulkan bahwa Tidak semua permasalahan

matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. Dibutuhkan metode yang

menggunakan analisis-analisis pendekatan persoalan non linier untuk menghasilkan nilai

yang diharapkan. Kesulitan menggunakan metode analitik untuk mencari solusi exact

dengan jumlah data yang besar, diperlukan perhitungan komputer, metode numerik

menjadi penting untuk menyelesaikan permasalahan ini. Pemakaian metode analitik

terkadang sulit diterjemahkan ke dalam algoritma yang dapat dimengerti oleh komputer.

Metode numerik yang memang berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan

alternatif yang baik dalam menyelesaian persoalan-persoalan perhitungan yang rumit

Menyelesaikan masalah Metode Numerik dengan menggunakan pendekatan-

pendekatan analisis matematis dengan tambahan grafis dan teknik perhitungan yang

mudah menggunakan salah satu program computer yaitu MATLAB adalah salah satu

alternatif dalam menyelesaikankan masalah matematika yang berhubungan dengan banyak

angka yang tidak dapat di kerjakan secara manual oleh manusia.

B. Saran

Semoga laporan ini bisa bermanfaat bagi yang membutuhkan dan yang telah membacanya.

Apabila masih terdapat kesalahan dalam teori atau kesalahan lainya baik sengaja ataupun

tidak sengaja, penulis ucapkan beribu maaf karena tidak ada manusia yang sempurna. Oleh

karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari pembaca. Semoga yang penulis

harapkan dari Laporan praktikum metode numerik ini dapat terwujud dan bermanfaat bagi

pengetahuan amin.

Daftar Pustaka

64

Chapra, S.C., and Canale, R.P., Numerical Methods for Engineers, McGraw-Hill,

1998

Morris,J.L., Computational Methods in Elementary Numerical Analysis, Wiley, 1983

Nakamura, S., Applied Numerical Methods in C , Prentice-Hall Inc. 1993

Agustina Dian dan Sriliana Idhia, Modul Praktikum Metode Numerik, Bengkulu 2010

65