tugas 2 metnum kelompok eva fitri linda rini.docx

7/25/2019 Tugas 2 Metnum Kelompok Eva Fitri Linda Rini.docx

http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-metnum-kelompok-eva-fitri-linda-rinidocx 1/12

TUGAS II

MATA KULIAH METODE NUMERIK

OLEH :

Evalia Nova Rianti (1213021023)

Fiti!anti (121302102")

Lin#a N$%iti!ani (1213021033)

Rini Ha&'in ala (121302103)

ENDIDIKAN MATEMATIKA

ENDIDIKAN MATEMATIKA * ILMU ENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU ENDIDIKAN

UNI+ERSITAS LAMUNG

201"



1, -aila. &ol$&i .a/ian #ai &i&t/ &a/aan i$t :

f 1 (x,y) = x2 + xy – 10 = 0

f 2 (x,y) = y + 3xy2 – 57 = 0

dengan menggunakan lelaran titik tetap :

x2 + xy – 10 = 0

x = y−57

3 y2

−¿)

y + 3xy2 – 57 = 0

y = x

2−10

x

−¿

)

iterasi selesai apaila !451 6 4 !" ε dan !!51 7 !!" ε dengan

ε=0,000001 . #an x0 = 1,5 y0 = 3,5$

#engan memanfaatkan aplikasi mi%r&s&ft ex%el didapat seagai erikut :

' xr+1xr yr+1yr

1,5 3,51,*5572 5,17 0,0**21 1,70,*72*2 5,*13377 0,05* 0,2*710,575 1*,02-2 0,00*57 -,3-5*20,0*1- 1,*5522 0,5225- 1,522--0,0*--12 155,723 0,01*27 13-,2*0,0013 200,302 0,0512- **,57370,0011- 73-,01 0,0001 75-,311*,5.05 3--,23 0,00123 1030,222*.05 21-373,* 5,3.0 227772,1,5.0 25027,5 *,15.05 30-05,051,3.0 52-13 1,.07 331-1

5,0.0 75100* 1,3.0 -27151,5*,**.0 1,-7.+0 ,25.0- 2,05.+01,7.0- 2,25.+0 *,1.0 271*5*51,5.0- 5,-.+0- 2,0.10 ,15.+0-5,3.11 ,.+0- 1,5*.0- ,3*.+0*,-3.11 1,7.+11 ,-5.12 1,*.+111,-.12 2,03.+11 5,12.11 2,5.+101,.12 5,3.+12 2,32.13 5,53.+12,25.1* ,1.+12 1,71.12 7,51.+115,*.1* 1,.+1* 7,72.15 1,.+1*

2,1.15 1,2.+1* 5,-.1* 2,25.+13



1,.15 *,.+15 2,57.1 *,-.+15,-5.17 5,5.+15 1,-.15 ,7.+1*,0-.17 1,**.+17 ,5.1 1,*-.+172,3.1 1,*.+17 ,32.17 2,03.+12.1 *,3.+1 2,.1- *,*.+17,72.20 *,-.+1 2,11.1 ,0.+17

/erliat dari tael di atas aa nilai x dan y diergen, seingga tidak dapat

ditemukan s&lusi ampirandari sistem persamaan di atas$

2$ #engan menggunakan met&de lelaran titik tetap, %arila ampiran s&lusi dari

sistem persamaan diaa ini

f 1 (x,y) = x2 + xy – 10 = 0

f 2 (x,y) = y + 3xy2 – 57 = 0

4et&de elaran titik tetap

a, Llaan 8a9oi

x2 + xy – 10 = 0

x= 10

x+ y y + 3xy2 – 57 = 0

y= 57

1+3 xy

iterasi selesai apaila !451 6 4 !" ε dan !!51 7 !!" ε dengan

ε=0,000001 . #an x0 = 1,5 y0 = 3,5$


R ; 451 6 4 !51 7 !

