materi metnum
TRANSCRIPT
1. INTERPOLASI LINEAR
Contoh 1 (mudah)
Perkirakanlah jumlah penduduk Amerika Serikat (dalam juta) pada tahun
1968 berdasarkan data yang ditabelkan di bawah ini:
Tahun 1960 1970
Jumlah penduduk 179,3 203,2
Penyelesaian:
Dari tabel di atas dapat dituliskan:
x0=1960, y0=179,3, dan x1=1970, y1=203,2.
Dengan menggunakan persamaan (5), maka:
p1 (1968 )=179,3+(203,2−179,3 )(1970−1960 )
(1968−1960 )=198,4
Jadi taksiran jumlah penduduk AS pada tahun 1968 adalah 198,4 juta
CONTOH 2 (sulit)
Jika dari data-data diketahui bahwa ℓn (9,0) = 2,1972 dan ℓn (9,5) = 2,2513 maka
tentukanlah nilai ℓn (9,2) dengan interpolasi linear sampai 5 angka dibelakang koma.
Bandingkanlah hasilnya dengan nilai sejati ℓn (9,2) = 2,2192.
Penyelesaian:
Kita dapat menuliskan:
x0=9,0, y0=2,1972, dan x1=9,5, y1=2,2513
Dengan menggunakan persamaan (8.7) diperoleh hasil sebagai berikut:
p1 (9,2 )=2,1972+(2,2513−2,1972 )
(9,5−9,0 )(9,2−9,0 )=2,2188
Galat : 2,2192−2,2188
2,2192× 100%=0,018 %
Di sini nampak bahwa interpolasi linear tidak
cukup untuk memperoleh ketelitian sampai 5 angka penting, hanya sampai 3
angka penting.
Contoh soal:
Dicari nilai ln 2 dengan metode interpolasi linier berdasar data ln 1=0 dan ln 6=1,7917595. Hitung juga nilai tersebut berdasar data ln 1 dan ln 4=1,3862944. Untuk membandingkan hasil yang diperoleh, dihitung besar kesalahan (diketahui nilai eksak dari ln 2=0,69314718).
Penyelesaian:
Dengan menggunakan persamaan (6.2), dihitung dengan interpolasi linier nilai ln pada x = 2 berdasar nilai ln di x0 = 1 dan x1 = 6.
p1 (x )= y0+( y1− y0 )( x1−x0 )
( x−x0 )
p1 (2 )=0+(1,7917595−0 )
(6−1 )(2−1 )=0,3583519
Persentasi Galat Relatif:
∈t=(0,69314718−0,3583519 )
0,69314718× 100 %=48,3 %
Apabila digunakan interval yang lebih kecil, yaitu nilai x0 = 1 dan x1 = 4, maka:
p1 (x )= y0+( y1− y0 )( x1−x0 )
( x−x0 )
p1 (2 )=0+(−0 )
(4−1 )(2−1 )=0,46209813
Besar kesalahan adalah:
∈t=(0,69314718−0,46209813 )
0,69314718× 100 %=33,3 %
2. INTERPOLASI KUADRATIIK
Contoh soal:
Dicari nilai ln 2 dengan metode polinomial order dua berdasar data nilai ln 1 = 0 dan nilai dari ln 6 = 1,7917595. Hitung juga nilai tersebut berdasar data ln 1 dan ln 4 = 1,3862944. Untuk membandingkan hasil yang diperoleh, dihitung pula besar kesalahan (diketahui nilai eksak dari ln 2 = 0,69314718).
Penyelesaian:
x0 = 1 f (x0) = 0
x1 = 4 f (x1) = 1,3862944
x2 = 6 f (x2) = 1,7917595
Interpolasi polinomial dihitung dengan menggunakan persamaan (6.3), dan koefisien b0, b1, dan b2, dihitung dengan persamaan (6.4), persamaan (6.5) dan persamaan (6.6).
