PENGANTAR STATISTIKA

Bahan KuliahProgram Strata I

IKOPINInstitut Manajemen Koperasi Indonesia

2010

PENGANTAR STATISTIKA SILABUS

I. PENDAHULUAN1. Pengertian – pengertian Dasar

a. Statistika, b. Statistika deskriptif

1

c. Statistika inferenced. Populasie. Sampelf. Penelitian Sensusg. Penelitian Sampling

2. Data dan Pembagiannyaa. Pengertian Datab. Pembagian Data

3. Cara Pengumpulan Data 4. Syarat Data yang Baik

II. PENYAJIAN DATA1. Kegunaan Penyajian Data2. Cara Menyajikan Data dalam bentuk Tabel3. Cara Menyajikan Data dalam bentuk Diagram Garis4. Cara Menyajikan Data dalam bentuk Diagram Balok5. Cara Menyajikan Data dalam bentuk Diagram Lingkaran6. Cara Menyajikan Data dalam bentuk Diagram Lambang7. Cara Menyajikan Data dalam bentuk Diagram Peta

III. DISTRIBUSI FREKUENSI1. Pengertian2. Istilah-istilah dalam Distribusi Frekuensi3. Cara Menyusun Tabel Distribusi Frekuensi4. Cara Menyajikan Tabel Distribusi Frekuensi dalam Bentuk

Histogram, Poligon, dan Kurva.

IV. UKURAN GEJALA PUSAT ( UGP )1. Istilah-istilah Dasar2. Skala Pengukuran3. Pengertian Ukuran Gejala Pusat4. UGP untuk data berkelompok (Goruped Data)5. UGP untuk data tidak berkelompok (Ungrouped Data)

2

V. UKURAN KESERAGAMAN / DISPERSI1. Pengertian Ukuran Keseragaman2. Ukuran Keseragaman untuk ungrouped data3. Ukuran Keseragaman untuk grouped Data

VI. TEORI PELUANG1. Pendahuluan2. Pengertian Peluang3. Peristiwa / kejadian4. Ruang Sampel / Sample Space5. Operasi Peristiwa6. Menghitung Peluang7. Hukum-Hukum Peluang8. Nilai Harapan / Ekspektasi

VII. DISTRIBUSI PELUANG1. Pendahuluan dan Pengertian Distribusi Peluang2. Distribusi Peluang Variabel Diskrit

a. Distribusi Binomialb. Distribusi Poissonc. Distribusi Hipergeometrikd. Distribusi Multinominal

3. Distribusi Peluang Variabel Kontinua. Distribusi Normal dan Normal Bakub. Distribusi Normal Pendekatan dari Binom

VIII. DISTRIBUSI SAMPLING1. Pendahuluan dan Pengertian Distribusi Sampling2. Distribusi Sampling Rata-rata3. Distribusi Sampling Proporsi4. Distribusi Sampling Simpangan Baku

IX. PENAKSIRAN / Estimation3

1. Pendahuluan dan Pengertian Penaksiran / Estimation2. Penaksir3. Cara-cara Melakukan Penaksiran4. Menaksir Sebuah Nilai Parameter

a. Menaksir Sebuah Nilai Parameter Rata-Ratab. Menaksir Sebuah Nilai Parameter Proporsic. Menaksir Sebuah Nilai Parameter Simpangan Baku

5. Menaksir Selisih Nilai Parametera. Menaksir Selisih Nilai Parameter Rata-Ratab. Menaksir Selisih Nilai Parameter Proporsi

6. Menentukan Ukuran Sampel

Referensi1. Sudjana. 1996. Metode Statistika. Tarsito, Bandung2. Anto Dajan. 1995 . Pengantar statistik Jilid II, LP3 ES, Jakarta3. J. Supranto. 1998. Statistik (Teori dan Aplikasi) Jilid II, Erlangga,

Jakarta

Alat Bantu yang DigunakanKalkulator yang ada program SD (Standard Deviation)

4

BAB IPENDAHULUAN

1.1. Pengertian – Pengertian Dasar

a). Statistika adalah ilmu yang mempelajari mulai dari mengumpulkan, mengolah, menyusun atau menyajikan dan menganalisis data serta menarik kesimpulan secara sistematis.

b). Statistika Deskriptif adalah ilmu yang mempelajari cara-cara penarikan kesimpulan secara sederhana dalam lingkup yang terbatas .

c). Statistika Inferens adalah ilmu yang mempelajari cara-cara penarikan kesimpulan secara general/umum yang di dasarkan pada data sampel.

d). Populasi adalah sekumpulan obyek yang lengkap dan jelas kriterianya yang akan dijadikan target penarikan kesimpulan.

Nilai-nilai yang berasal dari data populasi dinamakan dengan Parameter.

Ukuran populasi N

Rata-rata dari data populasi (miu)

Simpangan baku dari data populasi ( sigma )

Varians dari data populasi ( sigma kuadrat )

Persentase / proporsi dari data populasi ( phi )

e). Sampel adalah sebagian dari anggota populasi yang dipilih dengan cara tertentu yang akan diteliti sifat-sifatnya dalam penelitian.

