0 MATERI POKOK FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN DAN LOGARITMA MODUL Tunjung Pambudi, S.Pd. SMA NEGERI 2 WONOGIRI Jl. Nakula V Wonokarto, Wonogiri 1 Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma A.Fungsi Eksponen dan Logaritma 1.Fungsi Eksponen a.Pengertian Fungsi Eksponen Fungsi xa x f = ) (dengan0 > adan1 = adisebut fungsi eksponen. b.Grafik Fungsi Eksponen 1)Grafik fungsi xa x f = ) ( ;1 > a Contoh: Gambarlah grafik fungsi eksponen xx f 2 ) ( = . Jawab: Denganmenggunakannilai-nilaipadatableberikutkitadapat menggambar grafik fungsi xx f 2 ) ( = . x3210123 y 81 41 211248 Grafik xx f 2 ) ( =adalah sebagai berikut: (3, 8)(2, 4)(1, 2)(0, 1)(1, )(2, )(3, / ) 8YXy = 2x 2 2)Grafik fungsi xa x f = ) ( ,1 0 < < a Contoh: Gambarlah grafik fungsi eksponen( )xx f21) ( = . Jawab: Untukmenggambargrafikfungsi( )xx f21) ( = ,dapatkitagunakan tabel berikut: x3210123 y8421 21 41 81 Grafik( )xx f21) ( =atau xx f= 2 ) (adalah sebagai berikut: (3, 8) (2, 4) (1, 2)(0, 1) (1, )(2, )(1, / ) 8XYy = 2 x Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa: i.Grafik xa x f = ) ( dan xa x f= ) ( salingsimetristerhadap sumbu Y. ii.Grafik xa x f = ) (dan xa x f= ) (berpotongan di titik (0, 1). iii.Fungsi xa x f = ) ( ,untuk1 > a merupakanfungsinaiktetapi untuk1 0 < < amerupakan fungsi turun. iv.Grafik xa x f = ) (dan xa x f= ) (selalu berada di atas sumbu X dan sumbu X merupakan asimtot datarnya. 3 c.Pertumbuhan dan Peluruhan Pertumbuhansecaraeksponensialadalahperkembanganyang bersesuaiandengangrafikfungsi xa k x f = ) ( dengan0 > k dan 1 > a . Jikap a + =1 dengan0 > p sehingga( )xp k x f + = 1 ) ( makap disebut laju pertumbuhan. Peluruhan/penyusutan secara eksponensial adalah perkembangan yang bersesuaiandengangrafikfungsi xa k x f = ) ( dengan0 > k dan 1 0 < < a . Jikap a =1 dengan0 > p sehingga( )xp k x f = 1 ) ( makap disebut laju penyusutan. Contoh: 1.ModalsebesarRp1.000.000,00diinvestasikandenganbunga majemuk10%pertahun.Tentukanbesarnyamodalsetelah diinvestasikan selama 2 tahun. Jawab: Misalkan, 0M = modal awal nM = modal pada akhir tahun ke 2 p = suku bunga pertahun Maka,( )nnp M M + = 10 Setelah modal diinvestasikan selama 2 tahun, diperoleh 2M =( )2% 10 1 000 . 000 . 1 +=( )21 , 1 000 . 000 . 1=( ) 21 , 1 000 . 000 . 1=000 . 210 . 1Jadisetelahdiinvestasikanselama2tahunmodalmenjadi Rp1.210.000,00. 2.Kadar radio aktif suatu zat meluruh secara eksponensial dengan laju peluruhan 20% setiap jam. Berapapersenkadarradioaktifzattersebutsetelahmeluruh selama 3 jam? Jawab: Misalkan, 0M = kadar radio aktif mula-mula nM = kadar radio aktif setelah 3 jam p = laju peluruhan Maka,( )nnp M M = 10 Setelah 3 jam diperoleh 3M =( )30% 20 1 M=( )308 , 0 M= 0,5120MJadisetelah3jamdarikeadaanmula-mulakadarradioaktif tinggal51,2%. 4 2.Fungsi Logaritma a.Pengertian Fungsi Logaritma Fungsix x falog ) ( = dengan0 > a ,1 = a dan0 > x disebutfungsi logaritma. b.Grafik Fungsi Logaritma 1.Grafik fungsix x falog ) ( = ;1 > a Contoh: Gambarlah grafik fungsix x f log ) (2= . Jawab: Untukmenggambargrafikfungsix x f log ) (2= dapatkitagunakan tabel berikut: x 81 41 211248 y3210123 Grafikx x f log ) (2=adalah sebagai berikut: (8, 3)(4, 2)(2, 1)(1, 0)y = logx2XY(, 1)(, 2)(/ , 3) 8 2.Grafik fungsix x falog ) ( = ,1 0 < < a Contoh: Gambarlah grafik fungsix x f log ) (21= . 5 Jawab: Untuk menggambar grafik fungsix x f log ) (21=dapat digunakan tabel berikut: x 81 41 211248 y3210123 Grafik fungsix x f log ) (21=adalah sebagai berikut: (/ , 3) 8(, 2)(, 1)(1, 0)(2, 1)(4, 2)(8, 3)y =logxXY 3.Hubungan grafik fungsi xa ) x ( f =denganx log ) x ( ga= Perhatikan grafik fungsi xx f 2 ) ( =danx x g log ) (2=di bawah ini. y = xy = xlog2y= 2 xXY(8, 3)(4, 2)(2, 1)(1, 0)(3, 8)(2, 4)(1, 2)(0, 1) 6 Grafikfungsi xx f 2 ) ( = danx x g log ) (2= adalahsalingsimetristerhadap garisx y = ,sehinggafungsiinversdarifungsi xx f 2 ) ( = adalah x x g log ) (2=dan sebaliknya. Contoh: Tentukan rumus fungsi invers dari 13 ) (=xx f . Jawab: Misalkany x f = ) (sehingga) (1y f x= . 13 =xy 13 log log=xy3 log ) 1 ( log = x y 3 loglog1yx = y x log 13= y x log 13+ =y y f log 1 ) (3 1+ = x x f log 1 ) (3 1+ = Jadi rumus fungsi invers dari f adalahx x f log 1 ) (3 1+ =. Latihan 1 I.Soal Uraian 1.Gambarlah grafik fungsi eksponen berikut: a. 12 ) (=xx fb. 12 ) (+=xx f 2.PertumbuhanpenduduksuatuNegaraberjalansecaraeksponensial dengan laju pertumbuhan 2% setahun. Misalnya pada awal tahun 2000 jumlahpenduduknegaratersebut200jutajiwa.Berapabanyak penduduk negara tersebut pada akhir tahun 2002? 3.Nilaisuatubarangmenyusutsecaraeksponensialsebesar10% setahun.JikapadasaatinibarangtersebutsenilaiRp2.000.000,00. Berapa rupiah nilai barang tersebut tiga tahun yang akan datang? II.Soal pilihan 1.Grafik fungsi xx f 10 ) ( =dan xx g=10 ) (berpotongan di titik . A.(101, 10 ) B.( 1, 10 ) C.( 0, 10 ) D.( 0, 1 ) E.( 1, 0 ) 7 2.Grafikfungsi xx f 2 ) ( = danx x g log ) (2= salingsimetristerhadap garis . A.0 = xB.0 = yC.x y =D.x y =E.x y 2 = 3.Populasisuatubakteriberkembangsecaraeksponensialdenganlaju pertumbuhanp%setiapjam.Setelah3jampopulasinyamenjadi8 kalinya. Maka.... = pA.0,01 B.0,1 C.10 D.50 E.100 4.Diketahui xxx flog 2 1log) (33 = . Nilai( ) .... ) (3= +xf x fA.3 B.1 C.1 D.2 E.3 5.Diketahui xx f 3 ) ( = . Fungsi invers dari) (x fadalah . A. 3 1) ( x x f = B. 3 1) ( x x f = C.( )xx f311) ( = D.x x f log ) (3 1= E. 3 1log ) ( x x f = 6.Fungsifdangdirumuskandengan( )xx f21) ( = dan xx g 2 ) ( = .Jika ) ( ) ( x g x f > , maka nilai x yang memenuhi adalah . A.0 < xB.0 > xC. 21 < xD.1 < xE. 212 < < x 8 7.Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut ini! Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah . 84211 2 1 2 3XYy a = x A.x y log2=B.x y log21=C.x y log 2 =D.x y log 2 =E.x y log21 = 8.Perhatikan gambar grafik fungsi logaritma berikut ini! Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah . (8, 3)(4, 2)(2, 1)(1, 0)( , 1) ( , 1) y x =log aXY A. xy 2 =B. xy= 2C.( )xy21=D.x y log2=E.x y log21= 9 B.Persamaan Eksponen dan Logaritma 1.Persamaan Eksponen a.Sifat-Sifat Pada Bilangan Berpangkat Sifat 1: n m n ma a a+= Sifat 2: n m n ma a a= :Sifat 3:( )mnnma a =Sifat 4:( )n n nb a ab =Sifat 5: nnnbaba=|.|