Dengan menggunakan persamaan (6.4) diperoleh nilai b0, yaitu (b0 = 0), koefisien b1 dapat dihitung dengan persamaan (6.5):
b1 =
f ( x1 )− f ( x0 )x1−x0
b1 =
1, 3862944 − 04 − 1 = 0,46209813.
Persamaan (6.6) digunakan untuk menghitung koefisien b2:
b2 =
f ( x2)−f ( x1 )x2−x1
−f ( x1 )−f (x0 )
x1−x0
x2−x0
b2 =
1 , 7917595 − 1, 38629446−4
− 0 , 46209813
6−1 = –0,051873116.
Nilai-nilai tersebut disubstitusikan ke persamaan (6.3):
f2(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1)
f2(x) = 0 + 0,46209813(x – 1) + (–0,051873116)(x – 1)(x – 4)
Untuk x = 2, maka diperoleh nilai fungsi interpolasi:
f2(2) = 0 + 0,46209813(2 – 1) + (–0,051873116)(2 – 1)(2 – 4) = 0,56584436.
Besar kesalahan adalah:
Et =
0 ,69314718 − 0 ,565844360 , 69314718 100 % = 18,4 %.
3. Interpolasi Polinomial Lagrange
Interpolasi polinomial Lagrange hampir sama dengan polinomial Newton, tetapi tidak
menggunakan bentuk pembagian beda hingga. Interpolasi polinomial Lagrange dapat
diturunkan dari persamaan Newton.
Bentuk polinomial Newton order satu:
f 1 ( x )=f ( x0 )+( x – x0 ) f [ x1 , x0 ]……… ……………(6.16)
Pembagian beda hingga yang ada dalam persamaan diatas mempunyai bentuk:
f [x1 , x0]=¿
f [ x1 , x0 ]=…………………………… (6.17)
Substitusi persamaan (6.17) ke dalam persamaan (6.16) memberikan:
f 1 ( x )=f (x0)+ f (x1)+ f (x0)
Dengan mengelompokkan suku-suku di ruas kanan maka persamaan diatas menjadi:
f 1 ( x )=f (x0)+ f (x1)
atau
f 1 ( x )=f ( x0 )+f ( x1 ) ………………(6.18)
Persamaan (6.18) dikenal dengan interpolasi polinomial Lagrange order satu.
Dengan prosedur diatas, untuk interpolasi order dua akan didapat:
f 1 ( x )=f ( x0 )+f ( x1 )+ f ( x2 ) ………………… ……………………………….(6.19)
Bentuk umum interpolasi polinomial Lagrange order n adalah:
f n(x)=f (x i)................................................................... (6.20)
dengan
L i(x )=¿........................................................................ (6.21)
Simbol merupakan perkalian.
Dengan menggunakan persamaan (6.20) dan persamaan (6.21) dapat dihitung interpolasi
Lagrange order yang lebih tinggi, misalnya untuk interpolasi Lagrange order 3, persamaan
tersebut adalah:
f 3(x)=f (x i)=L0( x) f (x0)+L1( x) f (x1)+L2(x ) f (x2)+L3(x ) f (x3)
L0(x )=¿
L1(x)=¿
L2(x)=¿
L3(x)=¿
Sehingga bentuk interpolasi polinomial Lagrange order 3 adalah:
f 3 ( x )=( x−x1
x0−x1)( x−x2
x0−x2)( x−x3
x0−x3) f ( x0 )+( x−x0
x1−x0)( x−x2
x1−x2)( x−x3
x1−x3) f ( x1 )+( x−x0
x2−x0)( x−x1
x2−x1)( x−x3
x2−x3) f ( x2 )+( x−x0
x3−x0)( x−x1
x3−x1)( x−x2
x3−x2) f ( x3 ) ………………… ..(6.22)
Contoh soal:
Dicari nilai ln 2 dengan metode interpolasi polinomial Lagrange order satu dan dua
berdasar data ln 1=0 dan data ln 6=1,7917595. Hitung juga nilai tersebut berdasar data
ln 1 dan data ln 4=1,3862944. Untuk membandingkan hasil yang diperoleh, hitung pula
besar kesalahan (diketahui nilai eksak dari ln 2=0,69314718¿ .
