bab 3 eksponen & logaritma

MATEMATIKA SIAP UAN DAN SPMB - DRS. ANWARUDIN

A . E K S P O N E N1. Bilangan Irasional

Bilangan Rasional adalah bilangan nyata atau real yang dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan antara dua bilangan bulat.

Contoh : 3 , 2 , - 5 , , , decimal berulang , dll.

Bilangan Irrasional adalah bilangan nyata yang bukan bilangan rasional.Contoh :

1. Berupa bentuk akar ,seperti : , , .

2. Berupa bentuk yang lain,seperti : log 3 , log 5 , , decimal tak berulang dll.Contoh soal :Ubahlah bentuk-bentuk decimal berulang berikut dalam bentuk pecahan:a. 0,33333……(bisa juga ditulis : 0, ).b. 0,121212……(bisa juga ditulis : 0, ).

Jawab :a. Misalkan 0,333……. = p , maka :

10 p = 3,333…….. p = 0,333……… - 9 p = 3

p = =

b. Misalkan 0,121212……… = p ,maka :100 p = 12,12,12,12……… p = 0,121212……… - 99 p = 12

p = =

Sifat-sifat bilangan irrasional bentuk aka r.

Contoh :1. 6 + 5 + 7 - 3 = 6 + 7 + 5 - 3

= 13 + 2

2. ( -6 ) (2 + ) = (2 + ) -6 (2 + ) = 2. + - 6.2. - 6 = 2.3 + - 12 - 6.2= - 6 - 11

3. =

=

=

=

Merasionalkan penyebut suatu pecahan Untuk merasionalkan penyebut suatu pecahan maka pecahan tersebut harus dikalikan dengan sekawan dari penyebutnya,karena bentuk akar jika dikalikan dengan sekawannya akan menghasilkan bilangan rasional.Sekawan dari suatu bentuk akar.o Bentuk sekawannya adalah

o Bentuk sekawannya adalah

o Bentuk a sekawannya adalah a o Bentuk sekawannya adalah

Contoh soal :Rasionalkan penyebut dari Pecahan :

1.

30

BAB 3 EKSPONEN DAN LOGARITMA

Jika Q adalah himpunan bilangan rasional dan z adalah himpunan bilangan bulat,maka :

Q = { x / x = }

1. a b = ( a b ) 2. . = 3. a . b = ab

4.


2.

3

Jawab :

1. = .

=

=

=

2. = .

=

=

3. misalkan = a , maka :

= .

= a 3 = ( ) 3 = 2

=

=

2. Pengertian Eksponen

keterangan :aa disebut bilangan berpangkata disebut bilangan pokok atau bilangan dasarn disebut pangkat atau eksponen

3. Sifat-sifat EksponenUntuk a bilangan real dan m , n bilangan rasional,berlaku :

Contoh soal :

1. =

=

= - 5 2 a 1

= - 25 a

31

a n =

1. a m . a n = a m + n

2. a m : a n = a m – n

3. ( a . b ) n = a n . b n

4. =

5. ( a m ) n = a m . n

6. a 0 = 1 , a 0

7. a – n = , a 0

8. = =


2. =

=

=

=

4. Persamaan EksponenMacam-macam bentuk persamaan Eksponen :Bentuk 1:

Contoh : Tentukan Penyelesaian dari

Jawab :

2 x + 2 =

x + 2 =

- 5x – 10 = 2 – x x = - 3

Jadi penyelesaiannya adalah x = - 3.

Bentuk 2 :

Contoh : Tentukan penyelesaian dari 3 x – 5 = 4 x – 5.Jawab : 3 x – 5 = 4 x – 5

x – 5 = 0 x = 5

Jadi penyelesaiannya adalah x = 5

Bentuk 3 :

Contoh : Tentukan penyelesaian dari 2 x – 1 = 3 x + 1

Jawab : 2 x – 1 = 3 x + 1

log 2 ( x – 1 ) = log 3 ( x + 1 )

( x – 1 ) log 2 = ( x + 1 ) log 3x log 2 – log 2 = x log 3 + log 3x ( log 2 – log 3 ) = log 3 - log 2

x =

Jadi penyelesaiannya adalah x =

Bentuk 4 : Berbentuk persamaan kuadrat :

Cara menyelesaikannya : p x dimisalkan lambang baru, misalnya qContoh-contoh soal: 1. Tentukan penyelesaian dari x 2x + 1 – 9.2 x + 4 = 0