Nilai-nilai yang berasal dari data sampel dinamakan dengan Statistik.

Rata-rata dari data sampel ( x bar )

Persentase / proporsi dari data sampel p

Simpangan baku dari data sampel S

Varians dari data sampel S 2

5

f). Penelitian sensus adalah penelitian yang dilakukan dengan cara mengumpulkan data dari semua anggota populasi.

g). Penelitian sampling adalah penelitian yang dilakukan dengan cara mengumpulkan data dari anggota sampel.

1.2. Data dan Pembagiannyaa). Pengertian data Data adalah keterangan yang bisa berupa angka atau bukan angka

yang menjelaskan tentang sesuatu hal, dan biasanya dihubungkan dengan waktu dan tempat.

b). Pembagian DataData menurut karakteristiknya bisa dibagi menjadi 5 bagian yaitu :1. Menurut sifatnya, data dibagi menjadi 2 macam yaitu :a). Data kualitatif data yang bukan berupa angka.

Misalnya nama, alamat, baik, buruk, mahal, murah dsb. b). Data kuatitatif data yang berupa angka

1) Data kuantitatif diskrit adalah data yang jika diukur hanya menghasilkan bilangan bulat saja.

Contoh : jumlah penduduk, jumlah mobil2) Data kuantitatif kontinue adalah data yang jika diukur bisa

menghasilkan bilangan bulat dan pecahan. Contoh : usia, berat badan, nilai uang

2. Menurut cara memperolehnya, data bisa dibedakan menjadi 2 macam yaitu:

a). Data primer data yang dikumpulkan sendiri secara langsung oleh peneliti.

b). Data sekunder data yang dikumpulkan oleh pihak lain dalam bentuk sudah dipublikasikan dan peneliti tinggal mengutip atau menyalin dan memanfaatkannya. Syaratnya harus ditulis sumbernya.

3. Menurut waktu pengumpulan datanya, data dikelompokkan menjadi 2 jenis yaitu :

6

a). Data cross section ( data penampang) data yang dikumpulkan dari satu waktu tertentu dan ditampilkan untuk satu periode saja.Misalnya : pendapatan penduduk pada Tahun 2005

b). Data time series ( data berkala / data historis) data yang dikumpulkan secara berurutan dari waktu ke waktu dan ditampilkan paling sedikit dalam 2 waktu yang berbeda.Misalnya : Jumlah penduduk pada Tahun 2000, 2001, 2002 dan 2003

4. Menurut pengolahannya, data dapat dibagi menjadi 2 macam yaitu :a). Data tidak berkelompok (Ungrouped Data) adalah data yang baru

dikumpulkan dan belum dikelompokkan dalam kelas & interval tertentu.

1) Data mentah data yang di kumpulkan belum di apa-apakancontoh nilai ujian & masukan ke absen

2) Data array data yang belum dikelompokkan tetapi sudah di urutkan (dari yang terkecil sampai yang terbesar)

b). Data berkelompok (Grouped Data) adalah data yang sudah diolah dan dikelompokkan menurut kelas interval tertentu.

1. Menurut sumbernya, data dapat dibagi menjadi 2 macam yaitu :a). Data internal adalah data mengenai sebuah instansi/organisasi yang

berasal dari instansi itu sendiri.b). Data eksternal adalah data yang berasal dari luar organisasi atau

instansi yang sedang ditulis dalam artikel/karya ilmiah.

1.3. Cara Mengumpulkan Data Dalam penelitian untuk mendapatkan data yang diperlukan bisa

diperoleh dengan berbagai cara diantaranya :1) Wawancara / interview adalah cara mengumpulkan data yang

dilakukan secara lisan2) Angket / kuesioner adalah cara mengumpulkan data yang

dilakuakn secara tertulis 3) Observasi adalah cara pengumpulan data yang dilakukan dengan

mengamati obyek secara langsung tanpa rekayasa

7

4) Eksperimen / percobaan adalah pengumpulan data yang yang dilakukan dengan mengamati obyek secara langsung, dimana obyeknya sudah diberi perlakuan (direkayasa) terlebihdahulu

5) Study pustaka adalah pengumpulan data yang berasal dari data-data yang sudah dipublikasikan.

1.4. Syarat Data yang BaikData yang kita kumpulkan dalam suatu penelitian, belum tentu

merupakan data yang baik. Karena data yang baik adalah data yang memenuhi syarat sebagai berikut :1. Obyektif2. Representatif3. Up to date4. Relevan

Data yang obyektif data yang sesuai dengan keadaan yang sebenarnya

Data yang representatif data yang dapat mewakili populasiData yang Up to date data yang terbaru / terkini Data yang relevan data yang sesuai / ada kaitannya

8

BAB IIPENYAJIAN DATA

Data setelah dikumpulkan dan diolah perlu disajikan dalam bentuk yang baik.

