analisis titik ekuilibrium dan solusi model … · individu bertumbuh menurut grafik fungsi...

i

ANALISIS TITIK EKUILIBRIUM DAN SOLUSI MODEL

INTERAKSI PEMANGSA-MANGSA MENGGUNAKAN

METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN

TESIS

diajukan untuk memenuhi salah satu syarat

memperoleh gelar Magister Pendidikan

Disusun oleh:

Yulius Wahyu Putranto

NIM: 151442001

PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

iv

HALAMAN MOTTO

Tesis yang baik adalah tesis yang selesai.

(Yulius Wahyu Putranto, 2017)


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Tesis ini kupersembahkan untuk:

Ibuku Emiliana Yuniasih,

Bapaku Ignatius Bowo Hariyanto,

dan segenap keluarga yang mendukung dengan perhatiandan Doa.

Terima kasih.


vii

ABSTRAK

Yulius Wahyu Putranto, 2017. Analisis Titik Ekuilibrium dan Solusi Model InteraksiPemangsa-Mangsa Menggunakan Metode Dekomposisi Adomian.

Tesis.

Program Studi Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematikadan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, UniversitasSanata Dharma, Yogyakarta.

Tesis ini bertujuan untuk meneliti tentang sistem dinamika dua populasi dengansatu populasi memangsa populasi yang lain. Populasi disebut populasi pemangsa danpopulasi disebut populasi mangsa. Setiap spesies dari diasumsikan hanya mendapatmakanan dari sedangkan bertumbuh secara alami. Dengan demikian terjadi suatusistem dinamika pemangsa- mangsa. Aspek pemanenan ditambahkan pada kedua populasitersebut untuk mengetahui dampak yang terjadi pada titik ekuilibrium ketika keduapopulasi atau salah satu dilakukan pemanenan. Model yang dimodifikasi ada tiga macamyaitu model pemangsa-mangsa dengan aspek pemanenan pada mangsa, model pemangsa-mangsa dengan aspek pemanenan pada pemangsa dan model pemangsa-mangsa denganaspek pemanenan pada keduanya. Masing-masing model telah dianalisis kestabilan titikekuilibriumnya. Peneliti mencari solusi sistem dinamika dua populasi secara umum denganmetode dekomposisi Adomian. Pada analisis solusi sistem, dilakukan perhitungan dengantiga parameter yang berbeda, sehingga menghasilkan tiga macam interaksi yang berbeda.Interaksi yang muncul dengan parameter yang telah ditentukan adalah mutualisme,parasitisme dan kompetisi.

Kata Kunci: Sistem dinamis, model pemangsa-mangsa, titik ekuilibrium, DekomposisiAdomian.


viii

ABSTRACT

Yulius Wahyu Putranto, 2017. Analysis of Equilibrium Points and Solution ofPredator-Prey Interaction Model Using Adomian Decomposition Method.

Thesis.

Study Program of Master of Mathematics Education, Department of Mathematicsand Science Education, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata DharmaUniversity, Yogyakarta.

This thesis aims to examine the dynamical system of two populations with onepopulation prey on other populations. Population is called predator population andpopulation is called prey population. Each species of is assumed to only get food from

while grows naturally. Thus there is dynamical systems of predaror-prey. Harvestingaspects are added to both populations to determine the impacts that occur at the equilibriumpoint when the two populations or one is harvested. There were three kinds pf models thatwere modified: predator-prey models with harvesting aspects of prey, predator-prey modelswith harvesting aspects of predators and predatory models with harvesting aspects in both.Each model has analyzed the stability of the equilibrium point. We seek a general solutionfor dynamical systems in general with Adomian decomposition method. In the analysis ofsystem solutions have been calculated with three different parameters, so as to producethree kinds of different interactions. Interactions that arise with predetermined parametersare mutualism, parasitism and competition.

Keywords: Dynamical Systems, predator-prey models, equilibrium point, AdomianDecomposition


x

DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS

Sebagian hasil dari tesis ini telah dipresentasikan dalam konferensi

internasional dan/atau dipublikasikan dalam jurnal internasional sebagai berikut:

Y.W. Putranto dan S. Mungkasi, “Adomian decomposition method for

solving the population dynamics model of two species”, Journal of Physics:

Conference Series, Volume 795, Nomor 1, Artikel 012045, Tahun 2017

(terideks Scopus), Link Artikel:

http://doi.org/10.1088/1742-6596/795/1/012045

Selain itu, sebagian hasil lain sedang dalam persiapan untuk dikembangkan

menjadi artikel ilmiah yang disusun oleh pembimbing (Sudi Mungkasi) dan penulis

(Yulius Wahyu Putranto).


xi

KATA PENGANTAR

Sungguh sebuah mimpi yang menjadi kenyataan bagi penulis ketika tesis

yang berjudul Analisis Titik Ekuilibrium dan Solusi Model Interaksi Pemangsa-

Mangsa Menggunakan Metode Dekomposisi Adomian telah selesai dengan baik

dan tepat waktu. Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yang Maha

Kuasa, karena telah mengabulkan doa penulis selama menyusun tesis ini dan

senantiasa mendampingi dalam setiap tulisan yang dibuat oleh penulis.

Menjadi bagian dari keluarga Magister Pendidikan Matematika Sanata

dharma memang tidak terbayangkan oleh penulis mengingat sulitnya kerja keras

ketika menulis skripsi pada jenjang S1. Rencana Tuhan memang luar biasa karena

penulis diberi kesempatan untuk mengikuti kembali dunia kampus yang telah

ditinggalkan biarpun belum lama. Penulis berterima kasih kepada Suster Vianney,

S.SpS karena telah mendorong penulis untuk menempuh kembali kuliah S2

Pendidikan Matematika demi bekal di masa depan. Semangat itulah yang penulis

pegang selama mengikuti perkuliahan di S2 Pendidikan Matematika ini. Tentunya

keberhasilan menulis Tesis ini tidak luput dari para dosen dan teman-teman yang

penulis temui ketika menjadi bagian kembali di Kampus Sanata Dharma ini. Pada

kesempatan ini penulis ingin mengucapkan rasa terima kasih kepada:

1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing

yang sudah meluangkan waktu dan dengan sabar membimbing penulis,

sehingga tesis ini dapat diselesaikan dengan baik dan tepat waktu.

2. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., selaku Ketua Program Studi

Magister Pendidikan Matematika. Terima kasih sudah menjadi motivator


xii

dan memfasilitasi mahasiswa dalam berkonsultasi baik tentang perkuliahan

maupun tentang dunia luar perkuliahan sejak pertama kali masuk kuliah.

3. Bapak Dr. rer. nat. Herry Pribawanto Suryawan yang telah membimbing

pada awal penulisan tesis ini. Terima kasih sudah membimbing kami untuk

memulai masuk ke dalam dunia sistem dinamika.

4. Segenap dosen JPMIPA yang telah membantu dan memberikan dukungan

selama penulis menempuh kuliah, sehingga akhirnya penulis dapat

menyelesaikan tesis dengan baik dan tepat waktu dan segenap staf

Sekretariat JPMIPA yang telah membantu dalam hal administrasi kampus

selama penulis melaksanakan studi di sini.

5. Teman seperjuangan tesis yaitu Meta, Mas Beni dan Mas Tatak yang telah

mau saling memberi semangat dan meluangkan waktu untuk bersama-sama

untuk menyelesaikan tesis serta teman-teman dari Program Studi Magister

Pendidikan Matematika angkatan 2015-2016 yang memberikan dukungan

kepada penulis selama studi di S2 pendidikan matematika.

6. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang telah

membantu sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini.

Penulis menyadari tesis ini masih jauh dari sempurna, tetapi penulis

meyakini bahwa penulisan tesis ini memiliki kontribusi yang cukup bagi kampus

dan para pembaca yang ingin mengembangkan tesis ini. Terima kasih.

Penulis,

Yulius Wahyu Putranto


xiii

DAFTAR ISI

Halaman Judul ................................................................................................... i

Halaman Persetujuan Pembimbing .................................................................... ii

Halaman Pengesahan ......................................................................................... iii

Halaman Motto .................................................................................................. iv

Halaman Persembahan....................................................................................... v

Pernyataan Keaslian Karya ................................................................................ vi

Abstrak ............................................................................................................... vii

Abstract .............................................................................................................. viii

Pernyataan Persetujuan Publikasi Karya Ilmiah ................................................ ix

Daftar Publikasi Karya Ilmiah ........................................................................... x

Kata Pengantar ................................................................................................... xi

Daftar Isi ............................................................................................................ xiii

BAB I PENDAHULUAN.................................................................................. 1

A. Latar Belakang ....................................................................................... 1

B. Tinjauan Pustaka .................................................................................... 2

C. Perumusan Masalah ............................................................................... 4

D. Batasan Masalah .................................................................................... 4

E. Tujuan Penelitian ................................................................................... 5

F. Kebaruan Penelitian ............................................................................... 5

G. Manfaat Penelitian ................................................................................. 6

H. Sistematika Penulisan ............................................................................ 6

I. Metode Penelitian .................................................................................. 9

BAB II LANDASAN TEORI............................................................................ 10

A. Pemodelan Matematika.......................................................................... 10

B. Model Pertumbuhan Populasi ................................................................ 11

C. Aspek Pemanenan .................................................................................. 15

D. Aspek Kompetisi.................................................................................... 16

E. Sistem Persamaan Diferensial................................................................ 17

F. Metode Dekomposisi Adomian ............................................................. 34


xiv

G. Kerangka Berpikir.................................................................................. 38

BAB III ANALISIS KESTABILAN MODEL SISTEM DINAMIKA ............. 39

A. Model Pemangsa-Mangsa dengan Aspek Pemanenan pada mangsa ..... 40

B. Model Pemangsa-Mangsa dengan Aspek Pemanenan pada pemangsa . 47

C. Model dengan Aspek Pemanenan pada mangsa dan pemangsa ............ 54

BAB IV SOLUSI SISTEM DINAMIKA DENGAN METODE DEKOMPOSISI

ADOMIAN ........................................................................................................ 62

A. Mutualisme ............................................................................................ 63

B. Parasitisme ............................................................................................. 67

C. Kompetisi ............................................................................................... 70

BAB V ASPEK KEPENDIDIKAN................................................................... 75

A. Pembelajaran di Sekolah Menengah ...................................................... 75

B. Pembelajaran di S1 ................................................................................ 79

C. Refleksi .................................................................................................. 80

BAB VI PENUTUP ........................................................................................... 86

A. Kesimpulan ............................................................................................ 86

B. Saran ...................................................................................................... 87

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 88


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Model dinamika populasi sudah banyak dikembangkan dalam bidang

matematika biologi. Banyaknya individu akan selalu bertambah atau pun berkurang

setiap waktu tergantung pada laju pertumbuhan individu tersebut, sehingga dari

data jumlah individu pada suatu populasi tiap waktu dapat ditentukan pola atau

model matematika. Pada awal diperkenalkan, model pertumbuhan populasi berupa

model eksponensial. Model eksponensial memperlihatkan bahwa populasi suatu

individu bertumbuh menurut grafik fungsi eksponen. Seiring berjalannya waktu,

model pertumbuhan populasi diperbaiki dengan memperhatikan beberapa faktor

seperti tempat tinggal, ketersediaan makanan, ancaman bahaya, dan lain

sebagainya. Model baru yang diberikan dapat dikembangkan lebih realistis sesuai

kondisi suatu populasi berasal. Suatu populasi pastinya berinteraksi dengan

populasi yang lain sehingga menimbulkan suatu sistem dinamika.

Hubungan antara populasi memiliki berbagai macam sifat dan perilaku

antara lain pemangsa-mangsa, kompetisi, mutualisme, parasitisme, dan lain-lain.

Salah satu hubungan antara dua populasi yang akan dibahas adalah hubungan

pemangsa-mangsa. Hubungan tersebut dapat dibuat model dalam matematika yang

biasa disebut model pemangsa-mangsa. Model pemangsa-mangsa merupakan

sistem dinamika antara dua populasi dengan satu populasi memangsa populasi yang

lain. Dalam tesis ini, diteliti bahwa pada pihak yang dimangsa maupun pemangsa


2

terdapat aspek pemanenan. Solusi dari sistem secara umum akan dicari

menggunakan metode dekomposisi Adomian.

B. Tinjauan Pustaka

Sistem dinamika sudah banyak dibahas dalam berbagai buku dan jurnal

yang telah diterbitkan. Pada tesis ini beberapa artikel dan jurnal yang dijadikan

acuan adalah sebagai berikut:

1. Penelitian yang dilakukan oleh Rao (2011). A study on series solution of two

species lotka volterra equations by adomian decomposition and homotopy

pertubation methods. Pada penelitian tersebut Rao membandingkan dua metode

untuk menyelesaikan persamaan Lotka Voltera dua spesies.