Jawab :22x + 1 – 9.2 x + 4 = 0

22x . 2 1 – 9.2 x + 4 = 02 ( 2 x ) 2 – 9.2 x + 4 = 0 misalkan 2 x = p2 p 2 – 9 p + 4 = 0( 2p – 1 )( p – 4 ) = o

p = atau p = 4

p = 2 x = 2 –1 p = 4 2 x = 2 2

x = - 1 x = 2Jadi penyelesaiannya adalah x = - 1 atau x = 2

2. Tentukan penyelesaian dari persamaan

32

a f (x) = a g (x) f (x) = g (x)

a f (x) = b f(x) f (x) = 0

a f (x) = b g(x) Ruas kiri dan kanan dilogaritmakan

a a


Jawab :

misalkan 2 x = p

……….dikalikan p 2

8 p 2 – 6p + 1 = 0( 4p – 1 )( 2p – 1 ) = 0

p = atau p =

p = 2 x = 2 –1 p = 2 x = 2 –2

x = - 1 x = -2Jadi penyelesaiannya adalah x = - 1 atau x = -2

3. Jika x 1 dan x 2 akar-akae persamaan 3 x + 3 2 – x + 15 = 0, tentukan nilai dari x 1 + x 2 .

Jawab :3 x + 3 2 – x

+ 15 = 0

3 x + + 15 = 0 misalkan 3 x = p

p + + 15 = 0………….dikalikan p

p 2 + 15p + 9 = 0 p1 . p2 =

x 1 + x 2 = 2Jadi nilai dari x 1 + x 2= 2.

5. Fungsi EksponenBentuk umum Fungsi eksponen : y = a x , a > 0Grafik fungsi Eksponen:

Dari grafik di atas,untuk a > 0 semakin besar nilai x semakin besar pula nilai dari a x,semakin kecil nilai x semakin kecil pula nilai dari a x. Namun sebaliknya untuk 0 < x < 1.Sehingga dapat disimpulkan :Untuk a > 0 :

Untuk 0 < x < 1

6. Pertidaksamaan EksponenBentuk pokok :Untuk a > 1 (tanda pertidaksaman tetap)

Untuk 0 < x < 1 (tanda pertidaksamaan dibalik)

Contoh-contoh soal :

33

y y = a x

( 0,1)

x

untuk a > 0

y Y = a x

(0,1)

x

Untuk 0 < x < 1

Jika a p > a q maka p > q ( tanda pertidaksamaan tetap )Jika a p < a q maka p < q ( tanda pertidaksamaan tetap )

Jika a p > a q maka p < q ( tanda pertidaksamaan dibalik )Jika a p < a q maka p > q ( tanda pertidaksamaan dibalik )


1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 3x – 1 > 2 x + 5.Jawab :

2 3x – 1 > 2 x + 5

3x – 1 > x + 5 x > 3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { x / x > 3 }

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari

Jawab :

- 2x – 1 >

- 4x – 2 > 4 - x- 3x > 6 x < 2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { x / x < 2 }3. Tentukan himpunan penyelesaian dari 3 2x + 1 + 3 > 10.3 x.

Jawab :3 2x + 1 + 3 > 10.3 x

(3 x) 2.3 1 + 3 > 10.3 x ,misalkan 3 x = p3p 2 – 10p + 3 > 0

( 3p – 1 ) ( p – 3 ) > 0

p = atau p = 3

p < atau p > 3

3 x < 3 – 1 atau 3 x < 3 1

x < - 1 atau x > 1Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { x / x < - 1 atau x > 1}

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari Jawab :

,misalkan = pp 2 - 2p – 8 > 0( p + 2 )( p – 4 ) > 0 p < - 2 atau p > 4

Untuk p < - 2 tadak ada x yang memenuhi .

Untuk p > 4

x+3 < - 2 atau x + 3 > 2 x < - 5 atau x > -1

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { x / x < - 5 atau x > -1}

5. Tentukan nilai x yang memenuhi

Jawab :

3x 2 + x – 14 < - 43x 2 + x – 10 < 0

Jadi x yang memenuhi adalah

SOAL-AOAL UNTUK LATIHAN1. Jika a = , maka …

A. a < b < c B. a < c < b C. b < a < c D. c < a < b E. c < b < a

(SPMB ‘ 03 )

2. Jika a = dan b = ,maka a 2 + b 2 – 4ab = ……A. 36 B. 34 C. 32 D. 30 E. 28

(UM-UGM ‘ 03 )

34

o o

3


3. Jika a = dan b = , maka a + b =…………..

A. 4 B. 1 C. 1 D. – 4 E. - 4(SPMB ‘ 03 )

4. Nilai dari =………A. – 4 B. – 2 C. 0 D. 2 E. 4

(SPMB ‘ 03 )