Kegunaan Penyajian DataData perlu disajikan atau ditampilkan dalam bentuk yang baik,

dengan tujuan untuk : 1. Memudahkan untuk mencari data kembali2. Memudahkan untuk pengolahan data selanjutnya3. Memudahkan untuk analisis data4. Memudahkan untuk dimengerti5. Menarik perhatian pembaca

Penyajian data secara umum data dikelompokan menjadi 5 macam yaitu :1. Disajikan dalam bentuk tabel2. Disajikan dalam bentuk diagram garis3. Disajikan dalam bentuk diagram batang/balok4. Disajikan dalam bentuk diagram lingkaran5. Disajikan dalam bentuk diagram lambang6. Disajikan dalam bentuk diagram peta

Penyajian Data dalam Bentuk TabelTabel adalah bilangan yang sudah disusun menurut kategori-kategori

tertentu dalam kolom dan baris.Tabel secara umum dapat dibedakan menjadi 2 macam yaitu Tabel

Referensi ( Reference Table ) dan Tabel Ikhtisar ( Summary Table ). Tabel Referensi adalah tabel yang memuat keterangan – keterangan yang terperinci dan disusun khusus untuk kepentingan referensi. Tabel referensi bersifat umum dan tidak memberikan tekanan ataupun perbandingan pada data – data tertentu. Tabel referensi sering juga disebut Tabel Umum dan biasanya dalam laporan ilmiah ditempatkan di bagian lampiran.

Tabel Ikhtisar adalah tabel yang memberi gambaran yang sistematis mengenai peristiwa-peristiwa, hasil suatu penelitian. Dalam Tabel Ikhtisar

9

dicantumkan hal-hal yang sifatnya berupa penekanan-penekanan pada peristiwa tertentu dan perbandingan-perbandingan antar data. Biasanya data yang ditonjolkan ditempatkan di sebelah kiri atau diberi huruf tebal atau huruf besar. Tabel Ikhtisar bisa juga disebut dengan Tabel Naskah.

Sebuah tabel secara umum terdiri dari : Judul Tabel. Judul tabel harus ditulis secara singkat dan lengkap.

Sebuah judul tabel di dalamnya harus memuat hal-hal sebagai berikut :

1. Tentang apa2. Kategori-kategori3. dimana 4. Kapan5. Satuan data

Kolom dan baris . Kolom dan baris dalam sebuah tabel biasanya memuat keterangan-keterangan yang berisi kategori data. Kategori data adalah pengelompokkan data berdasarkan aturan tertentu. Dalam menyusun pengelompokkan kategori dalam sebuah tabel dapat dilakukan dengan berbagai cara :

1. Penyusunan secara alfabetis2. Penyusunan secara geografis3. Penyusunan menurut besaran angka4. Penyusunan secara historis5. Penyusunan atas dasar kelas-kelas yang lazim

Badan tabel. Badan tabel digunakan mencantumkan data atau angka dalam sebuah tabel.

Catatan. Sebuah tabel dapat dilengkapi dengan catatan jika diperlukan. Catatan dalam sebuah tabel biasanya digunakan untuk menjelaskan sumber data jika data dikutip dari data orang lain. Disamping itu catatan tabel juga dapat dimanfaatkan untuk menjelaskan hal-hal khusus yang terjadi pada data yang dicantumkan dalam tabel.

Bentuk Umum Tabel Tabel 1. Judul

No. Baris Kolom

10

1. K A B2. L

Badan tabel Badan tabel3. M4. N

Catatan :Dalam penyajiannya tabel dapat dikelompokkan menjadi 3 macam yaitu :

1. Tabel Satu Arah ( One Way Table ) yaitu tabel yang di dalamnya hanya memuat sebuah kategori.

Tabel 1. Jumlah Mahasiswa Ikopin per Angkatan (orang)

No. Angkatan Jumlah Mahasiswa1. 1995 665

2. 1996 6853. 1997 740

4. 1998 6865. 1999 640

2. Tabel Dua Arah ( Two Way Table ) yaitu tabel yang di dalamnya memuat dua buah kategori.

Tabel 2. Jumlah Mahasiswa Ikopin per Angkatan dan Fakultas (orang)

No. Angkatan FakultasFMK FMS FMP D – 3

1. 1995 210 125 150 1802. 1996 215 110 165 195

3. 1997 235 130 175 2004. 1998 204 147 160 175

5. 1999 190 120 145 185

11

3. Tabel Tiga Arah ( Three Way Table ) yaitu tabel yang di dalamnya memuat tiga buah kategori.

Tabel 3. Jumlah Mahasiswa Ikopin per Angkatan, Fakultas dan Jurusan (orang)

No. Angkatan FakultasFMK FMS FMP D - 3

11 12 21 22 31 32 11 12 321. 1995 140 70 65 60 70 80 70 60 50

2. 1996 130 85 70 40 70 95 75 65 453. 1997 150 85 75 55 80 95 75 70 55

4. 1998 140 64 80 67 75 85 70 60 455. 1999 125 75 70 50 65 80 78 65 42

Keterangan :11 adalah kode jurusan manajemen keuangan12 adalah kode jurusan manajemen perbankan21 adalah kode jurusan manajemen SDM 22 adalah kode jurusan manajemen komunikasi bisnis31 adalah kode jurusan manajemen produksi32 adalah kode jurusan manajemen pemasaran

Penyajian Data dalam Bentuk Diagram Garis (Line Chart)Diagram garis atau grafik adalah bentuk penyajian data yang berupa

gambar garis. Diagram Garis dibuat berdasarkan data yang sudah berbentuk tabel.

