Distribusi Normal

Distribusi Normal (Distribusi Gaus)Distribusi Normal (Distribusi Gauss)

merupakan distribusi probabilitas yang paling penting baik dalam teori maupun aplikasi statistik.

Terminology “normal” karena memang distribusi ini adalah yang paling banyak digunakan sebagai model bagi data riil diberbagai bidang : - antara lain karakteristik fisik mahluk hidup (berat, tinggi badan manusia, hewan dll), - kesalahan-kesalahan pengukuran dalam eksperimen ilmiah pengukuran-pengukuran intelejensia dan perilaku, - nilai skor berbagai pengujian dan berbagai ukuran dan indikator ekonomi.

Alasan mengapa distribusi normal menjadi penting:Distribusi normal terjadi secara alamiah.

Seperti diuraikan sebelumnya banyak peristiwa di dunia nyata yang terdistribusi secara normal.

Beberapa variable acak yang tidak terdistribusi secara normal dapat dengan mudah ditranformasikan menjadi suatu distribusi variabel acak yang normal.

Banyak hasil dan teknik analisis yang berguna dalam pekerjaan statistik hanya bisa berfungsi dengan benar jika model distribusinya berupa distribusi normal

Ada beberapa variabel acak yang tidak menunjukkan distribusi normal pada populasinya Namun distribusi rata-rata sampel yang diambil secara random dari populasi tersebut ternyata menunjukkan distribusi normal.

Fungsi Kepadatan Probabilitas Fungsi Distribusi Kumulatif NormalSebuah variabel acak kontinu X dikatakan

memiliki distribusi normal dengan parameter x dan x dengan - < x < dan x >0 jika fungsi kepadatan probabilitas (pdf) dari X adalah :

xexf x

xx

x

xx

2

2

2

2

1,;

• Distribusi normal kumulatif didefinisikan sebagai probabilitas variabel acak normal x tertentu. Fungsi distribusi kumulatif (cdf – cumulative distribution function) dari distribusi normal ini dinyatakan sebagai :

F(x; x, x) = P(X x) =

• F(x), hanya bisa ditentukan dari integrasi secara numerik, karena persamaan tersebut tidak bisa diintegrasi secara analitik.

dtedttf

x x t

x

xxx

x

2

2

2

2

1,;

Untuk setiap distribusi populasi dari suatu variabel acak yang mengikut sebuah distribusi normal, maka

68,26% dari nilai-nilai variabel berada dalam ± 1 x dari x ,

95,46% dari nilai-nilai variabel berada dalam ± 2 x dari x ,

99,73% dari nilai-nilai variabel berada dalam ± 3 x dari x

Gambar hubungan antara luasan dan N(,2)

Statistik Deskriptif NormalUntuk suatu distribusi normal dengan nilai-

nilai parameter mean x dan deviasi standard x akan diperoleh suatu distribusi yang simetris terhadap nilai mean x,

sehingga kemencengan (skewness) = 0 dan dapat ditunjukkan bahwa keruncingan (kurtosis) kurva distribusi adalah 3.

Sifat-Sifat Distribusi Normal:Bentuk distribusi normal ditentukan oleh

μ dan σ.

12

μ1 = μ2 σ1 > σ2

1

2

μ1 < μ2 σ1 = σ2

1

2

μ1 < μ2 σ1 < σ2

Distribusi Normal StandardUntuk menghitung probabilitas P(a X b) dari

suatu variable acak kontinu X yang berdistribusi normal dengan parameter dan maka fungsi kepadatan probabilitasnya harus diintegralkan mulai dari x=a sampai x =b.

Namun, tidak ada satupun dari teknik-teknik pengintegralan biasa yang bisa digunakan untuk menentukan integral tersebut.

Untuk itu diperkenalkan sebuah fungsi kepadatan probabilitas normal khusus dengan nilai mean = 0 dan deviasi standart = 1.

Variabel acak dari distribusi normal standard ini biasanya dinotasikan dengan Z. Fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi normal standard variabel acak kontinu Z :

Fungsi distribusi kumulatif :

zezfz

N2

2

2

11,0;

z t

N dtezzZPzf 2

2

2

11,0;

Menstandardkan distribusi Normal

Distribusi normal variable acak kontinu X dengan nilai-nilai parameter dan berapapun dapat diubah menjadi distribusi normal kumulatif standard jika variable acak X diubah menjadi variable acak standard Z menurut hubungan :

x

Z

Jika X distribusi normal dengan mean dan deviasi standard maka

x

x

x

xx

x

xx

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

xx

abZP

bZPbXP

abbZ

aPbxaP

axZPaXP

11

Z > 0 jika x > Z < 0 jika x < Simetri : P(0 ≤ Z ≤ b) = P(-b ≤ Z ≤ 0)

Contoh :1. Diketahui data berdistribusi normal dengan

mean = 55 dan deviasi standar = 15a) P(55≤x≤75) =

=

= P(0≤Z≤1,33) = 0,4082 (Tabel Z)

Atau

Tabel Z A =

0,4082

b) P(60≤x≤80) == P(0,33≤Z≤1,67)= P(0≤Z≤1,67) – P(0≤Z≤0,33)= 0,4525 – 0,1293 = 0,3232

Z1 = = 0,33 B = 0,1293

Z2 = = 1,67 A = 0,4525C = A – B = 0,3232

c) P(40≤x≤60)= A + B

= = P(-1,00≤Z≤0,33) = P(-1,00≤Z≤0) +

P(0≤Z≤0,33) = 0,3412 + 0,1293 = 0,4705 Atau : Z1 = = = -1,00 A = 0,3412 Z2 = = 0,33 B = 0,1293

d) P(x ≤ 40) = 0,5 – A

= 0,5 – 0,3412 = 0,1588

e. P(x ≥ 85)

f. P(x ≤ 85) = 0,5 + A= 0,5 + 0,4772= 0,9772

2) Diketahui rata-rata hasil ujian adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian berdistribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ?Jawab:

Jika 5% peserta terendah mendapat nilai E, berapa batas atas nilai E ?

P( ≤ x ≤ 0) = 0,45P( ≤ Z ≤ 0) = = -1,645 (x<)

= . + = (-1,645)7 +

74 = 62,485