5. =

A. 21 B. 19 C. 8 D. 15 E. 5(UM- UGM ‘ 04 )

6. Jika x = 2 - , maka 3 x2 – 4x =….

A. 0 B. C. 3 D. 3 E. 3 1 +

(SPMB ‘ 05)

7. Bentuk sederhana dari adalah…….A. + B.3 + 2 C. 3 + D .2 + E. +

( UM- UGM ‘ 05 )

8. Jika ,maka + =……

A. 25 B. 20 C. 15 D. 1`0 E. 5( UM- UGM ‘ 05 )

9. Dengan merasionalkan penyebutnnya,bentuk sederhana dari adalah….

A. 3 - B. 3 + C. 21 - 7 D. 21 - E. 21 + 7( EBTANAS ‘ 97)

10. Jika bilangan bulat a dan b memenuhi = a maka a + b =…

A. – 6 B. – 4 C. – 3 D. 3 E. 4(SPMB ‘ 04 )

11. Jika x = 4 dan y = 9 maka nilai =… A. – 10 B. – 6 C. 6 D.16 E. 20

(UM-UGM ‘ 04)

12. Jika maka c dinyatakan dalam a dan b adalah…..

A. B. C. D. E.

(SPMB ‘ 04 )

13. Dalam bentuk pangkat positip dan bentuk akar = ….

A. B. C. D. E.

(SPMB ‘ 04 )

14. Bentuk dapat dituliskan tanpa eksponen negatip menjadi …..

A. B. C. D. . E.

( UMPTN ‘ 96)

15. =……

A. p B. 1 – p 2 C. p 2 – 1 D. p 2 + 2p + 1 E. p 2 – 2p + 1( UMPTN ‘ 99)

16. =

A. B. C. a.b D. a E. a 13 . b 13

( UMPTN ‘ 98)

35


17. Nilai x yang memenuhi persamaan adalah…….

A.- 2 B. – 1 C. 0 D. 1 E. 2(SPMB ‘ 04 )

18. Jika n bilangan bulat,maka =…….

A. B. C. D. E.

(SPMB ‘ 04 )

19. Jika f(x) = 2 2x + 2x + 1 – 3 dan g(x) = 2x + 3,maka =……..

A. 2x + 1 B. 2 x + 3 C. 2 x D. 2 x – 1 E. 2 x – 3(SPMB ‘ 05)

20. Diketahui ; maka niali x 1 + x –1 = ….

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 11( EBTANAS ‘ 01 )

21. Nilai x yang memenuhi persamaan : adalah………

A. - B. - C. D. 1 E. 2

( EBTANAS ‘ 00 )

22. Nilai x yang memenuhi persamaan adalah…

A. – 1 B. 0 C. 1 D. 2 E. 4(SPMB ‘ 04 )

23. Penyelesaian persamaan adalah….

A. – 2 B. – 1 C. 0 D. 3 E. 2

((SPMB ‘ 04 )

24. Nila x yang memenuhi persamaan 4 2x + 1.3 4x + 1 = 432 adalah….

A. - B. 0 C. D. 1 E. 2

(SPMB ‘ 04 )

25 Nilai x yang memenuhi persamaan adalah …..

A. 4 B. 2 C. 0 D. –2 E. –4(SPMB ‘ 04 )

26. Jika x memenuhi 3x 0,4 - 9 = 0, maka 3x – x 2 =…..

A. 3 0,4 B. 3 0,5 C. 3 – 0,5 D. E. 0

( UM- UGM ‘ 04 )

27. Nilai x yang memenuhi persamaan = 1 adalah….

A. – 3 B. – 2 C. – 1 D. 0 E. 1(SPMB ‘ 05)

28. Jika 81 p= maka p 2 =………

A. 0 B. C. D. E. 3

( UM-UGM’04)

29. Nilai k yang memenuhi persamaan ,adalah…..A. a B. 3a C. 2a + 1 D. 3a + 1 E. a 2 + a

(SPMB ‘ 05)

30. Jika x dan y memenuhi system persamaan , maka y – x = ….

A. – 2 B. – 1 C. 0 D. 1 E. 2

36


( UM- UGM ‘ 04 )31. Nilai x yang memenuhi 8 x + 1 = 24 x – 1 adalah……

A. 1 + 6 log 3 B. 1 + 4 log 3 C. 1 + 6 log 2 D. 1 + 4 log 2 E. 1 + 6 log 2( UMPTN ‘ 01 )

32. Himpunan penyelesaian persamaan 2 2x + 1 – 9.2 x + 4 = 0 adalah….A. { - 2,- 1 } B. { - 2, 1 } C. { - 1,2 } D. { 1,2 } E. { 1,4 }

