laporan metnum 2

1

BAB I

TEORI DASAR

A.Metode Eleminasi Gauss

Metode ini terdiri dari dua langkah besar .Langkah pertama dinamakan proses eliminasi yaitu mengubah SPL semula menjadi SPL segitiga atas melalui serangkaian operasi baris elementer (OBE).Operasi ini tidak mengubah solusi dari SPL semula.Selanjutnya tahap kedua adalah menyelesaikan SPL segitiga atas yang terbentuk dengan menggunakan penyulihan mundur.

B.Faktorisasi Segitiga.

Faktorisasi ini digunakan untuk memfaktorkan suatu matriks atas factor matriks segitiga atas dengan segitiga bawah.Salah satu kegunaan dari faktorisasi segitiga ini adalah untuk menyelesaikan suatu SPL yang matriks koefisiennya sama tetapi nilai SPL-nya (ruas kanan SPL) berbeda beda.Misalkan

Difaktorisasi menjadi :

Misalkan .Kita selesaikan SPL segitiga bawah dengan penyulihan maju.Setelah vector y diperoleh selanjutnya vector x dapat dicari dari persamaan dengan memakai penyulihan mundur.

C. Metode Iterasi Jacobi.

Metode ini digunakan jika matriks memiliki bentuk diagonal utama.Namun jika belum berbentuk diagonal utama maka harus diubah barisnya agar menjadi diagonal utama.Setelah itu lakukan iterasi dengan rumus dan tebakan awal.

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

2

D.Metode Iterasi Gauss-Seidel.

Metode ini sama seperti metode iterasi Jacobi namun metode ini langsung memasukkan hasil yang didapat pada tahap iterasi yang sama untuk x yang berbeda.


3

BAB II

ALGORITMA PENYELESAIAN MASALAH

A.Algoritma Eliminasi Gauss.

Masukkan : n ukuran SPL

a[i,j] i := 1,2,,n j := 1,2,,n, n+1

Keluaran : x[i] i := 1,2,,n solusi SPL

Langkah Langkah :

1. (Tahap Eliminasi) Untuk k := 1,2,, n-1 Jika |a[k,k]| < 1E-15 maka proses gagal,stop Untuk i:= k+1,k+2,,n P := a[i,k] /a[k,k] Untuk j := k+1,k+2,,n+1 a[i,j] := a[i,j] p*a[k,j] a[i,k] := 0

2. (Tahap Penyulihan Mundur) Jika |a[n,n]| < 1E-15 maka proses gagal,stop x[n] := a[n,n+1]/a[n,n] Untuk k := n-1,n-2,,1 s:= 0 untuk i = k+1,k+2,,n s := s + a[k,i] *x[i] x[k] := (a[k,n+1] s ) / a[k,k]


4

B.Algoritma Faktorisasi

Masukan : n ukuran SPL

a[n,n] sistem persamaan linear

b[n] hasil dari SPL

Keluaran : x[n] solusi SPL

Langkah-langkah :

Untuk k := 1,2,...,n-1

Jika a[k,k] = 0, maka Proses Gagal , selesai

Untuk i := k+1,k+2,...,n

p := a[i,k]/a[k,k]

c[i,k] := p

Untuk j=k+1,k+2,...,n

a[i,j] := a[i,j] c * a[k,j]

c[k,j] := 0

a[i,k] := 0

c[k,k] := 1

c[n,n] := 1

(* Tahap Substitusi Maju *)

Untuk i := 1,2,...,n

s :=0

Untuk j := i-1,i-2,...,1

s := s + a[i,j] * x[j]

y[i] := (b[i] s) / c[i,i]

(* Tahap Substitusi Mundur *)

Jika a[n,n] = 0, maka Tidak ada solusi, selesai

Untuk k := n,n-1,...,1

s :=0

Untuk i := k+1,k+2,...,n

s := s + a[k,i] * x[i]


5

x[i] := (y[i] s) / a[k,k]

B.Algoritma Jacobi.


