dwipurnomoikipbu.files.wordpress.com · web viewdengan menggunakan integral integral tertentu, luas...
TRANSCRIPT
BAB IV
APLIKASI INTEGRAL TERTENTU
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami
penggunaan integral tertentu dalam masalah-masalah praktis.
Kompetensi Dasar
1. Mahasiswa dapat menentukan luas suatu luasan dengan menggunakan integral
tertentu.
2. Mahasiswa dapat menentukan volume benda putar dengan menggunakan integral
tertentu.
3. Mahasiswa dapat menentukan panjang busur suatu kurva dengan menggunakan
integral tertentu
4. Mahasiswa dapat menentukan luas permukaan benda pejal dengan menggunakan
integral tertentu.
Bab IV buku ini membahas hal-hal pokok yang berkaitan dengan aplikasi integral
tertentu, antara lain: (1) luas suatu luasan, (2) volume benda putar (3) menentukan
panjang busur dan 4) luas permukaan.
Integral tertentu dengan berbagai macam sifat-sifatnya yang telah dibahas pada
pasal sebelumnya dapat digunakan untuk menentukan selesaian masalah-masalah
praktis dalam kehidupan nyata. Beberapa diantara penggunaan integral yang di bahas
dalam buku ini adalah menetukan luas suatu luasan, menghitung volume benda pejal,
menentukan panjang busur suatu kurva yang telah ditentukan persamaannya, dan
menentukan luas permukaan benda putar.
Untuk memperjelas masing-masing pembahasan tentang penggunaan integral
tertentu, penulis menggunakan beberapa ilustrasi dan gambar yang diharapkan gambar
tersebut akan memudahkan pembaca untuk memahaminya. Pembahasan selengkapnya
adalah sebagai berikut:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-105
4.1 Luas Suatu Luasan
Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang dengan persamaan
atau atau yang berbatasan dengan sumbu-sumbu
koordinat atau garis yang sejajar sumbu koordinat. Luasan dalam bidang dapat
dikelompokkan menjadi luasan positip dan luasan negatip. Luasan positip adalah luasan
dengan persamaan dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di atas sumbu
atau luasan dengan persamaan dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak
disebelah kanan sumbu Berikut ini gambar luasan positip yang dimaksud.
Gambar 4.1
Luasan negatif adalah luasan dengan persamaan dan sumbu-sumbu
koordinat yang terletak di bawah sumbu atau luasan dengan persamaan dan
sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kiri sumbu Berikut ini gambar
luasan negatif tersebut.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
)(xfy )(yfx
ax bx
dy
cy
Y
XX
Y
RR
106
Gambar 4.2
Luasan positip dan negative sebagaimana telah dijelaskan di atas, pembatasn juga dapat
terjadi bukan hanya satu kurva tetapi dapat juga berupa dua kurva sekaligus, misalnya
dan . Pembahasan dalam buku ini diawali dengan menentukan luas
luasan menggunakan integral untuk daerah yang dibatasi oleh satu kuva.
a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat.
Perhatikan gambar luasan dibawah ini
Gambar 4.3
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
)(xfy )(yfx
ax bxdy
cy
Y
X
X
Y
R R
Y
R
)(xfy
Xax bx
107
R sebagaimana terlihat pada gambar 4.3 adalah luasan yang dibatasi oleh kurva-
kurva Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R
dinyatakan dengan
Jika luasan terletak di bawah sumbu X maka integral tertentu di atas bernilai negatif,
karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut
dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk
Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah
sebagai berikut :
a) Gambar luasan yang akan ditentukan luasnya sehingga tampak jelas batas-batasnya
dan mudah dilihat.
b) Buatlah garis-garis yang sejajar sumbu atau sumbu , selanjutnya bagilah luasan
dalah bidang yang disebut partisi dan berikan nomor pada masing-masing partisi
yang terbentuk.
c) Hampiri luas masing-masing partisi tertentu tersebut dengan menggunakan luas
persegi panjang
d) Jumlahkan luas masing-masing partisi pada luasan yang telah dibentuk.
e) Dengan menggunakan limit dari jumlah luas partisi diatas dengan lebar masing-
masing partisi menuju 0, maka diperoleh integral tertentu yang menrupakan luas
luasan.