\|, untuk0 = b . Sifat 6:10= a , untuk0 = aSifat 7: nnaa1=, untuk0 = aSifat 8: n na a =1, untuk n bilangan asli dan2 > nSifat 9: n mnma a = , untuk m, n bilangan bulat dan2 > n Contoh: Sederhanakan dan nyatakan hasilnya dengan eksponen positif. 2) 3228|.|

\|x 3) 5 22 4 593c abc b a Jawab: 1) 3228|.|

\|x= 32232||.|

\|x = |||.|

\| 3223232x = 3422x = 344x 2) 5 22 4 593c abc b a= 35 2 2 4 1 5 c b a = 33 2 4 c b a = 32 43cb a 10 b.Pengertian Persamaan Eksponen Persamaaneksponenadalahpersamaanyangmemuatbilanganberpangkat dimana bilangan pokok dan atau eksponennya memuat variabel. Untuk menyelesaikan persamaan eksponen digunakan prinsip berikut: Untuk0 = adan1 = a , berlaku c ba a = c b = . c.Bentuk-Bentuk Persamaan Eksponen 1)Bentuk1) (=x fa ,0 = adan1 = a Jika1) (=x fa ,0 = adan1 = amaka0 ) ( = x f . Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan1 36 2= x. Jawab: 6 23 x=1 0 6 23 3 = x 0 6 2 = x6 2 = x3 = xHimpunan penyelesaian (Hp) adalah{ } 3 . 2)Bentuk p x fa a =) (,0 = adan1 = a Jika p x fa a =) (,0 = adan1 = amakap x f = ) ( . Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan2 4812 3= x. Jawab: 2 4812 3= x( )x 2 322= 2132 2 x 4 62 = 2132+ x 4 62 = 252 x 4 6= 25x 4 = 256 x 4= 217 x= 817 Hp = )`817 11 3)Bentuk ) ( ) ( x g x fa a = ,0 = adan1 = a Jika ) ( ) ( x g x fa a = ,0 = adan1 = amaka) ( ) ( x g x f = . Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan: a) xx234122|.|

\|=+ b) 3 5 38 4+ +=x x Jawab: a) xx234122|.|

\|=+( )xx22 32 22 += x x 4 32 22 +=x x 4 32 = +0 3 42= + + x x11 = xatau32 = xHp ={ , 3 } 1 b) 3 5 38 4+ +=x x 358 43+=+xx ( ) ( )353322 2++=xx 5 6 22 2+ +=x x 5 6 2 + = + x x1 = xHp ={ } 1 4)Bentuk ) ( ) ( x f x fb a = ,0 = a ,1 = a ,0 = b ,1 = bdanb a = Jika ) ( ) ( x f x fb a = ,0 = a ,1 = a ,0 = b ,1 = bdanb a =maka0 ) ( = x f . Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 2 3 2 33 2 =x x. Jawab: 2 3 2 33 2 =x x0 2 3 = x2 3 = x 32= xHp ={ }32 5)Bentukpersamaaneksponenyangdapatdikembalikankebentuk persamaan kuadrat Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari27 3 2 31 2= + x x. Jawab: 27 3 2 31 2= + x x 0 27 3 2 31 2= + x x ( ) 0 27 3 3 2 312= x x ( ) 0 27 3 6 32= x x 12 Misalkanpx= 3 , maka: 0 27 62= p p( )( ) 0 3 9 = + p p91 = patau32 = p Untuk9 = p , maka: 9 3 =x 2 = x Untuk3 = p , maka: 3 3 =x (tidak ada x yang memenuhi) Hp ={ } 2 6)Bentuk1 ) () (=x gx f Dalammenyelesaikanpersamaanbentuk1 ) () (=x gx f perludiperhatikan beberapa kemungkinan, yaitu: i.0 ) ( = x g , asalkan0 ) ( = x fii.1 ) ( = x fiii.1 ) ( = x f , asalkan) (x gbernilai genap Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari( ) 1 5 562= + + xx x . Jawab: Ada 3 kemungkinan, yaitu: i. 0 6 = + x6 = x Pengecekan: 6 = x , maka( ) ( ) 0 71 5 6 5 6 5 5 ) (2 2= = + = + = x x x f . 