( EBTANAS ‘ 2003)

33. Jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan 2.9 2x – 1 – 5.3 2x + 18 = 0 , maka x 1 + x 2 = A. 0 B . 2 C. log 2 D. 2 - log 2 E. 2 + log 2

(UMPTN , 00 )

34. Jumlah semua nilai x yang memenuhi mpersamaan 9 x2 – 3x + 1 + 9 x2 – 3x = 20 – (3 x2 – 3x ) adalah…..A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

( UMPTN ‘ 00 )

35. Jika memenuhi persamaan ,mak 1 - =…………….

A. B. C. D. E.

(UM-UGM ‘ 04)

36. Penyelesaian persamaan 2 (25) x + 1 + 5 x + 2 – 3 = 0 adalah……A. 1 - log 5 B. -1 - log 2 C. 1 + log 2 D. -1 - 5log 2 E. 1 + 5log 2

( UMPTN ‘ 95 )

37. Jumlah akar-akar persamaan 5 x + 1 + 5 x – 1 = 11 adalah………A. 6 B.5 C. 0 D. – 2 E. – 4

( UMPTN’ 98 )

38 Himpunan penyelesaian dari 2 x + 5 < 2 x2 + 6x + 11 adalah….A. { x / x < -3 atau x > - 2 } D. { x / x < -2 atau x > 3 }B. { x / x < -6 atau x > - 1 } E. { x / - 3 < x < - 2 }C. { x / 2 < x < 3}

( EBTANAS’97 )

39. Himpunan penyelesaian dari adalah.

A. { - 1, 1 , 3 } D. { x / - 1 x 3}B. { x / x -1 atau x 3 } E. { x / x - 1 atau 1 x 3}C. {x / -1 x 1 atau x 3 }

( UMPTN ‘ 01 )40 Himpunan penyelasaian dari adalah …

A. { p / p < - 2 - atau p > -2 + } D. { p / 1 < p < 3 }B. { p < 1 atau p > 3 } E. { p / 1 < p < 3 }C. { p / - 2 - < p < -2 + }

( UM- UGM ‘ 04 )41 Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 12 – 3 x < 3 3-x adalah………..

A. { x / x < 3 atau x > 9 } D { x / 0<x < 3 atau x> 9}B { x / 3 < x < 9 E .{x / x < 1 atau x > 2 }C { x / x < 3 atau x > 9 }

42. Nilai dari x yang memenuhi adalah…..

A. 0<x<1 atau 2<x<4 B. x 2 C. 1 < x < 4 D. 2 x 3 E. 1 < x < 6( UMPTN ‘ 99)

43. Nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak dari pada selang – 2 x 3 adalah….

A. dan 0 B. dan 0 C. dan 0 D. dan 0 E. 9 dan 0

( UMPTN ‘ 99 )

44. Kurva y = 3 x + 1 - di bawah kurva y = 3 x + 1 pada saat ….

A. X < 2 B. x > 1 C. x < 1 D. x > 0 E. x < 0( SPMB ‘ 04 )

45. Grafik y = 4. 2 –x memotong grafik y = 2 –2x di titik yang berordinat …

A. B. C. 2 D. 4 E. 16

( SPMB ‘ 04 )46. Suatu populasi hewan mengikuti hokum pertumbuhan yang berbunyi N(t) = 100.000. 2 t – 2. N(t) :besar

populasi t; t : waktu dalam satuan tahun.Agar besar populasi menjadi 3 kali lipat populasi awal ( saat t = 0 ),maka t =……….A. log 3 B. log 3 – 2 C. log 3 – 4 D. log 3 – 2 E. log 3

(SPMB ‘ 05)

37


B. LOGARITMA1. Pengertian Logaritma

K

Keterangan : a disebut bilangan pokok logaritma,syaratnya a > 0 dan a 0. b adalah bilangan yang dilogaritmakan, syaratnya b > 0 c adalah hasil logaritma dari b dengan a.Nilai dari c bias positip, negatip atau nol.

Contoh :Tentukan nilai x yang memenuhi :1. log x = 32. log x = - 23. 2 x = 54. 4 x = 7

Jawab :1 log x = 3 x = 2 3 = 82. log x = - 2 x = 10 – 2 = 0,01. ( ingat : log x = log x )3. 2 x = 5 x = log 5

4. 4 x = 7 x = log 7

2. Sifat-sifat logaritma

Contoh :1. Jika a = 0,1666……,tentukan nilai dari .