Penyelesaian:
x0 = 1 f (x0) = 0
x1 = 4 f (x1) = 1,3862944
x2 = 6 f (x2) = 1,7917595
Penyelesaian order satu menggunakan persamaan (6.18):
f1(x) =
x −x1
x0−x1 f (x0) +
x−x0
x1−x0 f (x1)
Untuk x = 2 dan dengan data yang diketahui maka:
f1(2) =
2 −41−4 (0) +
2 −14−1 (1,3862944) = 0,462098133.
Untuk interpolasi polinomial Lagrange order dua digunakan persamaan (6.19):
f1(x) =
x −x1
x0−x1
x −x2
x0−x2 f (x0) +
x −x0
x1−x0
x −x2
x1−x2 f (x1) +
x −x0
x2−x0
x −x1
x2−x1 f (x2)
f1(2) =
2 −41−4
2 −61−6 (0) +
2 −14−1
2 −64−6 (1,3862944) +
2 −16−1
2 −46−4 (1,7917595)
= 0,56584437.
4. Spline Kuadratik
Contoh : Interpolasi spline kuadratik untuk data berikut :
X 0.0 0.1 0.4 0.5Y 1.3 4.5 2.0 2.1
Dengan penetapan z0=0
Penyelesaian : pertama kali dihitung nilai-nilai z i :
z1=2y1− y0
x1−x0
−z0
¿24.5−1.30.1−0.0
−0
¿23.20.1
¿ 6.40.1
¿64
z2=2y2− y1
x2− x1
−z1
¿22.0−4.50.4−0.1
−64
¿2−2.50.3
−64
¿− 50.3
−64
¿−503
−1923
¿−2423
z3=2y3− y2
x3−x2
−z2
¿22.1−2.00.5−0.4
−(−2423 )
¿20.10.1
+ 2423
¿2+ 2423
¿ 63+ 242
3
¿ 2483
Jadi, fungsi spline kuadratik Si ( x ) :
S0 ( x )=z1−z0
2 ( x1−x0 )(x−x0)
2+z0 ( x−x0 )+ y0
¿ 64−02 (0.1−0.0 )
(x−0.0)2+0 ( x−0.0 )+1.3
¿ 640.2
x2+0+1.3
¿320 x2+1.3 untuk 0.0≤ x ≤0.1
S1 ( x )=z2−z1
2 ( x2−x1 )(x−x1)
2+z1 ( x−x1 )+ y1
¿
−2423
−64
2 (0.4−0.1 )(x−0.1)2+64 ( x−0.1 )+4.5
¿
−242−1923
0.6( x2−0.2 x+0.01 )+ (64 x−6.4 )+4.5
¿−4341.8
x2+ 86.81.8
x− 4.341.8
+64 x−6.4+4.5
¿−21709
x2+ 4349
x−21.79
+ 3209
x−9.59
¿−21709
x2+ 7549
x−31.29
¿−21709
x2+ 7549
x−15645
untuk 0.1 ≤ x≤ 0.4
S2 ( x )=z3−z2
2 ( x3−x2 )(x−x2)
2+z2 ( x− x2 )+ y2
¿
2483
−(−2423 )
2 (0.5−0.4 )( x−0.4 )2+(−242
3 ) ( x−0.4 )+2.0
¿
2483
+ 2423
2 (0.1 )( x2−0.8 x+0.16 )+(−242
3x−
96.83 )+2.0
¿ 4900.6
( x2−0.8 x+0.16 )+(−2423
x−96.83 )+2.0
¿ 4900.6
x2−3920.6
x+ 78.40.6
−2423
x−96.83
+2.0
¿ 24503
x2−19603
x+3923
−2423
x−96.83
+ 63
¿ 24503
x2−22023
x−482.83
¿ 24503
x2−22023
x−482830
untuk 0.4 ≤ x≤ 0.5
Contoh 1:
Gunakanlah data berikut ini untuk mencari Si ( x ) padax=5 dengan menggunakan
interpolasi spline linear.
