grafik fungsi eksponen
DESCRIPTION
integralTRANSCRIPT
7/17/2019 GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
http://slidepdf.com/reader/full/grafik-fungsi-eksponen-568d35cbd4161 1/22
GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
Fungsi eksponen merupakan pemetaan bilangan real x ke ax dengan a > dan a !
"# $ika a > dan a ! "% x & R maka ' ( x ax atau ' )x* + ax atau
, + ax disebut 'ungsi eksponen#
Fungsi eksponen , + ' )x* + ax - a > - a ! " mempun,ai si'att . si'at
) i *# Kur/a terletak diatas sumbu x )de0nit positi'*
) ii *# 1emotong salib sumbu 2an,a di titik )%"*
) iii *# 1empun,ai asimtot datar , + sumbu x*
) i/ *# 1onoton naik untuk a > "
) / *# 1onoton turun untuk a 3 a 3 "#
Gra0k 'ungsi eksponen , + ax
4 + ax - a > "
4 + ax- 3 a 3 "
GRAFIK FUNGSI 5OGARI61A
Se7ara umum 'ungsi logaritma dapat ditulis dengan a > dan a ! "# gra0k dari
'ungsi logaritma , + a log x mempun,ai si'at(
) i *# 8erada disebela2 kanan sumbu x- )terde0nisi untuk x > *
) ii *# 1emotong salib sumbu di )" % *
) iii *# 1empun,ai asimtot tegak x )sb# 4*
) i/ *# 1onoton naik untuk a > "
) / *# 1onoton turun untuk 3 a 3 "#
Gra0k 'ungsi logaritma , + a log x#
4 + alog x - a >
7/17/2019 GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
http://slidepdf.com/reader/full/grafik-fungsi-eksponen-568d35cbd4161 2/22
4 + alog x - 3 a 3 "
Pen$elasan Eksponen
8erdasarkan pen$elasan di atas maka berlaku rumus9rumus di ba:a2 ini (
1isalkan dan m%n adala2 bilangan positi'% maka(
;onto2(
Uba2la2 bentuk ini dalam bentuk pangkat positi' (
<a:ab(
7/17/2019 GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
http://slidepdf.com/reader/full/grafik-fungsi-eksponen-568d35cbd4161 3/22
Persamaan 'ungsi Eksponen
Ada beberapa bentuk persamaan eksponen% diantaran,a adala2(
9 F ) x * + "
9 Untuk ')x* dan ')x* "% maka ')x* + g)x*
9 ' ) x * + 9" asalkan ' )x* dan g )x* sama9sama genap atau sama9sama
gan$il%
9 ' ) x * + asalkan ' ) x * > dan g ) x * >
;onto2 (
6entukan nilai x supa,a
<a:ab(
7/17/2019 GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
http://slidepdf.com/reader/full/grafik-fungsi-eksponen-568d35cbd4161 4/22
Pertidaksamaan Eksponen
"# ' ) x * > g ) x *% > "
=# ' ) x * 3>;onto2(
impunan bilangan real ,ang memenu2i pertidaksamaan adala2?#
<a:ab(
<adi impunan Pen,elesaian + @ x x > = B
"# Pengertian Eksponen
8entuk an )ba7a ( a pangkat n* disebut bentuk eksponensial atau perpangkatan
dengan a disebut basis atau bilangan pokok dan n disebut eksponen atau pangkat#
<ika n adala2 bilangan bulat positi'% maka (
8erdasarkan pen$elasan di atas maka berlaku rumus9rumus di ba:a2 ini (
1isalkan dan m%n adala2 bilangan positi'% maka(
7/17/2019 GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
http://slidepdf.com/reader/full/grafik-fungsi-eksponen-568d35cbd4161 5/22
;onto2(
Uba2la2 bentuk ini dalam bentuk pangkat positi' (
<a:ab(
=# Fungsi Eksponen dan Gra0kn,a
Fungsi eksponen merupakan pemetaan bilangan real x ke ax dengan a >
dan <ika a > dan % maka
7/17/2019 GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
http://slidepdf.com/reader/full/grafik-fungsi-eksponen-568d35cbd4161 6/22
disebut 'ungsi eksponen mempun,ai si'at9si'at (
)i* Kur/a terletak di atas sumbu x )de0nit positi'*