Contoh:
1) Segitiga ABC terletak pada , titik-titik sudutnya dinyatakan dalam koordinat
kartesius yaitu A(0,0), B(3,0) dan C(3,7). Dengan menggunakan integral tertentu
tentukan luas segitiga ABC.
Jawab
Gambar segitiga ABC adalah
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-108
Gambar 4.4
Persamaan garis AC dinyatakan dengan rumus
Diperoleh persamaan
Sehingga luas yang dicari dinyatakan dengan
2) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu
koordinat.
Jawab
Luasan yang dibatasi sumbu-sumbu koordinat gambarnya adalah
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
X
Y
)0,3(B)0,0(A
)7,3(C
109
Gambar 4.5
Tampak pada gambar 4.5 di atas luasan yang diketahui (R) berada di atas sumbu x
sehingga luasnya dapat dinyatakan dengan menggunakan integral yaitu:
3) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva dan garis
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
X2 2
Y
24 xy
R
110
Gambar 4.6
Dengan cara yang sama luas luasan di atas dinyatakan dengan
Selanjutnya, perhatikan gambar luasan berikut ini :
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
R X
Y
4x
2yx
111
Gambar 4.7
Luasan R pada gambar 4.7 di atas dibatasi oleh kurva .
Dengan integral tertentu luas luasan R yang berada disebelah kanan sumbu x dinyatakan
dalam bentuk
Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu x maka integral tertentu di atas bernilai
negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut
dimutlakkan, sehingga diperoleh:
Contoh
1) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva dan garis
Jawab
Luasan dan garis dapat digambarkan sebagai berikut:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
R)(yfx
Y
X
c
d
112
Gambar 4.8
Sehingga luas luasan tersebut adalah
b. Daerah antara dua kurva
Daerah antara dua kurva adalah luasan yang pembatsanya adalah dan
dengan pada selang . Sepertihalnya luasan yang dibatasi oleh
satu kurva, luasan yang dibatasi dua kurva dapat berupa luasan positip dan luasan
negatip. Dengan demikian aturan menentukan luas luasan dengan integral pada luasan
yang dibatasi satu kurva juga berlaku untuk luasan yang dibatasi oleh dua kurva.
Perhatikan gambar 4.9 berikut ini.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
R X
Y
2y
2yx 2y
113
Gambar 4.9
Sehingga luas luasan dinyatakan dengan:
Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu x, jika luasannya disebelah kanan
sumbu y, maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan
Soal-soal
Gunakah integral tertentu untuk menentukan luas luasan berikut.
1. Luasan R dibatasi oleh kurva dan
2. Luasan R dibatasi oleh kurva-kurva , dan
3. Luasan R dibatasi oleh kurva dan
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
X
Y
ax bx
)(xgy
)(xfy
)()( xgxf
x
114
4. Luasan R dibatasi oleh kurva-kurva , dan . Kemudian
hitunglah luasnya.
5. Luasan R dibatasi oleh kurva dan
4.2 Volume Benda Putar
a. Pemutaran mengelilingi sumbu X
Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh Selanjutnya R
diputar mengelilingi sumbu x. Lintasan kurva karena mengelilingi sumbu X
membentuk bangun berupa benda padat (pejal). Dengan menggunakan integral tertentu
volume benda padat tersebut dapat didekati dengan menggunakan rumus:
.
Gambar 4.10
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
X
Y
ba
)(xfy
115
Gambar 4.11
Jika R dibatasi oleh dua kurva yaitu . Dengan
Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu x, maka terbentuk benda pejal yang
volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:
Gambar 4.12
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-116
b. Pemutaran mengelilingi sumbu Y
Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh Selanjutnya R
diputar mengelilingi sumbu x. Lintasan kurva akan membentuk bangun berupa benda
pejal. Benda tersebut volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu
yaitu: .