X Y
3,0 2,5
4,5 1,0
7,0 2,5
9,0 0,5
Penyelesaian :
Dari tabel dapat dilihat bahwa x = 5 berada dalam rentang 4,5 ≤ x ≤ 7,0 dapat dihitung
menggunakan persamaan :
Si ( x )=ai x+bi
a i=y i+1− y i
x i+1−x i ,
⇔ ai=y3− y2
x3−x2
⇔ ai=2,5−1,07,0−4,5
=0,60
b i= y i−a i x i
⇔ bi= y2−a x2
⇔ bi=1,0−0,60 . 4,5
⇔ bi=1,0−2,7 = −1,7
Si ( x )=ai x+bi
⇔ S i (5 )=0,60 (5 )−1,7
⇔ S i (5 )=3−1,7=1,3
Jadi nilai x = 5 adalah 1,3
Contoh 2:
Carilah konstruksi spline linear dari data berikut :
X 0,0 0,1 0,4 0,5 0,75 1,0
Y 1,3 4,5 2,0 2,1 5,0 3,0
Penyelesaian :
Dengan menggunakan persamaan :
Si ( x )= y i+y i+1− y i
x i+1−xi ,
( x−x i)
Konstruksi spline linearnyaadalah :
[ 0,0 ;0,1 ]⇒ S (x )=1,3+ 4,5−1,30,1−0
( x−0 )
¿1,3+32 x
[ 0,1 ;0,4 ]⇒ S1 ( x )=4,5+ 2,0−4,50,4−0,1
(x−0,1 )
¿ 163
−253
x
[ 0,4 ;0,5 ]⇒ S2 ( x )=2,0+ 2,1−2,00,5−0,4
( x−0,4 )
¿1,6+x
[ 0,5 ;0,75 ]⇒S3 (x )=2,1+ 5,0−2,10,75−0,5
( x−0,5 )
¿−3,7+11,6 x
[ 0,75 ;1,0 ]⇒ S4 ( x )=5,0+ 3,0−5,01,0−0,75
( x−0,75 )
¿11−8 x
Contoh 3:
Hitung x = 16 dari data berikut dengan menggunakan interpolasi spline linear
x y
0 0
10 227,04
20 517,35
15 362,78
22,5 602,97
Penyelesaian :
x y
0 0
10 227,04
20 517,35
15 362,78
22,5 602,97
x y
0 0
10 227,04
15 362,78
20 517,35
22,5 602,97
Niai x = 16 berada dalam rentang15≤ x ≤20
Dengan menggunakan persamaan :
Si ( x )= y i+y i+1− y i
x i+1−xi ,
( x−x i)
Si ( x )= y (1 5 )+ y (20 )− y (15 )20−15
( x−1 5 )
¿362,78+ 5 17,35−362,7820−1 5
( x−15 )
¿362,78+30,9 1 3 (x−15 )
Sehingga untuk x = 16
Si (16 )=362,78+30,91 3 (16−15 )
¿362,78+30,9 1 3 (1 )
¿393,69
5. Persamaan interpolasi polinomial Newton derajat n
f n ( x )=b0+b1 ( x−x0 )+b2 ( x−x0 ) ( x−x1 )+…+bn ( x−x0 ) ( x−x1 ) …( x−xn−1) (8)
Seperti yang dilakukan dengan derajat 1 dan 2, titik-titik data dapat digunakan untuk
mengevaluasi koefisien b0 , b1 , b2 , … dan bn. Untuk interpolasi polinomial derajat n, diperlukan
n+1 titik data x0 , x1 , x2 ,…,xn. dengan menggunakan titik-titik data tersebut, persamaan berikut