0 1,5 3,5 0 01 2 3,*02-5 0,5 0,0-70152 1,502- 2,132* 0,1*-171 0,7*113 2,21237 3,122 0,35*0 0,-5153* 1,715531 2,270- 0,50070 1,33*755 2,503- *,*7-5 0,7*5 2,201*7 1,*31-35 1,*500* 1,072053 2,3*5*7 3,2*--3 7,0157 1,10*7 5,*21153

0,--355 0,15513 2,202 ,250**



- 5,025 1,-01 *,33301 1,0-05-10 0,***272 0,1--- 5,153* 1,702111 15,52*0 *5,00-1 15,07-7- **,0-0212 0,151-- 0,0271 15,35 **,-17313 51,-07 5,2*2*1 51,155 5,21523

#ari tael di atas terliat aa nilai x r dan yr tidak k&nergen$ 6eingga nilai xr

dan yr tidak dapat ditemukan$

, Llaan Si#l

#ari fungsi di atas dapat diuat seagai erikut :

xr+1= 10

xr+ yr

yr+1= 57

1+3 xr+1 yr

xr+1 disustitusikan pada yr+1 seingga :

yr+1= 57

1+3 10

xr+ yr

yr

iterasi selesai apaila !451 6 4

!"ε

dan !!51 7 !

!" ε

denganε=0,000001 . #an x0 = 1,5 y0 = 3,5$


R 4 ; 451 6 4 !51 6 !

0 1,5 3,5 0 01 2 2,5-0-0- 0,5 0,-0-0-12 2,1721 3,17-07 0,1721 0,57--3 1,73 3,03102 0,3115*5 0,1*730** 2,0*1535 2,-1301* 0,17*2 0,115-5 2,013*7 3,051-- 0,02317 0,1*51 1,--*3 2,-5-3 0,0*50* 0,0-07 2,0175 2,-712- 0,0*-22 0,001*5 1,--*** 3,01**5 0,01321 0,027337- 1,--*5 2,--3* 0,0035-* 0,0200110 2,00*05 2,---*72 0,00-75 0,0050-11 1,--37 3,0021 0,00235 0,0033*12 1,---525 2,--00 0,001155 0,00*113 2,000- 3,000*5 0,001*3 0,002*71* 1,---*11 3,000377 0,00157 0,00010



15 2,00005 2,---522 0,0007* 0,000551 2,000157 3,00022- 7,2.05 0,00070717 1,---*5 3,000003 0,000312 0,0002271 2,00001 2,----11 0,000215 -,1*.051- 2,000011 3,0000 *,-.05 0,00015720 1,---- 2,----1 *,3.05 ,77.0521 2,000021 2,----- 5,23.05 ,1.022 1,----- 3,00001 2,**.05 2,*.0523 1,-----5 2,-----2 7,77.07 2,3-.052* 2,000005 3 -,.0 ,1.025 1,----- 3,000003 7,3-.0 2,3*.02 2 2,----- 2,02.0 5,0-.027 2,000001 3,000001 1,23.0 3,0.02 1,------ 3 1,72.0 *,7.072- 2 2,------ ,75.07 ,01.0730 2 3 2,-.0 ,01.0731 2 3 3,0-.07 3,2.0732 2 3 2,52.07 5,*.033 2 3 7,-1.0 1,*.073* 2 3 3,3.0 1,07.0735 2 3 5,3.0 2,13.0

#ai tael di atas terliat aa nilai x dan y diergen ke nilai ε , akan tetapi

451 6 4 dan !51 7 ! k&nergen ke ε . seingga nilai ampiran x dan y didapatseperti yang terliat pada tael di atas (tinta mera)$

4emuktikan kek&nergenan menggunakan %ara manual

a, Ita&i Titi Tta

6yarat &nergen

|∂ g1

∂ x |+|∂ g

1

∂ y | " 1

#an

|∂ g2

∂ x |+|∂ g

2

∂ y | " 1



8kan diuktikan apaka persamaan g1 (x,y) =10

x+ y dan g2 (x,y) =

57

1+3 xy

k&nergen

9enyelesaian :

g1 (x,y) =10

x+ y

|∂ g1

∂ x | =10

( x+ y)2

6ustitusi nilai x = 1,5 dan nilai y = 3,5, seingga diper&le:

|∂ g1

∂ x | =10

(1,5+3,5)2 =

10

(5)2 =

10

25

6elanutnya akan di%ari turunan g1 teradap y, diper&le:

|∂ g1

∂ y | =10

( x+ y)2


|∂ g1

∂ y | =10

(1,5+3,5)2 =

10

(5)2 =

10

25

4aka

|∂ g1

∂ x | + |∂ g2

∂ y | =10

25+10

25=

20

25 = 0, " 1

dan

g2 (x,y) =57

1+3 xy

8kan di%ari turunan g2 teradap x, diper&le:

|

∂ g2

∂ x

| =

171 y

(1+3 xy)2


|∂ g2

∂ x | =171(3,5)