2. Penelitian yang dilakukan oleh Zhou (2003) dengan judul The stability of

predator-prey systems subject to the Allee effects. Pada penelitian tersebut

diberikan model interaksi pemangsa-mangsa dengan dikenai efek Allee pada

pemangsa maupun mangsa. Allee effects adalah suatu batas bawah dari populasi

dengan batas tersebut membuat populasi tidak akan punah. Analisis grafik serta

titik ekuilibrium dilakukan untuk mengetahui efek yang ditimbulkan jika

dibandingkan dengan model yang aslinya.

Dari beberapa tinjauan pustaka di atas menunjukan bahwa model yang

semakin mendekati realita di dunia nyata maka modelnya semakin rumit, tetapi

tetap ada beberapa asumsi-asumsi untuk membatasi sebuah model. Model yang

terlalu kompleks akan sulit untuk dicari penyelesaiannya. Perbedaan penelitian

pada tesis ini terletak pada model dasar yang digunakan. Peneliti menggunakan


3

model pertumbuhan logistik pada interaksi pemangsa-mangsa. Pada sistem ini

peneliti menambahkan aspek pemanenan baik pada mangsa maupun pemangsa.

Solusi secara umum model sistem dinamika akan dicari menggunakan pendekatan

Metode Dekomposisi Adomian.

Berdasarkan tinjauan pustaka, letak penelitian ini dapat digambarkan

dengan diagram berikut berikut:

Keterangan diagram:

: Hal yang dibahas pada penelitian ini.

: Hubungan antara penelitian yang sudah dilakukan.

: Penelitian yang telah dilakukan sebelumnya.

Diagram 1.1. Letak penulisan tesis ditinjau dari beberapa penelitian yang telah

dilakukan.

ANALISIS TITIK EKUILIBRIUM DAN SOLUSIMODEL INTERAKSI PEMANGSA-MANGSAMENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI

ADOMIAN

Zhou (2003). The stability ofpredator-prey systems

subject to the Alle effects

Rao (2011). A study on Series Solution oftwo Species Lotka Volterra Equations byAdomian Decomposition and Homotopy

Pertubation Methods.

Putranto dan Mungkasi (2017). Adomiandecomposition method for solving the population

dynamics model of two species.


4

C. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang telah dipaparkan maka rumusan

masalah dalam penelitian ini adalah:

1. Bagaimana modifikasi model sistem dinamika interaksi dua populasi

pemangsa-mangsa dengan aspek pemanenan pada pemangsa dan mangsa?

2. Bagaimana analisis sifat-sifat kestabilan titik ekuilibrium model sistem

dinamika interaksi dua populasi dengan aspek pemanenan pada pemangsa dan

mangsa?

3. Bagaimana solusi secara umum sistem dinamika dengan metode dekomposisi

Adomian?

D. Batasan Masalah

Pada penelitian ini, masalah yang dibahas adalah sistem dinamika populasi

dua spesies dengan interaksi pemangsa-mangsa. Kedua populasi berinteraksi di

dalam ekosistem yang tertutup, artinya tidak ada laju pertumbuhan populasi yang

diakibatkan oleh faktor migrasi. Aspek lain seperti bencana alam, pemangsa lain

dan penyakit tidak diperhitungkan. Peneliti hanya memberi aspek pemanenan pada

interaksi dua populasi pemangsa-mangsa. Metode yang digunakan untuk mencari

solusi secara umum adalah metode dekomposisi Adomian.


5

E. Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah di atas maka tujuan penelitian ini adalah:

1. Untuk modifikasi model sistem dinamika interaksi dua populasi pemangsa-

mangsa dengan aspek pemanenan pada pemangsa dan mangsa.

2. Untuk analisis sifat-sifat kestabilan titik ekuilibrium model sistem dinamika

interaksi dua populasi dengan aspek pemanenan pada pemangsa dan mangsa.

3. Untuk mengetahui solusi secara umum sistem dinamika dengan metode

dekomposisi Adomian.

F. Kebaruan Penelitian

Dalam penelitian ini dilakukan modifikasi model dengan aspek pemanenan

yang terjadi pada dua populasi yang berinteraksi. Salah satu model diberi aspek

pemanenan terjadi pada pihak mangsa saja dan model yang lain hanya terjadi pada

pihak pemangsa saja. Kombinasi dari kedua model tersebut menghasilkan model

ketiga sehingga terdapat aspek pemanenan pada pemangsa maupun mangsa. Solusi

umum dari sistem dinamika juga dicari dengan pendekatan menggunakan metode

dekomposisi adomian.


6

G. Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini adalah:

1. Menambah pengetahuan dalam analisis kestabilan model sistem dinamika

populasi pemangsa-mangsa dengan pemanenan pada pemangsa dan mangsa.

2. Mengetahui yang terjadi pada kedua populasi jika berinteraksi dalam jangka

panjang.

3. mengetahui salah satu metode untuk menyelesaikan sebuah sistem persamaan

diferensial

4. Memberikan informasi bagi peneliti selanjutnya untuk menganalisis kasus yang

lebih kompleks.

5. Memberi pengetahuan kepada guru dan siswa Sekolah Menengah Atas tentang

kegunaan persamaan diferensial.

H. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan akan dibagi menjadi lima bagian, yaitu:

BAB I: Pendahuluan

Pada bab ini dijelaskan mengenai latar belakang, tinjauan pustaka,

perumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan

sistematika penulisan. Permasalahan pada bab ini diawali dari sebuah masalah pada

bidang biologi tentang pertumbuhan populasi. Suatu populasi yang bertumbuh

dapat dibuat model matematika sehingga dapat dianalisis perilaku jangka populasi

tersebut dalam jangka panjang. Model populasi dapat dikembangkan ketika suatu

populasi saling berinteraksi satu sama lain sedemikian hingga membentuk sebuah


7

sistem yang mengakibatkan setiap populasi akan mempengaruhi populasi yang lain.

Solusi dari sebuah sistem tersebut sulit untuk didapatkan secara eksak tetapi dapat

dilakuan dengan metode pendekatan salah satunya Metode Dekomposisi Adomian.

BAB II: Landasan Teori

Pada bab ini dijelaskan mengenai teori-teori yang terkait dengan penelitian

antara lain: pemodelan matematika, persamaan diferensial, sistem persamaan

diferensial nonlinear, model pertumbuhan logistik, model pertumbuhan logistik

populasi dua spesies dengan interaksi pemangsa-mangsa, dan analisis titik

ekuilibrium.

BAB III: Analisis Kestabilan Sistem Dinamika

Bab ini membahas tentang analisis kestabilan tiap titik ekuilibrium dari

model sistem dinamika pemangsa-mangsa yang telah dimodifikasi. Model

dimodifikasi dengan menambahkan aspek pemanenan baik pada pemangsa

saja,atau mangsa saja maupun keduanya. Hal ini mengacu pada rumusan masalah

pada Bab I di mana peneliti membuat modifikasi model dengan aspek pemanenan

dan analisis kestabilan titik ekuilibriumnya.

BAB IV: Solusi Model dengan Metode Dekomposisi Adomian

Pada bab ini akan dipaparkan hasil serta pembahasan mengenai solusi dari

model pertumbuhan logistik populasi dua spesies secara umum. Nilai parameter

yang diberikan ada tiga jenis sehinga mengakibatkan tiga macam interaksi yaitu

interaksi mutualisme, parasitisme dan kompetisi. Masing-masing model dicari

solusinya dengan mengitung menggunakan Metode Dekomposisi Adomian.

Software Maple dan Matlab digunakan untuk menghitung solusi dari sistem


8

persamaan diferensial dan menggambar grafik dari perilaku model populasi yang

dapat dianalisis perilaku jangka panjang.

BAB V : Aspek Kependidikan

Pada bab ini akan dibahas tentang berbagai aspek kependidikan yang terkait

dengan materi tesis. Aspek kependidikan yang dibahas adalah kependidikan adalah

aplikasi tentang sistem dinamika pada pada jenjang Sekolah Menengah dan tingkat

S1. Pada jenang sekolah menengah dibuat dengan membuat soal cerita dengan

sistem dinamika, sedangkan untuk jenjang S1 sudah ada mata kuliah tentang

pemodelan matematika yang membahas masalah sistem dinamika populasi secara

lebih detail. Selain itu terdapat refleksi dari peneliti tentang penulisan tesis

matematika murni.

BAB VI: Penutup

Pada bab ini dijelaskan mengenai kesimpulan dari pembahasan yang telah

diuraikan pada bab sebelumnya. Kesimpulan meliputi modifikasi model, analisis

kestabilan titik ekuilibrium dan solusi dengan Metode Dekomposisi Adomian serta

beberapa saran yang berkaitan dengan hal yang dibahas pada tesis ini.


9

I. Metode Penelitian

Penelitian ini adalah penelitian pustaka (Studi Literatur) dengan pendekatan

secara mendalam mengenai analisis titik ekuilibrium. Metode Dekomposisi

Adomian digunakan untuk mencari solusi dari hal yang dibahas dengan pendekatan

secara analitik. Selain perhitungan manual tersebut, simulasi komputer

menggunakan program Maple dan Matlab juga dilakukan untuk membantu

pertihungan dan menggambar grafik. Tercapainya tujuan dari penelitian ini

dilakukan dengan beberapa langkah kerja. Langkah pertama adalah melakukan

kajian terhadap buku-buku, jurnal, artikel, atau makalah yang terkait dengan topik

penelitian. Langkah kedua adalah menganalisa titik ekuilibrium model matematika

yang diperoleh yaitu model pertumbuhan populasi dua spesies pemangsa-mangsa

dengan aspek pemanenan dan menggambarkan perilaku dari modifikasi model

yang telah didapat menggunakan program Matlab. Langkah ketiga adalah

mencari solusi model secara umum dengan Metode Dekomposisi Adomian.

Langkah terakhir adalah memberi penjelasan mengenai arti dari grafik yang

diperoleh baik pada analisis titik ekuilibrium maupun pada solusi dengan Metode

Dekomposisi Adomian.


10

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Pemodelan Matematika

Pemodelan matematika merupakan suatu proses matematisasi dari dunia

nyata menuju dunia matematika, artinya permasalahan yang ada pada dunia nyata

diterjemahkan ke dalam bahasa matematika. Pertumbuhan populasi merupakan

salah satu dari berbagai permasalahan di dunia nyata yang dapat dibawa ke dalam

dunia matematika menggunakan teori-teori yang sesuai. Pada perkembangannya,

model yang sudah dibentuk dapat dikembangkan lagi dengan menambah aspek-

aspek yang lain yang sekiranya mempengaruhi. Menurut Lovitt (1991) pemodelan

matematika ditandai oleh dua ciri utama, yaitu:

1. Pemodelan bermula dan berakhir dengan dunia nyata

2. Pemodelan membentuk suatu siklus

Pada prosesnya pemodelan memiliki beberapa tahap yang saling berhubungan satu

dengan yang lainnya. Proses pemodelan dapat digambarkan seperti sebuah siklus

yang terus mengalami perbaikan. Berikut ini merupakan gambar dari siklus

pemodelan matematika:

Perumusan

Perbaikan

Interpretasi

Gambar 2.1. Pemodelan matematika menurut Lovitt

Dunia nyataModel

matematika


11

B. Model Pertumbuhan Populasi

Model pertumbuhan populasi pertama kali diperkenalkan oleh Malthus

dengan model pertumbuhan eksponensial. Model ini memperlihatkan bahwa

pertumbuhan individu pada populasi mengikuti grafik eksponensial, sehingga

model awal dari pertumbuhan eksponensial yang diperlihatkan dalam Murray

(2001:2) adalah: = ,dengan konstanta > 0 merupakan laju pertumbuhan populasi dan (0) = .

Dengan demikian menurut Murray (2001:2), laju pertumbuhan eksponen dapat

dicari solusinya. Shonkwiler (2009:15) mengemukakan hal yang sama sehingga

nilai setiap waktu dapat dicari dengan fungsi sebagai berikut:= ,= ,= ,

ln = + ,( ) = ,( ) = .substitusikan (0) = , sehingga diperoleh persamaan:

(0) = ,= ,( ) = ,


12

dengan

: jumlah populasi,

: laju pertumbuhan populasi,

: waktu.

