MAKALAH

DISTRIBUSI NORMAL

Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Biostatistik Deskriptif

Dosen pengampu: Saiful Marom, M. Sc

Oleh:

1. Vina Rohmatul (0510076912)

2. Vina Ginaryanti (0510079012)

3. Dimas Muahyat (0510079911)

4. Nurma Ningsih (0510081012)

5. Yulis Indriyani (0510081912)

PROGAM STUDI KESEHATAN MASYARAKAT

FAKULTAS ILMU KESEHATAN

UNIVERSITAS PEKALONGAN

TAHUN 2012-2013

DISTRIBUSI NORMAL

A. Pengertian Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan distribusi teoritis dari variable random yang

kontinu. Pengalaman telah membuktikan bahwa sebagian besar dari variable

random yang kontinu di berbagai bidang aplikasi yang beraneka ragam umumnya

memiliki distribusi yang didekati dengan distribusi normal atau dapat

menggunakan sebagai model teoritisnya.

Distribusi normal yang demikian merupakan distribusi yang simetris,

berbentuk genta dan kontinu serta memiliki fungsi frekuensi. Distribusi normal ini

mula-mula diuraikan oleh Abraham de Moivren dan dipopulerkan penggunannya

oleh Carl Fredreich Gauss dengan percobaannya. Oleh karena itu, distribusi ini

lebih dikenal dengan distribudi Gauss.

B. Mengapa Distribusi Normal Sangat Penting?

Distribusi normal merupakan satu-satunya distribusi probabilitas dengan

variabel random kontinu dan mempunyai peran yang sangat penting dalam

statistika karena dua hal berikut:

1. Distribusi normal memiliki beberapa sifat yang memungkinkan untuk

dipergunakan sebagai pedoman dalam menarik kesimpulan berdasarkan

hasil sampel. Seperti kita ketahui bersama bahwa pada setiap penelitian

kita hampir selalu melalukan pengukuran pada sampel yang kemudian

digunakan untuk menafsirkan parameter-populasi.

2. Meskipun distribusi normal merupakan distribusi teoritis, tetapi sangat

sesuai dengan distribusi empiris sehingga dikatakan bahwa semua

peristiwa secara alami akan membentuk distribusi ini. Oleh karena itu,

distribusi ini sangat dikenal dengan sebutan distribusi normal dan grafik

yang dihasilkan berupa kurva dikenal sebagai kurva normal atau kurva

Gauss.

C. Ciri-ciri Distribusi Normal

Untuk dapat mengenal distribusi normal, kita harus memahami cirri-ciri

atau sifat dari distribusi tersebut. Distribusi normal memiliki beberapa cirri

sebagai berikut:

1. Disusun dari variabel random kontinu.

2. Kurva distibusi normal mempunyai satu puncak. Ini berarti bahwa grafik

yang disusun dari distribusi normal akan membentuk kurva yang simetris

dengan satu puncak.

3. Nilai mean, median, dan mode terletak pada satu titik.

4. Kurva normal dibentuk dati jumlah pengamatan yang sangat banyak.

5. Event yang dihasilkan bersifatin independen.

6. Ekor kurva mendekati absis pada penyimpangan ke kiri dank e kanan

sebesar 3 SD dari rata-rata dan ekor grafik ini dapat dikembangkan terus

tanpa menyentuh absis.

Ciri-ciri kurva distribusi normal akan terlihat jelas pada kurva di bawah ini.

Grafik 1 Ciri-ciri Distribusi Normal

Y

X

Mean (X bar)

D. Distribusi Normal Standar

Kurva distribusi normal bukam satu, tetapi merupakan sekumpulan kurva

yang mempunyai ciri-ciri yang sama. Oleh karena itu, harus ditentukan satu

distribusi normal standar sebagai pegangan.

Penjelasan tentang banyaknya kurva normal yang dihasilkan dapat

dilakukan dengan dua cara berikut.