Bentuk Diagram garis yang umum digunakan dalam penyajian data adalah

Diagram Garis Tunggal, yang dibuat berdasarkan tabel satu arah

12

Diagram Garis Berganda, yang dibuat berdasarkan tabel dua arah atau tiga arah

Diagram Garis Komponen Berganda, yang dibuat berdasarkan tabel dua arah atau tiga arah tetapi disajikan secara kumulatif

Penyajian Data dalam Bentuk Diagram Batang atau Balok (Bar Chart)Diagram Batang atau Diagram Balok adalah bentuk penyajian data

yang berupa gambar balok atau batang. Sama seperti Diagram Garis,

13

Diagram Batang juga dibuat berdasarkan data yang sudah berbentuk tabel.

Bentuk Diagram Batang atau Balok yang umum digunakan dalam penyajian data adalah

Diagram Balok Tunggal, yang dibuat berdasarkan tabel satu arah

Diagram Balok Berganda, yang dibuat berdasarkan tabel dua arah atau tiga arah

Diagram Balok Komponen Bergandatabel dua arah atau tiga arah tetapi disajikan secara

kumulatif

14

Penyajian Data dalam Bentuk Diagram Lingkaran (Pie Chart)

Diagram Lingkaran adalah bentuk penyajian data yang berupa gambar lingkaran. Sama seperti Diagram yang lain,Diagram Lingkaran juga dibuat berdasarkan data yang sudah berbentuk tabel.

Bentuk Diagram Lingkaran yang umum digunakan dalam penyajian data adalah

Diagram Lingkaran Tunggal, yang dibuat berdasarkan tabel satu arah

Diagram Lingkaran Berganda, yang dibuat berdasarkan tabel dua arah atau tiga arah

15

Penyajian Data dalam Bentuk Diagram Lambang (Pictogram Chart)

Diagram Lambang adalah bentuk penyajian data yang berupa gambar dari jenis datanya. Diagram lambing biasanya dibuat tidak berdiri sendiri, tetapi digabungkan dengan diagram yang lain, semisal diagram balok, diagram garis, atau diagram peta.

16

Penyajian Data dalam Bentuk Diagram Peta (Cartogram Chart)

Diagram Peta adalah bentuk penyajian data yang berupa gambar peta suatu wilayah. Diagram Peta juga biasanya dibuat tidak berdiri sendiri, tetapi digabungkan dengan diagram yang lain, seperti diagram lambang.

BAB III

17

DISTRIBUSI FREKUENSI

3.1. Pengertian Dalam praktek penelitian dengan ruang lingkup yang luas, kita akan

memperoleh data dalam jumlah yang banyak sekali. Untuk memudahkan pengolahan dan keperluan analisis data yang sifatnya deskriptif, maka data tersebut terlebih dahulu dikelompok-kelompokkan ke dalam interval-interval tertentu. Dengan pengelompokkan tersebut, maka akan diperoleh gambaran yang sederhana, jelas dan sistematis serta ringkas mengenai suatu peristiwa yang dinyatakan dalam angka-angka.

Pengelompokkan data atau mengubah dari data mentah (ungrouped data) menjadi data berkelompok (grouped data), disajikan dalam bentuk Tabel Distribusi Frekuensi.

3.2. Istilah-istilah Dalam Distribusi FrekuensiUntuk menyusun sebuah Tabel Distribusi Frekuensi, terlebih dahulu

perlu dipahami beberapa istilah berikut ini :a. Kelas Interval (KI) adalah data yang sudah dikelompokkan dalam

batas-batas bilangan tertentu.Kelas interval di bagi 2 yaitu :1. Kelas interval terbuka adalah kelas interval yang hanya dibatasi

oleh sebuah bilangan2. Kelas interval tertutup adalah kelas interval yang dibatasi oleh dua

buah bilanganb. Batas Kelas adalah bilangan yang membatasi sebuah kelas interval.

Batas Kelas dibedakan menjadi 2 yaitu :1. Batas atas2. Batas bawah

c. Ujung kelas ( UK ) adalah batas paling akhir dari sebuah kelas interval.Ujung kelas juga dapat dibagi menajdi 2 yaitu :1. Ujung atas kelas2. Ujung bawah kelas

d. Panjang kelas ( P ) adalah jarak atau panjang sebuah kelas interval

18

e. Nilai tengah kelas ( X ) adalah bilangan yang nilainya di tengah-tengah

sebuah kelas interval

f. Frekuensi ( Fi ) adalah banyaknya data yang termasuk dalam sebuah kelas interval

3.3. Cara Menyusun Tabel Distribusi FrekuensiUntuk mengubah data mentah (ugrouped data) menjadi data

berkelompok (grouped data) dalam bentuk tabel distribusi frekuensi langkah-langkahnya di susun sebagai berikut :1. Tentukan banyaknya kelas interval yang akan di buat.