Model Malthus masih memiliki banyak kekurangan. Pada tahun 1838

Verhulst mengemukakan sebuah model pertumbuhan populasi baru yang

merupakan perbaikan dari model Malthus. Model tersebut biasa disebut model

logistik. Model ini memperhatikan berbagai aspek-aspek yang tidak ada pada model

sebelumnya seperti daya dukung alam. Daya dukung alam merupakan kemampuan

alam sekitar dalam mendukung kelangsungan hidup suatu populasi baik dari segi

makanan, lahan untuk tinggal dan sebagainya. Model logistik dirumuskan sebagai

berikut seperti dalam Murray (2001:3):

= 1 − .Model pertumbuhan logistik tersebut bertumbuh dengan laju dan memiliki

daya dukung alam . Konstanta dan merupakan konstanta positif dari model

tersebut. Model ini memiliki solusi yang berasal dari model yang diberikan. Model

logistik yang diberikan dilakukan pengintegralan untuk mendapatkan solusi.

Murray (2001:3) menuliskan solusi dari model logistik sebagai berikut:

= 1 − ,1 − = .


13

Kedua ruas diintegralkan sehingga didapat penyelesaian sebagai berikut:

1 − = + .Dengan menggunakan teknik pengintegralan fungsi rasional, maka dapat dicari

hasil integral pada ruas kiri sebagai berikut:

1 − = + 1 − ,1 − = 1 − +1 − ,1 − = − +1 − ,

(0 + 1 )1 − = − +1 − ,= 1, atau − = 0, = .

Hasil integral tersebut membentuk persamaan menjadi:

+ 1 − = + ,1 + 1/1 − = + ,1 + 1( − ) = + ,ln| | + ln| − | = + ,


14

ln − = + ,− = .

Misalkan = maka persamaan di atas akan menjadi:

= − 1.Populasi awal untuk (0) = , sehingga dengan mensubstitusi ke

variabel maka didapat:

(0) = − 1,= − 1,

= − .Dengan demikian solusi dari model pertumbuhan logistik adalah sebagai

berikut:

( ) = − 1,( ) = −− − 1,( ) = − + ,

( ) = [ + ( − 1)],


15

dengan

: jumlah populasi,


: daya dukung alam terhadap populasi,

: waktu.

Secara umum model pertumbuhan populasi tunggal dalam Murray (2001:5)

memiliki model sebagai berikut:

= ( ),dengan ( ) merupakan fungsi nonlinear dari kemudian solusi ekuilibrium ∗merupakan solusi dari ( ) = 0 dan secara umum stabil untuk gangguan kecil

jika ’( ∗) < 0 dan tidak stabil jika ’( ∗) > 0.

C. Aspek Pemanenan

Model pertumbuhan dengan aspek pemanenan diperkenalkan pertama kali

oleh Rotenberg tahun 1987 dalam Murray (2001:31). Pada model ini, aspek

pemanenan ditambahkan pada model pertumbuhan logistik. Model yang baru

dalam Murray (2001:31) adalah:

= 1 − − ,dengan

: jumlah populasi,



16


: laju pemanenan.

Konstanta , dan adalah konstanta positif dan merupakan banyaknya

pemanenan tiap satu waktu dengan adalah besaran dari pemanenan.

D. Aspek Kompetisi

Kompetisi pada individu merupakan hal yang biasa terjadi. Setiap populasi

yang hidup bersama tentunya akan saling berkompetisi satu sama lain karena yang

diinginkan adalah hal yang sama. Murray (2001:94) menuliskan model dengan

aspek kompetisi dari masing-masing individu. Model berikut berdasarkan model

kompetisi dua spesies Lotka-Volterra dengan spesies dan yang bertumbuh

secara logistik dan berinteraksi satu sama lain. Model tersebut adalah:

= 1 − − ,= 1 − − ,

dengan

: jumlah populasi pertama,

: jumlah populasi kedua,




17

: laju pertumbuhan populasi pertama ketika berkompetisi dengan populasi

kedua,

: laju pertumbuhan populasi kedua ketika berkompetisi dengan populasi

pertama.

E. Sistem Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial merupakan persamaan yang menghubungkan nilai

fungsi tersebut dengan turunannya. Bentuk dari persamaan diferensial biasanya

berupa laju perubahan. Dalam penelitian ini laju perubahan atau pertumbuhan

sebuah populasi digambarkan dalam bentuk persamaan diferensial. Setiap populasi

yang ada akan berkumpul dan hidup membentuk ekosistem. Interaksi antar populasi

ini yang akan menjadi interpretasi dari sebuah sistem persamaan diferensial.

Salah satu interaksi antar populasi yang ada adalah hubungan predasi. Dua

populasi yang hidup akan hidup bersama tetapi salah satu populasi akan menjadi

makanan bagi populasi yang lain. Hubungan ini biasa disebut interaksi dua spesies

pemangsa-mangsa. Pada awalnya populasi pertama bertumbuh secara eksponen

dan populasi kedua pun demikian. Kedua populasi berinteraksi, hal ini

mengakibatkan populasi kedua bertambah banyak karena populasi pertama

diasumsikan merupakan satu-satunya makanan dari populasi kedua dan populasi

pertama akan semakin berkurang karena dimakan oleh populasi kedua. Beberapa

model interaksi berikut menunjukan dua populasi pemangsa-mangsa dengan cara

bertumbuh secara eksponensial dan secara logistik.


18

1. Model dasar interaksi pemangsa-mangsa

Model dasar yang diperkenalkan adalah model yang pertumbuhan

populasi secara eksponensial. Kedua populasi bertumbuh secara eksponen

dan saling berinteraksi satu sama lain. Populasi yang bertumbuh akan

berkurang ketika berinteraksi dengan P dikarenakan merupakan makanan

dari . Populasi akan semakin bertambah ketika berinteraksi dengan

dikarenakan tersedianya makanan. Dengan demikian, model interaksi dua

populasi dapat dirumuskan sebagai berikut:

= − ,= − + ,

dengan , , , > 0 dan

: jumlah populasi mangsa,

: laju pertumbuhan populasi mangsa,

: laju pertumbuhan mangsa ketika berinteraksi dengan pemangsa,

: jumlah populasi pemangsa,

: laju pertumbuhan pemangsa,

: laju pertumbuhan pemangsa ketika berinteraksi dengan mangsa.

a. Titik ekuilibrium

Menurut Waltman (1983:12) syarat untuk mencapai titik

ekuilibrium dapat terjadi ketika sistem persamaan disubtitusikan titik


19

ekulibrium maka fungsi tersebut akan bernilai 0 (nol) sedemikian

hingga mengakibatkan = = 0. Selanjutnya akan diperoleh dua

persamaan nonlinear sebagai berikut:

− = 0,− + = 0.

Dari sistem persamaan nonlinear tersebut diperoleh titik

ekuilibrium yaitu (0,0) dan , .

b. Linearisasi

Linearisasi merupakan proses membawa suatu sistem nonlinear

menjadi sistem linear. Menurut Perko (2001:102) Linearisasi bertujuan

untuk memperoleh aproksimasi sederhana dengan menggunakan deret

Taylor untuk mencari suatu hampiran solusi di sekitar titik ekuilibrium.

= = − −− + .

Dengan mensubstitusikan titik dan pada matriks Jacobi

tersebut maka diperoleh:

= 00 − dan = 0 0 .

Matriks jacobi yang diperoleh dari hasil subtitusi masing-masing

titik ekuilibrium akan digunakan untuk mencari nilai eigen. Nilai eigen


20

yang didapatkan akan digunakan untuk menentukan jenis titik

ekuilibrium tersebut dan jenis kestabilan.

c. Analisis Kestabilan Titik Ekuillibrium

Berdasarkan matriks Jacobi yang telah dicari maka analisis

kestabilan pada titik ekuilibrium dapat ditentukan dengan mencari nilai

eigen dari masing-masing matriks jacobi. Nilai eigen dapat dicari ketika

memenuhi persamaan det( − ) = 0, dimana merupakan nilai

eigen dari matriks Jacobi. Adapun kriteria kestabilan menurut Boyce

dan DiPrima (2012 : 504) adalah sebagai berikut:

Tabel 2.1. Kriteria jenis titik kritis dan kestabilan

No Nilai Eigen Jenis titik kritis Kestabilan1 > > 0 Simpul Tidak stabil2 < < 0 Simpul Stabil Asimtotik3 < 0 < Titik Sadel Tidak stabil

4 = > 0 Simpul sejatiatau tidak sejati

Tidak stabil

5 = < 0 Simpul sejatiatau tidak sejati

Stabil asimtotik

6 , = ± Titik Spiral> 0 Tidak stabil7 < 0 Stabil asimtotik8 = ,= − Pusat Stabil

Dengan demikian kestabilan dari interaksi dari populasi

tersebut dapat dicari dengan mensubstitusi titik ekuilibrium ke dalam

matriks Jacobi berdasarkan uraian di atas. Berikut merupakan nilai


21

eigen yang telah dicari setelah mensubtitusi masing-masing titik

ekuilibrium pada matriks jacobi:

1) Titik ekuilibrium (0,0) dengan matriks = 00 − .Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:== −Dikarenakan < 0 < maka titik tersebut merupakan

titik sadel sehingga titik ekuilibrium pada bersifat tidak stabil.

2) Titik ekuilibrium , dengan matriks = 0 0 .Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:= − √= √Dikarenakan = , = − maka titik tersebut

merupakan titik pusat sehingga titik ekuilibrium pada bersifat

stabil.

Jenis-jenis titik ekuilibrium dapat terjadi dalam berbagai

kasus yang melibatkan sistem persamaan diferensial. Berikut

merupakan penjelasan dari masing-masing titik ekuilibrium yang

dicari menggunakan contoh:


22

1) Titik simpul.

Titik simpul akan terjadi ketika nilai eigen dan

seluruhnya bernilai positif atau negatif. Diberikan contoh sistem

persamaan diferensial linear sebagai berikut:⁄⁄ = −2 11 −2Nilai eigen dapat dicari dengan memenuhi persamaan

det −2 11 −2 − 1 00 1 = 0, sehingga dengan menggunakan

Pplane8 pada matlab dapat dilihat titik simpul sebagai berikut:

Gambar 2.2. Grafik jenis titik simpul

Pada Gambar 2.2 tersebut digambarkan bentuk dari titik

simpul. Jika diambil nilai dari arah mana pun akan menuju titik

tersebut dengan sedikit membelok sehingga akan terlihat seperti

sebuah simpul.


23

2) Titik simpul sejati.

Titik simpul sejati atau tidak sejati akan terjadi ketika nilai

eigen dan bernilai sama baik seluruhnya berupa bilangan

positif atau negatif. Diberikan contoh sistem persamaan diferensial

linear sebagai berikut: ⁄⁄ = 4 00 4Nilai eigen dapat dicari dengan memenuhi persamaan

det 4 00 4 − 1 00 1 = 0, sehingga dengan menggunakan


Gambar 2.3. Grafik jenis titik simpul sejati

Titik simpul sejati tersebut akan membuat berapapun nilai

yang diambil maka akan menuju titik tersebut tanpa ada yang


24

membelok sehingga terlihat seperti garis lurus yang langsung

menuju ke suatu titik.

3) Titik sadel.

Titik sadel akan terjadi ketika nilai eigen dan salah satu

bernilai positif atau negatif. Diberikan contoh sistem persamaan

diferensial linear sebagai berikut:⁄⁄ = −2 46 −2Nilai eigen dapat dicari dengan memenuhi persamaan



.

Gambar 2.4. Grafik jenis titik sadel


25

Pada titik sadel tersebut garis-garis yang berasal dari

berbagai titik akan dibelokan menjauhi titik tersebut. Pada awalnya

garis tersebut akan mendekati titik sadel tersebut, tetapi setelah

mendekati akan dibelokkan menjauhi titik tersebut.

4) Spiral.

Titik spiral akan terjadi ketika nilai bagian real dari eigen

dan yang merupakan bilangan kompleks seluruhnya bernilai

positif atau negatif. Diberikan contoh sistem persamaan diferensial

linear sebagai berikut: ⁄⁄ = −2 32 −2Nilai eigen dapat dicari dengan memenuhi persamaan


program Pplane8 pada matlab dapat dilihat titik simpul sebagai

berikut:


26

Gambar 2.5. Grafik jenis titik spiral

Nilai yang diambil dari berbagai arah akan menuju ke suatu

titik seolah-olah akan mengelilingi titik tersebut.

5) Titik Pusat.