Jawab :100a = 16,666….. a = 0,666…… _99 a = 16

a = =

= = = = - 2

2. Jika log 2 = 0,301 dan log 3 = 0,477 , tentukan nilai dari log .Jawab :log = log + log

= log

= log 2 + log 3

= . 0,301 + . 0,477

= 0,339.3. Jika y = x 4, x dan y bilangan positip.Tentukan nilai dari .

Jawab : =

=

= 4 + =

4. Hitunglah nilai dari .Jawab :

38

1.2.3

4.

5.

6.

7.

8.

9.


=

=

=

=

5. Jika ,tentukan nilai dari .Jawab :

= 36. Jika dan ,nyatakan dalam a dan b.

Jawab :

= ,(bilangan pokok dibuat 3,karena 3 paling banyak dipakai)

=

= …… dikalikan a

=

7. Jika dan , tentukan nilai dari a – b.

Jawab :ab = a a

b =

b = a a – 1……………………….( 1 )

……………( 2 )

dari (1) dan (2) :

a a – 1 = a – 1 =

a = 3 dan b = 9Jadi a – b = 3 – 9 = - 6

3. Persamaan Logaritma Bentuk 1:

Misalkan dari f ( x ) = g ( x ) didapat x = p ,karena bilangan yang dilogaritmakan harus >0 maka x = p harus memenuhi syarat :

1. f ( p ) > 02. g ( p ) > 0

Contoh soal :1. Tentukan penyelesaian dari

Jawab :x – 3 = 5 – x

x = 4Syarat :x = 4 ( x – 3 ) = 4 – 3 = 1 ; ( memenuhi,karena > 0 )x = 4 ( 5 - x ) = 5 – 4 = 1 ; ( memenuhi,karena > 0 )Jadi penyelesaiannya adalah x = 4

2. Tentukan penyelesaian dari log x + log ( x – 3 ) = 1.Jawab :log x + log ( x – 3 ) = 1 log x ( x – 3 ) = log 10

x 2 – 3x = 10 x 2 – 3x – 10 = 0

x = 5 atau x = - 2

39


x = - 2 tidak memenuhi karena menghasilkan log ( - ) yaitu log(- 2) atau log (-5). Jadi penyelesaiannya adalah x = 5.

3. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan log x 5 – 3 log x + log = 2.

Jawab :

log x 5 – 3 log x + log = 2 5 log x – 3log x – log x = log 10 2

log x = log 100x = 100

Jadi nilai x yang memenuhi adalah x = 100

4. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaanJawab :

=

= 3.

3x – 1 = 125 x = 42

Jadi nilai x yang memenuhi adalah x = 42

5. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan

Jawab :

x = 2 4 = 16.Jadi x yang memenuhi adalah x = 16

6. Jiika dan , tentukan nilai x dan y.

Jawab :

x y = 4………………………………………………(1)

x – y = 3 x = y + 3…………………………………………(2)Dari (1) dan (2):x y = 4 y ( y + 3 ) = 4

y = - 4 (tidak memenuhi) atau y = 1 x = y + 3 = 1 + 3 = 4Jadi nilai x dan y yang memenuhi adalah x = 1 dan y = 4.

Bentuk 2` Berbentuk Persamaan kuadrat :

Cara menyelesaikannya : dimisalkan dengan lambang baru ,misalnya y.Contoh-contoh soal :1. Tentukan penyelesaian dari -

Jawab :-

( ) 2 – 2. misalkan : = pp 2 – 2p – 3 = 0p = -1 atau p = 3

Untuk p = -1 = - 1

40

a ( ) 2 + b + c = 0


X = 3 – 1 =

Untuk p = 3 = 3 X = 3 3 = 27

Jadi penyelesaiannya adalah x = atau x = 27.

2. Tentukan penyelesaian dari log x - = 1.Jawab :log x - = 1

log x - misalkan : = p

p - = 1.........dikalikan p

p 2 – p – 2 = 0p = -1 atau p = 2

Untuk p = -1 = - 1 x = 0,1

Untuk p = 3 = 2 x = 100Jadi penyelesaiannya adalah x = 0,1 atau x = 100.

3. Tentukan nilai x yang memenuhi Jawab :

( 2 + ) = 3 misalkan : = p( 2 + p ) p = 3p 2 + 2p – 3 = 0p = - 3 atau p = 1

Untuk p = 1 = 1 X = 3

Untuk p = - 3 = 3

X = 3- 3 =

Jadi penyelesaiannya adalah x = atau x = 3.

