INTEGRAL

APLIKASI EKONOMI

http://rosihan.web.id

Pengertian Integral

Integral merupakan operasi invers dari turunan.

Jika turunan dari F(x) adalah F’(x) = f(x), maka

F(x) = ∫ f(x) dx.

∫ adalah lambang untuk notasi integral,

dx adalah menyatakan fungsi bekerja dalam x.

INTEGRAL

Dua macam pengertian integral, yaitu: integral taktentu (indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral).

Integral taktentu adalah kebalikan dari diferensial,

sedangkan integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area.

INTEGRAL

I. INTEGRAL TAK TENTU

II. INTEGRAL TETENTU

INTEGRAL TAK TENTU

notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman)

f(x) fungsi integran

dx adalah diferensial dari F(x), F(x) fungsi integral umum yang bersifat

F’(x) =f(x)

c konstanta pengintegralan

cxFdxxf

Beberapa Teorema

cxn

dxx nn

1

11

dxxfkdxxkf

1

2

3

4

dxxgdxxfdxxgxf

dxxgdxxfdxxgxf

Contoh – contoh

. .2

.1

4514

4.543

54

221

cxcxdxx

cxdxx

3.

PENERAPAN EKONOMI

Pendekatan integral tak tentu bisa digunakan untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi pada persamaan fungsi marjinalnya diketahui. Kita tahu bahwa fungsi marjinal adalah turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya –yakni integrasi—dapat dicari fungsi asal dari fungsi turunan tersebut atau fungsi totalnya.

PENERAPAN EKONOMI

I. FUNGSI BIAYA

II. FUNGSI PENERIMAAN

III. FUNGSI UTILITAS

IV. FUNGSI PRODUKSI

V. FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN

FUNGSI BIAYA

Biaya total :

Biaya marjinal :

Biaya total adalah integrasi dari biaya marjinal

Kasus:

Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q2 – 6Q + 4. Carilah persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya.

Jawab

Konstanta k adalah biaya tetap. Jika diketahui biaya tetap

tersebut sebesar 4, maka: C = Q3 – 3Q2 AC = Q2 – 3Q4/Q

FUNGSI PENERIMAAN

Kasus:

Carilah persamaan penerimaan total dan penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan jika penerimaan marjinalnya MR = 16 – 4 Q

Jawab:

FUNGSI UTILITAS

Kasus

Carilah persamaan utilitas total dari eorang konsumen jika utilitas marjinalnya MU = 90 – 10 Q.

Jawab

Seperti halnya produk total dan penerimaan total, disinipun konstanta k = 0, sebab tidak aka nada kepuasan atau utilitas yang diperoleh seseorang jika tak ada barang yang dikonsumsi.

FUNGSI PRODUKSI

Kasus

Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh MP=18 X-3X^2. Carilah persamaan produk total dan produk rata-ratanya

Jawab

Dalam persamaan produk total juga konstanta k = 0,

sebab tidak akan ada barang ( P ) yang dihasilkan jika tak ada bahan ( X ) yang diolah atau digunakan.

FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN

Dalam ekonomi makro, konsumsi ( C ) dan tabungan ( S ) dinyatakan fungsional terhadap pendapatan nasional ( Y ).

C=f ( Y )=a+bY MPC=C^'= dC/dY=f^' ( Y )= b Karena Y=C+S, maka S=g( Y )= -a+( 1-b)Y MPS=S^'= dS/dY=g^' (Y)=( 1-b )

INTEGRAL TERTENTU

Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variable bebasnya memiliki batas-batas tertentu. Dalam integral tak tentu kita temukan bahwa

Jika kita ingin mengetahui hasil integrasi antara x = a dan x = b dimana amaka x dapat disubtitusi dengan nilai a dan b sehingga ruas kanan persamaannya menjadi :

F(b) – F(a) adalah hasil integral tertentu dari f(x) antara a dan b.Secara lengkap dapat dituliskan menjadi :

Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas area yang terletak di antara kurva y = f(x) dengan sumbu horizontal – x dan menghitung luas area yang terletak di antara dua kurva.

Andaikan kita memiliki dua buah kurva y1 = f(x)

dan y2 = g(x), di mana F(x) Maka luas area antara kedua kurva ini

untuk rentang wilayah dari a ke b ( a adalah :

KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU

Untuk a < c < b, brlaku:

Penerapan Ekonomi

1.Surplus konsumen

2.Surplus produsen

Mencerminkan suatu keuntungan lebih atau

surplus yang dinikmati oleh konsumen

tertentu berkenaan dengan tingkat harga

pasar suatu barang

Surplus Konsumen

P = f(Q)

Qe

Pe

P

Q 0

• Jika tingkat harga pasar adalah Pe maka

bagi konsumen tertentu yang sebenarnya

mampu dan bersedia membayar dengan

harga lebih tinggi dari Pe hal ini akan

merupakan keuntungan baginya, sebab ia

cukup membayar barang tadi dengan

harga Pe

• Keuntungan inilah yang disebut dengan

surplus konsumen

Aplikasi Ekonomi – Surplus Konsumen

Aplikasi Ekonomi – Surplus Konsumen

P

Ps

e

dPPfCˆ

)(

Dalam hal fungsi permintaan berbentuk Q = f(P)

eQ

ees PQdQQfC0

)(

Dalam hal fungsi permintaan berbentuk P = f(Q)

P̂ Adalah nilai P untuk Q = 0

Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q

= 48 – 0,03P2. Hitunglah surplus konsumen jika tingkat harga

pasar adalah 30

Q = 48 – 0,03 (30)2 Pe = 30

Qe = 21

P

Ps

e

dPPfCˆ

)(

40

30

203,048 dPPCs 4030

301.048 PP = 110

0 = 48 – 0,03 P2 Q = 0

P = 40

Contoh – Surplus Konsumen

Mencerminkan suatu keuntungan lebih

atau surplus yang dinikmati oleh

produsen tertentu berkenaan dengan

tingkat harga pasar suatu barang

Surplus Produsen

P = f(Q)

Qe

Pe

P

Q 0

• Jika tingkat harga pasar adalah Pe

maka bagi produsen tertentu yang

sebenarnya bersedia menjual dengan

harga lebih rendah dari Pe hal ini

akan merupakan keuntungan baginya,

sebab ia cukup menjual barang tadi

dengan harga Pe

• euntungan inilah yang disebut dengan

surplus produsen

Surplus Produsen

eP

Ps dPPfP

ˆ

)(

Dalam hal fungsi penawaran berbentuk Q = f(P)

eQ

ees dQQfPQP0

)(

Dalam hal fungsi penawaran berbentuk P = f(Q)

P̂ Adalah nilai P untuk Q = 0

Contoh Kasus

Seseorang produsen mempunyai fungsi penawaran P = 0,50Q + 3. Berapa surplus produsen itu bila tingkat keseimbangan di pasar adalah 10? Jawab : P = 0,50Q + 3 Q = -6 + 2P P = 0 Q = -6 Q = 0 P = 3 = P^ Pe = 10 Qe = 14

.49091140

)0(3)0(25,0)14(3)14(25,0140

325,0140

)350,0()10)(14(

)(

22

14

02

14

0

0

QQ

dQQ

dQQfPQ Qeee

Trimakasih

http://rosihan.web.id

Referensi :