a[i,j] i := 1,2,,n j := 1,2,,n

b[i] i := 1,2,,n

x[i] i := 1,2,,n

eps

maxiter


Langkah Langkah :

1. Iter := 0 2. Galat := 0 3. Untuk i := 1,2,,n

s := 0 Untuk j := 1,2,,n Jika j I maka s := s +a[i,j] * x[j] xbaru[i] := (b[i] s / a[i,i] s := abs (( xbaru[i] x[i]) / xbaru[i] jika s > galat maka galat :=s

4. Untuk i := 1,2,,n x[i] := xbaru[i]

5. Jika galat < eps maka selesai 6. Iter := iter +1 7. Jika iter > maxiter maka proses belum konvergen,stop 8. Kembali ke langkah 2


6

C.Algoritma Gauss-Seidel.


a[i,j] i := 1,2,,n j := 1,2,,n

b[i] i := 1,2,,n

x[i] i := 1,2,,n

eps

maxiter


Langkah Langkah :

1. Iter := 0 2. Galat := 0 3. Untuk i := 1,2,,n

s := 0 Untuk j := 1,2,,n Jika j I maka s := s +a[i,j] * x[j] xbaru := (b[i] s / a[i,i] s := abs (( xbaru x[i]) / xbaru) jika s > galat maka galat :=s x[i] := xbaru

4. Jika galat < eps maka selesai 5. Iter := iter +1 6. Jika iter > maxiter maka proses belum konvergen,stop 7. Kembali ke langkah 2


7

BAB III

SOURCE CODE DAN HASIL PENJALANAN PROGRAM

A.Eleminasi Gauss.

Source Code :

# include # include void main() { int i,j,k,n; float a[10][10],x[10]; float s,p; printf("Masukkan Jumlah Persamaan : "); scanf("%d",&n) ; printf("\nMasukkan Koefisien Dari Persamaan :\n\n"); for(i=0;i

8

getch();} Hasil Penjalanan Program :

Gambar 3.1a Hasil Eleminasi Gauss

Gambar 3.1b Hasil Eleminasi Gauss


9

B.Faktorisasi

Source Code :

#include #define n 5 void fillmatrix(float A[n+1][n+1],float B[n+1]) { A[1][1]=2;A[1][2]=5;A[1][3]=1;A[1][4]=-2;A[1][5]=-2;B[1]=5; A[2][1]=1;A[2][2]=-4;A[2][3]=-2;A[2][4]=3;A[2][5]=-1;B[2]=4; A[3][1]=0;A[3][2]=-1;A[3][3]=-2;A[3][4]=1;A[3][5]=3;B[3]=-4; A[4][1]=1;A[4][2]=-3;A[4][3]=2;A[4][4]=0;A[4][5]=1;B[4]=3; A[5][1]=1;A[5][2]=2;A[5][3]=-1;A[5][4]=1;A[5][5]=-2;B[5]=4; } void printmatrix(float A[n+1][n+1],float B[n+1]) { int i,j; for(i=1;i

10

{ A[j][k]=A[j][k]-s*A[i][k]; } A[j][i]=s; } } // mencetak matriks Ly=b printf("\n\n======================= matriks Segitiga Bawah (Ly=b):=========================\n\n"); for(i=1;i

11

{ if(j=1;i--) { s=0; for(j=n;j>i;j--) s=s+A[i][j]*B[j]; B[i]=(B[i]-s)/A[i][i]; } printf("\nDengan substitusi mundur nilai x (akar) adalah:"); printf("\nx1= %f\nx2= %f\nx3= %f\nx4= %f\nx5= %f",B[1],B[2],B[3],B[4],B[5]); } int main() { float A[n+1][n+1], B[n+1]; printf("============================ Metode Faktorisasi LU ===========================\n"); fillmatrix(A,B); printf("\n matriks awal (Ax=b)\n\n"); printmatrix(A,B); printf("\n\nmisal A=LU, maka (LU)x=b dan L(Ux)=b\n"); printf("misal y=Ux, kita selesaikan SPL segitiga bawah Ly=b, didapat vektor y\n"); printf("selanjutnya vektor x dapat dicari dari persamaan Ux=y\n"); decompositionLU(A,B); getch(); }