Titik pusat akan terjadi ketika nilai bagian imajiner dari

eigen dan yang merupakan bilangan kompleks salah satu

bernilai positif atau negatif.. Diberikan contoh sistem persamaan

diferensial linear sebagai berikut:⁄⁄ = 0 −88 0Nilai eigen dapat dicari dengan memenuhi persamaan

det 0 −88 0 − 1 00 1 = 0, sehingga dengan menggunakan



27

Gambar 2.6. Grafik jenis titik pusat

Grafik pada titik pusat membuat nilai yang diambil dari

berbagai arah hanya mengelilingi titik tersebut tanpa adanya upaya

untuk mendekati maupun menjauhi.

d. Grafik interaksi pemangsa-mangsa

Pada sistem persamaan pemangsa-mangsa diberikan nilai untuk

tiap parameter yang ada yaitu = 0.4, = 0.3, = 0.01, dan =0.005. Gambar yang dihasilkan dengan bantuan Matlab adalah

sebagai berikut:


28

Gambar 2.2. Grafik interaksi pemangsa-mangsa

Pada Gambar 2.2 tersebut jumlah pemangsa dan mangsa akan

saling bertambah dan berkurang secara terus menerus. Pemangsa akan

bertambah seiring dengan berkurangnya mangsa. Sedangkan dari sisi

mangsa, populasi akan bertambah ketika jumlah pemangsa mulai

berkurang.

2. Model Logistik interaksi Pemangsa-Mangsa

Model yang bertumbuh secara eksponensial dinilai kurang realistis

dikarenakan tidak ada sesuatu yang membatasi model eksponensial

sehingga populasi akan bertumbuh menuju tak hingga. Populasi yang hidup

di suatu tempat pastinya memiliki daya dukung alam yang mampu

menghidupi makhluk hidup di daerah tersebut. Model interaksi populasi


29

pertama ( ) dan populasi kedua ( ) dibentuk ulang menjadi bertumbuh

secara logistik dengan memperhatikan aspek daya dukung alam, sehingga

tidak akan mungkin populasi tumbuh terus menerus sampai tak hingga.

Dengan demikian model yang baru yang dibentuk menjadi:

= 1 − − ,= − 1 − + ,

dengan , , , , , > 0 dan




: daya dukung alam sekitar pada populasi mangsa,



: laju pertumbuhan pemangsa ketika berinteraksi dengan mangsa,

: daya dukung alam sekitar pada populasi pemangsa.

a. Titik Ekuilibrium

Syarat untuk mencapai titik ekuilibrium dapat terjadi ketika

kedua sistem persamaan bernilai 0 (nol) yaitu = = 0. Sehingga

akan diperoleh sistem persamaan nonlinear dua variabel sebagai berikut:


30

1 − − = 0,− 1 − + = 0,

Berdasarkan sistem persamaan nonlinear tersebut diperoleh titik

ekuilibrium (0,0), ( , 0), (0, ) dan , ( ).

b. Konstruksi Matriks Jacobi

Perko (2001:63) menuliskan cara untuk mengkonstruksi

matriks Jacobi. Hal tersebut dapat dilakukan dengan cara berikut dalam

linearisasi dari sistem persamaan nonlinear:

= = − 2 / − ) −− + 2 / + .Dengan mensubstitusikan titik , , dan pada matriks

Jacobi tersebut maka diperoleh:= 00 − , = − 2 −0 − + , = − 0 dan

= ( − )− − ( − )−( − )− ( − )− .c. Analisis Kestabilan Titik Ekuillibrium

Berdasarkan matriks Jacobi yang telah dicari maka analisis

kestabilan pada titik ekuilibrium dapat ditentukan dengan mencari nilai


31

eigen. Boyce dan DiPrima (2012:504) menuliskan syarat untuk menjaci

nilai eigen adalah dengan memenuhi persamaan det( − ) = 0,

dimana merupakan nilai eigen dari matriks Jacobi. Berdasarkan Tabel

2.1, maka kriteria kestabilan Model Logistik pemangsa-mangsa adalah:

1) Titik ekuilibrium (0,0) dengan matriks = 00 − .Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:== −Dikarenakan < 0 < maka titik tersebut merupakan titik sadel

sehingga titik ekuilibrium pada bersifat tidak stabil.

2) Titik ekuilibrium ( , 0) dengan matriks= − 2 −0 − + .Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:

= − (negatif)

= − +a) jika =− + bernilai positif, < maka titik tersebut

berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil.

b) jika =− + bernilai negatif, > maka titik tersebut

berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil.

3) Titik ekuilibrium (0, ) dengan matriks = − 0 .Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:


32

= −= (positif)

a) jika = − bernilai positif, > maka titik tersebut

berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil.

b) jika = − bernilai negatif, < maka titik tersebut


4) Titik ekuilibrium , ( )dengan matriks

= ( − )− − ( − )−( − )− ( − )− .Andaikan nilai dari masing-masing elemen dimisalkan menjadi, , dan , maka matriks Jacobi akan menjadi sebagai berikut:

= ( − )− = − ( − )− =( − )− = ( − )− = ,= .

Diperoleh nilai eigen ( ) dengan kemungkinan sebagai berikut:

, = ( + ) ± ( − ) + 42 .Di sini , , dan merupakan bilangan hasil pencarian nilai eigen

yang berasal dari elemen matriks . Nilai , , dan sangat

menentukan jenis dan kestabilan dari titik ekuilibrium . Berikut

adalah kemungkinan secara umum dari nilai , , dan :


33

a) Jika + dan ( − ) + 4 bernilai positif, maka titik

tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat

tak stabil.

b) Jika + bernilai negatif, ( − ) + 4 bernilai positif, dan

| + | < ( − ) + 4 maka titik tersebut berupa titik sadel

sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil.

c) Jika A bernilai negatif, ( − ) + 4 bernilai positif, dan

| + | > ( − ) + 4 maka titik tersebut berupa titik

simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil asimtotik.

d) Jika ( − ) + 4 bernilai negatif dan + bernilai positif

maka titik tersebut berupa titik spiral dengan sifat tak stabil.

e) Jika ( − ) + 4 bernilai negatif dan + bernilai negatif

maka titik tersebut berupa titik spiral dengan sifat stabil

asimtotik.

d. Grafik Interaksi Pemangsa-Mangsa yang bertumbuh secara

Logistik

Pada sistem persamaan pemangsa-mangsa logistik diberikan

nilai untuk tiap parameter yang ada yaitu = 0.4, = 0.3, =0.01, = 0.005, = 1000 dan = 200. Gambar yang dihasilkan

dengan bantuan Matlab adalah sebagai berikut:


34

Gambar 2.3. Grafik interaksi pemangsa-mangsa yang bertumbuh secara

logistik

Pada Gambar 2.3. terlihat bahwa ketika pemangsa dan mangsa

berinteraksi terus menerus dalam jangka waktu panjang maka perilaku

kedua populasi akan berada disekitar suatu titik kesetimbangan.

F. Metode Dekomposisi Adomian

Salah satu cara untuk mencari solusi dari sebuah sistem persamaan

nonlinear adalah menggunakan metode dekomposisi Adomian. Metode ini banyak

menarik perhatian di dunia matematika terapan beberapa tahun ini. Banyak peneliti

yang menggunakan metode dekomposisi Adomian baik untuk menyelesaikan suatu

sistem ataupun membandingkan dengan metode lain. Metode dekomposisi


35

Adomian memang bukan yang paling sempurna tetapi metode ini cukup mudah dan

efektif ketika digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial.

Metode dekomposisi Adomian dapat digunakan untuk menyelesaikan

sebuah persamaan diferensial maupun suatu sistem persamaan diferensial. Berikut

ini merupakan contoh penggunaan metode dekomposisi Adomian pada sebuah

sistem persamaan nonlinear. Persamaan diambil dari Batiha dkk (2016:903):

= + + ,= + + . (2.1)

Dengan mengubah = sesuai dengan Wazwaz (2009:22), maka bentuk dari

sistem (2.1) menjadi:

= + + ,= + + , (2.2)

dan mengoperasikan = ∫ (. ) pada kedua ruas dari sistem nonlinear tersebut

sedemikian hingga sistem dari persamaan nonlinear menjadi:= + + ,= + + . (3.2)

Metode dekomposisi Adomian mengubah dekomposisi dan menjadi komponen

jumlahan yang tak terbatas sehingga komponen dan dapat diubah menjadi:


36

( ) = , ( ) = ,(4.2)

dan untuk komponen yang nonlinear seperti , dan y akan diubah menjadi

= , = , = .(5.2)

Jumlahan dari komponen nonlinear dapat dilihat sebagai berikut:

= , = , = ,(6.2)

sehingga dapat ditentukan polinomial Adomian untuk , dan :

== += + += + + +...

(7.2)

== += + += + + +(8.2)


37

... == += + += + + +

...

(9.2)

Sistem persamaan diferensial nonlinear dari (3.2) dapat ditulis dengan

mensubstitusikan (4.2), (5.2) dan (6.2) seperti pada Rao (2011), sehingga

persamaan tersebut akan menjadi:

⎩⎪⎨⎪⎧ ( ) − (0) = − +

( ) − (0) = − + (10.2)

⎩⎪⎨⎪⎧ = (0) + − +

= (0) + − + (11.2)

Nilai awal (0) = , (0) = , sehingga solusi dari sistem dapat dicari.

Iterasi yang dilakukan yaitu mensubstitusikan (7.2), (7.3) dan (7.4) pada (11.2)

sedemikian hingga iterasi dapat ditentukan sebagai berikut:= (0) == + + (12.2)


38

= (0) == + + (13.2)

Secara umum solusi dari sistem adalah jumlahan dari seluruh iterasi yang

didapat sampai tak hingga, tetapi peneliti dapat menentukan banyaknya iterasi

sesuai kebutuhan. Contoh ketika solusi dicari dengan jumlahan sampai iterasi

ketujuh adalah sebagai berikut:

= + + + + + + + , (14.2)= + + + + + + + . (15.2)

G. Kerangka Berpikir

Sejauh ini telah dipelajari beberapa teori dan definisi mengenai pemodelan

matematika, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial nonlinear, model

pertumbuhan populasi, model pertumbuhan populasi dua spesies pemangsa-

mangsa, titik ekuilibrium, linearisasi dan analisis kestabilan titik ekuilibrium.

Berdasarkan apa yang telah dipelajari, akan dilakukan analisa kestabilan dari model

pertumbuhan populasi dua spesies pemangsa-mangsa dan disusun program untuk

menunjukkan grafik dari pemodelan yang diperoleh serta menganalisis perilaku

kedua populasi dalam jangka panjang. Solusi secara umum dari persamaan

diferensial tersebut akan dicari menggunakan Metode Dekomposisi Adomian.


39

BAB III

ANALISIS KESTABILAN MODEL SISTEM DINAMIKA

Model pertumbuhan logistik dinilai lebih realistis dari pada model

eksponensial yang merupakan model terdahulu dikarenakan model pertumbuhan

logistik mempertimbangkan aspek daya dukung alam. Pada interaksi spesies

pertama ( ) dan spesies kedua ( ) di suatu ekosistem akan diterapkan beberapa

kondisi tambahan seperti pemanenan pada salah satu spesies maupun keduanya.

Sebelum membuat model-model matematika, ada beberapa asumsi yang perlu

diperhatikan dalam pengembangan model ini.

Beberapa asumsi yang diberikan oleh peneliti adalah sebagai berikut:

1. Interaksi dua spesies berada pada sistem yang tertutup.

2. Spesies pertama merupakan satu-satunya makanan dari spesies kedua.

3. Spesies pertama akan bertumbuh meski tidak ada spesies kedua.

4. Spesies kedua akan mengalami penurunan jumlah populasi jika tidak ada

spesies pertama.

5. Tidak ada migrasi.

6. Hanya ada aspek pemanenan pada populasi mangsa dan pemangsa.


40

A. Model Logistik Pemangsa-Mangsa dengan Aspek Pemanenan pada

Mangsa

Pada model ini, aspek pemanenan diterapkan pada populasi spesies

pertama, sehingga dapat dianalisis perilaku spesies kedua ketika spesies pertama

mengalami pemanenan. Dengan demikian model akan menjadi:

= 1 − − − ,= − 1 − + ,dengan , , , , , , merupakan konstanta positif dan








: daya dukung alam sekitar pada populasi pemangsa,

: laju pemanenan mangsa.

1. Titik Ekuilibrium

Analisis kestabilan titik ekuilibrium interaksi pemangsa-mangsa dengan

aspek pemanenan pada mangsa dapat dimulai dengan syarat titik ekuilibrium

yaitu = = 0, sehingga diperoleh:


41

1 − − − 1 = 0,− 1 − + = 0, atau( − + − 1 ) = 0,( − + ) = 0.

Dengan demikian, sistem persamaan tersebut memiliki empat titik

ekuilibrium, yakni (0,0), (0, ), ( ) , 0 , dan

( ) , ( ).