(1+3(1,5)(3,5))2 =

598,5

(1+15,75)2 =

598,5

280,562 = 2,13

6elanutnya, 8kan di%ari turunan g2 teradap x, diper&le:

|∂ g2

∂ y | =171 x

(1+3 xy)2




|∂ g2

∂ x | =171(1,5)

(1+3(1,5)(3,5))2 =

256,5

(1+15,75)2 =

256,5

280,562 = 0,-1

|∂ g

1

∂ x

| + |∂ g

2

∂ y

| = 2,13

+0,91

=3,04

; 1arena tidak memenui syarat kek&nergenan yang menyatakan aa:

|∂ g1

∂ x |+|∂ g

1

∂ y | " 1

#an

|∂ g2

∂ x |+|∂ g

2

∂ y | " 1

4aka persamaan diatas tidak k&nergen$

, Llaan Si#l

6yarat &nergen

|∂ g1

∂ x |+|∂ g

1

∂ y | " 1

#an

|∂ g2

∂ x |+|∂ g

2

∂ y | " 1

8kan diuktikan apaka persamaan g1 (x,y) =10

x+ y dan g2 (x,y) =

57

1+3 xy

k&nergen

9enyelesaian :

g1 (x,y) =10

x+ y

|∂ g1

∂ x | =10

( x+ y)2


|∂ g1

∂ x | =10

(1,5+3,5)2 =

10

(5)2 = 10

25

6elanutnya akan di%ari turunan g1 teradap y, diper&le:



|∂ g1

∂ y | =10

( x+ y)2


|∂ g1

∂ y | =10

(1,5+3,5)2 =

10

(5)2 = 10

25

4aka

|∂ g1

∂ x | + |∂ g2

∂ y | =10

25+10

25=

20

25 = 0, " 1

dan

g2 (x,y) =

57

1+3 xy

g2 (x,y) =57

1+3 ( 10

x+ y ) y =

57

1+ 30 y

x+ y

=57 ( x+ y)

x+ y+30 y =

57 x+57 y

x+31 y

6elanutnya, 8kan di%ari turunan g2 teradap x, diper&le:

|∂ g2

∂ x | =57 ( x+31 y )−1(57 x+57 y)

( x+31 y )2


|∂ g2

∂ x | =

3,5

1,5+31(¿)−1(57 (1,5)+57 (3,5))¿

57¿¿

= 0,*-*

6elanutnya, 8kan di%ari turunan g2 teradap y, diper&le:

|∂ g2

∂ y | =57 ( x+31 y )−31(57 x+57 y)

( x+31 y )2


|∂ g2

∂ x | =

3,5

1,5+31(¿)−31(57 (1,5)+57 (3,5))¿

57¿¿

= 0,211-3*7

|∂ g2

∂ x | + |∂ g2

∂ y | = 0,4946+0,21198347=0,7065<1

arena memenui syarat kek&nergenan yang menyatakan aa:



|∂ g1

∂ x |+|∂ g

1

∂ y | " 1

#an

|∂ g2

∂ x |+|∂ g

2

∂ y | " 1

4aka persamaan diatas k&nergen$

3$ <et&n aps&n

akukan pr&sedur <et&n aps&n untuk men%ari akar f 1( x, y) = u = x2 + xy 10 = 0

f 2( x, y) = v = y + 3 xy2 57 = 0

dengan teakan aal x0=1$5 dan y0=3$5

n!l&aian:

∂ur

∂ x = 2 x + y maka

∂u0

∂ x = 2(1.5) + 3.5 = 6.5

∂ur

∂ y = x maka ∂u

0

∂ y = 1.5

∂ vr

∂ x = 3 y 2 maka

∂ v0

∂ x = 3(3.5)2 = 36.75

∂ vr

∂ y = 1+ 6 xy maka

∂ v0

∂ y = 1 + 6(1.5) = 32.5

#eterminan >a%&i untuk lelaran pertama adala∂ur

∂ x .

∂ vr

∂ y

∂ur

∂ y .

∂ vr

∂ x = $5(32$5) 1$5(3$75) = 15$125

<ilainilai fungsi dapat diitung dari teakan aal seagai

u0 = (1$5)2 + 1$5(3$5) 10 = 2$5

v0 = (3$5) + 3(1$5)(3$5)2 57 = 1$25

#engan <et&n aps&n,



xr+1 = xr -ur .

∂ vr

∂ y + vr .

∂ ur

∂ y

∂ ur

∂ x .

∂ v r

∂ y −

∂ ur

∂ y .

∂ vr

∂ x

Untuk r=0 maka

x1 = x

0 -u0.

∂ v0

∂ y +v

0.