1. Cara Ordinat

Cara ini dapat dijelaskan dengan menggunakan rumus berikut:

f(x) = 1

σ √ 2 πe

Keterangan:

π = 3,1416

e = 2,7183 (bilangan konstanta)

µ = rata-rata populasi

σ = simpangan baku/ standar deviasi

x = absis dengan batas ∞< X <∞

Bila nilai µ dan σ tetap maka setiap nilai X akan menghasilkan nilai Y

sehingga bila nilai X dimasukkan dalam perhitungan berkali-kali dengan jumlah

yang tak terhingga maka akan dihasilkan kurva distribusi normal.

Dari penjelasan di atas tampak bahwa setiap pasangan µ dan σ akan

menghasilkan kurva distribusi normal sehingga banyak terdapat kurva normal

dengan berbentuk berlainan, tergantung pada besar kecilnya σ.

Bila σ besar maka kurva yang dihasilkan mempunyai puncak yang rendah

dan sebaliknya bila σ kecil maka kurva normal yang dihasilkan mempunyai

puncak yang tinggi. Selain itu, kurva normal juga dapat dibentuk dengan µ yang

berbeda atau keduanya (µ dan σ) yang berbeda. Kurva-kurva normal yang

dibentuk dapat dlihat pada kurva di bawah ini.

Grafik 2 Kurva dengan µ yang sama dan σ yang berbeda

−12

¿

σ = 1

σ = 5

σ =10

Y

µ=50

2. Cara Luas

Karena distribusinya kontinu, cara menghitung probablitasnya dilakukan

dengan jalan menetukan luas di bawah kurvanya. Sayangnya, fungsi frekuensi

normal tidak memiliki integral yang sederhana sehingga probabilitas umumnya

dihitung dengan menggunakan distribusi normal standar dimana variabel

randomnya ialah Z dengan µ = 0 dan σ = 1 sehingga variable normal standar

dapat ditulis dengan rumus sebagai berikut:

Z =

Χ−μσ

Keterangan:

Z : besarnya penyimpangan terhadap rata-rata.

µ : rata-rata populasi.

σ : standar deviasi.

x : nilai variabel random.

Apabila Z merupakan variabel random yang kemungkinan harga-harganya

menyatakan bilangan-bilangan riil antara - ∞ dan + ∞, maka Z dinamakan variabel

normal standar bila dan hanya bila probabilitas interval dari a ke b menyatakan

luas dari a ke b antara sumbu Z dan kurva normalnya dan persamaanya diberikan

sebagai berikut :

Fungi yang dirumuskan diatas dinamakan fungsi kepekatan normal

standart (standar normal density function). Grafiknya dapat dilihat pada diagram

3.

Grafik 3 fungsi kepekatan normal standar

f(z) =

1

√2 π e−(1

2)Ζ2

pada diagram 3 di atas, skala f(z) dapat berubah. Agar ∫−∞+∞

f(z) = 1, maka f(z)

naik, mencapai titik maksimal ¿ 0,399 dan turun pula. Harus selalu diingat

bahwa probabilitas pada sembarang titik-titik ialah nol karena bagi variabel

kontinu, probabilitas selalu dinyatakan dalam interval. Dengan kata lain,

probabilitas Z yang merupakan nilai pada interval antara Z = a hingga Z = b

adalah sama dengan luas yang dibatasi oleh kurva normalnya, sumbu Z dan garis

vertical Z = a dan Z = b. hal demikian dapat dilihat pada diagram 4.

Diagram 4 Kurva normal standar

f(x)

-3 -2 -1 0 1 2 3

0,4

0,3

0,2

0,1

Z

seperti yang telah penulis katakan, pencarian luas kurva normal diatas dapat

dilakukan dengan bantuan tabel luas normal A(z).

Contoh 1 Berapakah probabilitas variabel random normal yang standar

merupakan nilai 0 dan 1 ?

Per Table luas kurva normal, maka p(0<Z<1) = 0,3413.

Contoh 2 Berapakah probabilitas variabel random normal yang standar

merupakan nilai antara -2 dan +2 ?

Per Tabel luas kurva normal, maka p(-2<Z<+2) = 2(0,4772) = 0,9544.

Hal tersebut berarti bahwa 95,44 persen dari seluruh luas kurva normal standar

terletak antara -2 dan +2.

Contoh 3 Berapakah probabilitas variabel random normal yang standar

merupakan nilai antara 0,1 dan 2,8 ?

