STATISTIKA LINGKUNGAN

DISTRIBUSI PROBABILITAS

PENGANTAR

• Bila serangkaian pengamatan atau kejadian bersama dengan probabilitasnya ditabelkan �distribusi probabilitas.

• Bila keseluruhan probabilitas dijumlahkan �• Bila keseluruhan probabilitas dijumlahkan �harganya akan = 1 atau 100%.

• Dua kelompok model distribusi probabilitas :

* diskrit

* kontinu

PENGANTAR

• Distribusi probabilitas yang diskrit � distribusi:

* binomial

* hypergeometric

* poisson (pendekatan binomial)

* geometric

* multinomial

• Distribusi probabilitas yang bersifat kontinu � distribusi:

* normal

* binomial (pendekatan dengan normal)

* uniform

* log normal

* gamma

DISTRIBUSI BINOMIAL

• merupakan distribusi probabilitas bila hanya ada dua

kemungkinan

• Persamaan distribusi:

( )( ) ( ) rnrppCnrP

−−= 1.)( ( )( ) ( ) rnr

r ppCnrP−

−= 1.)(

( )!!

!.

rnr

nCn r

−=

DISTRIBUSI BINOMIAL

• Rerata:

pn.=µ

• Simpangan baku:

( )ppn −= 1.σ

DISTRIBUSI POISSON

• merupakan distribusi probabilitas yang dilakukan terhadap satuan waktu atau ruang.

• Batasan yang digunakan:

* rerata kejadian (µ) adalah konstan untuk

setiap unit waktu atau ruangsetiap unit waktu atau ruang

* probabilitas lebih dari satu kejadian

dalam setiap satu titik atau ruang adalah

nol

* jumlah kejadian dalam setiap rentang waktu

atau ruang adalah bebas dari jumlah kejadian pada

rentang yang lain

DISTRIBUSI POISSON

• Persamaan yang digunakan adalah:

( ) ( )( )[ ] !xexPx µµ −=

P(x) = probabilitas pada sejumlah x

kejadian

µ = rerata jumlah kejadian per unit waktu

atau per unit ruang

e = konstanta dasar logaritma = 2,71828

DISTRIBUSI NORMAL

• Variabel acak kontinu � jumlah nilai yang tak berhingga � distribusi probabilitas kontinu.

• Distribusi probabilitas kontinu yang paling sering digunakan � distribusi normal (atau distribusi digunakan � distribusi normal (atau distribusi Gauss).

• Ciri distribusi normal :

- adanya rerata (μ)

- adanya simpangan baku (σ)

DISTRIBUSI NORMAL

• (a) μ sama, σ berbeda

DISTRIBUSI NORMAL

• (b) μ berbeda, σ sama

DISTRIBUSI NORMAL

Luas di bawah kurva normal

DISTRIBUSI NORMAL

TABEL DISTRIBUSI NORMAL

• Tabel distribusi normal berisi luas � dibatasi rerata dan

simpangan bakunya � ditandai dengan nilai Z.

• Nilai Z � perbedaan antara data (x) dengan rerata, dibagi

dengan simpangan baku atau :

� distribusi Z

( )σ

µ−=x

Z

DISTRIBUSI NORMAL

SKEMA KURVA NORMAL

DISTRIBUSI NORMAL

SKEMA KURVA NORMAL

• Rerata populasi = 50

• Simpangan baku = 20

• Posisi datum x = 75 adalah (75-50)/20 = 1,25 �

datum terletak 1,25 simpangan baku di kanan datum terletak 1,25 simpangan baku di kanan

reratanya

• Posisi datum x = 25 adalah (25-50)/20 = -1,25 �

datum terletak 1,25 simpangan baku di kiri

reratanya

DISTRIBUSI NORMAL

SKEMA KURVA NORMAL

• Rerata masa layan = 750 jam

• Simpangan baku = 80 jam

• Probabilitas mempunyai masa layan antara 750 jam sampai 830 jam adalah : 830 jam adalah :

Z = (830-750)/80 = 1,00 � dari tabel Z � luas = 0,3413 �probabilitas = 0,3413

DISTRIBUSI NORMAL

SKEMA KURVA NORMAL• Rerata masa layan = 750 jam

• Simpangan baku = 80 jam

• Probabilitas masa layan antara 790-870 jam:

Untuk 870 jam � Z = 1,50 � luas = 0,43320,4332

Untuk 790 jam � Z = 0,50 � luas = 0,1915

Probabilitas antara 790-870 jam = 0,4332 – 0,1915 = 0,2417

DISTRIBUSI NORMAL

SKEMA KURVA NORMAL

• Rerata masa layan = 750 jam

• Simpangan baku = 80 jam

• Probabilitas masa layan antara 730-850 jam:

Untuk 730 jam � Z = 0,25 �Untuk 730 jam � Z = 0,25 �luas = 0,0987

Untuk 850 jam � Z = 1,25 �luas = 0,3944

Probabilitasnya = 0,0987 + 0,3944 = 0,4931

DISTRIBUSI NORMAL

SKEMA KURVA NORMAL• Rerata masa layan = 750 jam

• Simpangan baku = 80 jam

• Probabilitas masa layan lebih dari 810 jam:

Untuk 810 jam � Z = 0,75 �luas = 0,2734luas = 0,2734

Area 0,2734 adalah antara 750 – 850

Area di kanan 750 � 0,50

Area diatas 810 � 0,50 –0,2734 = 0,2266