6 = xmemenuhi persamaan. ii. 1 5 52= + x x0 4 52= + x x( )( ) 0 4 1 = x x11 = xatau42 = x iii. 1 5 52 = + x x0 6 52= + x x( )( ) 0 3 2 = x x21 = xatau32 = xPengecekan: -2 = x , maka8 6 2 6 ) ( = + = + = x x g(genap) 2 = xmemenuhi persamaan. -3 = x , maka9 6 3 6 ) ( = + = + = x x g(ganjil) 3 = xtidak memenuhi persamaan. Hp ={ 6 , 1, 2,} 413 7)Bentuk( ) ( )( ) ( ) x h x gx f x f = Terdapat4kemungkinanpenyelesaianpersamaanbentuk ( ) ( )( ) ( ) x h x gx f x f = , yaitu: i.) ( ) ( x h x g = , dengan syarat: untuk0 ) ( s x gatau0 ) ( s x h , maka0 ) ( = x f . ii.1 ) ( = x fiii.1 ) ( = x f , dengan syarat: ) (x gdan) (x hmasing-masing bernilai genap atau ) (x gdan) (x hmasing-masing bernilai ganjil. iv.0 ) ( = x f , dengan syarat: ) (x gdan) (x hmasing-masing bernilai positif. Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian( ) ( )121 222 2 + = x xx x x x . Jawab: Ada beberapa kemungkinan, yaitu: i. 1 1 2 = + x x2 = x Pengecekan: 2 = x , maka:0 3 1 ) 2 ( 2 1 2 ) ( s = + = + = x x gdan ( ) ( ) 0 8 4 4 2 2 2 2 ) (2 2= = + = = = x x x f2 = xmemenuhi persamaan. ii. 1 22= x x0 1 22= x x 2 , 1x = ( ) ( ) ( )( )( ) 1 21 1 4 2 22 2 , 1x = 24 4 2 + 2 , 1x = 22 2 2 2 , 1x =2 12 11+ = xatau2 12 = x iii. 1 22 = x x0 1 22= + x x( )( ) 0 1 1 = x x12 1= = x x Pengecekan: 1 = x , maka:3 1 ) 1 ( 2 1 2 ) ( = + = + = x x g(ganjil) 0 1 1 1 ) ( = = = x x h(tidak ganjil) 1 = xtidak memenuhi persamaan, sebab( ) ( )0 31 1 = . 14 iv. 0 22= x x( ) 0 2 = x x01 = xatau22 = x Pengecekan: -0 = x , maka:0 1 1 ) 0 ( 2 1 2 ) ( > = + = + = x x g(positif) 0 1 1 0 1 ) ( s = = = x x h(tidak positif) 0 = xtidak memenuhi persamaan. -2 = x , maka:0 5 1 ) 2 ( 2 1 2 ) ( > = + = + = x x g(positif) 0 1 1 2 1 ) ( > = = = x x h(positif) 2 = xmemenuhi persamaan. Hp ={ 2 ,2 1 , 2,} 2 1+ 8)Bentuk ) ( ) () ( ) (x h x hx g x f = Untukmenyelesaikanpersamaan ) ( ) () ( ) (x h x hx g x f = ada2kemungkinan, yaitu: i.0 ) ( = x h , asalkan0 ) ( = x fdan0 ) ( = x gii.) ( ) ( x g x f = , dengan syarat: untuk) (x fatau) (x gbernilai nol maka) (x h harus bernilai positif. Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian( ) ( )33210 5 8 2 = +xxx x x . Jawab: Ada 2 kemungkinan, yaitu: i. 0 3 = x3 = x Pengecekan: 3 = x , maka:0 7 8 ) 3 ( 2 3 8 2 ) (2 2= = + = + = x x x fdan 0 5 10 ) 3 ( 5 10 5 ) ( = = = = x x g3 = xmemenuhi persamaan. ii. 10 5 8 22 = + x x x0 2 32= + x x( )( ) 0 2 1 = x x11 = xatau22 = x Pengecekan: -1 = x , maka:0 5 8 ) 1 ( 2 1 8 2 ) (2 2= = + = + = x x x f1 = xmemenuhi persamaan. -2 = x , maka:0 8 ) 2 ( 2 2 8 2 ) (2 2= + = + = x x x fdan 0 1 3 2 3 ) ( s = = = x x h2 = xtidak memenuhi persamaan. Hp ={1,} 315 9)Bentuk ) ( ) ( x g x fb a = ,0 > a ,0 > b ,1 = adan1 = b Jika ) ( ) ( x g x fb a = ,0 > a ,0 > b ,1 = adan1 = b , maka ) ( ) (log logx g x fb a = . Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian x x 2 1 33 5 =. Jawab: x x 2 1 33 5 = x x 2 1 33 log 5 log = 3 log 2 5 log ) 1 3 ( = x x5 log 3 x5 log=3 log 2 x5 log 3 x3 log 2 x=5 log( ) 3 log 2 5 log 3 x=5 log 3 log 2 5 log 35 log= x ) 477 , 0 ( 2 ) 699 , 0 ( 3699 , 0= x 143 , 1699 , 0= x612 , 0 ~ x Hp ={ 0,612} Latihan 2 I.Soal Uraian 1.Tanpa menggunakan kalkulator, hitunglah: a. 06b. 13 c. 25 d. 094|.|