Per Tabel luas kurva normal, maka p(0,1 < Z < 2,8 ) = p(0 < Z < 2,8 ) – p(0 < Z <

0,1 ) = 0,4974 – 0,0398 = 0,4576.Luas kurvanya dapat dilihat pada diagram 5

Diagram 5 Kurva normal standar, p(0,10 < Z < 2,8 ).

f(x)

A(Z)

0a b

f(z)

E. Penggunaan Tabel Distribusi Normal

Tabel distribusi normal standar terdiri dari kolom dan baris. Pada kolom

paling kiri tertera angka 0 sampai 4 dengan satu decimal di belakangnya. Desimal

berikutnya terletak pada baris paling atas dengan angka dari 0 sampai 9.

Misalnya, Z=1,96 maka pada kolom paling kiri kita cari angka 1,9 dan

bergerak ke kanan kemudian kita cari angka 6 pada baris paling atas dan bergerak

ke bawah sampai bertemu angka 1,9 dari kolom tadi dan kita mendapatkan angka

4750 yang berarti 47,5 %. Karena tabel ini hanya memuat setengah dari seluruh

luas kurva maka seluruh luas pada Z 1,96 sama dengan 2 x 47,5%= 95%.

Berikut tabel Z :

p(0,10 < Z < 2,8 ) = 0,4576

Z

TABEL DISTRIBUSI NORMAL (TABEL Z)