4. Tentukan nilai x yamg memenuhi persamaan ( 2 x + 1 + 3 ) = 1 + x( 2 x + 1 + 3 ) = 1 + x

( 2 x + 1 + 3 ) = 2 + x( 2 x + 1 + 3 ) = 2x

( 2 x + 1 + 3 ) =2x( 2 x + 1 + 3 ) = 2 2x

2 x. 2 1 + 3 = (2 x) 2 misalkan 2 x = pp 2 – 2p – 3 = 0p = - 1 atau p = 3

Untuk p = -1 2 x = -1 X = tidak ada yang memenuhi

Untuk p = 3 2 x = 3 X = 3

Jadi x yang memenuhi adalah x = 35. Tentukan nilai x yamg memenuhi persamaan 10 4.logx – 7 .10 2.log x + 10 = 0

Jawab :10 4.logx – 7 .10 2.log x + 10 = 0

( 10 logx ) 4 – 7 (10 logx ) 2 + 10 = 0 ingat : ,sehingga 10 logx = xx 4 – 7 x 2 + 10 = 0( x 2 – 2 ) ( x 2 – 5 ) = 0x 2 = 2 atau x 2 = 5x = atau x =

Jadi x yang memenuhi adalah x = atau x = ( - dan - tidak memenuhi syarat )

6. Jika x 1 dan x 2 memenuhi persamaan : , tentukan nilai

dari x 1 . x 2.Jawab :

, misalkan 2log x = p

41


…………….dikalikan p

2p – 2 + 2p + p 2 = 4p 2 + 4p – 6 = 0

p 1 + p 2 = 2log x1 + 2log x2 = - 4

2 log x 1 + x 2 = 2log 2 – 4

x 1 + x 2 = 2 – 4 =

Jadi x 1 + x 2 =

4. Fungsi LogaritmaBentuk umum : f ( x ) = a x , a > 0 dan a 1Gambar grafiknya:

Dari grafik di atas,untuk a > 0 semakin besar nilai x semakin besar pula nilai dari alog x,semakin kecil nilai x semakin kecil pula nilai dari alog x. Namun sebaliknya untuk 0 < x < 1.Sehingga dapat disimpulkan :Untuk a > 0 :

Untuk 0 < x < 1

5. Pertidaksamaan logaritmaBentuk pokok : Untruk a > 1

Untuk 0 < a < 1

Contoh soal :1. Tentukan penyelesaian dari 2 log ( x – 3 ) < 3.

Jawab :2 log ( x – 3 ) < 3 2 log ( x – 3 ) < 2 log 2 3

x – 3 < 8x < 11 o o

Syarat : x – 3 > 0 x > 3 3 11Jadi penyelesaiannya adalah 3 < x < 11.

2. Tentukan penyelesaian dari 2.log x log ( x + 3 ) + log 4.Jawab :2.log x log ( x + 3 ) + log 4

log x 2 log ( x + 3 ).4x 2 – 4x – 12 0( x + 2 )( x – 6 ) 0 - 2 x 6 -3 -2 0 6

syarat : 1. x > 02 . x + 3 > 0 x > - 3

Jadi penyelesaiannya adalah 0 < x 6

3. Tentukan nilai x yang memenuhi

Jawab :

42

F (x) = a log x

( 1,0 )

untuk a > 1

Untuk 0 < a < 1

( 1,0 )

f (x) = a log x

Jika alog p > alog q maka p > q ( tanda pertidaksamaan tetap )Jika alog p < alog q maka p < q ( tanda pertidaksamaan tetap )

Jika alog p > alog q maka p < q ( tanda pertidaksamaan dibalik )Jika alog p < alog q maka p > q ( tanda pertidaksamaan dibalik )

a log f (x) > a log g (x) f (x) > g (x) ; ( tanda pertidaksamaan tetap ) a log f (x) < a log g (x) f (x) < g (x) ; ( tanda pertidaksamaan tetap )

Syarat : 1. f (x) > 02. g (x) > 0

a log f (x) > a log g (x) f (x) < g (x) ; ( tanda pertidaksamaan dibalik ) a log f (x) < a log g (x) f (x) > g (x) ; ( tanda pertidaksamaan dibalik)

Syarat : 1. f (x) > 02. g (x) > 0


x 2 – 3 < 1;(tanda pertidaksamaan dibalik karena bilangan pokok : 0 < a < 1 )x 2 – 4 < 0( x + 2 )( x – 2 ) < 0 - 2 < x < 2

Syarat : x 2 – 3 > 0( x + )( x - ) > 0x < - atau x >

Jadai penyelesaiannya : - 2 < x < - atau < x < 2

4. Tentukan nilai x yang memenuhi Jawab :

; misalkan = p

p - > 0

> 0

> 0

- 1 < p < 0 atau P > 1

< < atau >

< x < 1 atau x > 2

Syarat : X > o

Jadi penyelesaiannya adalah : < x < 1 atau x > 2

5. Tentukan penyelesaian dari

Jawab :

( 1 + ) >

( 1 + ) >

( 1 + ) > ; misalkan : = p( 1 + p ) p > 3 + 3pp 2 – 2p – 3 > 0( p + 1 )( p – 3 ) > 0p < - 1 atau p > 3

< atau >

x < atau x > 4

Syarat : 2x > 0 x > 0

Jadi penyelesaiannya adalah : o < x < atau x > 4.