Untuk menentukan banyaknya Kelas Interval, bisa menggunakan salah satu dari dua petimbangan berikut ini.

a. Di dasarkan pada tujuan analisisb. Sifat data kasarc. Jumlah datanya, maka digunakan

Rumus Sturges jumlah K I = 1 +(3,3 log n)Dimana n = banyaknya data

Contoh : Jumlah K I = 1 + 3,3 log 100 = 1 + 3,3 ( 2 )

7 Jumlah K I = 1 + 6,6 = 7,6

8d. Hendaknya jumlah kelas interval jangan terlalu kecil atau terlalu

besar. Jika terlalu kecil, maka kita akan kehilangan informasi dan jika terlalu besar, maka gambarannya akan kabur.

2. Hitung panjang kelas ( P )Untuk menghitung panjang kelas digunakan rumus sebagai berikut :P = data tertinggi – data terendah

Jumlah K I

19

3. Siapkan tabel distribusi frekuensinya

No. Kelas Interval( K I )

Ujung Kelas ( U K )

Nilai Tengah

Kelas ( X )

Frekuensi ( Fi )

4. Masukkan data ke dalam Tabel Distribusi Frekuensi, dimulai dari data terkecil.

Contoh : Sebuah lembaga penelitian mengadakan survei mengenai jumlah tabungan per bulan dari Karyawan BUMN/Jakarta. Penelitian dilakukan terhadap 50 karyawan sebagai sampel dan hasilnya dinyatakan dalam % yang hasilnya sebagai berikut :

24, 31, 47, 41, 62, 54, 48, 21, 20, 43, 23, 52, 26, 45, 42, 20, 19, 18, 57, 49, 29, 26, 57, 16, 46, 42, 39, 54, 45, 27, 31, 46, 47, 24, 24, 36, 25, 41, 25, 29, 42, 54, 35, 24, 61, 43, 56, 35, 36, 37

Pertanyaan :a. Ubahlah data mentah tersebut di atas dalam bentuk tabel distribusi

frekuensi dengan menggunakan rumus sturges.b. Lengkapi tabel tersebut dengan nilai frekuensi relatif dan frekuensi

kumulatif nya.c. Berdasarkan tabel tersebut di atas buatlah gambar histogram, poligon,

dan kurva frekuensiatau kurva pemulusan.

Jawaban : n = 501. Jumlah K I = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 50 = 1 + 3,3 (1,698970004)

= 6,6 6 atau 7

20

3. Panjang kelas

4. Tabel Distribusi Frekuensi

K I U K X i F i18 - 24 17,5 – 24,5 21 10

25 – 31 24,5 – 31,5 28 832 – 38 31,5 – 38,5 35 5

39 – 45 38,5 – 45,5 42 1046 – 52 45,5 – 52,5 49 7

53 – 59 52,5 – 59,5 56 860 - 66 59,5 – 66,5 63 2

4. Frekuensi relatif dan kumulatif

Fi Frekuensi Frekuensi kumulatif (Fk)relatif (Fr) Kurang

dariFk Lebih dari Fk

10 10/50 x 100% = 20 % KD 17,5 0 LD 17,5 508 6/50 x 100% = 16 % KD 24,5 10 LD 24,5 40

5 5/50 x 100% = 10 % KD 31,5 18 LD 31,5 3210 10/50 x 100% = 20 % KD 38,5 23 LD 38,5 27

7 7/50 x 100% = 14 % KD 45,5 33 LD 45,5 178 8/50 x 100% = 16 % KD 52,5 40 LD 52,5 10

2 2/50 x 100% = 4 % KD 59,5 48 LD 59,5 2100 % KD 66,5 50 LD 66,5 0

3.4. Penyajian Tabel Distribusi Frekuensi3.4.1. Histogram3.4.2. Poligon3.4.3. Kurva frekuensi3.4.4. ozaive/ogive

21

BAB IVUKURAN GEJALA PUSAT ( UGP )

4.1. Istilah-istilah pengukuran1. Unit Observasi adalah satuan obyek yang akan ditanya atau diukur

atau diteliti karakteristiknya .2. Karakteristik adalah sifat atau ciri yang terdapat pada obyek yang

akan diteliti atau dukur dalam penelitian.3. Variabel adalah karakteristik yang jika diukur akan menghasilkan

nilai yang berbeda antara unit observasi yang satu dengan unit observasi yang lain.

4. Konstanta adalah karakteristik yang jika diukur akan menghasilkan nilai yang sama antara unit observasi yang satu dengan unit observasi yang lain.