digunakan untuk mengevaluasi koefisien,
b0=f ( x0 ) (9)
b1=f [ x1 , x0 ] (10)
b2=f [ x2 , x1 , x0 ] (11)
⋮
bn=f [ xn , xn−1 , …, x1 , x0 ] (12)
dengan evaluasi fungsi berkurung ( [ … ]) adalah pembagian beda hingga. Misalnya beda terbagi
hingga pertama di nyatakan secara umum sebagai
f [ x i , x j ]=f ( x i )− f ( x j )
x i−x j
(13)
Beda terbagi hingga kedua, yang menggambarkan perbedaan dari dua beda terbagi pertama,
diungkapkan secara umum sebagai
f [ x i , x j , xk ]=f [ x i , x j ]−f [ x j , xk ]
x i−xk
(14 )
Demikian pula, beda terbagi hingga ke-n adalah
f [ xn , xn−1 , …, x1 , x0 ]=f [ xn, xn−1 , …, x1 ]−f [ xn−1 ,…, x1, x0 ]
xn−x0
(15)
i x i f ( x i ) Satu Dua Tiga
0 x0 f ( x0 ) f [ x1 , x0 ] f [ x2 , x1 , x0 ] f [ x3 , x2 , x1 , x0 ]1 x1 f ( x1 ) f [ x2 , x1 ] f [ x3 , x2 , x1 ]2 x2 f ( x2 ) f [ x3 , x2 ]3 x3 f ( x3 )
Gambar 1. Perlukisan grafis sifat rekursif beda – beda terbagi hingga
Beda- beda ini dapat dipakai untuk menghitung koefisien – koefisien dalam Persamaan
(9) samapai (12), yang kemudian dapat disubstitusikan ke persamaan (*) untuk menghasilkan
polinom interpolasi,
f n ( x )=f ( x0 )+( x−x0 ) f [ x1 , x0 ]+( x−x0 ) ( x−x1 ) f [ x2 , x1, x0 ] (16)
+…+ ( x−x0 ) ( x−x1) … ( x−xn−1 ) f [ xn , xn−1 , …,x0 ]
Yang di sebut polinom interpolasi beda-terbagi Newton (divided-difference interpolating
polynomial). Perlu diperhatikan bahwa titik – titik data yang di pakai dalam Persamaan (16)
tidak perlu berjarak sama atau bahwa nilai – nilai absis perlu dalam urutan menaik,seperti
diilustrasikan dalam contoh berikut. Perhatikan juga, bagaimana persamaan (13) sampai (15)
bersifat rekursif yakni beda- beda tingkat yang lebih tinggi disusu dari beda – beda yang lebih
rendah.
Contoh 1:
Pernyataan Masalah: titik data pada
x0=1 f ( x0 )=0
x1=4 f ( x1 )=1,3862944
x2=6 f ( x2 )=1,7917595
x3=5 f ( x3 )=1,6094379
Pakailah polinom tersebut untuk menghitung ln2 dengan polinom interpolasi beda terbagi
Newton orde-ketiga.