\| e. 243|.|

\| f. 352|.|

\| g. 121|.|

\| h.( )24 i. 23 2.Hitunglah (tanpa menggunakan kalkulator): a. 2125b. 4581c. 318 d. 2394|.|

\| e. 281|.|

\| f.( ) 2336 , 0 g. 75 , 0161|.|

\| h.( )3127 i. 124 16 3.Sederhanakanlah. a. nn n182 31 2 b. q p pqp q pq225 55 5++ c. 1 2 31 2 2 225 45 8 10 + n nn n 4.Tentukan himpunan penyelesaian persamaan-persamaan di bawah ini. a.1 31 2=+ x b.1 54 32= x x c.0 2 12= x x d.16 23 2=+ x e. 271423 =+ x x f.( ) 5522 154= x g.( )2 31 31612+=xx h. 12 4+=x x i. 1 2 3 58 4=x x j. 1 14 3+ +=x x k. 42 422 24 5 + +=x x x x l. 6 2256273+=xxx 5.Tentukan himpunan penyelesaian persamaan-persamaan di bawah ini. a.20 4 2 = +x x b.3 2 21= + + x x c.4 3 3 32 3 4 6 22 2= ++ + x x x x d.( ) 1 92= xxe.( ) 1 542= + xxf.( ) 1 1 5 22 5 222= + + + x xx xg.( ) ( )x xx x2 22 2 + = + h.( ) ( )24 4x xx x = i.( ) ( )12 211 7 11 72 + = + x x xx x x xj.( ) ( )3 35 1 2 = x xx xk.( )1123= xxx x xl.( ) ( )222222 8 2 = +x xx xx x x II.Soal Pilihan 1.Nilai....9 34 2 3 942 4 3 3= A. 21 B. 32 C. 34 D.2 E.5 17 2.Nilaixyang memenuhi persamaan xx2 27 33271 =adalah . A. 45B. 25C.1 D.2 E. 25 3.Diketahui 1x dan 2x adalahakar-akardari( ) ( )5 , 0125 , 0 22+=x.Nilai ....2 1= + x xA.1 B.0 C.1 D.2 E.3 4.Jikamadalah penyelesaian0 1 3 8 32 2= ++ x x, maka.... 2 = mA.8 B.6 C.4 D.4 E.8 5.Nilaixyang memenuhi10 3 33 2 32 2= + + x x x x adalah . A.3 atau 1 B.2 atau 2 C.1 atau 3 D.0 atau 3 E.0 atau 1 6.Penyelesaian persamaan( )34 4913++|.|