∂u0

∂ y

∂ u0

∂ x .

∂ v0

∂ y −

∂u0

∂ y .

∂ v0

∂ x

x1 = 1.5 -

(−2.5) (32.5)+(1.625)(1.5)156.125

= 1.5 – 0.504 = 2.04 , dan

y1 = y

0 +u0.

∂ v0

∂ x −v

0.

∂ u0

∂ x

∂ u0

∂ x .

∂ v0

∂ y −

∂u0

∂ y .

∂ v0

∂ x

y1 = 3.5 +

(−2.5) (36.75)−(1.625)(6.5)156.125

= 3.5 - 0.656 = 2.844

8paila iterasinyan diteruskan, ia k&nergen ke akar seati x = 2 dan y = 3$#apat diliat dari tael erikut (tael dari asil &perasi pada ms$ex%el)



r Xr Xr+1 |Xr+1-Xr| Yr Yr+1 |Yr+1-Yr| ur vr

0

1.50000

00

2.00480

38

0.50480

38

3.50000

00

2.84387

51

0.65612

4

-

2.50000

00

1.625000

0

6.

00

1

2.00480

38

2.11323

21

0.10842

82

2.84387

51

3.00483

8

0.1606

38

-

0.2734

8

-

5.513816

3

6.

28

2

2.11323

21

1.4137

5

0.17185

26

3.00483

8

2.871

53

0.00612

35

0.81567

16

3.246315

3

7.

30

3

1.4137

5

2.03308

85

0.0170

0

2.871

53

2.56

21

0.00084

67

-

0.4040

12

-

1.62820

6.

43

4

2.03308

85

1.8327

40

0.0481

46

2.56

21

2.85

2

0.0002

08

0.23182

43

0.87627

7

7.

2

5

1.8327

40

2.0002

00

0.02574

61

2.85

2

2.6

38

0.00011

0

-

0.1170

43

-

0.457001

1

6.

08

6

2.0002

00

1.530

34

0.01371

66

2.6

38

2.8

2

0.00002

54

0.06314

8

0.24216

7

7.

3

7

1.530

34

2.0024

01

0.00718

67

2.8

2

2.

71

0.00000

7

-

0.03287

57

-

0.127206

8

6.

60

8

2.0024

01

1.86

25

0.0037

76

2.

71

2.

2

0.00000

21

0.01743

11

0.067125

5

7.

73

1.86

25

2.0006

01

0.001

76

2.

2

2.

8

0.00000

06

-

0.0015

26

-

0.035333

5

6.

411

0

2.0006

01

1.63

68

0.00105

33

2.

8

2.

0.00000

02

0.00483

04

0.018623

1

7.

1

1

1.63

68

2.0001

14

0.00055

46

2.

3.00000

00

0.00000

00

-

0.00254

24

-

0.00808

6.

351 2.0001 1.8 0.0002 3.00000 3.00000 0.00000 0.00134 0.005168 7.



2 14 2 23 00 00 00 01 3 2

1

3

1.8

2

2.00005

31

0.00015

40

3.00000

00

3.00000

00

0.00000

00

-

0.00070

58

-

0.002722

6

6.

831

4

2.00005

31

1.7

20

0.00008

11

3.00000

00

3.00000

00

0.00000

00

0.00037

1

0.001434

4

7.

63

1

5

1.7

20

2.00001

47

0.00004

27

3.00000

00

3.00000

00

0.00000

00

-

0.0001

5

-

0.000755

7

6.

401

6

2.00001

47

1.

22

0.00002

25

3.00000

00

3.00000

00

0.00000

00

0.00010

32

0.00038

1

7.

5

1

7

1.

22

2.00000

41

0.00001

1

3.00000

00

3.00000

00

0.00000

00

-

0.00005

44

-

0.00020

7

6.

451

8

2.00000

41

1.

78

0.00000

62

3.00000

00

3.00000

00

0.00000

00

0.00002

86

0.000110

5

7.

82

1

1.

78

2.00000

11

0.00000

33

3.00000

00

3.00000

00

0.00000

00

-

0.00001

51

-

0.000058

2

6.

572

0

2.00000

11

1.

4

0.00000

17

3.00000

00

3.00000

00

0.00000

00

0.00000

80

0.000030

7

7.

23

2

1

1.

4

2.00000

03

0.00000

0

3.00000

00

3.00000

00

0.00000

00

-

0.00000

42

-

0.000016

2

6.

88

tugas 2 metnum kelompok eva fitri linda rini.docx

Documents