2. Konstruksi Matriks Jacobi

Konstruksi matriks Jacobi dapat dilakukan dengan cara linearisasi dari

sistem persamaan nonlinear:

= = − − − 1 −− + + .

Dengan mensubstitusikan titik , , dan pada matriks Jacobi


= − 1 00 − ,= − − 1 0 ,

= −3 1 + 3 − ( 1 − )0 − + ( 1 − ) ,

= ( 1 − + )− − ( − 1 − )−( 1 − + )− ( 1 − + )− .


42

3. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium

Berdasarkan matriks Jacobi yang telah dicari maka analisis kestabilan

pada titik ekuilibrium dapat ditentukan dengan mencari nilai eigen. Nilai eigen

dapat dicari ketika memenuhi det( − ) = 0, di mana merupakan nilai

eigen dari matriks Jacobi. Berdasarkan Tabel 2.1 maka kriteria kestabilannya

adalah:

a. Titik ekuilibrium (0,0) dengan matriks = − 00 − .Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:

= − ,= − .

Dikarenakan < 0 < dan > maka titik tersebut merupakan titik

sadel sehingga titik ekuilibrium pada bersifat tidak stabil. Titik

ekuilibrium pada merupakan titik simpul dan akan bersifat stabil

asimtotik ketika < , sehingga < < 0.b. Titik ekuilibrium (0, ) dengan matriks = − − 0 .

Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:

= (positif),

= + − .


43

1) Jika = − − bernilai positif, + < maka titik tersebut


2) Jika = − − bernilai negatif, + > maka titik tersebut

berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat tidak stabil.

c. Titik ekuilibrium( ) , 0 dengan matriks =

−3 1 + 3 ( 1 )0 − + ( 1 ) .

Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:

= 3( − ),

= − + ( − ).1) Jika < maka bernilai positif dan bernilai negatif, sehingga titik

tersebut berupa titik sadel dan titik ekuilibrium bersifat tak stabil.

2) Jika > dan,

a) > ( 1 )maka dan bernilai negatif, sehingga titik tersebut

berupa titik simpul dan titik ekuilibrium bersifat stabil.

b) < ( 1 )maka bernilai negatif dan bernilai positif, sehingga

titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat

tak stabil.

d. Titik ekuilibrium( ) , ( )

dengan matriks =( ) ( )( ) ( ) .


44

Misalkan matriks = , maka diperoleh nilai eigen ( ) sebagai

berikut:

= −( + ) + + − 6 − 42 ,= −( + ) − + − 6 − 42 .

1) Jika + − 6 − 4 bernilai positif, maka ada beberapa

kemungkinan sebagai berikut:

a) Jika bernilai positif dan bernilai positif maka titik tersebut

berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil.

b) Jika bernilai positif dan bernilai negatif maka titik tersebut


c) Jika bernilai negatif dan bernilai positif maka titik tersebut


d) Jika bernilai negatif dan bernilai negatif maka titik tersebut

berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil

asimtotik.

2) Jika + − 6 − 4 bernilai negatif dan:

a) + bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga

titik ekuilibrium bersifat stabil asimtotik.

b) + bernilai posistif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga

titik ekuilibrium bersifat tidak stabil.


45

4. Grafik Interaksi Pemangsa-Mangsa yang Bertumbuh secara Logistik

Dengan Aspek Pemanenan pada Mangsa

Nilai awal dan parameter yang dimasukan adalah = 4 dan = 10,= = 0.1, = - = -0.08, = = 0.0014, = = 0.001, = - = -0.0012,

= = 0.0009, = 0.03.

Gambar 3.1 Solusi model mangsa pemangsa dengan aspek pemanenan pada pemangsa

untuk nilai awal = 4 dan = 10.Dengan menggunakan program Pplane8, grafik pemangsa mangsa

dapat terlihat titik ekuilibriumnya seperti pada Gambar 3.1 dan Gambar 3.2:


46

Gambar 3.2 Lapangan arah untuk model mangsa pemangsa dengan aspek pemanenan

pada mangsa.

Pada Gambar 3.2 merupakan lapangan arah yang menunjukan letak titik

ekuilibrium dari model interaksi yang dibuat. Berdasarkan nilai yang telah

ditentukan grafik lapangan arah menunjukan sifat-sifat dari masing-masing titik

ekuilibrium. Secara umum grafik akan selalu menjauhi titik (0,0) dan menuju

ke titik ekulibrium yang lain yang cenderung ke titik sekitar (70,0) ketika

populasi masih di batas-batas tertentu. Pada Gambar 3.1 diperlihatkan ketika

populasi dan diberi nilai awal. Populasi mangsa justru cenderung berkurang

dan populasi pemangsanya cenderung naik naik.


47

B. Model Logistik Pemangsa-Mangsa dengan Aspek Pemanenan pada

Pemangsa

Pada model ini pemangsa akan diberi aspek kompetisi dikarenakan spesies

kedua sebagai pemangsa memakan makanan yang sama dan hanya ada satu-

satunya. Dalam model ini pada spesies pertama tidak ada pemanenan. Sehingga

dapat disimpulkan bahwa spesies pertama hanya bertumbuh saja. Dengan demikian

model yang dibuat menjadi:

= 1 − − ,= − 1 − + − ,

dengan , , , , , , , > 0 dan






s : laju pertumbuhan pemangsa,



: laju pemanenan pemangsa.


48



aspek kompetisi pada pemangsa dapat dimulai dengan syarat titik ekuilibrium

yaitu = = 0, sehingga diperoleh:

1 − − = 0,− 1 − + − = 0,

atau( − − ) = 0,( − + − 2 ) = 0.

Sedemikian hingga terdapat empat titik ekuilibrium, yakni (0,0),0, ( ) , ( , 0) dan( ) , ( )

.


Konstruksi matriks Jacobi dapat dilakukan dengan cara berikut dalam


= = − 2 − −+ 2 + − 2 .Dengan mensubstitusikan titik , , dan pada matriks Jacobi


= 00 − − 2 ,


49

= − ( 2 + ) 0( 2 + ) + 2 ,= − −0 − + ,

= (− + + )− − ( − − )−( + − )− ( + − )− .



pada titik ekuilibrium dapat ditentukan dengan mencari nilai eigen. Nilai eigen

dapat dicari ketika memenuhi det( − ) = 0, di mana merupakan nilai

eigen dari matriks Jacobi. Berdasarkan Tabel 2.1 maka kriteria kestabilannya

adalah:

a. Titik ekuilibrium (0,0) dengan matriks = 00 − − .Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:= ,= − − .Dikarenakan < 0 < maka titik tersebut merupakan titik sadel

sehingga titik ekuilibrium pada bersifat tidak stabil.


50

b. Titik ekuilibrium 0, ( )dengan matriks

= − ( + ) 0( + ) + .Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:

= − ( + ),= + .

1) Jika = − ( + ) bernilai positif, > ( + ) maka titik

tersebut berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat tak

stabil.

2) Jika = − ( 2 + ) bernilai negatif, < ( + ) maka titik

tersebut berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil.

c. Titik ekuilibrium ( , 0) dengan matriks = − −0 − + .Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:

= − (negatif),

= − + .1) Jika =− + bernilai positif, < maka titik tersebut berupa

titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil.

2) Jika =− + bernilai negatif, > maka titik tersebut berupa

titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil.


51


dengan matriks =( ) − ( )( ) ( ) .

Misalkan matriks = , maka diperoleh nilai eigen ( )

sebagai berikut:

= −( + ) + + − 6 − 42 ,= −( + ) − + − 6 − 42 .











asimtotik.


52

2) Jika + − 6 − 4 bernilai negatif, maka beberapa

kemungkinan yang muncul adalah:

a) Jika + bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik sadel

sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil asimtotik.

b) Jika + bernilai posistif maka titik tersebut berupa titik sadel

sehingga titik ekuilibrium bersifat tidak stabil.

4. Grafik Interaksi Pemangsa-Mangsa yang Bertumbuh secara Logistik

dengan Pemanenan pada Pemangsa

Nilai awal dan parameter yang dimasukan adalah = 4 dan = 10,= = 0.1, = − = −0.08, = = 0.0014, = = 0.001, = − =−0.0012, = = 0.0009, = 0.005.


untuk nilai awal = 4 dan = 10.


53

Dengan menggunakan program Pplane8, grafik mangsa pemangsa

dapat terlihat titik ekuilibriumnya seperti pada Gambar 3.3 dan Gambar 3.4:


pada pemangsa.

Pada Gambar 3.3 dan 3.4 tidak ada perilaku yang berubah secara

signifikan ketika laju pemanenan terjadi pada pemangsa saja. Hanya

pertumbuhan pemangsa yang cenderung lebih lambat jika dibandingkan dengan

perilaku ketika pemanenan dilakukan pada mangsa saja. Lapangan arah pada

Gambar 3.4 hanya bergeser sedikit dan tidak terlalu signifikan dengan model

yang sebelumnya.


54

C. Model Logistik Pemangsa-Mangsa dengan Aspek Pemanenan pada

Mangsa dan Pemangsa

Model terakhir yang dibentuk adalah model pertumbuhan logistik dengan

pemanenan pada spesies pertama dan kedua. Model ini merupakan gabungan dari

model sebelumnya. Sehingga analisis yang dibuat menggambarkan perilaku spesies

kedua yang dipanen dan makanan mereka (spesies pertama) juga mengalami

pemanenan. Model yang diberikan sebagai berikut:

= 1 − − − ,= − 1 − + − ,

dengan , , , , , , , > 0 dan






s : laju pertumbuhan pemangsa,



: laju pemanenan mangsa,

: laju pemanenan pemangsa.


55



aspek pemanenan pada mangsa dan kompetisi pada pemangsa dapat dimulai

dengan syarat titik ekuilibrium yaitu = = 0, sehingga diperoleh:

1 − − − 1 = 0,− 1 − + − 2 = 0, atau( − + − 1 ) = 0,( − + − 2 ) = 0.

Terdapat empat titik ekuilibrium, yakni (0,0),0, ( ) , ( ) , 0 , dan

( ) , ( ).


Konstruksi matriks Jacobi dapat dilakukan dengan cara berikut dalam


= = − 2 − − 1 −− + 2 + − 2 .Dengan mensubstitusikan titik , , dan pada matriks Jacobi


= − 1 00 − − 2 ,= − 2 + ( + 2) 0− ( + 2) − − 2 ( + 2) − 2 ,


56

= − 2 − 2 1 − 1 − ( − 1)0 − + ( − 1) − 2 ,

= (− + + 2 + 1)− − ( − − 2 − 1)−( + 1 − + 2)− ( − + 1 + 2 2 − 1)− .



pada titik ekuilibrium dapat ditentukan dengan mencari nilai eigen. Dengan

mencari det( − ) = 0, di mana merupakan nilai eigen dari matriks Jacobi,

maka kestabilan dapat ditentukan berdasarkan Tabel 2.1, maka kriteria

kestabilannya adalah:

a. Titik ekuilibrium (0,0) dengan matriks = − 00 − − .

Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:= − ,= − − .

Dikarenakan < 0 < , ketika > 1 maka titik tersebut merupakan

titik sadel sehingga titik ekuilibrium pada bersifat tidak stabil. < <0 ketika < 1, sedemikian hingga titik tersebut merupakan titik simpul

sehingga titik ekuilibrium pada bersifat stabil asimtotik.


57

b. Titik ekuilibrium 0, ( )dengan matriks

= − + ( + ) 0− ( + ) − − 2 ( + ) − .Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:

= − + ( + ),= − − 2 ( + ) − .

1) Jika = − + ( + )bernilai positif dan = − − 2 ( + ) −

bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik

ekuilibrium bersifat tak stabil.

2) Jika = − + ( + )bernilai negatif dan = − − 2 ( + ) −

bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik simpul sehingga titik

ekuilibrium bersifat stabil asimotik.

c. Titik ekuilibrium( ) , 0 dengan matriks =

− 2 − 2 1 − 1 ( 1)0 − + ( 1) − 2 .Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut := − 2 − 2 − ,

= − + ( − ) − .


58

1) Jika = − 2 − 2 − bernilai positif dan = − + ( − ) −bernilai positif maka titik tersebut berupa titik simpul sehingga titik


2) Jika = − 2 − 2 − bernilai positif dan = − + ( − ) −bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik


3) Jika = − 2 − 2 1 − 1 bernilai negatif dan = − + ( − ) −bernilai positif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik


4) Jika = − 2 − 2 − bernilai negatif dan =− + ( 1) −2 bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik simpul sehingga titik

ekuilibrium bersifat stabil asimotik.


dengan

matriks = (− + + 2+ 1)− − ( − − 2− 1)−( + 1− + 2)− ( − + 1+2 2− 1)− .Misalkan matriks = , maka diperoleh nilai eigen ( )

sebagai berikut:

= −( + ) + + − 6 − 42 ,= −( + ) + + − 6 − 42 .