Penyelesaian: Polinom orde-ketiga, Persamaan (*) dengan n = 3 adalah
f 3 ( x )=b0+b1 ( x−x0 )+b2 ( x−x0 ) ( x−x1 )+b3 ( x−x0 ) ( x−x1 ) ( x−x2 )
Beda – beda terbagi pertama untuk masalah tersebut adalah
f [ x1 , x0 ]=1,3862944−04−1
=0,46209813
f [ x2 , x1 ]=1,7917595−1,38629446−4
=0,20273255
f [ x3 , x2 ]=1,6094379−1,79175955−6
=0,18232160
Beda – beda terbagi kedua adalah
f [ x2 , x1 , x0 ]=0,20273255−0,462098136−1
=−0,051873116
f [ x3 , x2 , x1 ]=0,18232160−0,202732555−4
=−0,02041095
Beda terbagi ketiga adalah
f [ x3 , x2 , x1 , x0 ]=−0,020410950−(−0,501873116)5−1
Hasil – hasilnya untuk f [ x1 , x0 ] , f [ x2, x1 , x0 ], dan f [ x3 , x2 , x1 , x0 ] merupakan koefisien – koefisien
b1 , b2 , dan b3 dari persamaan (*). Bersama – sama dengan b0=f ( x0 )=0,0 , Persamaan (*) adalah
f 3 ( x )=0+0,46209813 ( x−1 )−0,051873116 ( x−1 )(x−4)
+0,0078655415 ( x−1 ) ( x−4 )(x−6)
Yang dapat di gunakan untuk menghitung
f 3 (2 )=0,62876869
Jadi, nilai ln 2 berdasarkan data yang di ketahui adalah 0,62876869
Dengan menggunakan interpolasi polinomial Newton derajat 1. Hitunglah ln 4, apabila
diketahui: ln 2=0,69314718 dan ln 6=1,791759469
Nilai eksak ln 4=1,386294361
Penyelesaian:
i x i f ¿) Satu
0 2 0,69314718 0,274653072
1 6 1,791759469
f 1 ( 4 )=0,69314718+0,274653072 ( x−2 )
¿0,69314718+0,274653072 ( 4−2 )
¿1,242453324
Galat relatif = 1,386294361−1,242453324
1,386294361×100 %=10,38 %
Contoh 2:
Dengan menggunakan interpolasi polinomial Newton derajat 2, hitunglah nilai ln 4, apabila diketahui ln 2=0,69314718 , ln 3=1,098612289 dan ln 6=1,791759469. Nilai eksak ln 4=1,386294361
Penyelesaian :
i x i f x i Satu Dua0 2 0,69314718 0,405465109 -0,0436040121 3 1,09812289 0,2311049062 6 1,791759469
f 2 ( 4 )=0,69314718+0,405465109 ( x−2 )−0,043604012 ( x−2 ) ( x−3 )=1,416869374
Galat relatif = 1,386294361−1,416869374
1,386294361×100 %=−2,21 %
6. Spline Kubik
Contoh 6.4 Konstruksikan spline kubik untuk 4 titik data berikut:
terhadap syarat batas: S' ¿) =S' (0) = c0 = 2 dan S' (xn) = S' (3) = cn = 2
Penyelesaian. Lebar subinterval pada sumbu x:
h0 ¿ h1 = h2 = h3 = 1
dan beda terbagi pertama, dengan mengingat bahwa d i ¿ f ¿)¿ y i, yaitu :
d1−¿d0
h0
=1 ,d2−¿ d1
h1
=3 ,d3−¿ d2
h2
=1¿¿¿
Persamaan matriks dapat dituliskan sebagai
[2 1 01 4 10 1 4
001
0 0 12][b0
b1
b2
b3]=3¿,
yang mempunyai penyelesaian
b0 = -3, b1 = 3,b2 = -3, dan b3 = 3.
Disubstitusikan penyelesaian tersebut ke persamaan (6.19) untuk memperoleh koefisien-
koefisien lain dari spline kubik:
d0=0 , d1=1d2=2
c0=1−13
(3+2 (−3 ) )=2 ,c1=3−13
(−3 )+2(3)¿=2 ,c2=1−13(3+2(−3))=2
a0=3−(−3)
32 , a1=
−3−33
=−2, a2=3−(−3)
3=2
Terakhir, kita dapat menuliskan persamaan spline kubik seperti
S0 ( x )=2 x3−3 x2−2 x ,untuk x ∈[0,1]
S1 ( x )=−2¿
x 0 2 3
y 0 4 5
S2 ( x )=2¿