fungsi eksponen dan logaritma

MATERI POKOK VII : PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN

Standar Kompetensi

5. Menggunakan aturan yang berkaitan dengan fungsi eskponen dan logaritma dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar

5.1 Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah

5.1.1 Persamaan eksponen

A. Sifat-sifat yang berlaku pada operasi bilangan berpangkat (eksponen)

1. ap x aq = ap + q 5. (ap) q = apq .

2. ap : aq = ap - q 6. a-p =

3. (ab)n = anbn 7. a0 = 1, a 0

4. = 8. =

Uji Kompetensi 1

1. Sederhanakan a. a2 x a3 = …… b b5 : b2 = ….. c. (a2 )0 = ….. d. (a2 b)3 = ….

2. Nyatakan dalam pangkat positif dan tentukan juga nilainya

a. 2-2 = …. b. ( )-3 = … c. = …. d. ( )-3 = …..

3. Hitunglah

a. 36 = …… c. ( ) = …..

b. = …… d. 49 = …..

4. Nyatakan dalam bentuk pangkat :

a. = …… b. = ….. c. = …… d. = …..

B. Persamaan eksponen bentuk af(x) = ap , a > 0

Untuk menyelesaikan persamaan ini digunakan sifat :

Untuk a > 0 , a 1 , au = av jika dan hanya jika u = v

Contoh : 1.

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 9x + 1 = 27

Jawab :

9x + 1 = 27

(32)x+1 = 33

32(x + 1) = 33

2(x + 1) = 3

2x + 2 = 3

2x = 1

x = ½

Jadi HP { ½ }

Contoh : 2.

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 4x - 2 =

Jawab :

4x - 2 =

4 x -2 = 4-2

x – 2 = -2

x = 0

Jadi HP {0}

C. Persamaan eksponen bentuk af(x) = ag(x) , a > 0

Untuk menyelesaikan persamaan ini digunakan sifat :

Untuk a > 0 , a 1 , au = av jika dan hanya jika u = v

Contoh : 1

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan :

82x + 1 = 128x – 5

Jawab :

82x + 1 = 128x – 5

(23)2x + 1 = (27)x – 5

26x + 3 = 27x - 35

6x + 3 = 7x - 35

- x = -38

x = 38

Jadi HP {38}

Uji Kompetensi 2

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut :

1. 5x + 2 = 125 5. 8x – 1 = 32(5 + 2x)

2. 32x + 3 = 6. 35x - 1 = 272x + 3

3. 42x – 1 = 1 7. 52 – x = 252x + 1

4. 3x - 3x = 8. 92x – 3 = ( ) 2 – 2x

Uji Kompetensi 3


1. 32x + 4 = 5.

2. 4x – 6 = 6. 42x – 6 = 2. 8x + 1

3. 125(3 – x) = 5 7. 2x : 8x + 2 = 64 . 43x

4. 3x - 4x + 3 = 1 8. 35x : 27x + 7 = 34x + 10 : 92x + 4

D. Persamaan eksponen yang dapat diubah ke dalam bentuk persamaan kuadrat

Contoh : 1


2x + 1 + 22x + 3 = 36

Jawab :

2x + 1 + 22x + 3 = 36

2x . 2 + 22x . 23 = 36

8. (2x)2 + 2. 2x – 36 = 0

Misal 2x = p, maka persamaan di atas menjadi :

8p2 + 2p – 36 = 0

4p2 + p – 18 = 0

(4p + 9 )(p – 2) = 0

p = - 9/ 4 atau p = 2

Untuk p = - 9/ 4, tidak ada penyelesaian . Mengapa ?

Untuk p = 2 diperoleh 2x = 2 x = 1

Jadi HP {1 }

Uji Kompetensi 4


1. 22x + 1 + 3. 2x – 5 = 02. 32x – 3x – 6 = 03. 52x + 51 + x – 6 = 04. 4x + 1 – 5. 2x + 1 + 6 = 05. 4. 3x + 1 – 32x = 276. 5x + 51 – x = 67. 3x + 33 – x – 28 = 08. 72 – x – 492 – x + 42 = 0

5.2.1. Menggambar Grafik Fungsi Eksponen

A. Pengertian fungsi eksponen

Fungsi ekponen adalah fungsi f : R R yang ditentukan oleh y = f(x) = ax, dengan a > 0 dan a 1

Contoh : 1

1. f(x) = 2x 3. f(x) = ( )x

2. f(x) = 3x 4. f(x) = ( )x

B. Grafik Fungsi eksponen f : x ax

1) Grafik fungsi eksponen f : x ax , dengan a > 1, x R

Contoh : 1

Gambarlah grafik dari f(x) = 2x dengan x R

Penyelesaian :

Untuk mempermudah menggambar, lengkapilah tabel berikut :

Kompetensi Dasar

5.2 Menggambar grafik fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah

X … -3 -2 -1 0 1 2 3…

Y= f(x) … … … … … …… … ….….