59











asimtotik.

2) Jika + − 6 − 4 bernilai negatif, maka beberapa

kemungkinan yang muncul adalah:

a) Jika + bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik sadel

sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil asimtotik.

b) Jika + bernilai posistif maka titik tersebut berupa titik sadel

sehingga titik ekuilibrium bersifat tidak stabil.

4. Grafik Interaksi Pemangsa-Mangsa yang Bertumbuh Secara Logistik

dengan Aspek Pemanenan pada Mangsa dan Pemangsa

Nilai awal dan parameter yang dimasukan adalah = 4 dan = 10,= = 0.1, = -s = -0.08, = = 0.0014, = = 0.001, =− = -0.0012,

= b = 0.0009, = 0.003, = 0.005.


60


dan mangsa untuk nilai awal = 4 dan = 10.Dengan menggunakan program Pplane8, grafik mangsa pemangsa

dapat terlihat titik ekuilibriumnya seperti tampak pada Gambar 3.5 dan Gambar

3.6:


pada pemangsa dan mangsa.


61

Pada model yang terakhir tidak terlihat perubahan yang berarti ketika

model interaksi dibandingkan dengan model-model sebelumnya. Hal ini

tentunya akibat dari pemanenan pada pemangsa dan mangsa sedemikian hingga

hanya akan menghambat laju pertumbuhan dari pemangsa maupun mangsa.

Laju pertumbuhan yang melambat karena faktor pemanenan akan mengurangi

setiap jumlah populasi yang bertumbuh baik itu pemangsa maupun dari pihak

mangsa.


62

BAB IV

SOLUSI SISTEM DINAMIKA DUA SPESIES DENGAN

METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN

Pada bab ini akan dibahas tentang solusi dari sistem dinamika dua populasi

dengan metode dekomposisi Adomian. Model sistem dinamika populasi dibuat

lebih sederhana berdasarkan Batiha dkk (2016:903), sehingga model sistem

menjadi:

= ( + + )= ( + + ) (4.1)

dimana dan adalah populasi pada waktu , , , , , , adalah konstanta

positif dan

: populasi pertama,

: laju pertumbuhan populasi pertama,

: kapasitas batas populasi pertama,

: laju pertumbuhan populasi pertama ketika berinteraksi dengan populasi

kedua,

: populasi kedua,

: laju pertubuhan populasi kedua,

: kapasitas batas populasi kedua,

: laju pertumbuhan populasi kedua ketika berinteraksi dengan populasi

pertama.


63

Nilai awal dari masing-masing populasi didapat dari Batiha dkk (2016:903)

yaitu untuk nilai = 4 dan = 10. Jenis-jenis interaksi dari kedua populasi

dapat ditentukan dengan memanipulasi nilai parameter. Nilai parameter

berdasarkan Batiha dkk (2016:903) yaitu = 0.1, = 0.08, = 0.0014, = 0.001,

= 0.0012, = 0.0009. Dengan demikian, jika nilai parameter diubah, maka akan

mendapat tiga macam jenis interaksi yang berasal dari sebuah model secara umum.

Untuk setiap nilai awal yang berbeda, jenis interaksi pada sistem dinamika tersebut

berubah menjadi mutualisme, parasitisme dan kompetisi.

A. Mutualisme

Subtitusikan nilai = 0.1, = 0.08, =−0.0014, = −0.001, =0.0012, = 0.0009, = 4 dan = 10 pada sistem persamaan (4.1) sehingga

sistem akan menjadi:

= (0.1 − 0.0014 + 0.0012 ),= (0.08 − 0.001 + 0.0009 ). (4.2)

Perhitungan solusi dari sistem (4.2) dengan Metode Dekomposisi Adomian

dilakukan seperti pada Biazar (2006) menggunakan program maple dan

memperoleh hasil sebagai berikut:= 0.4256000000= 0.7360000000= 0.02321664000= 0.02532000000= 0.0008613579093(4.3)


64

= 0.0005198410667= 0.00002377241892= 0.00000715508705= 4.762365706 ∗ 10^(−7)= 1.122902100 ∗ 10^(−7)= 4.92081361 ∗ 10^(−9)= 3.924828700 ∗ 10^(−9)= −9.99735783 ∗ 10^(−11)= 1.355344556 ∗ 10^(−10)Solusi sistem persamaan (4.2) merupakan jumlahan dari hasil iterasi pada

(4.3). Misalkan jumlahan adalah 1 dan jumlahan adalah 1, maka solusi dari

sistem persamaan (4.2) adalah:1 = 4 + 0.4256000000 ∗ + 0.02321664000 ∗ ^2 + 0.0008613579093∗ ^3 + 0.00002377241892 ∗ ^4 + 4.762365706∗ 10^(−7) ∗ ^5 + 4.92081361 ∗ 10^(−9) ∗ ^6− 9.99735783 ∗ 10^(−11) ∗ ^7,1 = 10 + 0.7360000000 ∗ + 0.02532000000 ∗ ^2+ 0.0005198410667 ∗ ^3 + 0.00000715508705 ∗ ^4+ 1.122902100 ∗ 10^(−7) ∗ ^5 + 3.924828700 ∗ 10^(−9)∗ ^6 + 1.355344556 ∗ 10^(−10) ∗ ^7.


65

Dengan menggunakan program Maple, grafik solusi dari sistem persamaan

(4.2) telah ditunjukan pada gambar berikut:

4.1a. Grafik populasi 4.1b.Grafik populasi

Gambar 4.1. Solusi dari sistem persamaan dengan interaksi secara mutualisme.

Grafik gambar 4.1 dapat digambarkan pada sebuah diagram cartesius

sehingga perilaku keduanya dapat terlihat. Berikut gambar grafik dinamika dua

populasi dengan interaksi Mutualisme ketika digambarkan dalam satu diagram

cartesius.


66

Merupakan grafik populasi


Gambar 4.2. Grafik populasi yang berinteraksi secara Mutualisme

Pada Gambar 4.2 ditambilkan interaksi dua populasi yang berinteraksi

secara mutualisme. Populasi akan mengalami keuntungan berupa percepatan

pertumbuhan ketika berinteraksi dengan populasi begitu pun sebaliknya. Pada

awal mula jumlah populasi lebih sedikit dari pada populasi , akan tetapi dalam

jangka waktu panjang jumlah populasi akan lebih besar dari populasi .


67

B. Parasitisme

Subtitusikan nilai = 0.1, = 0.08, =−0.0014, =−0.001, =0.0012, = −0.0009, = 4 dan = 10 pada sistem persamaan (4.1) sehingga

sistem akan menjadi:

= (0.1 − 0.0014 + 0.0012 ),= (0.08 − 0.001 − 0.0009 ). (4.4)

Perhitungan solusi dari sistem (4.4) dengan metode dekomposisi Adomian

dilakukan menggunakan program maple dan memperoleh hasil sebagai berikut:= 0.4256000000= 0.6640000000= 0.02304384000= 0.01680960000= 0.0008296779093= 0.0000151441067= 0.00002079741808= −0.00001228646758= 2.877838352 ∗ 10^(−7)= −4.066091675 ∗ 10^(−7)= −3.968167659 ∗ 10^(−9)= −5.050637136 ∗ 10^(−9)= −4.223308270 ∗ 10^(−10)= 8.804344521 ∗ 10^(−11)

(4.5)


68

Solusi sistem persamaan (4.4) merupakan jumlahan dari hasil iterasi pada


sistem persamaan (4.5) adalah:2 = 4 + 0.4256000000 ∗ + 0.02304384000 ∗ ^2 + 0.0008296779093∗ ^3 + 0.00002079741808 ∗ ^4 + 2.877838352∗ 10^(−7) ∗ ^5 − 3.968167659 ∗ 10^(−9) ∗ ^6− 4.223308270 ∗ 10^(−10) ∗ ^72 = 10 + 0.6640000000 ∗ + 0.01680960000 ∗ ^2+ 0.0000151441067 ∗ ^3 − 0.00001228646758 ∗ ^4− 4.066091675 ∗ 10^(−7) ∗ ^5 − 5.050637136 ∗ 10^(−9)∗ ^6 + 8.804344521 ∗ 10^(−11) ∗ ^7Dengan menggunakan program Maple, grafik solusi dari sistem

persamaan (4.4) telah diilustrasikan pada gambar berikut:

4.3a. Grafik populasi 4.3b. Grafik populasi

Gambar 4.3. Solusi dari sistem persamaan dengan interaksi secara parasitisme.


69


sehingga perilaku keduanya dapat terlihat. Berikut gambar grafik populasi dengan

interaksi Parasitisme ketika digambarkan dalam satu diagram cartesius.



Gambar 4.4. Grafik populasi yang berinteraksi secara Parasitisme

Pada Gambar 4.4 ditampilkan pergerakan dari populasi yang berinteraksi

secara parasitisme yang mana populasi merupakan parasit dan populasi

merupakan populasi yang terkena parasit. Populasi dan akan sama-sama

bertumbuh tetapi ketika keduanya berinteraksi populasi menyebabkan penurunan

laju pertumbuhan pada populasi sehingga populasi akan terus menurun

sementara populasi akan terus bertumbuh.


70

C. Kompetisi

Subtitusikan nilai = 0.1, = 0.08, = −0.0014, = −0.001, =−0.0012, = −0.0009, = 4 dan = 10 pada sistem persamaan (4.1)

sehingga sistem akan menjadi:

= (0.1 − 0.0014 + 0.0012 ),= (0.08 − 0.0014 − 0.0009 ). (4.6)

Perhitungan solusi dari sistem (4.6) dengan metode dekomposisi Adomian

dilakukan menggunakan program maple dan memperoleh hasil sebagai berikut:= 0.3296000000= 0.6640000000= 0.01106304000= 0.01724160000= 0.0001173886293= 0.0000783313067= −0.000004301207450= −0.000007815319423= −1.851824568 ∗ 10= −2.136855195 ∗ 10^(−7)= −1.635576185 ∗ 10^(−9)= −7.0058057 ∗ 10^(−9)= 8.190722735 ∗ 10^(−11)= 1.240343622 ∗ 10^(−10)

(4.7)


71

Solusi sistem persamaan (4.6) merupakan jumlahan dari hasil iterasi pada


sistem persamaan (4.6) adalah:3 = 4 + 0.3296000000 ∗ + 0.01106304000 ∗ ^2 +0.0001173886293 ∗ ^3 − 0.000004301207450 ∗ ^4 − 1.851824568 ∗10^(−7) ∗ ^5 − 1.635576185 ∗ 10^(−9) ∗ ^6 + 8.190722735 ∗10^(−11) ∗ ^7,3 = 10 + 0.6640000000 ∗ + 0.01724160000 ∗ ^2 +0.0000783313067 ∗ ^3 − 0.000007815319423 ∗ ^4 − 2.136855195 ∗10^(−7) ∗ ^5 − 7.0058057 ∗ 10^(−11) ∗ ^6 + 1.240343622 ∗10^(−10) ∗ ^7.Dengan menggunakan program Maple, grafik solusi dari sistem

persamaan (4.6) telah diilustrasikan pada gambar berikut:

4.5a. Grafik populasi 4.5b. Grafik populasiGambar 4.5. Solusi dari sistem persamaan dengan interaksi secara kompetisi.


72


sehingga perilaku keduanya dapat terlihat. Berikut gambar grafik sistem dinamika

populasi dengan jenis interaksi Kompetisi ketika digambarkan dalam satu diagram

cartesius.



Gambar 4.6. Grafik populasi yang berinteraksi secara Kompetisi

Populasi dan akan sama-sama betumbuh tetapi lebih lambat dari

pertumbuhan normal karena keduanya akan mengalami penurunan leju

pertumbuhan ketika saling berinteraksi. Dua populasi yang saling berkompetisi

tentunya dalam jangka waktu panjang akan ada populasi yang mendominasi. Pada


73

gambar 4.6 populasi akan mendominasi sedangkan populasi cenderung turun

dan bahkan akan habis karena berkompetisi dengan populasi .