)ii* 1empun,ai asimtot datar , + )sumbu x *
)iii* 1onoton naik untuk a > "
)i/* 1onoton turun untuk 3>
Gra0k 'ungsi eksponen , + ax
)i* , + ax ( a > "
)i* , + ax 3>
7/17/2019 GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
http://slidepdf.com/reader/full/grafik-fungsi-eksponen-568d35cbd4161 7/22
;onto2(8uatla2 gra0k dari , + =xC
<a:ab(
8uatla2 tabel ,ang menun$ukkan 2ubungan antara x dan , + ' )x* + =x # Dalam 2al
ini pili2 nilai x se2ingga , muda2 ditentukan#
# Persamaan 'ungsi Eksponen
Ada beberapa bentuk persamaan eksponen% diantaran,a adala2(
7/17/2019 GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
http://slidepdf.com/reader/full/grafik-fungsi-eksponen-568d35cbd4161 8/22
9 F ) x * + "
9 Untuk ')x* dan ')x* "% maka ')x* + g)x*
9 ' ) x * + 9" asalkan ' )x* dan g )x* sama9sama genap atau sama9sama
gan$il%
9 ' ) x * + asalkan ' ) x * > dan g ) x * >
;onto2 (
6entukan nilai x supa,a
<a:ab(
# Pertidaksamaan Eksponen
"# ' ) x * > g ) x *% > "
=# ' ) x * 3>
7/17/2019 GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
http://slidepdf.com/reader/full/grafik-fungsi-eksponen-568d35cbd4161 9/22
;onto2(
impunan bilangan real ,ang memenu2i pertidaksamaan adala2####
<a:ab(
<adi P + @ x x > = B
Apa itu Eksponen 1atematika
Eksponen sering kita kenal dengan sebutan pangkat# De0nisi eksponen adala2 nilai
,ang menun$ukkan dera$at kepangkatan )berapa kali bilangan tersebut dikalikan
dengan bilangan tesebut $uga* e2e2 aga rumit mengartikan de0nisin,a dalam
kata9kata# 8entuk an )ba7a( a pangkat n* disebut bentuk eksponensial atau
perpangkatan# a disebut dengan bilangan pokok )basis* dan n disebut eksponenn,a#
<ika n adala2 bilangan bulat positi' maka de0nisi dari eksponen
an + a x a x a x ?## x a )a se$umla2 n 'aktor*
7onto2 ( + x x x + H"
dalam eksponen% bilangan pangkat tidak selaman,a selalu bernilai bulat positi'
tetapi dapat $uga bernilai nol% negati'% dan pe7a2an#
Eksponen )pangkat* nol
<ika a ! maka a + "
7onto2
= +"
+""=HH +"
x +"
Eksponen )pangkat* negati' dan pe7a2an
<ika m dan n adala2 bilangan bulat positi' maka
)i* a9n + "an
7/17/2019 GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
http://slidepdf.com/reader/full/grafik-fungsi-eksponen-568d35cbd4161 10/22
7onto2
=9 + "= + "H
)ii* a"n + nJa
7onto2
="= + J=
=" + J=Setela2 sobat 2itung berkenalan dengan eksponen% kita lan$ut ke si'at9si'atn,a#
Si'at9si'at Eksponen
Dari de0nisi eksponen di atas dapat datarik kesimpulan tentang karakteristik dan
si'at9si'at dari eksponen#
am # an + amn
<ika sobat pun,a bilangan dasar sama dengan pangkat berbeda maka 2asil
perkaliann,a adala2 bilangan dasar dengan pangkat 2asil pen$umla2an pangkat
masing9masing bilangan#;onto2(
x # xL + x)L* + x"
M # M9= + M)9=* + M=
aman + am9n
Kebalikan dari si't pertama kalau bilangan dasar ,ang sama membagi sala2 satu%
maka pangkatn,a dikurangi
;onto2(
x"= ( x" + x)"=9"* + x"
)am*n + amn
Suatu bilangan berpangkat $ika dipangkatkan lagi maka pangkat ak2irn,a adala2
perkalian pangkatn,a
;onto2(
)=* + =# + L
)am#bn*p + amp# bnp
;onto2(
)x=#,*= + x=#= # ,#= + x#,L
)aman*p + ampanp
;onto2
)==* + =#=# + =="=
Fungsi Eksponen dan Gra0kn,a
'ungsi eksponene merupakan pemetaan bilangan real x ke ax dengan a > dan a !