\|=xx adalah . A.2 B.2 C. 31 D. 31E. 34 7.Jika 1xadalah penyelesaian persamaan 1 6329427=xx, maka.... 1 21= + xA. 41 B. 21 C. 32 D. 34 E.2 18 8.Diketahui 1x dan 2x adalahakar-akarpersamaan0 5 4 41= +x x. Nilai dari....2 1= + x xA.1 B.2 C.3 D.4 E.5 9.Jika 1x dan 2x adalahakar-akardari( ) ( ) 0 6 2 8 2 2121= + + +x x , maka nilai....2 1= x xA.28 B.20 C.16 D.8 E.0 10.Diketahui 81123 = y x dan16 2 =y x. Nilai.... = + y xA.21 B.20 C.18 D.16 E.14 19 2.Persamaan Logaritma a.Pengertian Logaritma Definisi: c ba= log b ac= , untuk0 > a ,1 = adan0 > b . Keterangan: 1)a disebut bilangan pokok (basis) logaritma 2)b disebut numerus (bilangan yang ditarik logaritmanya) 3)c adalah hasil penarikan logaritma 4)Untuklogaritmadenganbasis10,dalampenulisannyatidakperlu mencantumkan basisnya. Jadi,b log10 ditulis denganb log . b.Sifat-sifat Logaritma Sifat 1:0 1 log =a Sifat 2:1 log = aa Sifat 3:n an a= logSifat 4:c b c ba a alog log ) log( + = Sifat 5:c bcba a alog log log =Sifat 6:b n ba n alog log =Sifat 7: abbppalogloglog =Sifat 8:c c ba b alog log log = Sifat 9: abbalog1log =Sifat 10:b bamnn amlog log =Sifat 11:b aba=log Contoh: 1)Tentukan nilai dari2 log 9 log 8 log6 6 6 + . Jawab: 2 log 9 log 8 log6 6 6 + = 29 8log6 =36 log6 = 2 2)Diketahuip = 3 log5. Tentukan nilai75 log5. Jawab: 75 log5=3 25 log5=25 log5 +3 log5 =p + 2 20 c.Persamaan Logaritma Persamaanlogaritmadalamxialahpersamaanyangmemuatfungsixpada bilangan pokok dan atau pada numeriknya. Untuk menyelesaikan persamaan logaritma dapat digunakan prinsip berikut: i.c ba alog log = , makac b =ii.b bc alog log = , makac a =Dandidalammenyelesaikanpersamaanlogaritmaharusmemperhatikan beberapa hal, yaitu: -Bilangan pokok logaritma harus positif tetapi tidak sama dengan 1. -Numerus/numeric harus positif d.Bentuk-Bentuk Persamaan logaritma 1)Bentukp x fa alog ) ( log = Penyelesaianpersamaanp x fa alog ) ( log = adalahp x f = ) ( dengan 0 ) ( > x f . Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma di bawah ini. a)4 ) 1 3 log(2= + xb)6 log ) 1 log( ) 2 log( = + x x Jawab: a) 4 ) 1 3 log(2= + x 4 2 22 log ) 1 3 log( = + x16 log ) 1 3 log(2 2= + x16 1 3 = + x15 3 = x5 = x Hp ={ } 5 b) 6 log ) 1 log( ) 2 log( = + x x6 log ) 1 )( 2 log( = x x( ) 6 log 2 3 log2= + x x6 2 32= + x x0 4 32= x x0 ) 1 )( 4 ( = + x x41 = xatau12 = xPengecekan: -4 = x , maka0 2 2 4 2 > = = xdan 0 3 1 4 1 > = = x4 = xmemenuhi persamaan. -12 = x , maka 0 3 2 1 2 < = = x 0 2 1 1 1 < = = x12 = xtidak memenuhi persamaan. Hp ={ } 4 21 2)Bentuk) ( log ) ( log x g x fa a= Penyelesaianpersamaanbentuk) ( log ) ( log x g x fa a= adalah) ( ) ( x g x f =dengan0 ) ( > x fdan0 ) ( > x g . Contoh: Tentukanhimpunanpenyelesaianpersamaanlogaritma ( ) ( ) 1 3 log 5 2 2 log2 3 2 3+ + = + x x x x . Jawab: ( ) ( ) 1 3 log 5 2 2 log2 3 2 3+ + = + x x x x1 3 5 2 22 2+ + = + x x x x0 62= x x0 ) 2 )( 3 ( = + x x31 = xatau22 = x Pengecekan: -3 = x , maka:) (x f =5 2 22 + x x =5 ) 3 ( 2 ) 3 ( 22 +=5 6 18 + = 19 > 0 ) (x g =1 32+ + x x =1 ) 3 ( 3 32+ +=1 9 9 + + = 19 > 0 3 = xmemenuhi persamaan. -22 = x , maka:) (x f =5 2 22 + x x =5 ) 2 ( 2 ) 2 ( 22 + =5 4 8 = 1 < 0 ) (x g =1 32+ + x x =1 ) 2 ( 3 ) 2 (2+ + =1 6 4 + = 1 > 0 22 = xtidak memenuhi persamaan. Hp ={ } 3 3)Bentuk) ( log ) ( log x f x fb a= Jika) ( log ) ( log x f x fb a=maka1 ) ( = x f . Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari) 7 2 log( ) 7 2 log(2 5 2 4 + = + x x x x . Jawab: ) 7 2 log( ) 7 2 log(2 5 2 4 + = + x x x x1 7 22= + x x0 8 22= + x x0 ) 2 )( 4 ( = + x x41 = xatau22 = x Hp ={ 4 ,} 2 22 4)Bentuk) ( log ) ( log) ( ) (x g x fx h x h= Penyelesaianpersamaan) ( log ) ( log) ( ) (x g x fx h x h= adalah) ( ) ( x g x f =dengan0 ) ( > x f ,0 ) ( > x g ,0 ) ( > x hdan1 ) ( = x h . Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian) 2 2 log( ) 4 3 log(2 = + x x xx x. Jawab: ) 2 2 log( ) 4 3 log(2 = + x x xx x 2 2 4 32 = + x x x0 6 52= + x x0 ) 3 )( 2 ( = x x21 = xatau32 = x Pengecekan: -2 = x , maka) (x f =4 32+ x x =4 ) 2 ( 3 22+ = 2 > 0 ) (x g =2 2 x =2 ) 2 ( 2 = 2 > 0 ) (x h =x= 2 > 0 dan1 2 ) ( = = x h2 = xmemenuhi persamaan. -3 = x , maka) (x f =4 32+ x x =4 ) 3 ( 3 32+ = 4 > 0 ) (x g =2 2 x =2 ) 3 ( 2 = 4 > 0 ) (x h =x= 3 > 0 dan1 3 ) ( = = x h3 = xmemenuhi persamaan. Hp ={2,} 3 5)Bentukpersamaanlogaritmayangdapatdikembalikankebentuk persamaan kuadrat Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma di bawah ini. a.0 3 log log4 2 2 2= + x xb.0 10 11log log 2= + x xx x Jawab: a. 0 3 log log4 2 2 2= + x x( ) 0 3 log 4 log222= + x x Misalkanp x = log2, maka 0 3 42= + p p0 ) 3 )( 1 ( = p p11 = patau32 = p Untuk1 = p , maka 1 log2= x2 log log2 2= x2 = x 23 Untuk3 = p , maka 3 log2= x8 log log2 2= x8 = x Hp ={2 ,} 8 b. 0 10 11log log 2= + x xx x( ) 0 10 11log2log= + x xx x Misalkanp xx=log, maka 0 10 112= + p p0 ) 1 )( 10 ( = p p101 = patau12 = p Untuk10 = p , maka 10log=xx10 log loglog=xx10 log log log = x x( ) 1 log2= x( ) 1 log2 , 1 = x -1 log = x 110 = x10 = x-1 log = x 110= x 101= x Untuk1 = p , maka 1log=xx1 log loglog=xx0 log log = x x( ) 0 log2= x0 log = x1 log log = x1 = x Hp ={101, 1,} 10 Latihan 3 ISoal Uraian 1.Hitunglah.a. 523 3 3log 18 log 3 15 log + b. 3 2 3 24 log 16 log +c. ( )5 log 5 log5 log 5 log 5 log3 26 3 2+ 24 2.Jikap = 2 log3, hitunglah nilai6 log2. 3.Diketahuia = 2 log7 danb = 3 log2. Hitunglah98 log6. 4.Tentukanhimpunanpenyelesaianpersamaan-persamaan logaritma di bawah ini. a.1 ) log(2 2= x xb.2 log ) 1 log( log3 3 3= + + x xc.3 ) 2 log( ) 5 log( ) 1 log(2 2 2= + + x x xd.x x log 5 log ) 4 7 log( + = e.x x log 2 ) 3 4 log( = f.) 4 7 log( ) 6 4 2 log(2 2 2 2+ = + x x x xg.) 5 3 log( ) 5 3 log(5 4 = x xh.) 14 5 log( ) 14 5 log(2 3 = x xi.) 1 2 log( ) 1 2 log(2 4 2 3+ = + x x x x 5.Tentukanhimpunanpenyelesaianpersamaan-persamaan logaritma di bawah ini. a.) 2 log( ) 10 5 log(2+ = + x x xx x b.) 3 6 log( ) 2 log(2 = + x x xx x c.) 1 2 log( ) 3 1 log(2 1 1 = + +x x xx x d.