1. Integral Tentu

Integral tentu dimisalkan sebagai berikut. Misalkan f fungsi

kontinu yang didefinisikan untuk a ≤ x ≤ b . Selanjutnya

interval [a,b] dibagi menjadi n subinterval yang sama

denganlebar ∆x = (b-a)/ n . Dimisalkan x0(=a), x1, x2, …, x n(=b)

adalah titik-titik ujung subinterval tersebut dan dipilih titik-titik

x1*, x 2*, …, x n* pada setiap subinterval sehingga xi * terletak

pada setiap selang [x I-1, x i ], maka definisi integral tentu f dari a

sampai b adalah

∫a

b

f ( x )dx= limn → ∞

∑i=1

n

f (x1*)∆x

yang muncul pada definisi integral tentu dinamakan jumlahan

Riemann. Pada subbab ini akan dibahas bagaimana menentukan

integral tentu dengan menggunakan konsep jumlahan Riemann

dan juga perintah khusus dalam Maple untuk menghitung

integral tentu.

1. Jumlahan Riemann

Jumlahan Riemann ini menghitung integral tentu secara

pendekatan. Nilai integral tentu f(x) dari [a, b] dihitung dengan

mencari luas seluruh persegi panjang yang ada antara garis

kurva dan sumbu x. Dalam Maple telah tersedia perintah untuk

memvisualisasikan jumlahan Riemann ini secara grafis dan juga

menghitung nilai integral tentu tersebut.

Perintah untuk menghitung jumlahan Riemann suatu fungsi f(x)

dengan batas kiri a dan batas kanan b menggunakan metode

tertentu (jenis metode ditambahkan pada option).

1. Macam-macam method yang digunakan: left, right,

midpoint, upper, lower, atau random

a) method = left, metode ini memilih yaitu titik di

paling kiri subinterval.

b) method = right, metode ini memilih yaitu titik di

paling kanan subinterval

c) method = midpoint, metode ini memilih yaitu titik di

tengah subinterval. Metode ini adalah sebagai default

dari perintah RiemannSum, sehingga apabila option

methodtidak disertakan, maka metode inilah yang

digunakan oleh Maple.

d) method = upper, metode ini memilih yaitu titik yang

paling besar nilai fungsinya dalam subinterval

e) method = lower, metode ini memilih yaitu titik yang

paling kecil nilai fungsinya dalam subinterval

f) method = random, metode ini memilih secara

random dalam subinterval

2. output = value, plot, sum, animation

a) output = value, digunakan untuk menampilkan

output dalam bentuk hasil pendekatan jumlahan

Riemann (default)

b) output = plot, digunakan untuk menampilkan output

dalam bentuk grafik yang memvisualisasikan

jumlahan Riemann.

c) output = sum, digunakan untuk menampilkan output

dalam bentuk formulasi jumlahan

d) output = animation, digunakan untuk menampilkan

output dalam bentuk animasi.

3. partition = n

Option ini digunakan untuk menentukan jumlah partisi

/subinterval dalam interval [a,b]. Secara default jumlah

partisi adalah 10. Sedangkan apabila ingin mempartisi

interval menjadi 20 subinterval, maka tambahkan

perintah partition=20 pada option ini.

4. Title = string

Judul/title dari visualisasi dapat diatur menggunakan

option ini.

Contoh :

1. Tentukan integral tentu dari dengan jumlahan

Riemann menggunakan 20 partisi/subinterval. Metode yang

digunakan adalah titik kiri (left). Tampilkan pula visualisasi

secara grafis jumlahan Riemann ini.

Jawab :

- Tulis rumus f(x):= kemudian tekan enter

- Ketik perintah : with(Student[Calculus1]):

- ReamannSum(f(x),x=0..5,partition=20,method=left,ou

tput=value), kemudian tekan enter

- Ketik evalt(%)

- Enter

- Maka akan muncul hasilnya seperti gambar dibawah

ini:

Selanjutnya, kita akan memvisualisasikan jumlahan

Riemann untuk kasus ini. Ketikkan perintah seperti yang dibawah

ini:

>RiemannSum(f(x),x=0..5,partition=20,method=left,

output=plot,title=“Jumlahan Riemann f(x)=sin x”);

Kemudian enter maka akan muncul gambar grafik seperti:

Pada gambar tersebut terlihat bahwa interval [0,5] dibagi

menjadi 20 partisi. Nilai pendekatan integral tentu diperoleh

dengan menjumlahkan luasan persegi panjang-persegi panjang

yang dibatasi oleh kurva dengan sumbu x.

