integral ganda

1

1

Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer IIOki Neswan,Ph.D., Departemen Matematika-ITB

Bab 16 Integral di Ruang-nIntegral Ganda atas persegi panjangIntegral BerulangIntegral Ganda atas Daerah sebarangIntegral Ganda Koordinat Polar

2Oki Neswan, Ph.D. – Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II

PendahuluanMasalah-masalah yang dipecahkan oleh integral dengan duavariabel atau lebih serupa dengan yang dipecahkan oleh integral satu variabel, hanya lebih umum.Seperti halnya pada turunan fungsi n variabel, integral inipundibangun berdasarkan pengalaman kita pada integral satuvariabel.Hubungan antara integral dan turunan untuk fungsi multivariabeljuga sangat erat seperti halnya fungsi satu variabel.Di sini kita dapat mereduksi integral menjadi beberapa integral fungsi satu variabel sehingga Teorema Dasar Kalkulus dapatkembali berperan dalam konteks yang lebih umum ini.

2



1. Integral Ganda atas PersegiPanjangIngat kembali pada fungsi satu variabel f (x), kita membagiinterval [a,b] menjadi interval-interval dengan panjang ∆xk, k=1,2,…,n, berdasarkan partisi P : x1 < x2 < < xk , memilihtitik sampel dari interval ke k, kemudian

Diberikan fungsi f (x,y) kontinu pada himpunan berbentukpersegi panjang:

R = {(x,y) : a ≤ x ≤ b dan c ≤ y ≤ d}.Kita akan membangun integral dengan cara serupa seperti padaintegral fungsi satu variabel.

( ) ( )01

limnb

k kPak

f x dx f x x→=

= ∆∑∫kx



Daerah berbentuk persegi panjang dibagi oleh garis-garis yang sejajar dengan kedua sumbu koordinat, menjadi beberapa persegi panjang kecil dengan luas . Tiap persegi panjang tersebut diberi i

R

A x y∆ = ∆ ∆

( )

( )

1 2

1

ndeks, , , , .Pilih sebarang titik , dari tiap . Bentuklah jumlah Riemann

,

n

k k k

n

n k k kk

A A Ax y A

S f x y A=

∆ ∆ ∆

∆

= ∆∑

…

3



Jika f kontinu, partisi diperhalus dengan membuat ∆x dan ∆y mendekati nol, maka jumlah Riemann akan konvergen menuju limit yang disebut integral ganda (integral lipat) dari f pada daerah R.

( )01

Misalkan dua variabel kontinu terdefinisi pada persegi panjang . Jika

lim ,

ada, maka terintegral atas , dan nilai limit ini disebut integral ganda dar

n

k k kPk

f R

f x y A

f R

→=

∆∑

Definisi

( ) ( )01

i atas .

lim , , .n

k k kPk R

f R

f x y A f x y dA→=

∆ =∑ ∫∫

( ),k kx y



Limit pada definisi di atas berbeda dengan limit yang telah kita pelajari, walaupun ide dasarnya tetap sama.1. Untuk tiap partisi , adalah panjang diagonal terpanjang dari persegipanjang ba

P P

Catatan :

( )

gian yang dibentuk oleh . Ini adalah ukuran halus-kasarnyapembagian oleh partisi .2. Nilai limit tidak bergantung pada pilihan titik sampel , .3. Untuk tiap 0, terdapat 0 sehingga: untuk se

k k

PR P

x yε δ> >

( ) ( )1

tiap partisi dengan

, berlaku , , .n

k k kk R

P f x y A f x y dAδ ε=

< ∆ − <∑ ∫∫

4



Hampiran Volume

Bila f nonnegatif, maka jumlah Riemann di atas memberikan jumlahdari volume kotak atau balok dengan alas ∆Ak dan tinggi ( ),k kf x y



( ) ( )

( )

Jika , 0, , menyatakan volume benda pada dibawah

permukaan , dan di atas persegi panjang .R

f x y f x y dA

z f x y R

≥

=

∫∫

( )Volume lim ,

dengan 0 ketika .

n nR

k

S f x y dA

A n

→∞= =

∆ → →∞∈

∫∫

5



EksistensiTidak semua fungsi dua variabel terintegral atas sebuah persegipanjang R. Khususnya fungsi-fungsi yang tak terbatas tidakterintegral.