Gambarlah grafiknya untuk latihan!

Contoh : 2

Gambarlah grafik dari f(x) = 3x dengan x R

Penyelesaian :


X … -3 -2 -1 0 1 2 3…

Y= f(x) … … … … … …… … ….….

Gambarlah grafiknya sebagai latihan!

2) Grafik fungsi ekponen f : x ax , dengan 0 < a < 1, x R

Contoh : 1

Gambarlah grafik dari f(x) = ( )x dengan x R

Penyelesaian :


X … -3 -2 -1 0 1 2 3…

Y= f(x) … … … … … …… … ….….


Contoh : 2

Gambarlah grafik dari f(x) = ( )x dengan x R

Penyelesaian :


X … -3 -2 -1 0 1 2 3…

Y= f(x) … … … … … …… … ….….


C. Sifat-sifat grafik fungsi eksponenPerhatikan sketsa grafik fungsi eksponen berikut :

Y = ax , a > 1 Y= ax, 0 < a < 1

X0

Y

1

Kalau kita perhatikan gambar di atas, kita dapatkan sifat-sifat grafik fungsi eksponen sebagai berikut :

1. Domainnya (daerah asalnya) adalah himpunan seluruh bilangan nyata (real), sedangkan daerah hasilnya (rangenya) adalah himpunan seluruh bilangan nyata yang positif.

2. Fungsi f(x) = ax merupakan fungsi naik untuk a > 1, dan merupakan fungsi turun untuk 0 < a < 1

3. Grafik fungsinya selalu memotong sumbu Y di titik (0,1)4. Kedua grafik di atas simetris terhadap sumbu Y5. Grafik fungsinya di atas sumbu X atau dikatakan grafik fungsinya tidak pernah

memotong Sumbu X

Uji Kompetensi 2

1. Gambarlah grafik fungsi-fungsi berikut ini, untuk x R

a. f(x) = 5x dan f(x) = ( )x

b. f(x) = 4x dan f(x) = (0,25)x

2. Gambarlah grafik fungsi f(x) = 2x-1 untuk x R

3. Gambarlah grafik fungsi f(x) = 3x+1 dan f(x) = ( )x+1 untuk x R

a. Apakah kedua grafik melalui titik (0,1) ?b. Apakah kedua grafik simetri terhadap sumbu Y ?

Kompetensi Dasar

5.3 Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen atau logaritma dalam penyelesaian pertidaksamaan eksponen atau logaritma sederhana

5.3.1 Pertidaksamaan EksponenPerhatikan kembali grafik fungsi f(x) = ax , x R

1) Bentuk f(x) = ax dengan a > 1, x R

Fungsi eksponen f(x) = ax dengan a > 1 disebut sebagai fungsi naik, sebab jika x1 < x2 maka ax1 < ax2. ( Perhatikan grafik di atas)

Pernyataan tersebut kalau dinyatakan dalam pertidaksamaan sebagai berikut :

Bila a > 1 dan berlaku af(x) ag(x) , maka f(x) g(x)

Atau

Bila a > 1 dan berlaku af(x) ag(x) , maka f(x) g(x)

2) Bentuk f(x) = ax dengan 0 < a < 1, x R

Y = ax

Y

X0 X1 X2

1 (x1, ax1)

(x2, ax2)

Y = ax

Y

X0X1 X2

1

(x1, ax1)

(x2, ax2)

Fungsi eksponen f(x) = ax dengan 0 < a < 1 disebut sebagai fungsi turun, sebab jika x1 < x2 maka ax1 > ax2. ( Perhatikan grafik di atas)


Bila 0 < a < 1 dan berlaku af(x) ag(x) , maka f(x) g(x)