( ) 1 log log 2323= + x xe.0 9 10log log= x xx xf.1000log 2=+ xx IISoal Pilihan 1.....15 log45 log 3 log 5 5 log=+ + A. 25 B. 23 C. 215 D. 53 E.15 2.Bilam = 6 log4, maka.... 8 log9=A. 3 42 m B. 2 34 m C. 2 43 m D. 3 24 m E. 3 23 m 25 3.Jikapadalahbilanganpositifyangmerupakanpenyelesaian persamaan81log log2 3 2= xx , maka.... 3 2 = pA.197 B.17 C.5 D.3 E.1 4.Himpunan penyelesaian0 ) 2 2 log( ) 2 2 log(2 3 2 2= x x x xadalah . A.{ 1 } B.{ 1 } C.{ 3 } D.{ 1, 1 } E.{ 1, 3 } 5.Himpunanpenyelesaiandaripersamaan 0 ) 1 3 log( ) 7 log( ) 3 log(6 6 6= + + x x xadalah . A.{ 5 } B.{ 4 } C.{ 4 } D.{ 5, 4 } E.{5, 4 } 6.Himpunanpenyelesaiandaripersamaan 0 ) 2 8 log( ) 2 3 log(2 1 2 2 1= + x x xx x adalah . A.{ 2 } B.{ 2 } C.{ 3 } D.{ 2, 2 } E.{ 2, 3 } 7.Diketahui 1x dan 2x adalahakar-akarpersamaan x x 16 log log 2 log ) 3 log( log = + + . Nilai....2 1= x xA.24 B.18 C.12 D.9 E.6 8.Penyelesaian dari3 16 log ) 2 log(2 4= + ++ xxadalah . A.2 atau 4 B.2 atau 6 C.2 atau 14 D.6 atau 14 E.4 atau 16 26 9.Jika 1x dan 2x adalahanggotahimpunanpenyelesaian persamaan xxxxxlog12 ) 1 log(log12 6+ = ++,maka ( ) ....22 1= + x xA.25 B.36 C.49 D.64 E.100 10.Penyelesaian persamaan9 log log 23 2= + x xadalah . A.10atau 1 B.10 10atau 0,001 C.10 atau 0,01 D.100 atau 0,1 E.1000 atau 0,01 C.Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma 1.Pertidaksamaan Eksponen Dalam menyelesaikan pertidaksamaan eksponen perlu diperhatikan hal-hal berikut ini: a.Untuk1 > a , i.Jika c ba a >makac b >ii.Jika c ba a makac b x b)( )113132 +>x x c)32 2 22 2> + x x d)0 42 49 73 3s + x x Jawab: a)8 2 >x 32 2 >x 3 > x Hp ={ } 3 > x x 27 b)( )113132 +>x x( )311312> +x x 1 12< + x x0 22< + x x0 ) 1 )( 2 ( < + x x Hp ={ } 1 2 < < x x c)32 2 22 2> + x x0 32 2 22 2> + x x ( ) 0 32 2 2 222> x x ( ) 0 32 2 4 22> x x Misalkanpx= 2 , maka: 0 32 42> p p0 ) 4 )( 8 ( > + p p Diperoleh4 s patau8 > p . -4 s pmaka: 4 2 sx (tidak ada nilai x yang memenuhi) -8 > pmaka8 2 >x 32 2 >x 3 > xHp ={ } 3 > x x d)0 42 49 73 3s + x x( ) 0 42 7 723 3s + x x Misalkanpx= 37maka: 0 422s + p p0 422> p p0 ) 6 )( 7 ( > + p p Diperoleh6 s patau7 > p . -6 s pmaka: 6 73 sx(tidakadanilaixyang memenuhi) -7 > pmaka: 7 73>x 1 3 > x2 > x2 s x Hp ={ } 2 s x x21 + + ++ + + 48 + + ++ + + 67 + + ++ + + 28 Latihan 4 ISoal Uraian 1.Tentukan batas-batas x yang memenuhi pertidaksamaan di bawah ini. a) 913 >x b)3 3311+ x d)1 23223 35 2.Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut. a)0 4 2 3 4 > x x b)2 3 5 31 2> ++ x x c)0 2 2 42 2> x x d)0 55652< + xx e)30 25 52 3 3 4> + x x IISoal Pilihan 1.Batas-batasxyangmemenuhipertidaksamaan 3 4 1 5227 3 sx x adalah . A.1 s xB.1 > xC.1 s xatau 213 > xD.4 1 s s xE. 213 1 s s x 2.Batas-batas xyang memenuhi pertidaksamaan( ) ( )1 3215 221+ >x x adalah . A.6 < xB.3 < xC.6 < xD.5 > xE.6 > x 3.Himpunan penyelesaian dari81 35 3 22> + x x adalah . A.{25 s x xatau} 5 > xB.{ 3 s x xatau}23> xC.{ } 525s s x xD.{ }233 s s x xE.{ }25 > x x 29 4.Himpunan penyelesaian dari0 124> x adalah . A.{ } 2 > x xB.{ } 2 > x xC.{ } 1 > x xD.{ }21> x xE.