( )

Jika , terbatas dan kontinu pada persegi panjang , kecuali padaberhingga buah kurva mulus, maka terintegral pada .Khususnya, jika kontinu pada , maka terintegral pada .

f x y Rf R

f R f R

Teorema Eksistensi



( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1. Integral Ganda Bersifat Linear.

a. , ,

b. , , , ,

2. Sifat Dominasi. Jika , , untuk tiap , , maka

R R

R R R

kf x y dA k f x y dA

f x y g x y dA f x y dA g x y dA

f x y g x y x y R

=

+ = +⎡ ⎤⎣ ⎦

≤ ∈

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫ ∫∫

Teorema Sifat - sifat Integral Ganda

( ) ( )

( ) ( ) ( )1 2 1 2

, ,

3. Sifat Additif pada persegi panjang

, , ,

R R

R R R R

f x y dA g x y dA

f x y dA f x y dA f x y dA∪

≤

= +

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫ ∫∫

6



2. Integral BerulangMasalah integral erat kaitannya dengan volume. Maka kita cobamendekati masalah menghitung integral dengan masalahmenghitung volume.Misalkan kita ingin menentukan volume benda pejal dibawahbidang z=f(x,y) di atas persegi panjang R: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, dengan mengirisnya seperti pada bab 6.Misalnya benda tersebut

diiris tegak lurus terhadap sb-x. selebar ∆x. Misalkan luas penam-pang irisan benda pejal dengan bidang x adalah A(x).



[ ]

( )

0 1

1

Misalkan interval , dibagi oleh partisi : . Bidang-bidang membagi benda menjadi buah keping yang tebalnya

dan volumenya . Hampirannya ,

sebarang titi

n

i

i i i i i i i

i

a b P a x x x bx x n

x x x V V A x x

x+

= ≤ ≤ ≤ =

=

∆ = − ∆ ∆ ≈ ∆

[ ] ( )( )

( ) ( )

1k pada selang , . adalah luas daerah dibawah

grafik , pada bidang . Kita dapat memilih , sehingga

,

Jadi, volume benda

i i i

i i i

y d

i i i iy c

x x A x

z f x y x x x x

V A x x f x y dy

−

=

=

= = =

∆ ≈ ∆ = ∫

( )

( ) ( )( )

1 1

adalah

Apabila norm dari partisi menuju nol, maka

,

Kembali kita baru saja me

n n

i i ii i

x b x b y d

ix a x a y c

V V A x x

V A x dx f x y dy dx

= =

= = =

= = =

= ∆ ≈ ∆

= =

∑ ∑

∫ ∫ ∫lakukan proses/strategi yang sering digunakan

dalam integral: . slice - approximate - integrate

7



( ) ( )( )

Tentu saja volume juga dapat dihitung dengan membagi selang [ , ]. Dengan cara urutan pengintegralan dibalik menjadi

,y d y d x b

y c y c x a

c d

V A y dy f x y dx dy= = =

= = == =∫ ∫ ∫

( )

( ) ( )( ) ( )( )

Jika , kontinu pada persegi panjang : , , maka

, , ,x b y d y d x b

R x a y c y c x a

f x y R a x b c y d

f x y dA f x y dy dx f x y dx dy= = = =

= = = =

≤ ≤ ≤ ≤

= =∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Teorema Teorema Integral Berulang Fubini

( ) ( ) 2Hitunglah , jika , 1 6 atas persegi panjang

: 0 2, 1 1.R

f x y dA f x y x y

R x y

= −

≤ ≤ − ≤ ≤∫∫

Contoh



ContohTentukan volume benda pejal dibawah bidang z = 4 – x – y, di atas persegipanjang R: 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1. Lakukan dengan integral terhadap y kemudian terhadap x. Kemudian dengan urutan dibalik.