"# <ika a > dan a ! "% x R maka '()x* + ax disebut sebagai 'ungsi eksponen#
Fungsi eksponen , + ')x* + ax- a> dan a ! " mempun,ai si'at9si'at
7/17/2019 GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
http://slidepdf.com/reader/full/grafik-fungsi-eksponen-568d35cbd4161 11/22
Kur/a terletak di atas sumbu x )de0nit positi'*
memotong sumbu , di titik )%"*
mempun,ai asimto datar , + )sumbu x*
gra0k monoton naik untuk x > "
gra0k berbentuk monoton turun untuk 3x3"
;onto2 Soal(
<ika ')x* + =x" tentukan nilai dari ')* dan ')9*
')* + =" + = + "L
')9* + =9" + =9= + " + %=
Persamaan Fungsi Eksponen
ada beberapa bentuk persamaan eksponen diantaran,a adala2
)i* $ika a')x* + ap maka ')x* + p
)ii* $ika a')x* + ag)x* maka ')x* + g)x*
;onto2 Soal
tentukan nilai dari x agar =x9 +
$a:ab
=x9 +
=x +"
=x + " maka x + "=
tentukan nilai x dari persamaan x9" . =Mx +
$a:ab
x9" . =Mx +
x9" + )*xx9" + x
x9" + x
=x + "
x +
7ari 2impunan pen,elesaian dari persamaan eksponen =x= H#x 9" +
$a:ab
7/17/2019 GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
http://slidepdf.com/reader/full/grafik-fungsi-eksponen-568d35cbd4161 12/22
=x= H#x 9" + untuk memuda2kan menger$akann,a sobat bisa memisalkan
x + a
=x= H#x 9" +
=x = H#x 9" +
)x*= = H#x 9" +
a= Ha 9" + kita 'aktorkan persamaan kuadrat tersebut)a9"*)a"* +
a9" +
a + "
a + "
atau
a " +
a + 9"
kembali ke permisalan a:al x + a
x + " maka x + 9=
x + 9" )tidak memenu2i* $adi nilai x ,ang memenu2i adala2 9=
Eksponen dan 5ogaritma
"# Pengertian Eksponen 8entuk an )ba7a ( a pangkat n* disebut bentuk eksponensial
atau perpangkatan dengan a disebut basis atau bilangan pokok dan n disebut
eksponen atau pangkat#
<ika n adala2 bilangan bulat positi'% maka (8erdasarkan pen$elasan di atas maka berlaku rumus9rumus di ba:a2 ini (
1isalkan dan m%n adala2 bilangan positi'% maka(
7/17/2019 GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
http://slidepdf.com/reader/full/grafik-fungsi-eksponen-568d35cbd4161 13/22
;onto2( Uba2la2 bentuk ini dalam bentuk pangkat positi' (
<a:ab(
=# Fungsi Eksponen dan Gra0kn,a Fungsi eksponen merupakan pemetaan bilangan
real x ke axdengan a > dan <ika a > dan %
maka disebut 'ungsi
eksponen mempun,ai si'at9si'at (
)i* Kur/a terletak di atas sumbu x )de0nit positi'*
)ii* 1empun,ai asimtot datar , + )sumbu x *
)iii* 1onoton naik untuk a > "
7/17/2019 GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
http://slidepdf.com/reader/full/grafik-fungsi-eksponen-568d35cbd4161 14/22
)i/* 1onoton turun untuk 3>
Gra0k 'ungsi eksponen , + ax
)i* , + ax ( a > "
)i* , + ax 3>
;onto2(
8uatla2 gra0k dari , + =xC
<a:ab( 8uatla2 tabel ,ang menun$ukkan 2ubungan antara x dan , + ' )x* + =x #
Dalam 2al ini pili2 nilai x se2ingga , muda2 ditentukan#
7/17/2019 GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
http://slidepdf.com/reader/full/grafik-fungsi-eksponen-568d35cbd4161 15/22
# Persamaan 'ungsi Eksponen
Ada beberapa bentuk persamaan eksponen% diantaran,a adala2(
9 F ) x * + "
9 Untuk ')x* dan ')x* "% maka ')x* + g)x*
9 ' ) x * + 9" asalkan ' )x* dan g )x* sama9sama genap atau sama9sama gan$il%
9 ' ) x * + asalkan ' ) x * > dan g ) x * >
;onto2 (
6entukan nilai x supa,a
7/17/2019 GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
http://slidepdf.com/reader/full/grafik-fungsi-eksponen-568d35cbd4161 16/22
<a:ab(
# Pertidaksamaan Eksponen
"# ' ) x * > g ) x *% > "
=# ' ) x * 3>
;onto2(
impunan bilangan real ,ang memenu2i pertidaksamaan adala2####
<a:ab(
<adi P + @ x x > = B
Rumus dan Si'at 5OGARI61A
5ogaritma adala2 operasi matematika ,ang merupakan kebalikan
dari eksponen atau pemangkatan#
Rumus dasar logaritma(