SOAL – SOAL LATIHAN1. Jika a = 0,909090……. Dan b = 1,212121…….. maka = ……….

A. – 3 B. - 2 C. – 2 D. – 1 E. -

( UMPTN ‘ 88)

2. Jika dan , maka nilai = ………..

A. 10,1 B. 6,9 C. 5,4 D. 3,7 E. 3,2( EBTANAS ‘ 92 )

3. Jika = 2, maka ……

43

o o o o -2 - 2

- - - - - - - - - - + + + + + + - - - - - - - - - + + + + + +

- 1 0 1

O O O

0 4


A. B. C. D. E.

( SPMB , 02 )

4. Jika m , n , x > 1 , maka

A. B. C. D. E. (m+n)

( SPMB , 01 )

5. Diketahui dan . Nilai adalah ……….

A. B. C. D. E.

( EBTANAS ‘ 98 )

6.

A.3 B.9 C.18 D.27 E.81( EBTANAS ‘ 90 )

7.

A. B. 1 C. D. 2 E.

( UMPTN ‘ 88)

7. ……………………….

A. a 6 B. 2 6 C. 6 D. 6a E. a( UMPTN ‘ 88)

8.

A. – 6 B. 6 C. D. E. -

( UMPTN ‘ 98 )

9. Jika , maka ……….

A. B. C. D. E.

(UMPTN , 01)

10. Jika , maka z 2 =…….

A. B. C. xy D. E.

( SPMB ‘ 03 )

11. =………….

A. B. 1 C. 2 D.4 E. 5

( SPMB ‘ 04 )

12. Jika dan ,hubungan antara nilai a dan b adalah……

A. b = B. b = 3d C. b = d D. b = E. b = d 3

( EBTANAS ‘ 93 )

13. Jika , maka ……….

A. a – 3 B. a + 3 C. 3a D. E.

( EBTANAS ‘ 04 )

14. Jika , maka ………….

A. B. C. D. E.

( EBTANAS ‘ 03 )

15. Jika , maka …………

44


A. B. C. D. E.

( UM- UGM ‘ 03 )

16. Jika dan , maka …………

A. B. C. D. E.

( UM- UGM ‘ 03 )

17. Nilai x yang memenuhi 2.log(x + 1) = log (x + 4) + log 4 adalah……A. x = 5 atau x = -3 B. x= - 5 atau x = 3 C. x = 3 D. x = 5 E. x = - 5

( UAN‘ 02 )

18. Penyelesaian persamaan adalah p dan q.Untuk p > q, nilai p – q = …….

A. B. C. D. 2 E. 3

( EBTANAS ‘ 97 )

19. Penyelesaian persamaan adalah p dan q.Untuk p > q, nilai p – q = …….

A. B. C. - D. 2 E.

( EBTANAS ‘ 99 )

20. Jika x memenuhi persamaan , maka …….A . 4 B. 2 C. 1 D.- 2 E. - 4

(UMPTN ’ 92)

21. Jika , maka nilai a yang memenuhi adalah…..

A. B. C. 2 D. 3 E. 4

(UMPTN ‘ 96 )

22. Jika , maka x = ……

A. B. C.6 D. 8 E. 10

(UMPTN ‘ 97 )

23. Nilai x yang memenuhi persamaan adalah ……..

A. B. C.3 D. - 3 E. 0(UMPTN ‘ 94 )

24. Penyelesaian persamaan adalah p dan q.Maka nilai p + q adalah …..

A . B. C. D. E. (UMPTN ’ 93)

25. Jika log ( 2x + y ) = 1 dan maka xy = ……….

A . B.7 C.8 D.12 E. 16

(SPMB ‘ 05)26. Jika log ( 3 x 3 y 3 ) = 1 + 2 log x + log y , maka ………

A . x + y = B. C.x y 2 = D. x – y = E. 2x + y =

(SPMB ‘ 05)

27. Jika a > 0, b > 0 dan , maka a 2 b - =……A .- 1 B. 0 C. 3 D.1 E. - 2

(SPMB ‘ 04)