( )( )

( ) ( )

2

0

1

0

Maka volume adalah

di mana adalah luas penampang di . Untuk tiap , luas penampang adalah

4 ,

yaitu luas daerah dibawah k

x

x

y

y

A x dx

A x xx

A x x y dy

=

=

=

== − −

∫

∫

Penyelesaian

( )urva 4

pada bidang irisan . Jadi, pada , dianggap konstan.

z x yx A x

x

= − −

8



( ) ( )( )( )

2 2 1

0 0 0

122 2

0 00

Dengan demikian,

Volume 4

4 7 2 5

2

x x y

x x y

yx x

x xy

A x dx x y dy dx

yy xy dx x dx

= = =

= = =

== =

= ==

= = − −

⎡ ⎤= − − = − =⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫



Di sini kita akan membicarakan integral ganda atas daerah atau himpunan yang lebih umum. Lihat gambar berikut. Untuk membangun definisinya, kembali himpunan tersebut dipartisi menjadi persegi-perseg

R

( )

i panjang bagian dengan luas · (setelah diberi indeks). Pilih persegi panjang yang termuat dalam . Pilih sebarang titik sampel , dari tiap persegi panjang.Maka diperoleh jumlah Rieman

i i i

i i

A x yR

x y

∆ = ∆ ∆

( )

( ) ( )

1

01

n

,

Jadi

, lim ,

n

n i i ii

n

i i iPRi

S f x y A

f x y dA f x y A

=

→=

= ∆

= ∆

∑

∑∫∫

3. Integral Ganda (umum)

9



Interpretasi sebagai VolumeJika f(x,y) ≥ 0, maka integral gandadari f memberikan volume daribenda pejal dibawah permukaan diatas daerah R.

Sifat-sifat (a) linear, (b) dominansi, dan (c) aditif jugaberlaku.



( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Diberikan , , , kontinu dan bilangan real.1. Integral Ganda Bersifat Linear.

a. , ,

b. , , , ,

2. Sifat Domi

R R

R R R

f x y g x y k

kf x y dA k f x y dA

f x y g x y dA f x y dA g x y dA

=

+ = +⎡ ⎤⎣ ⎦

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫ ∫∫

Teorema Sifat - sifat Integral Ganda

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2

nasi. Jika , , untuk tiap , , maka

, ,

3. Sifat Additif: jika dan tidak bertumpang tindih (irisannya maksimalberupa kurva, lihat gambar), maka

R R

f x y g x y x y R

f x y dA g x y dA

R R

≤ ∈

≤∫∫ ∫∫

( ) ( ) ( )1 2 1 2

, , ,R R R R

f x y dA f x y dA f x y dA∪

= +∫∫ ∫∫ ∫∫

10



Menghitung Integral Ganda

( )( ) ( )1 2

Integral Ganda yang akan dibicarakan adalah integral ganda dari fungsi , atas daerah yang dibatasi oleh dua kurva, yaitu di bawah oleh

dan di atas oleh .

f x y

y g x y g x= =

( ) ( )( )

( )2

1

Untuk tiap nilai , luas penampang yang diperoleh jika benda diiris tegak lurus sb- untuk tiap nilai diketahui, misal sebagai

fungsi , .y g x

y g x

xx

x

A x f x y dy=

== ∫

( )

( )

Pada Bab 6 telah kita pelajari bahwa volume benda pejal yang terletakantara dan , dengan luas penampang adalah integral

b

a

x a x b A x

V A x dx

= =

= ∫



( ) ( )( )

( )2

1

Maka, volume adalah integral (disebut integral berulang)

, .x b x b y g x

x a x a y g xV A x dx f x y dy dx

= = =

= = =

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫

11



( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( )

2

1

1 2Bila daerah dibatasi oleh kurva-kurva dan , maka dengan cara serupa, volume dihitung dengan integral berulang

,

dimana integral ,

y d x h y

y c h h y

R x h y x h y

V f x y dx dy

A y f x y d

= =

= =

= =

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

=

∫ ∫

( )

( )2

1. adalah

luas dari penampang bila benda diiris sepanjang bidang tegak lurus sb- .

x h y

h h yx

y

=

=∫

Kedua integral di atas adalah konsekuensi dari Teorema Fubini untuk Integral Berulang sebagai berikut.



