laporan metnum gw

Click here to load reader

Post on 11-Jun-2015

2.884 views

Category:

Documents

6 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Laporan Akhir Praktikum Metode numerik

TRANSCRIPT

BAB I PENDAHULUANA. Metode Numerik

Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, dalam memandang permasalahan yang terlebih dahulu diperhatikan apakah permasalahan tersebut mempunyai penyelesaian atau tidak. Hal ini menjelaskan bahwa tidak semua permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan perhitungan biasa. Sebagai contoh perhatikan integral berikut ini.L=01sin(x)xdx

Integral di atas terlihat tidak terlalu panjang, tetapi untuk menyelesaikan integral tersebut bukan permasalahan yang mudah bahkan dapat dikatakan tidak mungkin. Tetapi bukan berarti integral tersebut tidak mempunyai penyelesaian, hanya saja menyelesaikan integral semacam itu sangat sulit dan kalaupun bisa memerlukan pengetahuan matematis yang tinggi dan waktu yang cukup lama. Padahal integral di atas adalah bentuk integral yang banyak digunakan dalam bidang teknik, khususnya pada analisa sinyal yang melibatkan sinyal frekwensi, filtering dan optimasi pola radiasi.

Gambar.Kurva y=sin(x)

Dengan dasar inilah dapat dikatakan bahwa diperlukan suatu metode tertentu yang dapat digunakan untuk menghitung integral tersebut. Meskipun metode1

tersebut tidak dapat menghasilkan nilai yang exact (tepat), setidak-tidak sudah mendekati nilai yang diharapkan. Pada persoalan lain, misalnya diketahui suatu kurva dari fungsi non-linier y=x2+exp(x) sebagai berikut :

Gambar.Kurva y=x2+exp(x)

Perhatikan kurva y=x2+exp(x) memotong sumbu X di antara 1 dan 0.5, tetapi untuk menentukan akar persamaan (titik potong dengan sumbu X) tersebut dengan menggunakan metode manual dapat dikatakan tidak mungkin. Sehingga diperlukan metode-metode pendekatan untuk dapat memperoleh akar yang dapat dikatakan benar. Metode tersebut adalah metode numerik, yaitu metode yang menggunakan analisisanalisis pendekatan untuk menghasilkan nilai yang diharapkan. Persoalan lain adalah bagaimana menentukan fungsi polynomial yang terbaik yang dapat mewakili suatu data seperti berikut:

Gambar.Kurva Pendekatan

2

Secara analitik, untuk memperoleh fungsi polynomial dari jumlah data yang kecil (> edit. c. Figure Windows Window ini adalah hasil visualisasi script MATLAB. Namun MATLAB juga memberi kemudahan untuk mengedit window ini sekaligus memberikan program khusus untuk itu sehingga window ini selain berfungsi sebagai visualisasi output daopt juga sekaligus menjadi media input yang interaktif. d. MATLAB Help Window MATLAB menyediakan system help yang dapat diakses dengan perintah help. Misalnya untuk memperoleh informasi mengenai fungsi elfan, yaitu untuk fungsi trigonometri , eksponsila, kompleks, dan lainlain, yand dapt diakses dengan mengetik : >> help elfun, lalu tekan enter. Maka dilayar akan muncul informasi dalam bentuk teks pada layar MATLAB. 3. Bilangan dan Operator Matematika di MATLAB Ada tiga tipe bilangan di dalam MATLAB yaitu : Bilangan Bulat (integer), Bilangan Real Bilangan Kompleks

4. Komentar dan tanda Baca7

Semua teks sesudah tanda % dianggap statement komentar, contoh : Semester=8 % jumlah semester S I Semester = 8

8

BAB II METODE BAGI DUA (BISECTION)A. Tujuan Praktikum 1. Memahami beberapa metode penyelesaian persamaan atau mencari akar

persamaan non linier khususnya menggunakan metode bagi dua.2. Dapat menggunakan metode tersebut untuk menyelesaikan masalah yang

diberikan.B. Dasar Teori

Metode bagi dua(bisection) ini didasarkan pada teorema nilai antara fungsi kontinu,yaitu bahwa suatu selang[a,b] harus mengandung f(x) = 0,bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda misalnya f(a)>0 dan f(b)0 dan f(b) 0,proses menemukan m baru dilakukan seperti prosedur yang telah dijelaskan. Metode bisection adalah salah satu kelas metode pengelompokan karena prosedur untuk mendapatkan nilai x untuk f(x) = 0 dilakukan melalui pendekatan kelompok akar.Metode ini tidak sepenuhnya memanfaatkan data f(x) bagi penentuan nilai x. Misalnya,tidak digunakannya ukuran relative f(a) dan f(b) karena umumnya jika f(a) < f(b) dalam nilai mutlaknya,maka akar persamaan akan terletak lebih dekat ke f(a). Salah satu cara efektif mendaptkan nilai m ini adalah menghubungkan13

f(a) dan f(b) dengan garis lurus dan perpotongan garis ini dengan absis x merupakan nilai m.