Gambar 4.13
Gambar 4.14
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
X
Y
)(yfx
dy
cy
117
Gambar 4.15
Jika R dibatasi oleh dua kurva yaitu . Dengan
Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu y, maka terbentuk benda pejal yang
volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:
Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar
volume adalah hasilkali luas alas (luas lingkaran) dan tinggi tabung. Volume dari benda
putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan tinggi. Bila luas
alas dinyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maka
volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :
Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah
diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu
metode cakram dan kulit tabung.
Metode Cakram
Misal daerah dibatasi oleh diputar dengan
sumbu putar sumbu x. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-118
memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga
cakram yang berpusat di titik-titik pada selang .
Misal pusat cakram dan jari-jari . Maka luas cakram dinyatakan :
Oleh karena itu, volume benda putar :
Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan diputar
mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :
Bila daerah yang dibatasi oleh , untuk setiap
diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume:
Bila daerah yang dibatasi oleh untuk setiap
diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume :
Contoh :
1. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh : dan
diputar mengelilingi
a. sumbu X.
b. sumbu Y
Jawab :
Kedua kurva berpotongan di titik ( 0,2 ) dan ( 2,4 ).
a. Pada selang .
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-119
Volume benda diputar mengelilingi sumbu x dinyatakan oleh
b. Pada selang
Volume benda diputar mengelilingi sumbu y dinyatakan oleh
2. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva :
dan sumbuY bila diputar mengelilingi garis
Jawab :
Kedua kurva berpotongan di dan Pada selang berlaku
.
Jarak kurva terhadap sumbu putar (garis y = -2) dapat
dipandang sebagai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah dan
.
Sehingga volume benda putarnya adalah:
Metode Kulit Tabung
Metode kulit tabung sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda
putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode
cakram. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit
luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit
tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut.
Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut dan
, tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-120
Bila daerah yang dibatasi oleh diputar mengelilingi sumbu
Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari dan tinggi tabung
Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah
Misal daerah dibatasi oleh kurva
diputar mengelilingi sumbu Y.
Maka volume benda putar
Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan
diputar mengelilingi sumbu X, maka volume =
Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh
diputar mengelilingi
sumbu X. Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan
Contoh :
1. Hitung volume benda putar bila daerah yang terletak di kuadran pertama dibawah
parabola
Jawab
dan di atas parabola diputar mengelilingi sumbu Y.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-121
Bila kita gunakan metode cakram, maka daerah kita bagi menjadi dua bagian yaitu :
pada selang dibatasi dan sumbu Y sedang pada selang dibatasi
dan sumbu Y. Oleh karena itu volume =
2. Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh , sumbu X
dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis x = 1
Jawab
Misal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi benda
pejal, dan jari-jari ( jarak x terhadap sumbu putar / garis x = 1 ), ( 1 + x ).
Oleh karena itu,
volume benda putar :
4.3 Panjang Busur
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-122
Gambar 4.16
Pada gambar 4.16, AB adalah suatu bagian kurva Berdasarkan
definisi, AB merupakan limit penjumlahan dari panjang sekumpulan tali busur
yang menghubungkan titik-titik pada busur itu.
Jika banyaknya titik-titik pada kurva banyaknya menuju tak hingga maka
panjang tiap tali busur tersebut menuju nol.
Selanjutnya jika dan sebarang dua titik pada kurva dengan
turunan adalah yang masing-masing kontinu pada interval
maka panjang tali busur dinyatakan oleh
Dengan cara yang sama, jika dan dua titik pada kurva yang
persamaannya dinyatakan dengan dengan turunannya adalah
yang masing-masing kontinu pada maka panjang busur AB
dinyatakan oleh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
BPn
2P
Y
X
)(xfy iP
jP
APo
1P
123
Apabila persamaan kurva dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik
Dan jika syarat kontinuitasnya dipenuhi maka panjang tali busur AB dinyatakan oleh:
Contoh
1) Gunakan dengan teknik integral untuk menentukan panjang ruas garis
antara titik (1,5) dan (3,9). Bandingkan hasilnya dengan menggunakan rumus jarak.
Jawab
Karena diperoleh sehingga
Dengan menggunakan rumus jarak yang menghubungkan dua titik
Kedua cara memberikan hasil yang sama.