12



( )( ) ( ) ( ){ }

[ ]

( ) ( )( )

( )2

1

1 2 1 2

Diberikan , kontinu pada daerah . 1. Jika , : , , dan kontinu

pada , , maka

, ,y g x

R x a y g x

f x y R

R x y a x b g x y g x g g

a b

f x y dA f x y dy dx=

= =

= ≤ ≤ ≤ ≤

=∫∫ ∫

Teorema Teorema Integral Berulang Fubini (versi 2)

( ) ( ) ( ){ }[ ]

( ) ( )( )

( )2

1

1 2 1 22. Jika , : , , dan kontinu

pada , , maka

, ,

x b

y d x h y

R y c h h y

R x y c y d h y x h y h h

c d

f x y dA f x y dx dy

=

= =

= =

= ≤ ≤ ≤ ≤

=

∫

∫∫ ∫ ∫



Menentukan Batas PengintegralanDua macam daerah pengintegralan yang dibicarakan di sini adalah :

I: a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x). II: c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y).

Apabila daerah pengintegralan sudah diberikan secara eksplisit maka integral dapat dilakukan dengan batas sesuai dengan definisinya (lihat Teorema Fubini).Catatan: suatu daerah pengintegralan bisa saja tipe I maupun tipeII.

13



Penentuan batas integral menjadi masalah bila yang diberikan adalah grafik daerah pengintegralannya.Bila daerah dipandang sebagai tipe I, maka penentuan batas,dibantu dengan membuat garis vertikal.

Batas y: garis vertikal memasuki daerah R melalui grafiky=g1(x) dan keluar melalui grafik y = g2(x). Batas x: nilai terkecil dan nilai terbesar x yang membatasi daerah R masing-masing adalah a dan b.

( )( )

( )2

1,

x b y g x

x a y g xf x y dy dx

= =

= =∫ ∫

( )( )

( )2

1

,y g x

y g xf x y dy dx

=

=∫

( )( )

( )2

1,

x b y g x

x a y g xf x y dy dx

= =

= =∫ ∫



Bila daerah dipandang sebagai tipe II, maka penentuan batas ,dibantu dengan membuat garis horizontal:

Batas x : garis lingkaran memasuki daerah melalui grafik x = h1(y) dan keluar melalui grafik x = h2(y). Batas y: nilai terkecil dan nilai terbesar y yang membatasi daerah masing-masing adalah c dan d.

( )( )

( )2

1,

y d x h y

y c x h yf x y dx dy

= =

= =∫ ∫

( )21 1

0 1,

y x y

y x yf x y dx dy

= = −

= = −∫ ∫

14



( )

Hitunglah volume prisma yang dasarnya adalah segitiga pada bidang- dibatasi oleh sumbu dan garis-garis dan 1. Sedangkan atapnya adalah bidang , 3 .

xy xy x x

z f x y x y

−= =

= = − −

Contoh Menentukan Volume Benda



( )

( ) ( )( )( )

1 1 1 12120 0

1 2 21 12 20

1 12 2 35 3 5 12 2 2 2 00

Apabila urutan pengintegralan dibalik maka integral volume adalah

3 3

3 3

4 2 1

y x y x

x yy x y y

y

y

y y

yy

V x y dx dy x x xy dy

y y y y dy

y y dy y y y

= = = =

== = =

=

=

= =

==

⎡ ⎤= − − = − −⎣ ⎦

= − − − − −

⎡ ⎤= − + = − + =⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫

∫

( )

( )

1 1 212 00 0 0

1 12 2 33 3 12 2 2 00

Untuk tiap antara 0 dan 1, jangkauan nilai adalahdari 0 sampai . Oleh karena itu,