12

Hasil Penjalanan Program :

Gambar 3.2a Hasil Faktorisasi

Gambar 3.2b Hasil Faktorisasi

Gambar 3.2c Hasil Faktorisasi


13

C.Metode Iterasi Jacobi

Source Code :

#include

int main(void) { void copy(float [],float [],int); float a[10][10],b[10],x[10],y[10],tem=0,temp=0,temp1=0,temp2=0,temp4=0,temp5=0; int n=0,m=0,i=0,j=0; printf("Masukkan Jumlah Persamaan : "); scanf("%d",&n); for(i=0;i

14

{ if(j==i) continue; y[i]=y[i]-((a[i][j]/a[i][i])*x[j]); } printf("x%d = %f ",i+1,y[i]); } copy(x,y,n); printf("\n\n"); m--; } return 0; }

void copy(float b[],float c[],int n) { int i=0; for(i=0;i

15


Gambar 3.3a Hasil Iterasi Jacobi

Gambar 3.3b Hasil Iterasi Jacobi


16

D.Metode Iterasi Gauss - Seidel

Source Code :

#include int main(void) { float a[10][10],b[10],x[10],y[10]; int n=0,m=0,i=0,j=0; printf("Masukkan Jumlah Persamaan : "); scanf("%d",&n); for(i=0;i

17

continue; y[i]=y[i]-((a[i][j]/a[i][i])*x[j]); x[i]=y[i]; } printf("x%d = %f ",i+1,y[i]); } printf("\n\n"); m--; } return 0; }


Gambar 3.4a Hasil Iterasi Gauss - Seidel

Gambar 3.4b Hasil Iterasi Gauss - Seidel


18

BAB IV

ANALISIS

Gambar 4.1 Kegagalan Metode Iterasi Jacobi

Gambar 4.2 Kegagalan Metode Iterasi Gauss- Seidel

Pada dua metode terakhir yakni metode iterasi Jacobi dan Gauss-Seidel mengalami kegagalan saat proses iterasi.Kegagalan ini terjadi karena matriks pada SPL ini tidak memiliki bentuk diagonal utama dan tidak bisa dibentuk menjadi diagonal utama dengan pertukaran baris.Sehingga hasil yang didapat bersifat divergen.


19

Gambar 4.3 Hasil Elemninasi Gauss

Gambar 4.4a Hasil Faktorisasi

Gambar 4.4b Hasil Faktorisasi


20

Gambar 4.4c Hasil Faktorisasi

Dua metode ini yakni metode eleminasi Gauss dan faktorisasi menghasilkan suatu nilai yang dicari,artinya proses ini konvergen.Bila kita bandingkan dua ini ternyata proses Gauss relatif lebih cepat dibandingkan dengan metode faktorisasi.Pada metode faktorisasi harus mencari bentuk matriks segitiga atas dan bawah terlebih dahulu sebelum mencari akarnya,sedangkan Gauss hanya proses eleminasi saja dilanjutkan mencari akarnya.


21

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

1. Dari hasil percobaan dengan menggunakan keempat metode,hanya dua yang hasilnya konvergen yaitu metode eleminasi Gauss dan faktorisasi,sedangkan metode iterasi Jacobi dan Gauss Seidel hasilnya divergen.

2. Dari dua metode yang konvergen,metode eleminasi Gauss menghasilkan proses yang lebih cepat dibanding proses faktorisasi.

3. Untuk metode iterasi Jacobi dan Gauss Seidel matriks dari SPL nya harus bersifat diagonal utama agar hasilnya konvergen.

4. Hasil akar yang diperoleh ialah 2 ; 0 ; 1 ; 1 ; -1.


22

DAFTAR PUSTAKA

www.planet-source-code.com marinahartono21.blogspot.com Warsoma Djohan/MA-ITB 2005


laporan metnum 2

Documents