28. Jika dan maka a + b =……….A . 144 B. 272 C. 528 D.1024 E. 1040

(UMPTN ‘ 97 )

29. Jika a > 0 maka penyelesaian ( adalah ………A . 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

(SPMB ‘ 04)

30. Nilai x yang mememnuhi persamaan ( 2 log x ) 2 – 10 log x + 16 = 0 adalah ……A .4 atau 8 B. 2 atau 6 C. 4 atau 256 D. 2 atau 256 E. 8 atau 256

(UMPTN ‘88)

45


31. Jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan log 2 ( x + 2 ) + log ( x + 2 ) 3 = log 0,01 , maka nilai dari adalah ……

A . 0,9 B. 0,11 C.0,011 D.10 E. 100(UMPTN ‘94)

32. Jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan ( 2 log x – 1 ) = log 10 , maka x 1 . x 2 =…..

A .5 B. 4 C. 3 D. 2 E. (UMPTN ‘00)

33. Jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan =

……..

A . B. C. 1 D. - E. -

(SPMB ‘ 05)

34. Jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan , maka x 1 + x 2

=……A .5 B.6 C.60 D.110 E. 1100

(UMPTN ‘93)

95. Jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan x ( 2 + log x ) = 1000, maka x 1 . x 2 =……A . 0,1 B.0,01 C.10 D.100 E. 1000

(UMPTN ‘94)

36. Nilai x yang mememnuhi persamaan 10 4 log x – 5 . 10 2 log x = -4 adalah ……….A .1 B.4 C. 1 atau 2 D.1 atau 4 E. 2 atau 4

(SPMB , 00 ))

37. Nilai x yang mememnuhi persamaan adalah……..

A . 1 B.10000 C.10 D.100 E. 1000(UMPTN ‘91)

38. Jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan dan x 1 > x 2; a > 0, maka x 1 – x 2

adalah……A . 6 B.7 C.8 D.9 E. 10

(SPMB ‘04)39. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2 log ( 2x – 6 ) > 1 adalah ………

A .{ x / x > 0 } B. .{ x / x > 3 } C. .{ x / x > 4 } D. .{ x / x > 8 } E. .{ x / x > 10 }(UMPTN ‘88)

40. Semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 4 adalah……..

A . x > 3 B.-3< x < 3 C. 0 < x < 3 D.- 3 < x < 0 E. x<-3 atau x>3 (UMPTN ‘96)

41. Jika 2 log ( 1 – 2 log x ) < 2 , maka nilai x yang berlaku adalah …………..

A . B. C. 2 D.4 E.

(SPMB ‘ 05)

42. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah……..

A. - < x < B. – 2 < x < 2 C. –21 < x < atau < x < 2 D. x 2 atau x - 2 E. x > 2 atau x <

(UMPTN ‘99) 43 Penyelesaian pertidaksamaan adalah…….

A. x 7 B. x > 5 C. – 1 < x 5 D. – 1 x 6 E. x 6(UMPTN ‘98)

44. Penyelesaian pertidaksamaan adalah.......

A. – 3 x - 1 B. – 3 x 1 C. . – 1 x 1 D. x - 1 atau x - 3 E. x 1 atau x - 3

( UNAS ‘ 03)45. Nilai – nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2 log x – x log 2 > 0 adalah…….

46


A. x > B. x > 1

C. < x < 1 atau x > 2 D. – 1 < x < 0 atau x > 1

E. 1 < x < 2(UMPTN ‘ 00)

46. Nilai – nilai x yang memenuhi ( b log x ) 2 + 10 < 7. b log x dengan b > 1 adalah……A. 2 < x < 5 B. x < 2 atau x > 5 C. b 2 < x < b 5 D. x < b 2 atau x > b 5 E. 2b < x < 5b

(UMPTN ‘ 00)

47. Nilai – nilai x yang memenuhi adalah…..

A. x < 1 atau x > 2 B. 1 < x < 2 C. 0 < x < 2 D. x < 2 atau x > 3 E. 0 < x < 1 atau x > 2

(UMPTN ‘96)

48. Nilai – nilai x yang memenuhi adalah………

A. x - 100 B. x > - 10 C. 0 < x < D. < x < E. 2 < x < 10

(UM-UGM ‘ 05)49. Nilai maksimum fungsi f ( x ) = 2 log ( x + 5 ) + 2 log ( 3 – x ) adalah……..

A . 4 B.8 C.12 D.15 E. 16(UMPTN ’90 )

50. Grafik fungsi y = log x 2 adalah …………A B

C. D

E.

47

Y

x

Y

x

Y

x

Y

x

Y

x

bab 3 eksponen & logaritma

Documents