Sekarang menggunakan jumlah partisi yang lebih banyak, yaitu

dengan menggunakan 80 partisi. Maka akan menghasilkan grafik

yang semakin rapat, sehingga luasan semua persegi panjang

semakin mendekati luasan bidang yang dibatasi kurva dengan

sumbu x. Dengan demikian semakin banyak partisi yang diambil

maka hasil pendekatan integral tentu semakin mendekati

eksaknya.

Sebelumnya, kita dapat menghitungnya dengan Maple. Berikut

ini adalah urutan perintahnya.

> with(Student[Calculus1]):

> RiemannSum(f(x),x = a..b, partition=n,output=sum);

> limit(%,n=infinity);

Untuk mencari formula jumlahan Riemaan dengan partisi

sejumlah n. Maka formula Riemann yang telah diperoleh dicari

limitnya untuk n → ∞. Untuk perintah terakhir tersebut dapat

pula diubah menjadi:

> evalf(limit(%,n=infinity));

untuk menyatakan hasil integral tentu dalam bentuk floating

point .

Contoh:

Dengan menggunakan perhitungan sesuai dengan definisi

integral tentu, tentukan

Penyelesaian:

> with(Student[Calculus1]): atau loading Student:-Calculus1

(Pilih tools, load package, Student Calculus 1

> f :=x -> x*cos(x);

> RiemannSum(f(x),x = Pi..2*Pi, partition=infinity,output=value);

Secara perhitungan, hasil integral tentu untuk contoh ini adalah

0.

2. Integral Tentu dan Tak Tentu

Integral tak tentu dari suatu fungsi merupakan kebalikan dari

turunan/derivatif sehingga integral tak tentu ini juga disebut anti derivatif.

Misalkan F(x) adalah suatu fungsi dan f(x) merupakan derivatif dari F(x)

tersebut, maka integral tak tentu dari f(x) dinotasikan sebagai ∫ f (x)dx = F(x).

Sedangkan integral tentu adalah fungsi f(x), dari x=a sampai x=b.Fungsi

f(x) disebut integran a dan b masing-masing disebut batas bawah dan batas atas

dari integrasi (Pengintegralan). Jadi, jika f(x) kontinu pada interval a ≤ x ≤ b dan

F(x) adalah suatu anti turunan dari f(x) maka integral tentu ditentukan oleh :

∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F (a)

a. CARA PENGERJAAN INTEGRAL

Dalam mengerjakan soal-soal integral dalam maple ada tiga cara yang biasa

di gunakan, yaitu:

1. Cara Manual

2. Cara Klik Kanan

3. Cara Expression

Cara manual dapat digunakan untuk menghitung Integral

Tak Tentu. Adapun langkah-langkahnya sebagai berikut:

Tulis rumus fungsi

Tekan enter

Tulis int(f,x);

Tekan enter

Cara manual juga dapat digunakan menghitung Integral Tentu

Tulis int(f(x),x=a..b);

Tekan enter

Contoh soal Integral Tak Tentu : Carilah nilai dari ∫ 4 x3 + 11

Penyelesaian:

Tulis rumus fungsi, misal f:=4x3+11;

Tekan enter

Tulis int(f,x);

Tekan enter

Contoh soal Integral Tentu:

Carilah nilai dari ∫0

4

4 x3 +11

Penyelesaian:

Tulis : Int(4x3+11,x=0..4);

Tekan enter

CARA KLIK KANAN

a) Integral Tak Tentu

Tulis Persamaan yang akan dicari hasilnya, misal: 3x2+4x

Klik kanan, pilih integrate, x.

b) Integral Lipat

Misalkan diketahui fungsi dua variabel f(x,y). Fungsi ini

akan diintegralkan terhadap y (dengan menganggap x tetap).