z ,00 ,01 ,02 ,03 ,04 ,05 ,06 ,07 ,08 ,09

0,0 ,0000 ,0040,008

0,0120 ,0160 ,0199

,023

9,0270 ,0319 ,0359

0,1 ,0398 ,0438,047

8,0517 ,0557 ,0596

,063

6,0675 ,0714 ,0753

0,2 ,0793 ,0832,087

1,0910 ,0948 ,0987

,102

6,1064 ,1103 ,1141

0,3 ,1179 ,1217,125

5,1293 ,1331 ,1368

,140

6,1443 ,1480 ,1517

0,4 ,1554 ,1591,162

8,1664 ,1700 ,1736

,177

2,1808 ,1844 ,1879

0,5 ,1915 ,1950,198

5,2019 ,2054 ,2088

,212

3,2157 ,2190 ,2224

0,6 ,2257 ,2291,232

4,2357 ,2389 ,2422

,245

4,2486 ,2517 ,2549

0,7 ,2580 ,2611,264

2,2673 ,2704 ,2734

,276

4,2794 ,2823 ,2852

0,8 ,2881 ,2910,293

9,2967 ,2995 ,3023

,305

1,3078 ,3106 ,3133

0,9 ,3159 ,3186,321

2,3238 ,3264 ,3289

,331

5,3340 ,3365 ,3389

1,0 ,3413 ,3438,346

1,3485 ,3508 ,3531

,355

4,3577 ,3599 ,3621

1,1 ,3643 ,3665,368

5,3708 ,3729 ,3749

,377

0,3790 ,3810 ,3830

1,2 ,3849 ,3869,388

8,3907 ,3925 ,3944

,396

2,3980 ,3997 ,4015

1,3 ,4032 ,4049,406

6,4082 ,4099 ,4115

,413

1,4147 ,4162 ,4177

1,4 ,4192 ,4207,422

2,4236 ,4251 ,4265

,427

9,4292 ,4306 ,4219

1,5 ,4332 ,4345,435

7,4370 ,4382 ,4394

,440

6,4418 ,4429 ,4441

1,6 ,4452 ,4463,447

4,4484 ,4495 ,4505

,451

5,4525 ,4535 ,4545

1,7 ,4554 ,4564,457

3,4582 ,4591 ,4599

,460

8,4516 ,4625 ,4633

1,8 ,4641 ,4649,465

6,4664 ,4671 ,4678

,468

6,4693 ,4699 ,4706

1,9 ,4713 ,4719,472

6,4732 ,4738 ,4744

,475

0,4756 ,4761 ,4767

2,0 ,4772 ,4778,478

3,4788 ,4793 ,4798

,480

3,4808 ,4812 ,4817

2,1 ,4821 ,4826,483

0,4834 ,4838 ,4842

,484

6,4850 ,4854 ,4857

2,2 ,4861 ,4864,486

8,4871 ,4875 ,4878

,488

1,4884 ,4887 ,4890

2,3 ,4893 ,4896,489

8,4901 ,4904 ,4906

,490

9,4911 ,4913 ,4916

2,4 ,4918 ,4920,492

2,4925 ,4927 ,4929

,493

1,4932 ,4934 ,4936

2,5 ,4938 ,4940,494

1,4943 ,4945 ,4946

,494

8,4949 ,4951 ,4952

2,6 ,4953 ,4955,495

6,4957 ,4959 ,4960

,496

1,4962 ,4963 ,4964

2,7 ,4965 ,4966,496

7,4968 ,4969 ,4970

,497

1,4972 ,4973 ,4974

2,8 ,4974 ,4975,497

6,4977 ,4977 ,4978

,497

9,4979 ,4980 ,4981

2,9 ,4981 ,4982,498

2,4983 ,4984 ,4984

,498

5,4985 ,4986 ,4936

3,0 ,4987 ,4987,498

7,4988 ,4988 ,4989

,498

9,4989 ,4990 ,4990

F. Hubungan Distribusi Binom dan Distribusi Normal

Bila n besar sekali, distribusi binomial dapat disesuaiakan sedemikan rupa

sehingga dapat didekati dengan distribusi normal standar. Dalam hal ini akan di

bahas penyesuaian tersebut dapat dilakukan sehingga menghasilkan sebuah

pendekatan yang sangat tepat sekali. Karena disini telah mengubah variabel acak

diskrit dari distribusi binomaial menjadi variabel acak kontinu dalam distribusi

normal, maka nilai x perlu mendapatkan penyesuaian dengan cara menambah atau

mengurangi dengan 0,5. Seperti telah kita ketahui, variable random x atau jumlah

sukses dalam n percobaan binomial merupakan penjumlahan dari variable random

n dimana tiap peubah acak (variate) dimaksudkan bagi setiap percobaan binomial

dan tiap percobaan menghasilkan nilai 0 atau 1.

Dalam keadaan yang biasa, jumlah dari beberapa variable random selalu

mendekati distribusi normal, sehingga distribusi jmlah variable diatas dapat

didekati dengan distribusi normal bila n makin menjadi besar.

Batas distribusi binomial dapat di fahami secara berangsur-angsur dengan

memperhatikan tiga hal pokok sebagai berikut :

1. Distribusi binomial merupakan sebuah distribusi yang diskrit sedangkan

distribusi normal merupakan sebuah distribusi yang kontinu, sehingga

probabilitas yang dinyatakan dengan ordinat binomial perlu diganti dengan

luas binomial karena luas selalu dipakai untuk menyatakan probabilitas

dalam distribusi yang kontinu.

2. Skala X perlu diganti dengan skala Z agar tidak terjadi proses “bergerak”

dan “mendatar” bila n berangsur-angsur menjadi besar.

3. Pendekatan secara normal terhadap probabilitas binomial dapat dilakukan

dengan menghitung luas yang terdapat dibawah kurva normal.

Jumlah probabilitas atau luas yang terdapat diantara kurva dan sumbu X

adalah sama dengan 1. Hal demikian dapat dilihat pada diagram dibawah ini :

Probabilitas variable random X merupakannilai antara a dan b dan dapat

dinyatakan sebagai daerah bergaris dari kurva diagram 10.3.1 diatas. Pada gambar

diatas, p(X = a ) = 0 karena luas a dianggap sama dengan garis f(a) yang memiliki

lebar sama dengan 0. Hal tersebut berbeda sekali dengan probabilitas yang

dinyatakan dengan ordinat distribusi yang diskrit sebab p(X = a) dimana a = 5

tidak usah sama dengan 0.

Penerapan fungsi kontinu terhadap distribusi binomial dapat dilakukan

dengan penggunaan luas untuk menyatakan probabilitas yang biasanya dinyatakan

dengan ordinat. Tiap ordinat dari distribusi binomial diganti dengan luas empat

persegi panjang yang berpusat pada X dan yang memiliki lebar sama dengan satu

f(x)

Xba

unit serta memiliki tinggi sama dengan ordinat binomial yang asal, untuk lebih

jelasnya dapat dilihat pada diagram dibawah ini.