Perbedaan dari ketiga macam sistem yaitu pada sistem persamaan (4.2),

(4.4) dan (4.6) dapat dilihat pada Tabel 4.1 berikut:

Tabel 4.1. Perbandingan berhitungan dengan metode dekomposisi Adomian pada tiga

interaksi berbeda.

tMutualisme Parasitisme kompetisi

X1 Y1 X2 Y2 X3 Y30 4 10 4 10 4 10

0.1 4.04279 10.07385 4.042791 10.06657 4.033071 10.066570.2 4.08606 10.14822 4.086048 10.13347 4.066363 10.133490.3 4.12979 10.22309 4.129777 10.20071 4.099879 10.200750.4 4.17401 10.29848 4.173981 10.26829 4.133617 10.268360.5 4.21871 10.37440 4.218666 10.33620 4.167580 10.336320.6 4.26391 10.45083 4.263838 10.40445 4.201767 10.404620.7 4.30960 10.52779 4.309501 10.47304 4.236180 10.473270.8 4.35579 10.60527 4.355661 10.54196 4.270819 10.542270.9 4.40249 10.68329 4.402324 10.61122 4.305684 10.61162

1 4.44970 10.76185 4.449495 10.68081 4.340776 10.68131

Pada tabel tersebut digambarkan nilai untuk mulai 0 sampai 1 dimana

metode dekomposisi adomian akan tepat untuk nilai yang kecil. Sebagai

perbandingan, perhitungan pendekatan analitik untuk ketiga kasus tersebut

(mutualisme, parasitisme, dan kompetisi) telah dilakulan juga oleh Yuliyanto dan

Mungkasi (2017) dengan Metode Iterasi Variasional. Hasil dari perhitungan yang

dilakukan peneliti tersebut dengan metode tersebut tidak jauh berbeda dengan hasil

yang diperoleh pada tesis ini. Pada Tabel 4.2 berikut menunjukan hasil perhitungan

dengan Metode Iterasi Variasional:


74

Tabel 4.2. Hasil numerik dari metode iterasi variasional berdasarkan contoh yang

diberikan.

Model Mutualisme Model Parasitisme Model Kompetisi( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0.0 4 10 4 10 4 100.1 4.04279 10.07385 4.04279 10.06657 4.03307 10.066570.2 4.08606 10.14822 4.08605 10.13347 4.06636 10.133490.3 4.12979 10.22309 4.12978 10.20071 4.09988 10.200750.4 4.17401 10.29848 4.17398 10.26829 4.13362 10.268360.5 4.21871 10.37440 4.21867 10.33621 4.16758 10.336320.6 4.26391 10.45083 4.26384 10.40446 4.20177 10.404630.7 4.30960 10.52779 4.30950 10.47304 4.23618 10.473280.8 4.35579 10.60528 4.35566 10.54197 4.27083 10.542280.9 4.40249 10.68330 4.40232 10.61123 4.30569 10.611631.0 4.44970 10.76185 4.44949 10.68083 4.34079 10.68133


75

BAB V

ASPEK KEPENDIDIKAN

A. Aspek Kependidikan di Sekolah Menengah

Sekolah Menengah di Indonesia terbagi menjadi dua yaitu Sekolah

Menengah Pertama (SMP) dan Sekolah Menengah Atas (SMA). Pada materi SMP

tentunya sudah diajari materi tentang menghitung kecepatan benda yang bergerak.

Konsep matematika diajarkan langsung kepada kegunaan dan tuntutan materi yang

harus diselesaikan sehingga mengabaikan asal usul dari materi yang dipelajari. Pada

materi matematika sendiri, konsep turunan belum diajarkan pada Sekolah

Menengah Pertama. Materi turunan baru diajarkan pada kelas XI Sekolah

Menengah Atas. Pada buku-buku terbaru sudah mulai digambarkan tentang

penerapan turunan didunia nyata, bahkan untuk memulai pembelajaran tentang

materi turunan tersebut. Bahasa yang digunakan tidaklah formal dan harus

sederhana agar siswa-siswa sekolah menengah atas dapat menerima dengan baik.

Selain pengantar yang menggunakan cerita, soal-soal awal juga sebaiknya diawali

dengan alur cerita yang logis dan mengarah pada konsep turunan.

Pada Sekolah Menengah Pertama dapat dikenalkan tentang sistem dinamika

populasi dengan menggunakan soal cerita untuk menggambar sebuah grafik. Pada

tingkat Sekolah Menengah Atas, siswa cenderung dapat lebih bisa diajak untuk

memikirkan tentang konsep yang mereka pelajari. Buku kurikulum 2013 hampir

selalu mengawali materi dengan sebuah cerita di dunia nyata yang kemudian

dibawa pada konsep matematika yang ingin dipelajari. Cerita yang disajikan pun


76

terkadang terkesan unik jika harus dikaitkan langsung dengan aplikasi materi yang

dipelajari, namun jika hal tersebut dapat menjadi gambaran bagi para siswa

tentunya tidak masalah. Sebagai contoh, terdapat permasalahan yang disajikan dari

buku SMA kelas XI kurikulum 2013. Sebelum memasuki konsep turunan, siswa

terlebih dahulu mendalami konsep garis secan dan garis tangen dengan

permasalahan berikut:

Masalah 11.1

Seorang pemain ski meluncur kencang di permukaan es yang

bergelombang. Dia meluncur turun kemudian naik mengikuti lekukan permukaan

es sehingga disuatu saat, dia melayang ke udara dan turun kembali ke permukaan.

Setelah disajikan cerita tersebut siswa diberi permasalahan yaitu secara

analitik, misalkan bahwa bukit es disketsa pada bidang (dimensi dua) dengan sudut

pandang tegak lurus ke depan sehingga terdapat garis dan papan ski adalah sebuah

garis lurus. Kemudian siswa diberi pertanyaan dapatkah kamu tunjukan hubungan

kedua garis tersebut? Permasalahan selanjutnya tidak pernah menyinggung lagi

tentang orang yang bermain ski tersebut karena cerita tersebut hanya sebagai

awalan dan memberikan gambaran bagi siswa.

Berbagai macam permasalahan lain dapat dikemukanan dengan tujuan agar

siswa dapat menggambar grafik. Misalkan ada permasalahan terdapat populasi

kambing yang bertumbuh dengan laju pertumbuhan 1,2% setiap tahun. Populasi

awal kambing mula-mula ada 100, dengan menggunakan Program excel tentukan

populasi kambing setelah 10 tahun dan gambarlah grafiknya. Berikut gambaran

pekerjaan yang dilakukan oleh siswa menggunakan excel:


77

Tabel 5.1. Prakiraan Tabel yang dibuat oleh siswa

Waktu Populasi1 1002 1123 1254 1405 1576 1767 1978 2219 24810 277

Pada Tabel 5.1 tersebut siswa mencari jumlah populasi dari waktu ke waktu

berdasarkan laju pertumbuhan yang ada. Siswa tentu saja dapat memahami hal

tersebut dan menggambarkan grafik pertumbuhan kambing tiap waktu dengan

excel.

Gambar 5.1. Gambar grafik pertumbuhan populasi berdasarkan Tabel 5.1

0

50

100

150

200

250

300

0 2 4 6 8 10 12

Populasi


78

Siswa SMP dan SMA pun dapat melihat bahwa tabel yang dihasilkan dari

pertumbuhan kambing tersebut ada akan menghasilkan suatu grafik yang teratur.

Dengan menggunakan grafik tersebut siswa dapat dibawa untuk melangkah lebih

jauh lagi pada materi yang akan dipelajari.

Buku matematika elektronik lain kelas XI karya Djumanta dan Sudrajat

(2008) menjelaskan konsep turunan langsung dengan diagram seperti beberapa

penjelasan aplikasi turunan yaitu untuk menentukan laju perubahan fungsi,

menentukan gradien, menentukan titik balik dan titik belok, dan lain-lain. Pada

pembahasan fungsi dari turunan sebagai laju perubahan, cerita yang disajikan masih

seputar kecepatan pada bidang fisika seperti laju kendaraan bermotor. Laju

perubahan tidak hanya pada jarak saja tetapi dapat juga terhadap waktu. Laju

pertumbuhan populasi juga dapat dijadikan contoh untuk konsep turunan sehingga

siswa tidak terfokus konsep turunan hanya untuk bidang-bidang fisika saja.

Djumanta dan Sudrajat (2008:203) memulai menjelaskan konsep turunan

dengan memperlihatkan dua masalah yang terlihat berbeda tetapi identik. Hal

tersebut bertujuan agar siswa dapat memahami betul konsep dari turunan. Masalah

yang pertama berkaitan dengan garis singgung dan masalah yang berkaitan dengan

kecepatan sesaat. Setelah penjelasan tersebut barulah masuk pada materi

menentukan turunan suatu fungsi. Cara tersebut tidaklah salah tetapi untuk siswa

tertentu mungkin akan sulit dibayangkan.


79

B. Aspek Kependidikan di Strata 1

Pada bangku kuliah tentunya mahasiswa sudah dapat lebih mendalami

tentang konsep turunan dan aplikasinya. Mata kuliah khusus untuk mendalami

pemodelan sempat dialami peneliti sewaktu kuliah S1. Mata kuliah Pemodelan

Matematika pada waktu S1 membahas tentang pertumbuhan populasi dan analisis

kesetimbangannya. Pada tingkat kuliah tentu materi yang dipelajari lebih mendalam

dari pada saat masih di bangku Sekolah Menengah Atas di mana materi yang

dipelajari sangat banyak dan dapat dibilang cukup luas.

Mata kuliah Pemodelan Matematika merupakan salah satu mata kuliah yang

membahas secara khusus tentang penerapan salah satu konsep turunan. Konsep

turunan sendiri dibahas pada mata kuliah Kalkulus Diferensial yang berbicara

turunan secara umum dan beberapa aplikasinya. Pemodelan Matematika sendiri

juga mencakup berbagai bidang seperti fisika dan biologi. Pada waktu peneliti

mengambil mata kuliah pemodelan ini, hal yang dibahas adalah bidang biologi

dengan materi tentang pertumbuhan populasi dengan buku Mathematical models in

biology: An introduction karya Allman dan Rhodes. Allman dan Rhodes (2004)

menuliskan tentang model pertumbuhan populasi beserta cara-cara untuk

menganalisis kestabilannya. Model yang dipakai dalam buku tersebut merumakan

model populasi yang bersifat diskrit. Materi pada buku sangat banyak sehingga

tidak semua bagian dari buku dipelajari semua dalam satu semester.

Aplikasi langsung dari persamaan diferensial dapat dipelajari secara

langsung menuju permasalahan yang terjadi di dunia nyata. Berbagai cara juga

dilakukan untuk menganalisis perilaku baik dari persamaan diferensial maupun


80

ketika menjadi sebuah sistem persamaan diferensial salah satunya dengan cara

linearisasi yang dilakukan pada penelitian ini. Pada mata kuliah lain pun dapat

langsung dikaitkan dengan materi ini seperti mata kuliah kalkulus diferensial. Mata

kuliah tersebut merupakan dasar teori dari mata kuliah Pemodelan Matematika

sehingga penting untuk mengetahui masalah-masalah di dunia nyata yang dapat

diselesaikan menggunakan persamaan diferensial atau pun ketika membentuk

sistem.

Jika ditelusuri lebih jauh lagi setiap teori dari limit hingga metode

penyelesaian persamaan diferensial memang saling berhubungan. Hal tersebut

dapat dibuat peta konsep bagi mahasiswa untuk mempelajari setiap materi yang

ada. Peta konsep yang berhubungan akan membantu mahasiswa dalam melihat

hubungan dari masing-masing konsep yang dipelajari sehingga apa yang dipelajari

tidak terkesan saling beridiri sendiri-sendiri. Mahasiswa juga akan lebih melihat

tujuan dari teori yang dipelajari akan mengarakan mereka ke bidang apa dan salah

satunya adalah bidang pemodelan matematika biologi.

C. Refleksi

Peneliti baru pertama membuat tugas akhir berupa penelitian matematika

murni, sehingga pada awalnya merasa tidak punya bayangan. Perjuangan untuk

lebih membaca buku tentang konsep memang terasa lebih sulit ketika menulis

penelitian tentang matematika murni. Dalam benak peneliti tidak pernah terpikir

akan membuat penelitian seperti ini, sehingga hal ini merupakan kesempatan yang


81

langka. Pengalaman ini merupakan hal yang sangat berharga dan sangat tidak

mungkin untuk terulang kembali.

Pada awal perkuliahan tidak pernah terlintas di pikiran peneliti bahwa

semester pertama terdapat mata kuliah kajian topik penelitian. Mata kuliah tersebut

bertujuan agar mahasiswa dapat menentukan topik untuk penelitian tesis.