3 3

3 1

x y x x y x

yx y x

x

x

x yy y x

V x y dy dx y xy y dx

x x dx x x

= = = =

== = =

=

=

= =

⎡ ⎤= − − = − −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − = − =⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫

Penyelesaian

15



( )2 2 2 2

Hitunglah volume benda pejal pada oktan I 0, 0, 0 , yang

dibatasi oleh paraboloida sirkular , silinder 4, dan bidang-bidang koordinat.

x y z

z x y x y

≥ ≥ ≥

= + + =

Contoh



( )( )

2

2 2

0Gambarlah daerah pengintegralan dari integral 4 2 .

Kemudian tulislah integral yang sama dengan urutan dibalik .

x

xx dy dx

dx dy

+∫ ∫Contoh

16



4. Integral Ganda: PolarBanyak integral yang lebih mudah dihitung bila denganmenggunakan koordinat polar. Pada bagian akan dipelajari mengubah integral menjadi koordinatpolar dalam koordinat polar dan menghitungnya.Misalkan f(r, ) terdefinisi pada himpunan R yang dibatasi olehsinar = α dan = β, kurva-kurva kontinu r=g1() dan r=g2()dengan 0 ≤ g1() ≤ g2() ≤ a.Jadi R termuat dalam persegi panjang polar

Q: α ≤ ≤ β, 0 ≤ r ≤ a.berbentuk kipas. Himpunan Q dapat dibagi menjadi beberapapersegi panjang polar bagian (lihat Gambar)



( )1 2

, .'

Diperoleh buah persegi panjang polar dengan luas , , , .Pilih titik pusat masing-masing persegi panjang polar: , . Maka jumlahRiemann nya adalah

n

k k

arm m

n A A Ar

β αθ

θ

−∆ = ∆ =

∆ ∆ ∆…

( )1

, .

Jika kontinu pada maka jumlah Riemann tersebut akan konvergen menuju sebuah limit, ketika 0 dan 0. Limit ini disebut integral ganda dari atas .

n

n k k kk

S f r A

f Rr

f R

θ

θ

=

= ∆

∆ → ∆ →

∑

( ) lim , .n n RS f r dAθ→∞ = ∫∫

17



2

Bagaimana menentukan ?Radius luar dan radius dalam yang membatasi persegi panjang polar adalah 2 dan 2.Sementara itu, sudut yang mengapit adalah .Maka

1luas sektor luar2 2

k

k k

k

A

r r r r

rr

θ

θ

∆

+ ∆ − ∆∆

∆⎛ ⎞= + ∆⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

2

2 2

1

1luas sekor dalam2 2

Maka diperoleh . Akibatnya2 2 2

,

k

k k k k

n

n k k kk

rr

r rA r r r r

S f r r r

θ

θ θ

θ θ=

∆⎛ ⎞= − ∆⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤∆ ∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ = + − − = ∆ ∆⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

= ∆ ∆∑



( ) ( )( )

( )2

1

=

Teorema Fubini menyimpulkan bahwa limit dari jumlah Riemann ini adalahintegral berulang terhadap dan :

lim , ,r g

n n R r g

r

S f r dA f r rdr dθ β θ

θ α θ

θ

θ θ θ=

→∞ = == =∫∫ ∫ ∫

Luas daerah tertutup dan terbatas dalam koordinat bidang polar adalah

R R

R

A dA rdrdθ= =∫∫ ∫∫

Teorema Luas dalam Koordinat Polar

2 2

Tentukan volume benda pejal di atas persegi panjang polar

:1 3,0 4 dan di bawah permukaan . x yR r z eθ π +≤ ≤ ≤ ≤ =

Contoh

18



Menentukan batas-batas Integral

Dua macam daerah pengintegralan yang dibicarakan di siniadalah :

I: α ≤ ≤ β, g1() ≤ r ≤ g2(). II: a ≤ r ≤ b, h1(r) ≤ ≤ h2(r).