Diagram 6 Hubungan antara probabilitas “luas” dengan “ordinat”.

Setiap perubahan pada variable random X akan mengakibatkan proses

“bergerak”. Satu cara untuk membendung “gerakan” tersebut ialah dengan

menciptakan sebuah variable baru, yaitu Y = X – np.

Distribusi variable baru Y memiliki np = 0 dan cara pemusatanya tidak

berbeda dari distribusi normal yang standar. Selain daripada itu, distribusi variable

Y tersebut memiliki σ Υ = √npq . Kita telah mengetahui bahwa distribusi normal

yang standar memiliki μΖ = 0 dan = 1, sehingga variable random Y yang

memiliki μΖ = np = 0 dan σ Υ = √npq masih perlu disesuaika agar σ Υ nya sama

dengan 1.

G. SOAL DISTRIBUSI NORMAL

X-1 X X÷1X+1 X X+1

X-1

2 X +1

2 X-1

2 X +1

2

f(x-1)

f(x)

f(x+1)

Probabilitas dinyatakan dengan ordinat Probabilitas dinyatakan dengan luas

1. Suatu evaluasi dilakukan terhadap hasil pengobatan TBC menggunakan

Rifampisin dengan rata-rata kesembuhan 200 hari dan standar deviasinya

sebesar 10. Tentukan:

a. Berapa probabilitas seorang penderita yang diambil secara random

mempunyai kesembuhan lebih dari 200 hari?

b. Berapa probabilitas seorang penderita sembuh antara 200 dan 205

hari?

2. Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3750 gram dengan simpangan baku

325 gram. Jika berat bayi berdistribusi normal, maka tentukan ada:

a. Berapa persen bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram?

b. Berapa bayi yang beratnya antara 3500 gram dan 4500 gram, jika

semuanya ada 10000 bayi?

3. 10% dari penduduk tergolong A. Sebuah sampel acak terdiri atas 400

penduduk telah diambil. Tentukan peluangnya akan terdapat paling

banyak 30 orang tergolong kategori A!

Solution:

1. a.

Jadi, probabilitas penderita

dengan kesembuhan lebih

dari 200 hari sama dengan

50% seluruh kurva.

200

b.

200 205

Z =

205−20010

= 5

10

= 0,5

Jika melihat tabel distribusi normal akan diperoleh 0,1915 dibulatkan 0,2

atau 20 %.

2. a.

=

= 2,31

2,31

Maka, luas daerah adalah 0,5- 0,4896 = 0,0104

Jadi, ada 1,04% dari bayi yang beratnya 4500.

b.

❑❑

Z =

4500−3750325

750325

-0

,77

2

,31

X=3500 dan x=4500Pada x=4500 sudah dihitung pada soal a dengan hasil 2,31.

Z =

4500−3750325

= -0,77

Luas daerah, 0,2794 + 0,4896 = 0,7690

Jadi, banyak bayi yang beratnya antara 3500 dan 4500 diperkirakan ada

0,7690.10000 = 7690 bayi.

3. Diket:

n= 10%=0,1

q= 1-0,1=0,9

µ= np= 0,1x400 = 40 orang

σ =√npq= √400 x 0,1 x 0,9 = 6 orang

x=0,1,2,3…..,30 0<X<30

Karena disini telah mengubah variabel diskrit dari diskrit binomial menjadi

variabel acak kontinu dalam distribusi normal, maka nilai x perlu mendapat

penyesuaian dengan cara menambah atau mengurangi dengan 0,5. Sehingga

menjadi

-0,5<x<30,5

Z1= −0,5−40

6= - 6,75

Z2= 30,5−40

6 = -1,58

-1,58

Luas daerah 0,5-0,4429 = 0,0571

Jadi, peluang terdapat paling banyak 30 orang termasuk kategori A adalah

0.0571.

DAFTAR PUSTAKA

Budiarto, Eko. 2001. Biostatistika untuk Kedokteran dan Kesehatan Masyarakat.

Jakarta: EGC

Sudjana. 2005. Metoda Statistika.Bandung:Tarsito.

Distribusi Normal. http://www.google.com. Diakses tanggal 15 Mei 2013Pukul

10.40 WIB.