5. Pengukuran adalah proses pencantuman bilangan pada suatu karakteristik tertentu dari suatu unit observasi.

4. 2. Skala Pengukuran

Jika kita melakukan pengukuran, maka akan menghasilkan bilangan. Bilangan sebagai hasil dari suatu pengukuran, dapat dibedakan menjadi 4 tingkatan atau skala. Skala pengukuran tersebut terdiri dari :

1) Skala nominal bilangan hasil pengukuran yang fungsinya hanya untuk membedakan saja, antara obyek yang satu dengan obyek yang lain. Maka untuk bilangan berskala nominal tidak berlaku hukum matematika, yaitu tambah, kurang bagi, dan kali. Misalnya : Nomor KTP, Nomor Mahasiswa (Nrp).

2) Skala ordinal bilangan hasil pengukuran yang mempunyai fungsi untuk membedakan dan meranking, antara obyek yang satu dengan obyek yang lain. Contohnya : Nomor sepatu, nomor baju.

22

3) Skala interval bilangan hasil pengukuran yang fungsinya untuk membedakan, merangking, mempunyai jarak yang teratur , antara obyek yang satu dengan obyek yang lain, tetapi titik nolnya tidak mutlak. Contohnya : Jam dan suhu udara.

4) Skala rasio bilangan hasil pengukuran yang fungsinya untuk membedakan, merangking, mempunyai jarak yang teratur , antara obyek yang satu dengan obyek yang lain, dan titik nolnya mutlak.Misalnya : Penghasilan per bulan, Jumlah

Mahasiswa.

4.3. Pengertian Ukuran Gejala PusatUkuran Gejala Pusat (UGP) adalah bilangan yang digunakan untuk

mewakili sekumpulan bilangan. Ukuran Gejala Pusat biasanya nilainya dinyatakan dengan nilai rata-rata, median, kuartil, desil, persentil dan modus.

Untuk menghitung ukuran gejala pusat perlu memperhatikan dua hal berikut ini :a. Bentuk data (apakah data mentah atau data berkelompok)b. Skala pengukuran datanya (apakah berskala nominal, ordinal, interval

atau rasio).

4.4. Ukuran Gejala Pusat untuk Data Tidak Berkelompok( Ungrouped Data )

4.4.1. Arithmatic Mean ( Rata-rata Hitung)

Rata-rata hitung adalah ukuran gejala pusat untuk data tidak berkelompok, jika datanya mempunyai ciri-ciri sebagai berikut :1) Datanya berskala interval2) Datanya relatif homogen ( tidak mengandung bilangan ekstrim atau out lier )

Rumus rata-rata hitung : Untuk data dari populasi

23

Untuk data dari sampel

4.4.2. Weight Mean (Rata-rata Tertimbang atau Rata-rata berbobot )

Adalah UGP untuk data tidak berkelompok, jika datanya mempunyai ciri-ciri sebagai berikut :

Datanya berskala interval Datanya mempunyai bobot yang berbeda

Rumus :

Bi = bobot dataXi = nilai variabel yang akan di hitung rata-ratanya

4.4.3. Geometric Mean (Rata-rata Ukur)Adalah UPG yang digunakan untuk menghitung rata-rata

data tidak berkelompok, jika datanya mempunyai ciri-ciri sebagai berikut : Datanya berskala interval Datanya untuk mengukur rata-rata pertumbuhan atau rata-rata

pertambahan atau rata-rata kenaikkan.

Rumus :

= Rata-rata kenaikan / pertumbuhan / pertambahanPn = jumlah data pada periode akhir (periode ke – n)Po = jumlah data periode awal (periode ke – 0)n = lama periode ( periode ke n – periode ke 0 )

24

4.4.4. Median untuk Data Tidak Berkelompok (Data Mentah)Median adalah bilangan yang membagi sederetan bilangan yang

sudah diurutkan menjadi 2 bagian yang sama. Median juga merupakan rata-rata untuk data yang mempunyai skala pengukuran ordinal . Disamping itu Median dapat juga digunakan untuk mengukur rata-rata, jika datanya berskala interval tetapi di dalamnya mengandung bilangan ekstrim atau out lier.

Cara Menghitung Median untuk Data tidak Berkelompok : Buat array atau urutkan datanya

Cari Letak Median

Hitung Nilai MedianContoh :Berikut ini data tentang penilaian konsumen / nasabah yang diberikan terhadap pelayanan sebuah Bank Pemerintah. Data diperoleh dari sampel yang berukuran 10 orang nasabah, yang terpilih secara acak. Hasil pengukuran dengan menggunakan kuesioner memberikan data sebagai berikut :

75 58 67 83 68 52 77 80 55 86Hitung Mediannya ?

Jawab : Buat Array 52 55 58 67 75 77 80 83 86

Letak Median berarti Median berada pada

data ke 5,5

Nilai Median

Artinya 50 % nasabah Bank Pemerintah menilai pelayanan yang diberikan oleh Bank lebih kecil dari 71,5, sedangkan sisanya 50 % nasabah lainnya menilai pelayanan Bank Pemerintah dengan nilai di atas 71,5.