Selanjutnya hasil integral akan diintegralkan kembali terhadap x

(dengan menganggap y tetap). Hal tersebut merupakan integral

lipat dua yang dinotasikan sebagai

∫ ∫ f (x,y)dy dx Atau ∫ [∫ f x,y dy] dx

Cara Pengerjaan

• Tulis Persamaannya

• Tekan enter

• Ketik int(f(x,y),x);

• Tekan enter

• Ketik int(%,y);

• Tekan enter

Contoh soal:

Tentukan integral dari

Cara Penyelesaian:

a) Tulis int(x10 y17+56 x8 y+ 52

x4 y , y ); b) Tekan enter

c) Tulis int(%,x)

d) Tekan enter

Cara expression

Klik simbol sehingga menjadi seperti ,

ketik rumus fungsi yang akan dicari, misal

Tekan enter

Ganti dx yang pertama dengan dy

Tekan enter

Contoh soal :

Tentukan nilai dari

Cara klik kanan

Ketiklah fungsi yang akan dicari integralnya misal

Klik kanan, pilih integrate y

Setelah diketahui hasilnya, klik kanan lagi, pilih integrate x

Integral Lipat dengan Batas

Carilah nilai dari

Penyelesaian:

a) Ketik int(f(x),y=a..b); enter

b) Ketik int(%,x=a..b); enter

Luasan Daerah yang dibatasi Kurva

Seperti telah dibahas pada pembahasan sebelumnya bahwa

integral tentu suatu fungsi y=f(x) dari x=a…b merupakan luas

daerah yang dibatasi kurva y=f(x) dengan sumbu x untuk x=a

sampai x=b. Berdasarkan konsep tersebut, integral dapat

digunakan untuk mencari luasan yang dibatasi oleh beberapa

kurva.

Luas suatu daerah A yang dibatasi oleh kurva y=f(x), y=g(x), dan

garis x=a, x=b dengan f dan g kontinu serta f(x) ≥ g(x) untuk

semua x pada selang [a, b] adalah

Contoh:

- Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2-8x+4

dan sumbu x pada interval -1≤x≤1

Penyelesaian :

a) cara ekspresion

- Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2 dan

y=2x-x2.

Penyelesaian :

Cara manual

> f1 :=x -> x2;

> f2 := x-> 2*x-x2;

>plot([f1(x),f2(x)],x=0..1.5,color=[red,blue],legend=["y=

x2","y=2x-x2"]);

Grafik 1(dengan sumbu-x batas 0 sampai 1,5)

Grafik 2.(tanpa batas)

Pada grafik terlihat ada 2 titik perpotongan. Titik-titik tersebut

ditentukan dengan perintah berikut ini.

titikpot := evalf(solve(f1(x)=f2(x),x));

Selanjutnya untuk mencari luasnya yaitu:

Luas := int(f2(x)-f1(x),x=titikpot[1]..titikpot[2]);

VOLUME BENDA PUTAR

Misalkan diketahui suatu kurva y=f(x) pada selang [a, b] yang

kontinu pada selang tersebut. Apabila daerah antara kurva dan

sumbu x diputar 360o maka akan diperoleh sebuah benda pejal

bervolume. Selanjutnya akan dibahas bagaimana menggambar

benda putar serta menghitung volumenya menggunakan Maple.

Menggambar Volume Benda Putar

• Untuk menggambar benda putar dengan Maple, dapat

menggunakan Calculus1Student Package. Adapun option yang

dapat diberikan antara lain:

a. axis=horizontal ,vertical Apabila diinginkan sumbu

putarnya adalah sumbu x, maka axis=horizontal.

Sedangkan apabila sumbu y maka axis=vertical.

b. output=value, plot, integral

Apabila hanya diinginkan menampilkan besarnya volume,

maka output=value. Sedangkan output=integral dipilih

apabila ingin menampilkan formulasi integral yang

menyatakan perhitungan besarnya volume benda putar

tersebut.

c. title=string

Title dari plot benda putar dapat diubah melalui option ini.