Atau

Bila 0 < a < 1 dan berlaku af(x) ag(x) , maka f(x) g(x)

Contoh : 1

Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3x + 4x – 3 < 9

Penyelesaian :

3x + 4x – 3 < 9

3x + 4x – 3 < 32

x2 + 4x – 3 < 2

x2 + 4x – 5 < 0 -5 1

( x + 5)(x – 1) < 0

-5 < x < 1 (lihat grafik disamping )

Contoh : 2

Tentukan batas-batas x yang memenuhi pertidaksamaan :

( )x + 1 < ( )x + 2

Penyelesaian :

( )x + 1 < ( )x + 2

( )x + 1 < ( )x + 2

( )x + 1 <

x + 1 > 4x + 8

-7 > 3x

3x < -7

x < -

Uji Kompetensi 6

Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan berikut.

1. 32x > 36 12. 4 > 16x + 1

2. 24x < 28 13. 5 > 25x – ½

3. 125x – 1 < 52x 14. 2 < 8x - 2

4. 92x – 1 32x 15. ( )2x . 4 8

5. 43x – 2 8 16. ( )2x – 1 >

6. 32x < 17. ( )3x < ( )9

7. 5x + 2 1 18. ( )3x > ( )6

8. 3x + 1 < 92x – 1 19. ( )x +3 > 9

9. > 125x + 2 20. ( ) > ( )x

10. > 21. ( ) > ( )x + 2

11. 2 8 22. ( ) > ( )x + 3

MATERI POKOK VIII : PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

5.1.1 Persamaan logaritma

A. Sifat-sifat yang berlaku pada logaritma1. a log an = n 6.

2. a log xy = a log x + a log y 7.

3. a log = a log x - a log y 8.

4. a log xn = n alogx 9.

5. a log x =

Uji Kompetensi 1

1. Nyatakan dalam bentuk logaritma

a. a n = b b. 23 = 8 c. 32 = 9

2. Hitunglah :

a. 3 log 9 b. 3 log c. ½ log 4

Kompetensi Dasar

5.1 Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah

3. Hitunglah nilai x :

a. log 100 = x b. 2 log x = 2 c. x log 32 = 5

4. Sederhanakan :

a. log 2 + log 5 c. 2 log 7 – 2 log 28b. log 2 + 2 log 3 – log 18 d. 5 log 9 . 9 log 125

B. Persamaan logaritma bentuk , a > 0, a 1, dan b R +Contoh : 1

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan

log (x – 2) + log (x – 1) = log 6

Jawab :

a. log (x – 2) + log (x – 1) = log 6

log (x – 2)(x – 1) = log 6 (x – 2)(x – 1) = 6 x2 – 3x + 2 = 6

x2 – 3x – 4 = 0 (x – 4)(x + 1) = 0 x - 4 = 0 atau x + 1 = 0

x = 4 atau x = -1

b. Syarat :

x – 2 > 0 x > 2

x – 1 > 0 x > 1

Dari a dam b diperoleh x = 4

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 4 }

Contoh : 2

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan

2 log (x + 2) - 2 log (x – 1) = 2

Jawab :

a. 2log (x + 2) - 2log (x – 1) = 2

2log = 2 log 22 = 4 x + 2 = 4(x – 1)

x + 2 = 4x - 4 -3x = -6 x = 2

b. Syarat :

x + 2 > 0 x > - 2

x – 1 > 0 x > 1

Dari a dan b diperoleh x = 2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 2}

Uji Kompetensi 3

Tentukan himpunan penyelesian persamaan berikut :

1. 6. log(2x-1) – log(x-3) = log 72. log (x + 1) – log (x – 1) = log 3 7. 3. 8. 4. log x + log (x + 2) – 2 = log 0,15 9. log log x = log(3 – log x) + 1 5. 10. 4x + 1 = 3x – 1

C. Persamaan logaritma bentuk , a > 0, a 1, f(x) > 0 dan g(x) >0

Contoh : 1


Jawab :

a.