4.4.5. Kuartil untuk Data Tidak Berkelompok ( Ki )

25

Kuartil adalah bilangan yang membagi sederetan bilangan yang sudah diurutkan menjadi 4 bagian yang sama. Nilai kuartil ada 3 yaitu Kuartil 1

(K ), Kuartil 2 (K ) dan Kuartil 3 (K ).

Cara Menghitung Kuartil untuk Data Tidak Berkelompok : Buat Array

Cari Letak Kuartil

Hitung Nilai Kuartil

Dari data di atas hitung nilai kuartil ke 1 (K )

Buat array di atas sudah ada

Cari Letak Kuartil ada pada data ke 2,75

Hitung Nilai K = data ke 2 + 0,75 ( data ke 3 – data ke 2 )

K = 55 + 0,75 ( 58 – 55 ) = 55 + 2,25 = 57,25

Artinya 25 % nasabah memberi penilaian atas pelayanan Bank Pemerintah di bawah 57,25, sedangkan sisanya 75 % nasabah memberi penilaian atas pelayanan Bank di atas 57,25.

4.4.6. Desil4.4.7. Persentil4.4.8. Modus

4.5. U G P untuk data berkelompok (Grouped Data)Jika kita berhadapan dengan data yang sudah dikelompokkan

dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, maka beberapa cara menghitung ukuran gejala pusatnya adalah sebagai berikut :

Tabel Distribusi Frekuensi Besarnya Tabungan per bulan ( % )

K I U K X i Fi Fi Xi

18 - 24 17,5 – 24,5 21 10 21025 – 31 24,5 – 31,5 28 8 224

32 – 38 31,5 – 38,5 35 5 17539 – 45 38,5 – 45,5 42 10 420

46 – 52 45,5 – 52,5 49 7 343

26

53 – 59 52,5 – 59,5 56 8 44860 - 66 59,5 – 66,5 63 2 126

Jumlah 50 1946

4.5.1. Rata-rata untuk Data Berkelompok (Grouped Data)

dimana : = Rata-rata

= frekuensi ke i

= Nilai Tengah Kelas ke I

= penjumlahan

Jadi rata-rata besarnya tabungan karyawan per bulan sebesar 38,92 % dari pendapatannya

4.5.2. Median ( M ) untuk Data BerkelompokMedian ( M ) adalah bilangan yang membagi sederetan bilangan yang

sudah diurutkan menjadi 2 bagian yang sama.Cara Mencari Median untuk data Berkelompok :

Tentukan Letak Median LM = dimana jumlah frekuensi

Letak Median LM = M ada pada data ke 25

Hitung nilai Median

Nilai Median =

Artinya 50 % dari karyawan, besarnya tabungan di bawah 39,9 % dan sisanya 50 % karyawan lainnya, besarnya tabungan di atas 39,9%

4.5.3. Kuartil ( K ) untuk Data BerkelompokKuartil ( K ) adalah bilangan yang membagi sederetan bilangan yang

sudah diurutkan menjadi 4 bagian yang sama.Cara Mencari Kuartil untuk Data Berkelompok:

27

Tentukan Letak Kuartil LK = dimana jumlah frekuensi

Letak Kuartil ke 1 LK = K ada pada data ke 12,5

Hitung nilai Kuartil

Nilai Kuartil ke 1

=

Artinya 25 % dari karyawan, besarnya tabungan di bawah 26,69 % dan sisanya 75 % karyawan lainnya, besarnya tabungan di atas 26,69 %.

Hitung nilai Kuartil ke 2 dan Kuartil ke 3

4.5.4. Desil ( D ) untuk Data BerkelompokBuat pengertian Desil dan rumus sendiri disertai penjelasan rumus,

lalu hitung D dan D dan jelaskan artinya.

4.5.5. Persentil (P ) untuk Data BerkelompokBuat pengertian Persentil dan rumus sendiri disertai penjelasan

rumus, lalu hitung P dan P dan jelaskan artinya

4.5.6. Modus (M ) untuk Data BerkelompokModus (M ) adalah bilangan yang paling sering muncul

Cara Mencari Modus untuk data berkelompok : Tentukan Letak Modus pada frekuensi tertinggi Letak Modus pada kelas ke 1 dan kelas ke 4 ( ada 2 nilai modus )

Hitung nilai Modus

Nilai Modus ke 1

=

28

Artinya sebagian besar karyawan mempunyai tabungan, sebesar 23,33 % dari pendapatan.

Hitunglah nilai Modus ke 2 dari data di atas dan jelaskan artinya

29

BAB VUKURAN KESERAGAMAN (UKURAN DISPERSI)

5.1. PengertianUkuran Keseragaman adalah bilangan yang memperlihatkan variasi data

(perbedaan data yang satu dengan data yang lain) dalam kumpulan data.

Nilai ukuran keseragaman selalu positif. Jika nilai ukuran keseragaman =

0 berarti bilangan-bilangan dalam kumpulan data tersebut nilainya sama semua

(seragam sempurna). Dan semakin besar nilai ukuran keseragaman berarti

semakin bervariasi bilangan-bilangan dalam kumpulan data tersebut.