Perkuliahan mendekati tengah semester. Berbagai acara seperti mengundang dosen

baik dari dalam maupun luar kampus untuk memberikan kuliah kepada mahasiswa

telah dilakukan. Perkuliahan dengan dosen tamu bertujuan agar mahasiswa

mendapat inspirasi ketika menyusun topik penelitian. Pak Andy selaku pengampu

mata kuliah tersebut akhirnya meminta mahasiswa untuk menentukan dosen

pembimbing dan topik untuk tesis masing-masing. Saya pada awalnya ingin

mengambil topik tentang kajian di bidang soal-soal olimpiade tingkat sekolah dasar

dan menengah mengingat hal tersebut penting untuk pembelajaran di tingkat

sekolah. Mas beni ikut bergabung dengan saya untuk mengerjakan topik yang

serupa dan memilik Pak Herry sebagai dosen pembimbing karena bidangnya yang

sesuai dan sebagai pengampu mata kuliah pemecahan masalah matematika.

Waktu berlalu hingga semester kedua terdapat mata kuliah metode

penelitian. Harapan dari kuliah tersebut adalah melanjutkan topik yang telah dibuat

pada semester sebelumnya sehingga di akhir perkuliahan para mahasiswa selesai

hingga BAB III. Pak Herry selaku pembimbing awal memberi tawaran kepada saya

dan Mas Beni untuk mengerjakan sebuah proyek sehingga kami diberi kesempatan

untuk mengubah bidang yang sebelumnya kami pilih. Kami tertarik untuk

bergabung dengan penelitian yang akan diberikan oleh Pak Herry dan kami pun


82

bertemu untuk mendengarkan hal yang akan dibahas lebih detail. Bidang yang

ditawarkan tidak lepas dari penelitian yang saya lakukan saat ini yaitu tentang

sistem dinamika. Penelitian yang ditawarkan memang dapat dibilang bukan

sembarangan yaitu menambahkan unsur stokastik pada model persamaan

diferensial.

Penjelasan Pak Herry membuat saya kagum saat itu dan meminta kami

untuk memikirkan sekali lagi. Beberapa hari kemudian Pak Herry memutuskan

untuk tidak menambahkan unsur stokastik sehingga hanya analisis tentang sistem

dinamika populasi saja. Kalau dipikirkan ulang memang sulit apalagi dengan

pengalaman saya yang belum pernah melakukan penelitian matematika sebelumnya

dan mungkin Pak Herry juga melihat kalau saya belum mampu untuk melakukan

penelitian seperti itu. Dalam hati saya tetap mengikuti akan dibawa kemana saya

oleh Pak Herry dalam penelitian tersebut walaupun belum mengetahui apa yang

akan dilakukan. Pak Herry menjelaskan topik penelitian hanya sampai analisis

kestabilan dari model sistem persamaan diferensial. Awal-awal penelitan kami

diminta membahas beberapa buku tentang pertumbuhan populasi sehingga kelak

dapat digunakan sebagai dasar teori. Presentasi-presentasi kecil mulai dilakukan

sehingga paham maksud dari teori yang dipelajari. Semester kedua hampir berakhir

dan saya belum sepenuhnya memperoleh apa yang seharusnya diperoleh hingga

mendengar kabar bahwa Pak Herry akan melaksanakan pendidikan Paska Doktor

selama satu tahun.

Saya seakan tidak percaya tetapi memang itulah kenyataan yang terjadi. Pak

Andy memberikan pilihan kepada saya dan mas beni untuk kelangsungan tesis yang


83

kami buat. Pilihan yang diberikan adalah pindah topik penelitian atau melanjutkan

tesis tetapi harus realistis. Kami memilih untuk tetap dengan topik kami dan tetap

melanjutkan topik dengan Pak Herry hingga saat-saat terakhir. Harapan kami tesis

akan selesai dalam waktu dua bulan yaitu dari bulan juni hingga juli tetapi dalam

hati saya pun itu tidak mungkin karena saya pun tidak memiliki semangat yang kuat

ditambah materi yang belum pernah saya lakukan sebelumnya yaitu menulis di

bidang penelitian matematika murni. Ibarat kata dan hati tidak menyatu memang

dalam memilih pilihan tersebut hati saya berkata tidak mampu tetapi hitung-

hitungan realita masih memungkinkan. Selama masa itu saya hanya punya satu

harapan yaitu siapapun yang akan membimbing saya berikutnya pasti akan

berusaha yang terbaik. Hal yang saya prediksikan memang terjadi dan bulan

Agustus kami diberi kabar bahwa Pak Sudi menjadi pembimbing kami.

Pak Sudi menjadi dosen pembimbing saya selanjutnya karena memang

bidang Pak Sudi tentang pemodelan matematika dan sejalan dengan apa yang saya

dan mas beni lakukan. Awal bersama Pak Sudi saya masih belum tahu apa yang

akan saya lakukan selanjutnya dan mengalami kebuntuan. Pak Sudi menawarkan

hal yang baru kepada saya dan Mas Beni yaitu dengan menyelesaikan permasalahan

dari model yang kami kerjakan. Ada dua metode yang ditawarkan yaitu metode

dekomposisi adomian dan variasi iterasional. Saya memilih metode dekomposisi

adomian karena saya menilai metode tersebut dapat saya pelajari langkah-

langkahnya. Waktu berlalu hingga saya diberi tawaran oleh Pak Sudi untuk

mengikuti seminar internasional dengan topik yang baru saja dipelajari. Saya


84

berusaha semaksimal mungkin dengan segala keterbatasan saya serta bimbingan

dari Pak Sudi untuk menyelesaikan tulisan yang akan diseminarkan.

Awal tahun 2017 datang dan saya belum menemukan semangat yang tepat

untuk menuliskan kata-kata yang harus saya tuliskan pada penyelesaian tesis ini.

Saya bimbang dengan hal-hal yang harus saya lakukan sehingga membuat saya

tidak dapat berpikir jernih. Berbagai kegiatan lain saya lakukan demi dapat

menjernihkan pikiran dan berharap menemukan semangat untuk menyelesaikan

tesis ini. Saya melupakan tujuan saya berada kembali di kampus ini. Hal tersebut

tentunya membuat jalan saya menjadi kabur untuk melangkah kedepan. Tujuan

awal saya melanjutkan kuliah di sini memang untuk tabungan masa depan sehingga

kelak akan menjadi bekal ilmu ketika menjadi seorang guru.

Jika mengingat beberapa tahun lalu di mana saya tidak pernah meliliki niat

apalagi bermimpi untuk melanjutkan kuliah. Saya teringat kembali kata-kata saya

kepada teman saya sewaktu masih di S1 yaitu saya akan kuliah lagi kalau Sanata

Dharma membuka Prodi S2. Pada waktu itu tidak ada tanda-tanda sama sekali

Sanata Dharma akan membuka Prodi S2 Pendidikan Matematika sehingga dalam

benak saya mungkin beberapa tahun lagi saya akan melanjutkan kuliah ataupun

hanya sekerdar bercanda dengan teman saya. Saya menjadi percaya bahwa setiap

kata-kata yang terucap dari mulut kita adalah doa dan tanpa sadar doa saya

dikabulkan walaupun tidak dengan sengaja saya memintanya.

Bulan-bulan terakhir saya menyelesaikan tesis ini merupakan hal yang

sangat sulit bagi saya karena semangat yang kuat tidak hadir. Tesis ini hanya saya

pandangi dan saya tidak tahu apa yang harus saya lakukan selanjutnya. Berpikir


85

sekeras apapun seperti tidak ada gunanya dan bertanya pun tidak tahu apa yang

harus saya tanyakan. Di pikiran saya banyak pertanyaan yang muncul tetapi saya

tidak tahu harus dengan apa saya mengungkapkannya. Akhirnya saya

menyelesaikan tesis ini dengan segala pikiran saya yang paksakan dan segala sisa

semangat yang ada dalam diri saya.


86

BAB VI

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Pada penelitian ini membahas dua hal tentang sistem dinamika populasi

yaitu analisis titik ekuilibrium dan solusi menggunakan metode dekomposisi

Adomian. Kriteria kestabilan titik ekuilibrium ditentukan oleh nilai eigen ( ),dimana nilai tersebut diperoleh dengan mengkonstruksi matriks Jacobi dari sistem

persamaan yang ada. Nilai eigen yang muncul secara umum merupakan bilangan

kompleks. Jika bagian real dari nilai eigen tersebut bernilai negatif, maka titik

tersebut bersifat stabil asimtotik begitu sebaliknya. Terdapat empat titik ekuilibrium

pada masing masing model yang dimodifikasi dengan aspek pemanenan. Masing-

masing titik telah dianalisis kestabilannya.

Model yang telah dianalisis ada tiga macam yaitu model pemangsa-mangsa

dengan aspek pemanenan pada pemangsa, model pemangsa-mangsa dengan aspek

pemanenan pada mangsa dan model pemangsa-mangsa dengan aspek pemanenan

pada keduanya. Masing-masing titik ekuilibrium telah dianalisis kestabilannya.

Perilaku yang ditunjukan masing-masing model pertumbuhan populasi yang telah

dimodifikasi tidak jauh berbeda. Hal tersebut dikarenakan nilai parameter yang

ditentukan tidak begitu besar sehingga hanya mengakibatkan penurunan laju

pertumbuhan. Perilaku model ketika populasi berinteraksi dalam jangka panjang

akan cenderung sama yaitu populasi pemangsa yang cenderung naik dan populasi

mangsa yang cenderung turun dengan nilai awal yang ditentukan.


87

Metode dekomposisi Adomian digunakan untuk menyelesaikan sistem

dinamika populasi secara umum dengan tiga nilai awal yang berbeda. Populasi

kedua spesies selalu bertumbuh walaupun berbeda kondisi awal masing-masing

parameter yang ditentukan. Populasi pertama tetap bertumbuh ketika berinteraksi

dengan populasi kedua begitu juga sebaliknya. Metode dekomposisi adomian

memberikan pendekatan pada setiap waktu tanpa adanya diskritisasi, sehingga hal

ini merupakan suatu keuntungan menggunakan metode ini.

B. SARAN

Pada penelitian ini masih terbatas pada model dua populasi sehingga pada

penelitian selanjutnya jumlah populasi yang berinteraksi dapat ditambah. Dinamika

populasi tersebut juga dapat dibawa ke dunia Stokastik dengan menambahkan unsur

stokastik pada Model Dinamika Popuasi. Metode Dekomposisi Adomian tidak

hanya untuk dinamika populasi saja tetapi dapat digunakan untuk berbagai sistem

yang mengandung unsur persamaan diferensial.


88

DAFTAR PUSTAKA

Allman, E. S & Rhodes, J. A. 2004. Mathematical Models In Biology: An Introduction.

New York: Cambridge University Press.

Batiha B., Noorani M.S.M., Hashim I. 2007. Variational iteration method for solving

multispecies Lotka-Voltera equations. Computers and Mathematics with

Aplications, volume 54, 903.

Biazar, J. 2006. Solution of the epidemic model by Adomian decomposition method.

Applied Mathematics and Computation, volume 173, 1101.

Boyce, W. E & DiPrima, R. C. 2012. Elementary Differential Equations And Boundary

Value Problems. Chennai: MPS Limited.

Djumanta, W. E & Sudrajat, R. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan matematika

2: untuk kelas XI Sekolah Menengah Atas/Madrasah Aliyah. Jakarta: Pusat

Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.

Lovett, J.V. 1991. Changing perceptions of allelopathy and biological control. Biol.

Agric. and Hort., volume 8, 89-110.

Murray, J.D. 2001. Mathematical Biology: An Introduction. New York: Springer.

Perko, L. 2000. Differential Equations And Dynamical Systems. New York: Springer.

Putranto, Y. W. & Mungkasi, S. 2017. Adomian decomposition method for solving the

population dynamics model of two species, Journal of Physics: Conference Series,

volume 795, Nomor 1, Artikel 012045 (terideks Scopus).

Rao, D. V. G. 2011. A study on series solutions of two species Lotka-Volterra equations

by adomian decomposition and homotopy pertubation method. Gen. Math. Notes,

volume 3, 13.


89

Shonkwiler, R. W. 2009. Mathematical Biology: An Introduction With Maple And

Matlab. New York: Springer.

Waltman, Paul. 1983. Competition Models in Population Biology. Philadelphia: SIAM.

Wazwaz, A. M. 2009. Partial differential Equations and Solitary Waves Theory. New

York: Springer.

Yuliyanto, B. D. & Mungkasi, S. 2017. Variational iteration method for solving the

population dynamics model of two species. Journal of Physics: Conference Series,

volume 795, Nomor 1, Artikel 012044 (terideks Scopus).

Zhou, S-R. 2005. The Stability of Predator-Prey Systems Subject to The Alle Effects.

Theoretical population biology, volume 67, 23-31.


analisis titik ekuilibrium dan solusi model … · individu bertumbuh menurut grafik fungsi...

Documents