BAB III METODE NEWTON RAPHSON14

A.Tujuan praktikum 1. Memahami beberapa metode penyelesaian persamaan non linier khususnya

menggunakan metode Newton Raphson.2. Dapat menggunakan metode tersebut untuk menyelesaikan masalah yang

diberikan.B.Dasar Teori

Gambar. Metode Newton-Raphson

Metode newton raphson adalah metode iterasi lain untuk memecahkan persamaan f(x)=0,dengan f diasumsikan mempunyai turunan kontinu f.Metode ini menggunakan suatu garis lurus sebagai ampiran fungsi pada selang.Garis tersebut adalah garis singgung pada kurva.Dengan menggunakan suatu nilai awal xo dan ditetapkan xi adalah titik potong sumbu x dengan garis singgung pada kurva f dititik xo.maka :tan=f'(x0)x0-x1 sehingga x1=x0-f(x0)f'x0

Dalam setiap iterasi akan terbentuk xi secara berulang-ulang hingga manghasilkan nilai X yang membuat f(x) = 0. Turunan pertama dari f(x) terhadap x adalah sama dengan kemiringan garis singgung dititik tersebut.15

f'xi=f(x0)x0-x1 xi+1=xi-f(xi)f'(xi)

Dalam metode ini prinsip pengurangan akar tidak dipergunakan lagi, akibatnya metode ini tidak dijamin lagi kekonvergenannya. Iterasi dihentikan apabila dua iterasi yang beruntun menghasilkan hampiran akar yang sama. Dalam rumus iterasi pada penyebut terdapat duku f'(x1). Agar metode berhasil, maka selama iterasi nilasi ini tidak boleh pernah sama dengan nol.C. Algorima

Masukan : f(x),f(x),xo,epsilon,m ( banyaknya iterasi ) Keluaran : Akar Langkah-langkah : 1. definisikan terlebih dahulu fungsi dan aturan fungsinya2. jika f(x) =0 maka proses gagal.Selesai 3. jika tidak,xrx0f(x0)f'(x0) 4. jika xr-x0xr epsilon maka akar := xr .Selesai satu iterasi 5. ulangi iterasi dengan mengambil x0 := xr

D. Flowchart

Definisikan fungsi

Baca x0, x1, tol, iter max

16

Iter = 0

Iter = iter+1 Fx=F(x0) F1x=F(x0)

x(iter)=x(iter-1)-((feval(fname,x(iter1)))/(feval(dfname,x(iter-1))))

(abs(x(iter)-x(iter-1))iter_max

x0=xb

Tulis hasil xb, F(xb)

E. Listing Program MFILE 1

17

MFILE 2

MFILE 3

18

Output Program Newton Raphson

F. KesimpulanMetode yang paling baik dalam memilih g(x) adalah dengan membuat garis singgung dari f(x) untuk nilai x yang dipilih,an dengan menggunakan besaran x dari perpotongan garis singgung terhadap absis sehingga diperoleh nilai x baru.

19

Keuntungan dalam menggunakan metode ini adalah sifat konvergensi kuadratik dalam proses iterasi,karena terjadinya koreksi digit ganda di setiap proses.Sedangkan kekruangan metode ini adalah harus mencari f(x) dan nilainya mungkin 0,tidaklah sederhana melacak proses untuk konvergen,dalam perhitungan ada kemungkinan besar proses memberikan hasil divergen,kecuali nilai perkiraan awal x cukup tepat.

BAB IV20

METODE SECANTA. Tujuan praktikum 1. Memahami beberapa metode penyelesaian persamaan non linier khususnya

menggunakan metode Secant.2. Dapat menggunakan metode tersebut untuk menyelesaikan masalah yang

diberikan.B. Dasar Teori

Gambar. Metode Secant

Metode secant diperoleh dari metode newton dengan cara menggantikan turunan f(x) dengan beda hingga terbagi,f'xn=fxn-f(xn-1)xn-xn-1

Kemudian sebagaiganti skema iterasi Newton diperolahxn+1:=xn-fxnxn-xn-1fxn-f(xn-1)

Secara geometri,dalam metode newton xn+1 merupakan perpotongan sumbu x dan garis singgung di xn,sedangkan dalam metode secant xn+1 berupa perpotongan sumbu x dan tali busur kurva f(x) yang berpadanan terhadap xn-1 dan xn.Metode secant memerlukan dua tebakan awal,xo dan x1 tetapi menghindari perhitungan turunan.dapat diperlihatkan bahwa metode sacant lebih lambat dibandingkan21

dengan metode newton,tetapi tetap lebih disukai bilamana kerja perhitungan suatu nilai f(x) lebih lama daripada kali kerja perhitungan nilai f(x).Algoritmanya serupa dengan metode newton,tidak dianjurkan menuliskan skema iterasi diatas dalam bentukxn+1= xn-1fxn-xnf(xn-1)fxn-f(xn-1)

Karena boleh jadi akan menimbulkan kesukaran (kehilangan angka benar)pada waktu xn dan xn-1 bernilai sama.C. Algoritma

Masukkan : xn,xn-1,f(x),x,epsilon dan m ( banyaknya iterasi ) Keluaran : akar Langkah-langkah: 1. masukkan 2 tebakan awal2. jika f beda hingga = 0 maka proses gagal.Selesai 3. jika tidak, xn+1:=xn-fxnxn-xn-1fxn-f(xn-1) 4. Jika xn+1-xnxn+1 epsilon maka akar := xn+1 baru.Selesai satu iterasi 5. Ulangi iterasi dengan mengambil xn := xn+I hingga galat epsilon atau sesuai

jumlah iterasi

D. Flowchart

Definisikan fungsi

Baca xa, xb, eps, iter max

22

Iter = 0

Iter = iter+1

x(iter+1)=x(iter)-y(iter)*(x(iter)x(iter-1))/(y(iter)-y(iter-1)) abs(x(iter)-x(iter-1))