2) Tentukan panjang tali busur AB pada kurva jika dan
Jawab
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-124
Karena maka atau dan berubah dari dan
sehingga
3) Tentukan panjang tali busur AB pada kurva untuk .
Jawab
Karena maka
sehingga
Dengan menggunakan substitusi .
Misal diperoleh sehingga
Karena maka dan
Karena maka
Sehingga
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-125
4) Tentukan panjang tali busur pada kurva antara
Jawab
Karena maka
Atau sehingga diperoleh
Karena y berubah dari sehingga
\
5) Tentukan panjang tali busur pada kurva
Jawab
Karena maka dan karena maka
Sehingga diperoleh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-126
Soal-soal
Tentukan panjang tali busur yang ditunjukkan oleh
1) antara dan
2) antara dan
3) antara dan
4) antara dan
5)
6)
4.4 Luas Permukaan Benda Putar
Jika sebuah luasan R yang terbatas bidang mengelilingi salah satu sumbu pada
bidangnya maka lintasan kurva tersebut membentuk benda pejal yang permukaannya
dapat ditentukan luasnya dengan menggunakan integral ternntu
Perhatikan gambar berikut.
R adalah suatu luasan yang dibatasai oleh kurva diputar
mengelilingi sumbu
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-127
Gambar 4.17
Selanjutnya R sebagaimana gambar di atas di atas diputar mengelilingi sumbu sehingga
terbentuk benda pejal
Gambar 4.18
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
X
X)(xfy
R
ax bx
X
X)(xfy
Rax bxbx
128
Gambar 4.18 di atas berupa kerucut terpancung yang mempunyai jari-jari alas dan
Dengan tinggi t. Luas permukaan kerucut terpancung tersebut adalah
Selanjutnya andaikan dengan cara membuat partisi [a,b] menjadi n
bagian dengan menggunakan . Dengan demikian kurva
yang terbagi terdiri atas n bagian. Andaikan menyatakan panjang potongan
dan andaikan adalah sebuah titik pada potongan . Karena pita potongan diputar
mengelilingi sumbu x maka luas pita tersebut dapat dihampiri oleh
Apabila luas semua potongan pita dijumlahkan dengan diperoleh luas permukaan
benda pejal dan ditunjukkan dengan limit partisi sebagai berikut:
Dengan cara yang sama jika luasan diputar mengelilingi sumbu y dalam batasan garis
dan maka luas permukaannya dinyatakan dengan
Jika persamaan kurva dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik
dengan maka luas permukaan benda pejal dinyatakan oleh rumus
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-129
Contoh soal
1) Luasan R dibatasi oleh kurva diputar mengelilingi sumbu .
Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas permukaannya dengan terlebih
dahulu menggambar benda putarnya.
Gambar 4.19
Karena maka
Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas
dapat ditentukan dengan rumus:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
xy 6Y
Y
X X1x 1x
xy 6
R
130
2) Luasan R dibatasi oleh kurva diputar mengelilingi sumbu y.
dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas permukaannya dengan terlebih
dahulu menggambar benda putarnya.
Jawab
Gambar 4.20
Karena maka sehingga
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
X X
YY
2xy 1
131
Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas
dapat ditentukan dengan rumus:
3) Kurva diputar mengelilingi sumbu x, tentukan luas
permukaan benda pejal dengan terlebih dahulu menggambarkan.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-132
Jawab
Gambar 4.21
Karena maka diperoleh
Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas
dapat ditentukan dengan rumus:
Soal-soal
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
X
Y Y
X
133
1) Sebuah luasan R dibatasi kurva diputar mengelilingi sumbu x,
dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu
menggambar benda putarnya.
2) Sebuah luasan R dibatasi kurva diputar mengelilingi sumbu x,
dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu
menggambar benda putarnya.
3) Sebuah luasan R dibatasi kurva dan diputar mengelilingi
sumbu y, dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih
dahulu menggambar benda putarnya.
4) Sebuah luasan R dibatasi kurva dan diputar mengelilingi
sumbu y, dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih
dahulu menggambar benda putarnya.
5) Luasan R dibatasi oleh fungsi parametrik dan diputar menglilingi sumbu x.
Tentukan luas permukaannya.
a)
b)
c)
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-134
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-135