Apabila daerah pengintegralan sudah diberikan secaraeksplisit maka integral dapat dilakukan dengan batas sesuai dengan definisinya:

( )( )

( )

( )( )

( )

2

1

2

1

=I: ,

II: ,

r g

r g

r b h

r a h

f r rdr d

f r rd dr

θ β θ

θ α θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

=

= =

= =

= =

∫ ∫

∫ ∫



Catatan: suatu daerah pengintegralan bisa saja tipe I maupun tipe II. (contoh: R adalah himpunan yang dibatasi oleh lingkaran r=2, garis y=2, sumbu-y.)Penentuan batas integral menjadi masalah bila yang diberikanadalah grafik daerah pengintegralannya.Bila daerah dipandang sebagai tipe I, maka penentuan batas, dibantu dengan membuat sinar L dari titik asal.

Batas r: sinar L memasuki daerah melalui grafik r=g1() dan keluarmelalui grafik r = g2(). Batas : nilai terkecil dan nilai terbesar yang membatasi daerah masing-masing adalah α dan β.

y x

19



Bila daerah dipandang sebagai tipe II, maka penentuan batas , dibantu dengan membuat lingkaran.

Batas : lingkaran memasuki daerah melalui grafik =h1(r) dankeluar melalui grafik = h2(r). Batas r: nilai terkecil dan nilai terbesar ryang membatasi daerah masing-masing adalah a dan b.

( )Tentukan batas pengintegralan fungsi , atas daerah pada gambar berikut

f rR

θContoh

( )2 1 cos

2 2,

r

rf r r dr d

π θ

πθ θ

= +

− =∫ ∫



2Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh lemniscate 4cos 2 .r θ=

Contoh

]

4 cos 24 4 cos 2 4 4

0 0 0 00

4

0

Luas total adalah 4 kali luas pada kuadran I. Jadi,

Luas 4 4 4 2cos 22

4sin 2 4

rrdr d d dθ

π θ π π

π

θ θ θ θ

θ

⎡ ⎤= = =⎢ ⎥⎣ ⎦

= =

∫ ∫ ∫ ∫

Penyelesaian

20



( )Hitunglah integral dengan adalah daerah pada kuadran I di luar

lingkaran 2 dan di dalam kardioda 2 1 cos .S

ydA S

r r θ= = +∫∫

Latihan



2 2

2 2

Carilah volume benda pejal di bawah permukaan , di atas bidang- dan di dalam silinder 2 .

z x yxy x y y

= +

+ =

Contoh

( )2sin

2 2

0 0

2sin2

0 0

2

2

V x y rdrd

r rdrd

π θ

π θ

θ

θ

/2

/2

= +

=

∫ ∫

∫ ∫

21



2 2 2

2 2

Carilah volume benda pejal yang dibatasi di atas oleh permukaan 2 2 18, di bawah oleh bidang 0 dan dikelilingi oleh silinder 4.

x y z zx y

+ + = =

+ =

Contoh

22

0 0

2 18 2V r rdrdπ

θ= −∫ ∫



Perubahan Cartesian->PolarProsedur perubahan integral Cartesius f(x,y)dxdy menjadiintegral polar memiliki dua langkah:

Substitusi x = r cos dan y=r sin , ganti dx dy menjadi r dr d.Sesuaikan batas pengintegralan dengan menuliskan batas daerahdalam koordinat polar.

R f(x,y)dxdy menjadi G f(rcos, rsin) r dr dG adalah daerah pengintegralan dalam koordinat polar.

22



( )21 1 2 2

0 0Tuliskan integral dalam

koordinat polar, dan hitunglah.

xx y dydx

−+∫ ∫

Contoh

2 2

Hitunglah integral dalam koordinat

polar.

x y

R

e dydx+∫∫Contoh



Soal-soal PR Bab 16

16.1: 1, 4, 15.16.2: 3, 4, 12-4, 19-21, 32. 16.3: 3, 4, 10, 16, 17, 21, 24, 28, 34, 37-39.16.4: 1, 6, 9, 11, 12, 16, 21, 26.

integral ganda

Documents