7/17/2019 GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
http://slidepdf.com/reader/full/grafik-fungsi-eksponen-568d35cbd4161 17/22
b7+ a ditulis sebagai blog a + 7 )b disebut basis*
8eberapa orang menuliskan blog a + 7 sebagai logba + 7
Si'at9Si'at 5ogaritma(
;onto2 Soal (
Pembuktian Rumus 5ogaritma
Rumus 5ogaritma Perkalian
5ogaritma perkalian dua bilangan sama dengan $umla2 logaritma dari masing9
masing bilangan#
;onto2 Soal (
Rumus 5ogaritma Pembagian
5ogaritma pembagian dua bilangan sama dengan pengurangan logaritma
pembilang numerus ole2 pen,ebut numerus#
;onto2 Soal (
7/17/2019 GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
http://slidepdf.com/reader/full/grafik-fungsi-eksponen-568d35cbd4161 18/22
Rumus 5ogaritma 8ilangan 8erpangkat
5ogaritma dengan numerus berupa bilangan berpangkat sama dengan pangkat
dikalikan dengan logaritma bilangan tersebut#
;onto2 Soal (
1enguba2 8ilangan Pokok 5ogaritma
Rumus 5ogaritma 5ainn,a
Dari Rumus (
Dan
Dapat Diperole2 Rumus 8erikut (
PE18AASAN
Kur/a bak mandi mendeskripsikan keterangan dari 'ungsi 2aQard ,ang terdiri dari
tiga bagian atau 'ase% ,aitu(
"# 8agian pertama adala2 tingkat kegagalan ,ang turun% ,ang dikenal sebagai
kegagalan a:al )masa a:al burn in period*
=# 8agian kedua adala2 tingkat kegagalan ,ang konstan% ,ang dikenal sebagai
kegagalan a7ak )masa berguna use'ul li'e period*# 8agian ketiga adala2 tingkat kegagalan ,ang naik% ,ang dikenal sebagai
kegagalan aus )masa aus :ear9out period*
7/17/2019 GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
http://slidepdf.com/reader/full/grafik-fungsi-eksponen-568d35cbd4161 19/22
Kur/a bak mandi di2asilkan dengan memetakan tingkat kegagalan a:al ketika
pertama kali diperkenalkan% kemudian tingkat kegagalan a7a2 ketika tingkat
kegagalan ,ang konstan selama masa berguna% dan ak2irn,a pada tingkatkegagalan aus karena produk melebi2i umur desainn,a#
Dalam istila2 teknis% masa a:al suatu produk mengikuti kur/a bak mandi# Dia:ali
dengan tingkat kegagalan ,ang tinggi namun dengan 7epat segera menurun%
dikarenakan produk ,ang 7a7at segera dikenali dan dibuang serta potensi
kegagalan seperti kesala2an penanganan dan instalasi segera diatasi# Kemudian%
bagian tenga2 dari masa 2idup suatu produk ketika men7apai pelanggan dengan
tingkat kegagalan renda2 dan konstan# Selan$utn,a dalam ak2ir masa pakai suatu
produk% tingkat kegagalan meningkat se$alan dengan umur dan masa pakai dari
produk tersebut#
8an,ak produk9produk ,ang men7erminkan kur/a bak mandi% seperti misaln,a
adala2 pro7essor komputer# Dalam pembuatan serta pengu$ian akan mendapatkan
ban,ak sekali tingkat kegagalan# Selan$utn,a% ketika produk rilis dan sampai di
pelanggan tingkat kegagalan 2an,a sedikit dan konstan# Ketika masa pakai dari
pro7essor tersebut melebi2i usia pakai% maka tingkat kegagalan pun meningkat
kembali#
Kur/a bak mandi dapat disebut $uga dengan kur/a la$u kegagalan# 5a$u kegagalan
adala2 ban,akn,a kegagalan per satuan :aktu# 5a$u kegagalan dapat din,atakan
sebagai perbandingan antara ban,akn,a kegagalan ,ang ter$adi selama selang
:aktu tertentu dengan total :aktu operasi dari suatu komponen% subsistem atau
sistem#
5a$u kegagalan dapat din,atakan sebagai (
+ '6
7/17/2019 GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
http://slidepdf.com/reader/full/grafik-fungsi-eksponen-568d35cbd4161 20/22
)t*+ )' )t**)6 )t**
dimana (
' + ban,akn,a kegagalan selama $angka :aktu operasi
6 + total :aktu operasi
Selain dimodelkan sebagai la$u kegagalan% kur/a bak mandi $uga dapat dimodelkan
dalam 'ungsi 2aQard (
Ketika kur/a bak mandi digunakan% tidak semua produk atau sistem mengikuti
