Turunan Numerik dengan Metode

Newton-Gregory Backward (NGB)

Oleh: Kelompok 5

Fahrul Hakim (103174092)

Ganang Wahyu H (103174213)

M. Sigit Widodo (103174216)

Alvita Wulansari (103174221)

Eviana Budiarti (103174232)

2010 E

A. Pendahuluan

Aplikasi matematika pada bidang-bidang fisika, biologi, kimia ataupun sosial

seringkali memerlukan perhitungan diferensial atau derivatif dari suatu fungsi.

Dua situasi mendasar apabila suatu proses memerlukan

turunan numerik:

1. Apabila fungsi f dinyatakan hanya dengan sekumpulan titik-

titik data (x0, f0 ), (x1, f1 ), (x3, f3 ), …, (xn, fn ) dan nilai-nilai

fungsi tersebut tidak diketahui.

2. Apabila fungsi f terlalu rumit dan diferensiasi secara analitik.

Oleh karena itu, kita dapat menggunakan metode numerik untuk

memperoleh penyelesaiannya.

B. Turunan Numerik Newton-Gregory Backward (NGB)

1. Dengan hampiran polinom interpolasi

2. Dengan bantuan deret Taylor

Sehingga

1,3

1,5

1,7

1,9

2,1

2,3

2,5

3,669

4,482

5,474

6,686

8,166

9,974

12,182

0,813

0,992

1,212

1,480

1,808

2,208

0,179

0,220

0,268

0,326

0,400

0,041

0,048

0,060

0,072

0,007

0,012

0,012

Derivatif yang LebihTinggi

diperoleh...

Sebelumnya...

Apabila s = 0, maka

Agar mudah, gunakan persamaan:

Dengan demikian:

Contoh soal...• Dengan menggunakan Tabel pada contoh 1, hitung nilai

pendekatan dari y’’ (2,1)

• Penyelesaian:

Penurunan Rumus Turunan dengan DeretTaylor

• Kurva Pendekatan Penghitungan Turunan Numerik Dengan

Pendekatan selisih mundur

f0

f-1

y = f(x)

x-1x0

h

h

ff

h

hxfxfxf 1000

0

)()()('

Pendekatan Turunan Pertama Selisih – Mundur

Uraikan f(xi-1) disekitar xi:

)('

''2

'

...''2

'

...''2

'

...)(''!2

)()('

!1

)()()(

1

1

2

1

2

1

2

111

hOh

fff

fh

h

fff

fh

ffhf i

fh

hfff

xfxx

xfxx

xfxf

iii

iii

i

iii

iiii

iii

iii

ii

• yang dalam hal ini galat berupa

O(h) = h/2 f’’(t), xi-1<t<xi

• Untuk nilai-nilai f di x0 dan x1 persamaan rumusnya:

)(' 10

0 hOh

fff dalam hal ini, O(h) = h/2 f’’(t), xi-1<t<xi

Pendekatan Turunan Kedua Selisih – Mundur

• Dengan cara yang sama seperti di atas, diperoleh

• Untuk nilai-nilai f di x-2, x0 dan x1 persamaanrumusnya:

)(

2''

2

12 hOh

ffff iii

i

)(

2''

2

0120 hO

h

ffff i

dalam hal ini, O(h) = h f’’(t), xi-2<t<xi

dalam hal ini, O(h) = hf’’(t), xi-2<t<xi

• Contoh:

1.Backward difference (dua titik)

Diketahui data sebagai berikut

x f(x) = e-x Sin (x)

0.4 0.261035

0.6 0.309882

0.8 0.322329

1 0.309560

1.2 0.280725

1.4 0.243009

1.6 0.201810

f’(1)= - 0.110794 (eksak)Hitung nilai pendekatan f’(1) dangalat dengan selisih h = 0.2 !

𝑹𝒖𝒎𝒖𝒔 ∶ 𝒇′ 𝒙 =𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒙 − 𝒉)

𝒉

Penyelesaian:

𝑓′ 𝑥 ≈𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥 − ℎ)

ℎ

𝑓′ 1 ≈𝑓 1 − 𝑓 1 − 0.2

0.2

≈0.309560 − 0.322329

0.2

≈ −0.063845

Error = Selisih nilai pertama dan kedua

=|−0.063845 − −0.110794 | = 0.046948797

2.Backward difference (tiga titik)

𝑹𝒖𝒎𝒖𝒔 ∶ 𝒇′ 𝒙 ≈𝟑 𝒇 𝒙 − 𝟒𝒇 𝒙 − 𝒉 + 𝒇 𝒙 − 𝟐𝒉

𝟐𝒉

Diketahui data sebagai berikut:

x f(x) = e-x Sin (x)

0.4 0.261035

0.6 0.309882

0.8 0.322329

1 0.309560

1.2 0.280725

1.4 0.243009

1.6 0.201810

𝑓′ 1 = −0.110794 (𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘)

Hitung nilai pendekatan f’(1) dan galat dengan selisih h = 0.2 !

Penyelesaian:

𝑓′(𝑥) ≈3 × 0.309560 − 4𝑓 𝑥 − ℎ + 𝑓(𝑥 − 2ℎ)

2ℎ

𝑓′(1) ≈3 𝑓 𝑥 − 4 × 0.322329 + 0.309882

0.4

≈ −0.1268837

Error = Selisih nilai pertama dan kedua

=|−0.1268837 − −0.110794 | =0.0160897

3. Backward difference (turunan kedua)

0.4 0.261035

0.6 0.309882

0.8 0.322329

1 0.309560

1.2 0.280725

1.4 0.243009

1.6 0.201810

Hitung nilai pendekatanf”(1) dan galat denganselisih h = 0,2 !

Contoh soal pemilihan rumus NGB

Diberikan data dalam bentuk tabel berikut.

Ringkasan Rumus Turunandengan Metode Newton-

Gregory Mundur

Rumus untuk Data Tanpa Diketahui Fungsi

Rumus untuk Data dengan Diketahui Fungsi

Sekian, terima kasih . . .

. . . . . .