Sebaiknya semakin kecil nilai ukuran keseragaman berarti semakin kecil

perbedaan nilai, antara data yang satu dengan data yang lain (semakin

seragam bilangan dalam kumpulan data tersebut).

Ukuran keseragaman biasanya diartikan secara relatif artinya

penggunaannya untuk membandingkan kumpulan data yang satu dengan

kumpulan data yang lain, untuk mengetahui mana yang lebih bervariasi antara

kedua kumpulan data tersebut.

Nilai Ukuran Keseragaman biasanya dinyatakan oleh nilai-nilai berikut ini

:

a. Rentang

b. Varians

c. Standar Deviasi / Simpangan Baku

d. Koefisien Variasi

e. Rentang Antar Kuartil

5.2. Ukuran Keseragaman untuk data tidak berkelompok

(Ungrouped Data).

Jika kita berhadapan dengan data yang belum dikelompokkan atau

masih berupa data mentah, maka cara menghitung Ukuran Keseragaman

adalah sebagai berikut :

a) Rentang ( R ) mempunyai satuan

R = data tertinggi – data terendah

b) Varians mempunyai satuan yang berdimensi dua30

Varians dari data populasi

Varians dari data sampel

c) Simpangan Baku / Standar Deviasi ( SD) mempunyai satuan

berdimensi satu

SD dari data populasi

SD dari data sampel

d) Koefisien Variasi (KV)

KV dari data populasi =

dimana

KV dari data sampel =

dimana : =

e) Rentang Antar Kuartil (RAK)

RAK = K3 – K1

K3 = kuartil ke 3

K1 = kuartil ke 1

Contoh Cara Menghitung Ukuran Keseragaman :

Dalam suatu ujian yang diikuti oleh 11 orang sebagai sampel, masing-

masing mahasiswa mendapat-kan nilai 67, 78, 60, 55, 47, 92, 84, 77, 50, 95,

65, maka nilai Ukuran Keseragamannya adalah :

1). Nilai Rentangnya = 95 – 47 = 48 point

2). Nilai Varians :

31

3). Simpangan Baku / Standar Deviasi

S =

= 16,44992401 16,45 point

4). Koefisien Variasi ( KV )

dimana = = = 70 point

5). Rentang Antar Kuartil (RAK)

RAK = K3 – K1

Data Array 47, 50, 55, 60, 65, 67, 77, 78, 84, 92, 95

LK3 =

Jadi Nilai K3 = 84

LK1 =

Jadi Nilai K1 = 55

Sehingga nilai RAK = 84 – 55 = 29

5.2. Ukuran Keseragaman Untuk Data Berkelompok

(Grouped Data)

Untuk menghitung Ukuran Keseragaman, jika datanya berkelompok

maka cara menghitungnya berbeda dengan data tidak berkelompok. Tetapi

32

jenis alat untuk mengukur nilai ukuran keseragaman masih sama yaitu

meliputi : Rentang, Varians, Simpangan Baku, Koefosien Variasi dan Rentang

Antar Kuartil. Rumus masing-masing alat ukur tersebut adalah sebagai

berikut :

1). Rentang ( R ) mempunyai satuan berdimensi satu

R = Ujung Kelas Tertinggi – Batas Kelas Terendah

= Batas Kelas Tertinggi – Batas Kelas Terendah

= Nilai Tengah Kelas Tertinggi – Nilai Tengah Kelas Terendah

2). Varians mempunyai satuan yang berdimensi dua

Varians dari data populasi

Varians dari data sampel

3). Simpangan Baku/Standar Deviasi (SD) mempunyai satuan

berdimensi satu

SD dari data populasi

SD dari data sampel

4). Koefisien Variasi (KV)

KV dari data populasi =

dimana

KV dari data sampel =

dimana : =

e) Rentang Antar Kuartil (RAK)

RAK = K3 – K1

K3 = kuartil ke 3

K1 = kuartil ke 1

33

Contoh : Dari Tabel Distribusi Frekuensi berikut ini hitunglah nilai-nilai ukuran

keseragamannya, mulai dari nilai Rentang, Varians, Standar

Deviasi, Koefisien Variasi dan Rentang Antar Kuartilnya ?

Tabel Distribusi Frekuensi (nilai tabungan karyawan dalam %)

K I U K X i Fi Fi Xi

18 - 24 17,5 – 24,5 21 10 210 441 4410

25 – 31 24,5 – 31,5 28 8 224 784 6272

32 – 38 31,5 – 38,5 35 5 175 1225 6125

39 – 45 38,5 – 45,5 42 10 420 1764 17640

46 – 52 45,5 – 52,5 49 7 343 2401 16807

53 – 59 52,5 – 59,5 56 8 448 3136 25088

60 - 66 59,5 – 66,5 63 2 126 3969 7938

Jumlah 50 1946 84280

Silahkan dicoba menghitung sendiri ya!

34

35

36