3x2 –2x – 5 = 2x2 + 5x + 3

x2 –7x – 8 = 0

(x – 8) (x + 1) = 0

x = 8 atau x = -1

b. Syarat :

1) 3x2 –2x – 5 > 0(3x – 5)(x + 1) > 0

x < - 1 atau x > 5/3 -1 5/3

2) 2x2 + 5x + 3 > 0(2x + 3)(x + 1) > 0

x < - 3/2 atau x > -1 -3/2 -1

Dari a dan b diperoleh x = 8

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 8 }

Uji Kompetensi 4


1. log 2x = log (x + 3) 5. log x = log (2x – 5)2. log x = log (1 – 2x) 6. log(x + 1) = log (3x – 5)3. log (x2 + 3x + 2) = log(5x + 5) 7. log (x2 + x – 2) = log (2x2 – 5x + 3)4. 2 log 2 log (2x + 1 + 3) = 1 + 2 log x

D. Persamaan logaritma yang dapat diubah ke dalam bentuk persamaan kuadrat.

Contoh : 1


log2 x – 3 log x + 2 = 0

Jawab :

a. Syarat :x > 0

b. log2 x – 3 log x + 2 = 0( log x)2 – 3 log x + 2 = 0

Misal log x = p, maka persamaan di atas menjadi

p2 – 3p + 2 = 0 (p – 2)(p – 1) = 0 p = 2 atau p = 1

Untuk p = 2 log x = 2

x = 22 = 4

Untuk p = 1 log x = 1

x = 2

Dari a dan b diperoleh x = 4 atau x = 2

Jadi HP {2, 4}

Uji Kompetensi 5


1. log2 x – 2 logx – 24 = 02. log 2 x – 6 log x + 5 = 03. 2 log2 x – 3 log x = 24. 2log2 x – log x3 - 9 = 05. log2 x + 2 = log x3 6. log (x + 2) = 27. log 5 + log (x + 2) = 2,5

5.2.1 Grafik Fungsi Logaritma

A. Pengertian fungsi logaritmaFungsi logaritma merupakan invers fungsi ekponen f : R R yang ditentukan oleh y = f(x) = ax, dengan a > 0 dan a 1

Bila a > 0 dan a 1, maka fungsi yang didefinisikan oleh f : x , dengan x > 0 dinamakan fungsi logaritma

Contoh : 1

1. f(x) = 4. f(x) =

2. f(x) = 5. f(x) = 2 log (x + 1)

Kompetensi Dasar

5.2 Menggambar grafik fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah

3. f(x) =

B. Grafik Fungsi logaritma f : x 1) Grafik fungsi logaritma f : x , dengan a > 1, x R

Contoh : 1

Gambarlah grafik dari f(x) = dengan x R

Penyelesaian :


X…

1 2 4 8 …

Y= f(x) … … … … … …… … …. ….

Gambaralah grafiknya sebagai latihan!

Contoh : 2

Gambarlah grafik dari f(x) = x dengan x R

Penyelesaian :


X… 1 3 9 27 …. …

Y= f(x) … … … … … …… … …. ….


2) Grafik fungsi logaritma f : x , dengan 0 < a < 1, x R

Contoh : 1


Penyelesaian :


X … 1 2 4 8 …

Y= f(x) … … … … … …… … …. ….


Contoh : 2


Penyelesaian :


X … 1 3 9 27 …. …

Y= f(x) … … … … … …… … …. ….


D. Sifat-sifat grafik fungsi logaritmaPerhatikan sketsa grafik fungsi logaritma berikut :

Y = a log x , a > 1

Y= a log x, 0 < a < 1

X0

Y

1

Kalau kita perhatikan gambar di atas, kita dapatkan sifat-sifat grafik fungsi logaritma sebagai berikut :

1. Domainnya (daerah asalnya) adalah himpunan seluruh bilangan nyata (real), positif, sedangkan daerah hasilnya (rangenya) adalah himpunan seluruh bilangan nyata .

2. Fungsi f(x) = merupakan fungsi naik untuk a > 1, dan merupakan fungsi turun untuk 0 < a < 1

3. Grafik fungsinya selalu memotong sumbu X di titik (1,0)4. Kedua grafik di atas simetris terhadap sumbu X5. Grafik fungsinya di sebelah kanan sumbu Y atau dikatakan grafik fungsinya tidak

pernah memotong Sumbu Y

Uji Kompetensi 2

1. Gambarlah grafik fungsi-fungsi berikut ini, untuk x R

f(x) = dan f(x) =

2. Gambarlah grafik dari setiap fungsi berikut untuk x > 0 dan x R

a.b.

c.

d. , x > 1

Kompetensi Dasar

5.3 Menggunakan sifat-sifat fungsi ekspoenen atau logaritma dalam penyelesaian pertidaksamaan eksponen atau logaritma sederhana

5.3.1 Pertidaksamaan logaritma

Perhatikan kembali grafik fungsi f(x) = log x , a > 0 , a 1, x R

1) Bentuk f(x) = log x dengan a > 1, x R

(1,0)

Fungsi logaritma f(x) = log x dengan a > 1 disebut sebagai fungsi naik, sebab jika x1 < x2 maka log x1 < log x2.