'ungsi 2aQard kur/a bak mandi% 7onto2n,a $ika penggunaaan unit di2entikan atau
menurun selama atau sebelum permulaan masa aus% unit tersebut akan
mnun$ukkan kegagalan ,ang lebi2 sedikit tiap :aktu penanggalan )bukan per unit
:aktu penggunaan* dari kur/a bak mandi#
Istila2 Spesi0kasi 1iliterT sering digunakan untuk mendeskripsikan sistem ,ang
periode a:al dari kur/a bak mandi di2apuskan# al ini dilakukan terutama pada
aplikasi sistem kritis untuk mengurangi kegagalan sistem ,ang ter$adi se$ak a:al#
Perusa2aan akan melakukan 2al ini dengan tari' tertentu se7ara umum dengan 7ara
,ang mirip dengan pengu$ian per7epatan tekanan#
Dalam teknik reliabilitas% 'ungsi distribusi komulati' ,ang sesuai dengan kur/a bak
mandi dapat dianalisis menggunakan gra0k eibull# Distribusi eibull sangat
Veksibel untuk memodelkan distribusi 2idup dari karakteristik distribusi kegagalan
dalam 'ase kur/a bak mandi# Dasar dari distribusi eibull memiliki = parameter%
,aitu parameter bentuk )sering dilambangkan beta )W**% dan parameter skala )eta
X*# Parameter skala digunakan ketika bagian populasi akan $atu2# Sedangkan
parameter bentuk merupakan 0tur kun7i dari distribusi eibull ,ang dapat
diterapkan pada berbagai bentuk kur/a bak mandi#
Distribusi eibull diberikan sebagai berikut(
7/17/2019 GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
http://slidepdf.com/reader/full/grafik-fungsi-eksponen-568d35cbd4161 21/22
8eta ,ang kurang dari " memodelkan tingkat kegagalan ,ang berkurang ter2adap
:aktu% seperti pada kegagalan a:al# 8eta ,ang bernilai sama dengan " berarti
mempun,ai tingkat kegagalan ,ang konstan% seperti pada kegagalan a7akmasa
guna# Sedangkan beta ,ang lebi2 dari " dimodelkan dengan tingkat kegagalan ,ang
meningkat% seperti pada masa aus# 6erdapat beberapa 7ara untuk meli2at distribusi
ini% termasuk pemetaan kemungkinan% pemetaan sur/i/al dan tingkat kegagalan
ter2adap :aktu# Sedangkan untuk kur/a bak mandi adala2 tingkat kegagalan
ter2adap :aktu#
Analisis eibull ,ang mempun,ai nilai W dengan /ariasi ,ang berbeda9beda dapat
dili2at pada gambar di ba:a2 ini(
aktu pakai )masa berguna* dari suatu produk dapat diukur berdasarkan 168F
)1ean 6ime 8et:een Failures* untuk produk ,ang dapat diperbaiki% dan berdasarkan
166F )1ean 6ime 6o Failure* untuk produk sekali pakai# Pengukuran dari
per2itungan ini didasarkan pada aspek reliabilitas dari suatu produk#
Pema2aman dari 168F sering kali keliru# 1isaln,a% po:er suppl, dengan 168F
# $am bukan berarti po:er supll, tersebut selalu berta2an sampai # $am#Namun% berdasarkan peningkatan sample# Rata9rata tersebut men$adi benar $ika
$uga dengan meli2at kenaikan sample# 168F bernilai # $am untuk " modul%
men$adi #= untuk = modul dan # untuk modul# Kadang9kadang
tingkat kegagalan di2itung dalam persen kegagalan per " $uta dari operasi sebagai
pengganti dari 168F# FI6 sama artin,a dengan " kegagalan per " mil,ar $am dari
de/i/e% ,ang sama artin,a dengan "### $am 168F#
7/17/2019 GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
http://slidepdf.com/reader/full/grafik-fungsi-eksponen-568d35cbd4161 22/22
Nilai 168F dapat di2itung dengan menggunakan rumus berikut(
Y + 6R
dengan (Y + 168F
6 + :aktu total
R + $umla2 kegagalan
Sedangkan 166F merupakan :aktu rata9rata kegagalan dari suatu komponen# 166F
2an,a berlaku pada peralatan ,ang $ika mengalami kerusakan maka komponenn,a
2arus diganti# 166F diperlukan untuk mengeta2ui kualitas dan kemampuan dari
komponen ,ang digunakan#
Nilai dari 166F dapat di2itung dengan menggunakan per2itungan berikut(
Z + 6N
dengan (
Z + 166F
6 + :aktu total
R + $umla2 unit ,ang diu$i