{ }41> x x 5.Himpunanbilanganrealyangmemenuhipertidaksamaan 8 2 21 2> + x x adalah . A.{ } 8 > x xB.{ } 6 > x xC.{ } 4 > x xD.{ } 3 > x xE.{ } 2 > x x 6.Penyelesaian dari0 6 2 7 4 5 > x x adalah . A.2 > xB.3 s xC.2 s xD.1 > xE.1 s x 7.Batas-batasxyangmemenuhipertidaksamaan0 5 2 22< + x x adalah . A.4 1 < < xB.4 0 < < xC.2 0 < < xD.2 < xE.0 < xatau2 > x 8.Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan( )x x x432 325 5 xB.1 0 < < xatau2 > xC.3 0 < < xatau4 > xD.0 < x atau3 1 < < xE.1 0 < < x atau3 > x 2.Pertidaksamaan Logaritma Dalammenyelesaikanpertidaksamaanlogaritmaharusdiperhatikanhal-hal berikut: a.Untuk1 > a , i.Jikac ba alog log >makac b >ii.Jikac ba alog log makac b x x x Jawab: a)3 ) 1 log(2< x 3 2 22 log ) 1 log( < x( ) 8 log 1 log2 2< x8 1< x9 < x.................... (1) Syarat tambahan: 0 1> x1 > x (2) Dari (1) dan (2) diperoleh: Hp ={ } 9 1 < < x x b)( ) 1 3 log2s + x x ( ) 10 log 3 log2s + x x10 ) 3 (2s + x x0 10 32s + x x0 ) 2 )( 5 ( s + x x Diperoleh: 2 5 s s x. (1) Syarat tambahan: 0 32> + x x0 ) 3 ( > + x x (Diperoleh:3 < xatau0 > x.. (2) Irisan pertidaksamaan (1) dan (2) menghasilkan: Hp ={ } 3 5 < s x x{ } 2 0 s < x xatau seringkali ditulis dengan Hp ={ 3 5 < s x xatau} 2 0 s < x 19 52 + + ++ + + 30 + + ++ + + 3052 31 c)( ) x x 221log > ( ) 8 log21+ x 8 22+ < x x x0 8 32< x x0 ) 2 )( 4 ( < + x x Diperoleh:4 2 < < x.. (1) Syarat tambahan: i.02> x x 0 ) 1 ( > x x Diperoleh:0 < xatau1 > x.. (2) ii.0 8 > + x 8 > x. (3) Irisan dari (1), (2) dan (3) adalah: Hp ={ 0 2 < < x xatau} 4 1 < < x Latihan 5 I.Soal Uraian Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut: 1.2 log4< x2.1 ) 4 log(21> + x3.0 ) 5 2 log(3> x4.) 2 2 log( ) 3 log(2x x x > 5.6 log log2< x x II.Soal Pilihan 1.Batas-batas x yang memenuhi0 ) 2 log( > xadalah . A.1 < xB.2 < xC.2 1 < < xD.1 > xE.1 2 < < x 24 + + ++ + + 01 + + ++ + + 8 24018 32 2.Penyelesaian dari 21log3s xadalah . A.3 0 s < xB.3 0 s s xC.3 > xD.3 > xE.3 s x 3.Nilai-nilai x yang memenuhi0 ) 3 log(221> xadalah . A.2 2 s s xB.3 3 < < xC.3 2 < s xatau2 3 s < xD.2 < xatau2 > xE.3 < xatau3 > x 4.Batas-batasxyangmemenuhipertidaksamaan1 ) 6 log(2 6< x xadalah . A.2 3 < < xatau4 3 < < xB.4 3 < < xC.2 < xatau3 > xD.3 < xatau4 > xE.3 2 < < x 5.Himpunan penyelesaian) 10 5 log( ) 4 4 log(2+ < + + x x xadalah . A.{ } 3 2 < < x xB.{ } 3 < x xC.{ } 2 3 < < x xD.{ 2 < x xatau} 3 > xE.{ } 2 > x x 6.Penyelesaian10 log ) 1 log( log2 2< + x xadalah . A.0 1 < < xB.1 1 < < xC.2 1 < < xD.2 1 < < xE.0 1 < < xatau2 1 < < x 7.Batas-batas nilaix yang memenuhi0 3 log log231231< + x xA.3 0 < < xB.331< < xC.27 0 < < xD.2731< < xE.27 1 < < x 33 8.Penyelesaian pertidaksamaan) 3 2 log( ) 1 3 log(2 2+ < x xadalah . A.4 < xB.4 > xC.431< < xD.4 121< < xE. 31211 < < x 9.Penyelesaianpertidaksamaan) 4 3 log( ) 12 7 log(21221 > + x x x adalah . A.8 2 < < xB.4 3 < < xC.2 < xatau8 > xD.3 < xatau4 > xE.3 2 < < xatau8 4 < < x 10.Nilaixyangmemenuhipertidaksamaan2 log 2 ) 5 2 log( log 2 + + s x xadalah . A.1025s < xB.10 2 s s xC.10 0 s < xD.0 2 < < xE.025< s x