Bila a > 1 dan berlaku log f(x) log g(x) , maka f(x) g(x)

Atau

Bila a > 1 dan berlaku log f(x) log g(x) , maka f(x) g(x)

2) Bentuk f(x) = log x dengan 0 < a < 1, x R

Y = a log x, a > 1

X2X1 X0

Y(X1,

alogx)

(X2, alog x)

Y = a log x, 0 < a < 1

X2X1 X0

Y

(X1, alogx)

(X2, alog x)

Fungsi eksponen f(x) = log x dengan 0 < a < 1 disebut sebagai fungsi turun, sebab jika x1 < x2

maka log x1 > log x2.


Bila 0 < a < 1 dan berlaku log f(x) log g(x) , maka f(x) g(x)

atau

Bila 0 < a < 1 dan berlaku log f(x) log g(x) , maka f(x) g(x)

Contoh : 1

Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

a. 3log x > 3 b. 3 log x < 3

Penyelesaian :

a. (1) 3 log x > 3

3 log x > 3log 33

3 log x > 3log 27

x > 27

(2) Syarat :

x > 0

Dari (1) dan (2) diperoleh x > 27

Jadi HP { x / x > 27 }

b. (1) 3log x < 3

3 log x < 3log 27

x < 27

(2) Syarat :

x > 0

Dari (1) dan (2) diperoleh 0 < x < 27

Jadi HP { x / 0 < x < 27 }

Contoh : 2

Tentukan batas-batas x yang memenuhi pertidaksamaan :

a. ½ log x 4 b. ½ log (x – 1) < -1

Jawab :

a. (1) ½ log x 4

½ log x ½ log ½ log x ½ log x

(2) Syarat :

x > 0

Dari (1) dan (2) didapat 0 < x

Jadi HP {x/ 0 < x }

b. (1) ½ log (x – 1) -1

½ log (x – 1) ½ log ½ log (x – 1) ½ log 2 x – 1 2

x 3

(2) Syarat :

x – 1 > 0 x > 1

Dari (1) dan (2) didapat 1 < x 3

Jadi HP {x/ 1 < x 3}

Contoh : 3

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut :

2 log (x2 + 2x) > 3

Penyelesaian :

(1) 2 log (x2 + 2x) > 3

2 log (x2 + 2x) > 2 log

2 log (x2 + 2x) > 2 log 8

(x2 + 2x) > 8

x2 + 2x - 8 > 0

(x + 4)(x – 2) > 0

-4 2

x < -4 atau x > 2

(lihat garfik di samping)

(2) Syarat :

x2 + 2x > 0

x (x + 2) > 0 -2 0

x < -2 atau x > 0

Dari (1) dan (2) didapat :

x < -4 atau x > 2

Jadi HP {x/ x < -4 atau x > 2}

Uji Kompetensi 6

Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan berikut ini :

1. 2 log x 2 log 5 7. ½ log x -22. 3 log x < 2 8. ¼ log x > 33. 3 log (x + 1) < 2 9. ½ log( 2x – 1) < -14. 3 log ( x – 1) > 2 10. ½ log ( x2 – 9) > -45. 6 log (2 – 4x) < 1 11. ½ log x > 06. 3 log ( x2 – 2x) 1 12. 4log (x2 – 2x - 8) < 2

Uji Kompetensi 7

Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan berikut ini

1. log ( x – 4) > 1

2. log x + log 8 > log 43. 2 log x > log ( x + 2)4. 2 log(3x + 2) > 2 log (x2 – 3x + 2)5. 2 log (x2 – x – 2) 16. 1/3 log ( x2 – 3) 07. 1/3 log (x2 – 3x – 1) < 28. 5 log ( x2 + 20x ) > 39. log (x – 4) + log ( x + 8) < log (2x + 16)

fungsi eksponen dan logaritma

Documents