Menghitung Volume Benda Putar

Misalkan S sebuah benda pejal yang diperoleh dengan memutar

daerah di bawah kurva y=f(x) antara x=a … b di sekeliling

sumbu x, maka volumenya (V) adalah

Sedangkan apabila S diperoleh dengan memutar daerah di

bawah kurva x=f(y) antara y=a … b di sekeliling sumbu y,

volumenya adalah

Volume benda putar yang dibatasi oleh 2 buah kurva

Misalkan S diperoleh dengan memutar daerah yang dibatasi

kurva y=f1(x) dan y=f2(x) dengan f1(x) ≥f2(x) pada x=a sampai

x=b disekeliling sumbu x, volumenya adalah

Sedangkan apabila S diperoleh dengan memutar daerah yang

dibatasi kurva x=f1(y) dan x=f2(y) dengan f1(y)≥f2(y) pada y=a

sampai y=b di sekeliling sumbu y, volumenya adalah

Contoh:

Diketahui daerah yang dibatasi kurva y=x3 (untuk x=0 sampai

dengan 4) dan sumbu x. Sebuah benda pejal diperoleh dengan

memutar daerah tersebut pada sumbu x dan hitung berapa

volumenya. Gambarlah benda pejal tersebut. Selanjutnya

gambar pula benda pejal yang diperoleh dengan memutar

daerah tersebut pada sumbu y serta hitung volumenya.

Penyelesaian:

Volume mengelilingi sumbu Y

Cara Mencari Besar Volume

1. klik tool

2. pilih Tutors

3. pilih calculus single variable

4. pilih volume of revolusion kemudian atur option yang

sesuai.

Mencari Volume Benda yang Dibatasi Dua Kurva

Contoh :

Sebuah daerah dibatasi oleh kurva y=6x-x2 dan y=x (pada

kuadran I). Daerah tersebut diputar pada sumbu x dan

terbentuklah benda pejal. Gambarkan benda pejal yang

terbentuk tersebut.

Penyelesaian:

CARA KEDUA

Latihan soal

1. ∫ x+ 1

x2−√ x dx=¿

2. ∫ 2 x2+3 x−2√ x

dx=¿

3. ∫( 14

x+1)3

dx=¿

4. ∫ 74 x+3

dx=¿¿

5. ∫5 sin ( π−5 x ) dx=¿¿

6. ∫8sin (3 x ) cos ( x ) dx=¿¿

7. ∫ tan (2x−1 )cos (2x−1 )− sin (5x+3)cos (5 x+3)2 dx=¿

8. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2 dan garis y=x+2

9. Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y=4-x2 dan y=-

x+2 pada interval 0≤x≤2 !

10. Luas daerah yang dibatasi oleh y=x2 dan y=5x-4

11. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva berikut ini

dan sumbu x pada interval -3≤x≤1

i. y = 1 - x2

ii. y = x2 - 3x

12. Luas daerah yang dibatasi kurva y=x2-4x+3 dengan

sumbu x pada interval 0≤x≤5

13. Gambarlah jumlahan reimann untuk luas pendekatan dari

daerah yang dibatasi oleh kurva dengan sumbu x

untuk 1≤x≤4. gunakan method right, dengan jumlah

partisi 35. dan tentukan pula luas daerah dan gambar

grafiknya?

14. Gunakan jumlah reimann untuk menentukan pendekatan

integral berikut ini dengan aturan :

a) Midpoint

∫0

10

sin √x dx, n= 5

b) Right

∫o

π

sec(x /3)dx, n= 10

c) Left

∫2

4x

x2+1dx, n= 30

d) Left

∫1

2

√1+x2 dx, n= 20

15. Tentukan isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y=x3 , sumbu X dan 0 ≥x ≥2 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600 !

16. Daerah antara kurva y=√ x dan y=3 dalam selang 0 sampai 4 diputar mengitari sumbu-x untuk membentuk suatu benda padat.Tentukan volume benda padat ini

17. Daerah antara kurva y=4x-x2dan y=x dengan batas 0 sampai 3diputar mengitari sumbu-x, tentukan volume benda padat yang diperoleh.

18. Bagian kurva f(x)=y=√9− x2 pada selang 0 sampai 3 diputar mengitari sumbu-x sejauh 3600berapakah volume benda putar yang dihasilkan.

Jawaban

8.

9. 6,666666667

10.4,5

11.a.

b.

12.

13.

14a.

14b.

14c.

14d.

15.

16.

16.

17.

18.